En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN"

Transkript

1 Jørgen Erichsen En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Ifølge overleveringen, som dog nok mere er en legende end en historisk kendsgerning, var det Pytagoras, som opdagede, at der er en forbindelse mellem musik og matematik. I en af versionerne hedder det, at Pytagoras en dag kom forbi et smedeværksted, og at han bemærkede, at de tre hamre, som var i brug, dannede en perfekt treklang. Da han bad om lov til at veje hamrene, viste det sig, at deres vægt forholdt sig til hinanden som 4 : 5 : 6. Han antog nu, at noget lignende måtte være tilfældet med toner, som frembringes ved at en streng sættes i svingninger; her spiller vægten naturligvis også ind, men så længe vi bruger den samme streng, er det alene dennes længde, som bestemmer tonehøjden. For nu at udforske sin opdagelse mere systematisk, udspændte Pytagoras en streng mellem to støttepunkter, der var anbragt for enderne af et bræt, og mellem brættet og strengen anbragte han en forskydelig stol (altså en anordning som den vi kender fra en violin eller andet strygeinstrument). Efterhånden som han flyttede stolen ændredes tonehøjden, og ved nu at måle længden af den svingende del af strengen, fik han forbundet de forskellige intervaller med bestemte tal. Det er dette simple måleinstrument, som kaldes en monokord (der på græsk betyder énstreng). Som videnskabeligt måleinstrument er monokorden for længst gået af brug, men til undervisningsbrug finder den stadig anvendelse. Efter at jeg selv havde haft lejlighed til at eksperimentere med en monokord, skrev jeg for snart mange år siden et computerprogram, som simulerer en monokord, og da programmet er udstyret med en række funktioner, som gør det muligt at trænge langt dybere ned i toneforholdenes matematik, end det er tilfældet med en almindelig monokord, kalder jeg programmet SUPERMONOKORDEN. Det er den, det i det følgende skal handle om. I sin klassiske udformning består monokorden (navnet er græsk og betyder én-streng) af en streng, der er udspændt mellem to faste støttepunkter, som er anbragt på et bræt eller en resonanskasse. Mellem brættet og strengen er anbragt et forskydeligt støttepunkt, som vi vil kalde skyderen. Den tone som fremkommer, når strengen svinger i sin fulde længde, vil vi kalde basistonen (ikke at forveksle med grundtonen, som er knyttet til begreberne skala og toneart ). Idet skyderen nu deler strengen i to, er forholdet mellem den del, der sættes i svingninger, og hele strengen, et talmæssigt udtryk for intervallet mellem den aktuelt klingende tone og basistonen. Vores virtuelle monokord ser sådan ud: Figur 1 Nederst ser vi resonanskassen, som er delvis dækket af en målestok. Oven over resonanskassen ses strengen, som er udspændt over de to lodrette stole ved 0 og 1; strengens fastgørelse til resonanskassen er antydet ved de to skrå streger. Den lodrette streg ved positionen 0,6667 er skyderen, og når strengen til venstre for skyderen er tegnet med en bredere grå streg, skal det illudere, at det er denne del af strengen, som er sat i svingninger (den bliver udflydende!). Målestokken kan inddeles på flere forskellige måder, men her har jeg valgt at definere den udelte streng som enheden. De med tal forsynede delestreger markerer således 10.dele, og de mindre delestreger markerer 100.dele. På det tal, der løbende følger skyderen, kan vi aflæse dele. Når skyderen flyttes manuelt skal dette dog tages med et forbehold, fordi det er skærmens opløsning, der bestemmer, i hvor små trin skyderen kan flyttes. 1

2 På det næste billede ser vi programmet, sådan som det tager sig ud på skærmen. Foruden monokorden er der to andre målestokke: den akustiske målestok og den tonale målestok. Alle tre målestokke korresponderer med hinanden, så når vi flytter skyderen på den ene målestok, flytter de andre skydere sig med. Figur 2 Hvad de to andre målestokke står for, forklarer jeg i forbindelse med de første øvelser. Nu vil jeg først beskrive, hvordan vi flytter skyderen og aktiverer tonen; beskrivelsen gælder alle tre målestokke (et kort resume kan læses nederst på skærmen). Skyderen flyttes med venstre museknap. Den flytter sig automatisk hen til den position, man klikker på; derefter kan man flytte skyderen ved at ved at fange den med musen og bevæge til højre eller venstre. Den aktuelle position kan som sagt løbende aflæses umiddelbart over skyderen. Når man klikker med højre museknap, hører man den aktuelle tone. Her har jeg valgt en overtonefrie tone, en sinustone, fordi den gengiver de akustiske fænomener, det her handler om, i deres reneste form. Tonen afbrydes, når man trykker på mellemrumstangenten. Såfremt den først anslåede tone ikke afbrydes med mellemrumstangenten, vil den vedblive at klinge med samme frekvens, når skyderen flyttes; først når musens højre knap igen aktiveres, skifter frekvensen til den aktuelle position. Ved til stadighed at have venstre hånds fingre parat over mellemrumstangenten kan man på denne måde med lidt øvelse bruge monokorden som et primitivt strengeinstrument og i princippet fungerer den da også på samme måde som f.eks. en violin eller en guitar. Vær opmærksom på at man ikke kan afbryde tonen med mellemrumstangenten, hvis man i mellemtiden har forladt billedfeltet hvis man f.eks. har ændret skalainddelingen, mens tonen klinger vide- 2

3 re. Man siger i programmeringsjargon, at fokus er blevet flyttet. I så fald skal man blot klikke en ekstra gang med højre mus i billedfeltet; dette er nu igen i fokus, og mellemrumstangenten fungerer igen som afbryderknap. En undtagelse er volumenkontrollen, som kan justeres mens tonen klinger, og uden at billedfeltet taber fokus. Når programmet åbnes, står skyderen ved 1 på monokorden; dvs. strengen svinger i sin fulde længe, når vi anslår tonen. Prøv nu at klikke et vilkårligt sted i billedfeltet med højre mus. Dermed anslås tonen, og vi hører basistonen, som i dette tilfælde har frekvensen 220 Hz, svarende til det A, der ligger til venstre for nøglehullet på klaveret. 220 Hz. er basistonens defaultværdi, men den kan ændres i indtastningsboksen øverst til højre på skærmen. Prøv nu videre at flytte skyderen frem og tilbage og lyt til tonen, der fremkommer, når man klikker med højre mus. Hvis man ikke selv spiller på f.eks. en guitar eller en violin, får man her et godt indtryk af, hvordan tonen findes og efter nogle forsøg vil man sikkert også kunne spille rigtige melodier på monokorden. Bruger man den før nævnte teknik, hvor venstre hånds fingre holdes parat over mellemrumstangenten, vil man endda kunne frasere, idet man enten lader tonerne følge umiddelbart efter hinanden (legato) eller adskiller dem ved en lille pause (non legato), ligesom man også kan spille staccato. Det spørgsmål, Pythagoras stillede, var imidlertid, om der er en sammenhængen mellem tonens højde og strengens længde, og vel at mærke en sammenhæng som kan udtrykkes matematisk. Han fandt ud af, at når strengen halveres, hører vi den tone, som ligger en oktav over basistonen, når strengen afkortes til 2/3, hører vi tonen en kvint over, og når strengen afkortes til 3/4, hører vi tonen en kvart over. Det er disse tre intervaller, som er selve grundlaget for de musikalske skalaer, og det er nu en nærliggende tanke, at også de intervaller, der fremkommer ved delingsforholdene 4/5 og 5/6, må være musikalsk relevante. Men Pythagoras fandt hurtigt ud af, at det ikke var tilfældet. Det var nemlig ikke muligt af få disse sidste talforhold passet ind i den diatoniske skala sådan som jeg har beskrevet det i andre artikler. Prøv nu selv at stille monokordens skyder ved de nævnte tal (som man altså bliver nødt til at omregne til decimalbrøker), og lyt til de respektive toner. På den klassiske monokord kan man kun høre én tone ad gangen; man kan altså ikke høre, hvordan et interval lyder som en samklang. Men det kan vi på SUPERMONOKORDEN. Efter at vi har aktiveret den aktuelle tone ved at klikke i billedfeltet med højre mus, kan vi nemlig tilføje basistonen ved at holde CTRL nede. Basistonen afbrydes igen, når CTRL slippes. Den anden tone afbrydes på sædvanlig vis med et klik på mellemrumstangenten. Vær opmærksom på at hvis man forlader billedfeltet, mens CTRL stadig holdes nede, kan basistonen først afbrydes, når man igen har klikket i billedfeltet (når dette har genvundet fokus). Det kan undertiden være lidt besværligt at få skyderen placeret det rigtige sted, og i nogle tilfælde er det slet og ret umuligt, fordi det som før nævnt er skærmens opløsning, der bestemmer, i hvor små trin skyderen kan flyttes. Men stedet for at flytte skyderen manuelt kan man så indtaste intervallet dér, hvor der står <indtast frekvenskvotient>. Hvad der forstås ved en frekvenskvotient, forklarer jeg lidt længere fremme; her skal vi bare vide, at i frekvenskvotienten er tæller og nævner byttet om i forhold til de brøker, vi foreløbig har arbejdet med; eksempelvis skal vi altså skrive 2/1, hvor vi før skrev 1/2, og vi skal skrive 3/2, hvor vi før skrev 2/3. Når man derefter klikker på knappen <markér interval>, flytter skyderen sig automatisk hen til den rigtige position (skyderens reelle position er naturligvis stadig afhængig af skærmens opløsning, men tallene vises med de rigtige værdier). Prøv nu at indtaste nogle af de intervaller, vi allerede har hørt som toner (hvor basistonen altså ikke var med) som frekvenskvotienter, og lyt til deres klanglige kvalitet ved at bruge den netop beskrevne metode: Den højeste af tonerne aktiveres ved at klikke med højre mus i billedfeltet, hvorefter den 3

4 dybeste tone (basistonen) tilføjes ved at holde CTRL nede. Man kan også systematisk gå denne række igennem: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6, 8/7, 9/8, 10/9... Rækken definerer en følge af intervaller, hvor de to tonerne gradvist nærmer sig hinanden, og hvor virkningen bliver mere og mere dissonerende, jo længere man kommer frem. På et tidspunkt kan virkningen dog ikke længere karakteriseres som egentlig dissonerende, snarere som pulserende. Det er det akustisk fænomen svævning, som opstår, når to toner ligger meget tæt på hinanden. Jo tættere de to toner ligger, desto langsommere er den pulserende effekt, og den ophører helt, når de to toner smelter sammen til én (det er som tidligere nævnt denne effekt klaverstemmeren lytter efter, når to strenge skal stemmes i samme frekvens). Svævningsfænomenet kan man eksempelvis høre, hvis man indtaster frekvenskvotienten 41/40. Forsøger man med toner, der ligger endnu tættere sammen, vil man muligvis ikke høre effekten; det er et teknisk problem, som har at gøre med den måde tonen genereres på. Problemet kan overvindes, hvis man vælger en højere basistonen. Sætter man denne til 400 Hz, vil man f.eks. tydeligt kunne høre mikrointervallet 81/80 som et svævningsfænomen. Dette interval er kendt som det syntoniske komma 1 ; det fremkommer som differensen mellem den pytagoræiske terts, 81/64, og naturtertsen, 5/4. 2 Prøv i denne forbindelse også at lytte til pytagoræiske terts, 81/64, og sammenlign den med naturtertsen, 5/4. Læg mærke til, at 5/4 også kan skrives som 80/64; forskellen mellem de to tertser er altså ganske lille, nemlig det netop nævnte syntoniske komma, 81/80. Oprindeligt var det kun oktaven, kvinten og kvarten, der blev regnet som konsonerende, men i dag regner man også den store og den lille terts samt disses omvendinger, den lille og den store sekst, som konsonerende. Allerede det peger i retning af, at der er tale om en mere eller mindre subjektiv vurdering. Den klassiske definition af konsonansen som et interval, der er defineret ved et simpelt talforhold, holder ikke stik. I så fald skulle eksempelvis den pytagoræiske terts, 81/64, som vi lige har lyttet til, være ekstremt dissonerende, hvad den jo notorisk ikke er. Det vil være mere rigtigt at sige, at de simple talforhold definerer de maksimale konsonanser, og at den konsonerende virkning langsomt aftager, efterhånden som vi fjerner os fra et af disse maksima for så igen at tiltage, når vi nærmer os det næste maksima. Kun i yderpunkterne (sekunder og septimer) bliver virkningen decideret dissonerende. Her har jeg forsøgt at illustrere hvordan virkningen forløber mellem den lille og den store naturterts: Figur 3 Kurven må ikke tolkes som en eksakt fremstilling af forløbet, og man kan næppe heller opstille kriterier for en objektiv vurdering. Den vandrette stiplede linie skal angive, hvor skiftet fra konsonans til dissonans sker men altså beroende på en subjektiv vurdering. Når den store terts er placeret højere, betyder det, at jeg vurderer denne som lidt mere konsonerende end den lille terts, og når 1 Intervallet kaldes også det didymiske komma efter den græske musikteoretiker Didymus, der levede i det første århundrede før vor tidsregning. 2 En mere detaljeret og også mere nøjagtig demonstration af svævningsfænomenet, kan man finde i programmet INTER- VALLET; bl.a. kan man her følge lydkurvens udvikling. 4

5 kurven falder hurtigere i venstre side end i højre, betyder det, at den nærmeste simple brøk mod venstre er 9/8, som definerer den decideret dissonerende store sekund, mens vi mod højre har en ny konsonans, nemlig kvarten, 4/3. Jeg har også markeret, hvor den pytagoræiske terts skal findes. For at finde de simpleste af de princippet uendeligt mange rationelle brøker, der ligger mellem 6/5 og 5/4, kan vi bruge Farey-algoritmen, som jeg har beskrevet i en anden artikel, og som man kan beregne i et program, jeg ligeledes har skrevet. Vælger vi eksempelvis 23 som højeste tal, får vi beregnet disse brøker: 6/5, 21/17, 17/14, 11/9, 16/13, 23/19, 5/4 I en musikalsk fortolkning repræsenterer disse brøker altså en række intervaller med forholdsvis simple frekvenskvotienter, som ligger imellem den lille og den store naturterts. Prøv engang at indsætte brøkerne dér, hvor der står <indtast frekvenskvotient> og lyt til intervallerne. Det er min erfaring, at de fleste mennesker har svært ved at afgøre, hvilket af dem, der er det mest velklingende. Når jeg selv vil betegne det kvalitative indtryk af alle syv intervaller som tertsagtig, er det naturligvis fordi jeg associerer til de intervaller, jeg kender fra musikken, men jeg udtrykker samtidig, at jeg oplever en glidende overgang. 3 Dermed siger jeg ikke, at det ene interval musikalsk set kan være lige så godt som det andet. Faktisk kan ingen af dem bruges musikalsk! Jeg siger blot, at der ikke er den store forskel på, hvordan vi kvalitativt vurderer hvert af disse intervaller, når vi hører det som et isoleret akustisk fænomen. Det er noget ganske andet, når et interval indgår i en musikalsk sammenhæng. Så er det ikke længere intervallet som akustisk fænomen, opmærksomheden er rettet mod, men derimod intervallet som tonalt fænomen. Her vurderer vi intervallet efter den funktion, det har i det tonale system og vi vil hurtigt finde ud af, at naturtertsen ikke hører hjemme i dette system! I forlængelse heraf vil jeg foreslå endnu et forsøg med monokorden: Begynd med at sætte skyderen ved 1 (det sikreste er at klikke på knappen <nulstil>). Nu aktiveres både den aktuelle tone og basistonen altså både højreklik i billedfeltet og CTRL 4. Flyt så langsomt skyderen mod venstre, idet begge knapper på musen holdes nedtrykket. Vi gennemløber nu hele skalaen i et glissando, samtidig med at vi hører basistonen. I begyndelsen høre vi det før omtalte svævningsfænomen derefter er det op til læseren selv at afgøre, hvornår vi hører en konsonans, og hvornår vi hører en dissonans! * * * Vi skal nu se, hvordan diverse toner og intervaller bliver markeret på de to andre målestokke. Når vi indtaster intervallerne som frekvenskvotienter, sådan som vi har gjort i de sidste forsøg, er det egentlig den akustiske målestok, der refereres til. Her udtrykkes en tones højde som et frekvenstal, og frekvenstallet er omvendt proportionalt med strengens længde; eksempelvis er frekvenstallet 3/2, når strengens længde er 2/3. I programmet SUPERMONOKORDEN er frekvenstallet dog ikke defineret sådan, som man normalt gør det i akustikken, nemlig som antallet af svingninger per sekund den enhed der kaldes Hertz, forkortet Hz. I stedet er frekvenstallet defineret i forhold til monokorden, dvs. den tone, der svarer til monokordens løse streng, sættes lig med 1. Tallene på den akustiske målestok skal derfor forstås som relative frekvenstal; de kan omregnes til almindelige akustiske frekvenstal ved at vi ganger dem med basistonens frekvens. Når basistonen f.eks. er sat til 220 Hz, vil kvinten den tone, vi på monokorden finder ved 2/3 (0,6667) og på den akustiske målestok ved 3 Som et andet eksempel kan nævnes, at der mellem 5/4 og 81/64, altså det syntoniske komma, findes 18 andre rationelle brøker, når vi sætter den øvre grænse til Her vil man kunne opleve, at tonen bliver svagere eller måske endda helt forsvinder, når man tilføjer basistonen. Idet den samme tone jo nu høres fra to forskellige lydgivere, kan det nemlig ske, at disse kommer i modfase; man skal i så fald blot slippe CTRL et kort øjeblik og prøve igen. 5

6 3/2 (1,5) lyde med frekvensen 220 3/2 = 330 Hz. Dette tal kan i øvrigt aflæses i tekstboksen over monokorden til venstre (se også eksemplet i fig. 2). Den naturlige skalainddeling på den akustiske målestok er naturtoneskalaen, således kaldet fordi det er den eneste skala, der forekommer som naturligt akustisk fænomen 5. Den kan kort beskrives som den akustiske realisation af den naturlige talrække. Hvis vi vil afspille naturtoneskalaen på monokorden, skal vi altså vælge den reciprokke talrække: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10... Det kan vi imidlertid komme nemmere om ved. I rubrikken øverst til venstre kan vi vælge at inddele monokordens skala efter naturtonerne: Klik på knappen <naturtoner> og derefter på knappen <inddel>. Monokorden vil nu se sådan ud: Figur 4 Tallene er en nummerering af naturtonerne, men de kan også tolkes som den reelle position på monokorden, når de læses som nævneren i diverse stambrøker. Til sammenligning ses den akustiske målestok her: Figur 5 Den akustiske målestok er åben mod højre, og når vi fører monokordens skyder langt nok mod venstre, vil skyderen på den akustiske målestok forsvinde ud af skærmen til højre. Omvendt vil monokordens skyder forsvinde ud af skærmen til højre, hvis skyderen på den akustiske målestok kommer ind i området mellem 0 og 1. Man kan sige, at hele talrækken mellem 1 og spejler sig i intervallet mellem 0 og 1 i form af de reciprokke tal, og sådan som monokordens skala her er inddelt, kan den betragtes som en forstørret udgave af intervallet mellem 0 og 1 på den akustiske målestok. Kalder vi det tal der aflæses på monokorden M, og det tal der aflæses på den akustiske målestok N (står for naturtoneskalaen), er de to målestokke altså forbundet ved omregningsformlerne: N = 1 / M og M = 1 / N SUPERMONOKORDEN er også udstyret med en facilitet til automatisk afspilning af naturtoneskalaen: I rubrikken <Naturtoneskalaen> øverst til højre på skærmen vælger man det afsnit af skalaen, man vil hører, hvorefter man klikker på knappen <afspil>. Under afspilningen flytter alle tre skydere sig automatisk frem til den aktuelle tone. Tempoet vælges i rubrikken <Lyd>, umiddelbart oven over. Prøv nu at lytte til naturtoneskalaen, idet defaultindstillingen bevares (dvs. man hører de første 16 af skalaens toner i et rimeligt hurtigt tempo). Tonehøjden kan hurtigt nå den grænse, hvor det ikke længere er muligt at skelne tonerne klart fra hinanden, eller hvor tonen ligefrem bliver ubehagelig at høre på. Hvis vi specielt vil studere den højere del af naturtoneskalaen, må vi derfor vælge en dybere basistone; til gengæld kan vi måske så ikke længere høre de dybeste toner. Prøv f.eks. at sætte basistonen til 20 Hz. Man skal have en vir- 5 Det er f.eks. denne tonerække, som naturligt frembringes på blæseinstrumenter som trompet, horn, basun m.fl. En større eller mindre del af naturtonerne vil også ledsage enhver tone, som frembringes ved at en streng eller et andet elastisk legeme sættes i svingninger. I dette tilfælde bruger man gerne betegnelsen overtonerækken; det er overtonerækkens sammensætning, der bestemmer en tones klanglige valeur. 6

7 kelig god højttaler eller hovedtelefon, for at kunne høre begyndelsen af naturtoneskalaen, men til gengæld kan vi nu uden problemer høre op til naturtone nr.32 eller højere. Som defaultindstilling vises de første 32 naturtoner på den akustiske målestok, men i rubrikken <Skalainddeling på B og C> kan den både stilles højere og lavere. Når der som defaultværdi står 5, betyder det, at skalaen omfatter 5 oktaver, hvad der netop dækker de 32 første naturtoner. Prøv at forhøje tallet til 6. Nu går skalaen op til 64. Vælg så at få afspillet naturtoneskalaen fra 50 til 60, og sænk forinden basistonen til 10 Hz. Når afspilningen startes, kan man godt fornemme, at frekvensen stiger fra tone til tone (se tekstboksen <aktuelt frekvenstal>); men det er tydeligvis ikke intervaller, som er musikalsk relevante. Sådan som vi hører naturtoneskalaen, bliver intervallet mellem tonerne to og to altså mindre og mindre, jo højere vi kommer op. Men sådan som naturtoneskalaen fremstilles på den akustiske målestok, er afstanden den samme overalt; skalaen er lineær, som matematikeren vil udtrykke det. Åbenbart bruger vi en anden målestok, når vi oplever skalaen i form af et umiddelbart sanseindtryk og det kan kun betyde, at det center i hjernen, den auditive cortex, der bearbejder lyd og specielt tonefølger, på én eller anden måde omregner et eksponentielt forløb til et lineært! Derom handler det næste afsnit. * * * Det målesystem, som vi refererer til, når vi hører et toneforløb, er det tonale. Den nederste af de tre målestokke på SUPERMONOKORDEN, er den tonale målestok. Inddelingen markerer oktaverne, og som man kan se, er inddelingen ækvidistant, dvs. der lige stor afstand mellem alle delelinjer. Det er på samme måde oktaverne ligger på klaviaturet, og klaviaturet kan faktisk opfattes som en fysisk manifestation af den tonale målestok. Når skalainddelingen på den akustiske målestok er lineær, er den på den tonale målestok logaritmisk, mens det omvendt gælder, at hvis vi lader skalainddelingen på den tonale målestok være lineær, så vil den akustiske målestok blive eksponentiel (logaritmefunktionen og eksponentialfunktionen er hinandens modsætninger, på samme måde som addition er det modsatte af subtraktion, og multiplikation er det modsatte af division). Dette omvendte forhold mellem de to målestokke kan demonstreres ved at vi igen følger naturtoneskalaen, som jo er identisk med skalainddelingen på den akustiske målestok. Opgaven går så ud på at aflæse skyderens stilling på den tonale målestok, og stille de sammenhørende værdier op i en tabel. Vi kan naturligvis gøre det ved trin for trin at flytte skyderen manuelt, men tabellen genereres faktisk automatisk, idet vi afspiller skalaen. Her ser vi tabellen for de 32 første naturtoner: Figur 6 7

8 Normalt er tabellen minimeret, så man kun ser en enkelt række, men når man klikker nu på knappen <maximér tabel> åbnes tabellen, sådan som det er vist i fig.6. Her kan vi umiddelbart sammenligne de tre mål med hinanden: monokorden, den akustiske målestok og den tonale målestok. Det er kun de to sidste mål, der har interesse i denne forbindelse, og det første vi skal lægge mærke til er, at de hele tal på den tonale målestok: 0, 1, 2, 3, 4 og 5, svarer til tallene 1, 2, 4, 8, 16 og 3 på den akustiske målestok. Sammenhængen mellem disse to talrækker bliver tydeligere, når vi udtrykker frekvenstallene som en potens af 2: n n Går vi fra den nederste til den øverste række kan sammenhængen formuleres sådan: Den tonale værdi er lig med den eksponent, vi skal give 2 for at få frekvenstallet. Måske husker man fra sin skoletid, at dette er definitionen på en logaritme! Generelt lyder definitionen: Logaritmen til et tal er den eksponent, man skal give grundtallet for at få tallet. Normalt regner vi med 10-talslogaritmer, dvs. grundtallet er 10; men her grundtallet 2, dvs. det handler om 2-talslogaritmer (også kaldet binære logaritmer). De tal vi aflæser på den tonale målestok, er med andre ord 2-talslogaritmerne til frekvenstallene. I ovenstående lille tabel, hvor n og 2 n er sammenstillet, kan vi let aflede den øverste række af den nederste (altså at finde logaritmerne); men der findes ikke nogen let metode, hvorved vi kan udregne logaritmerne til de mellemliggende hele tal for ikke at tale om de derimellem liggende brøker. Her var man tidligere henvist til en logaritmetabel, men i dag vil man naturligvis bruge en lommeregner. 6 På det punkt fungerer SUPERMONOKORDEN også som en slags regnemaskine: Stil skyderen på den akustiske målestok på det tal, man ønsker at finde logaritmen til, og aflæs denne ud for skyderen på den tonale målestok. I tabellen fig.6 har vi faktisk også fået genereret en logaritmetabel, dog kun for de hele tal. Ligesom vi før formulerede omregningsformlerne fra monokordtal til frekvenstal og omvendt, vil vi nu formulere omregningsformlerne fra frekvenstal til tonale tal og omvendt. Frekvenstallene symboliserer vi som før ved bogstavet N (Naturtoneskalaen); den tonale værdi vil vi symbolisere ved det græske bogstav θ (det græske theta, som jeg her bruger som en forkortelse for tone): θ = log 2 N og N = 2 θ * * * Hvis man vil forstå tonesystemets og skaladannelsens matematik, er det nødvendigt at have i det mindste et elementært kendskab til logaritmer for som det gerne skulle være fremgået af det foregående, så er det ikke frekvenstallene vi skal bruge, når vi f.eks. vil påvise et matematisk princip bag skaladannelsen, men det er frekvenstallenes logaritmer. Derfor vil jeg nu sige lidt mere om dette matematiske begreb. Den heltallige del af logaritmen kaldes karakteristikken (af græsk karakteristikon, der betyder særpræg), mens decimaldelen kaldes mantissen (af latin mantissa, der betyder tilføjelse). Logaritmerne udgør et periodisk system, hvor mantisserne gentages fra periode til periode, mens karakteristikken løbende hæves med 1. Når frekvenstallet er 1, 2, 4, 8, 16 osv., nemlig ved periodens begyndelse, er mantissen 0; men mantissen er også den samme, når vi vælger et andet frekvenstallet og 6 For at finde 2-talslogaritmen til et tal skal man først at finde den almindelige 10-talslogaritme, hvorefter denne divideres med logaritmen til 2. Fremgangsmåden på lommeregneren er denne: 1) indtast tallet, 2) tryk LOG, 3) tryk, 4) indtast 2, 5) tryk LOG, 6) tryk =. 8

9 løbende fordobler dette. I fig. 6 kan vi f.eks. se, at logaritmerne til 3, 6, 12 og 24 alle har mantissen -,5850, mens karakteristikken følger talrækken. Prøv også at finde andre eksempler! Det skulle nu ikke være svært at indse, at eftersom tallene på den tonale målestok repræsenterer toner, og eftersom tonesystemet er periodisk opbygget, idet perioden her kaldes en oktav, så er mantissen et udtryk for tonens placering inden for perioden. Hvis vi identificerer målestokkens nulpunkt med tonen C, så véd vi, at vi har at gøre med et C, hvis mantissen er 0. Men vi véd også, at hvis mantissen er -,5850, så har at gøre med et G. Hvordan nu det? Jo, G et ligger en kvint over C et, og kvinten er, som vi tidligere har fundet ud af, defineret ved frekvenskvotienten 3/2; vi har lige set, at 2-talslogaritmen til 3 er 1,5850, altså skal 2-talslogaritmen til 3/2 findes på samme position (samme mantisse) i den foregående periode: 1, = 0,5850. Dette er G et i 1. oktav; i de følgende oktaver skal karakteristikken blot løbende hæves med 1. Karakteristikken er således et udtryk for, hvilken oktav det aktuelle G er beliggende i. Prøv nu selv på den tonale målestok at flytte skyderen fra 0,5850 til 1,5850 og videre til 2,5850, 3,5850 og 4,5850, og lyt hvert sted til tonen (hvis det ikke er muligt at ramme tallet præcist, vælges det, der kommer tættest på). Men hvor finder vi de tilsvarende toner (her G er) på den negative del af skalaen? Flytter vi skyderen frem til 0,5850, vil vi ikke høre et G, men et F, altså den tone, som ligger en kvint under C. Problemet er, at G et nu ikke skal findes som kvinten over C et, men som kvarten under. Kvarten er kvintens omvending, dvs. dens størrelse findes som differensen mellem oktaven og kvinten, altså som 1 0,5850 = 0,4150. Flytter vi skyderen hen til dette tal, vil vi høre et F, men flytter vi skyderen hen til 0,4150, vil vi høre et G, og det samme vil vi ved 2,4150, 3,4150 og 4,4150 (igen kan det ske, at det ikke er muligt at ramme tallet præcist). SUPERMONOKORDEN anskueliggør grafisk, hvordan logaritmen til et tal mindre end 1 bliver negativ. Se også her den negative pendant til tabellen over heltallige eksponenter: n n 1/64 1/32 1/16 1/8 1/4 1/2 1 * * * Mange andre ting vedrørende såvel musik som matematik lader sig demonstrere og studere ved hjælp af SUPERMONOKORDEN; her vil jeg nu først demonstrere, hvordan det pytagoræiske komma fremkommer, og derefter vil jeg vise, hvordan vi finder den frekvenskvotient, der svarer til kvinten i det tempererede tonesystem. Vi kender efterhånden teknikken med at flytte skyderen hen til den korrekte position ved at indtaste en frekvenskvotient og klikke på knappen <markér interval>. Men klikker vi i stedet på knappen nedenunder, hvor der står <markér sekvens>, får vi genereret en sekvens af det interval vi har indtastet, eksempelvis en sekvens af kvinter og klikker vi på knappen nedenunder igen, hvor der står <afspil sekvens>, afspilles sekvensen automatisk. Ligesom da vi afspillede naturtoneskalaen kan tempoet vælges under rubrikken <Lyd>. Samtidig med sekvensen genereres en tabel (altså også selv om sekvensen ikke afspilles). Jeg kalder det en sekvens, men egentlig er det en skala, for det handler jo om at inddele den tonale målestok på grundlag af en anden enhed end oktaven. På den tonale målestok er oktaven fortsat den primære enhed, men nu kan altså vælge en sekundær enhed og få den markeret på målestokken. Som bekendt defineres det pytagoræiske komma som forskellen mellem 12 kvinter og 7 oktaver. Vi skal derfor som det første sørge for, at der vises 7 oktaver på den tonale målestok og det gør vi 9

10 ved i rubrikken <Skalainddeling på B og C> at indtaste et 7-tal og klikke på <inddel>. Derefter indtaster vi frekvenskvotienten 3/2 (kvinten) og klikker på knappen <markér sekvens>. Den tonale målestok vil nu se sådan ud (sml. med fig.3.2, hvor det dog kun er den positive del af skalaen, der er vist): Figur 7 For nemmere at kunne skelne kvinterne fra oktaverne, er de førstnævnte markeret med blåt. Som det fremgår af fig.7, genererer programmet 7 oktaver og 12 kvinter på både den positive og den negative del af den tonale målestok, men vi vil udelukkende fokusere på den positive halvdel. Det vi i denne forbindelse skal lægge mærke til er, at delestregerne ved hhv. 12 og 7 næsten falder sammen. Vi kan heller ikke regne med at få vist den korrekte tonale værdi, hvis vi bare flytter skyderen hen til 12-tallet, og aflæser tallet over skyderen (på min skærm er det 7,0194 svarende til 129,6000 på den akustiske målestok). Men her kommer tabellen os til hjælp: her finder vi i den allersidste linie, at de korrekte værdier er 7,0196 og 129,7463. For at finde det tonale (lineære) mål for det pytagoræiske komma, skal vi trække 7 oktaver fra ovennævnte tal: 7, = 0,0196. Det tilsvarende akustiske mål finder vi som 2 0,0196 = 1, Dette tal kan vi så omregne til en almindelig brøk sådan: / , og denne brøk kan vi dernæst indtaste som frekvenskvotient, hvorefter vi kan høre det pytagoræiske komma. Her gentager jeg lige fremgangsmåden: Når brøken er indtastet klikkes på <markér interval>. Når vi så klikker med højre mus i et af billedfelterne (ligegyldigt hvilket, men endelig med højre mus, for klikker vi med venstre flytter skyderen sig), hører vi den tone, som ligger et pytagoræisk komma over basistonen. Dernæst aktiverer vi basistonen med CTRL og nu hører vi begge toner, altså det interval, som kaldes det pytagoræiske komma. Vi vil høre det i form af svævning. På denne måde har vi dog kun fundet størrelsen af det pytagoræiske komma med en rimelig god tilnærmelse. For at finde den helt eksakte størrelse skal vi gå frem på denne måde: Udtrykt i akustisk mål er 12 kvinter lig med (3 / 2) 12 = / 4096; derfra skal vi så trække 7 oktaver, hvilket igen sker ved division med 2 7 = 128, altså / / 128 = / Dette er den eksakte akustiske definition på det pytagoræiske komma. Den tilsvarende tonale størrelse finder vi som 2-tals logaritmen til denne brøk; den er med 5 rigtige decimaler 0, Hvis vi nu indtaster ovennævnte eksakte brøk som frekvenskvotient, vil de tal, vi kan aflæse over skyderne, dog være nøjagtig de samme som før afvigelsen ligger nemlig et godt stykke uden for de fire decimaler, vi kan aflæse. * * * Den næste opgave gik ud på at finde den frekvenskvotient, der svarer til kvinten i det tempererede tonesystem. Det fremkommer som bekendt ved at vi udligner forskellen mellem 12 kvinter og 7 oktaver (altså det pytagoræiske komma) ligeligt mellem alle 12 kvinter. Alle kvinter bliver altså en anelse for små, og de kaldes nu tempererede. Det tonale mål for den tempererede kvint er således per definition 7/12 eller ca. 0,5833. Vi skal nu blot indsætte dette tal som eksponent i omregningsformlen N = 2 θ, altså N = 2 0,5833. Men da det jo tydeligvis drejer sig om en periodisk decimalbrøk, kan vi lige så godt forøge nøjagtigheden ved at tilføje nogle flere 3-taller, og vi får da som resultat 1, Vi omregner nu dette tal til en almindelig brøk: / , indtaster den som frekvenskvotient og genererer samme sekvens som før: 10

11 Figur 8 Denne gang falder delestregerne ved hhv. 12 og 7 helt sammen vi har fået genereret det tempererede tonesystem, hvor 12 kvinter er lig med 7 oktaver! Jeg vender tilbage til tabellen, for af den kan vi nemlig dels direkte aflæse, dels aflede det akustiske og det tonale mål for samtlige toner alias intervaller i den kromatiske skala; her vil vi dog kun se på de tonale mål. Jeg gengiver her tabellen for både den tempererede og den pytagoræiske kvint: tempereret pytagoræisk Figur 9 Vi begynder med tabellen til venstre, hvor det er den positive del af sidste kolonne, vi skal fokusere på. Vi husker, at tonens navn er et udtryk for dens plads inden for oktaven, men det samme er jo mantissen. Her har vi altså fået tonenavnene og de tonale værdier koblet sammen. I den følgende opstilling identificerer vi som sædvanlig nulpunktet med tonen C. Navnene er angivet dobbelt ligesom på kvintcirklen. Tallene i øverste række svarer til venstre kolonne i fig ,0000 0,5833 0,1667 0,7500 0,3333 0,9167 0,5000 0,0833 0,6667 0,2500 0,8333 0,4167 C G D A E H Fis Cis Gis Dis Ais Eis Deses Ases Eses Bes Fes Ces Ges Des As Es B F Dermed har vi fået logaritmebegrebet koblet sammen med begreberne den udfoldede og den indfoldede orden (se artiklen Det naturlige tonesystem og skaladannelsens matematiske princip). I og med at det her handler om kvintskalaen, er tonerne i tabellen jo opstillet i den udfoldede orden; men hvis vi omgrupperer rækken, så tallene (dvs. mantisserne) ordnes efter stigende værdi, får vi den indfoldede orden. Med andre ord kan den udfoldede orden aflæses af logaritmerne, således som de er opstillet i tabellen fig.9, tonernes placering i kvintskalaen kan aflæses af karakteristikken, og deres placering inden for oktaven, altså den indfoldede orden, kan aflæses af mantissen. 11

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Hvad er musik. 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse

Hvad er musik. 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse Hvad er musik 2 november 2015 Kulturstationen Vanløse Hvad er musik egentlig? (Hvad mener du?) Musik? Det skal bare lyde godt Hvad er musik? Følelser Rytme Klang Melodi Stilart - Genre Harmoni Overtoner

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

1. Forstærkning af melodien

1. Forstærkning af melodien http://cyrk.dk/musik/medstemme/ Medstemme Denne artikel handler om, hvordan man til en melodi kan lægge en simpel andenstemme, der understøtter melodien. Ofte kan man ret let lave en sådan stemme på øret,

Læs mere

Det naturlige tonesystem og skaladannelsens matematiske princip

Det naturlige tonesystem og skaladannelsens matematiske princip Det naturlige tonesystem og skaladannelsens matematiske princip tillige med en introduktion til computerprogrammet SKALAGENERATOREN af Jørgen Erichsen Denne artikel er et stærkt forenklet sammendrag af

Læs mere

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden

Kapitel 1. Musik, matematik og astronomi i oldtiden Kapitel 1 Musik, matematik og astronomi i oldtiden Pythagoras store opdagelse Erkendelsen af en sammenhæng mellem musik og matematik går langt tilbage i tiden. Ifølge en legende blev forbindelsen opdaget

Læs mere

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk

Guitar og noder. Melodispil og nodelære 1. position. John Rasmussen. Guitarzonen.dk Guitar og noder Melodispil og nodelære 1. position John Rasmussen Guitarzonen.dk Guitar og noder er udgivet som e-bog 2011 på guitarzonen.dk Forord Denne bog gennemgår systematisk tonernes beliggenhed

Læs mere

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion

Chromatic staff. Af Peter Hass. Introduktion Chromatic staff Af Peter Hass Introduktion Der har været musik, længe inden der var nodesystemer. Inden man indførte nodelinier, forsøgte man at notere musik ved hjælp af neumer som blot var upræcise angivelser

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1

Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1 Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1 Arbejdspapir til modul (1) matematik. 1. Grundlæggende håndtag i Gapminder.org. Åbn www.gapminder.org og vælg Gapminder World. Klik på andenaksen

Læs mere

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters

Læs mere

Akkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden.

Akkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden. Akkord Oversigt Oversigt Næste C -dur Cm C7 C6 Cm7 C ø Cm7b5 C9 Cm7b9 C11 C13 Cdim C+ Akkorder bruges til at akkompagnere musik. Akkorderne tænkes opbygget af tertser der er stablet på hindanden. Du kan

Læs mere

Tilgange til forståelse af rytme - og periodefornemmelse i lyset af både elev og lærer forudsætninger.

Tilgange til forståelse af rytme - og periodefornemmelse i lyset af både elev og lærer forudsætninger. Tilgange til forståelse af rytme - og periodefornemmelse i lyset af både elev og lærer forudsætninger. Af Michael Madsen www.michaelmadsen.dk Musik er fragmenteret lyd sat sammen i strukturer, og musikalitet

Læs mere

Brugervejledning. People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24

Brugervejledning. People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24 Brugervejledning People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24 1 Start programmet Isæt USB-nøglen i et ledigt USB-stik på computeren. Klik på: Klik på ikonet, når mappen på USB-nøglen er åbnet. Skulle

Læs mere

I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Vi har følgende grundtyper af flydestemmer:

I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Vi har følgende grundtyper af flydestemmer: Rockvokal Gert Uttenthal Jensen Frederiksborg Gymnasium & HF 2005 Flydestemme og akkorder 1. 3-stemmig flydestemme for lige stemmer I Rockvokal vil vi lave en 3-stemmige flydestemme for lige stemmer. Det

Læs mere

1. Vibrationer og bølger

1. Vibrationer og bølger V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

Musik, matematik og forholdsregler

Musik, matematik og forholdsregler MATEMATIK Baggrund lærer Hvis du skærer rør (tæppe-/nedløbs- eller et andet rør) i tre forskellige længder, f.eks. 1 meter, 66,6 cm og 1/2 m, vil du få tre forskellige toner: en grundtone (1m) oktaven

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder.

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder. s Grundtræning 7-12 måneder. Indledning. Vi har under hvalpe træningen lagt vægt på at præge hvalpen i rigtig retning og forberede den til dens fremtidige arbejdsopgaver. Vi skal nu i gang med at indarbejde

Læs mere

Nodelæsning. Guitarister

Nodelæsning. Guitarister Nodelæsning for Guitarister Jesper og Morten Nordal Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele af den er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. 2012 MUFO ISMN-nr:

Læs mere

Italesættelse. Baggrund lærer. Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller

Italesættelse. Baggrund lærer. Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller Baggrund lærer MUSIK Hvordan taler vi om musikken og om kompositionen? Toner og Intervaller Toner er musikkens byggesten. Toner er frekvenser og de måles i hertz. Intervaller er afstanden mellem to toner.

Læs mere

SKOLESTART. Nr. 7, 2004 Børnehaveklasseforeningen. Af Kirsten Wangebo

SKOLESTART. Nr. 7, 2004 Børnehaveklasseforeningen. Af Kirsten Wangebo SKOLESTART. Nr. 7, 2004 Børnehaveklasseforeningen Alting starter et sted Hvis alle undervisere vidste, hvilken betydning børnehaveklasselederen kan have for børnenes senere succes i skolen med læsning

Læs mere

Sådan bruger du bedst e-mærket

Sådan bruger du bedst e-mærket 1 Få flere online salg eller leads igennem 2 Beslutningsprocessen i et salg online Hvem styrer hvem? Frederik Bjerring kører en tidlig morgen i efteråret 2009 op langs roskildevej på vej til sit arbejde,

Læs mere

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL inn Stubsgaard 8585 lesborg VJLNIN TIL RØRKLOKKSPIL Tidligere trykt som artikel i Tidsskriftet ysik Kemi, udgivet af anmarks ysik- og Kemilærerforening, Julen 1996, 22 årgang nr 5. Revideret i forbindelse

Læs mere

Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002

Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002 Om skalaer, tonearter og akkorder 1 CD 02/2002 Når skalaen ligger fast har man materialet til melodisk og harmonisk stof i skalaens toneart Vi spiller Lille Peter Edderkop i C dur og kan derfor betjene

Læs mere

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder.

Spanielskolens Grundtræning 7-12 måneder. s Grundtræning 7-12 måneder. Indledning. Vi har under hvalpe træningen lagt vægt på at præge hvalpen i rigtig retning og forberede den til dens fremtidige arbejdsopgaver. Vi skal nu i gang med at indarbejde

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

DKK Rally-lydighed, Øvede-klassen. 40. Fristende 8-tal

DKK Rally-lydighed, Øvede-klassen. 40. Fristende 8-tal DKK Rally-lydighed, Øvede-klassen. 40. Fristende 8-tal Øvelsen består af 2 madskåle eller lignende fristelser samt 2 kegler, stolper eller personer og der skal gås et 8-tal rundt om de to yderste kegler.

Læs mere

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Indhold Musik Lyd Natur/teknik... 2 Lyd... 2 Toner... 3 Musikinstrumenter... 3 Idiofoner...4 Membranofoner... 4 Kordofoner...

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data En vigtig metode til at få overblik over data er at tranformere dem, således at der fremkommer en lineær sammenhæng. Ordet transformation

Læs mere

Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse

Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Om grundbogen Format er et læremiddel, som både har en grundbog med 8 hovedafsnit, et tilhørende evalueringsmateriale og til hvert af hovedafsnittene er der ligeledes

Læs mere

Indhold. OpenOffice Writer fortsættelse Side 1 af 14

Indhold. OpenOffice Writer fortsættelse Side 1 af 14 OpenOffice Writer fortsættelse Side 1 af 14 Indhold Indhold... 1 Tabulatorer... 2 Kontroltegn... 4 Indrykninger... 5 Punktopstilling... 5 Indstilling for tal og bogstaver... 7 Indstilling for punkttegn...

Læs mere

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

At lave dit eget spørgeskema

At lave dit eget spørgeskema At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-

Læs mere

Lær at spille efter becifring

Lær at spille efter becifring 1 Lær at spille efter becifring Becifringsklaver med - brudte akkorder - Jan Kuby 2 Lærerorientering Anvendelse Overalt hvor unge og voksne undervises i becifringsklaver. Fra den frivillige musikundervisning

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Rapport. Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD. Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus

Rapport. Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD. Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus Rapport Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus 2003-08-19 DELTA Dansk Elektronik, Lys & Akustik Teknisk-Audiologisk

Læs mere

Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel.

Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel. Måske en lidt overambitiøs titel. Vi har vel alle en ret personlig oplevelse af hvad musik er. Kan man overhovedet definere hvad musik er? Nej vel. Meningen med dette foredrag er at tage dig med på en

Læs mere

Grafisk design. Kommunikation/it Roskilde Tekniske Gymnasium 12/12-08. Klasse 1.2 Tamana og Sesilje

Grafisk design. Kommunikation/it Roskilde Tekniske Gymnasium 12/12-08. Klasse 1.2 Tamana og Sesilje Grafisk design Kommunikation/it Roskilde Tekniske Gymnasium 12/12-08 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Farver... 4 Kompositioner... 7 Typografi... 8 Praktisk arbejde... 10 Vores rapport opbygning...

Læs mere

VELKOMMEN TIL PHOTO STORY FOR WINDOWS

VELKOMMEN TIL PHOTO STORY FOR WINDOWS VELKOMMEN TIL PHOTO STORY FOR WINDOWS Jens Honoré 2005 Photo Story er et program, du kan bruge til at lave en billedfortælling med. Du kan: Indsætte billeder Ændre billedernes farver Tilføje effekter til

Læs mere

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadranterne i instrumentpakken fra geomat.dk er kopier af et instrument lavet af Georg Hartman i 1547. Originalen

Læs mere

Opdage styrken ved Bézier maskering

Opdage styrken ved Bézier maskering Opdage styrken ved Bézier maskering Gary Rebholz Tilbage i februar 2007 rate af denne kolonne, jeg talte om at skabe maskering spor i Vegas Pro software. Jeg vil gerne bruge denne måneds kolonne til en

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Øvelser i Begynderklassen.

Øvelser i Begynderklassen. Øvelser i Begynderklassen. 1 Her starter banen! Tidtagningen begynder, når dommeren kommanderer "Fremad". 2 Banen er slut - Tidtagningen stoppes 3* Højre sving. 90 skarp drejning til højre. Som ved normal

Læs mere

Søren Christiansen 22.12.09

Søren Christiansen 22.12.09 1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Brug Photo Story 3 en let introduktion

Brug Photo Story 3 en let introduktion Brug Photo Story 3 en let introduktion Denne vejledning forudsætter at programmet Photo Story 3 er installeret på din computer. Se andetsteds for vejledning i at installere programmet, der kan findes gratis

Læs mere

Læreplan for faget solosang på Odsherred Musikskole KROP OG INSTRUMENT. Kropsforståelse

Læreplan for faget solosang på Odsherred Musikskole KROP OG INSTRUMENT. Kropsforståelse Læreplan for faget solosang på Odsherred Musikskole Elevens navn: KROP OG INSTRUMENT Kropsforståelse At trække vejret dybt og styre mavemusklerne Trække vejret helt dybt og styre udåndingen Trække vejret

Læs mere

Windows XP. Tilpasning af computeren

Windows XP. Tilpasning af computeren Side 1 af 12 Windows XP Tilpasning af computeren Indhold Indhold...1 Indledning...2 Mus...2 Venstrehåndet...2 Dobbeltklikke...2 Musemarkøren...3 Musens følsomhed...3 Scrollehjul...4 Indstilling af Skærm...4

Læs mere

18 Multivejstræer og B-træer.

18 Multivejstræer og B-træer. 18 Multivejstræer og B-træer. Multivejs søgetræer. Søgning i multivejssøgetræer. Pragmatisk lagring af data i multivejstræer. B-træer. Indsættelse i B-træer. Eksempel på indsættelse i B-træ. Facts om B-træer.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Billund Bygger Musik: Lærervejledning

Billund Bygger Musik: Lærervejledning Billund Bygger Musik: Lærervejledning Science of Sound og Music Velkommen til Billund Builds Music! Vi er så glade og taknemmelige for, at så mange skoler og lærere i Billund er villige til at arbejde

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Overordnet set kan man inddele matematikholdige tekster i to kategorier tekster i matematiksammenhænge og tekster i andre sammenhænge.

Overordnet set kan man inddele matematikholdige tekster i to kategorier tekster i matematiksammenhænge og tekster i andre sammenhænge. I Fælles Mål 2009 er faglig læsning en del af CKF et matematiske arbejdsmåder. Faglig læsning inddrages gennem elevernes arbejde med hele Kolorit 8, men i dette kapitel sætter vi et særligt fokus på denne

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Formler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP

Formler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

KOMMANDOER. 15.1 Formål. 15.2 Indledning. At give viden om hvilke kommandoer der anvendes i forskellige rosituationer.

KOMMANDOER. 15.1 Formål. 15.2 Indledning. At give viden om hvilke kommandoer der anvendes i forskellige rosituationer. 15.1 Formål KOMMANDOER At give viden om hvilke kommandoer der anvendes i forskellige rosituationer. 15.2 Indledning En god styrmand skal kunne give sit mandskab korrekte, præcise og klare kommandoer i

Læs mere

Individuelle kompetencer med bold (læringsmål)

Individuelle kompetencer med bold (læringsmål) Individuelle kompetencer med bold (læringsmål) 1. Løbe med bold (drible) 2. Retningsskift med bold 3. Rulle med bolden under fodsålen. 4. Korte rytmer med bold 5. Trække bold baglæns med fodsål 6. Sparke

Læs mere

Gradsprøver. -program. European Piano Teachers Association

Gradsprøver. -program. European Piano Teachers Association Gradsprøver -program European Piano Teachers Association EPTA Danmark Carit Etlarsvej 4, 2840 Holte Tel: 45 42 29 63 Mobil: 28 39 01 07 Fax: 38 33 52 58 e-mail: info@epta.dk www.epta.dk BG Bank: 1551-0016796603

Læs mere

Kom/IT rapport Grafisk design Anders H og Mikael

Kom/IT rapport Grafisk design Anders H og Mikael Kom/IT rapport Grafisk design Anders H og Mikael Denne rapport i grafisk design, vil tage udgangspunkt i den PowerPoint præsentation vi lavede i forbindelse med en opgave i samfundsfag. Rapporten er inddelt

Læs mere

1. At afhjælpe eventuelle alarmer fra anlægget. 2. Bestille syre inden syretanken er tom anlægget kommer med en blød alarm i god tid.

1. At afhjælpe eventuelle alarmer fra anlægget. 2. Bestille syre inden syretanken er tom anlægget kommer med en blød alarm i god tid. Kvik-manual 1. At afhjælpe eventuelle alarmer fra anlægget. 2. Bestille syre inden syretanken er tom anlægget kommer med en blød alarm i god tid. 3. Kalibrere ph-måler hver 4. uge jf. manualen. Version

Læs mere

Bevægelses analyse med SkillSpector. Version 1.0 Sidste opdatering: 14/05-2008

Bevægelses analyse med SkillSpector. Version 1.0 Sidste opdatering: 14/05-2008 Bevægelses analyse med SkillSpector Version 1.0 Sidste opdatering: 14/05-2008 Hvad er SkillSpector SkillSpector er software program til video baseret bevægelses analyse. Der er følgende muligheder med

Læs mere

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Kapitel I til Grafisk design. Kromatisk/akromatisk opbygning af gråkomponenten

Kapitel I til Grafisk design. Kromatisk/akromatisk opbygning af gråkomponenten Kapitel I til Grafisk design opbygning af gråkomponenten Kapitel I 2 opbygning af gråkomponenten Det følgende kapitel er en præcisering af side 101 i bogen»grafisk design«. De seks første lodrette farvefelter

Læs mere

Praktisk træning. Bakke. & bagpartskontrol. 16 Hund & Træning

Praktisk træning. Bakke. & bagpartskontrol. 16 Hund & Træning Praktisk træning Tekst: Karen Strandbygaard Ulrich Foto: jesper Glyrskov, Christina Ingerslev & Jørgen Damkjer Lund Illustrationer: Louisa Wibroe Bakke & bagpartskontrol 16 Hund & Træning Det er en fordel,

Læs mere

Forslag til hvilestillinger Lig på ryggen med en pude under knæene. Løfteteknik Når du løfter, skal du huske at:

Forslag til hvilestillinger Lig på ryggen med en pude under knæene. Løfteteknik Når du løfter, skal du huske at: Smerter i ryggen Forslag til hvilestillinger Lig på ryggen med en pude under knæene. Lig på siden med en pude mellem benene. Puden vil få dig til at slappe bedre af. Løfteteknik Når du løfter, skal du

Læs mere

Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Et kompositions og arrangements oplæg

Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Et kompositions og arrangements oplæg Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Ole Skou feb.2011 side 1 Komponer mønstre i nøglerytmer ud fra Dm og C Et kompositions og arrangements oplæg Oplægget er en demonstration af en metode til

Læs mere

TIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR

TIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR TIPS & TRICKS TIL EN GOD TUR Sådan sikrer du dig, at eleverne både får en sjov dag og noget fagligt med hjem. FØR TUREN Fortæl klassen om den tematur, de skal på. Lad eleverne drøfte de spørgsmål, som

Læs mere

Men det er da et nydeligt objektiv, ik?

Men det er da et nydeligt objektiv, ik? Generelt indtryk Macro Takumar 50mm f/4 blev produceret fra 1964, og blev i 1966 afløst af en redesignet udgave. Afløseren (Super Macro Takumar 50mm f/4) blev i 1971 jo afløst af Super-Multi-Coated Macro

Læs mere

IDAP manual Analog modul

IDAP manual Analog modul IDAP manual Analog modul Dato: 15-06-2005 11:01:06 Indledning Til at arbejde med opsamlede og lagrede analoge data i IDAP portalen, findes en række funktions områder som brugeren kan anvende. Disse områder

Læs mere

Evaluering af den skriftlige prøve i musik ved studentereksamen maj 2008

Evaluering af den skriftlige prøve i musik ved studentereksamen maj 2008 Evaluering af den skriftlige prøve i musik ved studentereksamen maj 2008 Oktober 2008 / Fagkonsulent Claus Levinsen Evalueringen indeholder et kort afsnit om censorernes kommentarer til årets opgavesæt

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459 Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt

Læs mere

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1): Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer

Læs mere

Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd

Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Reflecting everyday life Akustik og lyd Akustik er, og har altid været, en integreret del af byggemiljøet. Basis for lyd Akustik er en nødvendig design-faktor ligesom

Læs mere

Redigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer.

Redigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer. Redigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer. Der er ikke mange billeder, der er perfekte fra starten. Du kan gøre billeder bedre ved hjælp af de værktøjer som vises, når du åbner

Læs mere

Rally Lydighed Øvelsesbeskrivelser 2014 Begynderklassen

Rally Lydighed Øvelsesbeskrivelser 2014 Begynderklassen 1. Start Rally Lydighed Begynderklassen I begynderklassen er hunden i snor og skal føres i løs line. På hele banen bliver kontakten mellem hund og fører bedømt, herunder at hunden holder pladspositionen.

Læs mere

Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.

Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen

Læs mere

2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit

2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit Dette er den anden af fem artikler under den fælles overskrift Matematiske Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Information og træningsprogram. Smerter i ryggen. Fysioterapien

Information og træningsprogram. Smerter i ryggen. Fysioterapien Information og træningsprogram Smerter i ryggen Fysioterapien Indholdsfortegnelse Hvilestillinger og løfteteknik side 2 Fra liggende til siddende stilling side 3 Siddestillinger side 4 Øvelser for ryggens

Læs mere