Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Projekter: Kapitel 9

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel 9"

Transkript

1 I 1969 havde utilfredsheden med det amerikanske engagement i Vietnamkrigen også spredt sig til den måde nogle amerikanere tilsyneladende kunne unddrage sig militærtjenesten efter forgodtbefindende. Det blev derfor besluttet at gøre udsendelsen mere retfærdig ved at indkalde de følgende årgange via en national repræsentativ lodtrækning, der altså ikke favoriserede bestemte befolkningsgrupper osv. Det blev ydermere besluttet at lade udtrækningen afhænge af fødselsdatoen. De 366 mulige fødselsdage blev lagt ind i kapsler og placeret i en stor gennemsigtig tønde, hvorefter kapslerne blev trukket én for én. Den først udtrukne fødselsdato fik udtrækningsnummeret 1, den næste udtrækningsnummeret 2 osv. Jo lavere udtrækningsnummer man trak jo større chance for at blive sendt af sted, idet de udsendte kompagnier blev fyldt op nedefra i forhold til deres udtrækningsnummer. Blandt de mulige kandidater ved lodtrækningen var præsidenterne Bill Clinton og George W. Bush, der begge træk frinummer (311 og 327). Alt skulle således sikre retfærdighed i forhold til udsendelsen til den ikke altid lige populære krigstjeneste. Men efter offentliggørelsen af udtrækningen kom der hurtigt protester frem om at den havde favoriseret kandidater med en lav fødselsdato og overrepræsenteret kandidater med en høj fødselsdato. The New York Times, 4 Jan David E. Rosenbaum The new draft lottery is being challenged by statisticians and politicians who claim that the drawings for the lottery are not random. A federal district judge in Wisconsin has agreed to hear a test case on the lottery. It comes at a time when hundreds of thousands of men have been assigned a place in the draft sequence and the first men are about to be inducted using the new lottery. President Richard Nixon signed Nov.26 an executive order to "establish a random selection sequence" for induction. The order stipulated that the lottery would be based on birthdays but did not say how the dates should be chosen. After a staff meeting it was decided that the 366 dates of a year should be placed in capsules and then be drawn one by one from a large bowl. A man's draft number would then correspond to the order in which his birthday was drawn. For example Sept.14 was the first date drawn and June 8 was the last number drawn. Thus a man with birthday Sept.4 would have draft number 1 and someone born June 8 would have draft number 366. Pentagon manpower specialists believe that those in the last third of the numbers (200 to 366) would escape the draft entirely. A knowledgeable White House official said this week that "discussions that the lottery was not random are purely speculative." He added that there was no possibility of another drawing. Senator Edward Kennedy asked the National Sciences last month to analyze the "apparent lack of randomness" in the selection. The Academy has not yet decided whether to do this or not. The challenge to the randomness is being brought by Mr.Stodosky, a 24 year-old doctorate student in computer planning. The challenge is based on the average numbers for the men in the lottery for each month. If the system were random, each month could be expected to average around 183 or 184. Each of the first six months average above this 1

2 and each of the last six months average below it. Statisticians, who have studied the lottery, say that this could occur if the capsules with later months were not mixed as thoroughly as those with early months. Hvordan kan man nu undersøge dette problem? Hvis man kigger på listen over de udtrukne numre bliver det ikke meget klarere: Her står 258 for den først udtrukne fødselsdato (den 14. september) og alle der var født den 14. september var altså sikker på at blive udtrukket. Tilsvarende gælder for alle de følgende udtrukne numre. Dem der blev trukket tidligt var sikre på at komme af sted, dem der blev udtrukket sent var sikre på ikke at blive udsendt. Grænsen regnede man med ville ligge omkring udtrækningsnummeret 200, dvs. de første 200 udtrukne datoer var sikre på at blive sendt af sted, mens resten kunne regne med at trække frinummer. Det er de første 200 udtrukne fødselsdatoer vi har markeret med gråt i skemaet. men det gør det ikke nemmere at afsløre om 2

3 Udtrækningsnummer Hvad er matematik? C, i-bog der er et mønster bag tallene, dvs. en eller anden form for tendens i den måde de blev udtrukket på. Som sædvanlig vil vi derfor i stedet kigge på grafiske fremstillinger. Fx kan vi afbilde udtrækningsnummeret som funktion af fødselsdatoen. derved fås den følgende graf (se næste side). Men man skal kigge ret grundigt på en sådan graf for at få en fornemmelse af at der ikke skulle være tale om en tilfældig fordeling, men i stedet en udtynding i øverste højre hjørne svarende til at unge mænd med en høj fødselsdato har en tendens til at trække et lavt nummer og dermed ryge til Vietnam. De historiske data Fødselsdato Vi kan også prøve at indlægge en tendenslinje: 3

4 Udtrækningsnummer Hvad er matematik? C, i-bog De historiske data 1970 y = x R 2 = Fødselsdato Vi ser da at tendenslinjen klart hælder nedad, men forklaringsgraden er kun ca. 5%. Vi ville selvfølgelig have forventet en vandret linje med en forklaringsgrad på 0%, idet udtrækningsnummeret slet ikke burde afhænge af fødselsdatoen. Her hælder tendenslinjen i stedet nedad, hvilket netop betyder at mænd med en høj fødselsdato har en større tendens til at trække et lavt nummer. Og hvad så? Giver det anledning til bekymring? I en tilfældig lodtrækning vil linjen jo aldrig være helt vandret, men sommetider få en svag stigning, sommetider et svagt fald, ligesom forklaringsgaden ikke helt kan blive nul fordi der typisk vil være en lille men tilfældig ubalance. Så kunne dette ikke bare være tilfældets spil? Kritikerne hæftede sig ved udtrækningsmåden. Som det tydeligt ses på fotografiet af udtrækningen er det svært at nå bunden af tønden. Hvis kapslerne nu ikke var blevet blandet godt nok op i tønden, så de højeste fødselsdatoer havde en tendens til at ligge øverst, ville de også have en tendens til at blive trukket først. Men hvordan var kapslerne blevet lagt ned i tønden? Her er en samtidig beskrivelse: The reporter, Fred Garretson, however, was able to find out exactly how the lottery was held and how the bias likely occurred. He found that the people in charge of the draft lottery placed all of the days of the year in a shoebox, adding the days to the box month by month. As the box became full, the numbers at one end would be pushed back towards the other end and the new month's dates added. When the hand was removed, the old dates would slide back over the new. This was repeated until all of the days in a year were in the box. Then the box would be shaken and turned over, the numbers falling into a second container. As the box was quite full, shaking might not have mixed the things up very much. The result was that the dates from the end of the year could have been enriched in the top of the 4

5 second container. At some later time someone would pick a number, probably off the top. Vi må altså kigge grundigere på tallene for at se om vi kan dokumentere det påståede problem. Det kan da typisk betale sig at forenkle datastrukturen ved at samle nøgletal om de indsamlede data. I stedet for at kigge på udtrækningsnummeret som funktion af fødselsdagen kunne vi da forenkle datastrukturen ved at erstatte fødselsdagen med årstiden, dvs. vinteren svarende til de tre første måneder (91 dage), foråret svarende til de næste tre måneder (91 dage), sommeren svarende til de næste tre måneder (92 dage) og efteråret svarende til de sidste tre måneder (92 dage). For hver af de fire årstider kan vi så udregne kvartilsættet og middelværdien og afbilde de tilhørende boksplots: Nu træder strukturen langt tydeligere frem: Middelværdien falder systematisk med årstiden og tilsvarende falder kvartilboksen tydeligt i slutningen af året. Dette bekræftes af oversigtstabellen: Vietnamlotteriet S1 = mean Udtrækningsnummer Vi kan også tydeliggøre strukturen ved at kigge på kategoriske data. Hvis en ung mand møder op til sessionen for at få oplyst sit udtrækningsnummer er det eneste afgørende sådan set hvordan nummeret ligger i forhold til den forventede grænse på 200. Om det er 17 eller 135 er fuldstædigt ligegyldigt for i begge tilfælde bliver han sendt af sted. Og tilsvarende for højre numre. Vi kan derfor kategorisere udtrækningsnumrene alt efter som de ligger under (eller lig med) 200 eller over 200. I det første tilfælde er svaret på spørgsmålet om han bliver sendt til Vietnam 'Ja', idet andet tilfælde 'nej': Derved finder man følgende tal: 1 Årstid Row Summary 5

6 Vietnamlotteriet Indkaldelse JA NEJ Column Summary S1 = count 1 Årstid Row Summary Antallet af indkaldte stiger altså støt og roligt med årstiden og der er ca. 50% større chance for at blive indkaldt hvis man er født i årets sidste måneder, end hvis man er født i årets første måneder. Det kan også fremstilles med en graf, her hyppighederne for indkaldelserne som funktion af årstiden: Vi har altså efterhånden samlet en hel del evidens for at der rent faktisk er et problem! Men hvordan dokumenterer vi problemet statistisk? Hvordan sikrer vi os mod at tallene ikke lige så godt kunne være fremkommet ved rene tilfældigheder? Det kan vi nemmest gøre ved hjælp af en simulering af Vietnamlotteriet hvor vi lader tilfældigheden råde og derved kan undersøge hvilke mønstre man med rimelighed kan tilskrive tilfældigheder og hvilke man må tilskrive systematiske variationer i data. Det er rimeligt nemt at simulere et vietnamlotteri, hvis blot vi har adgang til en metode til at udtrække 2366 tal i en tilfældig rækkefølge. Det skal altså vel at mærke ske som en stikprøve uden tilbagelægning. Hvis du ikke har adgang til en sådan uden videre, kan man selv skrive en lille stump programkode, der kan stå for udtrækningen (se indskuddet). Her vil vi benytte Fathom (Datameter) til at simulere problemet. Der er forskellige metoder til at udføre disse simuleringer, men det nemmeste er at benytte 'scrambling' til at udføre tilfældige permutationer af udtrækningsnumrene. Derefter kan vi nemt se hvilken indflydelse det har på denne måde at lade tilfældigheden råde. Vi skal da blot blive enige om hvilket mønster det er vi vil undersøge. Vi giver nogle eksempler: I første omgang hæftede vi os ved at middelværdien aftog gennem de fire årstider. Vi kan da spørge om hvor stor sandsynligheden for dette er hvis vi lader tilfældigheden råde. Her er selv rækkefølgen ikke nok, for der er kun 24 måder at arrangere fire tal i rækkefølge på, så rent tilfældigt vil en faldende rækkefølge opstå en ud af 24 gange og det er jo ikke så usædvanligt igen. Men forskellen mellem middelværdierne i den første og sidste årstid forekom os at være signifikant, så den kunne vi forsøge at måle på: 6

7 mean(udtrækningsnummer; Årstid = 1) mean(udtrækningsnummer; Årstid = 4) I det aktuelle tilfælde er den Hvor sandsynligt er det nu at få så stor en afvigelse? Vi scrambler derfor udtræksnummeret 1000 gange og kigger på fordelingen af forskellen: Selv med tusind forsøg lykkedes det os altså ikke en eneste gang at frembringe en tilfældig differens, der var lige så stor. Det er altså en meget sjælden begivenhed og alt tyder derfor på en systematisk variation. De midterste 95%, dvs. de forventede udfald, går fra ca. -30 til ca. 30. Så sessionskomiteen har et forklaringsproblem! I anden omgang hæftede vi os ved den store forskel i hyppigheder. Her kunne det være forholdet mellem antallet af indkaldte fra den fjerde årstid og antallet af indkaldte fra den første årstid vi fandt signifikant. Denne gang måler vi derfor størrelsen: count(udtrækningsnummer count(udtrækningsnummer 200;Årstid=4) 200;Årstid=1) I det aktuelle tilfælde er forholdet

8 Konklusionen er den samme: I tusind tilfældige udtrækninger lykkedes det ikke en eneste gang at opnår et forhold mellem de udvalgte fra sidst på året og de udvalgte fra først på året så stort som Konklusionen er altså igen at sessionen har et alvorligt forklaringsproblem med at fastholde at udtrækningen var tilfældig. Pointen med at gentage simuleringen på to forskellige måder er selvfølgelig ikke at man altid skal gøre det på en hel masse forskellige måder, men mere at der er en betydelig valgfrihed i hvilken måde man vil gøre det på. Netop fordi vi bestemmer sandsynligheden eksperimentelt kan vi frit vælge vores teststørrelse. På den anden side kan vi selvfølgelig også udføre en kanonisk test. En af favoritterne er chi-kvadrattesten. Vi kan fx vælge at teste om chancen for at blive indkaldt er uafhængig af årstiden. I så fald hæfter vi os altså ved fordelingen af hyppighederne for indkaldelserne: Vietnamlotteriet Indkaldelse JA NEJ Column Summary S1 = count 1 Årstid Row Summary Vi udfører derfor et uafhængighedstest for at undersøge om det er lykkedes for sessionen at fordele udtrækningsnumrene uafhængigt af hvilken årstid man er født: 8

9 Test of Vietnamlotteriet First attribute (categorical): Årstid Second attribute (categorical): Indkaldelse Test for Independence Indkaldelse JA NEJ Column Summary 1 Årstid (49.7) 41 (49.7) 57 (50.3) 63 (50.3) 52 (41.3) 50 (41.3) 35 (41.7) 29 (41.7) First attribute: Årstid Number of categories: 4 Second attribute: Indkaldelse Number of categories: 2 Alternative hypothesis: There is an association betw een Årstid and Indkaldelse The test statistic, chi-square, is There are 3 degrees of freedom (the number of row s minus one times the number of columns minus one). If it w ere true that Årstid w ere independent of Indkaldelse (the null hypothesis), and the sampling process w ere performed repeatedly, the probability of getting a value for chi-square this great or greater w ould be The numbers in parentheses in the table are expected counts. Row Summary Vi indtaster derfor de observerede hyppigheder (eller trækker den direkte ind i skemaet fra datasættet). Vi får da oplyst at teststørrelsen, dvs. chi-kvadratet, er 17.57, samt at sandsynligheden for at få mindst så stort et chi-kvadrat, dvs. mindst så stor en afvigelse, er 0.054%, hvis vi vel at mærke lader tilfældigheden råde. Det er lige så imponerende som før og tyder igen på et klart signifikant resultat. Også chi-kvadrattesten viser altså tydelige tegn på en systematisk skævvridning af lodtrækningen. Fordelen ved de kanoniske test er at der findes en omfattende teoretisk underbygning af testen, ligesom den er velbeskrevet i litteraturen og der findes mange udførlige vejledninger i brug af testen. Ulempen er at man altså netop skal kende til en hel del teori for at forstå testen: En begrundelse for valget af teststørrelsen observeret-forventet forventet 2, centrale begreber som antallet af frihedsgrader, fordelingsfunktionen for teststørrelsen, kriterierne for anvendelsen af testen osv. Man kan dog også gå frem rent eksperimentelt med udgangspunkt i det ovenstående skema, idet man kan oprette en måling over chikvadratteststørrelsen og så undersøge dens eksperimentelle fordeling. Vi scrambler derfor indkaldelsen (dvs. trækker de 200 første numre helt tilfældigt) og tvinger den derved til at være uafhængig af årstiden. Derved kan vi udføre en test på de tilfældige scramblede data. Den har selvfølgelig typisk en meget mindre teststørrelse og en sandsynlighed for at ramme tilsvarende skævt, der er væsentligt højere, og derfor slet ikke spor overraskende. Derefter samler vi gentagne målinger af chikvadratteststørrelsen fx 1000 gange for at kunne undersøge fordelingen. Derved kan vi ikke blot få afgjort rent eksperimentelt hvor sandsynligt det er at vi finder så stor en teststørrelse som 17.57, men også i hvilket interval de forventede teststørrelser rent faktisk befinder sig i. 9

10 Test of Scrambled Vietnamlotteriet First attribute (categorical): Årstid Second attribute (categorical): Indkaldelse Test for Independence Indkaldelse First attribute: Årstid Number of categories: 4 Second attribute: Indkaldelse Number of categories: 2 Alternative hypothesis: There is an association betw een Årstid and Indkaldelse The test statistic, chi-square, is There are 3 degrees of freedom (the number of row s minus one times the number of columns minus one). If it w ere true that Årstid w ere independent of Indkaldelse (the null hypothesis), and the sampling process w ere performed repeatedly, the probability of getting a value for chisquare this great or greater w ould be The numbers in parentheses in the table are expected counts. Vi finder da den følgende eksperimentelle fordeling: JA NEJ Column Summary 1 Årstid (49.7) 46 (49.7) 54 (50.3) 46 (50.3) 37 (41.3) 45 (41.3) 38 (41.7) 46 (41.7) Row Summary Measures from Test of Scrambl... chisquarevalue S1 = max Ud af de 1000 tilfælde var der ikke en eneste, der var lige så skæv som den observerede, men der var dog én, nemlig den største, der kom ret så tæt på, idet den maksimale værdi er Sandsynligheden for at få så skævt et testresultat er altså tæt på 0.1% i overensstemmelse med den kanoniske test. Vi slutter med at diskutere den lineære regressionsmodel fra starten. Her kan resultatet godt virke lidt uoverskueligt: 10

11 Kan man virkelig slutte noget ud fra en lineær model med en forklaringsgrad så lav som 5.1%, dvs. hvor vi kun kan forklare ca. 5% af variationen ved hjælp af den lineære model, mens de resterende 95% er tilfældige fluktuationer? Det afhænger selvfølgelig af hvad vi vil med modellen. Det er klart at en sådan model ikke har stor forudsigelseskraft! Givet en tilfældig fødselsdag vil der være en endog meget stor usikkerhed i det udtrækningsnummer, som modellen forudsiger. Modellen kan derfor helt oplagt ikke bruges til at forudsige brugbare enkeltresultater med. Men pointen er jo også en anden: Forudsætningen for at lotteriet er retfærdigt er at udtrækningsnummeret er uafhængigt af fødselsdatoen. Altså er den forventede forklaringsgrad 0% og den forventede bedste rette linje en vandret linje svarende til middelværdien, dvs. 367/2 = Det er svært at se visuelt at det ser så tosset ud, men splitter vi datasættet i fire kvadranter ud fra middelværdierne ser vi at der er en vis ubalance i tallene: Det er denne ubalance der trækker linjen skævt nedad, så vi får en negativ hældning. Men er ubalancen signifikant, dvs. tyder den på en svag men tydelig skævhed i udtrækningsmønstret? For at afgøre det statistisk udfører vi en scrambling af udtrækningsnummeret og måler hældningen for den fremkomne bedste rette linje fx 1000 gange. Derved kan vi benytte fordelingen af de tilfældigt frembragte hældninger til at vurdere om vi med rimelighed kan forklare den observerede hældning som værende fremkommet ved rene tilfældigheder. Vi finder da at vi overhovedet ikke kommer i nærheden af den observerede hældning i løbet af tusind forsøg. Vi ser også at en typisk hældning (svarende til de midterste 95%) ligger mellem ca og

12 Igen findes der selvfølgelig kanoniske vurderinger af konfidensintervaller for en sådan lineær model: Model of Vietnamlotteriet Response attribute (numeric): Udtrækningsnummer Predictor attribute (numeric): Dag Sample count: 366 Simple Regression Equation of least-squares regression line: Udtrækningsnummer = Dag Correlation coefficient, r = r-squared = , indicating that % of the variation in Udtrækningsnummer is accounted for by Dag. The best estimate for the slope is / at a 95 % confidence level. (The standard error of the slope is ) When Dag = 0, the predicted value for a future observation of Udtrækningsnummer is / Vi ser da at konfidensintervallet for hældningen ved et konfidensniveau på 95% er i overensstemmelse med det eksperimentelt bestemte usikkerhedsinterval. Den negative hældning kan altså ikke bare forklares som et tilfældigt udsving. Der er virkelig grund til tro at det observerede mønster er reelt. Men læg også mærke til det enorme usikkerhedsniveau, der er hvis man vil benytte modellen til at forudsige fremtidige udtrækninger. Usikkerhedsintervallet er stort set smurt ud over samtlige numre! Benytter man den færdige model kræver det altså igen en vis teoretisk modenhed at forstå baggrunden for de forskellige oplysninger i tabellen. 12

13 13

14 Appendiks 1: Simuleringer af Vietnamlotteriet. Hvis man vil simulere Vietnamlotteriet skal man være opmærksom på at der er tale om en lodtrækning uden tilbagelægning. men kan derfor ikke uden videre benytte en tilfældighedsgenerator og blot fremstille en serie på 366 tilfældige tal fra 1 til 366. De enkelte udtrækninger er altså ikke uafhængige fordi der bliver færre og færre numre og fx er den allersidste udtrækning fuldstændigt bestemt af de forrige, fordi der nu kun er et tal tilbage. Vi skal derfor i stedet have frembragt en tilfældig stikprøve. Det kræver en lille programstump baseret på den følgende ide: Der oprettes en liste med tallene fra 1 til 366. Første gange anvender vi et tilfældigt tal mellem 1 og 366 til at finde indeks for det første tal i udtrækningen. Dette tal fjernes fra listen og resten af tallene i listen rykkes én frem for at 'lukke hullet'. Næste gang anvender vi et tilfældigt tal mellem 1 og 365 til at finde indeks for det andet tal i udtrækningen. Dette tal fjernes fra listen osv.. Næste gang anvender vi et tilfældigt tal mellem 1 og 364 til at finde indeks for det tredje tal i udtrækningen. Dette tal fjernes fra listen osv. Således fortsætter vi til alle tal er udtrukne. En programstump skrevet i pseudokode kan fx se således ud: randperm(liste) Func n:=dim(liste) For k = 1 to n indeks:=randint(1,n-k+1) NyListe[k]:=liste[indeks] For j = indeks to n-k liste[j]:=liste[j+1] EndFor j EndFor k Return NyListe EndFunc Find længden af listen Træk et tilfældigt indeks Flyt tallet over i ny liste Opdater gammel liste 14

15 Du behøver ikke forstå koden i detaljer, men kan måske få hjælp fra din lærer til at implementere den i et passende program til din lommeregner, TI-Interactive eller lignende. Så kan du selv simulere tilfældige Vietnamlotterier. 15

16 Appendiks 2: Afsluttende bemærkning: The Writing on the Wall Paul M. Sommers This is an occasion of great dignity and some solemnity. It represents the first application of a principle believed by many of us to be thoroughly democratic, equal and fair in selecting soldiers to defend the national honor abroad and at home. Secretary Baker, War Department July 12, 1917 draft lottery Introduction Following charges of unfairness in the procedures by which some local draft boards decided who should be drafted during the Vietnam War, in December 1969 young men were chosen for military service at random, by a draft lottery. Soon after the drawing statisticians charged that the draft lottery was anything but random. In particular, men with birthdays in later months (lower lottery numbers) tended to be drafted before men with birthdays in earlier months (higher lottery numbers). The then prevailing belief was that the capsules (representing each of the 366 days of the year) were put into a two-foot deep bowl in monthly order and were not thoroughly mixed. Vietnamkrigen er stadig et åbent sår for amerikanerne. Vietnamlotteriet er selvfølgelig kun en lille brik i dette spil, men den bliver stadig vendt på nye måder. For nylig offentliggjordes en liste over tabstallene for de soldater der var blevet indkaldt til tjeneste via den famøse 1969 udtrækning. Det er svært at finde simple statistikker over tabstal fra Vietnamkrigen som kobler dem direkte sammen med soldaternes fødselsår, men samtlige amerikanske tab er registreret elektronisk på web-siden som er en elektronisk pendant til det amerikanske mindesmærke for de faldne i Vietnamkrigen. Ud fra oplysningerne på denne mindeside lykkedes det Paul M. Sommers at stykke en tabel sammen over sammenhængen mellem fødselsår og tabstal. Da 1969 lodtrækningen var den første samlede den en række årgange fra 1944 til 1950: Fødselsmåned Tabstal Januar 100 Februar 129 Marts 101 April 106 Maj 119 Juni 110 Juli 137 August 178 September

17 Tabstal Hvad er matematik? C, i-bog Oktober 142 November 172 December 178 Som det ses er der en svag, men tydeligt voksende tendens ned gennem tabellen. Det afspejles også i tendenslinjen for tabstallene som funktion af fødselsmånedens nummer: Tabstal for soldater udtrukket i y = x Fødselsmåned R 2 = Det er heller ikke svært at lave statistiske tests, der viser at fordelingen af tabstal overhovedet ikke er tilfældig. Den uheldige lodtrækning trak altså sine blodige spor videre i forløbet. 17

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Challenger ulykken 1 Challenger ulykken er en af den nyere tids mest spektakulære teknologiske ulykker: Den 28. januar 1986 forulykkede rumfærgen Challenger kort efter starten på opsendelsen. Tragedien

Læs mere

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR ZEALAND PHARMA A/S EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR ZEALAND PHARMA A/S INDHOLDSFORTEGNELSE/TABLE OF CONTENTS 1 FORMÅL... 3 1 PURPOSE... 3 2 TILDELING AF WARRANTS...

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016

Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016 Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016 Vi er nødsaget til at få adgang til din lejlighed!! Hvis Kridahl (VVS firma) har bedt om adgang til din/jeres lejlighed og nøgler,

Læs mere

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR ITSO SERVICE OFFICE Weeks for Sale 31/05/2015 m: +34 636 277 307 w: clublasanta-timeshare.com e: roger@clublasanta.com See colour key sheet news: rogercls.blogspot.com Subject to terms and conditions THURSDAY

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10 Navn: Emil Kirkegaard Årskortnr. 20103300 Hold nr. 10 Det stillede spørgsmål 1. Redegør for forholdet mellem det vellykkede liv (eudaimonia) og menneskelig dyd eller livsduelighed (areté) i bog 1 og bog

Læs mere

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Jørgen Goul Andersen (email: goul@ps.au.dk) & Henrik Lolle (email: lolle@dps.aau.dk) Måling af lykke eksploderer!

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Masters Thesis - registration form Kandidatafhandling registreringsformular

Masters Thesis - registration form Kandidatafhandling registreringsformular Masters Thesis - registration form Kandidatafhandling registreringsformular Godkendelse af emne for hovedopgave af vejleder og undervisningskoordinator. Læs venligst retningslinjerne sidst i dette dokument

Læs mere

EU vedtager et nyt program, som med 55 millioner EUR skal give børn større sikkerhed på internettet

EU vedtager et nyt program, som med 55 millioner EUR skal give børn større sikkerhed på internettet IP/8/899 Bruxelles, den 9 december 8 EU vedtager et nyt program, som med millioner EUR skal give børn større sikkerhed på internettet EU får et nyt program for forbedring af sikkerheden på internettet

Læs mere

BILAG 8.1.F TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.F TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR

BILAG 8.1.F TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.F TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR BILAG 8.1.F TIL VEDTÆGTER FOR ZEALAND PHARMA A/S EXHIBIT 8.1.F TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR ZEALAND PHARMA A/S INDHOLDSFORTEGNELSE/TABLE OF CONTENTS 1 FORMÅL... 3 1 PURPOSE... 3 2 TILDELING AF WARRANTS...

Læs mere

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Modtager man økonomisk støtte til et danseprojekt, har en premieredato og er professionel bruger af Dansehallerne har man mulighed for

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0

Userguide. NN Markedsdata. for. Microsoft Dynamics CRM 2011. v. 1.0 Userguide NN Markedsdata for Microsoft Dynamics CRM 2011 v. 1.0 NN Markedsdata www. Introduction Navne & Numre Web Services for Microsoft Dynamics CRM hereafter termed NN-DynCRM enable integration to Microsoft

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Kvantitative og kvalitative metoder. Søren R. Frimodt-Møller, 19. oktober 2012

Kvantitative og kvalitative metoder. Søren R. Frimodt-Møller, 19. oktober 2012 Kvantitative og kvalitative metoder Søren R. Frimodt-Møller, 19. oktober 2012 Program 1. Forskningsspørgsmål 2. Kvantitative vs. kvalitative metoder 3. Eksempler på konkrete forskningsmetoder 4. Sampling-begrebet

Læs mere

Ovl. Hans Mørch Jensen Prof. L. V. Kessing. Prof. Ø. Lidegaard Prof. P. K. Andersen PhD, MD, L. H. Pedersen Biostatistiker Randi Grøn

Ovl. Hans Mørch Jensen Prof. L. V. Kessing. Prof. Ø. Lidegaard Prof. P. K. Andersen PhD, MD, L. H. Pedersen Biostatistiker Randi Grøn Ovl. Hans Mørch Jensen Prof. L. V. Kessing. Prof. Ø. Lidegaard Prof. P. K. Andersen PhD, MD, L. H. Pedersen Biostatistiker Randi Grøn Disposition: Flere fødselskomplikationer hos kvinder der har anvendt

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 85 tilmeldte både. Det er stadig lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Tilmeldingen er åben

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008 Den eksperimentelle metode i statistik Den naturvidenskabelige metode er i fokus efter gymnasiereformen. Det starter med naturvidenskabeligt grundforløb: Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt

Læs mere

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard)

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) På den allerførste skoledag fik de farver og papir. Den lille dreng farved arket fuldt. Han ku bare ik la vær. Og lærerinden sagde: Hvad er

Læs mere

What s Love Got to Do With It?

What s Love Got to Do With It? What s Love Got to Do With It? Gram Grid Present Continuous Vi sætter verberne i ing-form, når vi vil beskrive at noget er i gang. Der er fire hovedkategorier af ing-form: 1 Den almindelige form (common

Læs mere

Implementering af evidensbaseret viden lederskab som bærende faktor

Implementering af evidensbaseret viden lederskab som bærende faktor Implementering af evidensbaseret viden lederskab som bærende faktor Bianca Albers Familie og Evidens Center Fokus for oplægget Evidens Ledelse Implementering Outcome Evidensbaseret vs. evidensinformeret

Læs mere

Program dag 2 (11. april 2011)

Program dag 2 (11. april 2011) Program dag 2 (11. april 2011) Dag 2: 1) Hvordan kan man bearbejde data; 2) Undersøgelse af datamaterialet; 3) Forskellige typer statistik; 4) Indledende dataundersøgelser; 5) Hvad kan man sige om sammenhænge;

Læs mere

LANDSCAPE SPRAWL. Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d.

LANDSCAPE SPRAWL. Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. LANDSCAPE SPRAWL Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. LANDSKABSSPREDNING Marie Markman, billedkunstner, cand.hort.arch., ph.d. I Center for Strategisk Byforskning har vi de sidste 10 år

Læs mere

Arbejdskraftundersøgelsen

Arbejdskraftundersøgelsen Arbejdskraftundersøgelsen Indholdsfortegnelse Hvad er Arbejdskraftundersøgelsen (AKU)?... 1 Resultaterne... 2 Hvilke ad-hoc moduler er der i AKU?... 2 Serviceopgaver og tillægsundersøgelser... 3 Deltager

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 77 tilmeldte både. Det er lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Til gengæld er det glædeligt,

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

Videnskabsetisk Komité Fokus på informeret samtykke og biobanker

Videnskabsetisk Komité Fokus på informeret samtykke og biobanker Videnskabsetisk Komité Fokus på informeret samtykke og biobanker Marie Bartholdy, Cand.jur., De videnskabsetiske Komiteer for Region Midtjylland www.regionmidtjylland.dk Et informeret samtykke 2, nr. 10:

Læs mere

PICTURE formater. Klog på SAS 15. marts 2012

PICTURE formater. Klog på SAS 15. marts 2012 PICTURE formater Klog på SAS 15. marts 2012 Agenda Hvad er et format Hvor adskiller et PICTURE format sig Teknik Eksempel 1 cprnr Eksempel 2 cprnr med "udsøgning" af fejlrecords Eksempel 3 et format, der

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

The City Goods Ordinance. 1. Introduction. Web: www.citygods.dk. City Gods. Certificeret. E-mail: citygods@btf.kk.dk

The City Goods Ordinance. 1. Introduction. Web: www.citygods.dk. City Gods. Certificeret. E-mail: citygods@btf.kk.dk 1. Introduction Web: www.citygods.dk City Gods Certificeret E-mail: citygods@btf.kk.dk 2. The City Goods ordinance - main target City Goods ordinance: Vans and lorries over 2.500kg totalweigt must be 60%

Læs mere

QUICK START Updated: 18. Febr. 2014

QUICK START Updated: 18. Febr. 2014 QUICK START Updated: 18. Febr. 2014 For at komme hurtigt og godt igang med dine nye Webstech produkter, anbefales at du downloader den senest opdaterede QuickStart fra vores hjemmeside: In order to get

Læs mere

Hvordan finder man en god skala vha. Raschmetoden? Svend Kreiner & Tine Nielsen

Hvordan finder man en god skala vha. Raschmetoden? Svend Kreiner & Tine Nielsen Hvordan finder man en god skala vha. Raschmetoden? Svend Kreiner & Tine Nielsen 1 Svaret: Man spørger en, der har forstand på det, som man gerne vil måle 2 Eksempel: Spiritualitet Peter A., Peter G. &

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff. Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Application form - au pair (please use block capial letters when filling in the form)

Application form - au pair (please use block capial letters when filling in the form) Application form - au pair (please use block capial letters when filling in the form) Au Pairs International Sixtusvej 15, DK-2300 Copenhagen S Tel: +45 3284 1002, Fax: +45 3284 3102 www.aupairsinternational.com,

Læs mere

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Guidelines to tenderer. Appendix 2.m contains copies of letters to 15 year olds, one for each region.

Guidelines to tenderer. Appendix 2.m contains copies of letters to 15 year olds, one for each region. Guidelines to tenderer Appendix 2.m contains copies of letters to 15 year olds, one for each region. The tender is not supposed to fill in or complete this appendix. The aapendix, in its entirely, is a

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Som mentalt og moralsk problem

Som mentalt og moralsk problem Rasmus Vincentz 'Klimaproblemerne - hvad rager det mig?' Rasmus Vincentz - November 2010 - Som mentalt og moralsk problem Som problem for vores videnskablige verdensbillede Som problem med økonomisk system

Læs mere

Montage bjælkeklipper BM 5001R Art. No. 112870. Assembly scythe mower BM 5001R Art. No. 112870

Montage bjælkeklipper BM 5001R Art. No. 112870. Assembly scythe mower BM 5001R Art. No. 112870 Montage bjælkeklipper BM 5001R Art. No. 112870 Assembly scythe mower BM 5001R Art. No. 112870 Løsdele pose pakket, afdækninger, skaftkonsol, skaft højre og venstre. Lose parts plastic bag, covers, handle

Læs mere

Er det økonomisk forsvarligt at indføre sikkerhedsprodukter? Kjeld Møller Pedersen Syddansk Universitet kmp@sam.sdu.dk

Er det økonomisk forsvarligt at indføre sikkerhedsprodukter? Kjeld Møller Pedersen Syddansk Universitet kmp@sam.sdu.dk Seminar om implementeringen af EU direktivet 2910/32/EU af 10. maj 2010 Er det økonomisk forsvarligt at indføre sikkerhedsprodukter? Kjeld Møller Pedersen Syddansk Universitet kmp@sam.sdu.dk Skal forbedringer

Læs mere

how to save excel as pdf

how to save excel as pdf 1 how to save excel as pdf This guide will show you how to save your Excel workbook as PDF files. Before you do so, you may want to copy several sheets from several documents into one document. To do so,

Læs mere

Begrænsninger i SQL. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen

Begrænsninger i SQL. Databaser, efterår 2002. Troels Andreasen Databaser, efterår 2002 Begrænsninger i SQL Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Skolesektionen på www.ballerup.dk

Skolesektionen på www.ballerup.dk Skolesektionen på www.ballerup.dk Louise Callisen Dyhr (ldyh) Marie Louise Gottlieb Frederiksen (mgfr) Janus Askø Madsen (jaam) Nanna Petersen (nshy) Antal tegn: 28319 Afleveringsdato: 21. maj 2014 1 Indledning...

Læs mere

Idekatalog. Så vidt jeg husker fremgik det ret tydeligt hvad der skulle være i ansøgningen. Der var bare virkelig mange informationer der skulle med.

Idekatalog. Så vidt jeg husker fremgik det ret tydeligt hvad der skulle være i ansøgningen. Der var bare virkelig mange informationer der skulle med. Ansøgning Yderligere bemærkninger til ansøgningen Det var fedt at rammerne var så åbne, som jeg så det var der kun to krav til projektet: Det skulle være open source og det skulle have det offentliges

Læs mere

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions Udlejnings software Vores udvikling er ikke stoppet!! by Soft-Solutions RentCalC, som er danmarks ubetinget bedste udlejnings software, kan hjælpe dig med på en hurtigt og simple måde, at holde styr på

Læs mere

Effekter af eksportfremme for danske virksomheder. Jakob Munch University of Copenhagen Georg Schaur University of Tennessee

Effekter af eksportfremme for danske virksomheder. Jakob Munch University of Copenhagen Georg Schaur University of Tennessee Effekter af eksportfremme for danske virksomheder Jakob Munch University of Copenhagen Georg Schaur University of Tennessee Hvad ved vi om eksportfremme? De fleste lande bruger betydelige ressourcer på

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller insert code here

Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller insert code here Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller Denne opgave handler om hvordan man opbevarer data fra databasekald på en struktureret måde. Den skal samtidig give jer erfaringer med objekter, der kommer til

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC)

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) - Gruppering af chasere igen bag efter. På den måde kan laves cirkelbevægelser og det kan 2,787.00 DKK Side 1 Sunlite pakke 2006 Standard (EC) LAN (SUN SL512EC

Læs mere

Vind Seminar Fredericia 4. april 2013 JOB2SEA

Vind Seminar Fredericia 4. april 2013 JOB2SEA Vind Seminar Fredericia 4. april 2013 JOB2SEA Rekrutteringsstrategi i et svært marked. Helle Drachmann Baggrund Job- & CV database Outplacement & transition management Koncern HR Selvstændig virksomhed

Læs mere

Betydningen af de nye aktionærrettigheder

Betydningen af de nye aktionærrettigheder Betydningen af de nye aktionærrettigheder - boosting aktivt ejerskab på tværs af EU - af Caspar Rose EU Parlamentet vedtog 15. februar direktivet om "Shareholders Rights" EU-Kommissær Charlie McCreevy

Læs mere

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt Kapitalstruktur i Danmark M. Borberg og J. Motzfeldt KORT OM ANALYSEN Omfattende studie i samarbejde med Økonomisk Ugebrev Indblik i ledelsens motiver for valg af kapitalstruktur Er der en optimal kapitalstruktur

Læs mere

Kriterie for at bestå: Deltagelse i undervisningstiden, udarbejdelse af e-magasin, deltagelse i fælles fremlægning.

Kriterie for at bestå: Deltagelse i undervisningstiden, udarbejdelse af e-magasin, deltagelse i fælles fremlægning. 1. E-MAGASINER (Herning) Hvem kan deltage: Studerende i Herning Kriterie for at bestå: Deltagelse i undervisningstiden, udarbejdelse af e-magasin, deltagelse i fælles fremlægning. På kurset lærer du at

Læs mere

GIVE IT. SOME ENGlISH1. Hedwig

GIVE IT. SOME ENGlISH1. Hedwig Doth Ernst Jacobsen og Henriette BETH Brigham GIVE IT SOME ENGlISH1 Hedwig Give It Some English I 2014 Doth Ernst Jacobsen og Henriette Beth Brigham og Forlaget Hedwig Sat med Calibri og Futura Grafisk

Læs mere

Den røde tråd fra testdækning til releasemetrikker

Den røde tråd fra testdækning til releasemetrikker Den røde tråd fra testdækning til releasemetrikker The art of developing software cheaper, in good quality and at schedule Software-Pro Agenda Den røde tråd fra testdækning til releasemetrikker Mange har

Læs mere

Børne- og Undervisningsudvalget 2014-15 BUU Alm.del Bilag 133 Offentligt

Børne- og Undervisningsudvalget 2014-15 BUU Alm.del Bilag 133 Offentligt Børne- og Undervisningsudvalget 2014-15 BUU Alm.del Bilag 133 Offentligt Niels Christoffersen Rorupvej 9 Rorup 4320 Lejre Til undervisningsminister Christine Antorini Angående svar på min henvendelse af

Læs mere

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen) Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse

Læs mere

Der måles og regnes på livet løs

Der måles og regnes på livet løs 3. årgang nr. 6 Maj 2011/12 Der måles og regnes på livet løs Emneuge på 1. årgang I dette nummer: Side 2 Nyt fra ledelsen 3 Famous me 8. årgang har skrevet stile i engelsk om at være berømt 4 Nu er der

Læs mere

For nogle statuskoder vil der komme en klar tekst besked, mens der for andre vil komme en fire cifret kode, som angivet i afsnit 2

For nogle statuskoder vil der komme en klar tekst besked, mens der for andre vil komme en fire cifret kode, som angivet i afsnit 2 1 Statuskoder i forbindelse med en transaktion I forbindelse med en transaktion, vil Sagem Solo terminalen vise en statuskode/statusbesked i ekspedientterminalens display. Endvidere vil der blive udskrevet

Læs mere

(Text with EEA relevance)

(Text with EEA relevance) 24.4.2015 EN Official Journal of the European Union L 106/79 COMMISSION IMPLEMENTING DECISION (EU) 2015/646 of 23 April 2015 pursuant to Article 3(3) of Regulation (EU) No 528/2012 of the European Parliament

Læs mere

London s Comings and Goings, Additional Work

London s Comings and Goings, Additional Work 27 (104) London s Comings and Goings, Additional Work Explain the following phrases and expressions from the text to wind down to have a poor command of English to be politically sensitive to be all over

Læs mere

User guide - For testing SFTP and HTTP/S data communication

User guide - For testing SFTP and HTTP/S data communication User guide - For testing SFTP and HTTP/S data communication with Nets Danmark A/S P. 1-9 Index General information... 3 Introduction... 3 Rights... 3 Limitations... 3 Prerequisites... 3 Preparations...

Læs mere

Transaktionen er gennemført i forkert valuta

Transaktionen er gennemført i forkert valuta Transaktionen er gennemført i forkert valuta Er beløbet er hævet i en forkert valuta, har du mulighed for at gøre indsigelse. Før du kan gøre indsigelse, skal du selv have kontaktet forretningen. Det er

Læs mere

Afbestillingsforsikring

Afbestillingsforsikring Afbestillingsforsikring Sygdomsafbestillingsforsikring ved akut sygdom, ulykke. Da afbestilling på grund af akut sygdom, ulykke m.m. ikke fritager deltagerne for betaling, kan det anbefales, at der tegnes

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Arbitration in Denmark

Arbitration in Denmark Arbitration in Denmark Steffen Pihlblad Christian Lundblad Claus Søgaard-Christensen DJØF PUBLISHING Arbitration in Denmark Eds. Grith Skovgaard Ølykke Carina Risvig Hansen Steffen Pihlblad, Christina

Læs mere

Skadeanmeldelse. Claims form. Hesteforsikring. Equine Insurance Accident/Illness

Skadeanmeldelse. Claims form. Hesteforsikring. Equine Insurance Accident/Illness First Horse Nytorv 3 1450 København K Skadeanmeldelse Claims form Hesteforsikring Equine Insurance Accident/Illness Det er vigtigt, at De udfylder anmeldelse så udførligt som muligt. Er anmeldelsen udfyldt

Læs mere

Department meeting, 31 October 2012

Department meeting, 31 October 2012 Department meeting, 31 October 2012 Introduction and presentation of programme (by CT) Presentation and discussion of budget/fc 3 2012 and budget 2013 (by Martha Berdiin, Head of Finance, BSS) Presentation

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Engelsk G Opgaveark. Maj 2012

Engelsk G Opgaveark. Maj 2012 Engelsk G Opgaveark Maj 2012 Eksaminandens navn Nummer Prøveafholdende institution Tilsynsførende Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig. Jeg har ikke anvendt

Læs mere

IN MEMORIAM Rasmus Glarbjerg Larsen 1994 2015

IN MEMORIAM Rasmus Glarbjerg Larsen 1994 2015 IN MEMORIAM Rasmus Glarbjerg Larsen 1994 2015 WELCOME TO COPENHAGEN INVITATIONAL It is a great pleasure for me as president of Værløse Basketball Club to welcome you all to for three days filled with

Læs mere

Søren Løbner (lobner) ddb Databaser 2007 10 10

Søren Løbner (lobner) ddb Databaser 2007 10 10 ddb Excercise Week 4 Fra relationships til relations Nu når vi har fået vores skemaer på plads, kan SQL udtrykkene til konstruktion af relationerne laves Det foregår ved at vi tager en 1 til 1 oversættelse

Læs mere

KL s Misbrugskonference

KL s Misbrugskonference KL s Misbrugskonference Web-baseret alkoholbehandling er det dét nye Sort? Baggrund og evidens 7. oktober 2014 Anders Blædel Gottlieb Hansen Forsknings- og udviklingskonsulent Det Sundhedsfaglige og Teknologiske

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Samlevejledning til tremmeseng 70 x 140 Assembly instruction for cot 70 x 140

Samlevejledning til tremmeseng 70 x 140 Assembly instruction for cot 70 x 140 Samlevejledning til tremmeseng 70 x 140 Assembly instruction for cot 70 x 140 Læs vejledningen godt igennem før du begynder. Read the assembly instruction carefully before you start. OLIVER FURNITURE /

Læs mere

Lord Rayleigh (1842-1919, born John William Strutt) Density of Nitrogen

Lord Rayleigh (1842-1919, born John William Strutt) Density of Nitrogen Lord Rayleigh (1842-1919, born John William Strutt) Density of Nitrogen Nature 46, 512 (1892) I am much puzzled by some recent results as to the density of nitrogen, and shall be obliged if any of your

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Datapresentation of death statistics

Datapresentation of death statistics Datapresentation of death statistics - Danish unskilled workers die prematurely Nils Mulvad and Tommy Kaas The biggest Danish analysis of detailed data on death rates for unskilled workers in Denmark showed

Læs mere

Fremtidens erhverv og uddannelse:

Fremtidens erhverv og uddannelse: Fremtidens erhverv og uddannelse: Hellere en god håndværker end en dårlig akademiker Jesper Bo Jensen, ph.d. Fremtidsforsker Privat forbrug (Gennemsnitlig stigning 2,6% p.a.) 8000 Mængdeindeks 7000 6000

Læs mere

NATIONAL CARGO SHIP SAFETY CERTIFICATE Nationalt sikkerhedscertifikat for lastskibe

NATIONAL CARGO SHIP SAFETY CERTIFICATE Nationalt sikkerhedscertifikat for lastskibe NATIONAL CARGO SHIP SAFETY CERTIFICATE Nationalt sikkerhedscertifikat for lastskibe This certificate shall be supplemented by a Record of Equipment (Form N) Dette certifikat skal suppleres med en udrustningsfortegnelse

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kapitel 3. FØDSELSSTATISTIK

Kapitel 3. FØDSELSSTATISTIK Kapitel 3. FØDSELSSTATISTIK I 2008 blev der registreret 835 fødsler (2 tvillinger og 1 trillinger, 839 fødte). Dette svarer til en fødselsrate på 57,8 fødsler pr. 1.000 kvinder i alderen 15-49 år (2007:

Læs mere

FSC IV Rapport nr. 250 Uge 35, 2012

FSC IV Rapport nr. 250 Uge 35, 2012 FSC IV Rapport nr. 250 Uge 35, 2012 FDB Analyse Lars Aarup Analysechef la@fdb.dk Mobil: 30 91 92 66 Erhard Nielsen Analytiker en@fdb.dk Mobil: 30 91 92 59 Thomas S. Pedersen Presse- og analysemedarbejder

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

WT-1011RC Programmer User Guide

WT-1011RC Programmer User Guide WT-1011RC Programmer User Guide Firmware Version 1.9 Note: 1. Information in this manual is subject to change without notice and does not represent a commitment of manufacturer. 2. Manufacturer shall not

Læs mere