Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Projekter: Kapitel 9

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel 9"

Transkript

1 I 1969 havde utilfredsheden med det amerikanske engagement i Vietnamkrigen også spredt sig til den måde nogle amerikanere tilsyneladende kunne unddrage sig militærtjenesten efter forgodtbefindende. Det blev derfor besluttet at gøre udsendelsen mere retfærdig ved at indkalde de følgende årgange via en national repræsentativ lodtrækning, der altså ikke favoriserede bestemte befolkningsgrupper osv. Det blev ydermere besluttet at lade udtrækningen afhænge af fødselsdatoen. De 366 mulige fødselsdage blev lagt ind i kapsler og placeret i en stor gennemsigtig tønde, hvorefter kapslerne blev trukket én for én. Den først udtrukne fødselsdato fik udtrækningsnummeret 1, den næste udtrækningsnummeret 2 osv. Jo lavere udtrækningsnummer man trak jo større chance for at blive sendt af sted, idet de udsendte kompagnier blev fyldt op nedefra i forhold til deres udtrækningsnummer. Blandt de mulige kandidater ved lodtrækningen var præsidenterne Bill Clinton og George W. Bush, der begge træk frinummer (311 og 327). Alt skulle således sikre retfærdighed i forhold til udsendelsen til den ikke altid lige populære krigstjeneste. Men efter offentliggørelsen af udtrækningen kom der hurtigt protester frem om at den havde favoriseret kandidater med en lav fødselsdato og overrepræsenteret kandidater med en høj fødselsdato. The New York Times, 4 Jan David E. Rosenbaum The new draft lottery is being challenged by statisticians and politicians who claim that the drawings for the lottery are not random. A federal district judge in Wisconsin has agreed to hear a test case on the lottery. It comes at a time when hundreds of thousands of men have been assigned a place in the draft sequence and the first men are about to be inducted using the new lottery. President Richard Nixon signed Nov.26 an executive order to "establish a random selection sequence" for induction. The order stipulated that the lottery would be based on birthdays but did not say how the dates should be chosen. After a staff meeting it was decided that the 366 dates of a year should be placed in capsules and then be drawn one by one from a large bowl. A man's draft number would then correspond to the order in which his birthday was drawn. For example Sept.14 was the first date drawn and June 8 was the last number drawn. Thus a man with birthday Sept.4 would have draft number 1 and someone born June 8 would have draft number 366. Pentagon manpower specialists believe that those in the last third of the numbers (200 to 366) would escape the draft entirely. A knowledgeable White House official said this week that "discussions that the lottery was not random are purely speculative." He added that there was no possibility of another drawing. Senator Edward Kennedy asked the National Sciences last month to analyze the "apparent lack of randomness" in the selection. The Academy has not yet decided whether to do this or not. The challenge to the randomness is being brought by Mr.Stodosky, a 24 year-old doctorate student in computer planning. The challenge is based on the average numbers for the men in the lottery for each month. If the system were random, each month could be expected to average around 183 or 184. Each of the first six months average above this 1

2 and each of the last six months average below it. Statisticians, who have studied the lottery, say that this could occur if the capsules with later months were not mixed as thoroughly as those with early months. Hvordan kan man nu undersøge dette problem? Hvis man kigger på listen over de udtrukne numre bliver det ikke meget klarere: Her står 258 for den først udtrukne fødselsdato (den 14. september) og alle der var født den 14. september var altså sikker på at blive udtrukket. Tilsvarende gælder for alle de følgende udtrukne numre. Dem der blev trukket tidligt var sikre på at komme af sted, dem der blev udtrukket sent var sikre på ikke at blive udsendt. Grænsen regnede man med ville ligge omkring udtrækningsnummeret 200, dvs. de første 200 udtrukne datoer var sikre på at blive sendt af sted, mens resten kunne regne med at trække frinummer. Det er de første 200 udtrukne fødselsdatoer vi har markeret med gråt i skemaet. men det gør det ikke nemmere at afsløre om 2

3 Udtrækningsnummer Hvad er matematik? C, i-bog der er et mønster bag tallene, dvs. en eller anden form for tendens i den måde de blev udtrukket på. Som sædvanlig vil vi derfor i stedet kigge på grafiske fremstillinger. Fx kan vi afbilde udtrækningsnummeret som funktion af fødselsdatoen. derved fås den følgende graf (se næste side). Men man skal kigge ret grundigt på en sådan graf for at få en fornemmelse af at der ikke skulle være tale om en tilfældig fordeling, men i stedet en udtynding i øverste højre hjørne svarende til at unge mænd med en høj fødselsdato har en tendens til at trække et lavt nummer og dermed ryge til Vietnam. De historiske data Fødselsdato Vi kan også prøve at indlægge en tendenslinje: 3

4 Udtrækningsnummer Hvad er matematik? C, i-bog De historiske data 1970 y = x R 2 = Fødselsdato Vi ser da at tendenslinjen klart hælder nedad, men forklaringsgraden er kun ca. 5%. Vi ville selvfølgelig have forventet en vandret linje med en forklaringsgrad på 0%, idet udtrækningsnummeret slet ikke burde afhænge af fødselsdatoen. Her hælder tendenslinjen i stedet nedad, hvilket netop betyder at mænd med en høj fødselsdato har en større tendens til at trække et lavt nummer. Og hvad så? Giver det anledning til bekymring? I en tilfældig lodtrækning vil linjen jo aldrig være helt vandret, men sommetider få en svag stigning, sommetider et svagt fald, ligesom forklaringsgaden ikke helt kan blive nul fordi der typisk vil være en lille men tilfældig ubalance. Så kunne dette ikke bare være tilfældets spil? Kritikerne hæftede sig ved udtrækningsmåden. Som det tydeligt ses på fotografiet af udtrækningen er det svært at nå bunden af tønden. Hvis kapslerne nu ikke var blevet blandet godt nok op i tønden, så de højeste fødselsdatoer havde en tendens til at ligge øverst, ville de også have en tendens til at blive trukket først. Men hvordan var kapslerne blevet lagt ned i tønden? Her er en samtidig beskrivelse: The reporter, Fred Garretson, however, was able to find out exactly how the lottery was held and how the bias likely occurred. He found that the people in charge of the draft lottery placed all of the days of the year in a shoebox, adding the days to the box month by month. As the box became full, the numbers at one end would be pushed back towards the other end and the new month's dates added. When the hand was removed, the old dates would slide back over the new. This was repeated until all of the days in a year were in the box. Then the box would be shaken and turned over, the numbers falling into a second container. As the box was quite full, shaking might not have mixed the things up very much. The result was that the dates from the end of the year could have been enriched in the top of the 4

5 second container. At some later time someone would pick a number, probably off the top. Vi må altså kigge grundigere på tallene for at se om vi kan dokumentere det påståede problem. Det kan da typisk betale sig at forenkle datastrukturen ved at samle nøgletal om de indsamlede data. I stedet for at kigge på udtrækningsnummeret som funktion af fødselsdagen kunne vi da forenkle datastrukturen ved at erstatte fødselsdagen med årstiden, dvs. vinteren svarende til de tre første måneder (91 dage), foråret svarende til de næste tre måneder (91 dage), sommeren svarende til de næste tre måneder (92 dage) og efteråret svarende til de sidste tre måneder (92 dage). For hver af de fire årstider kan vi så udregne kvartilsættet og middelværdien og afbilde de tilhørende boksplots: Nu træder strukturen langt tydeligere frem: Middelværdien falder systematisk med årstiden og tilsvarende falder kvartilboksen tydeligt i slutningen af året. Dette bekræftes af oversigtstabellen: Vietnamlotteriet S1 = mean Udtrækningsnummer Vi kan også tydeliggøre strukturen ved at kigge på kategoriske data. Hvis en ung mand møder op til sessionen for at få oplyst sit udtrækningsnummer er det eneste afgørende sådan set hvordan nummeret ligger i forhold til den forventede grænse på 200. Om det er 17 eller 135 er fuldstædigt ligegyldigt for i begge tilfælde bliver han sendt af sted. Og tilsvarende for højre numre. Vi kan derfor kategorisere udtrækningsnumrene alt efter som de ligger under (eller lig med) 200 eller over 200. I det første tilfælde er svaret på spørgsmålet om han bliver sendt til Vietnam 'Ja', idet andet tilfælde 'nej': Derved finder man følgende tal: 1 Årstid Row Summary 5

6 Vietnamlotteriet Indkaldelse JA NEJ Column Summary S1 = count 1 Årstid Row Summary Antallet af indkaldte stiger altså støt og roligt med årstiden og der er ca. 50% større chance for at blive indkaldt hvis man er født i årets sidste måneder, end hvis man er født i årets første måneder. Det kan også fremstilles med en graf, her hyppighederne for indkaldelserne som funktion af årstiden: Vi har altså efterhånden samlet en hel del evidens for at der rent faktisk er et problem! Men hvordan dokumenterer vi problemet statistisk? Hvordan sikrer vi os mod at tallene ikke lige så godt kunne være fremkommet ved rene tilfældigheder? Det kan vi nemmest gøre ved hjælp af en simulering af Vietnamlotteriet hvor vi lader tilfældigheden råde og derved kan undersøge hvilke mønstre man med rimelighed kan tilskrive tilfældigheder og hvilke man må tilskrive systematiske variationer i data. Det er rimeligt nemt at simulere et vietnamlotteri, hvis blot vi har adgang til en metode til at udtrække 2366 tal i en tilfældig rækkefølge. Det skal altså vel at mærke ske som en stikprøve uden tilbagelægning. Hvis du ikke har adgang til en sådan uden videre, kan man selv skrive en lille stump programkode, der kan stå for udtrækningen (se indskuddet). Her vil vi benytte Fathom (Datameter) til at simulere problemet. Der er forskellige metoder til at udføre disse simuleringer, men det nemmeste er at benytte 'scrambling' til at udføre tilfældige permutationer af udtrækningsnumrene. Derefter kan vi nemt se hvilken indflydelse det har på denne måde at lade tilfældigheden råde. Vi skal da blot blive enige om hvilket mønster det er vi vil undersøge. Vi giver nogle eksempler: I første omgang hæftede vi os ved at middelværdien aftog gennem de fire årstider. Vi kan da spørge om hvor stor sandsynligheden for dette er hvis vi lader tilfældigheden råde. Her er selv rækkefølgen ikke nok, for der er kun 24 måder at arrangere fire tal i rækkefølge på, så rent tilfældigt vil en faldende rækkefølge opstå en ud af 24 gange og det er jo ikke så usædvanligt igen. Men forskellen mellem middelværdierne i den første og sidste årstid forekom os at være signifikant, så den kunne vi forsøge at måle på: 6

7 mean(udtrækningsnummer; Årstid = 1) mean(udtrækningsnummer; Årstid = 4) I det aktuelle tilfælde er den Hvor sandsynligt er det nu at få så stor en afvigelse? Vi scrambler derfor udtræksnummeret 1000 gange og kigger på fordelingen af forskellen: Selv med tusind forsøg lykkedes det os altså ikke en eneste gang at frembringe en tilfældig differens, der var lige så stor. Det er altså en meget sjælden begivenhed og alt tyder derfor på en systematisk variation. De midterste 95%, dvs. de forventede udfald, går fra ca. -30 til ca. 30. Så sessionskomiteen har et forklaringsproblem! I anden omgang hæftede vi os ved den store forskel i hyppigheder. Her kunne det være forholdet mellem antallet af indkaldte fra den fjerde årstid og antallet af indkaldte fra den første årstid vi fandt signifikant. Denne gang måler vi derfor størrelsen: count(udtrækningsnummer count(udtrækningsnummer 200;Årstid=4) 200;Årstid=1) I det aktuelle tilfælde er forholdet

8 Konklusionen er den samme: I tusind tilfældige udtrækninger lykkedes det ikke en eneste gang at opnår et forhold mellem de udvalgte fra sidst på året og de udvalgte fra først på året så stort som Konklusionen er altså igen at sessionen har et alvorligt forklaringsproblem med at fastholde at udtrækningen var tilfældig. Pointen med at gentage simuleringen på to forskellige måder er selvfølgelig ikke at man altid skal gøre det på en hel masse forskellige måder, men mere at der er en betydelig valgfrihed i hvilken måde man vil gøre det på. Netop fordi vi bestemmer sandsynligheden eksperimentelt kan vi frit vælge vores teststørrelse. På den anden side kan vi selvfølgelig også udføre en kanonisk test. En af favoritterne er chi-kvadrattesten. Vi kan fx vælge at teste om chancen for at blive indkaldt er uafhængig af årstiden. I så fald hæfter vi os altså ved fordelingen af hyppighederne for indkaldelserne: Vietnamlotteriet Indkaldelse JA NEJ Column Summary S1 = count 1 Årstid Row Summary Vi udfører derfor et uafhængighedstest for at undersøge om det er lykkedes for sessionen at fordele udtrækningsnumrene uafhængigt af hvilken årstid man er født: 8

9 Test of Vietnamlotteriet First attribute (categorical): Årstid Second attribute (categorical): Indkaldelse Test for Independence Indkaldelse JA NEJ Column Summary 1 Årstid (49.7) 41 (49.7) 57 (50.3) 63 (50.3) 52 (41.3) 50 (41.3) 35 (41.7) 29 (41.7) First attribute: Årstid Number of categories: 4 Second attribute: Indkaldelse Number of categories: 2 Alternative hypothesis: There is an association betw een Årstid and Indkaldelse The test statistic, chi-square, is There are 3 degrees of freedom (the number of row s minus one times the number of columns minus one). If it w ere true that Årstid w ere independent of Indkaldelse (the null hypothesis), and the sampling process w ere performed repeatedly, the probability of getting a value for chi-square this great or greater w ould be The numbers in parentheses in the table are expected counts. Row Summary Vi indtaster derfor de observerede hyppigheder (eller trækker den direkte ind i skemaet fra datasættet). Vi får da oplyst at teststørrelsen, dvs. chi-kvadratet, er 17.57, samt at sandsynligheden for at få mindst så stort et chi-kvadrat, dvs. mindst så stor en afvigelse, er 0.054%, hvis vi vel at mærke lader tilfældigheden råde. Det er lige så imponerende som før og tyder igen på et klart signifikant resultat. Også chi-kvadrattesten viser altså tydelige tegn på en systematisk skævvridning af lodtrækningen. Fordelen ved de kanoniske test er at der findes en omfattende teoretisk underbygning af testen, ligesom den er velbeskrevet i litteraturen og der findes mange udførlige vejledninger i brug af testen. Ulempen er at man altså netop skal kende til en hel del teori for at forstå testen: En begrundelse for valget af teststørrelsen observeret-forventet forventet 2, centrale begreber som antallet af frihedsgrader, fordelingsfunktionen for teststørrelsen, kriterierne for anvendelsen af testen osv. Man kan dog også gå frem rent eksperimentelt med udgangspunkt i det ovenstående skema, idet man kan oprette en måling over chikvadratteststørrelsen og så undersøge dens eksperimentelle fordeling. Vi scrambler derfor indkaldelsen (dvs. trækker de 200 første numre helt tilfældigt) og tvinger den derved til at være uafhængig af årstiden. Derved kan vi udføre en test på de tilfældige scramblede data. Den har selvfølgelig typisk en meget mindre teststørrelse og en sandsynlighed for at ramme tilsvarende skævt, der er væsentligt højere, og derfor slet ikke spor overraskende. Derefter samler vi gentagne målinger af chikvadratteststørrelsen fx 1000 gange for at kunne undersøge fordelingen. Derved kan vi ikke blot få afgjort rent eksperimentelt hvor sandsynligt det er at vi finder så stor en teststørrelse som 17.57, men også i hvilket interval de forventede teststørrelser rent faktisk befinder sig i. 9

10 Test of Scrambled Vietnamlotteriet First attribute (categorical): Årstid Second attribute (categorical): Indkaldelse Test for Independence Indkaldelse First attribute: Årstid Number of categories: 4 Second attribute: Indkaldelse Number of categories: 2 Alternative hypothesis: There is an association betw een Årstid and Indkaldelse The test statistic, chi-square, is There are 3 degrees of freedom (the number of row s minus one times the number of columns minus one). If it w ere true that Årstid w ere independent of Indkaldelse (the null hypothesis), and the sampling process w ere performed repeatedly, the probability of getting a value for chisquare this great or greater w ould be The numbers in parentheses in the table are expected counts. Vi finder da den følgende eksperimentelle fordeling: JA NEJ Column Summary 1 Årstid (49.7) 46 (49.7) 54 (50.3) 46 (50.3) 37 (41.3) 45 (41.3) 38 (41.7) 46 (41.7) Row Summary Measures from Test of Scrambl... chisquarevalue S1 = max Ud af de 1000 tilfælde var der ikke en eneste, der var lige så skæv som den observerede, men der var dog én, nemlig den største, der kom ret så tæt på, idet den maksimale værdi er Sandsynligheden for at få så skævt et testresultat er altså tæt på 0.1% i overensstemmelse med den kanoniske test. Vi slutter med at diskutere den lineære regressionsmodel fra starten. Her kan resultatet godt virke lidt uoverskueligt: 10

11 Kan man virkelig slutte noget ud fra en lineær model med en forklaringsgrad så lav som 5.1%, dvs. hvor vi kun kan forklare ca. 5% af variationen ved hjælp af den lineære model, mens de resterende 95% er tilfældige fluktuationer? Det afhænger selvfølgelig af hvad vi vil med modellen. Det er klart at en sådan model ikke har stor forudsigelseskraft! Givet en tilfældig fødselsdag vil der være en endog meget stor usikkerhed i det udtrækningsnummer, som modellen forudsiger. Modellen kan derfor helt oplagt ikke bruges til at forudsige brugbare enkeltresultater med. Men pointen er jo også en anden: Forudsætningen for at lotteriet er retfærdigt er at udtrækningsnummeret er uafhængigt af fødselsdatoen. Altså er den forventede forklaringsgrad 0% og den forventede bedste rette linje en vandret linje svarende til middelværdien, dvs. 367/2 = Det er svært at se visuelt at det ser så tosset ud, men splitter vi datasættet i fire kvadranter ud fra middelværdierne ser vi at der er en vis ubalance i tallene: Det er denne ubalance der trækker linjen skævt nedad, så vi får en negativ hældning. Men er ubalancen signifikant, dvs. tyder den på en svag men tydelig skævhed i udtrækningsmønstret? For at afgøre det statistisk udfører vi en scrambling af udtrækningsnummeret og måler hældningen for den fremkomne bedste rette linje fx 1000 gange. Derved kan vi benytte fordelingen af de tilfældigt frembragte hældninger til at vurdere om vi med rimelighed kan forklare den observerede hældning som værende fremkommet ved rene tilfældigheder. Vi finder da at vi overhovedet ikke kommer i nærheden af den observerede hældning i løbet af tusind forsøg. Vi ser også at en typisk hældning (svarende til de midterste 95%) ligger mellem ca og

12 Igen findes der selvfølgelig kanoniske vurderinger af konfidensintervaller for en sådan lineær model: Model of Vietnamlotteriet Response attribute (numeric): Udtrækningsnummer Predictor attribute (numeric): Dag Sample count: 366 Simple Regression Equation of least-squares regression line: Udtrækningsnummer = Dag Correlation coefficient, r = r-squared = , indicating that % of the variation in Udtrækningsnummer is accounted for by Dag. The best estimate for the slope is / at a 95 % confidence level. (The standard error of the slope is ) When Dag = 0, the predicted value for a future observation of Udtrækningsnummer is / Vi ser da at konfidensintervallet for hældningen ved et konfidensniveau på 95% er i overensstemmelse med det eksperimentelt bestemte usikkerhedsinterval. Den negative hældning kan altså ikke bare forklares som et tilfældigt udsving. Der er virkelig grund til tro at det observerede mønster er reelt. Men læg også mærke til det enorme usikkerhedsniveau, der er hvis man vil benytte modellen til at forudsige fremtidige udtrækninger. Usikkerhedsintervallet er stort set smurt ud over samtlige numre! Benytter man den færdige model kræver det altså igen en vis teoretisk modenhed at forstå baggrunden for de forskellige oplysninger i tabellen. 12

13 13

14 Appendiks 1: Simuleringer af Vietnamlotteriet. Hvis man vil simulere Vietnamlotteriet skal man være opmærksom på at der er tale om en lodtrækning uden tilbagelægning. men kan derfor ikke uden videre benytte en tilfældighedsgenerator og blot fremstille en serie på 366 tilfældige tal fra 1 til 366. De enkelte udtrækninger er altså ikke uafhængige fordi der bliver færre og færre numre og fx er den allersidste udtrækning fuldstændigt bestemt af de forrige, fordi der nu kun er et tal tilbage. Vi skal derfor i stedet have frembragt en tilfældig stikprøve. Det kræver en lille programstump baseret på den følgende ide: Der oprettes en liste med tallene fra 1 til 366. Første gange anvender vi et tilfældigt tal mellem 1 og 366 til at finde indeks for det første tal i udtrækningen. Dette tal fjernes fra listen og resten af tallene i listen rykkes én frem for at 'lukke hullet'. Næste gang anvender vi et tilfældigt tal mellem 1 og 365 til at finde indeks for det andet tal i udtrækningen. Dette tal fjernes fra listen osv.. Næste gang anvender vi et tilfældigt tal mellem 1 og 364 til at finde indeks for det tredje tal i udtrækningen. Dette tal fjernes fra listen osv. Således fortsætter vi til alle tal er udtrukne. En programstump skrevet i pseudokode kan fx se således ud: randperm(liste) Func n:=dim(liste) For k = 1 to n indeks:=randint(1,n-k+1) NyListe[k]:=liste[indeks] For j = indeks to n-k liste[j]:=liste[j+1] EndFor j EndFor k Return NyListe EndFunc Find længden af listen Træk et tilfældigt indeks Flyt tallet over i ny liste Opdater gammel liste 14

15 Du behøver ikke forstå koden i detaljer, men kan måske få hjælp fra din lærer til at implementere den i et passende program til din lommeregner, TI-Interactive eller lignende. Så kan du selv simulere tilfældige Vietnamlotterier. 15

16 Appendiks 2: Afsluttende bemærkning: The Writing on the Wall Paul M. Sommers This is an occasion of great dignity and some solemnity. It represents the first application of a principle believed by many of us to be thoroughly democratic, equal and fair in selecting soldiers to defend the national honor abroad and at home. Secretary Baker, War Department July 12, 1917 draft lottery Introduction Following charges of unfairness in the procedures by which some local draft boards decided who should be drafted during the Vietnam War, in December 1969 young men were chosen for military service at random, by a draft lottery. Soon after the drawing statisticians charged that the draft lottery was anything but random. In particular, men with birthdays in later months (lower lottery numbers) tended to be drafted before men with birthdays in earlier months (higher lottery numbers). The then prevailing belief was that the capsules (representing each of the 366 days of the year) were put into a two-foot deep bowl in monthly order and were not thoroughly mixed. Vietnamkrigen er stadig et åbent sår for amerikanerne. Vietnamlotteriet er selvfølgelig kun en lille brik i dette spil, men den bliver stadig vendt på nye måder. For nylig offentliggjordes en liste over tabstallene for de soldater der var blevet indkaldt til tjeneste via den famøse 1969 udtrækning. Det er svært at finde simple statistikker over tabstal fra Vietnamkrigen som kobler dem direkte sammen med soldaternes fødselsår, men samtlige amerikanske tab er registreret elektronisk på web-siden som er en elektronisk pendant til det amerikanske mindesmærke for de faldne i Vietnamkrigen. Ud fra oplysningerne på denne mindeside lykkedes det Paul M. Sommers at stykke en tabel sammen over sammenhængen mellem fødselsår og tabstal. Da 1969 lodtrækningen var den første samlede den en række årgange fra 1944 til 1950: Fødselsmåned Tabstal Januar 100 Februar 129 Marts 101 April 106 Maj 119 Juni 110 Juli 137 August 178 September

17 Tabstal Hvad er matematik? C, i-bog Oktober 142 November 172 December 178 Som det ses er der en svag, men tydeligt voksende tendens ned gennem tabellen. Det afspejles også i tendenslinjen for tabstallene som funktion af fødselsmånedens nummer: Tabstal for soldater udtrukket i y = x Fødselsmåned R 2 = Det er heller ikke svært at lave statistiske tests, der viser at fordelingen af tabstal overhovedet ikke er tilfældig. Den uheldige lodtrækning trak altså sine blodige spor videre i forløbet. 17

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Vietnamlotteriet 1 I 1969 havde utilfredsheden med det amerikanske engagement i Vietnamkrigen også spredt sig til den måde nogle amerikanere tilsyneladende kunne unddrage sig militærtjenesten efter forgodtbefindende.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler

Læs mere

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab

Læs mere

Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer.

Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. What is a continuous variable? Give two illustrations. 2 Hvorfor kan man bedre drage konklusioner

Læs mere

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres

Læs mere

q-værdien som skal sammenlignes med den kritiske Chi-i-Anden værdi p-værdien som skal sammenlignes med signifikansniveauet.

q-værdien som skal sammenlignes med den kritiske Chi-i-Anden værdi p-værdien som skal sammenlignes med signifikansniveauet. Introduktion: Chi-i-Anden test (Goodness of Fit) på computeren fungerer som en "black-boks"- kommando, hvor eleverne med udgangspunkt i en nulhypotese (H ) taster de forventede og de observerede talværdier

Læs mere

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion.

Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium Definer en funktion og funktionsværdier. Tegn grafen for en funktion. Maple-oversigt til matematik B-niveau: Rungsted Gymnasium 2011 Definer en funktion og funktionsværdier (1.1) 32 (1.2) (1.3) Tegn grafen for en funktion (2.1) 250 200 150 100 50 0 5 10 8 6 4 2 0 1 2 0 y

Læs mere

The River Underground, Additional Work

The River Underground, Additional Work 39 (104) The River Underground, Additional Work The River Underground Crosswords Across 1 Another word for "hard to cope with", "unendurable", "insufferable" (10) 5 Another word for "think", "believe",

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Panorama billede fra starten den første dag i 2014 Michael Koldtoft fra Trolling Centrum har brugt lidt tid på at arbejde med billederne fra

Læs mere

Danish Language Course for Foreign University Students Copenhagen, 13 July 2 August 2016 Advanced, medium and beginner s level.

Danish Language Course for Foreign University Students Copenhagen, 13 July 2 August 2016 Advanced, medium and beginner s level. Danish Language Course for Foreign University Students Copenhagen, 13 July 2 August 2016 Advanced, medium and beginner s level Application form Must be completed on the computer in Danish or English All

Læs mere

Aktivering af Survey funktionalitet

Aktivering af Survey funktionalitet Surveys i REDCap REDCap gør det muligt at eksponere ét eller flere instrumenter som et survey (spørgeskema) som derefter kan udfyldes direkte af patienten eller forsøgspersonen over internettet. Dette

Læs mere

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.

Tegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side. TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.

Læs mere

Financial Literacy among 5-7 years old children

Financial Literacy among 5-7 years old children Financial Literacy among 5-7 years old children -based on a market research survey among the parents in Denmark, Sweden, Norway, Finland, Northern Ireland and Republic of Ireland Page 1 Purpose of the

Læs mere

Ikke-parametriske tests

Ikke-parametriske tests Ikke-parametriske tests 2 Dagens menu t testen Hvordan var det nu lige det var? Wilcoxson Mann Whitney U Kruskall Wallis Friedman Kendalls og Spearmans correlation 3 t-testen Patient Drug Placebo difference

Læs mere

Engelsk G Opgaveark. Maj 2011. Dato Prøveafholdende institution Tilsynsførende

Engelsk G Opgaveark. Maj 2011. Dato Prøveafholdende institution Tilsynsførende Engelsk G Opgaveark Maj 2011 Eksaminandens navn Nummer Dato Prøveafholdende institution Tilsynsførende Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig. Jeg har ikke

Læs mere

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen.  og 052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

GUIDE TIL BREVSKRIVNING

GUIDE TIL BREVSKRIVNING GUIDE TIL BREVSKRIVNING APPELBREVE Formålet med at skrive et appelbrev er at få modtageren til at overholde menneskerettighederne. Det er en god idé at lægge vægt på modtagerens forpligtelser over for

Læs mere

Dendrokronologisk Laboratorium

Dendrokronologisk Laboratorium Dendrokronologisk Laboratorium NNU rapport 14, 2001 ROAGER KIRKE, TØNDER AMT Nationalmuseet og Den Antikvariske Samling i Ribe. Undersøgt af Orla Hylleberg Eriksen. NNU j.nr. A5712 Foto: P. Kristiansen,

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

- man sov tæt på belægningsstuerne

- man sov tæt på belægningsstuerne Præsenteret af: - man sov tæt på belægningsstuerne I belægningsstuen var der plads til 26 soldater: 24 menige soldater i dobbeltmands køjesenge og to befalingsmænd i enkeltmands køjesenge. Der var plads

Læs mere

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013

Dato: 24. oktober 2013 Side 1 af 7. Teknologisk singularitet. 24. oktober 2013 Side 1 af 7 Teknologisk singularitet 24. oktober 2013 Side 2 af 7 Begreberne teknologisk singularitet og accelereret udvikling dukker ofte op i transhumanistiske sammenhænge, idet de beskriver en udvikling,

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR ZEALAND PHARMA A/S EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR ZEALAND PHARMA A/S INDHOLDSFORTEGNELSE/TABLE OF CONTENTS 1 FORMÅL... 3 1 PURPOSE... 3 2 TILDELING AF WARRANTS...

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version)

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Kære Omdeler Julen venter rundt om hjørnet. Og netop julen er årsagen til, at NORDJYSKE Distributions mange omdelere har ekstra travlt med at

Læs mere

Remember the Ship, Additional Work

Remember the Ship, Additional Work 51 (104) Remember the Ship, Additional Work Remember the Ship Crosswords Across 3 A prejudiced person who is intolerant of any opinions differing from his own (5) 4 Another word for language (6) 6 The

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2014

Trolling Master Bornholm 2014 Trolling Master Bornholm 2014 (English version further down) Så er ballet åbnet, 16,64 kg: Det er Kim Christiansen, som i mange år også har deltaget i TMB, der tirsdag landede denne laks. Den måler 120

Læs mere

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Challenger ulykken 1 Challenger ulykken er en af den nyere tids mest spektakulære teknologiske ulykker: Den 28. januar 1986 forulykkede rumfærgen Challenger kort efter starten på opsendelsen. Tragedien

Læs mere

Shooting tethered med Canon EOS-D i Capture One Pro. Shooting tethered i Capture One Pro 6.4 & 7.0 på MAC OS-X 10.7.5 & 10.8

Shooting tethered med Canon EOS-D i Capture One Pro. Shooting tethered i Capture One Pro 6.4 & 7.0 på MAC OS-X 10.7.5 & 10.8 Shooting tethered med Canon EOS-D i Capture One Pro Shooting tethered i Capture One Pro 6.4 & 7.0 på MAC OS-X 10.7.5 & 10.8 For Canon EOS-D ejere der fotograferer Shooting tethered med EOS-Utility eller

Læs mere

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov.

Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. På dansk/in Danish: Aarhus d. 10. januar 2013/ the 10 th of January 2013 Kære alle Chefer i MUS-regi! Vores mange brugere på musskema.dk er rigtig gode til at komme med kvalificerede ønsker og behov. Og

Læs mere

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com.

Engelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com. 052430_EngelskC 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau C www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

Modtageklasser i Tønder Kommune

Modtageklasser i Tønder Kommune Modtageklasser i Tønder Kommune - et tilbud i Toftlund og Tønder til børn, der har behov for at blive bedre til dansk TOFTLUND TØNDER Hvad er en modtageklasse? En modtageklasse er en klasse med særligt

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 English version further down Den første dag i Bornholmerlaks konkurrencen Formanden for Bornholms Trollingklub, Anders Schou Jensen (og meddomer i TMB) fik

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

applies equally to HRT and tibolone this should be made clear by replacing HRT with HRT or tibolone in the tibolone SmPC.

applies equally to HRT and tibolone this should be made clear by replacing HRT with HRT or tibolone in the tibolone SmPC. Annex I English wording to be implemented SmPC The texts of the 3 rd revision of the Core SPC for HRT products, as published on the CMD(h) website, should be included in the SmPC. Where a statement in

Læs mere

Engelsk G Opgaveark. Maj 2014. Dato Prøveafholdende institution Tilsynsførende

Engelsk G Opgaveark. Maj 2014. Dato Prøveafholdende institution Tilsynsførende Engelsk G Opgaveark Maj 2014 Eksaminandens navn Nummer Dato Prøveafholdende institution Tilsynsførende Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig. Jeg har ikke

Læs mere

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et historisk eksempel i statistik: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Challenger ulykken 1 Challenger ulykken er en af den nyere tids mest spektakulære teknologiske ulykker: Den 28. januar 1986 forulykkede rumfærgen Challenger kort efter starten på opsendelsen. Tragedien

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Opgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1

Opgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1 Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for biokemikere Inge Henningsen Michael Sørensen Oktober 2003 Opgaver til ZAR II Opgave 1 Et datasæt består af 20 observationer.

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse)

k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse) k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse) Lad x ij, i = 1,...,k, j = 1,..., n i, være udfald af stokastiske variable X ij og betragt modellen M 1 : X ij N(µ i, σ 2 ). Estimaterne er

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Bilagsnotat til: De nationale tests måleegenskaber

Bilagsnotat til: De nationale tests måleegenskaber Bilagsnotat til: De nationale tests måleegenskaber Baggrund Der er ti obligatoriske test á 45 minutters varighed i løbet af elevernes skoletid. Disse er fordelt på seks forskellige fag og seks forskellige

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR ITSO SERVICE OFFICE Weeks for Sale 31/05/2015 m: +34 636 277 307 w: clublasanta-timeshare.com e: roger@clublasanta.com See colour key sheet news: rogercls.blogspot.com Subject to terms and conditions THURSDAY

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Jeppesen Jensen slægten. The Jeppesen Jensen family

Jeppesen Jensen slægten. The Jeppesen Jensen family Jeppesen Jensen slægten The Jeppesen Jensen family Jeppesen-Jensen slægten The Jeppesen-Jensen family Forord Den direkte anledning til at samle nærværende oplysninger, har været invitationen til familiekomsammen

Læs mere

To the reader: Information regarding this document

To the reader: Information regarding this document To the reader: Information regarding this document All text to be shown to respondents in this study is going to be in Danish. The Danish version of the text (the one, respondents are going to see) appears

Læs mere

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10 Navn: Emil Kirkegaard Årskortnr. 20103300 Hold nr. 10 Det stillede spørgsmål 1. Redegør for forholdet mellem det vellykkede liv (eudaimonia) og menneskelig dyd eller livsduelighed (areté) i bog 1 og bog

Læs mere

Agenda Subject Time Status Annex Comments

Agenda Subject Time Status Annex Comments Board Meeting - Draft Agenda Wednesday, January, 30 th From 15.00 to 20.00 19.30: Dinner Agenda 1, Annex 01 Agenda Subject Time Status Annex Comments 1. Welcome and approval of the agenda 15.00 15.10 01

Læs mere

Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016

Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016 Læs venligst Beboer information om projekt vandskade - sikring i 2015/2016 Vi er nødsaget til at få adgang til din lejlighed!! Hvis Kridahl (VVS firma) har bedt om adgang til din/jeres lejlighed og nøgler,

Læs mere

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Jørgen Goul Andersen (email: goul@ps.au.dk) & Henrik Lolle (email: lolle@dps.aau.dk) Måling af lykke eksploderer!

Læs mere

Boligsøgning / Search for accommodation!

Boligsøgning / Search for accommodation! Boligsøgning / Search for accommodation! For at guide dig frem til den rigtige vejledning, skal du lige svare på et par spørgsmål: To make sure you are using the correct guide for applying you must answer

Læs mere

Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment

Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment Indhold 1. Modellering af fald med papirhelikopter: Et eksempel på lineær regression... 2 Empiri... 2 Helikoptereksperimentet...

Læs mere

My Opinion about.. The military TVMV, Denmark

My Opinion about.. The military TVMV, Denmark My Opinion about.. Presenter: What are the young people in Denmark thinking of the military. Here are some opinions: Names of participants are written in translation Camera: Editing: Sound: Duration: 2

Læs mere

K E N D E L S E. Sagens parter: Under denne sag har advokat A, København, på vegne X klaget over advokat C, England.

K E N D E L S E. Sagens parter: Under denne sag har advokat A, København, på vegne X klaget over advokat C, England. København, den 1. december 2004 J.nr.02-0401-04-0593 bj-jm K E N D E L S E Sagens parter: Under denne sag har advokat A, København, på vegne X klaget over advokat C, England. Sagens tema: Klagen vedrører

Læs mere

Masters Thesis - registration form Kandidatafhandling registreringsformular

Masters Thesis - registration form Kandidatafhandling registreringsformular Masters Thesis - registration form Kandidatafhandling registreringsformular Godkendelse af emne for hovedopgave af vejleder og undervisningskoordinator. Læs venligst retningslinjerne sidst i dette dokument

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension DK - Quick Text Translation HEYYER Net Promoter System Magento extension Version 1.0 15-11-2013 HEYYER / Email Templates Invitation Email Template Invitation Email English Dansk Title Invitation Email

Læs mere

Resultater. Formål. Results. Results. Må ikke indeholde. At fåf. kendskab til rapportering af resultater. beskrivelse

Resultater. Formål. Results. Results. Må ikke indeholde. At fåf. kendskab til rapportering af resultater. beskrivelse Formål Resultater kendskab til rapportering af resultater Andreas H. Lundh Infektionsmedicinsk Afdeling, Hvidovre Hospital Anders W. JørgensenJ Øre-næse-halsafdeling, Århus Universitetshospital Mål At

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015

WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 WORKSHOP 2C, DLF-kursus, Krogerup, 26. november 2015 At I får overblik over statistik og sandsynlighed som fagområde i folkeskolen indblik i didaktiske forskeres anbefalinger til undervisningen i statistik

Læs mere

Oversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen

Oversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Oversigt 1 Motiverende eksempel - energiforbrug 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Læs mere

Program dag 2 (11. april 2011)

Program dag 2 (11. april 2011) Program dag 2 (11. april 2011) Dag 2: 1) Hvordan kan man bearbejde data; 2) Undersøgelse af datamaterialet; 3) Forskellige typer statistik; 4) Indledende dataundersøgelser; 5) Hvad kan man sige om sammenhænge;

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 6 English version further down Johnny Nielsen med 8,6 kg laks Laksen blev fanget seks sømil ud for Tejn. Det var faktisk dobbelthug, så et kig ned i køletasken

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 3 English version further down Fremragende vejr og laks hele vejen rundt om øen Weekendens fremragende vejr (se selv de bare arme) lokkede mange bornholmske

Læs mere

Unitel EDI MT940 June 2010. Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004)

Unitel EDI MT940 June 2010. Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004) Unitel EDI MT940 June 2010 Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004) Contents 1. Introduction...3 2. General...3 3. Description of the MT940 message...3 3.1.

Læs mere

Drømmer du om en karriere i USA?

Drømmer du om en karriere i USA? Drømmer du om en karriere i USA? Pernille Wichmann Christensen, Formand, DJØF New York DJØF København, torsdag den 5. maj, 2011 OVERSIGT Pernilles vej til USA - Den personlige historie Adgang til USA?

Læs mere

Engelsk B. Højere teknisk eksamen. 1. delprøve - uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Engelsk B. Højere teknisk eksamen. 1. delprøve - uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Engelsk B Højere teknisk eksamen 1. delprøve - uden hjælpemidler kl.9.00-10.00 htx111-eng/b-30052011 Mandag den 30. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Nedenstående rubrikker udfyldes. Efter prøven

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

DONG-område Resten af landet

DONG-område Resten af landet TDC A/S regulering@tdc.dk Fremsendes alene via mail Tillægsafgørelse vedrørende fastsættelse af priser for BSA leveret via TDC s fibernet 1 Indledning traf fredag den 15. april 2011 LRAIC-prisafgørelse

Læs mere

Temadag om spil i formidlingen Lindholm Høje 29. feb. 2016

Temadag om spil i formidlingen Lindholm Høje 29. feb. 2016 Temadag om spil i formidlingen Lindholm Høje 29. feb. 2016 Oplæg om historie-dilemmaspil v/ Marianne Dietz Om oplægsholderen PhD-studerende med fokus på spil i historieundervisningen, adjunkt v/ HistorieLab

Læs mere

Dendrokronologisk Laboratorium

Dendrokronologisk Laboratorium Dendrokronologisk Laboratorium NNU rapport 48, 1999 CZARNOWSKO, POLEN Nationalmuseets Marinarkæologiske Forskningscenter. Indsendt af George Indruszewski. Undersøgt af Niels Bonde, Aoife Daly, Orla Hylleberg

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Afsætning af sprøjtevæske gennem fiberdug

Afsætning af sprøjtevæske gennem fiberdug Afsætning af sprøjtevæske gennem fiberdug Projekt: udvikling af nye teknikker i behandling af havebrugskulturer English summery Title: Deposition on small plants when spraying through fleece with conventional

Læs mere

PICTURE formater. Klog på SAS 15. marts 2012

PICTURE formater. Klog på SAS 15. marts 2012 PICTURE formater Klog på SAS 15. marts 2012 Agenda Hvad er et format Hvor adskiller et PICTURE format sig Teknik Eksempel 1 cprnr Eksempel 2 cprnr med "udsøgning" af fejlrecords Eksempel 3 et format, der

Læs mere

Mindfulness. At styrke trivsel, arbejde og ledelse

Mindfulness. At styrke trivsel, arbejde og ledelse Mindfulness At styrke trivsel, arbejde og ledelse Energiregnskabet Mindfulness i forsikringsvirksomhed 100 % har fået anvendelige redskaber til håndtering af stress 93 % oplever en positiv forandring

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

We hope you have enjoyed your holiday and that you are willing to help us improve our holiday support programme by completing this questionnaire.

We hope you have enjoyed your holiday and that you are willing to help us improve our holiday support programme by completing this questionnaire. Dear holiday-maker We hope you have enjoyed your holiday and that you are willing to help us improve our holiday support programme by completing this questionnaire. The information and answers you provide

Læs mere

Part 5 Leisure Time and Transport

Part 5 Leisure Time and Transport Part 5 Leisure Time and Transport Lesson 3 Situation and Listen & Practice Situation Line and Louise are colleagues. They meet at a café before work. Line is late because h bike had a puncture on the way.

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8

Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 Trolling Master Bornholm 2016 Nyhedsbrev nr. 8 English version further down Der bliver landet fisk men ikke mange Her er det Johnny Nielsen, Søløven, fra Tejn, som i denne uge fangede 13,0 kg nord for

Læs mere

Appendix A. E-mail correspondence with Fyrvaerkeri.dk:

Appendix A. E-mail correspondence with Fyrvaerkeri.dk: Appendix A E-mail correspondence with Fyrvaerkeri.dk: Fra: Mette Jørvad Niess MEJN@ucl.dk Emne: SV: Projekt til fyrværkeri Til: "dste06@media.aau.dk" dste06@media.aau.dk Cc: "Kathrine Møgelbjerg Jørgensen"

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

Improving data services by creating a question database. Nanna Floor Clausen Danish Data Archives

Improving data services by creating a question database. Nanna Floor Clausen Danish Data Archives Improving data services by creating a question database Nanna Floor Clausen Danish Data Archives Background Pressure on the students Decrease in response rates The users want more Why a question database?

Læs mere