Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Transkript

1 Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte Carlo-metoder Differential- og integralregning Matrix-regning Smagsprøve på fundamentale matematiske metoder af relevans for jeres videre uddannelse og virke Hver undervisningsgang tager udgangspunkt i et konkret eksempel på en anvendelse af de gennemgåede matematiske metoder 1 / 32 2 / 32 Lagerstyring Hver måned leveres et antal møtrikker L. Forventet værdi/middelværdi Gentager et eksperiment igen og igen (f.eks. kast med terning) Forbrug den ite dag i måneden: X i (tilfældigt antal) X i : tilfældig værdi af ite eksperiment Beholdning ved månedens indgang: B 0 = L Gennemsnit (repræsentativ værdi) af n gentagelser: n Beholdning efter t dage: B t = B 0 X 1 X 2 X t = B 0 t X i. Forventet værdi af B t? Sandsynlighed for at B t < 0? Hvor stort skal L være? brug for at regne på tilfældige/stokastiske variable. X = (X 1 + X X n )/n = 1 n Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. X = 1 n M ma m = m=1 M m=1 m A m n X i Metoder: 1. teoretiske resultater 2. Monte Carlo metoder (computer-simulation) 3 / 32 hvor A m er antal gange værdien m (1, 2,..., M 1 eller M) kom ud. Hvis n : A m /n p m = sandsynligheden P(X i = m) for værdien m 4 / 32

2 Forventet værdi - fortsat Regneregler Definition den forventede værdi (middelværdien) for en stokastisk variabel X med mulige værdier 1,..., M er M EX = mp m hvor p m = P(X = m) m=1 P(X = m) er sandsynligheden for, at X tager værdien m Eksempel: X antal øjne ved kast med ærlig terning, p m = 1/6. Antag at X og Y er to stokastiske variable E[X + Y ] = EX + EY EaX = aex EX = = / 32 6 / 32 Tilbage til lageret Forventet værdi af beholdning: EB t = L tex 1 (antager alle X i har samme middelværdi) For at beregne EX 1 skal vi kende sandsynlighedsfunktionen p(m) = p m for X 1. Definition En funktion p(m) er en sandsynlighedsfunktion hvis p(m) 0 og M p(m) = 1 X har sandsynlighedsfunktion p(m) hvis P(X = m) = p(m) Fundamental sandsynlighedsregning Lad A og B være to hændelser. Da gælder P(A eller B) = P(A) + P(B) P(A og B) hvor P(A eller B) er sandsynligheden for at mindst en af hændelserne indtræffer og P(A og B) er sandsynligheden for at begge hændelser indtræffer. Eksempel (kast med terning). A: kast giver 4 eller 5 og B: kast giver 5 eller 6. P(A) = P(B) = 1/3 og P(A og B) = P(kast giver 5) = 1/6. Dermed P(A eller B) = 1/3 + 1/3 1/6 = 3/6. Hvis A: kast giver 4 og B: kast giver 5, kan A og B ikke begge indtræffe. Dermed P(A og B) = 0 og P(A eller B) = 1/6 + 1/6 0 = 2/6. 7 / 32 8 / 32

3 Fundamental sandsynlighedsregning fortsat Hvis A og B er uafhængige gælder P(A og B) = P(A)P(B) Eksempel (to kast med terning) A: 6 er i første kast. B: 6 er i andet kast. P(A og B) = P(A)P(B) = 1/36 Binomialfordelingen Lad X i være fejlstatus for ite komponent (i = 1,..., n): { 1 ite komponent defekt X i = 0 ellers Total antal defekte: X = (X X n ) = Eksempel: lad n = 3 og p være sandsynligheden for defekt komponent. Sekvensen 010 angiver X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 0. Dermed n X i 9 / 32 P(X = 1) = P(100 eller 010 eller 001) = P(100) + P(010) + P(001) = p(1 p)(1 p) + (1 p)p(1 p) + (1 p)(1 p)p = 3p(1 p) 2 Antallet af måder en defekt ud af tre kan fremkomme=3. Bemærk, at f.eks. hændelserne A = 100 og B = 010 ikke begge kan indtræffe. 10 / 32 På foregående slide antog vi at X i erne uafhængige (udfaldet af X 1 giver ikke viden om udfaldet af X 2 ) hvorved f.eks. P(X 1 = 1 og X 2 = 0) = P(X 1 = 1)P(X 2 = 0) = p(1 p) Generelt n: hvor P(X = m) = p(m) = ( ) n n! = m m!(n m)! er antal måder vi kan få m 1 ere i n forsøg. ( ) n p m (1 p) n m m Ovenstående er sandsynlighedsfunktionen for en binomial-fordeling. Fakultet: f.eks. 5! = og 0! = 1. Middelværdi for en binomialfordeling Antag X er binomialfordelt b(n, p) med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Så er EX = np Kan udregnes vha. sandsynlighedsfunktionen, men nemmere: EX = E[X X n ] = EX EX n = np Sum af to uafhængige binomialfordelinger med samme sandsynlighedsparameter: X 1 b(n 1, p) og X 2 b(n 2, p) X = X 1 + X 2 b(n 1 + n 2, p) 11 / / 32

4 Eksempel (lager): der bruges mellem 0 og 10 møtrikker pr. dag og forventet værdi er 2 X i b(10, 0.2). Total forbrug for en måned: X = 30 X i b(300, 0.2) Forventet månedsforbrug: EX = 60. Sæt L = EX = 60. Sandsynlighed for at lageret tømmes : P(B 30 < 0) = P(L X < 0) = P(X > L) = 1 P(X 60) = Større lager nødvendigt. F.eks. vælge L så P(X > L) 0.01%. Da skal L >= 76. Er binomialfordeling rimelig model? Poisson-processen og Poisson-fordelingen Antag at hændelser (f.eks. opkald til help-desk) indtræffer over tid i henhold til følgende: 1. antal hændelser i to disjunkte tidsintervaller er uafhængige 2. i meget kort tidsrum højst en hændelse 3. sandsynligheden for en hændelse i meget kort tidsrum [t, t + dt[ er λdt Da kaldes følgen af tidspunkter for hændelser en Poisson-proces. Betragt det totale antal hændelser i et tidsrum [0, T ]. Inddel tidsrummet i n små intervaller hver af længde T /n. Lad X i være 1 hvis hændelse i i te interval og nul ellers. Da har X = i X i tilnærmelsesvist en binomialfordeling b(n, λt /n) med middelværdi µ = λt. 13 / / 32 Man kan vise, at når n så vil sandsynlighedsfunktionen for b(n, λt /n) = b(n, µ/n) gå mod P(X = m) = exp( µ) µm m! Dette er sandsynlighedsfunktionen for en Poisson-fordeling. NB: en Poisson-fordelt stokastisk variabel kan antage alle heltalsværdier. Udledning af Poisson fordeling udfra binomial-fordelinger giver EX = µ Tilbage til lageret Antag dagligt forbrug Poisson(2). Dermed månedsforbrug Poisson(60). Sandsynlighed for at lageret tømmes : P(B 30 < 0) = P(L X < 0) = P(X > L) = 1 P(X 60) = Stort set samme tal som med binomialfordeling da b(300, 0.2) Poisson(60) (n = 300 stor!) og (sum af uafhængige Poisson-variable) X 1 Poisson(µ 1 ) og X 2 Poisson(µ 2 ) X 1 +X 2 Poisson(µ 1 +µ 2 ) 15 / / 32

5 Med den simple lager-model kan vi nemt eksplicit beregne de fleste middelværdier og sandsynligheder. Men hvad hvis vi f.eks. spørger om noget mere kompliceret - f.eks. forventede ventetid V til lageret går i nul: V = max{t B t 0} Da har V ikke en simpel sandsynlighedsfordeling. Løsning kan være Monte Carlo beregning = empirisk beregning af middelværdier vha. computer-simulationer 17 / 32 Opgaver 1. (spil med uærlig mønt) lad X = 1 hvis plat og 1 hvis krone. Antag sandsynlighed for plat 0.4. Hvad er EX? 2. (kast med uærlig terning) Lad P(X = 5) = P(X = 6) = 0.25 og P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4). 2.1 Hvad er P(X = 1)? 2.2 hvad er P(X )? 2.3 Hvad er EX? 3. Lad EX = 4 og EY = Hvad er E(2X + 3Y )? 3.2 Hvad er E[X Y ]? 4. Antag to kort udtages tilfældigt (med tilbagelægning) fra et sæt spillekort. Lad hændelserne A og B være at henholdsvis det førte og det andet spillekort er et es. 4.1 Hvad er sandsynligheden for at begge kort er esser (P(A og B)? 4.2 Hvad er sandsynligheden for at mindst et kort er et es P(A eller B)? 4.3 Hvad er sandsynligheden for et begge kort er esser, hvis der ikke udtages med tilbagelægning? 18 / Antag P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 og P(A eller B) = 1/12. Er A og B uafhængige hændelser? 6. Lad X b(3, 0.25). Hvad er P(X 1)? Hvad er EX? 7. Antag X 1 b(10, 0.10) og X 2 b(30, 0.10). Argumenter for at summen X er b(40, 0.10). Hvad er EX? 8. (trafikuheld i et vejkryds) Antag at sandsynligheden for en ulykke indenfor et tidsrum af 1 minut er , at der ikke sker 2 ulykker på en gang og at ulykker indtræffer uafhængigt af hinanden. 8.1 Hvad er det forventede antal ulykker indenfor en måned (31 dage)? 8.2 Hvad er sandsynligheden for at der ikke forekommer ulykker indenfor en måned? 8.3 Er opgavens antagelser realistiske? 9. Antag antal mål i første halvleg er Poisson-fordelt med middelværdi 1.5 og Poisson-fordelt med middelværdi 1 i anden halvleg og at antallene af mål er uafhængige. Hvad er sandsynligheden for at der i alt scores mindst en gang? 19 / 32 Facit 1: 0.2, 2.1: 1/8, 2.2: 3/8, 2.3: 4, 3.1: 23, 3.2: -1, 4.1: (1/52) 2 4.2: 2/52 (1/52) 2 4.3: (1/52)(1/51) 5: nej (P(A og B) = 0 mens (P(A)P(B) = 1/12), 6: , 0.75, 7: 4, 8.1: : 0.04, 9: / 32

6 Monte Carlo Antag vi gerne vil beregne sandsynligheden for at et kast med 5 terninger giver mindst 15 i alt. Er vi ikke i stand til at beregne denne sandsynlighed teoretisk, kan vi i princippet kaste 5 terninger et stort antal gange og udregne andelen af kastene, hvor summen af terningernes øjne giver 15 eller derover. Denne andel vil være et estimat af den ønskede sandsynlighed. I praksis lader vi en computer foretage kastene vha. computer-genererede tilfældige tal. Estimat af P(X m): Lad I i = 1[X i m] P(X m) = E1[X m] Ī Eksempel: hvis vi bruger n = 1000 simulationer af kast med 5 terninger fås estimat Men kun estimat - hvis vi tager 1000 nye kast fås andet resultat - f.eks Dvs. der er en vis usikkerhed på Monte Carlo estimatet. Usikkerheden bliver mindre jo større n, der benyttes. 21 / / 32 Basal statistik - empirisk middelværdi og varians Observationer X 1, X 2,..., X n (kan være syntetiske - genereret på computer) - alle fordelt som X. Empirisk middelværdi og empirisk varians X = 1 n X i n s 2 = 1 n 1 n (X i X ) 2 ( empirisk middelværdi af kvadrerede afvigelser ) Empirisk spredning: s = s 2 = 1 n (X i X ) n 1 2 Når n meget stor vil X blive nøjagtig tilnærmelse af µ = EX og s 2 vil tilnærme sig variansen af X : VarX = E(X µ) 2 Varians: forventede værdi af den kvadrerede afvigelse fra middelærdien. Spredning: (samme enhed som X ) σ = VarX Eksempel: varians af binomialfordeling X b(1, p) med µ = p. σ 2 = E(X µ) 2 = p(1 p) 2 + (1 p)(0 p) 2 = p(1 p) 23 / / 32

7 Regneregel for varians: antag X og Y uafhængige Spredning af ax : Var[X + Y ] = VarX + VarY VaraX = a 2 VarX VaraX = a VarX Eksempel: varians af binomialfordeling X = n X i b(n, p) VarX = n VarX i = np(1 p) Centrale grænseværdi-sætning CLT: når n stor vil X tilnærmelsesvist have en normal-fordeling med middelværdi µ og varians σ 2 /n. NB: ligegyldigt hvilken fordeling X i erne har fås samme grænse-fordeling af X når n (dog skal X i erne være ens fordelt og uafhængige) Normalfordelingen: kontinuert sandsynlighedsfordeling. Hvis X normalfordelt, kan X antage alle reelle værdier. Sandsynligheder for en kontinuert stokastisk variabel angives vha. fordelingsfunktion F eller tæthedsfunktion f : P(X x) = F (x) F (x) = x f (z)dz 25 / / 32 Tæthed for normalfordeling Eksempel: uniform fordeling på [0, 1]: { 1 x [0, 1] F (x) = x f (x) = 0 ellers Normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : f klokkeformet f (x) = 1 exp( 1 2πσ 2 2σ 2 (x µ)2 ) dnorm(x) x 27 / / 32

8 Normalfordeling - 2 slags intervaller Intervaller for Monte Carlo estimater - vurdering af usikkerhed For en normalfordeling N(µ, σ 2 ) har vi altid P(µ σ1.96 X µ + σ1.96) = 0.95 Dvs. med 95% sandsynlighed afviger en normalfordeling ikke mere end to standardafvigelser (1.96σ 2σ) fra middelværdien. Tilsvarende (interval for µ) P(X σ1.96 µ X + σ1.96) = 0.95 Estimat X tilnærmelsesvist N(µ, σ 2 /n). Dvs. interval for ukendt µ: P( X 1.96 σ n µ X σ n ) = 0.95 Intervallet [ X σ1.96, X + σ1.96] giver et bud på usikkerheden af estimationen af µ - kaldes konfidens-intervallet. I praksis erstattes ukendte σ af s = s 2 - den empiriske spredning. 29 / / 32 Tilbage til Monte Carlo Med tusind (computer) kast af 5 terninger får vi estimeret forventet total antal øjne og estimeret varians Estimaterne for µ og σ 2 /n er og 13.91/1000 = Den estimerede spredning for X er = NB: hvad er den sande forventede værdi? Bud på usikkerheden: trolige værdier af µ er [ , ]. Lager: V ventetid til lager tømmes. Empirisk middelværdi og varians Antal simulationer=1000. Dvs. sande forventede ventetid ± Estimation af sandsynlighed for mere end 15: her benytter vi variable I i = 1[total sum i > 14]. Empirisk middelværdi og varians og Dvs. estimeret spredning på Ī er 0.17/1000 = Dvs. vurdering af usikkerhed: sandsynlighed mellem og / / 32

9 Exercises 1. Beregn varianserne af de stokastiske variable fra opgave 1, 2, 6 og Udgangspunktet er følgende 10 observationer (uafhængige, samme middelværdi og varians): Beregn empirisk middelværdi x og varians s Beregn et 95% konfidensinterval for den ukendte (teoretiske) middelværdi µ. 2.3 Hvor stor skulle stikprøven være, hvis intervallets bredde skulle være mindre end en halv? 3. Antag X er normalfordelt med middelværdi 3 og varians Hvad er sandsynligheden for, at X er mindre end 3? 3.2 Angiv et interval, som X tilhører med 95% sandsynlighed. 4. Antag X 1,..., X 50 alle har middelværdi 3 og varians Angiv et interval, som X tilhører med sandsynlighed 95%. 4.2 Angiv et (tilfældigt) interval, som med sandsynlighed 95% vil indeholde den sande middelværdi Antag X = (X X 100 ) b(100, 0.25) og lad X = X /100. Hvordan kan vi udregne en tilnærmet værdi for P( X 0.1) vha. den centrale grænseværdi-sætning? Antag vi ikke ved p = 0.25, og at p estimeres vha. X. Angiv da et 95% konfidensinterval for p. 33 / / 32 Facit 1: 0.96, 3, , 3.6, 2.1: , 2.2: [1.52;2.74], 2.3: 60, 3.1: 0.5, 3.2: 3±2.77, 4.1: 3 ± 0.392, 4.2: X ±0.392, 5: X er approksimativt N(0.25, ), X ± / 32