Integration ved substitution og delvis (partiel) integration

Transkript

1 DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er en funktion, der er defineret og kontinuert på et intervl I og hvis F er en stmfunktion til ƒ på dette intervl, så gælder der for ehvert og i I, t ƒ() = F() F(). () Vi emærker, t funktionen ƒ skl være kontinuert. Dette sikrer. t funktionen ƒ kn integreres,. t funktionen ƒ hr en stmfunktion F, d.v.s. en funktion med den egensk, t F () = ƒ() for ethvert I. Nogle øger ruger () som definition f det estemte integrl f funktionen ƒ på intervllet [, ]. Nøglen til sustitution i integrler er reglen om smmenst differentition (kædereglen) for funktioner f en vriel: Hvis g er en funtion, der er differentiel i et intervl med kontinuert differentilkvotient g og hvis ƒ er en funktion, der er defineret og differentiel med kontinuert differentilkvotient ƒ i et intervl, der indeholder værdimængden for g som delmængde, så gælder der, t d ƒ(g()) = ƒ (g())g (). På integrlform kommer denne identitet til t se således ud: ƒ (g())g () = ƒ(g()) + C. () Den følgende formlisme gør denne sidste formel let t huske: Sæt u = g(). Så er du = g (), hvorfor identiteten () får udseendet Sustitution i et uestemt integrl ƒ (g())g () = ƒ (u) du = ƒ (u) du = ƒ(u) + C = ƒ(g()) + C. (3) Bemærk, t konstnten C skl med, så snrt der ikke optræder noget integrl på højre side. Ld os se på et pr eksempler.

2 MATEMATIK INTEGRATION Eksempel : Eksempler på sustitution Bestem en stmfunktion til: () + () sin(3 ln ). () Sætter vi u = g() = +, er g () = og vi får + = () Sætter vi u = g() = 3 ln er g () = 3 sin(3 ln ) du u = ln u + C = ln( + ) + C. og vi får = 3 sin u du = 3 cos u + C = cos(3 ln ) + C. 3 Bemærk: D der kun vr spurgt om én stmfunktion, kunne vi i dette eksempel hve udeldt konstnten (konstnterne) C. Bemærk endvidere, t funtionen i () er defineret for lle reelle værdier f, mens funktionen i () kun er defineret for positive reelle værdier f. Somme tider skl der lidt omskrivning til før mn kn nvende identiteten (3): Eksempel : Bestem en stmfunktion til () cos 3 () cos. () Omskrivningen cos 3 = (cos ) cos = ( sin ) cos gør, t vi nu kn sætte u = g() = sin, hvorefter vi får g () = cos. Vi får derefter fr (3): cos 3 = ( sin ) cos = ( u ) du = u 3 u3 + C = sin 3 sin3 + C. () Vi foretger omskrivningen og finder så cos = cos cos = cos sin = cos ( + sin ) + cos ( sin ) cos = cos ( + sin ) + cos = ( sin ) ( ln + sin ln sin ) + C. Sædvnligvis omskriver mn dette sidste udtryk for stmfunktionen til f. eks. cos = ln eller til + sin +C = sin ln ( + sin ) ( + sin ) sin +C = ln + sin +C = cos cos ln +C, sec = ln sec + tn + C,

3 MATEMATIK INTEGRATION 3 hvis mn enytter den meriknske etegnelse sec for. cos Bemærk, t i () skl ligge i et intervl, hvor cos. Den følgende regel er en f dem, der nvendes, såfremt mn skl sustituere i et estemt integrl (den nden er Regel ). Regel Direkte sustitution i et estemt integrl Hvis funktionen g er differentiel på intervllet [, ] med en differentilkvotient g, som er kontinuert på [, ] og hvis funktionen ƒ er kontinuert på et intervl [α, β], der indeholder værdimængden Vm(g) for g som delmængde, så gælder der, t ƒ(g())g () = g() g() ƒ(u) du. (4) Kommentr : Når reglen kldes direkte sustitution skyldes det, t mn sætter u = g() og dermed reduceres integrlet på venstre side f lighedstegnet i (4) til integrlet på højre side i (4) (der så forhåentlig er lettere t regne ud end det oprindelige integrl). Det vil som regel fremgå f venstre side i (4), hvd g skl være - hvis det d er Regel mn skl enytte. Bevis: Lder vi F være en stmfunktion til ƒ på intervllet [α, β] og sætter vi H() = F(g()) for ethvert i intervllet [, ], så er H en differentiel funktion på [, ] og der gælder H () = F (g())g () = ƒ(g())g () for ethvert [, ]. Herf følger nu, t ƒ(g())g () = H () = H() H() = F(g()) F(g()) = [F(u)] g() g() = g() g() hvormed Regel er vist. Ld os se på et pr eksempler. Eksempel 3: Eksempler på direkte sustitution Bestem værdien f integrlerne (jvf. Eksempel ): () + () t sin(3 ln ) () Sætter vi u = g() = +, er g () =, g() = og g() =. Vi får derfor + = () Sætter vi u = g() = 3 ln er g () = 3 t sin(3 ln ) = 3 3 ln t du u = u ln = ln = ln( ). ƒ(u) du, og g() =, mens g(t) = 3 ln t. Vi får derfor = ( cos(3 ln t)). 3 sin u du = 3 cos u 3 ln t På smme måde som det vr tilfældet med sustitution i et uestemt integrl, skl der somme tider lidt omskrivning til før mn kn nvende Regel. Her er en nden regel som er fledt f identiteten (3):

4 MATEMATIK INTEGRATION 4 Regel Omvendt sustitution i et estemt integrl Hvis funktionen g er differentiel og monoton ) på intervllet [α, β] med en differentilkvotient g, som er kontinuert på [α, β] og hvis funktionen ƒ er kontinuert på intervllet [, ], der er indeholdt i værdimængden Vm(g) for g, så gælder der, t ƒ() = g () g () ƒ(g(u))g (u) du. (5) Kommentr : Når reglen kldes omvendt sustitution skyldes det, t mn sætter = g(u) og dermed reduceres integrlet på venstre side f lighedstegnet i (5) til integrlet på højre side i (5) (der så forhåentlig er lettere t regne ud end det oprindelige integrl). Mn skl ltså i modsætning til i Regel selv finde sustitutionen og i den forindelse gælder det tit om t være idé-rig. Beviset er nlogt til eviset for Regel. Eksempel 4: Eksempel på omvendt sustitution Bestem værdien f integrlet 4. Sætter vi 4 uden for kvdrtrodstegnet, kn integrlet skrives og nu kn vi sætte = sin u eller = sin u. For [, ] hr vi d, t u = rcsin, så [, ] svrer til, t u [, ]. Bemærk, t funktionen = sin u er monoton (i dette tilfælde voksende) på intervllet [, ], hvd den skl være for t nvende Regel. Vi får så 4 = 4 sin u cos u du = 4 cos u sin u u du = = 4 4 =. I forindelse med udførelsen f den sidste integrtion hr vi gjort rug f den første f de to vigtige formler cos + cos u u = sin cos u u =. Ld os derefter gå over til den sidste regel reglen om delvis integrtion. ) D.v.s. enten voksende eller ftgende i hele intervllet [α, β], hvilket sikrer, t g hr en omvendt funktion g, der er defineret i Vm(g) et intervl!

5 MATEMATIK INTEGRATION 5 Hvis funktionerne ƒ og g er kontinuerte på et intervl og hvis F og G er stmfunktioner til henholdsvis ƒ og g, så gælder der med H = FG, t H () = (F()G()) = F ()G() + F()G () = ƒ()g() + F()g(), eller på intergrlform (efter en lille omskrivning) ƒ()g() = F()G() F()g(). (6) Bemærk, t der i formel (6) ikke optræder nogen konstnt C. Dette skyldes, t der stdig optræder et integrl på højre side i formlen, hvori konstnten C er indygget. Når dette integrl forsvinder, skl konstnten C med. Regel 3 Delvis eller prtiel integrtion i et estemt integrl Hvis funktionerne ƒ og g er kontinuerte på intervllet [, ] og hvis F og G er stmfunktioner til henholdsvis ƒ og g, så gælder der, t ƒ()g() = F()G() F()g(). (7) Bevis: Differentierer vi funktionen H = FG, får vi for ethvert [, ], t H () = F ()G() + F()G () = ƒ()g() + F()g(), hvorefter vi ved integrtion får H () = H() = F()G() = Nu er det lot t flytte lidt rundt på dette udtryk for t få (7). ƒ()g() + F()g(). Kommentr 3: Når Regel 3 hedder delvis eller prtiel integrtion, så skyldes det, t mn i første omgng kun får integreret en del f integrlet på venstre side i (7), således t mn ltså skl udføre (mindst) én integrtion mere. Hvd ngår eksempler på delvis integrtion såvel i forindelse med uestemte integrler som estemte integrler henvises til eksemplerne i Edwrds & Penney: Clculus with Anlytic Geometry, 5th ed., fsnit 9.3 (siderne 57 55). Hvd ngår yderligere eksempler i forindelse med sustitution i integrler henvises til Edwrds & Penney: Clculus with Anlytic Geometry, 5th ed., fsnit 5.7 (siderne 34 33) og fsnit 9.6 (siderne ). Den. septemer / NWP