Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2006 Chapter 5, anden halvdel

Transkript

1 DEN FULDSÆNDIGE SOLOW-MODEL Y t = K α t (A t L t ) 1 α, Slides til Makro 2, Forelæsning 7 26 oktober 2006 Chapter 5, anden halvdel r t = αk α 1 t (A t L t ) 1 α = α Ã Kt A t L t! α 1, Ã! α w t =(1 α) Kt α L α t A 1 α Kt t =(1 α) A t, A t L t S t = sy t, K t+1 K t = S t δk t, K 0 givet, Peter Birch Sørensen og L t+1 =(1+n) L t, A t+1 =(1+g) A t, L 0 givet, A 0 givet Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Produktionsfunktionen y t = k α t A1 α t October 24, 2006 g y t = αgk t +(1 α) g A t = αg k t +(1 α) g Hvis g y t = gk t,dagy t = gk t = ga t = g

2 ANALYSE 5 Indsæt ỹ t = k α t for 1 Definér: k t k t A t = K t A t L t og ỹ t y t A t = Y t A t L t RANSIIONS-LIGNINGEN: 1 ³ k t+1 = s k t α +(1 δ) k t 2 Fra produktionsfunktionen: Y t = K α t (A t L t ) 1 α ỹ t = k α t 3 Fra 2 modelligninger: K t+1 = sy t +(1 δ) K t 4 Dividér med A t+1 L t+1 =(1+g)(1 + n)a t L t på begge sider: k t+1 = 1 ³ sỹt +(1 δ) k t 6 Fratræk k t på begge sider for SOLOW-LIGNINGEN: 1 ³ k t+1 k t = s k t α (n + g + δ + ng) k t 7 Dividér med k t på begge sider for DEN MODIFICEREDE SOLOW-LIGNING: k t+1 k t k t = 1 h s k t α 1 (n + g + δ + ng) i

3 SIDS Fra transitionsligning og -diagram vistes konvergens til steady state: k, ỹ Fandt relevante steady state-vækstbaner, fx: y t = A z } t { Ã A 0 (1 + g) t s n + g + δ + ng! α 1 α SOLOW-DIAGRAMME 1 ³ k t+1 k t = s k t α (n + g + δ + ng) k t egn hhv s k α t og (n + g + δ + ng) k t : Viste balanceret vækst i steady state med fælles positiv vækstrate g for k t, y t og w t og konstant realrente r δ Diskuterede strukturel politik med henblik på at påvirke steady state Viste og diskuterede empiri relevant for steady state: Modellen undervurderer kraftigt strukturelle parametres indflydelse! IDAG Komparativ analyse i Solow-diagrammerne Konvergensprocessen Vækstregnskab

4 DE MODIFICEREDE SOLOW-DIAGRAM k t+1 k t k t = 1 h s k t α 1 (n + g + δ + ng) i KOMPARAIV SAIK I SOLOWDIAGRAMMERNE Økonomien først i steady state givet α, s, n, δ og g Opsparingskvoten vokser fra s til s 0 >shvadskerder? egn hhv s k α 1 t og (n + g + δ + ng):

5 Gammel steady state: k t k t /A t = k og ỹ t y t /A t = ỹ (konstante) Både k t og y t vokser med rate g Vækstraten for y t : Ny steady state: k t = k 0 > k og ỹ t =ỹ 0 > ỹ (igen konstante) Både k t og y t vokser med rate g, vækstbanen højere Overgangen: k t k t /A t vokser fra k op mod k 0, vækstraten i k t springer op og falder jævnt tilbage mod nul Fra k t = k t A t er gt k = g k t +gt A Dvs k t vokser med rate større end g, oggt k springer op og falder tilbage mod g OgsåVÆKSHOPfory t,dagt y = αgk t +(1 α) ga t

6 KONVERGENS I SOLOW-MODELLEN Modificeret Solow-ligning og -diagram igen: k t+1 k t k t = 1 h s k t α 1 (n + g + δ + ng) i (1+n)(1+g) KONVERGENSPROCESSEN EMPIRISK Hvad siger modellen mere præcist om konvergensprocessen mellem verdens lande, dvs om hvordan væksten i hvert land afhænger af strukturelle parametre og intial position? Hvordan passer denne mere præcise udsigelse med empirien? Start fra transitionsligningen: 1 ³ k t+1 = s k t α +(1 δ) k t G ³ k t, og end med formel for vækstraten i y t Gøres ved linearisering omkring stedy state mm Bemærk: G har en helt bestemt definition, og vi kan finde G 0 ( k t ) Når denne evalueres i steady state: G 0 ( k )= 1 [α (n + g + δ + ng)+(1 δ)] Overensstemmelse med betinget konvergens: o lande med samme α, s, δ, n, g (og A 0 ) Nemt at se at 0 <G 0 ( k ) < 1 (idet G 0 ( k ) < 1 α<1, somerantaget)

7 Matematisk indskud: Betragt en differentiabel funktion y = f(x), som går igennem et punkt x, ȳ, altsåȳ = f( x) Sågælder: y ȳ = f 0 ( x)(x x) Hvis specielt ȳ = f( x) = x: y x = f 0 ( x)(x x) (1) Indskud slut Brug (1) på k t+1 = G ³ k t i k = G( k ): k t+1 k = G 0 ³ k ³ k t k Denne giver approksimativt den rigtige dynamik, og den er lineær! Stabilitet mod k,da0 <G 0 ³ k < 1 Brug igen f(x) f( x) = f 0 ( x)(x x), denne gang på ln k t i k : ln k t ln k 1 = ³ k k t k k t k = k ³ ln k t ln k Så kan k t+1 k = G 0 ³ k ³ k t k omskrives til: ln k t+1 ln k = G 0 ³ k ³ ln k t ln k Brug nu ỹ t = k α t ln ỹ t = α ln k t : ln ỹ t+1 ln ỹ = G 0 ³ k (ln ỹ t ln ỹ ) ln ỹ t+1 ln ỹ t = ³ 1 G 0 ³ k (ln ỹ ln ỹ t ) λ (ln ỹ ln ỹ t ) Konvergensegenskaben: Hver periode lukkes andelen λ af resterende gap Konvergensraten er: λ 1 G 0 ³ k = (1 α)(n + g + δ), hvor 0 <λ<1

8 Vi står med differensligningen: ln ỹ t+1 ln ỹ t = λ (ln ỹ ln ỹ t ) ln ỹ t+1 (1 λ)lnỹ t = λ ln ỹ Karakteristisk polynomium: Q(x) =x (1 λ) Karakteristisk rod: Q(x) =0 x =1 λ Løsning til den homogene: ln ỹ t = C(1 λ) t Speciel løsning til den inhomogene: ln ỹ t =lnỹ Fuldstændig løsning: ln ỹ t =lnỹ + C(1 λ) t For at C skal passe med initial situation: C =lnỹ 0 ln ỹ Løsningen er så: ln ỹ t =lnỹ +(lnỹ 0 ln ỹ )(1 λ) t ln ỹ t = h 1 (1 λ) ti ln ỹ +(1 λ) t ln ỹ 0 For t = : ln ỹ = h 1 (1 λ) i ln ỹ +(1 λ) ln ỹ 0 ln ỹ ln ỹ 0 = h 1 (1 λ) i (ln ỹ ln ỹ 0 ) ln y ln y 0 1 (1 λ) = ln A ln A 0 + (ln A 0 +lnỹ ln y 0 ) Indsæt (ln A ln A 0 ) / = g og det ovenfor fundne ỹ Fører til konvergensligningen: µ ln A 0 + ln y ln y 0 = g + 1 (1 λ) α 1 α [ln s ln(n + g + δ + ng] ln y 0 Denne er intuitiv forståelig! Omskriv lidt:

9 ln y ln y 0 1 (1 λ) = g+ 1 (1 λ) ln A 0 1 (1 λ) α + [ln s ln(n + g + δ + ng] 1 α Antag at g og A 0 er ens i alle lande! Regression: g i,0 = β 0 β 1 ln y i 0 + β 2 h ln s i ln(n i i, ln y 0 hvor β 1 = 1 (1 λ) og β 2 = α 1 α β 1 Estimeret (ved OLS) på 90 lande over : g i 00,60 = 0063 (se=0013) 0006 (se=00015) ln yi 60 h ln s i ln(n i i, adj R 2 =040 (se=00025) Når man tegner g i 00, h ln s i ln(n i i op mod ln y i 60 fås:

10 Dette ser meget godt ud: Signifikante parametre og fin R 2 osv Konflikter ikke afgørende med antagelsen om samme g og A 0 i alle lande Men: Vi har to endogeniseringer af konvergensraten: VÆKSREGNSKAB Y t = B t K α t L 1 α t ln Y =lnb + α ln K +(1 α)lnl og 1 Fra teorien: λ = (1 α)(n + g + δ) λ omkring 5% ln Y t =lnb t + α ln K t +(1 α)lnl t 2 Fra empirien: β 1 = 1 (1 λ) λ =1 (1 β 1 ) 1 Giver med estimeret β 1 =0, 006 og =40et λ på 0,7% ln Y ln Y t t α ln K ln K t t = ln B ln B t + t +(1 α) ln L ln L t t Modellen overvurderer kraftigt konvergens-hastigheden! Både mht steady state og mht konvergens klarer Solowmodellen sig godt empirisk, men begge steder med et problem omkring størrelsesordener Noget kunne være bedre (Alligevel en super model) g,t Y = gb,t + αgk,t +(1 α)gl,t Med data for Y τ, K τ og L τ, τ = t, (som vi ofte har) og med α = 1/3 kan g,t B beregnes residualt Solowresidualen Hvorfor ikke vækstregnskab i niveau?

11 VÆKSREGNSKAB PR CAPIA (ARBEJDER) KONKLUSIONER, SOLOWMODELLEN Y t = B t K α t L 1 α t y t = B t k α t Økonomisk politiske implikationer stort set de samme som udledt fra den basale Solow-model ln y =lnb +α ln k og ln y t =lnb t +α ln k t ln y ln y t t = ln B ln B t t g y,t = gb,t + αgk,t + α ln k ln k t t Med data for y τ og k τ, τ = t, og med α =1/3 kan Solow-residualen g,t B igen beregnes Kan bruges til at checke den underliggende teknologiske udvikling (idet det antages, at vækst fra andre faktorer er godt) Modellens steady state udviser balanceret vækst med konstant og positiv vækstrate i BNP per arbejder Hermed skaber modellen overensstemmelse med fundamentale stylized facts Den underliggende forklaring, eksogen teknologisk vækst, dog ikke så dyb Modellens stady state-udsigelse klarer sig godt empirisk dog med klar tendens til, at modellen undervurderer graden, hvormed investeringsrate og befolkningsvækstrate påvirker indkomst per arbejder Modellens konvergens-udsigelse (udsigelsen om vækstprocessen udenfor steady state) klarer sig også godt empirisk, men med klar tendens til, at modellen overvurderer konvergenshastigheden