Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A

Transkript

1 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A Torsdag den 22. maj 2014 kl

2 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af 12 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af 13 spørgsmål. De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier: 1. TEKST Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på. 2. NOTATION OG LAYOUT Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden. 3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder. 4. FIGURER I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer. 5. KONKLUSION Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

3 Stx matematik A-net maj 2014 side 1 af 7 Delprøven uden hjælpemidler Kl Opgave 1 a) Løs andengradsligningen 2 3x -x- 2 = 0. Opgave 2 To vektorer a og b er givet ved æö 5 a = ç çè1 ø og æ- 1ö b =ç ç ç çè 1 ø. a) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. Opgave 3 a) Isolér x i ligningen 2x + 3 = 5. Opgave 4 I en model for ændringen af massen af et radioaktivt stof kan sammenhængen mellem massen M (målt i gram) og tiden t (målt i sekunder) beskrives ved Mt= ( ) 250 0,9956 t. a) Gør rede for, hvad konstanterne 250 og 0,9956 fortæller om ændringen af massen af det radioaktive stof. Opgave 5 Linjen l går gennem punkterne A( -1,2) og B (5,26). a) Bestem en parameterfremstilling for l. Linjen m står vinkelret på l og går gennem A. b) Bestem en ligning for m.

4 Stx matematik A-net maj 2014 side 2 af 7 Opgave 6 Figuren viser en sumkurve over højdefordelingen blandt 800 elever på en skole. 100% Til opgaven hører et bilag 50% 10% 150 cm 160 cm 170 cm 180 cm 190 cm 200 cm a) Bestem kvartilsættet for højdefordelingen og bestem, hvor mange elever på skolen der er mindre end 160 cm. Benyt evt. bilag 1. Opgave 7 En funktion f er bestemt ved f x x x x 3 2 ( ) = (2) a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P 0, f (0). ( ) Grafen for f og førsteaksen afgrænser for 0 x 1 i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figuren). b) Bestem arealet af M. M f 1 (1)

5 Stx matematik A-net maj 2014 side 3 af 7 Opgave 8 C A 6 8 B På figuren ses et rektangel med sidelængderne 6 og 8. Diagonalernes skæringspunkt benævnes A. a) Bestem arealet af trekant ABC. b) Bestem omkredsen af trekant ABC. Opgave 9 En funktion f er bestemt ved f x x b x c 2 ( ) = + +. Det oplyses, at linjen med ligningen y=- x+ 5 er tangent til grafen for f i punktet P( 1, f (1) ). a) Bestem b og c. Besvarelsen afleveres kl

6 Stx matematik A-net maj 2014 side 4 af 7 Delprøven med hjælpemidler Kl Opgave 10 x Tabellen viser sammenhørende værdier af faldhøjde og kraterdiameter for en kugle, der falder ned i en sandkasse. d Faldhøjde (cm) Kraterdiameter (cm) 5,0 5,6 6,5 7,4 7,8 I en model kan sammenhængen beskrives ved d = b x a, hvor d er kraterdiameteren (målt i cm), og x er faldhøjden (målt i cm). a) Benyt tabellens data til at bestemme konstanterne a og b. b) Benyt modellen til at bestemme kraterdiameteren for et fald med en faldhøjde på 90 cm og til at bestemme faldhøjden, når kraterdiameteren er 8,5 cm. c) Benyt modellen til at bestemme, hvor mange procent kraterdiameteren øges med, når faldhøjden øges med 50%. Opgave 11 I trekant ABC er BC = 7 og AB = 6. Det oplyses, at arealet af trekant ABC er 10, samt at B er spids. a) Bestem B samt omkredsen af trekant ABC.

7 Stx matematik A-net maj 2014 side 5 af 7 Opgave 12 z D C G A y H B x I Minnesota USA ligger gæstehuset Winton tegnet af arkitekten Frank O. Gehry. På figuren ses en model af en af de tre bygninger, der indgår i gæstehuset. Modellen er indlagt i et koordinatsystem, hvor enheden er cm på hver af akserne. Koordinaterne til nogle af husets hjørnepunkter er angivet på figuren. a) Bestem en ligning for den plan, som indeholder tagfladen ABCD. Det oplyses, at tagfladen BCGH ligger i en plan, der er bestemt ved ligningen : 1800x y-8993z = 0. A(281, 617, 250) B(281, 79, 250) C(557, 209,1050) D(557, 408,1050) b) Bestem den stumpe vinkel mellem de to tagflader ABCD og BCGH. Opgave 13 Et system af koblede differentialligninger er givet ved u () t = vt () v () t =-2 ut (). a) Bestem væksthastighederne i punktet ( uv, ) (3,4). b) Tegn et faseplot, hvor en partikulær løsning, der opfylder u(0) 10 og v(0) 10, er indtegnet.

8 Stx matematik A-net maj 2014 side 6 af 7 Opgave 14 To funktioner f og g er bestemt ved f( x) = 2,5 x+ 0,05 + 1,4, x³ 0 gx ( ) = 3 x- 0, 5, x³ 05, I første kvadrant afgrænser graferne for f og g sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen x = 6,5 en punktmængde M, der har et areal. (2) f M g 0,5 6,5 (1) En keramikskål, der er 6,5 cm høj, kan i en model beskrives ved det omdrejningslegeme, der fremkommer ved at dreje M 360 om førsteaksen. I modellen har begge akser enheden cm. a) Benyt modellen til at bestemme, hvor meget skålen kan rumme, og til at bestemme volumen af den ler, skålen er lavet af. Opgave 15 Når en person springer ud fra en vippe i en svømmehal sættes brættets yderste ende i lodrette svingninger. For at beskrive dette har man markeret et punkt P på vippen (se figuren). I en model kan punktets lodrette udsving beskrives ved en funktion f ( t ), der er løsning til differentialligningen P y + 0,38 y + 0,55 y= 0, hvor f ( t) er punktet P s udsving fra ligevægtsstillingen (målt i cm) til tidspunktet t (målt i sekunder efter udspringet). Foto: Colourbox.com a) Opskriv det karakteristiske polynomium for differentialligningen, og benyt dette til at gøre rede for, hvilken type forskrift f ( t ) kan beskrives ved. Det oplyses, at ved selve udspringet er punktet 15 cm under ligevægtsstillingen, og punktets hastighed er 0 cm/s. b) Bestem en forskrift for f ( t ), og tegn grafen for f for de første 10 sekunder efter udspringet.

9 Stx matematik A-net maj 2014 side 7 af 7 Opgave 16 En funktion f er bestemt ved (2) f x 2 ( ) = 1 - x. P x, f( x) På figuren ses en skitse af grafen for f. a) Gør rede for, at arealet af trekant OPQ udtrykt ved x er givet ved f T x = x- x, 1 3 ( ) 2 ( ) og gør rede for, at omkredsen af trekant OPQ udtrykt ved x er givet ved O x Q 1 (1) d x x x x x ( ) = b) Bestem den værdi af x, der giver den maksimale værdi af arealet af trekant OPQ, og undersøg, om denne værdi af x også giver den maksimale værdi af omkredsen af trekant OPQ.

10

11

12

13 Stx matematik A-net maj 2014 BILAG 1 Stx matematik A-net maj 2014 Bilaget kan indgå i besvarelsen. Skole Hold ID Navn Ark nr Antal ark i alt Tilsynsførende 6 100% 50% 10% 150 cm 160 cm 170 cm 180 cm 190 cm 200 cm