Højttalerkonstruktion og periodiske funktioner. Illustration 1: Den færdige højttaler, i al sin glans.

Transkript

1 /4 Højttalerkonstruktion og periodiske funktioner Illustration : Den færdige højttaler, i al sin glans. SRP Matematik Fysik December 204

2 2/4 Abstract This paper focuses on the construction of a bass reflex enclosure for a loudspeaker unit. This includes an explanation of the basic physical principles a loudspeaker utilizes to create sound waves. The paper also describes how loudspeakers can be simulated by simple electrical circuits. Lastly, it covers how a periodic function can be represented by a sum of sines and cosines, which is often called a Fourier series. Through the use of electrical simulations, it was possible to find the optimal dimensions for the bass reflex enclosure. In an experiment performed in a 'dead' room, the frequency ranges and impedances of various loudspeaker enclosures were measured. In addition, the Fourier series of a 'sawtooth' function is deduced, mainly through the use of partial integration and the principles of even and odd functions. By comparing the various loudspeaker enclosures, the experiment indicates that a bass reflex enclosure can severely improve the frequency range of a loudspeaker unit mainly through increasing the volume of bass frequencies. Furthermore, the eksperiment confirms that loudspeakers can be realistically simulated by the use of electrical circuits. The investigation of the Fourier series shows that periodic phenomena can be at least approximated through the use of a sum of sines and cosines.

3 3/4 Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning Resonans Mekanisk resonans...5 Betingelser for resonans...6 Elektrisk resonans...7 LC-kredsløb Den elektrodynamiske højttaler Den elektriske og mekaniske del Det akustiske element Højttalersimulering Simulering med elektriske kredsløb Simulering af frekvensgang og impedans En højttaler konstrueres Måling af højttalerens egenskaber Målingernes resultater og fejlkilder Fourieranalyse Lige og ulige funktioner...27 Delvis integration...29 Fourierrækker...30 Sawtooth -funktionen Konklusion Litteraturliste Bilag Bilag : højttalerenhedens Thiele-Small parametre Bilag 2: Basreflekskabinettets endelige dimensioner Bilag 3: Det lyddøde rum Bilag 4 eksempler på delvis integration...40

4 4/4 Indledning Hørelsen har altid været en af menneskets vigtigste sanser. Hvad enten vi forsøger at kommunikere eller blot at nyde et stykke klassisk musik, så spiller lyden en afgørende rolle. Men det er dyrt at have et klassisk orkester stående i dagligstuen, og det er besværligt at skulle rejse lange distancer for at sludre med gamle bekendte. Så derfor, som med så mange andre dele af vores liv, har vi også moderniseret hvordan vi gengiver lyd nemlig igennem en højttaler. En højttaler behøver teknisk set intet bortset fra et forstærket elektrisk signal, så kan den begynde at pumpe lyd ud i det omkringliggende rum. Men det afgørende spørgsmål er er lyden god nok? For en højttalers lydkvalitet er ikke en fast størrelse - tværtimod. At forbedre lydkvaliteten for en højttaler er et af omdrejningspunkterne for denne opgave. Jeg har valgt at fokusere på, hvordan højttalerkabinettets udformning kan have indflydelse på lydens styrke og kvalitet. Jeg tager udgangspunkt i mit eget eksperiment, nemlig konstruktionen af en basrefleks-højttaler. Denne form for højttalerkabinet kan kort fortalt øge bassens lydstyrke. Som et grundlag for konstruktionen af højttaleren indledes opgaven med en dybdegående redegørelse af den fysik, der ligger til grund for højttaleren. Relevante fysiske emner som fx resonans inddrages i denne forbindelse. Dette efterfølges af en teoretisk forklaring på, hvorfor man kan simulere højttaleren med elektriske kredsløb. Den centrale del i opgaven handler om forsøgets tilrettelæggelse og dets resultater dette involverer bl.a. simuleringen og den efterfølgende måling af højttalerens frekvensgang. Opgaven sluttes af med en matematisk tilgang til periodiske fænomener, nemlig i form af Fourierrækkerne.

5 5/4 2 Resonans Både mekaniske og elektriske systemer kan resonere dvs. at de har en resonansfrekvens. Resonansfrekvensen viser sig at være en af højttalerens centrale egenskaber, da højttalerens resonansfrekvens sætter en form for nedre grænse for de frekvenser, højttaleren kan spille effektivt. De mekaniske svingninger spiller derfor en rolle i konstruktionen. Koblingen til de elektriske svingninger bliver relevant når højttaleren skal simuleres med et elektrisk kredsløb. 2. Mekanisk resonans De fleste genstande kan svinge harmonisk på en eller flere måder, og har således en resonansfrekevns. Vi ser her de simpleste genstande dem med netop en resonansfrekvens. Det kan fx være en masse ophængt i en fjeder. Det antages at systemet ikke påvirkes af gnidningskræfter. Vi tager udgangspunkt i Hookes lov: F= kx k er fjederkonstanten, som kan betragtes som et udtryk for fjederens stivhed. Med Newtons 2. lov kan Hookes lov omskrives til en andengradsligning: m a= kx d2 x m 2 = kx for a(t )=x ''(t) dt Denne differentialligning har løsningen2 x (t)=a sin Konstanten ω= ( k t +ϕ m ) k kaldes for vinkelhastigheden, mens φ er bevægelsens fase. Sinus er som m bekendt en periodisk funktion med perioden 2π radianer. Dividerer vi ω med 2π får vi derfor frekvensen for denne svingning. Dette er resonansfrekvensen: f s= ω 2π f s= k 2π m Tvinges fjederen til at bevæge sig, kan den selvfølgelig svinge med hvilken som helst frekvens. Men den vil helst svinge ved netop denne frekvens. Af ligningen ses det egenfrekvensen bliver større med en stivere fjeder, og mindre ved en større masse. Jann Voetmann, m.fl.: Praktisk Elektroakustik, s Niels, K.E., m.fl.: Vejen til Fysik A2, Hax, 2007, s. 277

6 6/4 2.2 Betingelser for resonans Lad os se nærmere på resonansfænomenet. Vi fandt frem til at en fjeder har netop en egenfrekvens. Et andet eksempel på et system med kun en resonansfrekvens er en gynge. Lad os se på hvornår resonans optræder i en gynge altså hvornår den svinger kraftigst. For at en gyngetur bliver sjov, skal gyngen svinge så højt som muligt når den skubbes. Det betyder at gyngen skal tilføres så stor en mekanisk energi som muligt i forhold til den kraft, man påvirker systemet med. Når forholdet mellem den tilførte mekaniske energi og kraften er størst, er der tale om resonans. Man kan også sige, at modstanden når man skubber gyngen skal være mindst mulig. Hvis man prøver at skubbe en gynge, vil man erfare at det ikke er at lige effektivt at skubbe gyngen med enhver frekvens. Og skubber man modsat gyngens bevægelse, bremser man ligefrem gyngen. For at resonans kan opstå skal kraftpåvirkningen altså ske med en bestemt frekvens og i en bestemt fase. Det viser sig at sådanne harmoniske bevægelser kræver en harmonisk oscillerende kraft for at resonans kan forekomme. Mere specifikt skal den påførte kraft have samme frekvens som det resonerende objekts egenfrekvens, og faseforskellen mellem kraft og bevægelse skal være Amplituden af de to forskellige svingninger har således ingen betydning. 3 3 Eriksson, T. m.fl. : Fysik : mekanik, värmelära. s π. 2

7 7/4 2.3 Elektrisk resonans Den elektriske resonans, som bliver behandlet her, kan kun opstå når systemet påvirkes af en vekselstrøm, som jo er en strøm hvor spænding og strømstyrke konstant ændrer deres værdier. Elektronernes gennemsnitlige bevægelse i kredsløbet ændres altså hele tiden. Spændingen i en vekselstrøm kan også beskrives som en harmonisk svingning: u(t )=Um sin (2 πf t ) Her er u den aktuelle spænding over hele kredsløbet, Um spændingens amplitude og f frekvensen. Lad os starte med at se på nogle af de simple komponenters opførsel i et elektrisk kredsløb. Deres grundlæggende egenskaber ændres ikke af at vi benytter vekselstrøm i stedet for jævnstrøm. Resistoren Resistoren fungerer på samme måde som i jævnstrømskredse. Den omsætter en vis mængde elektrisk energi til varme, afhængig af strømmen igennem den. På den måde mister kredsløbet efterhånden sin elektriske energi, hvis en strømforsyning ikke konstant tilføjer mere energi til systemet. Kapacitor Sender man en strøm igennem en kapacitor, flyttes de negative ladninger over på den ene plade, mens den modsatte plade oplades med positive ladninger. På grund af ladningerne på pladerne dannes der et elektrisk felt mellem dem. Det elektriske felt er kapacitorens måde at 'lagre' den tilførte energi på. Der skabes naturligvis en spændingsforskel over en opladt kapacitor. Erstattes spændingskilden med en resistor, har ladningerne mulighed for at komme tilbage i ligevægt, og en strøm løber igennem kredsløbet4. Kapacitorens opførsel kan let overføres til fx en fjeder. Strækker vi fjederen, dannes der en potentiel energi, som fjederen forsøger at omsætte ved at bevæge sig tilbage mod startstillingen. 4 Nielsen, Knud Erik og Esper Fogh: Vekselstrøm: fra energiforsyning til musikgengivelse, s. 40-4

8 8/4 Spole En spole kan også kaldes for en induktor. For når en strøm sendes igennem en spole, inducerer spolen et magnetfelt. Men når magnetfeltet skal genereres, tages energien fra kredsløbet, på samme måde som kapacitoren omsætter elektrisk energi til det elektriske felt. Energien omsættes ved at en modspænding opstår, som modvirker vekselspændingen. Når magnetfeltet har nået sin maksimale størrelse, så kan strømmen frit passere igennem, hvis den forbliver konstant. Afbrydes strømforsyningen i en induktorkredsløb, forsvinder strømmen ikke med det samme. Den opbyggede energi i det inducerede magnetfelt omsættes til elektrisk energi, så strømmen kan fortsætte i et stykke tid5. Man kan betragte det som en form for elektrisk inerti induktorens magnetfelt vil altid forsøge at modvirke stigninger og fald i strømstyrken. På samme måde vil en masse være tilbøjelig til at forblive i bevægelse den fastholder sin kinetiske energi. 2.4 LC-kredsløb En passende analogi til en udæmpet mekanisk fjeder viser sig at være et LC-kredsløb et kredsløb bestående af kapacitor og en induktor. Kredsløbet regnes altså ikke for at have nogen resistans, ligesom fjederen ingen gnidning har. Oplader vi kapacitoren, vil den forsøge at aflade sig selv når de to sider igen forbindes. Da vil spolen yde en modspænding mod den passerende strøm, samtidig med at den danner et magnetfelt. Når kapacitoren er afladt, skulle man tro at spændingsfaldet ville forsvinde med det samme. Men induktoren har stadigvæk sit magnetfelt. For at modvirke det pludselige fald i spændingen dannes der en modspænding i samme retning som kapacitorens oprindelige strøm. Dette oplader igen kapacitorpladerne, men med modsat polaritet i forhold til den foregående opladning. Dette fænomen foregår naturligvis med en bestemt frekvens. I en serieforbindelse af en kapacitor og en spole er denne frekvens netop6: f s= 2 π LC Vi lægger mærke til at dette minder meget om resonansfrekvensen for en fjeders svingning. 5 Nielsen, Knud Erik og Esper Fogh: Vekselstrøm: fra energiforsyning til musikgengivelse, s Andersson, B., m.fl.: Fysik i grundtræk: 3A Vekselstrøm/elektronik, s. 2-23

9 9/4 Et relevant begreb i denne sammenhæng er impedans, der er vekselstrømmens svar på resistans. Impedansen Z i et kredsløb er defineret som: Z= Um Im Hvor Um og Im er hhv. spændings og strømstyrkens amplitude. I et kredsløb med jævnspænding vil impedansen således være konstant. En definition impedansen i en komponent er: Z= R 2 + X 2 R er resistansen, som har en effekt på både jævn- og vekselstrøm. X er reaktansen, der er en form for modstand, som kun virker ved vekselstrøm. En spoles reaktans stiger med vekselstrømmens frekvens, mens en kapacitors reaktans falder ved højere frekvenser. Der vil derfor være et sweet spot hvor den samlede modstand i kredsløbet er lavest dette er resonansfrekvensen. Vekselstrømmens amplitude vil her være på sit højeste, og dermed er strømmen størst ved denne frekvens. 7 7 Andersson, B., m.fl.: Fysik i grundtræk: 3A Vekselstrøm/elektronik, s. 2-23

10 0/4 3 Den elektrodynamiske højttaler 3. Den elektriske og mekaniske del Når man normalt taler om højttalere, taler man egentlig om den kasse, som højttaleren sidder indlejret i. Den enhed, der skaber lydbølgerne, fylder ofte kun en brøkdel af dette, og det er netop denne enhed som dette afsnit handler om. De fleste højttalere i dag kan også kaldes for elektrodynamiske højttalere, da den lydskabende bevægelse i sidste ende skyldes at en strøm løber igennem en spole. De (forsimplede) skitser 8 nedenfor kan illustrere dette princip: Illustration 2: Den permanente magnet samt spolen (Kilde i fodnote 7) På skitsen til venstre ses to stykker jern med deres magnetiske pol påskrevet. Sidder den permanente magnet rigtigt, kan magnetfeltet i hulrummet mellem jernstykkerne gøres homogent. Imellem de to poler opsættes der så en spole, som hænger sammen med den lydskabende membran. Membranen bevæger sig dermed sammen med spolen. Både spole og membram hænger i et elastisk ophæng, der sørger for at holde membran og spole fast 9. Sender vi et elektrisk signal igennem spolen, ved vi at magnetfeltet vil påvirke spolen med en kraft på grund af elektromagnetisme. Vi kan benytte Laplaces lov til at finde retningen af kraften: = I ( l B ) F Jann Voetmann, m.fl.: Praktisk Elektroakustik, s. 58

11 /4 Vi kan ud fra den højre skitse på forrige side se, at både spole og magnetfelt er parallelle med membranens flade. Bevægelsen kommer altså til at foregå vinkelret på membranens overflade. Det elektriske signal kan altså styre spolens bevægelse, så membranen svinger frem og tilbage på en bestemt måde og dermed skaber trykvariationer i luften. Disse trykvariationer opfatter vi som lyd. Nedenfor ses en mere kompliceret skitse af den elektrodynamiske højttaler, set fra siden. 0 : Illustration 3: En elektrodynamisk højttaler (Kilde i fodnote 9) Membranen og spolen hænger ophængt på en måde, så de kun kan bevæge sig i den lydskabende retning. Systemet kan derfor betragtes som en fjeder med en masse, og har således en resonansfrekvens. Lydbølger der har højttalerens resonansfrekvens afspilles derfor med en højere lydstyrke, da membranen svinger kraftigere ved resonans. Men som nævnt har højttalere svært ved at afspille lyde med frekvenser, der ligger under deres resonansfrekvens i modsætning til hvis de ligger over resonansfrekvensen. Dette er klogt at tage i betragtning når man vil konstruere en højttaler. 0 DTU Elektro: introduction to loudspeaker modelling and design, s. Jann Voetmann, m.fl.: Praktisk Elektroakustik, s. 60

12 2/4 3.2 Det akustiske element Når højttaleren har skabt en lydbølge skal den også nå frem til lytteren helst med samme lydstyrke og renhed som det er tiltænkt. Det er her den akustiske del, højttalerens kabinet, kommer ind. Kabinettet kan bl.a. sørge for at bestemte frekvenser ikke får lavere lydstyrker som følge af destruktiv interferens. Der er mange måder at indrette et kabinet på, og de simpleste af dem vil blive gennemgået her. Højttalerenhed i frit ophæng Den enkleste løsning er naturligvis at lade højttaleren være frit ophængt, uden et kabinet. Problemet er, at der dannes lydbølger både foran og bag membranen, når den vibrerer. Bølgerne foran og bagved er ude af fase med hinanden på den ene side skabes der overtryk i luften, på den anden side skabes der undertryk. Det skaber problemer, da særligt basfrekvenserne der ligger omkring Hz kan brede deres bølger ud i hele rummet2. Dette resulterer i, at der forekommer en del destruktiv interferens mellem disse to slags bølger, og på den måde mister højttaleren meget af sin bas, hvilket er uhensigtsmæssigt 3. Ved højere frekvenser er dette et mindre problem, da bølgerne får en mere fast retning ved højere frekvenser2. Simpel baffel Denne type højttaler separerer de to sider af højttaleren med en lydisolerende væg. Disse vægge kaldes ofte for bafler. En væg kan altså umiddelbart løse problemet med destruktiv interferens mellem for- og bagside. Befinder man sig indendørs vil vægrefleksioner imidlertid sørge for, at de to siders bølger alligevel mødes. Dette kan give både konstruktiv og destruktiv interferens, og det gør at en evt. måling af frekvensgangen (højttalerens evne til at afspille toner ved forskellige frekvenser) vil blive ujævn, da vægrefleksioner påvirker alle frekvenser Jann Voetmann, m.fl.: Praktisk Elektroakustik, s. 6

13 3/4 Det lukkede kabinet Hvis man gerne vil undgå disse vægrefleksioner, kan man sørge for at bagenden skaber lyd i et separat rum fx en aflukket kabinet. Men luftrummet inde i kabinettet indgår også som faktor i enhedens resonansfrekvens. Det skyldes at højttalerens volumen er så lille, at trykvariationer som følge af membranens bevægelser vil forårsage en fjedereffekt, fordi luftens tryk i kabinettet vil i ligevægt med trykket i den frie luft udenfor kabinettet. Vi ved at en stivere fjeder betyder en højere resonansfrekvens, og derfor gør kabinettet, at enhedens resonansfrekvens bliver højere4. Men resonansfrekvensen skal jo helst ligge så lavt som muligt, ellers bliver højttalerens frekvensområde mindre. Derfor kræver det lukkede kabinet noget ekstra, hvis højttaleren stadigvæk skal kunne afspille bas med en passende lydstyrke. Basrefleks-kabinettet Basrefleks-kabinettet minder meget om det lukkede kabinet. Men for at styrke højttalerens basgengivelse er der tilføjet en lille port i kabinettet. Porten er en Helmholtz-resonator. Princippet i en Helmholtz-resonator er at en prop af luft i et rør agerer som masse, mens en anden luftmasse fungerer som fjedring. At puste over en tom glasflaske er et eksempel på en Helmholtz-resonans. Flaskens hals fungerer som massen i en fjeder. Når man puster en smule over flasken, skubbes proppen ned i flasken. På den måde skabes der overtryk i flasken, der presser luftproppen væk. Den mekaniske energi, som pustet tilførte systemet, gør at proppen svinger op og ned i flaskehalsen. Luftproppens svingninger kan på samme måde som en højttalermembran skabe lydbølger 5. Illustration 4: Fra venstre mod højre: simpel lydvæg, lukket kabinet, basrefleks-kabinet 4 DTU Elektro: introduction to loudspeaker modelling and design, s. 5

14 4/4 I et basrefleks-kabinet er 'fjederen' luftmassen inde i selve kabinettet, mens 'proppen' er luftmassen inde i porten/røret. Pustet er den lydbølge, der kastes ind i kabinettet af højttalerenhedens bagside. Denne lydbølge får portens luftmasse til at svinge, og selv skabe lydbølger, som vi hører. Hvis man indretter Helmholz-resonatoren, så den har en lavere resonansfrekvens end højttalerenheden, vil den kunne gengive de lavereliggende frekvenser med en langt højere lydstyrke end enheden selv kan klare6. Det er denne form for højttalerkabinet, som vi vil konstruere. 4 Højttalersimulering Højttaleren skal gerne have en god bas, men samtidig skal den også kunne spille højere frekvenser med næsten samme lydstyrke. Det viser sig at højttalerens evne til at spille toner ved forskellige frekvenser bl.a. afhænger af volumenet af luftrummet i højttaleren V kab, samt volumenet af luften i basrefleks-porten Vport. Disse volumener har jo indflydelse på de fjedersystemer højttaleren indeholder. Disse to parametre har vi i hvert fald indflydelse på i konstruktionen. Derfor vil vi gerne finde de optimale værdier for dem. Vi kunne selvfølgelig bygge ti forskellige højttalere og tage den bedste af dem, men det er både ressourcespild og ineffektivt. I stedet kan vi simulere højttalerens virken på computeren. Da kan vi teste mange sammenhørende værdier af Vkab og Vport, og vælge den, vi synes bedst om. En måde at gøre det på er at betragte hele systemet også de mekaniske og akustiske dele som et elektrisk kredsløb. Et elektrisk kredsløb er langt nemmere for en computer at håndtere. På den måde kan vi simulere frekvensgangen uden at skulle bygge højttaleren. Dette foregår i computerprogrammet LTSPICE. Programmets funktioner kommer jeg ikke ind på i denne opgave, men i det næste afsnit forklares principperne i simuleringen med elektriske komponenter, og senere ser vi på simuleringer for det kabinet, vi endte med at vælge. 6 Jann Voetmann, m.fl.: Praktisk Elektroakustik, 20, s. 62

15 5/4 4. Simulering med elektriske kredsløb Vi starter med den elektriske del, som udelukkende består af højttalerens spole L el samt en vekselstrømsgenerator. I virkeligheden er spolens metaltråd ikke modstandsløs, og derfor tilføjer vi en resistans Rel, som skal fungere som spolens resistans. Foreløbigt ser vores kredsløb således : Illustration 5: Kredsløb der simulerer den elektriske del Nu skal højttalerens mekaniske del tilføjes. Det indebærer spolen og membranen, der sidder i det elastiske ophæng, og også luften i kabinettet. Dette system har en resonansfrekvens. Formlen for elektrisk resonans i en LC-kreds minder meget om formlen for en fjeders resonans, og som vi så på tidligere kan mange principper fra den elektriske resonans overføres til den mekaniske. Det er nogle af grundene til at vi kan simulere en udæmpet mekanisk svingning med en LC-kreds. Vi serieforbinder en spole Lmek og en kapacitor Cmek i kredsløbet. Når vi bygger vores højttaler er den mekaniske svingning imidlertid påvirket af gnidning. Derfor tilføjer vi en resistor der kan fungere som luftmodstand, Rmek. Nu har vi følgende kredsløb: Illustration 6: Kredsløb der simulerer den elektriske og mekaniske del

16 6/4 Til sidst skal den akustiske del tilføjes. I vores basrefleks-højttaler består vores akustiske del som bekendt af luftmassen i kabinettet, samt massen af luften i porten. Porten er en Helmholtzresonator, og kan dermed også betragtes som et fjedrende system. 'Fjederen' i Helmholtz-resonatoren er luftmassen i kabinettet, så den betegner vi som en induktor Lak, mens luftmassen i røret svarer til 'proppen', og derfor betegnes den som en kapacitor, C ak. Da vores kabinet ikke er helt lufttæt, tilføjer vi en resistans R ak som skal simulere det energitab, kabinettes utætheder forårsager. Vores endelige kredsløb er altså: Illustration 7: Kredsløb der simulerer vores basrefleks-højttaler De tre kredsløb er tegnet ved brug af Scheme-It (

17 7/4 4.2 Simulering af frekvensgang og impedans Spørgsmålet er nu, hvordan vi kan simulere frekvensgangen med det elektriske kredsløb. Desuden er vi interesserede i at se på impedansen. Dette skyldes at højttaleren har den højeste impedans (i det begrænsede område 20Hz-20kHz) når enten enheden selv eller porten resonerer. Som det blev forklaret tidligere, så betyder resonans jo rent fysisk, at man påvirker et svingende objekt på en måde så mest mulig energi tilføres til objektets mekaniske energi. Når spændingskildens påvirkning 'resonerer' med højttalerenheden eller porten, omsættes en stor del af den elektriske effekt til kinetisk energi. Dette ser vi konkret som en betydeligt større modstand i kredsløbet. Før vi kan køre en egentlig simulation, kræver det dog at LTSpice kender til nogle specielle egenskaber hos højttaleren, så dem må vi indtaste. Disse kaldes ofte for 'Thiele-Small parametre' og følger med selve højttalerenheden. Det indebærer bl.a. en række Q-værdier. Q-værdier kaldes også for 'quality-factors' og beskriver i et lidt bredere omfang højttalerens egenskaber, fx hvor meget energi der går tabt i de forskellige dele af højttaleren. Disse parametres betydning og deres værdier kommer jeg ikke ind på her, men de kan findes i bilag. Udover det skal vi selvfølgelig indsætte de værdier for kabinettets og portens volumen, som vi gerne vil køre en simulering af. Når simulationsprogrammet har alle disse oplysninger, kan vi køre simulationen. Programmet simulerer kredsløbet ved mange forskellige frekvenser for vekselstrøm, fra 0Hz-20kHz. Vi kan da observere spænding, strømstyrke eller modstand som funktion af frekvensen for hver enkelt komponent i kredsløbet. Impedansen har vi tidligere defineret: Z= Um Im Ønsker vi at plotte impedansen i kredsløbet som funktion af spændingens frekvens, kan vi altså blot se på forholdet mellem polspændingen og strømstyrken igennem spændingskilden. Da der er tale om en serieforbindelse, er strømstyrken jo den samme overalt i kredsløbet.

18 8/4 Et eksempel på sådan en simulering ses her: Illustration 8: Eksempel på simuleringen af impedans i kredsløbet (Udarbejdet i LTSpice) Toppene ligger altså ved resonansfrekvenserne. Ud ad 2.-aksen er decibel enhed, hvilket kan virke lidt underligt. Nu er db egentlig bare en logaritmisk skala, der ser på et tal P i forhold til en fast referenceværdi P0: db=0 log 0 P P0 For os betyder det for eksempel at en impedans på 2 db er 0 gange så stor som en impedans på 2 db. Men det gør også, at de konkrete værdier på 2.-aksen ikke fortæller os noget isoleret set vi kan kun se på dem i forhold til andre værdier på grafen. Vi kan altså ikke udlede den 'absolutte' impedans ved bestemte frekvenser ud fra denne kurve. Men den kan fortælle os, hvor resonansfrekvenserne ligger for vores højttaler, for vi ser jo at impedansen ligger relativt højt bestemte steder. Impedansen er ikke så vigtig i forbindelse med konstruktionen, men det kan være interessant at sammenligne simuleringen med den faktiske måling. Den målte impedans skulle jo helst stemme overens med simuleringen.

19 9/4 Frekvensengangen er noget mere kompliceret at simulere. Med frekvensgangen vil vi gerne plotte intensiteten af højttalerens lydoutput (igen i db) som funktion af vekselstrømmens frekvens. Det viser sig at dette kan lade sig gøre ved at placere en kapacitor med en lav kapacitans i parallelforbindelse med spolen Lak, og så måle spændingsfaldet over den 7. Et eksempel på en simulering af frekvensgangen ses nederfor. Illustration 9: Eksempel på frekvensgang (Udarbejdet i LTSpice) Igen er de konkrete værdier på 2.-aksen mindre vigtige, det er snarere kurvens form det drejer sig om. Siden der er tale om en logaritmisk skala, betyder et fald på 3 db at den mængde energi, som lydbølgerne leverer, halveres. I ovenstående tilfælde begynder højttaleren altså først for alvor at virker omkring 00 Hz, da lydstyrken er alt for lav under denne frekvens. Den lille pukkel i frekvensgangen er et resultat af vores basrefleks-port, hvilket jo styrker basgengivelsen. 7 Iversen, N. E.: Introduction to loudspeaker modelling and design, DTU, s. 5

20 20/4 5 En højttaler konstrueres Efter at have eksperimenteret med adskillige værdier for V kab og Vport i simuleringen, finder vi endelig nogle passende værdier for de to variable. Så længe højttalerens dimensioner ikke er for ekstreme, skal de blot opfylde disse to volumener for at den ønskede effekt opnås. De eksakte værdier for Vkab og Vport, samt kabinettets dimensioner kan ses i bilag 2. Graferne for simuleringerne inddrages først senere i opgaven. Nu kan vi konstruere højttaleren. De seks sider skæres ud fra en stor plade af skumpap, og vi sørger for at to af siderne har et hul til hhv. basrefleks-port og højttalerenhed. Siderne holdes sammen ved hjælp af lim fra en limpistol. At kabinettet er lufttæt har en langt større betydning end væggenes materiale, for utætheder betyder jo at bølger i basområdet kan skabe destruktiv interferens, som vi jo så gerne vil undgå. Derfor benytter vi lim i stedet for fx tape, og højttalerenheden selv limes også fast for at fjerne utætheder omkring denne. For at kunne forbinde højttaleren med en spændingskilde, kræver det at svingspolen loddes med to metalledninger. Efter lodningen er vi parate til at måle på vores højttaler. 5. Måling af højttalerens egenskaber Først skal højttalerens frekvensgang måles. Vi måler frekvensgangen i tre forskellige situationer: højttalerenheden som sidder frit ophængt, højttalerenheden siddende i en lydvæg samt når den er placeret i det basrefleks-kabinet vi har bygget. Basrefleks-kabinettet skulle gerne vise en forbedret frekvensgang i forhold til de to første tilfælde. Frekvensgangen måles konkret ved at placere højttaleren i en fast afstand fra en mikrofon og forbinde den til en vekselspændingskilde/forstærker. Da lader vi højttaleren afspille sinustoner ved forskellige frekvenser, som mikrofonen opfanger. Strømmens amplitude er konstant, så den opfangede lydstyrke afspejler hvor god højttaleren er til at afspille lyd ved en bestemt frekvens. Når vi skal måle på højttalerens egenskaber, vil vi naturligvis ikke optage lyde fra andre kilder end højttaleren selv med i målingen. Det gælder også refleksioner fra vægge. Derfor måler vi på højttaleren inde i det lyddøde rum på DTU. En mere detajleret beskrivelse af dette rum og et billede af forsøgsopstillingen ses i bilag 3.

21 2/4 Impedansen måles på samme måde som ved det elektriske kredsløb: en spændingskilde sender vekselstrøm igennem højttaleren med en masse forskellige frekvenser. Spændingskilden kan måle på polspændingen og strømstyrken der går igennem den, og således kan man plotte impedansen som funktion af frekvensen. 5.2 Målingernes resultater og fejlkilder Først sammenligner vi den simulerede frekvensgang med den målte (for basrefleks-kabinettet). Illustration 0: Simulering af frekvensgang, basrefleks-kredsløb Illustration : Måling af frekvensgang, basrefleks-kabinet (Udarbejdet i LTSPICE)

22 22/4 Vi husker at 2.-aksen for simuleringen ikke viser den absolutte lydstyrke, men snarere den relative. Det er også derfor det ikke giver mening at sætte de to kurver ind i samme koordinatsystem. Det viser sig at højttaleren havde mindre bas, end simuleringen viste - puklen omkring 00 Hz er ikke så stor i målingen. Dette må i høj grad skyldes utætheder i kabinettet, der jo kan reducere bassens lydstyrke. De ujævnheder, der begynder omkring 000 Hz ved målingen, kan til dels tilskrives stående bølger. Stående bølger optræder kun ved bestemte frekvenser, og derfor er det kun bestemte frekvenser, der får en forhøjet lydstyrke. Ujævnhederne skyldes også refleksioner fra de dele af det lyddøde rum, der ikke er lydabsorberende. Reflektionerne skaber konstruktiv interferens ved nogle frekvenser, destruktiv interferens ved andre. Således skifter lydstyrken en del ved de høje frekvenser. Dog falder lydstyrken ikke særligt meget ved de højere frekvenser. Så selvom lydstyrken kan være ujævnt fordelt, så burde vi stadigvæk kunne høre lyden. Det mest interessante er dog at se, hvordan vores basrefleks-kabinet klarer sig i forhold til det frie ophæng og den simple lydvæg (her kaldet infinite baffle). Nedenfor ses disse tre frekvensgange: Illustration 2: Sammenligning af de tre kabinetters frekvensgang

23 23/4 Vi ser at problemet med ujævnheder ved høje frekvenser også gør sig gældende for de andre opstillinger hvilket forstærker formodningen om at ujævnhederne skyldes refleksioner i rummet, ikke kabinettets eller højttalerens udformning. Det ses også at højttalerenheden er utrolig dårlig til at afspille bas når den er frit ophængt. Bassen bliver betydeligt bedre ved brug af baflen, men endnu bedre ser det ud når vi benytter vores basrefleks-kabinet. Udover at basgengivelsen er god helt ned til ca. 00 Hz, så er lydstyrken også langt mere jævn. Det var jo netop bassen, som basrefleks-kabinettet skulle forbedre, og det er tydeligvis også sket. For med lydvæggen ses det at frekvenser i området Hz forstærkes kraftigt i forhold til de andre frekvenser, hvilket kan give en forvrænget afspilning af musik. Dette skyldes muligvis konstruktiv interferens mellem for- og bagside (som følge af refleksioner fra væggene). Vi kan konkludere på målingerne af frekvensgangen, at basrefleks-kabinettet kan forbedre basgengivelsen kraftigt, som vi havde regnet med. Lad os gå videre til impedansen. Vi målte impedansen for højttalerenheden i fri luft, samt mens den var siddende i kabinettet. Simuleringen for kabinettet ses nedenfor, målingerne er på næste side. Illustration 3: Simuleret impedans for basrefleks-kabinet (udarbejdet i LTSpice)

24 24/4 Illustration 4: Måling af impedans af enhed i frit ophæng Illustration 5: Måling af impedans af enhed i basrefleks-kabinet

25 25/4 I vores måling med basrefleks-kabinettet kan det klart ses, at højttaleren resonerer ved to frekvenser højttalerens egenfrekvens og portens resonansfrekvens. Når højttaleren blev testet uden kabinet, ses der kun en enkelt resonansfrekvens. Dette er netop grundlaget for at vores kabinet gengiver bas betydeligt bedre end lydvæggen gjorde. Porten resonerer dog ikke så meget i virkeligheden, som den burde gøre ifølge vores simulering. Dette skyldes formodentlig utætheder i porten samt at vi ikke har været præcise nok med portens dimensioner. For jo tættere vores 'luftprop' kommer på en egentlig fjeder, jo mere vil den naturligvis resonere. Alt i alt kan vi kalde vores basrefleks-højttaler for en succes. Den er både i stand til at gengive bassen med en betydeligt højere lydstyrke, og lydstyrken er blevet jævnere ved de lave frekvenser.

26 26/4 6 Fourieranalyse VI ved at vi ud fra princippet om superposition at hvis to fænomener svinger på samme måde, fx to lydbølger, så vil den resulterende bølge være summen af de to bølger. Dette er en vigtig forudsætning for Fourieranalysen. Fourieranalyse er et vidt favnende matematisk område. Men det generelle formål er at kunne dele en funktion op i simplere dele, samt at genopbygge funktionen fra de selvsamme dele. Dette del af opgaven vil fokusere på Fourierrækker. En Fourierrække for et signal er den sum af sinus- og cosinusfunktioner, som signalet bedst kan repræsenteres ved. Vi kan tage udgangspunkt i ligningen for et svingende system: x (t)=a sin (ω t +ϕ) Med en trigonometrisk relation kan dette skrives som en sum af sinus- og cosinusfunktioner 8: x (t)=a cos(ω t )+b sin (ω t) a og b er konstanter der har værdien hhv. sin (ϕ) og cos(ϕ). Hvis vi ved at en periodisk bevægelse f(t) er et resultat af N sammensatte sinusbølger, så kan vi altså skrive den resulterende bevægelse som: N f (t)=a 0 + (a n cos(ω n t)+ b n sin(ωn t)) n = Hver sinusbølge har sin egen amplitude, frekvens og fase. Jeg har indført et konstantled, a 0. Det kan være nyttigt i elektriske kredsløb, hvor der både er en konstant jævnstrøm og en vekselstrøm her vil a0 så repræsentere jævnstrømmen. Før vi bevæger os ind i Fourierrækkerne vil jeg dog redegøre for et par relaterede matematiske begreber. Beregningerne gøres nemlig betydeligt lettere, hvis vi kender til ulige/lige funktioner samt reglen om delvis integration. 8 (fra ca til i videoen)

27 27/4 6. Lige og ulige funktioner Om en funktion er lige, ulige eller ingen af delene har noget at gøre med symmetriforholdene omkring 2.-aksen. En lige funktion har 2.-aksen som symmetriakse funktionens udseende på hver side af 2.-aksen er hinandens spejlbilleder. Cosinus er således en lige funktion. Hvis vi ser på en tilfældig funktion lige funktion f(t), så opfylder den, at: f (t )=f ( t) f (t) f ( t)=0 Dette medfører en række egenskaber for f(t). Det vi er interesserede i er integraler af disse typer funktioner. Lad os prøve at integrere en lige funktion f(t) i t-intervallet 0 [-;]: f (t)dt= f (t )dt+ 0 f (t )dt Vi kan indføre substitutionen u: u= t du = dt du= dt Vi ser på integralet i intervallet [-;0]. Læg mærke til at hvis t= -, så er u= ( f (t)) dt= (f ( u))( du)= ( f ( u)) du Vi kan sætte et negativt fortegn foran et integrale for at gøre intervallet mere relevant: 0 (f ( u))du= ( 0 (f ( u))du)= 0 (f ( u))du Substituerer vi nu u, får vi: 0 (f ( u))du= 0 (f (t ))dt Det vil altså sige, at: f (t)dt=2 0 f (t)dt Dette synes at være logisk nok, da arealet på hver side af grafen også må være symmetrisk. Om man vil kan beviset udvides til ethvert interval [-p;p] resultatet er det samme. Lad os nu se på den ulige funktion.

28 28/4 En ulige funktion kan kaldes for rotationssymmetrisk. Det vil sige, at hvis man roterer et punkt f(t) 80 grader om koordinatsystemets nulpunkt, så ender man ved f(-t). Sinus er derfor en ulige funktion. For en ulige funktion gælder følgende altså: f (t)+f ( t)=0 f (t)=f ( t ) På samme måde som med den lige funktion kan vi integrere en ulige funktion f(t) i t-intervallet [-;]. Bortset fra et minustegn er beviset nøjagtigt det samme som for den lige funktion. For den ulige funktion f(t), fører dette minustegn dog til følgende: f (t )dt= 0 f (t)dt 0 f (t)dt=0 Hvilket også forekommer naturligt, da arealerne i en ulige funktion jo er spejlvendte i forhold til hinanden, og derfor annullerer hinanden når vi beregner integralet. Det bliver interessant når vi ser på produkter af lige og ulige funktioner. Vi antager først, at f(t) er ulige. Da kan vi se på integralet: f (t) cos(π n t )dt Siden f(t) er ulige, kan vi ligesom før finde frem til, at: f (t)cos(π n t )dt= 0 f (t )cos (π n t )dt 0 f (t )cos(π n t)dt=0 Antager vi at f(t) er en lige funktion, og benytter vi i stedet sinus, får vi tilsvarende: f (t )sin (π n t )dt= 0 f (t )sin (π n t )dt 0 f (t)sin (π n t )dt=0 Vi kan tænke os frem til, at hvis begge funktioner er lige, så bliver det resulterende integral i de fleste omstændigheder ikke nul. Hvis begge funktioner er ulige, så vil de to negative fortegn, der dannes, udligne hinanden, og integralet bliver dermed ikke nul i mange tilfælde. Integralet af produktet af to funktioner bliver altså altid nul, hvis den ene funktion er ulige, mens den anden er lige.

29 29/4 6.2 Delvis integration Følgende regel gælder for integralet af produktet af to funktioner: f (x) g(x) dx=f(x) g(x) F(x) g '(x) dx Denne form for integration kan gøre beregningen af integraler af denne type langt simplere. Vi kan tage et eksempel: t e π i t dx Vi kan selv vælge hvilken funktion der skal være hhv. f(t) og g(t). Den nemmeste tilgang er: f (t )=e π i t og g(t)=t Det medfører at: π i t e e π i t dt t e π i t dt= t i π i π Nu kan vi let beregne det sidste integrale: t π i t e e π i t dt= t e π i t 2 2 e π i t i π i π i π i π Integralet bliver altså: π i t e (t+ ) t e π i t dx= i π i π Flere eksempler på brug af delvis integration kan ses i bilag 4. Nu kan vi vende tilbage til Fourierrækkerne.

30 30/4 6.3 Fourierrækker Det viser sig desværre, at mange periodiske fænomener i vores fysiske verden ikke er harmoniske. Det kunne fx være et elektrisk signal der sendes gennem en kontakt, hvor kontakten kan slås til/fra på et øjeblik. En skitse af en funktion g(t), der kunne repræsentere dette fænomen, ses nedenfor. Illustration 6: Signal igennem en kontakt Spørgsmålet vi ønsker at besvare er: Kan ethvert periodisk signal f(t) med perioden 2π udtrykkes igennem følgende sum? N f (t)=a 0 + (a n cos(n t)+ b n sin (n t)) n = ω fra den tidligere sum er her erstattet med n. Det betyder, at alle sinusbølger fra til N formelt set indgår i summen men amplituden for nogle af dem kan være 0. Det er for at forsimple beregningerne vi sætter perioden for f(t) til 2π, men ønsker man et mere generelt udtryk kan n 2π erstattes med n hvor p er perioden for f(t). p

31 3/4 Lad os starte med at antage, at vi kan beskrive f(t) med ovenstående sum, og se hvad det medfører. Det gør blandt andet at vi kan udlede værdierne af koefficienterne a 0, an og bn. Lad os starte med a0. Integrerer vi begge sider i intervallet [-π;π] får vi følgende: π π N π π π f (t)dt= π a 0 dt + ( π a n cos(n t )dt+ π b n sin (n t )dt) n= Imidlertid er det bestemte integrale for både cosinus og sinus over perioden 2π altid lig 0. Derfor: π π π f (t )dt= π a0 dt=a 0 π (a0 π)=2 a 0 π a0 kan let isoleres: a0= π π f (t )dt 2π an kan findes ved først at gange med cos(mt) på begge sider, hvor m er et tilfældigt heltal fra til N. Derefter kan vi igen integrere på begge sider i intervallet [-π;π]: π π π f (t ) cos(m t)dt= π a0 cos(m t)dt N π π + ( π a n cos(n t ) cos(m t)dt + π b n sin(n t) cos(m t)dt ) n= På grund af ortogonalitetsegenskaber i sinus og cosinus kan man ud fra ovenstående ligning vise 9, at kun et af integralerne på højre side ikke bliver 0, hvilket giver følgende værdi for a n. π a n= π π f (t)cos(n t)dt Ganger man med sin(mx) i stedet for cos(mx), kan man tilsvarende vise, at b n har værdien: π b n= π π f (t)sin(n t)dt 9 Wylie, C.R.: Advanced Engineering Mathematics, s

32 32/4 For den generelle Fourierrække med perioden 2p bliver disse koefficienter: 20 p p f (t )dt 2p a0: a 0= an: p a n= p f ( t ) cos( n t) dt p bn : p π n t b n= p f (t)sin( )dt p p Hvor rækken selv er: N f (t)=a 0 + (a n cos( n = 2π 2π n t)+ b n sin ( n t)) p p Her kan vi inddrage vores viden om ulige/lige funktioner. Hvis f(t) er ulige, så bliver alle værdier for an nul. Hvis f(t) er lige bliver alle værdier for b n nul. At vi kan bestemme disse koefficienter betyder konkret, at hvis vi kan skrive signalet f(t) som en sum af sinusbølger, så kan vi også finde ud af, hvilke sinusbølger det skal være. Det viser sig imidlertid, at dette kun kan lade sig gøre, hvis vi benytter os af uendelige summer af sinus- og cosinusfunktioner2. Dette skyldes bl.a. at disse funktioner jo er kontinuerte og differentiable, og en endelig sum af differentiable og kontinuerte funktioner kan umuligt resultere i en funktion, der ikke er det samme. Så vi kan ikke præcist gengive f(t) ved brug af Fourierrækker. Men hvis f(t) er periodisk, kan vi stadigvæk approksimere funktionen ved brug af Fourierrækker. Så egentlig burde relationen mellem Fourierrækkerne og f(t) selv være: N f (t) (...) n= 20 Wylie, C.R.: Advanced Engineering Mathematics, s (fra ca i videoen.)

33 33/4 6.4 Sawtooth -funktionen Lad os se på et eksempel for en Fourierrække for en periodisk funktion. Vi ser på en funktion f(t). Det gælder at g(t)=t, t 2 Grafen for f(t) gentager g(t) i hvert interval [n ; n+ ], hvor n ℤ 2 2 Det resulterer i en såkaldt sawtooth -funktion, der ser således ud: Illustration 7: "sawtooth"-funktion Vi kan med det samme se, at f(t) er en ulige funktion. Det betyder jo, at alle værdier for a n er lig nul. Perioden for funktionen er. Vi kan starte med at beregne a 0. Men da f(t) er ulige, får vi at: ½ ½ ½ a 0= ½ f (t )dt=2 0 f (t )dt 0 f (t)dt =0 ( Der er altså tale om en Fourierrække af typen N f (t ) ( b n sin (2 π n t) ) n= )

34 34/4 bn kan vi jo bestemme. Vi bruger den generelle formel: p π n t b n= p f (t)sin( )dt p p ½ b n=2 ½ t sin (2 π n t)dt Med delvis integration kan vi løse integralet. For nemheds skyld ser vi først på den ubestemte form af integralet. Det indeholder to funktioner: g(t)=t h(t)=sin(n t ) I vores tilfælde bliver integralet derfor: g(t) h(t) dt=g(t) H (t) g'(t ) H(t ) dt Vi integrerer nu funktionerne: ( ) ½ t sin (2 π n t )dt=t 2 π n cos (2 π n t ) ½ ( ) cos(2π n t)dt 2πn Det dannede integrale kan vi nemt integrere: ( t ) ( ) cos(2 π n t) cos(2π n t)dt 2π n 2πn ( =t ) cos(2 π n t)+ sin (2 π n t ) 2πn (2 π n)2 Det oprindelige integrale er altså lig: ) t cos(2 π n t ) sin(2 π n t) 2 π n t cos(2 π n t) = t sin (2π n t )dt= sin(2(2ππn)n t 2 2πn (2 π n)2 Vi var dog interesserede i det bestemte integrale, som vi nu kan skrive som: [ sin (2 π n t ) 2π n t cos(2π n t) b n=2 (2 π n t )2 ½ ] ½ Indsættes værdierne for t, får vi efter reduktion: ( b n=2 sin (π n) π n cos(π n) sin ( π n)+π n cos( π n) 2 2 (2 π n) (2 π n) ) Sin(πn) bliver altid nul uanset værdien af n, så den del af udtrykket kan fjernes. Siden cosinus er en lige funktion gælder det at cos(πn) = cos(-πn). b n=2 π n cos(π n) π n cos( π n) cos (π n) = n π 4 π 2 n 2

35 35/4 Nu har vi endelig et udtryk for bn der er til at håndtere. Det kan vi indsætte i Fourierrækken for f(t), som altså ser ud til kun at bestå af sinusbølger. Fourierrækken for f(t) er altså: N f (t) n= ( ) cos( π n) sin(2 π n t ) n π Det var altså det, vi gerne ville frem til. Men som nævnt før, så afspejler Fourierrækken ikke f(t) præcist, da det ikke er en uendelig sum. Derimod bliver Fourierrækken mere præcis, når N vokser. For at illustrere dette har jeg nedenfor tegnet graferne for N=3, N=0 og N=20. De er alle tegnet med brug af TI-Nspire CAS. Illustration 8: Fourierrække for sawtooth-funktion: N = 3 Illustration 9: Fourierrække for sawtooth-funktion: N=0 Illustration 20: Fourierrække for sawtooth-funktion: N=20

36 36/4 7 Konklusion Det viser sig at en højttalers effektivitet afhænger af faktorer fra både det elektriske, mekaniske og akustiske miljø. Det er naturligvis højttalerenheden selv der skaber lydbølgerne. Det gør den ved at forårsage en harmonisk svingning i en membran på grund af elektromagnetisme. Men som mine forsøg med forskellige former for højttalerkabinetter har vist, så har det akustiske element en stor betydning for mængde af frekvenser, som højttaleren kan afspille effektivt. Det fysiske grundlag for at benytte et kabinet skal findes i resonansfrekvensen. Ved at bruge et basrefleks-kabinet kunne vi tilføje" en ekstra resonansfrekvens til vores højttaler, så dens frekvensområde blev bredere. Ved testen af frekvensgangen i det lyddøde rum så vi, at højttaleren var langt bedre til at afspille lyde med frekvenser i basområdet end de andre konstruktioner, vi sammenlignede vores højttaler med. Kabinettet forhindrede desuden interferens mellem lydbølgerne fra membranens for- og bagside, så lydstyrken blev mere jævn. Simuleringen af højttalerenheden var også et vigtigt del af arbejdet. Ved at se på resonans som fysisk fænomen kunne vi sammenligne et LC-kredsløb med en harmonisk mekanisk svingning. Dette gjorde os i stand til at simulere hele vores højttaler med et elektrisk kredsløb. Konkret simulerede vi højttalerens impedans og frekvensgang. Det gjorde os i stand til at tilpasse højttalerkabinettet, så det både kunne forstærke bassen og sørge for en jævn lydstyrke. Ydermere undersøgte vi Fourierrækkerne, som kan bruges til at beskrive periodiske funktioner matematisk. I den forbindelse var det praktisk at inddrage ulige/lige funktioner samt delvis integration, da disse redskaber gjorde bestemmelsen af Fourierrækken for de mere avancerede signaler mulig. Vi så i et eksempel hvordan en sawtooth -funktion kunne tilnærmes ved brug af Fourierrækkerne. Derunder så vi, hvordan tilnærmelsen af f(t) blev mere præcis, jo flere elementer Fourierrækken indeholdte.

37 37/4 8 Litteraturliste Eriksson, T. m.fl. : Fysik : mekanik, värmelära. Almqvist & Wiksell, 970 Iversen, N. E. : Hvad gør en højttaler?. DTU Elektro, 204 [PDF] Iversen, N. E. : Introduction to loudspeaker modelling and design. DTU Elektro, 204 [PDF] Nielsen, Knud Erik og Esper Fogh: Vekselstrøm: fra energiforsyning til musikgengivelse. HAX, 2009 Nielsen, Knud Erik og Esper Fogh: Elektricitet, magnetisme og atomknusere. HAX, 2008 Nielsen, Knud Erik og Esper Fogh: Vejen til Fysik A2. HAX, 2007 Staffansson, Eve, m.fl.: Fysik i grundtræk: 3A Vekselstrøm/elektronik. Munksgaard, 974 Voetmann, Jan og Eddy Bøgh Brixen: Praktisk elektroakustik. FOG, 20 Wylie, C.R. : Advanced Engineering Mathematics. McGRAW-HILL, 982 The Fourier Transform and its applications: Prof. Brad Osgood. Besøgt i løbet af december 204 link: Video-lectures ( til 5): Radiation from a Circular Baffled Piston: Prof. Daniel A. Russell. Besøgt i løbet af december 204 Link: Helmholtz resonators: Prof. Thomas Greenslade Link: helmholtz.html Desuden en stor tak til DTU Elektro, der både har stået for selve øvelsen og har været en enorm hjælp i arbejdet med højttalere generelt. Desuden bød de os på frokost.

38 38/4 9 Bilag 9. Bilag : højttalerenhedens Thiele-Small parametre De fleste af disse parametre er på avanceret vis relateret til højttalerens funktion. Dermed bruger vi dem indirekte i simuleringen med elektriske kredsløb. Ønskes en dybere forklaring henvises der til fodnoten22. Thiele-Small parametre Symbol Værdi Re 3.6 Ω Le 0.03 mh fs 66 Hz QMS 3,85 QES 0,67 QTS 0,57 SD 3.9 cm2 VAS 0.78 L 9.2 Bilag 2: Basreflekskabinettets endelige dimensioner Portens volumen: 2.4 cm3 Dimensioner i cm:.5 x.5 x 5.5 Kabinettes volumen (eksl. port): 866 cm3 Dimensioner i cm: 7.6 x 7.6 x 5 22 Iversen, N. E. : Introduction to loudspeaker modelling and design. DTU Elektro, 204 [PDF]

39 39/4 9.3 Bilag 3: Det lyddøde rum I det lyddøde rum er væggene beklædt med materialer der er særdeles gode til at absorbere lyd dvs. at lyden hovedsageligt omdannes til termisk energi i materialet frem for at blive reflekteret. Desuden er der et par lag af beton uden om dette absorberende materiale, for at sikre at al lyd udefra blokeres. Illustration 2: Det lyddøde rum Vægmaterialet i rummet er kileformet. Det betyder at lydbølger der rammer væggen ikke reflekteres direkte tilbage, men afbøjes ind i væggen selv, så væggen kan absorbere lydens energi ad flere omgange. Dette eliminerer næsten alle vægrefleksioner. Dog er der også materialer i rummet der reflekterer lyden fx gitteret som vi står på, samt de platforme som mikrofonen og højttaleren hviler på. Dette skaber ujævnheder i målingerne. Nedenfor ses et eksempel på en måling, nemlig hvor højttaleren sidder i en simpel lydvæg/baffle. Mikrofen er markeret med en rød firkant; højttalerenheden med en blå firkant. Illustration 22: Vores "infinite baffle" opstilling

40 40/4 9.4 Bilag 4 eksempler på delvis integration Eksempel : e at cos(bt ) dt Vi identificerer først de to funktioner: f (t )=e at g(t)=cos (bt) og Vi foretager nu delvis integration: e at cos(bt ) dt= a e at cos(bt) a e at ( b) sin (bt)dt e at cos(bt ) dt= a e at cos(bt) ab e at sin (bt)dt Vi løser integralet på højresiden i udtrykket, igen med delvis integration. Da får vi: ( at b at at = e cos (bt) e sin (bt) e b cos (bt)dt a a a a ) b b2 = e at cos (bt)+ 2 e at sin (bt) 2 e at cos(bt)dt a a a Integralet i ovenstående udtryk er jo det oprindelige integrale. Vi isolerer det oprindelige integrale: at b at b2 e cos(bt ) dt= a e cos(bt) + a2 e sin (bt) a 2 e at cos(bt)dt at e at cos(bt)dt= a e at cos(bt )+ 2 e at sin (bt) a b 2 a ( 2 ) b Med lidt brøkregning kan vi få et pænere udtryk for integralet: e at cos(bt)dt=e at ( a cos(bt)+ b sin (bt) 2 2 (a + b ) )