Kvanteteleportation. Studieretningsprojekt Fysik/matematik Vejledere: Aage Barlo og Ole Kock Sune Monrad
|
|
- Karina Holmberg
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kvanteteleportation Studieretningsprojekt Fysik/matematik Sune Monrad
2 Kvanteteleportation Indhold Abstract... 3 Indledning... 3 Materiale valg... 4 A. Kildekritik... 4 B. Udvælgelse... 4 Hoveddel... 5 C. Grundliggende kvantemekanik Superposition Entanglement Heinsenbergs usikkerhedsprincip...11 D. Kvanteteleportation Forsøget...12 Vurdering E. Fremtidsperspektiver Kvantecomputer Teleportation af større objekter...15 F. Udfordringer...15 Konklusion Bibliografi Bilag bilag Sune Monrad 2
3 Abstract This Project investigates Quantum Teleportation and the principles behind it. The focus is on some of the mysterious facts and theories such as the principle of superposition, the uncertainty principle and entanglement. This subject is interesting because it has the potential to become very important in the technology of the future, especially when it comes to computer technology. By examining the double slit experiment this project tries to investigate the consequences of the theories mentioned above. The results from the double split experiment can be examined through probability theories; therefore this project tries to explain the principles mathematically. The studies tell that quantum physics is far away from the classic physics. Many things in quantum physics don t make sense compared to the rules of the macro world. This project tries to explain some of the rules of the quantum world and how they have been used to create the first steps in super fast quantum computing and quantum teleportation. The conclusion is that many phenomena are hard to explain but can be used to develop the technology of the future. Indledning Kvantemekanikken er et af fysikkens store mysterier. De gense regler for klassisk fysik er ikke gældende i kvantemekanikkens verden, eks. kan en elektron tilsyneladende eksisterer to steder på samme tid, hvilket forklares med, at en elektron både kan have partikelegenskaber og bølgeegenskaber. Måles elektronen for dens bølgeegenskaber, så vil den optræde som en bølge, og måles den for sine egenskaber som partikel, så vil den optræde som en partikel. Alene målinger af et kvantesystem påvirker altså systemet. Desuden kan man ikke, som i klassisk fysik, forudsige, hvordan et system vil reagere, selvom man kender alt om dette. Inden for kvantemekanikken beskæftiger man sig med sandsynligheder, da det er umuligt at forudsige, hvordan et system vil reagere. Fordi kvantemekanikken er så forskellig fra den gense fysik, er der en lang række finurlige og mærkværdige problemstillinger, som forskerne inden for kvantefysikken beskæftiger sig med. Nogle af disse finurligheder udnyttes til bl.a. at lave det, der kaldes kvanteteleportation. Forskerne mener ikke vi skal se teleportation som en måde at transportere eks. mennesker fra punkt A til punkt B, men snarere til at bygge fremtidens teknologi inden for computerindustrien. Sune Monrad 3
4 Dette projekt omhandler nogle af de principper og gåder, som kvanteforskerne bokser med. Desuden omhandler projektet eksperimenter med kvanteteleportation, samt, hvilke fremtidsperspektiver og problemstillinger som findes inden for teknologien. Materiale valg A. Kildekritik Kilderne til denne opgave er udvalgt efter at skulle være så objektive og saglige som muligt. Derfor har jeg, ved hver kilde, startet med at se på afsenderen af budskabet. Informationen om kvanteteleportation har jeg forsøgt at finde fra første hånd, dvs. fra dem som har udført eksperimentet. En anden vigtig ting har været at dobbelttjekke kilderne. Hvis to kilder siger det samme, og afsenderen ser ud til at være troværdig, så er der stor sandsynlighed for, at materialet er korrekt og objektivt. Umiddelbart skulle man ikke tro, at subjektivitet skulle være et problem indenfor kvantemekanikken, i det kvantemekanik er naturvidenskab, men da mange af aspekterne inden for kvantemekanikken ikke er fuldt ud forstået endnu, hersker der forskellige teorier, og altså også forskellige tilhængere af disse teorier. B. Udvælgelse Inden problemformuleringen blev udleveret, havde jeg en del forskellige kilder. En del af disse kilder er blevet sorteret fra, da de enten beskrev emner, som ikke var en del af problemformuleringen, eller var for populærvidenskabelige og på den måde ikke dybdegående nok. Jeg har bevidst ikke valgt kilder fra eller da disse kilder ofte anses for, som wikipedias tilfælde, ikke at have en veldefineret afsender og i leksikons tilfælde, at være for farvet af en politisk holdning. Hermed ikke sagt, at disse kilder ikke kan være udmærkede, i det wikipedia ofte har en forholdsvis lang kildeliste, jeg har bare valgt at vælge dem fra, for at være sikker på, at denne opgave kan anses for at være troværdig. Sune Monrad 4
5 Hoveddel C. Grundliggende kvantemekanik 1. Superposition Som nævnt i indledningen, kan en elektron optræde således, at den tilsyneladende er to steder på samme tid. Princippet bag dette kaldes superpositionsprincippet. Vi kender princippet fra eksperimenter med bølger, hvor vi kan se, at to bølger kan interferere med hinanden. Opstilles en funktion for en bølge kaldet ψ 1, og en anden bølge kaldet ψ 2, siger superpositionsprincippet, at summen af de to bølge funktioner også er en mulig funktion for systemet 1. Lys består af både bølger og fotoner, men det er ikke kun lys, der har den egenskab. Elektroner består også af stof og bølger, hvilket kan vises gennem et forsøg kaldet dobbeltspalteeksperimentetet. a. Dobbeltspalteeksperiment Sendes en partikler gennem en plade med en spalte, som vist på tegningen til højre, ses det, at partiklen går lige i gennem, og rammer lige ud for udgangspunktet. Tages nu en såkaldt dobbeltspaltet plade, fås et mønster, som vist på tegningen med en enkelt spalte, hvilket ligner det mønster, som kan ses på tegningen her til venstre. Gentages samme eksperiment blot med en bølge, ses det, at der, hvor intensiteten er størst, er det samme sted som ved en partikel, når der bruges en enkeltspaltet plade. Forskellen består i, at når en bølge rammer en dobbeltspaltet plade, så fås mange linjer, kaldet bånd. Grunden til dette er et princip kaldet interferens. Sendes en bølge gennem en spalte, vil der opstå en ny bølge med udgangspunkt ved spalten. Sendes en bølge nu mod en plade med to spalter, vil se ses, at der dannes to nye bølger med udgangspunkt i hver sin spalte. Når de to bølger mødes, 1 Sune Monrad 5
6 interfererer de med hinanden. Dette kan enten være konstruktivt eller destruktivt. Er de to bølger i fase med hinanden, således at bølgetop og bølgetop mødes, vil der ske konstruktiv interferens, mens der ved modfase vil ske en destruktiv interferens. Ved konstruktiv interferens forstærker bølgerne hinanden, og dette kan ses ved et bånd 2. Ved destruktiv interferens udligner de to bølger hinanden, og der vil ingenting være at se, på pladen bagved. Mønsteret ser ud som på billedet nederst på forrige side. Elektroner er stof, hvilket vil sige, at udsætter man en elektron for ovenstående forsøg, ville man forvente at se en reaktion i stil med den, der ses ved en partikel. Dette er sandt ved en enkeltspaltet plade, men sender vi en elektron ad gangen gennem en dobbeltspaltet plade, ses det, at mønsteret der dannes, der hvor elektronerne har ramt væggen, passer med de interferenslinjer, som forekommer ved forsøget, hvor en bølge sendes gennem en dobbeltspaltet plade. Da elektronerne sendes en ad gangen, kan der ikke være tale om, at de støder ind i hinanden, og på den måde skaber mønsteret. Den eneste forklaring må være, at elektronen opfører sig som en bølge. Jævnfør superpositionsprincippet betyder dette, at der kan opstilles en bølgeligning for elektronen. Elektronen har to muligheder for at komme på den anden side af pladen: enten går den gennem den første spalte, eller også går den gennem den anden spalte. Således har vi to bølgefunktioner: en for spalte 1 (ψ 1 ) samt en for spalte 2 (ψ 2 ). Som tidligere beskrevet er summen af to bølgefunktioner også en mulig bølgefunktion for systemet. Dette bevirker, at ψ 1 + ψ 2 = ψ og da en elektron er stof, må dette betyde, at elektronen kan være i en tilstand, hvor den er både ved spalte 1 og ved spalte 2 på samme tid. Eftersom en elektron er en partikel, vil nogen mene, at det er mere korrekt at sige, at der er to verdener, en hvor elektronen går gennem spalte 1, og en hvor elektronen går gennem spalte 2. Når der fremkommer et interferensmønster, eksisterer begge disse verdener på samme tid 3. Sådan er det i hvert fald ifølge teorien, man skulle da tro, at man kunne måle dette, men forsøger man at måle på elektronerne, så vil de ikke længere have bølgeegenskaber, men derimod have egenskaber som stof. Ved at måle på elektronerne bliver disse påvirket således, at i stedet for at se et interferensmønster så ses to bånd, nøjagtig som ved en partikel. Hvorfor dette sker, forsøges forklaret med HEINSENBERGS USIKKERHEDSPRINCIP 2 Se bilag 1 om bølger 3 Quantum Mechanics af Paul W.C Davies og David S. Betts Sune Monrad 6
7 b. Sandsynlighed Dette afsnit beskæftiger sig med DOBBELTSPALTEEKSPERIMENT ud fra et matematisk synspunkt. Da elektroner også er bølger lige som lys, kan vi ikke forudsige, hvor den enkelte elektron vil placeres i interferensmønsteret. Grunden til dette skal ikke findes i, at forskerne ikke er gode nok til at måle, eller at måleudstyret ikke er godt nok, det er en konsekvens af kvantemekanikken. På grund af dette regner forskerne i sandsynlighed. Man kan opstille forskrifter for sandsynligheden for, at en elektron vil befinde sig et bestemt sted på et bestemt tidspunkt, hvilket dog ligger uden for denne opgaves rammer. I stedet vil dette afsnit omhandle sandsynligheder indenfor måleresultatet observeret på pladen ved dobbeltspalteforsøget. Eftersom jeg ikke kan skaffe resultater fra et dobbeltspalteforsøg med elektroner, har jeg i stedet valgt at redegøre for teorien bag sandsynlighedsregningen, som er knyttet til forsøget. Sandsynlighed angiver chancen eller risikoen for, at en given hændelse sker. Dette kunne være en hændelse, hvor man ønsker at vide, hvor stor en sandsynlighed der er for, at en elektron rammer pladen på et bestemt sted. Når Sandsynligheden udregnes bruges blandt andet det der kaldes et udfaldsrum, U, som angiver de værdier, måleresultaterne kan antage. Tager vi et eksempel med to terninger, så er udfaldsrummet U={(1,1), (1,2), (1,3) (1,6) (2,1), (2,2) (2.6) (6,6)} svarende til, at man med hver terning kan slå fra 1-6, og disse så kan kombineres. En begivenhed inden for dette udfaldsrum kaldes et udfald. Til udfaldet kan knyttes en talværdi (X) kaldet den stokastiske variabel. Oftest er det sandsynligheden for, at den stokastiske variabel forekommer, man ønsker at kende. I tilfældet med terningerne, kunne den stokastiske variabel (fremover kaldet X) være summen af øjnene på de to terninger. Med andre ord kunne man ønske at finde sandsynligheden for at slå 12. Da X er endelig, kaldes denne for en diskret stokatisk variabel. Sandsynligheden for at X giver en bestemt værdi, noteres P(X=n), hvor n er værdien man ønsker at undersøge sandsynligheden for. Ønsker man f.eks. at vide, hvor stor sandsynligheden er for, at X=5 ved kast med de to terninger, findes først de kombinationsmuligheder som findes, når X=5 ((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)). Eftersom der er 6*6 kombinationsmuligheder for to terninger, er der 1/36 del sandsynlighed for at slå en af de fire kombinationer. Sandsynligheden for at slå X=5 er altså eller 11, %. Man kan også ønske at finde sandsynligheden for, at X<5 o.l., dette gøres blot ved at finde de mulige summer, som giver mindre end 5, men ellers er fremgangsmåden den samme. Sune Monrad 7
8 Det kan tænkes, at X i nogle tilfælde kan gå fra [0, ], hvilket medføre, at X har uendelig lille sandsynlighed for at antage en bestemt værdi. Er der tale om, at udfaldsrummet er meget stort, bruges således et interval, hvor sandsynligheden kan beregnes for, at X ligger inden for dette interval. Hvis alle tænkelige sandsynligheder for X-værdier, i eksemplet med terningerne, lægges sammen, vil summen (naturligvis) give 1, i det sandsynligheden for at slå et eller andet tal er 1 svarende til 100%. Ved et dobbeltspalteforsøg med elektroner fås, som bekendt, et interferensmønster. Tæller vi elektronerne op og tegner dem ind i en graf, hvor x-aksen viser antallet af elektroner, mens y- aksen viser x-koordinatet for, hvor elektronen ramte på pladen, så vil grafen se ud som det ses på billedet til højre. Vi kan opstille en funktion for grafen, som vi kalder f(x). Ved terninger skulle sandsynligheden give 1, ved en funktion er det det samlede areal under kurven, som skal give 1. Vi finder arealet under kurven ved bestemt integral 4. Udføres bestemt integral i intervallet [-, ] skulle den samlede sandsynlighed således blive 1. Ønsker vi nu at finde sandsynligheden for, at elektronen rammer indenfor et bestemt område, findes det bestemte integrale for det angivne område. Ved sandsynlighed benyttes også en term kaldet middelværdi. Middelværdien er gennemsnittet for X. For funktionen ved dobbeltspalteforsøget betyder dette, at middelværdien findes ved følgende: Ved dobbeltspalteforsøget betyder dette, at middelværdien må være 0, i det tegningen viser, at den ser ud til at være symmetrisk omkring x-aksen (grafen er en smule forvirrende, i det middelværdien findes på y-aksen, men grafen kunne lige så godt have været tegnet omvendt, således at antallet af elektronen var på y-aksen i stedet for x-aksen, og afstanden var på x-aksen, i stedet for y-aksen). Middelværdien betegnes E(X) eller μ. E(X) betyder expectation of X eller den forventede X. 4 Det antages, at læseren kender til integralregning. Sune Monrad 8
9 Et andet vigtigt element er det, der kaldes spredningen, som er forbundet med et andet begreb, nemlig varians. Variansen er et udtryk for gennemsnittet af kvadratet på afvigelserne fra middelværdien 5. For dobbetltspalteforsøget betydet dette, at variansen, Var(x), er givet ved følgende: Hvor (x-e(x)) er en afvigelse fra middelværdien (E(X)), og da det er beskrevet, at gennemsnittet (middelværdien) er fundet ved bestemte integrale af x*f(x), indsættes blot afvigelsen på x es plads. Spredningen er et udtryk for kvadratroden af variansen og kaldes σ. Som bekendt består funktionen f(x) af en masse bakker eller buer. Deler vi funktionen op i disse buer, så der er et lokalt maksimum og to lokale minimum, ser det ud til, at der er tale om normalfunktioner. En normalfunktion er en tæthedsfunktion på formen: Hvor σ, som bekendt, er spredning, og μ er middelværdien. Denne funktion giver en graf, som ser således ud: 5 Sune Monrad 9
10 Det ses, at middelværdien blot forskyder kurven horisontalt, mens spredningen bestemmer, hvor bred buen bliver. Er spredningen således stor, vil man ofte kunne sige, at måleresultaterne ikke er helt præcise. Spredningen kaldes også for standardafvigelsen. Ofte ønskes eksempelvis at vide, hvor stor sandsynligheden er, for at x ligger inden for en spredning på 2 standardafvigelser. Da sandsynligheden er det bestemte integrale af kurven, kan man finde sandsynligheden, inden for to standardafvigelser, ved at tage integralet i intervallet [μ-2σ,μ+2σ]. 2. Entanglement To kvantetilstande kan være sammenfiltrede (entanglet), med dette menes, at de to tilstande er forbundne med hinanden, således at ændres den ene tilstand, ændres den anden tilstand øjeblikkeligt, uden hensynstagen til tid og rum. Dette betyder, at uanset hvor langt to sammenfiltre kvantetilstande (kunne være fotoner) befinder sig fra hinanden, vil en ændring i den ene kvantetilstand medføre en tilsvarende ændring ved den anden. Sammenfiltring er endnu en af de ting, som forskerne ikke har en forklaring på. Entanglement ville bryde med relativitetsteorien, hvis vi antager, at de to kvantetilstande kommunikere med hinanden, i det Albert Einsteins teori siger, at intet kan bevæge sig hurtigere end lys, hvilket også gælder kommunikation 6. Et andet eksempel på entanglement kan være lys og atomer. Sammenfiltres et lys med atomer, vil deres sammenfiltring bestå i, at atomets såkaldte spin er entanglet med lysets fase og amplitude. Dette princip kan forklares nærmere ved, at fordi et atom består af en kerne af neutroner og positroner samt af elektroner svævende omkring, opstår en lille magnet, fordi elektroner kredser så hurtigt omkring kernen, at de er flere steder på en gang. Atomets spin kan repræsenteres af en vektor, som vist på billedet. 6 Sune Monrad 10
11 Er lysstrålen og atomet sammenfiltrede, vil xv = xb og yv = yb, amplituden er altså lig y- koordinatet mens fasen er lig x-koordinatet. Hvorfor lige netop denne sammenfiltrede kvantetilstand er interessant, vil blive illustreret i afsnittet KVANTETELEPORTATION. 3. Heinsenbergs usikkerhedsprincip En populærvidenskabelig forklaring på dette princip går på, at kastes en bold op i luften, så vil iagttageren nemt kunne fortælle, om bolden er på vej op eller på vej ned. Spørges der derimod om, hvor bolden er, så vil iagttageren ikke kunne svare. Fryses bolden i luften, vil iagttageren uden problemer kunne fortælle, hvor bolden er, men ikke hvor den er på vej hen. Essensen i Heinsenbergs usikkerhedsprincip er altså, at viden om retning udelukker viden om position og omvendt 7. I dobbeltspalteforsøget svarer dette til, at hvis vi ved, at en partikel gik gennem den første spalte, så kender vi dens position, men nå vi kender dens position kan vi ikke kende dens retning, og derfor regner man med sandsynligheder, for at partiklen befinder sig et bestemt sted på et bestemt tidspunkt. Usikkerhedsprincippet fortæller dog intet om, hvorfor interferensmønsteret ødelægges, når der måles på en partikel. Ved de to entanglede kvantesystemer beskrevet i afsnittet herover, udelukker usikkerhedsprincippet at kende både xv og yv på samme tid, enten kan man måle den ene eller den anden, men man er nød til at tage en beslutning. Samtidig ved vi fra dobbeltspalteforsøget, at alene det at måle på et kvantesystem får det til at ændre egenskaber, så blot ved at måle enten xv eller yx ødelægger man den kvantetilstand, som atomet har. D. Kvanteteleportation De fleste kender science fiction film, hvor en eller flere personer beames til eksempelvis en anden planet. Et godt eksempel på dette kunne være den velkendte serie Star Trek, hvor hovedpersonen, Kaptajn Kirk, beames fra et rumskib til en planet. Forskerne er dog langt fra, hvad man ser i film. I 7 Sune Monrad 11
12 øjeblikket arbejdes med at teleportere information om en lasers kvantetilstand. Denne information lagres i atomer, og princippet er som følger. 1. Forsøget Et af de største problemer ved at teleportere er usikkerhedsprincippet. Usikkerhedsprincippet udelukker, at man kan kende både fase og amplitude for en lysstråle på samme tid. Dette udelukker, at man blot måler på en lysstråle, og derefter transportere denne information over til en anden lysstråle. En anden ting er, at man ved at foretage en måling på et kvantesystem ødelægger dette kvantesystem. Således er det heller ikke muligt at måle først amplitude og så fase. Disse ting kan omgås ved brug af entanglement. Det er lykkedes forskere at omgås disse forhindringer, således at det i dag er muligt at teleportere. Man har siden 1998 kunnet teleportere en lysstråle via en anden lysstråle. Den praktiske betydning af dette eksperiment er ikke så stor, da lys bevæger sig med høj hastighed af sig selv. En af de store landvindinger kom fra den samme forskergruppe ved QUANTOP, som dengang var en del af det Naturvidenskabelige Fakultet ved Århus Universitet, i I 2006 lykkedes det at teleportere information om lys til stof. Teleportationen blev gjort mulig ved at omgå usikkerhedsprincippet med entanglement. En lysstråle sendes ind gennem en beholder med atomer, på den måde entangles lysstrålen med atomerne, i henhold til eksemplet i ENTANGLEMENT. Der er dog en forskel, nemlig at atomerne kan have det der kaldes et kollektivt spin. Ved det kollektive spin, spinner atomerne på samme måde, og vektoren er i stedet en vektor for det kollektive spin. Lysstrålen, der ønskes teleporteret, har en svag puls, og sendes direkte ind i en såkaldt 50/50 beamsplitter. Den entanglede lysstråle sendes også ind i denne beamsplitter. Beamsplitteren er et halvgennemsigtigt spejl, som reflekterer halvdelen af lyset, og lader den anden halvdel passere igennem. Beamsplitteren kan ses på billedet til højre. A er det lys der ønskes teleporteret, mens B er det lys, som er entanglet med atomerne i Sune Monrad 12
13 beholderen. Forskerne kalder beholderen med atomer for Bob, mens det halvgennemsigtige spejl og de tilhørende sensorer, som ses på billedet, kaldes for Alice. Når lysstrålerne når til beamsplitteren, blandes de sammen til to nye lysstråler, hvor den grønne stråle er summen af faserne og amplituderne, mens den gule er givet ved differenserne af faserne og amplituderne, som det ses på tegningen. Nu sættes det ene måleapparat til at måle fasen på den ene nye lysstråle, mens det andet måleapparat måler amplituden for den anden nye lysstråle. Samlet ser den teoretiske opstilling altså således ud: Måleapparatet, ved den grønne lysstråle, sættes nu til at måle amplituden (Bx+Ax), mens måleapparatet, ved den gule stråle, sættes til at måle fasen (By-Ay). Via en klassisk kommunikationskanal (ikke kvante), sendes disse de målte oplysninger til Bob, som får besked om at skifte dens amplitude og fase, således at følgende ligninger fås: I det Xv = -Bx og Yv = By, fås følgende: I det atomernes spin er ændret til lystrålens koordinater, indeholder de nu information om den røde lysstråle, og således er informationen om den lysstrålens kvantetilstand teleporteret til atomerne. I det en måling, som bekendt, ødelægger kvantetilstanden, eksisterer den røde lysstråle ikke længere Sune Monrad 13
14 på det oprindelige sted, så her er ikke tale om en kopi, og ligeledes heller ikke tale om, at lysstrålen er blevet flyttet, da denne ikke har været i kontakt med atomerne. Lysstrålen er blevet kvanteteleporteret. 8 Vurdering E. Fremtidsperspektiver Denne nye viden om kvanteteleportation skal i første omgang ikke benyttes til at transportere mennesker, da teknologien slet ikke er nået så vidt. I stedet ses store anvendelsesmuligheder indenfor computerindustrien. 1. Kvantecomputer 9 For at opnå en større ydeevne er komponenterne i computerne blevet mindre og mindre gennem tiden. Inden længe vil dette medføre, at disse chips rammer en fysisk barriere. Denne barriere er kvantemekanikken. Når komponenterne bliver små nok, vil den klassiske fysiks love ikke længere gælde, og i stedet vil det være kvantemekanikkens love som usikkerhedsprincippet og superpositionsprincippet, som industrien vil støde ind i. En klassisk computer fungerer ved hjælp af binære tal, kombinationer af 0 er og 1 taller. En computer er opbygget af en masse kapacitorer, som hver kan være ladet (1) eller afladet (0). Desuden findes de såkaldte gates, som er NOT, COPY, OR og AND. Disse gates fungerer ved et eller to bits. En NOT-gate skifter en bit fra enten 0 til 1 eller fra 1 til 0. En COPI-gate kopierer en bit, så en bit med værdien 0 kopieres til en anden bit, således at der nu er to bits med værdien 0 og det samme med 1. Hvis en af to bits er 1 sætter OR-gaten en bit til at være 1. Kun hvis begge bits er 0, vil udgangen give 0. AND-gaten fungerer stik modsat, her skal begge værdier være 1, før udgangen giver 1. Disse gates består af transistorer, så det er antallet af transistorer, som bestemmer regnekraften for computeren Illustreret Videnskab nr Illustreret Videnskab nr Sune Monrad 14
15 En kvantecomputer opererer også med bits, det kunne være elektroner, hvis spin (op eller ned) afgør, om biten er 0 eller 1. Ved elektroner gælder superpositionsprincippet dog, hvilket medfører, at en elektron kan have et spin op og ned på samme tid, hvilket igen medfører, at en bit kan være 0 og 1 på samme tid. Dette betyder, at hvor en klassisk computer med en klassisk bit kun kan regne en proces ad gangen, kan en kvantecomputer regne to processor på en gang, med kun en bit. Bliver det muligt at teleportere kvanteinformationer fra atom til atom, vil en kvantecomputer kunne overfører information fra en elektron til en anden. En anden fordel ved at bruge teleportation inden for computerverdenen er, at forbindelsen ikke kan hackes, da man ikke kan måle på informationen, uden at ødelægge den. 2. Teleportation af større objekter Det store spørgsmål vil dog være, om man kan teleportere objekter som mennesker. Dette spørgsmål kan endnu ikke besvares, men lykkes det forskerne at teleportere information fra et atom til et andet via lys, vil drømmen om teleportation af mennesker forstærkes. Første skridt i den retning er som sagt, at kunne teleportere information fra et atom til et andet, derefter bliver det små objekter bestående af nogle enkelte atomer osv., indtil man en dag måske vil være i stand til at teleportere et helt menneske. Der er dog en lang række udfordringer og problematikker, inden dette bliver muligt. F. Udfordringer Dette kapitel relaterer sig til kapitlet FREMTIDSPERSPEKTIVER. Inden for kvanteteleportation er der, efter min overbevisning, en række ting, som vil blive svære at overvinde. Jeg tror ikke der kommer til at gå mange år, før forskerne får et gennembrud, hvad angår teleportation fra atom til atom. Hermed mener jeg ikke det er urealistisk, når forskerne snakker om kvantecomputere. En ting der er mere tvivlsom er dog teleportation, som vi kender det fra eksempelvis Star Trek. At teleportere et helt menneske, med alle dets mitokondrier, golgiapparater, blodceller, lever osv. virker det som en fuldstændig uoverskuelig opgave. Selv om mennesker består af atomer, så ved vi stadig ikke helt, hvordan et menneske fungerer. Dertil kommer de mere filosofiske spørgsmål, om man er det samme menneske, hvis man er samlet af andre atomer end dem man oprindelig var lavet af. Om sjælen er noget fysisk, som kan teleporteres, eller om vi bliver Sune Monrad 15
16 et andet menneske, ved at genopstå et nyt sted. Disse ting er svære at besvare, og skulle det en dag komme så vidt, at det bliver muligt at teleportere et menneske, så kommer de etiske overvejelser, som meget sandsynligt kunne sætte en kæp i hjulet for projektet. Om vi kan komme til fjerne galakser er heller ikke fastlagt, men som det er nu kræver det, at der er lagt en forbindelse, i form af en klassisk informationskanal, i forvejen, hvilket kræver, at nogen har benyttet sig af de gense transportmetoder. Konklusion Kvantemekanikken består i høj grad af uløste mysterier. Superpositionsprincippet er et af disse, og går ud på, at en partikel tilsyneladende kan befinde sig to steder på samme tid, eller i to parallelverdener på samme tid. Dobbeltspalteforsøget viser dette, men viser også, at en elektron har egenskaber både som stof og som bølge, da elektroner danner et interferensmønster på pladen bagved de to spalter. Sandsynligheden for at finde elektronen et bestemt sted kan regnes ud fra elektronens bølgefunktion, men princippet ligger uden for denne opgaves rammer. I stedet kan man kigge på måleresultaterne, som kan regnes ud fra sandsynlighedsregning, hvor der opstilles en tæthedsfunktion for måleresultaterne. Tilsyneladende giver dobbeltspalteforsøget en normalfordeling omkring en bakke bestående af et lokalt maksimum og to lokale minimumspunkter. Hvor μ er middelværdien og σ er en standardafvigelse også kaldet spredningen. Grunden til positionen skal findes med sandsynlighed er, at usikkerhedsprincippet siger, at retning og position ikke kan måles på samme tid. Viden om det ene udelukker viden om det andet. Dette ligger også som hindring for teleportation, men er af forskerne omgået ved brug af entanglement, som er en tilstand, hvor to kvantetilstande er forbundet med hinanden, uafhængig af tid og rum. I dag er det muligt at teleportere kvanteinformation fra lys til atomer. Bliver det muligt at teleportere information fra atom til atom via lys, så er vejen banet for kvantecomputere. En af kvantecomputerens store forcer er kvantebits, som pga. superpositionsprincippet både kan antage værdien 1 og 0, som en almindelig bit, men også 1 og 0 på samme tide, hvilket gør den i stand til at Sune Monrad 16
17 regne to processor ad gangen, i modsætning til en almindelig computer, som kun kan regne en proces ad gangen. Hvad angår kvanteteleportation af levende væsener, så anser jeg dette for utænkeligt, i hvert fald med den metode som benyttes til teleportation nu. Et menneske er meget komplekst og der ligger mange etiske overvejelser i vejen for, at vi skulle kunne teleportere mennesker, desuden skulle der etableres en klassisk informationskanal til det sted, hvor teleportationen skulle foretages til. Sune Monrad 17
18 Bibliografi Andersen, Ulrik Lund. DR2 - Danskernes Akademi. 2 marts (accessed december 9, 2010). Betts, Paul W.C Davies og David S. Quantum Mechanics Second edition. Brighton: Stanley Thornes (Publishers) Ltd, Hedegård, Per. Niels Bohrs institutet. 20. december (senest hentet eller vist den 6. december 2010). Lautrup, Benny. Niels Bohrs Insititet. 10 spetember (accessed december 9, 2010). Nielsen, Rolf Haugaard. teleportation fra lys til stof. Illustreret Videnskab, 2007: Vestergaard, Erik. Haderslev Katedralskole (accessed december 9, 2010). Viden Om, redaktionen på programmet - Ann Marker. DR2 - Viden Om. 7 november (accessed december 9, 2010). Young, Hugh D., and Roger A. Freedman. University Physics with modern physics tenth edition. Addision Wesley Longman, Inc., Zeilinger, Anton. Universer. april (accessed december 9, 2010). Sune Monrad 18
19 Bilag 1. bilag 1 Udsnit af rapport om bølger, samt dertilhørende kilder. Lys Lys består af fotoner, som udbreder sig i bølger. Udbredelsen sker i form af plane bølger, som det ses på denne tegning. For at forstå, hvorfor vi eksempelvis får regnbuer, er vi nødt til at kende mere til bølger og dets udbredelse, herunder det man kalder huygens princip Bølger Der er to typer bølger der er relevante, når vi snakker lys og optiske gitre. Vi snakker om plane bølger og ring bølger. Plane bølger ser ud, som det ses på billedet her til højre. Afstanden mellem to bølger (streger) har det græske symbol λ (lambda). Tiden det tager for bølgen at nå en bølgelængde kaldes T. Udsvinget maksimale størrelse kaldes amplitude, og er ½ forskel i højde mellem bølgetop og bølgedal. Til sidst har vi det der kaldes frekvens, og som er givet ved s -1 eller det samme som 1/s. Denne opgives i hertz (Hz). Vi ved at en hastighed er givet ved strækning/tids enhed, og udbredelseshastigheden er derfor givet ved Mange har nok prøvet at smide en sten i vandet, her ses det, at der fra stenen udbredes ringe. Det samme sker, hvis en bølge rammer en mole. På den anden side af molen, vil du se de samme ringe, som hvis du smider en sten i vandet. De bølger kaldes naturligt ring bølger. Princippet med molen kaldes Huygens princip. Princippet er illustreret på tegningen til højre. Når bølgen rammer molen (en ny indgang ved hver lilla prik), vil indgangen fungerer som bølgecentrum. Bølgen vil da forsætte i den angivne retning. Sune Monrad 19
20 Illustration 1:huygens princip Vinklen, der på billedet her ovenover er markeret med en blå bue, har det græske bogstav φ (phi). Vi kan nu ud fra trigonometri fastslå, at lambda kan udregnes. Vi tager udgangspunkt i billedet til højre. Vi ønsker at finde bølgelængden λ. Vi antager at vi kender vinklen θ (normalt kendt som φ) samt siden d (afstanden mellem to huller/riller). Vi ved at modstående katete (ofte angivet som siden A) kan findes ved at gange den hypotenusen med sin(a) (nu kaldet Φ). Vi ser da, at formlen bliver: Da bølgen rammer flere linier, vil vi også se flere projektioner eller det man kalder ordener. Vi kan da udvide formlen til at blive som følger n er hvilken orden man regner fra, og skal være et helt tal. Sune Monrad 20
21 Hvis vi går tilbage til lys kan vi tilføje, at lys består af alle regnbuens farver, og når de alle er sammen ses lyset som hvidt (i modsætning til at blande alle farver med maling, som bliver sort). Farverne har forskellig bølgelængde, hvor vi mennesker er i stand til at se bølgelængder mellem 0,4mirkometer 0,7mikrometer eller det samme som 400nanometer-700nanometer. Sætter vi en glødepære foran et optisk gitter vil vi se alle regnbuens farver på væggen. Dette sker fordi farverne har forskellig bølgelængde. Forskellig bølgelængde betyder også forskellig vinkel, hvilket vil sige, at farverne vil blive set forskellige steder på væggen. Som jeg tidligere har nævnt, så har vi med flere bølger at gøre. Ved flere bølger kan den opstå et fænomen kaldet interferens. Interferens kan være både konstruktiv og destruktiv. Den konstruktive interferens forstærker bølgen dvs., at to bølger krydser hinanden og krydser igen hinanden lidt senere etc.. Den kan tegnes en linie gennem disse interferenspunkter, og dette forstærker så lyset (eller hvad det måtte være), således vil der med en laser blive punkter på væggen, hvor lyset er koncentreret. Med destruktiv interferens menes, at Bølgerne mødes således, at de svækker hinanden. Kilder web.tag-gym.dk/filosofi/rosborg%20verdensbilleder/spektre.ppt gqp5vu3wrk1zvcz9dp- IkfhSepw=&h=716&w=631&sz=88&hl=da&start=1&um=1&tbnid=kHDUbelKc4ff0M:&tbnh=140&tbnw=123& prev=/images%3fq%3dplan%2bb%25c3%25b8lge%26hl%3dda%26client%3dfirefoxa%26rls%3dcom.ubuntu:da-dk:official%26hs%3dxlz%26sa%3dg%26um%3d1 Sune Monrad 21
Kvanteinformation, kvantekryptografi
The Niels Bohr Institute Kvanteinformation, kvantekryptografi og kvantecomputere Anders S. Sørensen, Niels Bohr Institutet DFF Natur og Univers Kvantemekanik er svært Det kan da! ikke passe Jo det kan!
Læs mereJuly 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook
Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereKvanteteleportering og kvanteinformation. Anders S. Sørensen Quantop, center for kvanteopik Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet
Kvanteteleportering og kvanteinformation Anders S. Sørensen Quantop, center for kvanteopik Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Teleportering Flyt kaptajn Kirk ved at sende information om ham
Læs mereKvantefysik. Objektivitetens sammenbrud efter 1900
Kvantefysik Objektivitetens sammenbrud efter 1900 Indhold 1. Formål med foredraget 2. Den klassiske fysik og determinismen 3. Hvad er lys? 4. Resultater fra atomfysikken 5. Kvantefysikken og dens konsekvenser
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereDobbeltspalte-eksperimentet. Lad os først se lidt nærmere på elektroner, som skydes imod en skærm med en smal spalte:
Dobbeltspalte-eksperimentet Nogle af kvantemekanikkens særheder kan illustreres med det såkaldte dobbeltspalte-eksperiment, som er omtalt side 73 i Atomernes vilde verden. Rent historisk fandt man elektronen
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereForståelse af dobbeltspalteforsøget
Forståelse af dobbeltspalteforsøget Det originale dobbeltspalteforsøg, Thomas Young (1773-1829). Tilbage i 1803 konstruerede den engelske fysiker Thomas Young for første gang dobbeltspalteforsøget, for
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereNiels Bohr Institutet. Kvanteinternettet. Anders S. Sørensen Hy-Q Center for Hybrid Quantum Networks Niels Bohr Institutet Københavns Universitet
Niels Bohr Institutet Kvanteinternettet Anders S. Sørensen Hy-Q Center for Hybrid Quantum Networks Niels Bohr Institutet Københavns Universitet Temadag 16/11 2018 Kvantecomputere Hvis man laver computere
Læs mere1. Vibrationer og bølger
V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte
Læs mereDiodespektra og bestemmelse af Plancks konstant
Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Fysik 5 - kvantemekanik 1 Joachim Mortensen, Rune Helligsø Gjermundbo, Jeanette Frieda Jensen, Edin Ikanović 12. oktober 28 1 Indledning Formålet med denne
Læs mereBrydningsindeks af vand
Brydningsindeks af vand Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 15. marts 2012 Indhold 1 Indledning 2 2 Formål
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereGymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)
Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion
Læs mereysikrapport: Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08
ysikrapport: Gay-Lussacs lov Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08 J eg har længe gået med den idé, at der godt kunne være
Læs mereStandardmodellen og moderne fysik
Standardmodellen og moderne fysik Christian Christensen Niels Bohr instituttet Stof og vekselvirkninger Standardmodellen Higgs LHC ATLAS Kvark-gluon plasma ALICE Dias 1 Hvad beskriver standardmodellen?
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereTredje kapitel i serien om, hvad man kan få ud af sin håndflash, hvis bare man bruger fantasien
Tredje kapitel i serien om, hvad man kan få ud af sin håndflash, hvis bare man bruger fantasien For nogen tid siden efterlyste jeg i et forum et nyt ord for håndflash, da det nok ikke er det mest logiske
Læs mereKlasse Situation Observation 3. klasse Før spillet. Der bliver spurgt ind til hvad børnene
Bilag 1 - Feltobservationer I dette bilag findes Feltobservationer, noteret under folkeskoleelevernes spilforløb. Disse feltobservationer er fremstillet i en skematisk opstilling, hvis første kolonne tydeliggør
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereØvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant
Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål
Læs mere6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning
49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for
Læs mereTransienter og RC-kredsløb
Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske
Læs mereKapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.
Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereFYSIK C. Videooversigt. Intro video... 2 Bølger... 2 Den nære astronomi... 3 Energi... 3 Kosmologi... 4. 43 videoer.
FYSIK C Videooversigt Intro video... 2 Bølger... 2 Den nære astronomi... 3 Energi... 3 Kosmologi... 4 43 videoer. Intro video 1. Fysik C - intro (00:09:20) - By: Jesper Nymann Madsen Denne video er en
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereDopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard
Dopplereffekt Rødforskydning Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard 2012 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Dopplereffekt Fænomenet Dopplereffekt, som vi skal
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereLaboratorieøvelse Kvantefysik
Formålet med øvelsen er at studere nogle aspekter af kvantefysik. Øvelse A: Heisenbergs ubestemthedsrelationer En af Heisenbergs ubestemthedsrelationer handler om sted og impuls, nemlig at (1) Der gælder
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereEt oplæg til dokumentation og evaluering
Et oplæg til dokumentation og evaluering Grundlæggende teori Side 1 af 11 Teoretisk grundlag for metode og dokumentation: )...3 Indsamling af data:...4 Forskellige måder at angribe undersøgelsen på:...6
Læs mereKvantecomputing. Maj, Klaus Mølmer
Kvantecomputing Maj, 2009 Klaus Mølmer Virkelighed Drøm: Intel Pentium Dual Core T4200-processor, 2,0 GHz, 3072 MB SDRAM. (250 GB harddisk) 5.060 kr Kvantecomputer Ukendt processor 1 khz er fint, 100 Hz
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs merePraktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereOverordnet set kan man inddele matematikholdige tekster i to kategorier tekster i matematiksammenhænge og tekster i andre sammenhænge.
I Fælles Mål 2009 er faglig læsning en del af CKF et matematiske arbejdsmåder. Faglig læsning inddrages gennem elevernes arbejde med hele Kolorit 8, men i dette kapitel sætter vi et særligt fokus på denne
Læs mereSSOG Scandinavian School of Gemology
SSOG Scandinavian School of Gemology Lektion 12: Syntetisk smaragd Indledning Det er min forventning, med den viden du allerede har opnået, at du nu kan kigge på dette 20x billede til venstre af en syntetisk
Læs mereSANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155
SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,
Læs mereFysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereJeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.
Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt
Læs mereEksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
Læs mereKvantemekanik. Atomernes vilde verden. Klaus Mølmer. unı vers
Kvantemekanik Atomernes vilde verden Klaus Mølmer unı vers Kvantemekanik Atomernes vilde verden Kvantemekanik Atomernes vilde verden Af Klaus Mølmer unı vers Kvantemekanik Atomernes vilde verden Univers
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereOptisk gitter og emissionsspektret
Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................
Læs mereØvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet
29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende
Læs mereOpgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra
Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af
Læs mereNaturvidenskabelig metode
Naturvidenskabelig metode Introduktion til naturvidenskab Naturvidenskab er en betegnelse for de videnskaber der studerer naturen gennem observationer. Blandt sådanne videnskaber kan nævnes astronomi,
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereDKK Rally-lydighed, Øvede-klassen. 40. Fristende 8-tal
DKK Rally-lydighed, Øvede-klassen. 40. Fristende 8-tal Øvelsen består af 2 madskåle eller lignende fristelser samt 2 kegler, stolper eller personer og der skal gås et 8-tal rundt om de to yderste kegler.
Læs mereflyt fødderne og løb let!
Dansk Håndbold Forbund s Håndboldskoler for børn og unge 2002 flyt fødderne og løb let! - koordinations- og bevægelsestræning - DET TEKNISKE SATSNINGSOMRÅDE 2002: Koordinations- og bevægelsestræning Som
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereØvelser i Begynderklassen.
Øvelser i Begynderklassen. 1 Her starter banen! Tidtagningen begynder, når dommeren kommanderer "Fremad". 2 Banen er slut - Tidtagningen stoppes 3* Højre sving. 90 skarp drejning til højre. Som ved normal
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLYS I FOTONISKE KRYSTALLER 2006/1 29
LYS I FOTONISKE KRYSTALLER OG OPTISKE NANOBOKSE Af Peter Lodahl Hvordan opstår lys? Dette fundamentale spørgsmål har beskæftiget fysikere gennem generationer. Med udviklingen af kvantemekanikken i begyndelsen
Læs mereFysikforløb nr. 6. Atomfysik
Fysikforløb nr. 6. Atomfysik I uge 8 begynder vi på atomfysik. Derfor får du dette kompendie, så du i god tid, kan begynde, at forberede dig på emnet. Ideen med dette kompendie er også, at du her får en
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereAT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5
AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med
Læs mereElektronikken bag medicinsk måleudstyr
Elektronikken bag medicinsk måleudstyr Måling af svage elektriske signaler Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 2 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling...
Læs mereIntroduktion. Din mulighed nu er at ændre hele verden
Introduktion Dét du søger at opnå, ved at læse denne bog, er en tilstand af indre ro og stilhed. Din rejse er en rejse i selvopdagelse og selvforståelse. Imidlertid må du erkende, at dette ikke er noget,
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereKvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde
Kvadrant instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadranterne i instrumentpakken fra geomat.dk er kopier af et instrument lavet af Georg Hartman i 1547. Originalen
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs merePrøver evaluering undervisning
Prøver evaluering undervisning Fysik/kemi Maj juni 2011 Ved fagkonsulent Anette Gjervig Kvalitets- og Tilsynsstyrelsen Ministeriet for Børn og Undervisning 1 Indhold Indledning... 3 De formelle krav til
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereFormålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.
Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre
Læs mereMateriale fra U-8 Inspirationskurset i Hobro d. 6.-7. september 2013 Udviklingskonsulent Anna Heide, JHF Kreds 4
Motorisk træning Materiale fra U-8 Inspirationskurset i Hobro d. 6.-7. september 2013 Udviklingskonsulent Anna Heide, JHF Kreds 4 Hermed inspiration til motorisk træning og forskellige rammer, man kan
Læs mereTransskription af interview med Chris (hospitalsklovn) den 12. november 2013
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Bilag E Transskription af interview med Chris (hospitalsklovn) den 12. november
Læs mereBohr vs. Einstein: Fortolkning af kvantemekanikken
Bohr vs. Einstein: Fortolkning af kvantemekanikken Af Christian Kraglund Andersen og Andrew C.J. Wade, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet Siden 1913, da Bohr fremlagde sin kvantemekaniske
Læs mere