Logik og argumentation. Noter til de to forberedende aktiviteter

Transkript

1 Lgik g argumentatin Nter til de t frberedende aktiviteter Belæg: 17 ender på 7, sm er et ulige tal Påstand: 17 er et ulige tal Hjemmel: Et tal er ulige, hvis det ender på et ulige ciffer Belæg: 17 er et ulige tal Påstand: 17 2 er et ulige tal Hjemmel: Kvadratet på et ulige tal er selv et ulige tal Indhldsfrtegnelse: Elevnter Aktivitet 1: Elementær talteri side 1 Aktivitet 2: Matematik g argumentatinsteri side 5 Lærernter Kmmentarer til elementær talteri side 14 Kmmentarer til matematik g argumentatin side 22 Situatinsberetning side 27

2 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 1 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Elementær talteri (elevnte) Indenfr retrikken findes der mange frskellige frmer fr argumenter, fx - Ekspert- eller autritetsargumentet, f.eks. ved henvisning til hvad andre videnskabsflk har udtalt. - referencegruppeargumentet, f.eks. ved at henvise til ppulære persner. - ad-hminem-argumentet, hvr man f.eks. spiller på at påstanden kmmer fra en persn, der er kendt fr at være pålidelig g ubestikkelig. - mængdeargumentet, f.eks. "ni ud af ti udtaler...", "tusind mennesker kan ikke tage fejl..." - den menneskelige histrie, f.eks. ved at frtælle en skæbnehistrie fra det virkelige liv. - trusselsargumentet, sm f.eks. handler m de negative knsekvenser, der vil indtræde, hvis man ikke gør sm freslået. - lykkeargumentet, sm mdsat fremmaner alle de gde ting, der vil ske, hvis afsenderens budskab bliver til virkelighed. Sådanne argumenter er ikke tvingende. De kræver blt, at vi tilslutter s bestemte hldninger, meninger eller at vi trr på argumenter uden nødvendigvis at kunne kntrllere dem. Vi er derfr ikke bundet af sådanne argumenter - selvm det selvfølgelig fte vil være meget praktisk at lytte til dem. I matematik (g videnskab i almindelighed) er vi interesseret i at argumentere tvingende, dvs. alle skal være bundet af argumentatinen, sm ikke må afhænge af persnlige verbevisninger, hldninger, plitiske standpunkter sv. Argumentet skal altså helst være bjektivt. Et matematisk tvingende argument kaldes gså fr et lgisk argument. Men siger gså at man bruger den deduktive metde, idet man ud fra ngle grundlæggende antagelser (hypteser) udleder knsekvenser, sm må anses fr at være ufravigelige. Matematisk deduktin kan stadigvæk indpasses i Tulmins argumentatins mdel: Belæg (Data /Dkumentatin) Påstand Hjemmel (Begrundelse) Gendrivelse Rygdækning Lad s lige se på et eksempel fra matematikundervisningen: Eksempel: En vare kster sm udgangspunkt 1200 kr. (svarende til butikkens råpris = udgifter + frtjeneste). Dertil kmmer mms (25%) g en eventuel rabat. En kunde får tilbudt en rabat på 15%. Er det nu en frdel fr kunden at få rabatten trukket fra før eller efter der er lagt mms til råprisen? 1

3 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 2 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Påstand: Hjemmel: Gendrivelse: Ny påstand: Ny hjemmel: Ny gendrivelse: Belæg/data: Ny påstand (med styrkemarkør) Nyt belæg: Ny hjemmel: Knklusin: A: Jeg vil helst have rabatten trukket fra først! B: Hvrfr det? A: J, fr j mindre udgangsprisen fr mmsen er, j mindre mms skal jeg j betale - g så slipper jeg j billigere! B: Men får du så ikke gså mindre rabat? A: J, det kan der selvfølgelig være nget m hm! Jamen så vil jeg helst have trukket rabatten fra sidst, fr j større udgangsprisen er fr rabatten, j mere rabat får jeg! B: Men hvrdan kan du så vide hvad der bedst kan betale sig, når du vinder nget på begge måder? A: Lad mig prøve at regne på det: Hvis jeg trækker rabat først, så udgør rabatten 15% af 1200 kr. = 180 kr. Dertil kmmer mmsen af den nye udgangspris på 1200 kr. 180 kr. = 1020 kr. Mmsen udgør derfr 25% af 1020 kr. = 255 kr. I alt stiger råprisen derfr med 255 kr. 180 kr. = 75 kr. Hm! Hvis jeg trækker rabatten fra til sidst, så udgør mmsen 25% af 1200 kr. = 300 kr. Dertil kmmer rabatten af den nye udgangspris på 1200 kr kr. = 1500 kr. Rabatten udgør derfr 15% af 1500 kr. = 225 kr. I alt stiger råprisen derfr denne gang med 300 kr. 225 kr. = 75 kr. Hvad søren? B: Men det er ikke bare det samme?! A: J, men så er det da bare fuldstændigt ligegyldigt m jeg får trykket rabatten først eller sidst! B: Er det altid det? A: Hm! Hvad var det nu jeg lærte i prcentregningen? Når jeg trækker rabatten på 15% fra et beløb, svarer det til at gange beløbet med Når jeg lægger mmsen på 25% til et beløb svarer det til at gange beløbet med Hm! B: Jamen, er det ikke ligegyldigt i hvilken rækkefølge du ganger med de t tal 0.85 g 1.25? A: Selvfølgelig faktrernes rden er ligegyldig! Så derfr er det ligegyldigt m jeg får trukket rabatten fra først eller sidst YES!. Vi vender s nu md et simpelt eksempel på et lgisk argument hentet fra hverdagen: A: Hvis du går udenfr bliver du våd! B: Hvrfr det? A: Frdi det regner! Her er påstanden at man bliver våd, hvis man går udenfr. Tilsvarende er belægget, altså de data, der ligger til grund fr påstanden, at det rent faktisk regner. Hjemlen er så underfrstået: Hvis det regner (mens man er udenfr), så bliver man våd. I princippet kunne vi nu frsøge s med en gendrivelse: B: Jeg kan da bare tage en paraply med. 2

4 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 3 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Det afgørende er altså at man kan knytte påstanden til en anden påstand, belægget, der har den egenskab at hvis belægget er sandt trækker det påstanden med sig, dvs. så er påstanden nødvendigvis gså sand. Matematikkens verden handler dels m tal, dels m figurer. I dette frløb vil vi arbejde med tal. Der findes mange frskellige tal, men vi vil mest beskæftige s med de simpleste tal, tælletallene eller de naturlige tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... De naturlige tal udgør allerede i sig selv en yderst kmpliceret verden, der er i stand til at afspejle de mest frunderlige ting. Det er denne verden vi vil dykke ned i g udfrske en lille flig af. Lige g ulige tal: Tilbage til pythagræerne har man været fascineret af den rlle de naturlige tal spiller fr den skjulte rden i naturen, kunsten sv. Pythagræerne interesserede sig bl.a. fr pdelingen af de naturlige tal i frskellige typer af tal. Den mest fundamentale inddeling i frskellige typer er pdelingen i lige g ulige tal, hvrved tallene så at sig fik et køn, på samme måde sm vi deler mennesker i mænd g kvinder. Overvej nu følgende øvelse, sm vi vil snakke m i fællesskab: Øvelse 1: Lige g ulige tal Giv eksempler på lige g ulige tal. Prøv at give en præcis definitin af begreberne lige g ulige tal. Overvej hvrdan I kan afgøre m et tal er lige eller ulige: Er tallet 2467 fx lige eller ulige? Husk at begrunde hvrfr i slutter sm I gør: Hvad er det man skal kigge efter, når man vil afgøre m et tal er lige eller ulige? Kan I pstille en frmel fr et lige tal? kan I pstille en frmel fr et ulige tal? Gå herefter sammen i matrixgrupper g vervej de følgende øvelser. Husk, når I diskuterer, at kmme med hjemmel g belæg fr jeres påstande. Husk at udfrdre hinanden med gendrivelser... Husk gså at skrive ned, hvad det er I kmmer frem til. Nedskriv mindst ét argument med en påstand, en hjemmel g et belæg. Når i er færdige med øvelsen frklarer I hver fr sig en anden gruppe m jeres vervejelser. Øvelse 2: Regning med lige g ulige tal Hvad sker der, når man regner med lige g ulige tal: Hvad kan man sige m summen af t lige tal? summen af t ulige tal? summen af et lige g et ulige tal? Hvad kan man sige m prduktet af t lige tal? prduktet af t ulige tal? prduktet af et lige g et ulige tal? Hvrdan kan man pstille disse regneregler i et skema? Hvrdan kan man bevise disse regneregler, dvs. hvrdan kan man verbevise andre m at disse regneregler nødvendigvis er sande? 3

5 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 4 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Kvadrattallene: Der findes gså andre typer tal. Fx var pythagræerne særligt fascinerede af kvadrattallene. Øvelse 3: Kvadrattal: Giv eksempler på kvadrattal. Prøv at give en gemetrisk tlkning af et kvadrattal. Det er svært umiddelbart at se på et tal m det er et kvadrattal, men ved hjælp af jeres lmmeregner kan I hurtigt afgøre m et tal er et kvadrattal ved at uddrage kvadratrden. Er tallet 4687 fx et kvadrattal? Er tallet 4489 et kvadrattal? Hvad kan man sige m summen af t kvadrattal: Er det aldrig et kvadrattal? Er det smmetider et kvadrat tal? Er det altid et kvadrattal? Hvad kan man sige m prduktet af t kvadrattal: Er det aldrig et kvadrattal? Er det smmetider et kvadrat tal? Er det altid et kvadrattal? Øvelse 4: Kvadrattal g pdelingen i lige/ulige tal: Der findes en simpel frbindelse mellem kvadrattal g pdelingen i lige-ulige tal: Hvad kan I sige m kvadratet på et lige tal? Hvad kan I sige m kvadratet på et ulige tal? Hvrdan kan I bevise disse regler fr kvadratet på et lige tal henhldsvis et ulige tal, dvs. hvrdan kan I verbevise andre m at disse regler nødvendigvis er sande? Hvad kan I sige m et tal, hvis kvadratet på tallet er et lige tal? Hvad kan I sige m et tal, hvis kvadratet på tallet er et ulige tal? Øvelse 5: Pythagræiske kvadrattal Pythagræerne var især fascinerede af de kvadrattal, der kunne skrives sm summen af t kvadrattal, fx er kvadrattallet 25 det samme sm summen af kvadrattallene 9 g 16. Sådanne kvadrattal vil vi kalde pythagræiske kvadrattal. Prøv at give en gemetrisk tlkning af de pythagræiske kvadrattal. Prøv nu at pskrive de ti første kvadrattal i rækkefølge: Hvad kan I sige m frskellen mellem disse tal (dvs. træk det første fra det andet, det andet fra det tredje sv.)? Kan I argumentere fr denne påstand? Hvis frskellen på t kvadrattal selv er et kvadrattal, så har I fundet et pythagræisk kvadrattal. Find de første fem pythagræiske kvadrattal på denne måde. Hvilke retvinklede trekanter svarer de til? Kan I skrive en frmel p fr disse trekanter? Findes der uendeligt mange pythagræiske kvadrattal? Hvrdan kan I argumentere fr denne påstand? 4

6 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 5 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Matematik g argumentatinsteri (elevnte) Matematisk deduktin g Tulmins mdel fr redelig argumentatin Vi minder m at et matematisk tvingende argument gså kaldes fr et lgisk argument. Men siger gså at matematikken bruger den deduktive metde, idet man ud fra ngle grundlæggende antagelser (hypteser) udleder knsekvenser, sm må anses fr at være ufravigelige. Matematisk deduktin kan indpasses i Tulmins argumentatins mdel: Belæg (Data /Dkumentatin) Påstand Hjemmel (Begrundelse) Gendrivelse Vi så sidste gang på et simpelt eksempel på et lgisk argument hentet fra hverdagen: A: Hvis du går udenfr bliver du våd! B: Hvrfr det? A: Frdi det regner! Her er påstanden at man bliver våd, hvis man går udenfr. Tilsvarende er belægget, altså de data, der ligger til grund fr påstanden, at det rent faktisk regner. Hjemlen er så underfrstået: Hvis det regner (mens man er udenfr), så bliver man våd. I princippet kunne vi nu frsøge s med en gendrivelse: B: Jeg kan da bare tage en paraply med. Det afgørende er altså at man kan knytte påstanden til en anden påstand, belægget, der har den egenskab at hvis belægget er sandt trækker det påstanden med sig, dvs. så er påstanden nødvendigvis gså sand. I matematik kalder man fte påstanden fr q g belægget fr p: q = "Når du går udenfr, bliver du våd" p = "Det regner" Hjemlen er den regel, der frbinder de t udsagn g tillader s at slutte fra det ene udsagn til det andet: p q (sm læses: 'p medfører q' eller 'hvis p så q') (dvs. hvis det regner, så bliver du våd, når du går udenfr). Den generelle skabeln fr et typisk lgisk argument ifølge Tulmin ser derfr således ud i matematikken: Præmisser: Knklusin: Rygdækning Udsagnet p er sandt (belægget) Udsagnet p medfører udsagnet q (hjemlen) Altså er gså udsagnet q sandt (påstanden). 1

7 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 6 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Eksempler fra talterien: Lad s tage et eksempel fra talterien, sm vi så nærmere på sidste gang: Påstand: 17 2 er et ulige tal Hjemmel: Kvadratet på ethvert ulige tal er selv et ulige tal, dvs. hvis et tal er ulige, så er kvadratet på tallet gså ulige. Belæg: 17 er et ulige tal Frdi 17 er et ulige tal, g frdi kvadratet på ethvert ulige tal er et ulige tal følger det altså, at 17 2 er et ulige tal. Vi kunne selvfølgelig gså bare regne 17 2 ud g derefter checke m det var et ulige tal. Men nu ville vi j i stedet prøve at argumentere :-) Et sådant argument kan ptrævles yderligere. F.eks. kan vi spørge: Hvrfr skal vi tr på belægget, dvs. hvrfr skal vi tr på at 17 er et ulige tal? Påstand: Tallet 17 er et ulige tal Hjemmel: Et tal er ulige, hvis det ender på et ulige ciffer, dvs. 1, 3, 5, 7 eller 9 Belæg: Tallet 17 ender på 7, sm er et ulige ciffer Tilsvarende kan vi selvfølgelig spørge m hvrfr vi skal tr på hjemlen? Påstand: Kvadratet på ethvert ulige tal er et ulige tal Hjemmel: Det sidste ciffer i kvadrattallet stammer fra kvadratet på det sidste ciffer i tallet Belæg: Kvadratet på et ulige ciffer er ulige: 1 2 = 1, 3 2 = 9, 5 2 = 5, 7 2 = 4 9, 9 2 = 81 Og sådan kan man blive ved! Men i praksis behøver man kun gå så langt tilbage, at de diskuterende er enige m belægget g hjemlen. I matematik støtter man sig altså til sætninger, der allerede er velkendte, frdi de allerede er bevist. Her er et mere kmpliceret argument, sm ikke handler m et knkret tal, g hvr vi derfr er nødt til at argumentere mere abstrakt: Påstand: Hvis et kvadrat tal x 2 er lige, må tallet x selv være lige Hjemmel: Kvadratet på et ulige tal er ulige. Belæg: Ethvert tal er enten lige eller ulige. Dette er et såkaldt mdstridsargument: Der er kun t muligheder: Enten er x lige eller gså er x ulige. En af delene må være sand. Vi viser nu at den anden er falsk. Derfr må den første være sand! Men sm vi har set har vi hjemmel til at slutte, at hvis x er ulige så er x 2 gså ulige. Det er i mdstrid med, at vi ved at x 2 er lige g et tal kan j ikke både være lige g ulige. Heraf følger det derfr, at antagelsen er falsk, dvs. x kan ikke være ulige. Men hvis x ikke kan være ulige, så må x være lige. 2

8 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 7 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Lgikken sm et matematisk sprg: Lgiske binderd g sandhedstavler Her har vi støttet s til ngle af de mest fundamentale principper fr lgisk argumentatin: Et lgisk udsagn er et udsagn, sm enten er sandt eller falsk. Et lgisk udsagn kan ikke både være sandt g falsk på samme tid. Når man i mderne lgik ønsker at hlde styr på sådan argumenter indfører man sandhedstavler: Et lgisk udsagn er sm sagt en påstand sm enten er sand eller falsk. I TI-Nspire kaldes disse sandhedsværdier fr true g false: Læg mærke at TI-Nspire netp pfatter et udsagn af frmen udtryk1 = udtryk2 sm et lgisk udsagn, der enten er sandt eller falsk. I begge tilfælde kan vi umiddelbart udregne begge sider g se m udsagnene er sande eller falske. Men vi kan i mange tilfælde gså argumentere s frem til sandhedsværdien, fx Dette udsagn må nødvendigvis være falsk, frdi er et ulige tal g er et lige tal. Der er derfr ingen grund til at udregne tallene fr at afgøre sandhedsværdien. I den matematiske lgik kan man nu kmbinere udsagn lidt på samme måde sm i dagligdags tale: Her anvender man de lgiske binderd: 'g', 'eller', 'ikke' sm har en præcis betydning, g sm derfr i TI-Nspire udtrykkes med de engelske rd and, r g nt: Fx betyder udsagnet nt (2+3=5) at tallet 2 +3 ikke er det samme sm tallet 5 - g det er j en frkert påstand! Udsagnet 2+3=5 r 5 2 = 24 betyder tilsvarende at enten er tallet 2+3 det samme sm tallet 5 eller gså er tallet 5 2 det samme sm tallet 24; dvs. mindst et af udsagnene er sande g det er j krrekt, idet det første udsagn er sandt. I almindelighed har de lgiske binderd nt, r g and altså den følgende betydning: nt p udsagnet p er falsk. Påstanden p r q betyder at p and q mindst et af udsagnene p g q er sande, dvs. enten er p sand eller gså er q sand (gerne dem begge!). begge udsagnene er sande, dvs. både p g q er sande. 3

9 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 I almindelig tale vil r altså typisk versættes med enten eller, eller bare med eller. Tilsvarende vil and versættes med både - g eller bare med g. Det rejser et mindre prblem: Når vi i almindeligt sprg bruger vendingen 'enten eller' bruger vi den smmetider i betydningen "enten er det ene sandt eller gså er det andet sandt, men de kan ikke begge være sande". Hvis vi fx ser navnet Alaya på en navneliste så kan vi slutte at Alaya enten er navnet på en pige eller på en dreng. Men i dette tilfælde er det klart at Alaya ikke både kan være en pige eller en dreng. Man siger vi bruger det ekslusive enten eller, sm altså indebærer at netp et af udsagnene hlder. I matematisk lgik bruger man da binderdet xr (sm er en sammentrækning af exclusive OR). Der findes ikke andre indbyggede lgiske binderd i TI-Nspire, hvilket vi kan se af listen i katalget. Men får vi brug fr flere kan vi selv definere dem! Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 8 Når man arbejder med sammensatte lgiske udsagn er det nemmest at undersøge deres sandhedsværdi ved hjælp af en sandhedstavle. Hvis man fx har t elementære udsagn p g q så pskriver man en liste ver de fire mulige kmbinatiner af sandhedsværdier fr de t udsagn: Vi ser da netp at det sammensatte udsagn p and q kun er sandt, når begge udsagnene er sande. Øvelse 1. De elementære sandhedstavler Opbyg nu selv sandhedstavler fr de lgiske binderd r, xr g nt. Nrmalt kan et sammensat udsagn både være sandt eller falsk afhængigt af de enkelte udsagns sandhedsværdier. Men der findes sammensatte udsagn, der altid er sande uafhængigt af de enkelte deludsagns sandhedsværdier. Prøv fx at pbygge sandhedstavlen fr udsagnet p r nt p. Sådanne udsagn kaldes tautlgier (dvs. selvindlysende sandheder). Kan du finde andre eksempler på sammensatte udsagn, der altid er sande? Tilsvarende findes der sammensatte udsagn, der altid er falske uafhængigt af de enkelte deludsagns sandhedsværdier. Prøv fx med udsagnet p and nt p. Sådanne udsagn kaldes fr kntradiktiner (selvmdsigelse). Kan du finde andre eksempler på udsagn, der altid er falske? 4

10 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 9 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Øvelse 2. Lgiske kmbinatiner Hvr mange sandhedstavler kan man i alt pbygge ud fra t deludsagn p g q? (SUS står fr Sammensat UdSagn) Hvr mange af disse sammensatte udsagn er symmetriske, dvs. de ikke afhænger af rækkefølgen fr p g q? Kan du pbygge sandhedstavler, der matcher alle de venstående ved at kmbinere p g q med de lgiske binderd nt, r g and (g såmænd gså gerne xr)? Den lgiske implikatin: Hvis... så... Vi er nu kmmet til det mest centrale lgiske udsagn i argumentatinsterien: p medfører q der er det samme sm hvis p så q (dvs. det er netp hjemlen i en lgisk argumentatinskæde). Den vil vi betegne med det engelske rd imply (sm er beslægtet med det danske rd implicere, der netp betyder 'medføre'). Vi skal da først prøve at frstå hjemlens betydning, dvs. hvrnår er det rigtigt, at p medfører q g hvrnår er det frkert? Det er i hvert fald klart, at hvis p er sand, så skal gså q være sand. Knklusinen q må derfr aldrig være falsk, samtidigt med at frudsætningen p er sand. Det kunne vi versætte med nt ( p and nt q). Det fører nu til de t følgende rækker i sandhedstavlen: Men hvad gør vi hvis p er falsk? Kan vi så slutte nget m q? Nej, hvis p ikke er sand, så er det ligegyldigt hvad q er vi kan ikke vide nget m det, fr hvis p er falsk er kæden allerede hægtet af vres argument! Antag fx den følgende hjemmel gælder: Hvis det regner, så bliver du våd, når du går udenfr! Hvad kan vi så slutte? Ja, hvis det regner g vi går udenfr, ja så er det klart at vi bliver våde! Men hvad nu, hvis vi går udenfr g vi bliver våde (dvs. q er sand)? Kan vi så slutte at det regner (dvs. at p er sand)? Nej, fr vi kunne gså blive våde af andre grunde end at det regner, fx frdi vi blev blændet af det strålende slskin g faldt i nabens svømmebassin. 5

11 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 10 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Vi kan altså ikke slutte baglæns: Hvis q er sand, så kan p såvel være sand sm falsk! Af samme grund kan vi heller ikke slutte nget, hvis p er falsk, fr så siger reglen ikke nget! Vi er altså tilbage ved at påstanden 'hvis p så q' alene kan bruges til at drage en slutning, hvis vi enten ved at p er sand (fr så trækker den q med sig) eller hvis vi ved at q er falsk (fr så frhindrer den udsagnet p i at være sand). Det kan gså frmuleres således: Enten er p falsk eller gså er q sand, dvs. nt p r q. Igen bygger det på mdstridsargumentet! Vi skal vise, at hvis udsagnet p er sandt, så er gså udsagnet q sandt. Men hvis p er sandt, så er det første udsagn frkert, g derfr må det andet være rigtigt, dvs. udsagnet q er sand. Det fører til den følgende sandhedstavle fr udsagnet p medfører q: En anden måde vi kan indføre det nye udsagn på er ved at knytte det til vres tidligere udsagn. Vi har allerede set på t muligheder: nt p r q nt (p and nt q) Men det er bare t frskellige måder at sig det samme på. Faktisk mskriver TI- Nspire helt autmatisk det nederste udsagn til det øverste: Tilsvarende kan vi se at de har nøjagtigt den samme sandhedstavle (sm netp er magen til den sandhedstavle vi skrev p fr p medfører q): Vi kan altså definere udsagnet p medfører q til at betyde det samme sm udsagnet nt p r q. I TI-Nspire skrives det således i grafregneren: Så snart vi har defineret implykmmanden kan vi få TI-Nspire til at pstille sandhedstavlen fr kmmanden. Dermed kan vi udnytte binderdet imply på lige fd med de andre lgiske binderd! 6

12 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 11 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Om kærlighed g lgik At Smørrebrød er ikke Mad, Og Kierlighed er ikke Had, Det er fr Tiden hvad jeg veed Om Smørrebrød g Kierlighed. Jhan Herman Wessel Lad s nu illustrere maskineriet med en lgisk slutning m kærlighed helt i Shakespeares ånd: Jespers dilemma: Om Jesper har vi følgende t facts: (1) Enten elsker Jesper Lise eller gså elsker Jesper Hanne (2) Hvis Jesper elsker Lise, så elsker Jesper gså Hanne Kan vi nu slutte at Jesper elsker Lise? Kan vi slutte at Jesper elsker Hanne? Det kan gdt være lidt svært at verskue, men så kan vi j prøve s frem med sandhedstavler! Først skal vi have indført de elementære udsagn "Lise" = Jesper elsker Lise "Hanne" = Jesper elsker Hanne Da et navn i Lister g regneark kun må indehlde 16 tegn afkrter vi udsagnene sm vist, så hvis udsagnet "Lise" er sand, betyder det altså at Jesper elsker Lise sv. Dernæst skal i have indført de sammensatte udsagn L_eller_H = Lise r Hanne (dvs. første fact!) L_medfører_H = Lise medfører Hanne (dvs. andet fact). Endelig skal vi have versat reglen m at vi kan stle på begge facts! Regel = (L_eller_H) and (L_medfører_H) dvs. reglen hævder at begge udsagnene er sande. Men så er det bare at indskrive sandhedsudsagnene i sandhedstavler g checke dem! 7

13 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 12 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Fr det første ved vi, at vi netp lever i et af de følgende fire universer: Fr at kmme tættere på hvilke af disse mulige universer, vi rent faktisk lever i indfører vi nu sandhedstavlerne fr de sammensatte udsagn: Her kunne vi faktisk gdt afgøre det, men lad s fr klarheds skyld gså indføre reglen: Vi ser da at det kun er i det første g tredje univers at reglen hlder. Vi lever altså enten i univers 1, hvr Jesper elsker dem begge, eller i univers 3, hvr Jesper kun elsker Hanne. Knklusinen er derfr den følgende: Det eneste vi med sikkerhed kan slutte er, at Jesper elsker Hanne! I det fregående gennemførte vi nu et rent mekanisk argument fr at Jesper faktisk elsker Hanne (hvis han ellers skulle være i tvivl ). Men vi kunne gså have argumenteret klassisk lgisk fr det: Først et direkte argument: Påstand: Jesper elsker Hanne Belæg: Enten elsker Jesper Lise eller gså elsker Jesper ikke Lise! Hjemmel: Fact 1: Jesper elsker mindst en af dem. Fact 2: Hvis Jesper elsker Lise elsker han gså Hanne. Argumentet er så sm følger: Belægget er ubestrideligt sandt! Hvis Jesper elsker Lise, følger det af fact 2, at han gså elsker Hanne. Hvis Jesper ikke elsker Lise, følger det af fact 1, at så må han nødvendigvis elske Hanne. Hvad enten han elsker Lise eller ikke elsker Lise kan vi altså være sikre på at han elsker Hanne! 8

14 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 13 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Dernæst et indirekte argument (mdstridsargument): Antag at Jesper ikke elsker Hanne (hyptesen). Af fact 1 følger da, at han nødvendigvis elsker Lise. Men af fact 2 følger så, at han gså elsker Hanne, hvilket er i mdstrid med vres antagelse. Da vres antagelse fører til en mdstrid er den frkert, dvs. Jesper må nødvendigvis elske Hanne. Påstanden: Jesper elsker ikke Hanne, kan altså gendrives ud fra hjemlen: Fact 1 g Fact 2. Læg mærke til hvrdan vi anvender den hyptetisk-deduktive metde i begge tilfælde! Øvelse 3: Denne gang spørger vi Jesper: 'Er det virkeligt sandt, at hvis du elsker Lise, så elsker du gså Hanne?' Hertil svarer Jesper: 'Hvis det virkeligt er sandt, så elsker jeg Lise!' Er Jesper frelsket i Lise? Er han frelsket i Hanne? NB! Denne gang må vi altså ikke støtte s på de t tidligere facts 1 g 2. Øvelse 4: Når vi spørger Jesper: 'Er det virkeligt sandt, at hvis du elsker Lise, så elsker du gså Hanne?' svarer Jesper: 'Hvis det virkeligt er sandt, så elsker jeg Lise, g hvis jeg elsker Lise, så er det virkeligt sandt!' Hvem er Jesper nu frelsket i? Øvelse 5: Denne gang er der tre piger på spil: Susanne, Marcia g Diana. Vi har nu følgende facts til rådighed: (1) Jesper er frelsket i mindst en af pigerne. (2) Hvis Jesper elsker Susanne, men ikke elsker Diana, så elsker han gså Marcia. (3) Jesper elsker enten både Diana g Marcia eller gså elsker han hverken Diana eller Marcia! (3) Hvis Jesper elsker Diana, så elsker han gså Susanne. Hvem er Jesper frelsket i? 9

15 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 14 Kmmentarer til elementær talteri (lærernte): Øvelse 1: Eksemplerne burde ikke vlde prblemer! Der kan selvfølgelig gives mange definitiner/karakteriseringer af lige g ulige tal, fx 1) Hver andet tal er lige, startende med 2. Tilsvarende er hver andet tal ulige startende med 1. 2) De lige tal er dem, der kan deles med ) De lige tal er dem der ender på cifrene 0, 2, 4, 6 g 8, dvs. de lige cifre. 4) Hvis tallet repræsenteres med en bunke kugler er det lige, når bunken kan deles i t lige stre bunker... Lige tal: Ulige tal: 5) Endelig bør de prøve at frstå frmlerne fr lige g ulige tal: Lige = 2 n Ulige = 2 m +1 dvs. et tal er lige, netp når det kan skrives på frmen 2 n,... Det giver mulighed fr små argumenter/beviser, fx: Påstand: Et lige tal er et tal, der ender på 0, 2, 4, 6 g 8. Hjemmel: Tallet 2 går p i et tal, netp når det går p i sidste ciffer. Belæg: Et lige tal, er et tal, der kan deles med 2 (definitinen på et lige tal) Rygdækning: Ethvert decimaltal kan skrives sm en sum af enere, tiere, hundreder sv. Fx 2467 = Men tallet 2 går p i 1000, 100 g 10. Altså går 2 p i tallet netp når det går p i enerne. Øvelse 2: På basis af knkrete eksempler skal de nu selv kunne pstille skemaerne: + lige ulige lige lige ulige ulige ulige lige lige ulige lige lige lige ulige lige ulige Det er sværere at argumentere fr dem g de kan måske have svært ved at se hvrfr knkrete eksempler ikke kan være nk! Det kan evt. føre til en snak m induktinsprincippet: Hvrfr er det ikke nk at kende ngle få eksempler fr at kunne generalisere til den almene pførsel. Her er tre eksempler, hvr de t første er elementære, mens det tredje er avanceret (men inden fr rækkevidde af et studieretningsprjekt): Eksempel 1: Et tal kaldes fr symmetrisk eller et palindrm, hvis tallet er det samme uanset m det læses frlæns eller baglæns, fx Hvis cifrene er ens er tallet selvfølgelig trivielt symmetrisk. Kig nu på de følgende kvadrater: 1

16 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 15 Alt ånder fred g r, så tilsyneladende er ethvert kvadrattal på frmen et symmetrisk tal? Bemærkning: Kvadrattallene har gså en meget simpel struktur, hvr vi først skriver cifrene p i den naturlige rækkefølge g derefter i den mdsatte rækkefølge Men her kunne man gdt være nervøs, når ekspnenten bliver str. Det skulle dg ikke frstyrre vres symmetri? Læg mærke til cellefrmlen. Den tillader s at trække i en celle i nederste højre hjørne så man autmatisk får skrevet det næste tal i søjlen fr ettaller p g derfr gså autmatisk udregnet kvadrattallet. Eksempel 2: Denne gang er eksemplet gemetrisk. Vi tegner en cirkel med et antal punkter på randen. Derefter frbindes randpunkterne så vi får dannet den tilsvarende plygn med alle de tilhørende diagnaler. Vi tæller nu, hvr mange mråder cirklen er blevet pdelt i: n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Er der et system i tallene? Læg mærke til den åbne frmulering. Når vi tegner sekskanten er det ikke sikkert vi får det maksimale antal mråder, frdi tre diagnaler nu gdt kan gå gennem samme punkt. Det gælder fx fr den regulære sekskant. Men selvm vi insisterer på at tælle det maksimale antal mråder bryder reglen hurtigt sammen! 2

17 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 16 Eksempel 3: (kun fr mat-fysser g nk ikke i 1g). I frbindelse med kvadratreglerne har de lært at faktrisere andengradsplynmier. Her vil vi nu faktrisere plynmier af frmen x n 1. De første tyve faktriseringer ser således ud: Der er et væld af bservatiner man kan gøre, ngle trivielle g krrekte, andre mere subtile. Men her vil vi kun hæfte s ved en meget simpel bservatin: Alle faktrerne er plynmier, hvr kefficienterne enten er -1, 0 eller 1. Gælder det altid? (Eksemplet stammer fra en sød artikel med titlen: "Så du trede hundrede eksempler var nk?" Den første undtagelse dukker p fr n = 105! I den sidste parentes dukker dels -2 x 41 p, dels -2 x 7 ) 3

18 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 17 De har frskellige karakteriseringer af lige ulige tal, der kan gå ud fra, når de skal prøve at vise reglerne: 3) De lige tal er dem der ender på cifrene 0, 2, 4, 6 g 8, dvs. de lige cifre. 4) Hvis tallet repræsenteres med en bunke kugler er det lige, når bunken kan deles i t lige stre bunker... Lige tal: Ulige tal: 5) Endelig bør de prøve at frstå frmlerne fr lige g ulige tal: Lige = 2 n Ulige = 2 m +1 dvs. et tal er lige, netp når det kan skrives på frmen 2 n,... Hvis de hæfter sig ved de sidste cifre følger reglerne af de almindelige regnetabeller, idet det sidste ciffer i en sum j altid stammer fra summen af de t sidste cifre g tilsvarende fr et prdukt: Hvis de hæfter sig ved diagrammerne ser det således ud: Summen af t tal fås ved at slå bunkerne sammen: Lige tal: Lige tal: Lige tal: Ulige tal: Ulige tal: Ulige tal: 4 Der er ikke ngen i midten, så den samlede bunke repræsenterer et lige tal. Der er netp en kugle i midten, så den samlede bunke repræsenterer et ulige tal. Der er t kugler i midten, der kan frdeles på hver sin side, så den samlede bunke repræsenterer et lige tal.

19 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 18 Prduktet af t tal fås ved i stedet at kmbinere bunkerne til et rektangel sm vist: Lige Lige Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er ingen kugler i midten, så prduktet er et lige tal. Lige Ulige Midterstregen fra den ulige faktr verføres til blkken. Der er et lige antal kugler i midten svarende til den anden faktr, så prduktet er et lige tal. Ulige Ulige Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er et ulige antal kugler i midten, så når de frdeles til hver sin side, bliver den midterste til vers. Prduktet er derfr et ulige tal. Hvis de endelig hæfter sig ved frmlerne ser det således ud: + 2n 2m+1 2p 2p + 2n = 2p + 2m+1 = 2 (p+n) 2 (p+m) + 1 2p+1 2p+1 + 2n = 2p+1 + 2m+1 2 (p+n) + 1 = 2 (p+m+1) 2n 2m+1 2p 2p 2n = 2p (2m+1) = 2 (2pn) 2 (p (2m+1)) 2p+1 (2p+1) (2m+1) = (2p+1) 2n = 4pm + 2p + 2m +1 = 2 ((2p+1) n) 2 (2pm + p + m) +1 5

20 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 19 Øvelse 3: Eksempler på kvadrattal burde ikke være nget prblem. Den gemetriske tlkning knytter kvadrattallet x 2 til arealet af et kvadrat med siden x: Kvadrattallene kan gså bygges p med kuglediagrammer i den pythagræiske traditin. Fr at afgøre m tallet 4687 er et kvadrattal kan man uddrage kvadratrden! I dette tilfælde finder vi altså at 4687 ikke er et kvadrattal, mens 4489 er et kvadrattal. med lidt frnemmelse fr tallene kan man gså hurtigt afgøre det: Tallet deles i blkke bagfra med 2 cifre i hver (hvr der eventuelt kun bliver et ciffer til vers i den frreste blk): Vi ved da, at 4687 må være kvadratet på et tal af frmen 6? idet 6 2 = 36 g 7 2 = 49. men der er ingen cifre, hvis kvadrattal ender på 7. Så 4687 kan ikke være et kvadrattal. Tilsvarende fås Vi ved da, at 4489 må være kvadratet på et tal af frmen 6? idet 6 2 = 36 g 7 2 = 49. Da kvadratet på det sidste ciffer skal ende på 9 er der kun t muligheder: 63 g 67: 63 2 = (60+3) 2 = = = 3969 (duer ikke) 67 2 = (60+7) 2 = = = 4489 (duer!) Summen af t kvadrattal: Det skulle være verkmmeligt at finde eksempler, der virker g eksempler, der ikke virker. Det er fint at kble til Pythagras sætning! Fx = 5 2, = 13 2,... Prduktet af t kvadrattal: her skulle de gerne indse at det altid selv er et kvadrattal: Eks. 4 9 = 36 = 6 2. Her er det nk nemmest at vise det med bgstaver: p 2 q 2 = (p q) 2 Øvelse 4: her kan de eventuelt trække på de tidligere øvelser, men det er ikke fr alvr afgørende at de har lavet de tidligere øvelser. Kvadratet på et lige tal er lige, frdi lige lige = lige. Kvadratet på et ulige tal er ulige, frdi ulige ulige = ulige. Ved cifferregning vises det således x x

21 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 20 Det er bemærkelsesværdigt at slutcifret ikke kan være 2 eller 8 eller 3 eller 7! Ved kuglediagrammer vises det således: Lige 2 Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er ingen kugler i midten, så kvadratet er et lige tal. Det stre kvadrat er pbygget af fire små kvadrater! Ulige 2 Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er et ulige antal kugler i midten, så når de frdeles til hver sin side, bliver den midterste til vers. Kvadratet er derfr et ulige tal. Ved frmler vises det således: Kvadratet på et lige tal: (2n) 2 = 2n 2n = 4 n 2 = 2 (2n 2 ) Kvadratet på et ulige tal: (2n+1) 2 = (2n+1) (2n+1) = 4n 2 +2n+2n+1 = 2 (2n 2 +2n)+1 Det sidste er tricket g kræver et mdstridsargument! Hvis kvadratet på et tal er et lige tal, så kan tallet ikke være ulige! Fr kvadratet på et ulige tal er ulige... Øvelse 5: Frbindelsen til pythagras sætning skulle være prblemfri. tal kvadrattal differens De skulle gerne kunne genkende de ulige tal! Det er nk sværere at argumentere fr det: Først er der de generelle regler fr lige g ulige tal. De sikrer at hver andet kvadrattal er lige g hvert andet kvadrattal er ulige. Når vi regner på differensen er det derfr enten et ulige kvadrattal vi trækker fra et lige eller et lige kvadrattal vi trækker fra et ulige. Det viser at differensen altid er ulige. Det er gså klart at den er vksende. Men at den giver alle de ulige tal kræver et yderligere argument! 8

22 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 21 Ved hjælp af et diagram fås: Ved pdeling sm vist ses netp at ethvert kvadrattal rummer det fregående samt at frskellen netp består af t sider i det fregående g en ekstra hjørnekugle. Det viser netp hvrfr vi får de ulige tal! Endelig kan vi vise det med en frmel: (x+1) 2 x 2 = (x+1) (x+1) x 2 = x 2 + x + x +1 x 2 = x 2 + 2x +1 x 2 = 2x + 1 Resten følger nu ved at bemærke at de fem første ulige kvadrattal er givet ved 1, 9, 25, 49 g 81 De tilsvarende værdier fr x i frmlen fr et ulige tal, dvs. 2x+1, er derfr givet ved 0, 4, 12, 24, 40 Derved fås: = 1 = = = 9 = = = 25 = = = 49 = = = 81 = = Trekanterne skulle være prblemfri: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25) g (9,40,41), idet den første ikke er en trekant eftersm siderne klapper sammen. Frmlen kan se således ud (mest fr mat'er!) (2n + 1) 1 (2n + 1) + 1 (2n + 1) + = ( ) ( ) (2n + 1) + 2n + 2n = 2n + 2n + 1 Til gengæld skulle det være rimeligt prblemfrit at indse at der må være uendeligt mange af slagsens, frdi ethvert ulige tal indgår i (mindst) en pythagræisk trekant. 9

23 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 22 Kmmentarer til aktivitet 2 (lærernte): Matematisk deduktin g Tulmins mdel fr redelig argumentatin De indledende sider m matematisk deduktin er en repetitin af den fregående time! Meget af det kan derfr være faldet på plads i første time. Lgikken sm et matematisk sprg: Lgiske binderd g sandhedstavler De følgende øvelser m sandhedstavler kan man tage i fællesskab uden nødvendigvis at gå i dyb detalje. Det er først med kærlighed g lgik afsnittet til sidst det bliver interessant! Øvelse 1: Eksempler på tautlgier: p r nt p (eller p xr nt p) nt (p and nt p) (p and q) r (p and nt q) r (nt p and q) r (nt p and nt q) (g den tilsvarende med r erstattet af xr) Eksempler på kntradiktiner: p and nt p nt (p r nt p) (p r q) and (p r nt q) and (nt p r q) and (nt p r nt q) Det er faktisk ikke nødvendigt at pbygge sandhedstavler! Udsagnene kan bare skrives direkte ind i grafregneren: Øvelse 2: Der findes i alt 16 sandhedstavler, idet den første kmbinatin (truetrue) har t værdier sv. Hvis sandhedstavlen skal være symmetrisk er der kun 8 sandhedstavler, idet de t midterste (true-false) g (false-true) nu skal have den samme værdi. Skal man pstille den systematisk kan man fx sm vist i nten starte med lutter true, derefter fire kmbinatiner med 1 false, derefter 6 kmbinatiner med 2 false, derefter 4 kmbinatiner med 3 false g endelig 1 kmbinatin med 4 false. Mange af dem kan genkendes uden videre. Her er de 8 symmetriske: Læg mærke til at de spejles på midten, dvs. sus1 g sus16, sus2 g sus15... er fremkmmet ved at mbytte true g false sv. Det er ikke svært at genkende disse symmetriske sandhedstavler. Kig på placeringen af true! Fx i sus2 er den true, når mindst en af dem er falsk, dvs. når de ikke begge t er sande: sus1 sus2 sus5 sus8 sus9 sus12 sus15 sus16 true nt and r xr nt xr nt r and false 1

24 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 23 De asymmetriske kmmer så fra de øvrige kmbinatiner, hvr p kmbineres med nt q eller mvendt. Den lgiske implikatin: Hvis.. så sus3 sus4 sus6 sus7 sus10 sus11 sus13 sus14 nt p p r nt p nt q q p nt p p and r q nt q and q nt q Udvidelse af tlkningen af sandhedstavlen: Et falsk udsagn medfører hvad sm helst! Et sandt udsagn følger af hvad sm helst! Bemærkningen m at vi ikke kan slutte baglæns kan evt. udvides til en diskussin af abduktinsprincippet: Så selv m knklusinen q viser sig at være sand, kan vi ikke slutte, at så må hyptesen p gså være sand. Bemærkning: I den naturvidenskabelige metde betyder det, at hvis vi har en hyptese med en bestemt knsekvens, så kan vi ikke bevise hyptesen ved at påvise at knsekvensen hlder i et eksperiment. Vi kan mdbevise hyptesen ved at påvise at knsekvensen ikke hlder i et bestemt eksperiment. Men vi kan kun understøtte hyptesen ved at vise at knsekvensen er sand. Knsekvensen kunne j være sand af andre årsager. g der vil altid være mange hypteser, der fører til den samme knsekvens, dvs. man vil altid kunne frklare en bservatin på mange måder. Hvis man har flere hypteser man kan vælge mellem, vælger man nu den simpleste hyptese (ccams razr) g går videre med den. Denne frm fr argumentatin er altså ikke lgisk tvingende, men bruges ikke dest mindre meget i naturvidenskaberne, hvr den går under navnet abduktin). Ved hjælp af medfører-kmmanden kan vi nu frmalisere Tulmins argumentmdel således: Hvis vi ved at p er sand (belægget) g vi ved at p medfører q er sand (hjemlen), så kan vi slutte at gså q er sand (påstanden). I lgisk frmulering gælder der altså slutningsreglen 2

25 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 24 (p g (p medfører q)) medfører q Tilsvarende kan vi frmalisere mdstridsargumentet: p g (nt q medfører nt p) medfører q Her kan man evt. indføre følgende supplerende øvelse: Øvelse: Undersøg sandhedstavlen fr det direkte argument: (p g (p medfører q)) medfører q Knklusin? Undersøg tilsvarende sandhedstavlen fr mdstridsargumentet: p g (nt q medfører nt p) medfører q Knklusin? I begge tilfælde fås tautlgier! Om kærlighed g lgik: Øvelserne løses på samme måde sm eksemplet: Øvelse 3: Udsagnet han spørges m svarer til at spørge m Lise medfører Hanne er sandt. Han svarer: Hvis det er sandt at Lise medfører Hanne, så er Lise sand! Knklusin: Han elsker Lise! 3

26 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 25 Lgisk argument: Hvis han ikke elsker lise er det sandt at lise medfører hanne, da et falsk udsagn medfører hvad sm helst! Men hvis det er sandt at lise medfører hanne, så er lise selv sand. Og det er en mdstrid. Altså kan vi ikke prethlde antagelsen m at han ikke elsker lise, hvrfr det mdsatte følger! Øvelse 4: Denne gang elsker han dem begge t! Lgisk argument: Den første del af reglen viser sm før at han elsker Lise! Men når han elsker Lise viser den anden del af reglen at så vil Lise trække Hanne med sig. Altså er Lise sand g det er gså sandt at Lise medfører Hanne. Hen elsker altså gså Hanne! Øvelse 5: Knklusin: Han elsker dem alle sammen! Afsluttende bemærkning: Den mderne lgik går tilbage til Leibniz, sm gså er phavsmand til ideen m de mulige verdener. Leibniz believed that much f human reasning culd be reduced t calculatins f a srt, and that such calculatins culd reslve many differences f pinin: "The nly way t rectify ur reasnings is t make them as tangible as thse f the Mathematicians, s that we can find ur errr at a 4