Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Transkript

1 MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

2 FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER OG TRIGONOMETRI GEOMETRI & MÅLING Geometriske egenskaber og sammenhænge: o Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter. Eleven har viden om den pythagoræiske læresætning og trigonometri knyttet til retvinklede trekanter. o Eleven kan bestemme afstande med beregning. Eleven har viden om metoder til afstandsbestemmelse. o Eleven kan vurdere usikkerhed i enkle målinger og beregninger af mål i omverdenen Eleven har viden om anvendelse af målinger i omverdenen herunder med digitale værktøjer o Eleven kan vurdere skitser og præcise tegninger Eleven har viden om skitsers og præcise tegningers anvendelser i omverdenen - 2 -

3 LÆRINGSMÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER OG TRIGONOMETRI (PET): 1. Kunne vurdere fordele og ulemper i forhold til anvendelse af skitser 2. Have forståelse for hvad det vil sige at 2 trekanter er ligedannede kontra at de er kongruente 3. Kunne beregne ukendte sider i en retvinklet trekant vha. Pythagoras 4. Har viden om trigonometri 5. Kunne beregne ukendte sider og vinkler i en retvinklet trekant vha. trigonometri 6. Kunne beregne ukendte sider i en vilkårlig trekant vha. ligedannede trekanter 7. Kunne beregne højden af en høj genstand man ikke umiddelbart kan måle vha. viden om ligedannede trekanter 8. Kunne beregne højden af en høj genstand man ikke umiddelbart kan måle vha. den pythagoræiske læresætning 9. Kunne beregne højden af en høj genstand man ikke umiddelbart kan måle vha. trigonometri 10. Forstå at målinger i virkeligheden ikke altid giver helt præcise svar - 3 -

4 EKSPERIMENTOPGAVE 1 1) Ud fra et stykke A4 papir skal du klippe: a) Et kvadrat med sidelængden 3 cm b) Et kvadrat med sidelængden 4 cm c) Et kvadrat med sidelængden 5 cm 2) Du skal ud af kvadraterne danne en trekant. 3) Lim trekanten og de tre kvadrater på et stykke papir. (Eller tegn vha. lineal.) EKSPERIMENTOPGAVE 2 1) Åben GeoGebra 2) Lav opsætningen, hvor du har gitterlinjer men intet koordinatsystem. (I vis-menuen) 3) Tegn figurerne fra eksperimentopgave 1. Hjælp til tegning: a) Brug polygon-værktøjet til tegning af trekanten (sider på 3, 4 og 5) b) Brug regulær polygon-værktøj til kvadraterne 4) Brug GeoGebra til at udregne arealerne af kvadraterne. a) Hvordan hænger arealerne sammen? 5) Eksperimenter med at lave forskellige størrelser retvinklede trekanter. a) Passer din iagttagelse med arealerne? 6) Pythagoras sætning hedder a 2 + b 2 = c 2, a) Kan du forklare hans sætning vha. figurerne? 7) Undersøg om sætningen også gælder for de trekanter, der ikke er retvinklede? a) Gør den det? Kan du forklare hvorfor/hvorfor ikke? EKSPERIMENTOPGAVE 3 Tjek dette link ud 1) Hvad viser eksperimentet? - 4 -

5 P Y T H A G O R A S O G D E R E T V I N K L E D E T R E K A N T E R Pythagoras var en græsk matematiker, der fandt ud af, at man i retvinklede trekanter altid kan finde den sidste side, hvis man allerede kender de to andre. Han lavede formlen: a 2 + b 2 = c 2 Den formel har du arbejdet med i eksperimentopgave 1, 2 og 3 Det du har vist er at arealet i de to små kvadrater er det samme som er i det store kvadrat. a 2 + b 2 = c 2 Areallille kvadrat+areallille kvadrat = Arealstore kvadrat Men man behøves ikke lave kvadrater hver gang man har en retvinklet trekant. Det var bare Pythagoras metode i dag bruger vi bare hans formel. a 2 + b 2 = c 2 Navngivning af sider De to korteste sider i en retvinklet trekant kaldes KATETER Når man navngiver siderne i en retvinklet trekant, vil kateterne normalt have bogstaverne a og b. Den længste side i en retvinklet trekant kaldes HYPOTENUSEN Når man navngiver siderne i en retvinklet trekant, vil hypotenusen normalt have bogstavet c

6 EKSEMPEL Mads har fået en opgave. Han skal finde ud af, hvor lang en diagonal der er på en håndboldbane. Mads må ikke måle diagonalen, men må gerne måle siderne af banen. Mads tegner først diagonalen og kan straks se, at man på banen kan tegne en retvinklet trekant. Derfor bruger Mads Pythagoras sætning. Han måler den længste side af banen til 40 meter og den korte til 20 meter = c = c 2 Mads tager herefter kvadratroden på begge sider af lighedstegnet: 2000 = c 2 c = 44,72136 Beregnet ved hjælp af Wordmat: = c 2 Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMat. c = 44,72136 c = 44,72136 Mads svar er, at banens diagonal er 44,72 meter. Eksempel på beregning af en af kateterne: Vi ved at og b=5 og c=10 og så skal vi finde længden af a a = 10 2 Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat. a = 8, a = 8, eller , Side a er 8,66 lang

7 Opgave 1 Udfyld skemaet herunder, hvis a, b og c er siderne i en retvinklet trekant. Side a Side b Side c ,7 7,2 19,1 23, Opgave 2a På en skibakke har man målt, at man kører 1245 meter, når man kører ned af pisten. Målt på et (fladt) kort er ruten 1200 m. 1) Hvor høj er bakken? Opgave 2b En retvinklet trekant har et areal på 156 cm 2. Den ene katete er 13 cm. 1) Hvor lang er hypotenusen? Opgave 3a 1) Hvor langt er der mellem de to punkter a og b? - 7 -

8 Opgave 3b 1) Find længden af den linje, som går fra hjørne til hjørne gennem centrum af en terning, hvor alle sider er 12 mm. Den omvendte Pythagoras Pythagoras-sætning kan bruges til at tjekke, om en trekant er retvinklet. Det kræver, at man kender alle sidelængder. Hvis sidelængderne i en trekant passer med; a 2 + b 2 = c 2, så ved vi at trekanten er retvinklet. Herunder ses en skitse af 1 retvinklede trekanter Opgave 4 Hvilke af disse trekanter er retvinklede trekanter? a. Sidelængder på: 9 cm, 12 cm og 15 cm b. Sidelængder på: 5 cm, 12 cm og 13 cm c. Sidelængder på: 9 cm, 10 cm og 13,6 cm d. Sidelængder på: 7,5 cm, 10 cm og 12,5 cm - 8 -

9 Opgave 5: Hvilke trekanter er retvinklede Alle trekanter er skitser Begrund: Hvilke trekanter der er retvinklede og hvilke der ikke er. A: Er/Er ikke retvinklet fordi B: C: D: E: F: G: H: I: - 9 -

10 Opgave 6a 1) Hvad er længden af diagonalen i kvadratet? Opgave 6b 1) Beregn diagonalen m i ottekanten, der består af et kvadrat, 4 ens rektangler og 4 ens trekanter. Opgave 7: Forklar 1) Med dine egne ord skal du forklare hvad Pythagoras læresætning kan bruges til: Forklar:

11 EKSTRAOPGAVER PYTHAGORAS Opgave 8 1) Hvor lang er krykken når den lige præcis kan være på hylden? Opgave 9 I en pyramide, hvor der er et kvadrat som grundflade (figur a), har siderne en sidelængde (ved bunden) på 10 m. Fra et hjørne i bunden af pyramiden til toppen er der 13 m. a) Find længden af højden i midten af pyramiden (den røde linje) b) Find længden af højden i midten af pyramiden, hvis grundfladen er en ligesidet trekant (figur b). Hint: Hvor skærer vinkelhalveringslinjerne hinanden i en ligesidet trekant? Det er nemt at tegne sig frem til en løsning, men kan du finde højden uden at bruge GeoGebra? Figur a: Figur b:

12 E N S V I N K L E D E T R E K A N T E R Når to trekanter har samme vinkler kalder man dem for ensvinklede eller ligedannede. Opgave 10 Undersøg følgende punkter 1) Begrund hvorfor de 2 trekanter i linket er ensvinklede. 2) Undersøg sammenhængen mellem linjestykke AB og linjestykke AC i forhold til linjestykke BE og linjestykke CD 3) Hvilke længder kan AC have, hvis linjestykket CD skal være 10 og IABI skal være 2 lang? (Tryk på tegningen eller linket)

13 Opsamling - læses Undersøgelsen af sammenhængen mellem linjestykker skulle gerne føre til at man fandt en sammenhæng mellem forholdet mellem siderne. AC AB = 6 2 = 3 CD BE = 3 1 = 3 AD AE = 6,71 2,24 = 2,996 3 Dvs. forholdet mellem ensliggende sider er 3 Dvs. at jeg her kan finde siden ED, da den røde og den blå trekant er ensvinklede Først finder jeg forholdet mellem siden AC og AD AD AC = 8 2 = 4 Nu kan jeg så finde ED ved at tage BC og gange med 4 BC 4 = 1 4 = 4 Dvs. ledl er 4 høj

14 Opgave 11: Find højden af flagstangen 1) Hvor langt er der fra sigtepunktet A til flagstangens fod C? 2) Hvor mange gange større er AC end afstanden mellem sigtepunktet og meterstokken? 3) Hvor høj er flagstangen? 4) Hvor lang er sigtelinjen mellem A og B?

15 a) Opgave 12a: Find alle de manglende sidelængder AC = 2 og AD = 6 b) c)

16 a) Opgave 12b: Find alle de manglende sidelængder Hvornår ville det være aktuelt at bruge viden om ensvinklede trekanter? Find forholdet: Find de manglende sider: b) Find forholdet: Find de manglende sider: CB, DF og AC Hint Pythagoras

17 Opgave 13 Nedenfor er 10 trekanter, som I skal parre 2 og 2. I skal angive: hvilke trekant-par der både er kongruente og ensvinklede hvilke trekant-par der kun er ensvinklede hvilke trekanter der hverken er ensvinklede eller kongruente Husk at bruge jeres kompetencer til at begrunde, hvorfor I har sat dem sammen (husk beregninger). Evt. kan I bruge hjælpearket: -

18 Find someone who om pythagoras og ensvinklede trekanter Beskrivelse: Eleverne får hver et ark med spørgsmålene nedenfor. Eleverne skal gå rundt imellem hinanden i klassen og stille spørgsmålene til hinanden. Når man ikke spørger en kammerat eller bliver spurgt rækker man en arm i vejret for at signalere, at man er fri. Når man møder en kammerat, starter den ene med at stille et af spørgsmålene, hvis kammeraten kan svare skriver kammeraten under (de skal ikke tages i rækkefølge), hvis ikke kammeraten kan svare, stiller vedkommende et spørgsmål fra sit ark og der skrives igen under hvis der kan svares og derefter går man videre til en ny makker. Så vidt muligt må man kun have den samme underskrift en gang på sin seddel

19 Find en som kan Spørgsmål 1 Forklare hvilke trekanter den pythagoræiske læresætning kan bruges på 2 Sige hvordan den pythagoræiske læresætning lyder Svar 3 Forklare hvordan man navngiver siderne i en retvinklet trekant 4 Sige hvad siden over for den rette vinkel hedder (a, b eller c) 5 Forklare hvad det vil sige at to trekanter er kongruente 6 Forklare hvad ligedannede trekanter er 7 Forklare hvad en retvinklet trekant er 8 Forklare hvad det vil sige at forholdet mellem siderne er konstant 9 Sige hvilke af de nedenstående trekanter der er ligedannede

20 H J Æ L P E A R K T I L T R I G O N O M E T R I FORMLER FOR RETVINKLEDE TREKANTER Husk: Vinkler angives med store bogstaver (A, B og C) Sider angives med små bogstaver (a, b og c) Vinkel C er altid 90 1 b B = Sin c 1 a B = Cos c 1 b B = Tan a o o B = 180 ( A + 90 ) 1 a A = Sin c 1 b A = Cos c 1 a A = Tan b o 0 A = 180 ( B + 90 ) Kender du ikke vinklen, men 2 sider kan man finde vinklens størrelse ved at bruge fx sin -1 (x) fx sin(x)=0,71 så er x=sin -1 (0,71) =45,235 grader. I WordMat skriver du sin ^-1 og så trykker du mellemrum så der står sin 1 skriv i kassen tallet i (). Det kan være svært at skrive, men du kan udpege det via væktøjslinjen

21 FORMLER FOR RETVINKLEDE TREKANTER cos(vinkel) = sin(vinkel) = tan(vinkel) = hosliggende katete hypotenusen modstående katete hypotenusen modstående katete hosliggende katete Eksempel: Her kender vi vinkel A og den hosliggende katete, dermed kan vi finde værdien af hypotenusen cos(36,87) = 4 c Ligningen løses for c vha. CAS-værktøjet WordMatMac. c = 5, Eller vi kan finde værdien af den modstående katete (a) tan(36,87) = a 4 Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMatMac. a = 3,

22 Opgave 14 Skriv de manglede oplysninger beregn kun med trigonometriske formler Husk at skrive udregninger Opgave A 2) Hvor lang er a? 3) Hvor lang er c? 4) Hvad er vinkel B Opgave B 1) Hvor lang er a? 2) Hvor lang er b? 3) Hvad er vinkel B? Opgave C 1) Hvor lang er c? 2) Hvor lang er b? 3) Hvad er vinkel B?

23 Opgave D 1) Hvor lang er a? 2) Hvor lang er b? 3) Hvad er vinkel A? Opgave E 1) Hvor lang er c? 2) Hvad er vinkel A? 3) Hvad er vinkel B?

24 Opgave 15a: Find højden på flagstangen Vinkel A er 30 1) Hvor lang er sigtelinjen til flagstangen? AB 2) Hvad er højden på flagstangen? Opgave 15b Et skib ligger ude på havet 190 meter fra kysten. Udkigsposten aflæser vinklen til 76 grader. 1) Hvor højt ligger udkigsposten over vandoverfladen?

25 Opgave 16a En jæger sidder i et jagttårn 4,75 meter over jorden. Han sigter mod vildtet med sin vinkelmåler og aflæser det til 80 grader. 1) Hvor langt skal han skyde? Opgave 16b Et dådyr står 40 meter fra et højt tårn skydelængden er 49 meter. 1) Hvor højt oppe sigter jægeren fra og hvilken vinkel skal geværet være i? Opgave 17a Ved Bjergsnæs Efterskole er der en bakke (BS-bakken). Jeg kan på min cykelcomputer måle at bakken er 380 meter lang (skrå). Ved starten af bakken, kan jeg med mit vinkelmåler måle vinklen til 7 grader. 1) Tegn bakken i GeoGebra. 2) Hvad er højden på bakken? Regn efter vha. trigonometri. 3) Hvor meget stiger bakken i procent? Hjælp 1 2 = 50%

26 Opgave 17b Ved Bjergsnæs Efterskole er der en bakke (BS-bakken). Jeg kan på min cykelcomputer måle at bakken er 380 meter lang. Ved starten af bakken, kan jeg med mit klinometer måle vinklen til 7 grader. 1) Tegn bakken i GeoGebra. 2) Hvad er højden på bakken? Regn efter vha. trigonometri. 3) Hvor meget stiger bakken i procent? 1 2 = 50% 4) Kan du lave en formel hvor man blot sætter hældningen ind i grader og man så får stigningen i procent? (brug din viden om cosinus og sinus)

27 Ekstraopgaver Opgave 18 En regulær 7 kant har kordelængden 1 m. 1) Hvor mange grader er der i en cirkel? 2) Hvor stor er centervinklen i alle 7 trekanter? 3) Hvordan finder man centrum for cirklen? 4) Beregn afstanden fra cirklens centrum til E vha. trigonometri. (Den stiplede linje er vinkelhalveringslinjen) 5) Hvad er trekantens areal? 6) Hvor stort er arealet af det hvide område i et cirkelafsnit? Opgave 19 Her er en regulær 9-kant med en sidelængde på 2. Find arealet af det hvide område både vha. GeoGebra og beregninger

28 Opgave 20 Dronen Carsten er ude at flyve med en drone. Dronen har en aktionsradius på max. 2 km. Det betyder, at den kan flyve 2 km væk i vandret linje, men den stiplede skrå røde linje kan godt være længere end 2 km. Aktionshøjde er max. 1,2 km. Hvis man skal kunne styre dronen, må der ikke være bygninger eller lignende i mellem dronen og controlleren (Det fjernstyring, som bruges til at styre dronen). Controlleren holder Carsten i hænderne, så den er 1 meter over jorden. I nærheden er der en bygning, som er 13 m. høj. 1) Hvor langt kan den skrå stiplede røde linje mellem controller og drone være? 2) Hvor langt fra bygningen skal controlleren mindst være (den stiplede blå linje), hvis man skal kunne udnytte dronens maksimal aktionsradius og aktionshøjde?