RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010"

Transkript

1 Indhold 0.1 Indledning Løsning af 2. ordens linære differentialligninger Sætning Bevis af sætning Sætning 0.5: Wronskideterminanten Bevis af sætning Sætning 0.6: en tredje løsning Bevis af sætning Udledning af C 1 ved lige store koefficienters metode Udledning af C 2 ved lige store koefficienters metode Konklusion på bevis af sætning Bestemmelse af den fuldstændige løsning for y = a y Tilfælde 1: a > Tilfælde 2: a < Den fuldstændige løsning som sinusfunktion Omskrivning af den fuldstændige løsning Udæmpede svingninger Eksempel på et svingende system (udæmpet) Udæmpede harmoniske svingninger Svingningstiden for en udæmpet harmonisk svingning Det matematiske pendul Eksperimentel undersøgelse af det matematiske pendul Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden Eksperimentel bestemmelse af tyngdeaccelerationen Det fysiske pendul Svingningstiden for det fysiske pendul Drejningsmomentet Intertimomentet Udledning af Inertimomentet for en homogen stang med centralt omdrejningspunkt i

2 0.9.2 Eksperimentel undersøgelse af det fysiske pendul Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden Konklusion Litteraturliste Bilag 1 - Forsøgsopstilling (Matematisk pendul) Bilag 2 - Forsøgsopstilling (Fysisk pendul) ii

3 0.1 Indledning I dagligdagen støder vi ofte på fænomenet kaldt svingende bevægelser, som kan være udførte af alt fra en gyngende gynge til et løst kabel svingende i blæsevejr. Men hvordan kan man beskrive disse svingninger? Dette spørgsmål vil blive besvaret ved et ideelt samarbejde mellem de naturvidenskabelige fag fysik og matematik. Faget fysik anvendes til at forklare de fysiske aspekter af fænomenet, hvor matematikken anvendes til at beskrive fænomenet ved opstilling matematiske ligninger i form at 2. ordens lineære differentialligninger. De to naturvidenskabelige fag vil supplere hinanden i løbet af dette studierretningsprojekt, for at give den bedst mulige forståelse af svingende bevægelser. Emnet der vil blive behandlet i dette projekt er altså Svingninger og differentialligninger, hvorunder der vil blive redegjort for den grundliggende matematiske teori og for hvordan denne teori kan anvendes i forbindelse med beskrivelse af harmonisk svingende systemer. Yderligere vil der blive udført eksperimentelle undersøgelser af det matematiskeog fysiske pendul, der er eksempler på systemer der udfører harmoniske svingninger. Formålet med dette projekt er derfor at behandle svingende bevægelser ved et tværfagligt sammenspil mellem fysikkens- og matematikkens teori. Følgende opgave er struktureret på den måde at der vil blive indledt med en redegørelse af den matematiske teori, hvorefter fænomenet svingninger vil blive introduceret og forklaret fysisk. Herunder vil der blive lagt vægt på harmonisk udæmpede svingninger, eftersom det er disse typer svingninger den matematiske teori er begrænset til at kunne beskrive. Fysikkens mest signifikante præg på opgaven vil komme til udtryk til sidst i opgaven, i form af de eksperimentelle undersøgelser af hhv. det matematiske- og fysiske pendul, med det fælles formål at eftervise den grundlæggende teori naturvidenskabeligt. 1

4 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger 1 I følgende afsnit vil der blive gjort rede for løsningen af 2. ordens lineære differentialligninger af typen: y = a y (0.1), hvor a er en konstant tilhørende de reelle tal (a R). Bemærk at ovenstående differentialligning kan skrives på andre måder idet y og y kan skrives på følgende måder: y = f (x) = d2 y dx 2 og y = f(x) Følgende løsningstyper er væsentlige at have overblik over: Den partikulære løsning, er en enkelt løsning til differentialligningen, der kan være fundet mere eller mindre tilfældigt. Den fuldstændige løsning, er løsningen til differentialligningen, der afdækker samtlige partikulære løsninger Sætning 0.2 Af en løsning til en 2. ordens differentialligning forstås en kontinuert differentiabel funktion der kan differentieres mindst to gange. Hvis to løsninger til differentialligningen i et interval I, er givet ved g og z, så er en løsning f til ligning 0.1 i samme interval givet ved: f = c 1 g + c 2 z, (0.2) hvor c 1 og c 2 er konstanter tilhørende de reelle tal (c 1, c 2 R) Bevis af sætning 0.2 Af reglerne for differentation fås der ved differentation af sætning 0.2, for alle x I følgende: f (x) = c 1 g (x) + c 2 z (x) (0.3) Differentieres denne endnu en gang fås: f (x) = c 1 g (x) + c 2 z (x) (0.4) 1 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side

5 Af ligning 0.1 må der gælde at g (x) = a g(x) og z (x) = a z(x). Indsættes disse udtryk i ligning 0.4 fås: f (x) = c 1 a g(x) c 2 a z(x) = a (c 1 g(x) + c 2 z(x)) = a f(x) (Den sidste omskrivning sker idet, man genkender udtrykket for f(x) i sætning 0.2). Beviset af sætning 0.2 er hermed gennemført. 0.3 Sætning 0.5: Wronskideterminanten 2 For at kunne bestemme den fuldstændige løsning for den lineære differentialligning af 2. orden 0.1, er det nødvendigt at have kendskab til Wronskideterminanten, som for to løsninger g(x) og z(x) til 0.1 i et interval I, er givet ved funktionen: W (g, z) = g(x) g (x) z(x) z (x) = g(x) z (x) g (x) z(x); x I (0.5) Wronskideterminanten for to løsninger til ligningen 0.1 er en konstant Bevis af sætning 0.5 At Wronskideterminanten er konstant bevises ved at differentiere funktionen således: W (g, z) = (g(x) z (x) g (x) z(x)) ( ) ( ) = g(x) z (x) g (x) z(x) ( ) = g (x) z (x) + g(x) z (x) g (x) z (x) + g (x) z (x) = g (x) z (x) + g(x) z (x) g (x) z (x) g (x) z (x) = g(x) z (x) g (x) z (x) Hvor g (x) = a g(x) og z (x) = a z(x), indsættes og der fås: W (g, z) = g(x) a z(x) a g(x) z (x) = 0 Da den afledte funktion af Wronskideterminanten for de to løsninger er lig 0, må der 2 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side

6 altså gælde at Wronskideterminanten er en konstant, da der gælder at: f (x) = k = 0, hvor k er en konstant. 0.4 Sætning 0.6: en tredje løsning 3 Hvis to funktioner g(x) og z(x) er partikulære løsninger til ligningen 0.1, så er en yderligere partikulær løsning f(x) i intervallet I givet ved: f(x) = c 1 g(x) + c 2 z(x); W (g, z) 0, x I og c 1, c 2 R (0.6) Ligning 0.6 angiver enhver tredje løsning givet ved konstanterne c 1 og c 2, ud fra to kendte partikulære løsninger. Der må gælde at Wronskideterminanten W (g, z) er forskellig fra 0, idet at der ved W (g, z) = 0 er tale om to identiske løsninger, hvilket ikke vil medføre en tredje løsning Bevis af sætning 0.6 For at bevise at en tredje løsning er givet ved ligning 0.6, er vi interesserede i at finde de to konstanter c 1 og c 2 tilhørende de to kendte partikulære løsninger f(x) og g(x). Dette gøres ved at opskrive to ligninger, hvor konstanterne indgår. Den ene ligning kan passende være ligning 0.6: f(x) = c 1 g(x) + c 2 z(x) (0.7) En yderligere ligning fås ved differentation: f (x) = c 1 g (x) + c 2 z (x) (0.8) Vi har nu to ligninger med to ubekendte c 1 og c 2, som vi ønsker at udlede. Dette gøres ved hjælp af ligestore koefficienters metode. 3 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side

7 Udledning af C 1 ved lige store koefficienters metode Først ganges hhv. ligning 0.7 igennem med z (x) og ligning 0.8 igennem med z(x): f(x) z (x) = c 1 g(x) z (x) + c 2 z(x) z (x) f (x) z(x) = c 1 g (x) z(x) + c 2 z (x) z(x) Herefter udregnes differencen mellem ligningerne: f(x) z (x) f (x) z(x) = c 1 g(x) z (x) + c 2 z(x) z (x) ( ) c 1 g (x) z(x) + c 2 z (x) z(x) = c 1 g(x) z (x) + c 2 z(x) z (x) c 1 g (x) z(x) c 2 z (x) z(x) ( ) = c 1 g(x) z (x) g (x) z(x) ( ) f(x) z (x) f (x) z(x) = c 1 g(x) z (x) g (x) z(x) f(x) f (x) f(x) f (x) c 1 = g(x) g (x) ( ) z(x) z (x) = c g(x) z(x) 1 g (x) z (x) z(x) z (x) = z(x) z (x) W (f, z) W (g, z) Hvor vi før har bevist at Worskideterminanten for to løsninger er konstant, hvilket stemmer overens med tilfældet ovenfor, da forholdet mellem de to konstante Worskideterminanter giver konstanten c 1. 5

8 Udledning af C 2 ved lige store koefficienters metode Da vi nu er interesserede i den ubekendte konstant c 2, forlænges først hhv. ligning 0.8 med g(x), og ligning 0.7 med g (x): f (x) g(x) = c 1 g (x) g(x) + c 2 z (x) g(x) f(x) g (x) = c 1 g(x) g (x) + c 2 z(x) g (x) Differencen udregnes nu således: f (x) g(x) f(x) g (x) = c 1 g (x) g(x) + c 2 z (x) g(x) ( ) c 1 g(x) g (x) + c 2 z(x) g (x) = c 1 g (x) g(x) + c 2 z (x) g(x) c 1 g(x) g (x) c 2 z(x) g (x) ( ) = c 2 z (x) g(x) z(x) g (x) ( ) g(x) f (x) g (x) f(x) = c 2 g(x) z (x) g (x) z(x) g(x) g (x) g(x) g (x) c 2 = g(x) g (x) ( ) f(x) f (x) = c g(x) z(x) 2 g (x) z (x) f(x) f (x) = z(x) z (x) W (g, f) W (g, z) Konklusion på bevis af sætning 0.6 Konstanterne c 1 og c 2 er altså givet ved: (c 1, c 2 ) = f(x) f (x) g(x) g (x) z(x) z (x) z(x) z (x), g(x) g (x) g(x) g (x) f(x) f (x) z(x) z (x) = ( W (f, z) W (g, z) ) W (g, f), W (g, z) ; c1, c 2 R, hvor det ses at konstanterne c 1 og c 2 er givet ved forholdet mellem Worskideterminanter, der som bevist er konstante, eftersom de indgående funktioner f(x), g(x) og z(x), alle er partikulære løsninger til ligning 0.1. Da Worskideterminanterne er konstante kan der yderligere drages at konstanterne c 1 og c 2 ikke afhænger af x. Herved er det bevist at man med kenskab til to partikulære løsninger g(x) og z(x) i intervallet I, ud fra ligning 0.6, kan få en tredje løsning f(x) til ligningen y = a y i intervallet I. 6

9 0.5 Bestemmelse af den fuldstændige løsning for y = a y 4 Ligningen y = a y kan optræde i to tilfælde afhængigt af om den reelle konstant a er positiv (a > 0) eller negativ (a < 0) Tilfælde 1: a > 0 I dette tilfælde vælges to funktioner g(x) og z(x) givet ved: g(x) = e kx ; x Rog z(x) = e kx ; x R, hvor der indføres at: k = a; k > 0. De to funktioner differentieres to gange, for at undersøge om g(x) og z(x) er løsninger til ligningen y = a y: g(x) = e kx g (x) = (kx) e kx = k e kx g (x) = (kx) k e kx = k 2 e kx z(x) = e kx z (x) = ( kx) e kx = k e kx z (x) = ( kx) ( k) e kx = k 2 e kx Ovenfor er anvendt følgende regneregel for differentiering af den naturlige logaritme som en sammensat funktion: ( e kx) = (kx) e kx = k e kx. Idet der er indført at k = a k 2 = a, fås for x R: g (x) = k 2 e kx = a g(x) z (x) = k 2 e kx = a z(x) 4 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side

10 , dvs. at funktionerne g(x) og z(x) er løsninger til ligningen y = a y. Wronskideterminanten for de tø løsninger anvendes for at kunne fastlægge ligningens fuldstændige løsning. Af Wronskideterminanten fås: Indledning W (g, z) = g(x) z (x) g (x) z(x) W (g, z) = e kx ( k e kx) k e kx e kx = k e kx e kx k e kx e kx = k e kx kx k e kx kx = k e 0 k e 0 = 2k Wronskideterminanten er altså givet ved: 2k 0, hvilket vil sige at de to funktioner er to forskellige partikulære løsninger. Da funktionerne to forskellige løsninger, har ligningen y = a y = k 2 y den fuldstændige løsning: y = c 1 g(x) + c 2 z(x) = c 1 e kx + c 2 e kx ; x, c 1, c 2 R Tilfælde 2: a < 0 I dette vælges to funktioner g(x) og z(x), givet ved: g(x) = cos(kx); x R og z(x) = sin(kx); x R, hvor der indføres at k = a; k > 0. For at undersøge om de givne funktioner er løsninger til differentialligningen y = a y, differentieres funktionerne to gange: g(x) = cos(kx) g (x) = (cos(kx)) = (kx) cos (kx) = k sin(kx) g (x) = ( k sin(kx)) = k (kx) sin (kx) = k 2 cos(kx) 8

11 z(x) = sin(kx) z (x) = (kx) sin (kx) = k cos(kx) z (x) = k (kx) cos (kx) = k 2 sin(kx) Ovenfor er anvendt følgende regneregler for differentiering af sammensatte sinus- og cosinus-funktioner: (f g) (x) = f (g(x)) = g (x) f (g(x)) og sin (x) = cos(x)og cos (x) = sin(x). Da der er indført at k = a k 2 = a, fås følgende: g (x) = k 2 cos(kx) = a g(x) z (x) = k 2 sin(kx) = a z(x) Dermed kan det ses at funktionerne g(x) og z(x) er partikulære løsninger til ligningen y = a y = k 2 y. Wronskideterminanten anvendes: W (g, z) = g(x) z (x) g (x) z(x) W (g, z) = cos(kx) k cos(kx) ( k sin(kx) sin(kx)) = k cos 2 (kx) + k sin 2 (kx) = k ( cos 2 (kx) + sin 2 (kx) ) = k Ovenfor er anvendt at cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1, der kommer fra anvendelse af Pythagoras læresætning for siderne i en retvinklet trekant, med radius = 1 i enhedscirklen som hypotenuse. 9

12 Da Wronskideterminanten er lig k og derved er forskellig fra 0, kan det udledes at funktionerne g(x) og z(x) er to forskellige partikulære løsninger til ligningen y = a y = k 2 y. Derfor er den fuldstændige løsning i tilfældet a < 0 givet ved: y = c 1 g(x) + c 2 z(x) = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx); x, c 1, c 2 R 0.6 Den fuldstændige løsning som sinusfunktion 5 Vi husker fra afsnit 0.5 at den fuldstændige løsning til differentiallingen af typen y = a y er givet ved: y = c 1 g(x) + c 2 z(x) = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx); x, c 1, c 2 R Til at beskrive harmoniske svingninger i fysik anvendes den fuldstændige løsning på en anden form, defineret som en sinusfunktion: y = x(t) = A sin(ωt + ϕ), som blot er en omskrivning af den fuldstændige løsning vi kender Omskrivning af den fuldstændige løsning For at få omskrevet den fuldstændige løsning indfører vi tallet A (amplituden), der er givet ved: A = c c 2 2 Idet amplituden kan betragtes som vandret i tilfælde, hvor der er tale om små vinkler, kan den defineres som en ret linie med en bestemt retning. Benytter vi os af vektorregningen og teoretisk indfører et svingende system (f.eks. et matematisk pendul), kan vi opfatte koordinaterne c 1 og c 2, som værende koordinater til en vektor C med samme længde som amplituden A. Denne vektor er givet ved: C = c 1 c 2, hvor det gælder at: A = C. Den fuldstændige løsning forlænges nu med tallet A: y = c 1 cos(kx) + c 2 sin(kx) = A 5 Dette afsnit er baseret på teorien i kilde 7, side ( c1 A cos(kx) + c 2 A sin(kx) ), for A > 0 10

13 Da tallet A svarer til længden af C, er det derfor klart at c 1 A og c 2 A er koordinater til enhedsvektoren e C til C, idet at koordinaterne kan omskrives til: c 1 A = c 1 C og c 2 A = c 2 C, hvoraf vi får enhedsvektoren givet ved: e C = c 1 C c 2 C Koordinaterne til enhedsvektoren er imidlertid også givet som: Hvor der ved indsættelse fås: e C = sin(ϕ) cos(ϕ), hvor ϕ R ( c1 y = A A cos(kx) + c ) 2 A sin(kx) y = A (sin(ϕ) cos(kx) + cos(ϕ) sin(kx)) Ovenstående ligning genkender vi i additionsformlen: sin(u + v) = cos(u) sin(v) + cos(v) sin(u) Hvoraf vi ved omskrivning får: Som i fysik skrives: y = A sin(kx + ϕ) y = A sin(ωt + ϕ), hvor ωt + ϕ kaldes fasen og ϕ kaldes begyndelsesfasen. 11

14 0.7 Udæmpede svingninger 6 Den fuldstændige løsning til en differentialligning af typen y = a y = k 2 y, kan anvendes til at beskrive svingende systemer, der udfører udæmpede svingninger, hvilket der vil blive udledt ved brug af et eksempel på et svingende system Eksempel på et svingende system (udæmpet) Som et teoretisk eksempel på et svingende system forestiller vi os en fjeder fastgjort til en væg, som er belastet med et legeme med massen m. Dette legeme forestilles at være hvilende på et bord, hvor der ikke forekommer friktion/gnidningsmodstand imellem legemet og bordet. Den position legemet har ved stillestand kaldes ligevægtspositionen eller ekvilibriumspositionen. En påvirkning af systemet ved en sammenpresning eller en udstrækning af fjederen vil medføre at fjederen vil udføre en af påvirkningen modsatrettet kraft. Figur 0.1: På figuren ovenfor er systemet indlagt på en vandret x-akse, med ekvilibriumspositionen x 0 og den resulterende kraft F res indtegnet. Af Figur 0.1 fremgår det tydeligt at den resulterende kraft, er modsatrettet ekvilibriumspositionen, hvilket også vil lade sig gælde når fjederen er sammenpresset. Den resulterende kraft vil påvirke legemet i retning af ekvilibriumspositionen, som resulterer i at legemet udfører svingninger omkring positionen. Disse svingninger siges at være udæmpede idet der ikke er nogen friktion. Af Newtons 3. lov (aktion er lig reaktion), ved vi at 6 Dette afsnit er baseret på kilde 3 s , kilde 4 s samt kilde 5 s

15 tyngdekraften på legemet bliver ophævet af bordet (der udgør x-aksen). Den resulterende kraft på legemet er derfor fjederkraften, der ifl. Hookes lov er proportional med afstanden x fra ekvilibriumspositionen: F fjeder = F res = kx, hvor k er fjederkonstanten og x legemets elongation (afstand) fra ekvilibriumspositionen. Den resulterende kraft på legemet er ifl. Newtons 2. lov givet ved: F res = m a, hvor m er legemets masse og a er dets acceleration. Idet både Hookes lov og Newtons 2. lov udgør den resulterende kraft på legemet, sættes de lig hinanden hvorfor legemets bevægelsesligning opstår: F res = F fjeder m a = kx m d2 x dt 2 d2 x dt 2 = kx = x (t) = k m x Den fremkomne bevægelsesligning ses at være en 2. ordens differentialligning af typen y = a y = ω 2 y, hvor ω er vinkelhastigheden 7 givet ved: ω = k 0. Derved er m det muligt at beskrive et svingende system ved hjælp af 2. ordens differentialligninger af typen nævnt ovenfor, forudsat at der ikke er nogen gnidningsmodstand/dæmpning Udæmpede harmoniske svingninger Definitionen af en harmoniske svingning er givet ved En svingning siges at være harmonisk, hvis stedfunktionen er en sinusfunktion. På Figur 0.2 nedenfor ses et udsnit af en sinuskurve indtegnet i et koordinatsystem, med elongationen x som funktion af tiden t. Eftersom en sinusfunktion har værdier i intervallet [ 1, 1], vil elongationen kunne antage værdier i intervallet [ A, A], hvor A er den maksimale elongation kaldt amplituden. Yderligere ved vi at sinus svinger med 7 Defineres i afsnit

16 en periode T på 2π, som kaldes svingningstiden (tiden der tager systemet at udføre én svingning). Denne svingningstid T kan bestemmes ved en matematisk model. Figur 0.2: Figuren ovenfor viser et interval af en sinuskurve, svarende til en periode. (Tegnet i programmet Graph) Svingningstiden for en udæmpet harmonisk svingning I forbindelse med at finde svingninstiden for en harmonisk svingning er det nødvendigt at kende til størrelsen ω kaldt vinkelhastigheden. Vinkelhastigheden er defineret, som den vinkel elongationen drejer pr. tidsenhed, da der ved en svingning forstås en samtidig ændring af elongationen fra ekvilibriumspunktet og den tilhørende vinkel. Den har derfor enheden s 1 = Hertz. Idet en harmonisk svingnings fart er konstant, vil vinkelhastigheden ω også være konstant. Sammenhængen mellem vinkel, vinkelhastighed og tid er v = ω t. Da vi ved at svingningstiden T er den tid det tager for vinklen (målt i radianer) at vokse med 2π, er det derfor klart at der må gælde: 2π = ωt ω = 2π T I afsnit fandt vi frem til at vinkelhastigheden også er givet ved: ω = k m 14

17 Af de to udtryk for vinkelhastigheden, fås formlen for svingningstiden T, for en harmonisk svingning: 2π = k T = 2π T m k m 1 = 2π k m = 2π m k Hermed er formlen for svingningstiden T for en harmonisk svingning udledt. 0.8 Det matematiske pendul 8 Det matematiske pendul består af et lod med massen m ophængt i en snor med længden l. Bringes loddet afstanden x væk fra ekvilibrium vil pendulet udføre harmoniske svingninger. Nedenfor er indsat to illustrationer, hvor Figur 0.3 illustrerer det matematiske pendul som beskrevet. Yderligere er der er indtegnet en x-akse i loddets (den røde markering i illustrationen) bevægelsesretning. Det er klart at tyngdekraften virker på loddet med kraften F t = mg, hvor g er tyngdeaccelerationen/gravitationskonstanten. Denne kraft er opløst i to komposanter F 1 og F res, hvor F 1 bliver ophævet af snoren. Forstørrer vi billedet op i området, hvor vi har indtegnet kræfterne forekommer billedet i Figur 0.4. Af billedet kan vi se at komposanterne udgør et paralellogram bestående af to ensdannede retvinklede trekanter. Vi kan nu opskrive den resulterende kraft: sin(v) = F res F t F res = mg sin(v) = mg v, da man kan regne med at sin(v) = v for små vinkler. At vinklen v er meget lille medfører at komposanten der udgør den resulterende kraft på loddet kan anses for at være vandret og der gælder derfor: v = x l F res = mg x l = mg x l, hvor den resulterende kraft anses for at være negativ idet den er modsatrettet ekvilibrium. 8 Dette afsnit er baseret på kilde 1 s og kilde 4 s s

18 Figur 0.3: Figuren ovenfor illustrerer et matematisk pendul i et svingningsøjeblik, med de påvirkende krafter. Loddet er markeret med rødt. Figur 0.4: Figuren ovenfor illustrerer et nærbillede af kraftkomposanterne og det parallellogram de udspænder. Svingningstiden T for det matematiske pendul er givet ved: T = 2π l g, hvor l er længden af pendulet og g er tyngdeaccelerationen ( g = 9, 82 m2 s 2 ). Det fremgår af formlen at svingningstiden af det matematiske pendul kun afhænger af længden af pendulet l, da både π og g er konstanter. Amplituden og loddets masse synes altså ikke at have nogen indvirkning på svingningstiden. 16

19 Formlen for svingningstiden kan eftervises ved et eksperimentelt forsøg, hvilket leder os videre til en eksperimentel undersøgelse af det matematiske pendul Eksperimentel undersøgelse af det matematiske pendul 9 Formålet med dette eksperiment er som bekendt at eftervise formlen for svingningstiden for det matematiske pendul 10, hvoraf vi dragede at svingningstiden ikke afhænger af den svingende masse eller amplituden men, at den kun afhænger af pendulets længde. Derudover vil jeg som led i min undersøgelse, bestemme en eksperimentel værdi for tyngdeaccelerationen Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden Idet vi forholder os skeptiske over for formlen for svingningstiden, antager vi at der indgår følgende tre variable: Amplituden A, massen af loddet m og pendullængden l. Hvis formlen er gyldig vil pendullængden l være den eneste reelle variabel, med indflydelse på resultaterne for svingingstiden. I forsøget har jeg ved brug af et matematisk pendul, bestående af en ophængt snor og et fladt linseformet lod, foretaget forskellige målinger af svingningstiden med et stopur. Det linseformede lod er hensigtsmæssigt idet at man kan regne med at al massen har samme afstand til omhængningspunktet. Forsøget er udført ved at loddet blev hevet ud fra ligevægtsstillingen og slippes, hvorefter jeg startede tidsregningen, da elongationen var maksimal (lig amplituden). Jeg har foretaget fem delforsøg á tre tidsmålinger, målt over 50 svingninger. Dette er gjort for at måleusikkerheden for tidstagningen minimeres, og der derved fås et mere nøjagtigt resultat for svingninstiden. I delforsøg 1 har jeg foretaget målinger med en relativt lille pendullængde på 0, 63 m. med en middelstor amplitude. I delforsøg 2 og 3 er der foretaget målinger med formålet at undersøge om amplituden har indflydelse på svingningstiden, idet amplituden varieres og de to andre variable m og l holdes konstante. I delforsøg 4 og 5 er formålet at eftervise om massen har indflydelse på svingningstiden, hvilket gøres ved at holde variablerne A og l konstante, og variere massen. I forbindelse med undersøgelse pendullængdens indflydelse på svingningstiden sammenholdes delforsøg 1 og 5, hvor m og med stor tilnærmelse A er konstante. Resultaterne af delforsøgene er indført i Tabel Dette afsnit er baseret på kilde 2 s For forsøgsopstilling se bilag 1. 17

20 Delforsøg Pendullængde Masse Amplitude Middelværdi T m Teoretisk værdi T t Relativ afvigelse 1 0,63 m m Middel 1,66 s 1,59 s 0,036 % 2 1,03 m m Lille 2,09 s 2,03 s 0,026 % 3 1,03 m m Stor 2,12 s 2,03 s 0,040 % 4 1,40 m 3m Middel 2,48 s 2,37 s 0,044 % 5 1,40 m m Middel 2,47 s 2,37 s 0,041 % Tabel 0.2: Tabellen ovenfor viser resultaterne af det udførte forsøg, med det matematiske pendul. Af resultaterne indført Tabel 0.2 kan vi se følgende: At svingningstiden ikke afhænger af amplituden, eftersom resultaterne for svingningstiden i delforsøg 2 og 3 tilnærmelsesvis er ens. Der er en afvigelse på under 2 %, som sandsynligvis skyldes at formlen for svingningstiden er mere nøjagtig jo mindre amplituden og dermed vinklen er. At svingningstiden ikke afhænger af den svingende masse, da svingningstiden i delforsøg 4 og 5 er sammenfaldende, selvom der i delforsøg 4 var anvendt en masse der er tre gange så stor som i delforsøg 5. At svingningstiden afhænger af pendulets længde, idet svingningstiden i delforsøg 1 er betydeligt mindre end i delforsøg 5. Hermed kan man drage at formlen for svingningstiden for det matematiske pendul stemmer overens med det praktiske eksperiment. Jeg har derfor eftervist at formlen er korrekt Eksperimentel bestemmelse af tyngdeaccelerationen I hvert delforsøg, er svingningstiden fundet for hver af de tre målinger á 50 svingninger. Herefter er middelværdien T m af de tre fundne svingningstider beregnet, hvilket er den værdi der anses for at være respræsentativ for delforsøget. Den teoretiske svingningstid T t er udregnet ved brug af formlen for svingningstiden for det matematiske pendul: l T = 2π g (0.9), hvor g er tyngdeaccelerationeng = 9, 82 m2 s 2. I Tabel 0.2 er den relative afvigelse fra den teoretiske værdi for svingningstiden indført, hvoraf det ses at de eksperimentelle værdier for svingningstiden nærmest er sammenfaldende med de teoretiske, da der ikke er en eneste afvigelse på over en halv procent. 18

21 Da vi ønsker at fremstille vores resultater grafisk laver vi følgende omskrivning af formel 0.9: T = 2π l g = 2π l g = 2π g l T 2 = ( 2π g ) 2 l, hvor både π og g er konstanter så der kan skrives: T 2 = k l (0.10), hvor k = 4π2 g. Det ses at formel 0.10 har en grafisk fremstilling som en ret linie på formen y = ax + b, og da b = 0 kan vi sige at grafen går gennem punktet O(0, 0), hvilket også giver mening idet der ved længden l = 0 ikke vil være tale om nogen svingningstid. Indføres sammenhørende værdier af kvadratet på svingningstiden og pendullængden, i et koordinatsystem, vil der tegne sig en ret linie med hældningen k. Dette betyder at vi kan bruge måleresultaterne for forsøget til at bestemme tyngdeaccelerationen g: k = 4π2 g som liniens hældning. g = 4π2, idet k kan aflæses k På Figur 0.5 nedenfor er den grønne graf en lineær regression af de sammenhørende værdier af T 2 og l fra mit forsøg med det matematiske pendul, hvor den røde graf er af de teoretisk beregnede værdier. Figur 0.5: Figuren ovenfor viser et koordinatsystem over to grafer. Den grønne graf illustrerer en lineær regression af målte værdier og den røde af teoretiske. (Tegnet i programmet Graph) 19

22 Indførelsen af de teoretiske værdier er kun med formålet som reference. Af den lineære regression på de eksperimentelt fremkomne punkter får vi funktionen: f(l) = 4, 31 x, hvor hældningskonstanten k aflæses til k = 4, 31. Da vi kender hældningskonstanten k kan vi nu udregne tyngdeaccelerationen: g = 4π2 k g = 4π2 4,31 = 9, 16 Vi får altså en tyngdeaccelerationen g eks = 9, 16 m2 s 2, hvilket giver en negativ afvigelse på 6, 7%: Afv rel = 9,16 m s 2 m2 2 9,82 s 2 9,82 m2 s 2 100% = 6, 7% Vi kan altså konstantere at der er muligt at bestemme en eksperimentel værdi for tyngdeaccelerationen ved hjælp af det matematiske pendul. I dette tilfælde fik jeg en relativ afvigelse på 6, 7%, selvom de målte værdier for svingningstiden var næsten sammenfaldende med de teoretiske. Dette skyldes at svingningstiden i den lineære funktion opræder i en andenpotens, hvilket betyder at differencen/afvigelsen fra den teoretiske værdi, bliver en faktor to større og derfor mere markant. Derfor vurderer jeg at forsøget har været yderst vellykket idet det er lykkedes at få en afvigelse på under 10%. 20

23 0.9 Det fysiske pendul 11 Ethvert legeme der er drejeligt om en akse, der ikke går gennem legemets massemidpunkt, kaldes et fysisk pendul. Hvis pendulet føres væk fra ekvilibriumspositionen vil det ligesom det matematiske pendul, for små udsvingsvinkler udføre harmoniske svingninger, idet tyngdekraften vil være den resulterende kraft på pendulets massemidtpunkt. På Figur 0.6 nedenfor, er der en illustration af et fysisk pendul bestående af en homogen stang, med et lod på hver side af omdrejningspunktet. Afstanden fra omdrejningspunktet O til lodderne lod 1 og lod 2 er hhv. a og b, hvor b i nedenstående tilfælde regnes negativ, da lod 2 er på modsatte side af omdrejningsaksen ift. lod 1. Idet at massen af lod 1 betegnes m 1, er den resulterende kraft (tyngdekraften) på loddet: F res = m 1 g, og tilsvarende er den resulterende kraft på lod 2 : F res = m 2 g, hvor g er tyngdeaccelerationen. Figur 0.6: Figuren ovenfor illustrerer et fysisk pendul belastet af to lodder på hver side af omdrejningsaksen. 11 Dette afsnit er baseret på kilde 1 s , kilde 2 s , kilde 4 s s og kilde 6 s

24 0.9.1 Svingningstiden for det fysiske pendul Svingningstiden for et fysisk pendul, som vist på Figur 0.6, er givet ved: T = 2π I M, hvor I er pendulets inertimoment og M er drejningsmomentet. Bemærk at svingningstiden afhænger af inertimomentet og drejningsmomentet, hvilket vil blive eftervist eksperimentelt senere i opgaven Drejningsmomentet Det samlede drejningsmoment M for lod 1 og lod 2 er givet ved: M = m 1 g a + m 2 g b Som i tilfælde af at lodderne har den samme masse m, kan omskrives til: M = mg(a + b) Intertimomentet Et inertimoment er defineret som summen alle enkelte massedeles masser m og kvadratet på deres afstande r til omdrejningspunktet: I = m r 2. Pendulets inertimoment betragtes som pendulets samlede moment i forhold til omdrejningspunktet, hvilket betyder at det illustrerede fysiske penduls inertimoment er givet ved summen af stangens inertimoment og loddernes inertimomenter. Da vi regner med at masserne af lodderne er koncentreret i loddernes midpunkt og at massen derved er samme længde fra omdrejningsaksen, er loddernes inertimomenter givet ved: I lod1 = m 1 a 2 og I lod2 = m 2 b 2, hvor m 1 og m 2 er masserne af hhv. lod 1 og lod 2. Derved er loddernes samlede inertimoment givet ved: I lod1 + I lod2 = m 1 a 2 + m 2 b 2 22

25 Bemærk at følgende omskrivning kan ske, hvis lodderne har samme masse m: I lod1 + I lod2 = m (a 2 + b 2 ) Stangens inertimoment kan udledes vha. integralregning Udledning af Inertimomentet for en homogen stang med centralt omdrejningspunkt 12 På Figur 0.7 nedenfor er illustreret en homogen stang, med omdrejningspunktet O, placeret centralt på stangen, som drejer om en akse der går vinkelret igennem O. På stangen er der indtegnet et udsnit af stangen x, der ligger afstanden x fra O. Figur 0.7: Figuren ovenfor illustrerer en homogen stang. Udledningen af stangens intertimoment tager udgangspunkt den generelle formel for inertimomentet: I = m r 2 (0.11) Da vi ønsker at finde inertimomentet for udsnittet af stangen x i forhold O, er det hensigtsmæssigt at angive stangens masse pr. længdeenhed, som er forholdet mellem stangens masse m og længde l: m. Da vi har opstilt et udtryk for stangens masse pr. længdeenhed, l er massen af x givet ved: m x = m x l Indføres det fundne udtryk i 0.11, med x som udtryk for afstanden til O, fås: I = m l x x 2 12 Dette underafsnit er baseret på kilde 1 s , kilde 4 s og kilde 6 s

26 Gør vi udsnittet x uendeligt lille kan vi beskrive stangen, som er summen af alle udsnit, ved integralet: I = l 0 ( m l x 2 )dx, hvor vi integrerer i intervallet [0; 1 l] og ganger med to, for at få hele stangen. 2 Ved løsning af integralet fås: I = l 0 ( m l x 2 )dx = 2m l 1 2 l 0 (x 2 )dx = 2m l [ x 3 3 ] 1 2 l = 2m ( 1 2 l)3 = 2m l3 0 l 3 l = ml Eksperimentel undersøgelse af det fysiske pendul 13 Formålet med denne eksperimentelle undersøgelse af det fysiske pendul er at give en bredere forståelse for, hvilke parametre der har indflydelse på svingningstiden T. Af formlen for svingningstiden kan vi se at svingningstiden afhænger af inertimomentet I pendul og drejningsmomentet M, hvilket jeg vil eftervise ved hjælp af nogle få forsøg med et fysisk pendul, af typen vist i Figur 0.6 afsnit 0.9. Som vist er formlen for svingningstiden for det fysiske pendul altså givet ved: T = 2π I = 2π ml m (a2 +b 2 ) M mg(a+b) Det fysiske pendul jeg har anvendt i min undersøgelse består af en homogen stang med tilhørende forskydelige lodder 14. Den homogene stang har en en knivformet stang vinkelret gennem stængernes fælles massemidtpunkt. 15 Den tværgående stang hviler på et stativ bestående af to ben med v-formede lejer, som vist på Figur 0.8 nedenfor. Grunden til at stangen er knivformet og at den hviler på et v-formet leje, er for at minimere friktionen, hvilket gør at vi kan sige at svingningerne med tilnærmelse er udæmpede harmoniske svingninger. 13 Dette underafsnit er baseret på kilde 2 s For forsøgsopstilling se bilag Den tværgående stang inhomogen, og derfor går den ikke reelt igennem midten af den homogene stang, idet der er kompenseret for den tværgående stangs inhomogene facon mht. massefordelingen. 24

27 Figur 0.8: Figuren ovenfor illustrerer kontakten mellem det svingende legeme i det fysiske pendul og stativet (set fra siden) Eksperimentel eftervisning af formlen for svingningstiden Som førnævnt er formålet med eksperimentet altså at påvise, at formlen for svingningstiden er gældende. Til dette er udført fem delforsøg, hvor der i hvert delforsøg er foretaget tre målinger á 20 svingninger, hvorefter middelværdien af den fundne svingningstid i de tre målinger, er beregnet. Til alle delforsøg er anvendt det samme pendul hvilket vil sige, at intertimomentet for stangen er konstant (I stang = 4, ), og de anvendte lodder har samme masse (m = 0, 226 kg). I delforsøg 1 og 2 har jeg kun anvendt ét lod, hvor jeg har varieret afstanden a til stangens omdrejningspunkt O. I delforsøg 3 og 4 er der anvendt to lodder med samme masse, som er placeret på hver sin side af O; det ene lod med afstanden a og det andet med afstanden b. Summen af a og b er holdt konstant, hvilket betyder at drejningsmomentet M er konstant, hvorimod inertimomentet for lodderne, og dermed hele pendulet, varieres. I delforsøg 4 og 5 er også anvendt to lodder med samme masse, hvor I holdes konstant og M varieres, ved at lodderne er placeret på hver sin side i delforsøg 4 og på samme side i delforsøg 5. Måden hvorpå I holdes konstant er ved at den numeriske værdi af afstandende a og b er ens for begge delforsøg. Resultaterne af delforsøgene er indført i Tabel

28 Delforsøg Drejningsmoment M Afstand a Afstand b I lod I pendul (I lod + I stang ) 1, Middelværdi T m Teoretisk værdi T t Relativ afvigelse 1 0,444 0,20 m 0,00 m 9, 04 1,08 s 1,10 s 2,0% ,333 0,15 m 0,00 m 5, 09 9, 57 1,04 s 1,07 s 2,2 % ,111 0,23 m -0,18 1, 93 2, 38 2,82 s 2,91 s 3,1 % m ,111 0,20 m -0,15 1, 41 1, 86 2,53 s 2,57 s 1,7 % m ,777 0,20 m 0,15 m 1, 41 1, 86 0,960 s 0,973 s 1,3 % Tabel 0.3: Tabellen ovenfor viser resultaterne af det udførte forsøg med det fysiske pendul, samt udregnede værdier af inertimomenter. Det bemærkes af Tabel 0.3, at de målte værdier for svingningstiderne er i overensstemmelse med de teoretiske, idet de relative afvigelser er under 4 %. Af delforsøg 1 og 2, kan der drages at der ved ændring af loddets afstand a, og dermed en variation af både M og I, er en forskel på svingningstiden. Hermed ved vi at svingningstiden afhænger af mindst én af de to variable. Af delforsøg 3 og 4, hvor M blev holdt konstant, fremgår det at der ved en variation af I, sker en betydelig ændring af svingningstiden, hvilket betyder at svingningstiden altså afhænger af inertimomentet. Endelig bekræfter delforsøg 4 og 5, at svingningstiden afhænger af omdrejningsmomentet, idet at der ved en variering af M altså var en forskel på svingningstiden. Oven på det eksperimentelle arbejde med det fysiske pendul, kan jeg konstantere at formlen for svingningstiden stemmer overens med de målte resultater, og jeg har derved eftervist formlen. 26

29 0.10 Konklusion Af arbejdet med dette studieretningsprojekt kan jeg konkludere, at fagkombinationen af matematik og fysik har været yderst effektiv i behandlingen af harmonisk svingende systemer. Som opsamling af det eksperimentelle arbejde med mht. det matematiske- og fysiske pendul, kan jeg konkludere, at det ved hjælp af den naturvidenskabelige metode er lykkedes at eftervise formlerne for svingningstiderne, og herunder dét de forudsætter mht. afhængige variable. Eksperimenterne anses for at være valide, idet de relative afvigelser af de eksperimentelle resultater fra de teoretisk beregnede er usignifikante. Jeg kan dermed konkludere, at man ved opstilning af 2. ordens lineære differentialligninger af typen y = a y, kan beskrive udæmpede harmoniske svingninger for små udslagsvinkler. 27

30 0.11 Litteraturliste Bøger Kilde 1: Frode Andersen, Ole Bostrup, Erik Halkjær, K. G. Hansen: Fysik for gymnasiet 2 (Gyldendal, 2.udg., 1972). Kilde 2: Frode Andersen, Ole Bostrup, Erik Halkjær, K. G. Hansen: Fysiske øvelser og opgaver 3, s (Gyldendal, Nordisk Forlag A/S udg. 1970). Kilde 3: J. M. Knudsen mfl: Elements of Newtonian Mechanics (Springer 2002). Kilde 4: M. Møller Jørgensen, Fr. Nielsen & K. W. Norbøll: Mekanik 2 for gymnasiet (P. Haase & Søns forlag, 5. udgave, 1980). Kilde 5: K. E. Nielsen og E. Fogh: Vejen til fysik A2, s (Forlaget HAX udg. 2007). Kilde 6: Eve Staffansson mfl: Fysik i grundtræk 2A (Munksgaard 1973). Andet materiale (Vedlagt som bilag i CD) Kilde 7: Steen M. Jørgensen, Differentialligninger s (ikke publiceret - se vedlagte CD). 28

31 0.12 Bilag 1 - Forsøgsopstilling (Matematisk pendul) Det matematiske pendul jeg anvendte til min eksperimentelle undersøgelse bestod som sagt af to linseformede lodder med samme masse og facon. Det anvendte lod blev andbrag på en snor ophængt i to metalkroge i loftet, for at forhindre forstyrrende udsving af loddet til siderne. Forsøgsopstilling set fra fronten, er illustreret på Figur 0.9 nedenfor. Figur 0.9: På figuren ovenfor ses forsøgsopstillingen af det matematiske pendul, hvor loddet er markeret med rødt, og pendullængden l er indtegnet. 29

32 RKS Yanis E. Bouras 21. december Bilag 2 - Forsøgsopstilling (Fysisk pendul) Til forsøget med det fysiske pendul er anvendt pendulet vist i Figur 0.10 og 0.11 nedenfor. Figur 0.10: Figuren ovenfor illustrerer det anvendte fysiske pendul i svingning set fra siden. Figur 0.11: Figuren ovenfor illustrerer det samme anvendete fysiske pendul set fra fronten. Bemærkning: Denne opgave består af omtrent tegn. Dvs. ca. 15, 5 normalsider. 30

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006 Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 23. januar 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL

PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL Dæmpede svingninger SENTEKNISKGYMNASIUMHADERSLE Studieretningsprojekt

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. Matematisk Pendul. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Matematisk Pendul Hold E: Hold: D12 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 10. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Svingninger & analogier

Svingninger & analogier Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim FYSIK RAPPORT Fysiske Kræfter Tim, Emil, Lasse & Kim Indhold Indledning... 2 Newtons love... 3 1. Lov: Inertiloven... 3 2. Lov: Kraftloven... 3 3. Lov: Loven om aktion/reaktion... 3 Kræfter... 4 Formler:...

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.

Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt

Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt Lysets fysik Optiske fibre P0 projekt Forsidebillede: En oplyst plexiglasleder hvorpå gruppens navn er skrevet [1] Titel: Optiske fibre Tema: Lysets fysik Projektperiode: 01/09 18/09 2015 Projektgruppe:

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution Vid Gymnasier, Rønde Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere