Logik og argumentation. Noter til de to forberedende aktiviteter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Logik og argumentation. Noter til de to forberedende aktiviteter"

Transkript

1 Lgik g argumentatin Nter til de t frberedende aktiviteter Belæg: 17 ender på 7, sm er et ulige tal Påstand: 17 er et ulige tal Hjemmel: Et tal er ulige, hvis det ender på et ulige ciffer Belæg: 17 er et ulige tal Påstand: 17 2 er et ulige tal Hjemmel: Kvadratet på et ulige tal er selv et ulige tal Indhldsfrtegnelse: Elevnter Aktivitet 1: Elementær talteri side 1 Aktivitet 2: Matematik g argumentatinsteri side 5 Lærernter Kmmentarer til elementær talteri side 14 Kmmentarer til matematik g argumentatin side 22 Situatinsberetning side 27

2 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 1 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Elementær talteri (elevnte) Indenfr retrikken findes der mange frskellige frmer fr argumenter, fx - Ekspert- eller autritetsargumentet, f.eks. ved henvisning til hvad andre videnskabsflk har udtalt. - referencegruppeargumentet, f.eks. ved at henvise til ppulære persner. - ad-hminem-argumentet, hvr man f.eks. spiller på at påstanden kmmer fra en persn, der er kendt fr at være pålidelig g ubestikkelig. - mængdeargumentet, f.eks. "ni ud af ti udtaler...", "tusind mennesker kan ikke tage fejl..." - den menneskelige histrie, f.eks. ved at frtælle en skæbnehistrie fra det virkelige liv. - trusselsargumentet, sm f.eks. handler m de negative knsekvenser, der vil indtræde, hvis man ikke gør sm freslået. - lykkeargumentet, sm mdsat fremmaner alle de gde ting, der vil ske, hvis afsenderens budskab bliver til virkelighed. Sådanne argumenter er ikke tvingende. De kræver blt, at vi tilslutter s bestemte hldninger, meninger eller at vi trr på argumenter uden nødvendigvis at kunne kntrllere dem. Vi er derfr ikke bundet af sådanne argumenter - selvm det selvfølgelig fte vil være meget praktisk at lytte til dem. I matematik (g videnskab i almindelighed) er vi interesseret i at argumentere tvingende, dvs. alle skal være bundet af argumentatinen, sm ikke må afhænge af persnlige verbevisninger, hldninger, plitiske standpunkter sv. Argumentet skal altså helst være bjektivt. Et matematisk tvingende argument kaldes gså fr et lgisk argument. Men siger gså at man bruger den deduktive metde, idet man ud fra ngle grundlæggende antagelser (hypteser) udleder knsekvenser, sm må anses fr at være ufravigelige. Matematisk deduktin kan stadigvæk indpasses i Tulmins argumentatins mdel: Belæg (Data /Dkumentatin) Påstand Hjemmel (Begrundelse) Gendrivelse Rygdækning Lad s lige se på et eksempel fra matematikundervisningen: Eksempel: En vare kster sm udgangspunkt 1200 kr. (svarende til butikkens råpris = udgifter + frtjeneste). Dertil kmmer mms (25%) g en eventuel rabat. En kunde får tilbudt en rabat på 15%. Er det nu en frdel fr kunden at få rabatten trukket fra før eller efter der er lagt mms til råprisen? 1

3 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 2 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Påstand: Hjemmel: Gendrivelse: Ny påstand: Ny hjemmel: Ny gendrivelse: Belæg/data: Ny påstand (med styrkemarkør) Nyt belæg: Ny hjemmel: Knklusin: A: Jeg vil helst have rabatten trukket fra først! B: Hvrfr det? A: J, fr j mindre udgangsprisen fr mmsen er, j mindre mms skal jeg j betale - g så slipper jeg j billigere! B: Men får du så ikke gså mindre rabat? A: J, det kan der selvfølgelig være nget m hm! Jamen så vil jeg helst have trukket rabatten fra sidst, fr j større udgangsprisen er fr rabatten, j mere rabat får jeg! B: Men hvrdan kan du så vide hvad der bedst kan betale sig, når du vinder nget på begge måder? A: Lad mig prøve at regne på det: Hvis jeg trækker rabat først, så udgør rabatten 15% af 1200 kr. = 180 kr. Dertil kmmer mmsen af den nye udgangspris på 1200 kr. 180 kr. = 1020 kr. Mmsen udgør derfr 25% af 1020 kr. = 255 kr. I alt stiger råprisen derfr med 255 kr. 180 kr. = 75 kr. Hm! Hvis jeg trækker rabatten fra til sidst, så udgør mmsen 25% af 1200 kr. = 300 kr. Dertil kmmer rabatten af den nye udgangspris på 1200 kr kr. = 1500 kr. Rabatten udgør derfr 15% af 1500 kr. = 225 kr. I alt stiger råprisen derfr denne gang med 300 kr. 225 kr. = 75 kr. Hvad søren? B: Men det er ikke bare det samme?! A: J, men så er det da bare fuldstændigt ligegyldigt m jeg får trykket rabatten først eller sidst! B: Er det altid det? A: Hm! Hvad var det nu jeg lærte i prcentregningen? Når jeg trækker rabatten på 15% fra et beløb, svarer det til at gange beløbet med Når jeg lægger mmsen på 25% til et beløb svarer det til at gange beløbet med Hm! B: Jamen, er det ikke ligegyldigt i hvilken rækkefølge du ganger med de t tal 0.85 g 1.25? A: Selvfølgelig faktrernes rden er ligegyldig! Så derfr er det ligegyldigt m jeg får trukket rabatten fra først eller sidst YES!. Vi vender s nu md et simpelt eksempel på et lgisk argument hentet fra hverdagen: A: Hvis du går udenfr bliver du våd! B: Hvrfr det? A: Frdi det regner! Her er påstanden at man bliver våd, hvis man går udenfr. Tilsvarende er belægget, altså de data, der ligger til grund fr påstanden, at det rent faktisk regner. Hjemlen er så underfrstået: Hvis det regner (mens man er udenfr), så bliver man våd. I princippet kunne vi nu frsøge s med en gendrivelse: B: Jeg kan da bare tage en paraply med. 2

4 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 3 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Det afgørende er altså at man kan knytte påstanden til en anden påstand, belægget, der har den egenskab at hvis belægget er sandt trækker det påstanden med sig, dvs. så er påstanden nødvendigvis gså sand. Matematikkens verden handler dels m tal, dels m figurer. I dette frløb vil vi arbejde med tal. Der findes mange frskellige tal, men vi vil mest beskæftige s med de simpleste tal, tælletallene eller de naturlige tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... De naturlige tal udgør allerede i sig selv en yderst kmpliceret verden, der er i stand til at afspejle de mest frunderlige ting. Det er denne verden vi vil dykke ned i g udfrske en lille flig af. Lige g ulige tal: Tilbage til pythagræerne har man været fascineret af den rlle de naturlige tal spiller fr den skjulte rden i naturen, kunsten sv. Pythagræerne interesserede sig bl.a. fr pdelingen af de naturlige tal i frskellige typer af tal. Den mest fundamentale inddeling i frskellige typer er pdelingen i lige g ulige tal, hvrved tallene så at sig fik et køn, på samme måde sm vi deler mennesker i mænd g kvinder. Overvej nu følgende øvelse, sm vi vil snakke m i fællesskab: Øvelse 1: Lige g ulige tal Giv eksempler på lige g ulige tal. Prøv at give en præcis definitin af begreberne lige g ulige tal. Overvej hvrdan I kan afgøre m et tal er lige eller ulige: Er tallet 2467 fx lige eller ulige? Husk at begrunde hvrfr i slutter sm I gør: Hvad er det man skal kigge efter, når man vil afgøre m et tal er lige eller ulige? Kan I pstille en frmel fr et lige tal? kan I pstille en frmel fr et ulige tal? Gå herefter sammen i matrixgrupper g vervej de følgende øvelser. Husk, når I diskuterer, at kmme med hjemmel g belæg fr jeres påstande. Husk at udfrdre hinanden med gendrivelser... Husk gså at skrive ned, hvad det er I kmmer frem til. Nedskriv mindst ét argument med en påstand, en hjemmel g et belæg. Når i er færdige med øvelsen frklarer I hver fr sig en anden gruppe m jeres vervejelser. Øvelse 2: Regning med lige g ulige tal Hvad sker der, når man regner med lige g ulige tal: Hvad kan man sige m summen af t lige tal? summen af t ulige tal? summen af et lige g et ulige tal? Hvad kan man sige m prduktet af t lige tal? prduktet af t ulige tal? prduktet af et lige g et ulige tal? Hvrdan kan man pstille disse regneregler i et skema? Hvrdan kan man bevise disse regneregler, dvs. hvrdan kan man verbevise andre m at disse regneregler nødvendigvis er sande? 3

5 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 4 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Kvadrattallene: Der findes gså andre typer tal. Fx var pythagræerne særligt fascinerede af kvadrattallene. Øvelse 3: Kvadrattal: Giv eksempler på kvadrattal. Prøv at give en gemetrisk tlkning af et kvadrattal. Det er svært umiddelbart at se på et tal m det er et kvadrattal, men ved hjælp af jeres lmmeregner kan I hurtigt afgøre m et tal er et kvadrattal ved at uddrage kvadratrden. Er tallet 4687 fx et kvadrattal? Er tallet 4489 et kvadrattal? Hvad kan man sige m summen af t kvadrattal: Er det aldrig et kvadrattal? Er det smmetider et kvadrat tal? Er det altid et kvadrattal? Hvad kan man sige m prduktet af t kvadrattal: Er det aldrig et kvadrattal? Er det smmetider et kvadrat tal? Er det altid et kvadrattal? Øvelse 4: Kvadrattal g pdelingen i lige/ulige tal: Der findes en simpel frbindelse mellem kvadrattal g pdelingen i lige-ulige tal: Hvad kan I sige m kvadratet på et lige tal? Hvad kan I sige m kvadratet på et ulige tal? Hvrdan kan I bevise disse regler fr kvadratet på et lige tal henhldsvis et ulige tal, dvs. hvrdan kan I verbevise andre m at disse regler nødvendigvis er sande? Hvad kan I sige m et tal, hvis kvadratet på tallet er et lige tal? Hvad kan I sige m et tal, hvis kvadratet på tallet er et ulige tal? Øvelse 5: Pythagræiske kvadrattal Pythagræerne var især fascinerede af de kvadrattal, der kunne skrives sm summen af t kvadrattal, fx er kvadrattallet 25 det samme sm summen af kvadrattallene 9 g 16. Sådanne kvadrattal vil vi kalde pythagræiske kvadrattal. Prøv at give en gemetrisk tlkning af de pythagræiske kvadrattal. Prøv nu at pskrive de ti første kvadrattal i rækkefølge: Hvad kan I sige m frskellen mellem disse tal (dvs. træk det første fra det andet, det andet fra det tredje sv.)? Kan I argumentere fr denne påstand? Hvis frskellen på t kvadrattal selv er et kvadrattal, så har I fundet et pythagræisk kvadrattal. Find de første fem pythagræiske kvadrattal på denne måde. Hvilke retvinklede trekanter svarer de til? Kan I skrive en frmel p fr disse trekanter? Findes der uendeligt mange pythagræiske kvadrattal? Hvrdan kan I argumentere fr denne påstand? 4

6 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 5 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Matematik g argumentatinsteri (elevnte) Matematisk deduktin g Tulmins mdel fr redelig argumentatin Vi minder m at et matematisk tvingende argument gså kaldes fr et lgisk argument. Men siger gså at matematikken bruger den deduktive metde, idet man ud fra ngle grundlæggende antagelser (hypteser) udleder knsekvenser, sm må anses fr at være ufravigelige. Matematisk deduktin kan indpasses i Tulmins argumentatins mdel: Belæg (Data /Dkumentatin) Påstand Hjemmel (Begrundelse) Gendrivelse Vi så sidste gang på et simpelt eksempel på et lgisk argument hentet fra hverdagen: A: Hvis du går udenfr bliver du våd! B: Hvrfr det? A: Frdi det regner! Her er påstanden at man bliver våd, hvis man går udenfr. Tilsvarende er belægget, altså de data, der ligger til grund fr påstanden, at det rent faktisk regner. Hjemlen er så underfrstået: Hvis det regner (mens man er udenfr), så bliver man våd. I princippet kunne vi nu frsøge s med en gendrivelse: B: Jeg kan da bare tage en paraply med. Det afgørende er altså at man kan knytte påstanden til en anden påstand, belægget, der har den egenskab at hvis belægget er sandt trækker det påstanden med sig, dvs. så er påstanden nødvendigvis gså sand. I matematik kalder man fte påstanden fr q g belægget fr p: q = "Når du går udenfr, bliver du våd" p = "Det regner" Hjemlen er den regel, der frbinder de t udsagn g tillader s at slutte fra det ene udsagn til det andet: p q (sm læses: 'p medfører q' eller 'hvis p så q') (dvs. hvis det regner, så bliver du våd, når du går udenfr). Den generelle skabeln fr et typisk lgisk argument ifølge Tulmin ser derfr således ud i matematikken: Præmisser: Knklusin: Rygdækning Udsagnet p er sandt (belægget) Udsagnet p medfører udsagnet q (hjemlen) Altså er gså udsagnet q sandt (påstanden). 1

7 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 6 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Eksempler fra talterien: Lad s tage et eksempel fra talterien, sm vi så nærmere på sidste gang: Påstand: 17 2 er et ulige tal Hjemmel: Kvadratet på ethvert ulige tal er selv et ulige tal, dvs. hvis et tal er ulige, så er kvadratet på tallet gså ulige. Belæg: 17 er et ulige tal Frdi 17 er et ulige tal, g frdi kvadratet på ethvert ulige tal er et ulige tal følger det altså, at 17 2 er et ulige tal. Vi kunne selvfølgelig gså bare regne 17 2 ud g derefter checke m det var et ulige tal. Men nu ville vi j i stedet prøve at argumentere :-) Et sådant argument kan ptrævles yderligere. F.eks. kan vi spørge: Hvrfr skal vi tr på belægget, dvs. hvrfr skal vi tr på at 17 er et ulige tal? Påstand: Tallet 17 er et ulige tal Hjemmel: Et tal er ulige, hvis det ender på et ulige ciffer, dvs. 1, 3, 5, 7 eller 9 Belæg: Tallet 17 ender på 7, sm er et ulige ciffer Tilsvarende kan vi selvfølgelig spørge m hvrfr vi skal tr på hjemlen? Påstand: Kvadratet på ethvert ulige tal er et ulige tal Hjemmel: Det sidste ciffer i kvadrattallet stammer fra kvadratet på det sidste ciffer i tallet Belæg: Kvadratet på et ulige ciffer er ulige: 1 2 = 1, 3 2 = 9, 5 2 = 5, 7 2 = 4 9, 9 2 = 81 Og sådan kan man blive ved! Men i praksis behøver man kun gå så langt tilbage, at de diskuterende er enige m belægget g hjemlen. I matematik støtter man sig altså til sætninger, der allerede er velkendte, frdi de allerede er bevist. Her er et mere kmpliceret argument, sm ikke handler m et knkret tal, g hvr vi derfr er nødt til at argumentere mere abstrakt: Påstand: Hvis et kvadrat tal x 2 er lige, må tallet x selv være lige Hjemmel: Kvadratet på et ulige tal er ulige. Belæg: Ethvert tal er enten lige eller ulige. Dette er et såkaldt mdstridsargument: Der er kun t muligheder: Enten er x lige eller gså er x ulige. En af delene må være sand. Vi viser nu at den anden er falsk. Derfr må den første være sand! Men sm vi har set har vi hjemmel til at slutte, at hvis x er ulige så er x 2 gså ulige. Det er i mdstrid med, at vi ved at x 2 er lige g et tal kan j ikke både være lige g ulige. Heraf følger det derfr, at antagelsen er falsk, dvs. x kan ikke være ulige. Men hvis x ikke kan være ulige, så må x være lige. 2

8 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 7 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Lgikken sm et matematisk sprg: Lgiske binderd g sandhedstavler Her har vi støttet s til ngle af de mest fundamentale principper fr lgisk argumentatin: Et lgisk udsagn er et udsagn, sm enten er sandt eller falsk. Et lgisk udsagn kan ikke både være sandt g falsk på samme tid. Når man i mderne lgik ønsker at hlde styr på sådan argumenter indfører man sandhedstavler: Et lgisk udsagn er sm sagt en påstand sm enten er sand eller falsk. I TI-Nspire kaldes disse sandhedsværdier fr true g false: Læg mærke at TI-Nspire netp pfatter et udsagn af frmen udtryk1 = udtryk2 sm et lgisk udsagn, der enten er sandt eller falsk. I begge tilfælde kan vi umiddelbart udregne begge sider g se m udsagnene er sande eller falske. Men vi kan i mange tilfælde gså argumentere s frem til sandhedsværdien, fx Dette udsagn må nødvendigvis være falsk, frdi er et ulige tal g er et lige tal. Der er derfr ingen grund til at udregne tallene fr at afgøre sandhedsværdien. I den matematiske lgik kan man nu kmbinere udsagn lidt på samme måde sm i dagligdags tale: Her anvender man de lgiske binderd: 'g', 'eller', 'ikke' sm har en præcis betydning, g sm derfr i TI-Nspire udtrykkes med de engelske rd and, r g nt: Fx betyder udsagnet nt (2+3=5) at tallet 2 +3 ikke er det samme sm tallet 5 - g det er j en frkert påstand! Udsagnet 2+3=5 r 5 2 = 24 betyder tilsvarende at enten er tallet 2+3 det samme sm tallet 5 eller gså er tallet 5 2 det samme sm tallet 24; dvs. mindst et af udsagnene er sande g det er j krrekt, idet det første udsagn er sandt. I almindelighed har de lgiske binderd nt, r g and altså den følgende betydning: nt p udsagnet p er falsk. Påstanden p r q betyder at p and q mindst et af udsagnene p g q er sande, dvs. enten er p sand eller gså er q sand (gerne dem begge!). begge udsagnene er sande, dvs. både p g q er sande. 3

9 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 I almindelig tale vil r altså typisk versættes med enten eller, eller bare med eller. Tilsvarende vil and versættes med både - g eller bare med g. Det rejser et mindre prblem: Når vi i almindeligt sprg bruger vendingen 'enten eller' bruger vi den smmetider i betydningen "enten er det ene sandt eller gså er det andet sandt, men de kan ikke begge være sande". Hvis vi fx ser navnet Alaya på en navneliste så kan vi slutte at Alaya enten er navnet på en pige eller på en dreng. Men i dette tilfælde er det klart at Alaya ikke både kan være en pige eller en dreng. Man siger vi bruger det ekslusive enten eller, sm altså indebærer at netp et af udsagnene hlder. I matematisk lgik bruger man da binderdet xr (sm er en sammentrækning af exclusive OR). Der findes ikke andre indbyggede lgiske binderd i TI-Nspire, hvilket vi kan se af listen i katalget. Men får vi brug fr flere kan vi selv definere dem! Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 8 Når man arbejder med sammensatte lgiske udsagn er det nemmest at undersøge deres sandhedsværdi ved hjælp af en sandhedstavle. Hvis man fx har t elementære udsagn p g q så pskriver man en liste ver de fire mulige kmbinatiner af sandhedsværdier fr de t udsagn: Vi ser da netp at det sammensatte udsagn p and q kun er sandt, når begge udsagnene er sande. Øvelse 1. De elementære sandhedstavler Opbyg nu selv sandhedstavler fr de lgiske binderd r, xr g nt. Nrmalt kan et sammensat udsagn både være sandt eller falsk afhængigt af de enkelte udsagns sandhedsværdier. Men der findes sammensatte udsagn, der altid er sande uafhængigt af de enkelte deludsagns sandhedsværdier. Prøv fx at pbygge sandhedstavlen fr udsagnet p r nt p. Sådanne udsagn kaldes tautlgier (dvs. selvindlysende sandheder). Kan du finde andre eksempler på sammensatte udsagn, der altid er sande? Tilsvarende findes der sammensatte udsagn, der altid er falske uafhængigt af de enkelte deludsagns sandhedsværdier. Prøv fx med udsagnet p and nt p. Sådanne udsagn kaldes fr kntradiktiner (selvmdsigelse). Kan du finde andre eksempler på udsagn, der altid er falske? 4

10 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 9 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Øvelse 2. Lgiske kmbinatiner Hvr mange sandhedstavler kan man i alt pbygge ud fra t deludsagn p g q? (SUS står fr Sammensat UdSagn) Hvr mange af disse sammensatte udsagn er symmetriske, dvs. de ikke afhænger af rækkefølgen fr p g q? Kan du pbygge sandhedstavler, der matcher alle de venstående ved at kmbinere p g q med de lgiske binderd nt, r g and (g såmænd gså gerne xr)? Den lgiske implikatin: Hvis... så... Vi er nu kmmet til det mest centrale lgiske udsagn i argumentatinsterien: p medfører q der er det samme sm hvis p så q (dvs. det er netp hjemlen i en lgisk argumentatinskæde). Den vil vi betegne med det engelske rd imply (sm er beslægtet med det danske rd implicere, der netp betyder 'medføre'). Vi skal da først prøve at frstå hjemlens betydning, dvs. hvrnår er det rigtigt, at p medfører q g hvrnår er det frkert? Det er i hvert fald klart, at hvis p er sand, så skal gså q være sand. Knklusinen q må derfr aldrig være falsk, samtidigt med at frudsætningen p er sand. Det kunne vi versætte med nt ( p and nt q). Det fører nu til de t følgende rækker i sandhedstavlen: Men hvad gør vi hvis p er falsk? Kan vi så slutte nget m q? Nej, hvis p ikke er sand, så er det ligegyldigt hvad q er vi kan ikke vide nget m det, fr hvis p er falsk er kæden allerede hægtet af vres argument! Antag fx den følgende hjemmel gælder: Hvis det regner, så bliver du våd, når du går udenfr! Hvad kan vi så slutte? Ja, hvis det regner g vi går udenfr, ja så er det klart at vi bliver våde! Men hvad nu, hvis vi går udenfr g vi bliver våde (dvs. q er sand)? Kan vi så slutte at det regner (dvs. at p er sand)? Nej, fr vi kunne gså blive våde af andre grunde end at det regner, fx frdi vi blev blændet af det strålende slskin g faldt i nabens svømmebassin. 5

11 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 10 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Vi kan altså ikke slutte baglæns: Hvis q er sand, så kan p såvel være sand sm falsk! Af samme grund kan vi heller ikke slutte nget, hvis p er falsk, fr så siger reglen ikke nget! Vi er altså tilbage ved at påstanden 'hvis p så q' alene kan bruges til at drage en slutning, hvis vi enten ved at p er sand (fr så trækker den q med sig) eller hvis vi ved at q er falsk (fr så frhindrer den udsagnet p i at være sand). Det kan gså frmuleres således: Enten er p falsk eller gså er q sand, dvs. nt p r q. Igen bygger det på mdstridsargumentet! Vi skal vise, at hvis udsagnet p er sandt, så er gså udsagnet q sandt. Men hvis p er sandt, så er det første udsagn frkert, g derfr må det andet være rigtigt, dvs. udsagnet q er sand. Det fører til den følgende sandhedstavle fr udsagnet p medfører q: En anden måde vi kan indføre det nye udsagn på er ved at knytte det til vres tidligere udsagn. Vi har allerede set på t muligheder: nt p r q nt (p and nt q) Men det er bare t frskellige måder at sig det samme på. Faktisk mskriver TI- Nspire helt autmatisk det nederste udsagn til det øverste: Tilsvarende kan vi se at de har nøjagtigt den samme sandhedstavle (sm netp er magen til den sandhedstavle vi skrev p fr p medfører q): Vi kan altså definere udsagnet p medfører q til at betyde det samme sm udsagnet nt p r q. I TI-Nspire skrives det således i grafregneren: Så snart vi har defineret implykmmanden kan vi få TI-Nspire til at pstille sandhedstavlen fr kmmanden. Dermed kan vi udnytte binderdet imply på lige fd med de andre lgiske binderd! 6

12 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 11 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Om kærlighed g lgik At Smørrebrød er ikke Mad, Og Kierlighed er ikke Had, Det er fr Tiden hvad jeg veed Om Smørrebrød g Kierlighed. Jhan Herman Wessel Lad s nu illustrere maskineriet med en lgisk slutning m kærlighed helt i Shakespeares ånd: Jespers dilemma: Om Jesper har vi følgende t facts: (1) Enten elsker Jesper Lise eller gså elsker Jesper Hanne (2) Hvis Jesper elsker Lise, så elsker Jesper gså Hanne Kan vi nu slutte at Jesper elsker Lise? Kan vi slutte at Jesper elsker Hanne? Det kan gdt være lidt svært at verskue, men så kan vi j prøve s frem med sandhedstavler! Først skal vi have indført de elementære udsagn "Lise" = Jesper elsker Lise "Hanne" = Jesper elsker Hanne Da et navn i Lister g regneark kun må indehlde 16 tegn afkrter vi udsagnene sm vist, så hvis udsagnet "Lise" er sand, betyder det altså at Jesper elsker Lise sv. Dernæst skal i have indført de sammensatte udsagn L_eller_H = Lise r Hanne (dvs. første fact!) L_medfører_H = Lise medfører Hanne (dvs. andet fact). Endelig skal vi have versat reglen m at vi kan stle på begge facts! Regel = (L_eller_H) and (L_medfører_H) dvs. reglen hævder at begge udsagnene er sande. Men så er det bare at indskrive sandhedsudsagnene i sandhedstavler g checke dem! 7

13 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 12 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Fr det første ved vi, at vi netp lever i et af de følgende fire universer: Fr at kmme tættere på hvilke af disse mulige universer, vi rent faktisk lever i indfører vi nu sandhedstavlerne fr de sammensatte udsagn: Her kunne vi faktisk gdt afgøre det, men lad s fr klarheds skyld gså indføre reglen: Vi ser da at det kun er i det første g tredje univers at reglen hlder. Vi lever altså enten i univers 1, hvr Jesper elsker dem begge, eller i univers 3, hvr Jesper kun elsker Hanne. Knklusinen er derfr den følgende: Det eneste vi med sikkerhed kan slutte er, at Jesper elsker Hanne! I det fregående gennemførte vi nu et rent mekanisk argument fr at Jesper faktisk elsker Hanne (hvis han ellers skulle være i tvivl ). Men vi kunne gså have argumenteret klassisk lgisk fr det: Først et direkte argument: Påstand: Jesper elsker Hanne Belæg: Enten elsker Jesper Lise eller gså elsker Jesper ikke Lise! Hjemmel: Fact 1: Jesper elsker mindst en af dem. Fact 2: Hvis Jesper elsker Lise elsker han gså Hanne. Argumentet er så sm følger: Belægget er ubestrideligt sandt! Hvis Jesper elsker Lise, følger det af fact 2, at han gså elsker Hanne. Hvis Jesper ikke elsker Lise, følger det af fact 1, at så må han nødvendigvis elske Hanne. Hvad enten han elsker Lise eller ikke elsker Lise kan vi altså være sikre på at han elsker Hanne! 8

14 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 13 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Dernæst et indirekte argument (mdstridsargument): Antag at Jesper ikke elsker Hanne (hyptesen). Af fact 1 følger da, at han nødvendigvis elsker Lise. Men af fact 2 følger så, at han gså elsker Hanne, hvilket er i mdstrid med vres antagelse. Da vres antagelse fører til en mdstrid er den frkert, dvs. Jesper må nødvendigvis elske Hanne. Påstanden: Jesper elsker ikke Hanne, kan altså gendrives ud fra hjemlen: Fact 1 g Fact 2. Læg mærke til hvrdan vi anvender den hyptetisk-deduktive metde i begge tilfælde! Øvelse 3: Denne gang spørger vi Jesper: 'Er det virkeligt sandt, at hvis du elsker Lise, så elsker du gså Hanne?' Hertil svarer Jesper: 'Hvis det virkeligt er sandt, så elsker jeg Lise!' Er Jesper frelsket i Lise? Er han frelsket i Hanne? NB! Denne gang må vi altså ikke støtte s på de t tidligere facts 1 g 2. Øvelse 4: Når vi spørger Jesper: 'Er det virkeligt sandt, at hvis du elsker Lise, så elsker du gså Hanne?' svarer Jesper: 'Hvis det virkeligt er sandt, så elsker jeg Lise, g hvis jeg elsker Lise, så er det virkeligt sandt!' Hvem er Jesper nu frelsket i? Øvelse 5: Denne gang er der tre piger på spil: Susanne, Marcia g Diana. Vi har nu følgende facts til rådighed: (1) Jesper er frelsket i mindst en af pigerne. (2) Hvis Jesper elsker Susanne, men ikke elsker Diana, så elsker han gså Marcia. (3) Jesper elsker enten både Diana g Marcia eller gså elsker han hverken Diana eller Marcia! (3) Hvis Jesper elsker Diana, så elsker han gså Susanne. Hvem er Jesper frelsket i? 9

15 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 14 Kmmentarer til elementær talteri (lærernte): Øvelse 1: Eksemplerne burde ikke vlde prblemer! Der kan selvfølgelig gives mange definitiner/karakteriseringer af lige g ulige tal, fx 1) Hver andet tal er lige, startende med 2. Tilsvarende er hver andet tal ulige startende med 1. 2) De lige tal er dem, der kan deles med ) De lige tal er dem der ender på cifrene 0, 2, 4, 6 g 8, dvs. de lige cifre. 4) Hvis tallet repræsenteres med en bunke kugler er det lige, når bunken kan deles i t lige stre bunker... Lige tal: Ulige tal: 5) Endelig bør de prøve at frstå frmlerne fr lige g ulige tal: Lige = 2 n Ulige = 2 m +1 dvs. et tal er lige, netp når det kan skrives på frmen 2 n,... Det giver mulighed fr små argumenter/beviser, fx: Påstand: Et lige tal er et tal, der ender på 0, 2, 4, 6 g 8. Hjemmel: Tallet 2 går p i et tal, netp når det går p i sidste ciffer. Belæg: Et lige tal, er et tal, der kan deles med 2 (definitinen på et lige tal) Rygdækning: Ethvert decimaltal kan skrives sm en sum af enere, tiere, hundreder sv. Fx 2467 = Men tallet 2 går p i 1000, 100 g 10. Altså går 2 p i tallet netp når det går p i enerne. Øvelse 2: På basis af knkrete eksempler skal de nu selv kunne pstille skemaerne: + lige ulige lige lige ulige ulige ulige lige lige ulige lige lige lige ulige lige ulige Det er sværere at argumentere fr dem g de kan måske have svært ved at se hvrfr knkrete eksempler ikke kan være nk! Det kan evt. føre til en snak m induktinsprincippet: Hvrfr er det ikke nk at kende ngle få eksempler fr at kunne generalisere til den almene pførsel. Her er tre eksempler, hvr de t første er elementære, mens det tredje er avanceret (men inden fr rækkevidde af et studieretningsprjekt): Eksempel 1: Et tal kaldes fr symmetrisk eller et palindrm, hvis tallet er det samme uanset m det læses frlæns eller baglæns, fx Hvis cifrene er ens er tallet selvfølgelig trivielt symmetrisk. Kig nu på de følgende kvadrater: 1

16 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 15 Alt ånder fred g r, så tilsyneladende er ethvert kvadrattal på frmen et symmetrisk tal? Bemærkning: Kvadrattallene har gså en meget simpel struktur, hvr vi først skriver cifrene p i den naturlige rækkefølge g derefter i den mdsatte rækkefølge Men her kunne man gdt være nervøs, når ekspnenten bliver str. Det skulle dg ikke frstyrre vres symmetri? Læg mærke til cellefrmlen. Den tillader s at trække i en celle i nederste højre hjørne så man autmatisk får skrevet det næste tal i søjlen fr ettaller p g derfr gså autmatisk udregnet kvadrattallet. Eksempel 2: Denne gang er eksemplet gemetrisk. Vi tegner en cirkel med et antal punkter på randen. Derefter frbindes randpunkterne så vi får dannet den tilsvarende plygn med alle de tilhørende diagnaler. Vi tæller nu, hvr mange mråder cirklen er blevet pdelt i: n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Er der et system i tallene? Læg mærke til den åbne frmulering. Når vi tegner sekskanten er det ikke sikkert vi får det maksimale antal mråder, frdi tre diagnaler nu gdt kan gå gennem samme punkt. Det gælder fx fr den regulære sekskant. Men selvm vi insisterer på at tælle det maksimale antal mråder bryder reglen hurtigt sammen! 2

17 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 16 Eksempel 3: (kun fr mat-fysser g nk ikke i 1g). I frbindelse med kvadratreglerne har de lært at faktrisere andengradsplynmier. Her vil vi nu faktrisere plynmier af frmen x n 1. De første tyve faktriseringer ser således ud: Der er et væld af bservatiner man kan gøre, ngle trivielle g krrekte, andre mere subtile. Men her vil vi kun hæfte s ved en meget simpel bservatin: Alle faktrerne er plynmier, hvr kefficienterne enten er -1, 0 eller 1. Gælder det altid? (Eksemplet stammer fra en sød artikel med titlen: "Så du trede hundrede eksempler var nk?" Den første undtagelse dukker p fr n = 105! I den sidste parentes dukker dels -2 x 41 p, dels -2 x 7 ) 3

18 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 17 De har frskellige karakteriseringer af lige ulige tal, der kan gå ud fra, når de skal prøve at vise reglerne: 3) De lige tal er dem der ender på cifrene 0, 2, 4, 6 g 8, dvs. de lige cifre. 4) Hvis tallet repræsenteres med en bunke kugler er det lige, når bunken kan deles i t lige stre bunker... Lige tal: Ulige tal: 5) Endelig bør de prøve at frstå frmlerne fr lige g ulige tal: Lige = 2 n Ulige = 2 m +1 dvs. et tal er lige, netp når det kan skrives på frmen 2 n,... Hvis de hæfter sig ved de sidste cifre følger reglerne af de almindelige regnetabeller, idet det sidste ciffer i en sum j altid stammer fra summen af de t sidste cifre g tilsvarende fr et prdukt: Hvis de hæfter sig ved diagrammerne ser det således ud: Summen af t tal fås ved at slå bunkerne sammen: Lige tal: Lige tal: Lige tal: Ulige tal: Ulige tal: Ulige tal: 4 Der er ikke ngen i midten, så den samlede bunke repræsenterer et lige tal. Der er netp en kugle i midten, så den samlede bunke repræsenterer et ulige tal. Der er t kugler i midten, der kan frdeles på hver sin side, så den samlede bunke repræsenterer et lige tal.

19 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 18 Prduktet af t tal fås ved i stedet at kmbinere bunkerne til et rektangel sm vist: Lige Lige Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er ingen kugler i midten, så prduktet er et lige tal. Lige Ulige Midterstregen fra den ulige faktr verføres til blkken. Der er et lige antal kugler i midten svarende til den anden faktr, så prduktet er et lige tal. Ulige Ulige Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er et ulige antal kugler i midten, så når de frdeles til hver sin side, bliver den midterste til vers. Prduktet er derfr et ulige tal. Hvis de endelig hæfter sig ved frmlerne ser det således ud: + 2n 2m+1 2p 2p + 2n = 2p + 2m+1 = 2 (p+n) 2 (p+m) + 1 2p+1 2p+1 + 2n = 2p+1 + 2m+1 2 (p+n) + 1 = 2 (p+m+1) 2n 2m+1 2p 2p 2n = 2p (2m+1) = 2 (2pn) 2 (p (2m+1)) 2p+1 (2p+1) (2m+1) = (2p+1) 2n = 4pm + 2p + 2m +1 = 2 ((2p+1) n) 2 (2pm + p + m) +1 5

20 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 19 Øvelse 3: Eksempler på kvadrattal burde ikke være nget prblem. Den gemetriske tlkning knytter kvadrattallet x 2 til arealet af et kvadrat med siden x: Kvadrattallene kan gså bygges p med kuglediagrammer i den pythagræiske traditin. Fr at afgøre m tallet 4687 er et kvadrattal kan man uddrage kvadratrden! I dette tilfælde finder vi altså at 4687 ikke er et kvadrattal, mens 4489 er et kvadrattal. med lidt frnemmelse fr tallene kan man gså hurtigt afgøre det: Tallet deles i blkke bagfra med 2 cifre i hver (hvr der eventuelt kun bliver et ciffer til vers i den frreste blk): Vi ved da, at 4687 må være kvadratet på et tal af frmen 6? idet 6 2 = 36 g 7 2 = 49. men der er ingen cifre, hvis kvadrattal ender på 7. Så 4687 kan ikke være et kvadrattal. Tilsvarende fås Vi ved da, at 4489 må være kvadratet på et tal af frmen 6? idet 6 2 = 36 g 7 2 = 49. Da kvadratet på det sidste ciffer skal ende på 9 er der kun t muligheder: 63 g 67: 63 2 = (60+3) 2 = = = 3969 (duer ikke) 67 2 = (60+7) 2 = = = 4489 (duer!) Summen af t kvadrattal: Det skulle være verkmmeligt at finde eksempler, der virker g eksempler, der ikke virker. Det er fint at kble til Pythagras sætning! Fx = 5 2, = 13 2,... Prduktet af t kvadrattal: her skulle de gerne indse at det altid selv er et kvadrattal: Eks. 4 9 = 36 = 6 2. Her er det nk nemmest at vise det med bgstaver: p 2 q 2 = (p q) 2 Øvelse 4: her kan de eventuelt trække på de tidligere øvelser, men det er ikke fr alvr afgørende at de har lavet de tidligere øvelser. Kvadratet på et lige tal er lige, frdi lige lige = lige. Kvadratet på et ulige tal er ulige, frdi ulige ulige = ulige. Ved cifferregning vises det således x x

21 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 20 Det er bemærkelsesværdigt at slutcifret ikke kan være 2 eller 8 eller 3 eller 7! Ved kuglediagrammer vises det således: Lige 2 Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er ingen kugler i midten, så kvadratet er et lige tal. Det stre kvadrat er pbygget af fire små kvadrater! Ulige 2 Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er et ulige antal kugler i midten, så når de frdeles til hver sin side, bliver den midterste til vers. Kvadratet er derfr et ulige tal. Ved frmler vises det således: Kvadratet på et lige tal: (2n) 2 = 2n 2n = 4 n 2 = 2 (2n 2 ) Kvadratet på et ulige tal: (2n+1) 2 = (2n+1) (2n+1) = 4n 2 +2n+2n+1 = 2 (2n 2 +2n)+1 Det sidste er tricket g kræver et mdstridsargument! Hvis kvadratet på et tal er et lige tal, så kan tallet ikke være ulige! Fr kvadratet på et ulige tal er ulige... Øvelse 5: Frbindelsen til pythagras sætning skulle være prblemfri. tal kvadrattal differens De skulle gerne kunne genkende de ulige tal! Det er nk sværere at argumentere fr det: Først er der de generelle regler fr lige g ulige tal. De sikrer at hver andet kvadrattal er lige g hvert andet kvadrattal er ulige. Når vi regner på differensen er det derfr enten et ulige kvadrattal vi trækker fra et lige eller et lige kvadrattal vi trækker fra et ulige. Det viser at differensen altid er ulige. Det er gså klart at den er vksende. Men at den giver alle de ulige tal kræver et yderligere argument! 8

22 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 21 Ved hjælp af et diagram fås: Ved pdeling sm vist ses netp at ethvert kvadrattal rummer det fregående samt at frskellen netp består af t sider i det fregående g en ekstra hjørnekugle. Det viser netp hvrfr vi får de ulige tal! Endelig kan vi vise det med en frmel: (x+1) 2 x 2 = (x+1) (x+1) x 2 = x 2 + x + x +1 x 2 = x 2 + 2x +1 x 2 = 2x + 1 Resten følger nu ved at bemærke at de fem første ulige kvadrattal er givet ved 1, 9, 25, 49 g 81 De tilsvarende værdier fr x i frmlen fr et ulige tal, dvs. 2x+1, er derfr givet ved 0, 4, 12, 24, 40 Derved fås: = 1 = = = 9 = = = 25 = = = 49 = = = 81 = = Trekanterne skulle være prblemfri: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25) g (9,40,41), idet den første ikke er en trekant eftersm siderne klapper sammen. Frmlen kan se således ud (mest fr mat'er!) (2n + 1) 1 (2n + 1) + 1 (2n + 1) + = ( ) ( ) (2n + 1) + 2n + 2n = 2n + 2n + 1 Til gengæld skulle det være rimeligt prblemfrit at indse at der må være uendeligt mange af slagsens, frdi ethvert ulige tal indgår i (mindst) en pythagræisk trekant. 9

23 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 22 Kmmentarer til aktivitet 2 (lærernte): Matematisk deduktin g Tulmins mdel fr redelig argumentatin De indledende sider m matematisk deduktin er en repetitin af den fregående time! Meget af det kan derfr være faldet på plads i første time. Lgikken sm et matematisk sprg: Lgiske binderd g sandhedstavler De følgende øvelser m sandhedstavler kan man tage i fællesskab uden nødvendigvis at gå i dyb detalje. Det er først med kærlighed g lgik afsnittet til sidst det bliver interessant! Øvelse 1: Eksempler på tautlgier: p r nt p (eller p xr nt p) nt (p and nt p) (p and q) r (p and nt q) r (nt p and q) r (nt p and nt q) (g den tilsvarende med r erstattet af xr) Eksempler på kntradiktiner: p and nt p nt (p r nt p) (p r q) and (p r nt q) and (nt p r q) and (nt p r nt q) Det er faktisk ikke nødvendigt at pbygge sandhedstavler! Udsagnene kan bare skrives direkte ind i grafregneren: Øvelse 2: Der findes i alt 16 sandhedstavler, idet den første kmbinatin (truetrue) har t værdier sv. Hvis sandhedstavlen skal være symmetrisk er der kun 8 sandhedstavler, idet de t midterste (true-false) g (false-true) nu skal have den samme værdi. Skal man pstille den systematisk kan man fx sm vist i nten starte med lutter true, derefter fire kmbinatiner med 1 false, derefter 6 kmbinatiner med 2 false, derefter 4 kmbinatiner med 3 false g endelig 1 kmbinatin med 4 false. Mange af dem kan genkendes uden videre. Her er de 8 symmetriske: Læg mærke til at de spejles på midten, dvs. sus1 g sus16, sus2 g sus15... er fremkmmet ved at mbytte true g false sv. Det er ikke svært at genkende disse symmetriske sandhedstavler. Kig på placeringen af true! Fx i sus2 er den true, når mindst en af dem er falsk, dvs. når de ikke begge t er sande: sus1 sus2 sus5 sus8 sus9 sus12 sus15 sus16 true nt and r xr nt xr nt r and false 1

24 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 23 De asymmetriske kmmer så fra de øvrige kmbinatiner, hvr p kmbineres med nt q eller mvendt. Den lgiske implikatin: Hvis.. så sus3 sus4 sus6 sus7 sus10 sus11 sus13 sus14 nt p p r nt p nt q q p nt p p and r q nt q and q nt q Udvidelse af tlkningen af sandhedstavlen: Et falsk udsagn medfører hvad sm helst! Et sandt udsagn følger af hvad sm helst! Bemærkningen m at vi ikke kan slutte baglæns kan evt. udvides til en diskussin af abduktinsprincippet: Så selv m knklusinen q viser sig at være sand, kan vi ikke slutte, at så må hyptesen p gså være sand. Bemærkning: I den naturvidenskabelige metde betyder det, at hvis vi har en hyptese med en bestemt knsekvens, så kan vi ikke bevise hyptesen ved at påvise at knsekvensen hlder i et eksperiment. Vi kan mdbevise hyptesen ved at påvise at knsekvensen ikke hlder i et bestemt eksperiment. Men vi kan kun understøtte hyptesen ved at vise at knsekvensen er sand. Knsekvensen kunne j være sand af andre årsager. g der vil altid være mange hypteser, der fører til den samme knsekvens, dvs. man vil altid kunne frklare en bservatin på mange måder. Hvis man har flere hypteser man kan vælge mellem, vælger man nu den simpleste hyptese (ccams razr) g går videre med den. Denne frm fr argumentatin er altså ikke lgisk tvingende, men bruges ikke dest mindre meget i naturvidenskaberne, hvr den går under navnet abduktin). Ved hjælp af medfører-kmmanden kan vi nu frmalisere Tulmins argumentmdel således: Hvis vi ved at p er sand (belægget) g vi ved at p medfører q er sand (hjemlen), så kan vi slutte at gså q er sand (påstanden). I lgisk frmulering gælder der altså slutningsreglen 2

25 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 24 (p g (p medfører q)) medfører q Tilsvarende kan vi frmalisere mdstridsargumentet: p g (nt q medfører nt p) medfører q Her kan man evt. indføre følgende supplerende øvelse: Øvelse: Undersøg sandhedstavlen fr det direkte argument: (p g (p medfører q)) medfører q Knklusin? Undersøg tilsvarende sandhedstavlen fr mdstridsargumentet: p g (nt q medfører nt p) medfører q Knklusin? I begge tilfælde fås tautlgier! Om kærlighed g lgik: Øvelserne løses på samme måde sm eksemplet: Øvelse 3: Udsagnet han spørges m svarer til at spørge m Lise medfører Hanne er sandt. Han svarer: Hvis det er sandt at Lise medfører Hanne, så er Lise sand! Knklusin: Han elsker Lise! 3

26 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 25 Lgisk argument: Hvis han ikke elsker lise er det sandt at lise medfører hanne, da et falsk udsagn medfører hvad sm helst! Men hvis det er sandt at lise medfører hanne, så er lise selv sand. Og det er en mdstrid. Altså kan vi ikke prethlde antagelsen m at han ikke elsker lise, hvrfr det mdsatte følger! Øvelse 4: Denne gang elsker han dem begge t! Lgisk argument: Den første del af reglen viser sm før at han elsker Lise! Men når han elsker Lise viser den anden del af reglen at så vil Lise trække Hanne med sig. Altså er Lise sand g det er gså sandt at Lise medfører Hanne. Hen elsker altså gså Hanne! Øvelse 5: Knklusin: Han elsker dem alle sammen! Afsluttende bemærkning: Den mderne lgik går tilbage til Leibniz, sm gså er phavsmand til ideen m de mulige verdener. Leibniz believed that much f human reasning culd be reduced t calculatins f a srt, and that such calculatins culd reslve many differences f pinin: "The nly way t rectify ur reasnings is t make them as tangible as thse f the Mathematicians, s that we can find ur errr at a 4

Opsamling, Workshop, Bedst Praksis Ledelse

Opsamling, Workshop, Bedst Praksis Ledelse Opsamling, Wrkshp, Bedst Praksis Ledelse I frbindelse med prjektet Bedst Praksis Ledelse blev der d. 24. ktber afhldt en wrkshp, hvr de 1. linieledere g øvrige ledere i AaK, sm er blevet interviewet i

Læs mere

Af Astrid Juul Poulsen, udsendt lektor i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædagogiske universitet, 2006-2007

Af Astrid Juul Poulsen, udsendt lektor i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædagogiske universitet, 2006-2007 SIG DET PÅ DANSK! Om at give eleverne kmmunikatinsstrategier til at turde mere Af Astrid Juul Pulsen, udsendt lektr i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædaggiske universitet, 2006-2007 I det følgende

Læs mere

Modul 8 Få det ekstra forspring. Modul 8. Få det ekstra forspring. Side 1. Lederkursus Modul 8 2008 Menu of Life

Modul 8 Få det ekstra forspring. Modul 8. Få det ekstra forspring. Side 1. Lederkursus Modul 8 2008 Menu of Life Mdul 8 Få det ekstra frspring Mdul 8 Få det ekstra frspring Side 1 Lederkursus Mdul 8 2008 Menu f Life Mdul 8 Få det ekstra frspring Mdul 8: Få det ekstra frspring I de tidligere mduler har du lært det

Læs mere

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer Caching g Selvværd Jantelvens udfrdrer Af Jan Wittrup, Adm. Direktør / Executive Advisr En artikel der primært er tilegnet de, der har sat sig fr knstant at være under selvudvikling. Inspireret af egne

Læs mere

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement Verdensbrger Hjem Målgruppe: Spirer g grønsmutter Årstid: Hele året. Evt. i frbindelse med Spejderhjælpsugen Varighed: 3 trin + et engagement Hjem - niveau 1 g 2 - trin fr trin Danske pigespejdere skal

Læs mere

WebGuide for Slagelse Kommunes hjemmeside

WebGuide for Slagelse Kommunes hjemmeside Prjektgruppe hjemmeside WebGuide fr Slagelse Kmmunes hjemmeside Indhldsfrtegnelse Om at læse på Nettet...2 Hvrdan læser flk på Nettet?...2 Skærmen er dit papir...3 Tekster på en skærm...3 Målgrupper...4

Læs mere

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 Spammærkning 2. Udgave september 2007 UNI C SkleKm Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 SkleKm - Spammærkning Spammærkningen af internetpst på SkleKm Af Ole Nmann Thmsen UNI-C, ansvarlig fr internetmail

Læs mere

Teatret Fair Play: MIRAS VERDENER

Teatret Fair Play: MIRAS VERDENER Teatret Fair Play: S VERDENER Frfatter: Martina Mntelius Oversættelse fra svensk: Michael Ramløse Undervisningsmateriale til frdybelse I ngle af de emner, sm frestillingen tager p. Klassetrin: 4. 5. klasse

Læs mere

Et redskab til brug ved mediekontakt, hvad enten den er opsøgende og man selv tager kontakt eller Rotarys repræsentanter bliver opsøgt af medierne.

Et redskab til brug ved mediekontakt, hvad enten den er opsøgende og man selv tager kontakt eller Rotarys repræsentanter bliver opsøgt af medierne. Værktøjskassen Et redskab til brug ved mediekntakt, hvad enten den er psøgende g man selv tager kntakt eller Rtarys repræsentanter bliver psøgt af medierne. Indhld: Værktøjskassen...1 Indhld:...1 01. Generelt

Læs mere

Fredrag på Testrup Højskle, 17. august 2009 Matias Møl Dalsgaard Sm født på ny Kierkegaard g kreativitet BEMÆRK: Det følgende er det manuskript jeg talte ver i fredraget. Det er ikke skrevet mhp. selvstændig

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

3. Navnerunde Espen, Gunvor, Frederik, Uffe, Eva, Andreas, Fie, Kasper, Malte, Birgitte og Christina.

3. Navnerunde Espen, Gunvor, Frederik, Uffe, Eva, Andreas, Fie, Kasper, Malte, Birgitte og Christina. Referat 2.04.14 kl. 14:30 Lk. 423, etage 4. byg. 1463. Referat 2.04.14 kl. 14:30 Lk. 423, etage 4. byg. 1463. Espen 1. Valg af rdstyrer Gunvr 2. Valg af referent 3. Navnerunde Espen, Gunvr, Frederik, Uffe,

Læs mere

Opfølgning og fremadrettet tiltag ift. tidligere vedtagne strategi for voksenområdet på Handicap og Psykiatri, 2013-2016

Opfølgning og fremadrettet tiltag ift. tidligere vedtagne strategi for voksenområdet på Handicap og Psykiatri, 2013-2016 Opfølgning g fremadrettet tiltag ift. tidligere vedtagne strategi fr vksenmrådet på Handicap g Psykiatri, 2013-2016 den indledende tekst under hvert punkt er fra den tidligere besluttede strategi, pfølgning

Læs mere

Brugermanual til Folkeskoledatabasen

Brugermanual til Folkeskoledatabasen Brugermanual til Flkeskledatabasen SKRIV CLIENT NAME INDHOLD. 1. FOLKESKOLEDATABASEN 2 2. HJEM 2 3. RAPPORTER 3 3.1 EKSEMPEL - SÅDAN FINDER DU EN RAPPORT 3 4. BYG EGEN TABEL 5 4.1 Eksempel sådan laver

Læs mere

Inklusion af børn og unge med autisme En opgave der kræver viden og indsigt

Inklusion af børn og unge med autisme En opgave der kræver viden og indsigt Inklusin af børn g unge med autisme En pgave der kræver viden g indsigt I denne artikel vil jeg diskutere g perspektivere de erfaringer jeg har med inklusin. Mit ønske er, at du sm læser vil få nuanceret

Læs mere

Har du psyken til at være leder?

Har du psyken til at være leder? Har du psyken til at være leder? Du ønsker at finde ud af, m du har den frnødne persnlige styrke g psykiske rbusthed til (frtsat) karriereudvikling med yderligere kmpleksitet, ansvar g udfrdringer TalentfuldeKvinder.dk

Læs mere

Rejsebrev fra udvekslingsophold

Rejsebrev fra udvekslingsophold Rejsebrev fra udvekslingsphld Udveksling til: Kenya Udvekslingsperide: 3. februar 13. april 2013 Navn: Email: Anne Therese Sørensen annetherese86@gmail.cm Tlf. nr. 22914550 Evt. rejsekammerat: Simne, Christina

Læs mere

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte Glæden ved at være til meditatinsgruppe Level II udvidet prgram Et åbent hjerte I de kmmende måneder vil vi udfrske meditatin på kærlig-venlighed g medfølelse. Vi vil lære hvrdan vi kan åbne vre hjerter

Læs mere

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8.

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8. Medlemsmøde/Februar/2011møde/Februar/2011 Så fik vi endelig afhldt det første rigtige medlemsmøde i RyCC. Omkring 35 mødte frem g det er vel meget gdt i betragtning af, at møde var lagt lige i den travle

Læs mere

Danske Bank. Ansvarlig lånekapital

Danske Bank. Ansvarlig lånekapital https://markets. Ansvarlig lånekapital Anbefaling: DANBNK Var 12-09 Ansvarlig lånekapital med udløb i 2012 g call-mulighed d. 12-11 2009 FK: 0295675 ISIN: XS0157629691 Min. Piece: 1.000 EUR DANBNK Var

Læs mere

Generalforsamling den 23. april 2014

Generalforsamling den 23. april 2014 Generalfrsamling den 23. april 2014 Referat 1. Indledning med andagt v/ Martin Lykkegaard 2. Valg af dirigent - Kristian Søndergaard blev valgt 3. Bestyrelsens beretning g visiner - Året der gik i Elim.

Læs mere

Dansk kvalitetsmodel på det sociale område. Fælles regionale retningslinjer for: Standard 1.1 Kommunikation

Dansk kvalitetsmodel på det sociale område. Fælles regionale retningslinjer for: Standard 1.1 Kommunikation 4.1.2010 Dansk kvalitetsmdel på det sciale mråde Fælles reginale retningslinjer fr: Standard 1.1 Kmmunikatin Dansk kvalitetsmdel på det sciale mråde er igangsat af reginerne g Danske Reginer i fællesskab.

Læs mere

MBBL's totaløkonomiværktøj i praksis

MBBL's totaløkonomiværktøj i praksis Oktber 2014 Udgivelsesdat : 10. Oktber 2014 Vres reference : 18.1953.27 Udarbejdet : Pia Rasmussen Kntrlleret : Jacb Ilsøe Side 1 INDHOLDSFORTEGNELSE SIDE 1 INDLEDNING 2 2 BOLIGKONTORET 2 3 BOLIGKONTORETS

Læs mere

Høring over udkast til bekendtgørelse om adgang til tinglysningssystemet og tinglysningsmåden

Høring over udkast til bekendtgørelse om adgang til tinglysningssystemet og tinglysningsmåden Justitsministeriet Sltshlmsgade 10 1216 København K Att. Lennart Humann Høring ver udkast til bekendtgørelse m adgang til tinglysningssystemet g tinglysningsmåden Den finansielle sektr (sektren) mdtg den

Læs mere

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som Start ny gruppe PLan Ldsskvvad. Ft: Henrik Weigelt. Du kan skabe gde friluftsplevelser fr børn g unge. Vær med til at starte en ny Blå spejdergruppe i dit lkalmråde. Hvis du synes, at det er fantastisk

Læs mere

Projektbeskrivelse Digital dannelse og digitale kompetencer i Skejby Vorrevang Dagtilbud

Projektbeskrivelse Digital dannelse og digitale kompetencer i Skejby Vorrevang Dagtilbud 1 Skejby Vrrevang Dagtilbud it-prjekt - prjektbeskrivelse Prjektbeskrivelse Digital dannelse g digitale kmpetencer i Skejby Vrrevang Dagtilbud De digitale medier rykker hastigt ind i daginstitutinerne.

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Bilag: Et faktaark pr. retning i censorkorpset... 7

Indholdsfortegnelse. Bilag: Et faktaark pr. retning i censorkorpset... 7 Indhldsfrtegnelse Beretning fra censrfrmandskaberne fr Ingeniøruddannelserne g Diplmuddannelserne fr IT g Teknik fr periden september 2013 til september 2014... 2 Resume... 2 Uddannelsernes niveau... 2

Læs mere

Stokkebjergvej 1 - Hølkerup 4500 Nykøbing Sjælland telefon 59 32 87 60 mobil 24 24 57 67 mereteduejohnsen@gmail.com www.odsherredterapihave.

Stokkebjergvej 1 - Hølkerup 4500 Nykøbing Sjælland telefon 59 32 87 60 mobil 24 24 57 67 mereteduejohnsen@gmail.com www.odsherredterapihave. Det lysner - TAK Siden efteråret har vi mdtaget vervældende mange psitive tilbagemeldinger m virkningen af phldet hs s. Ngle gæster har været hs s fr nylig, mens andre har været på phld tidligere i vres

Læs mere

Effektivisering af vandforsyningsanlæg kræver mere nuanceret benchmarking

Effektivisering af vandforsyningsanlæg kræver mere nuanceret benchmarking Ingeniør, MSc Jørgen G. Øllgaard, ØLLGAARD Rådgivende Ingeniører A/S Civilingeniør Anders Christiansen, ØLLGAARD Rådgivende Ingeniører A/S Ingeniør Mads Nørgaard, ØLLGAARD Rådgivende Ingeniører A/S Fkus:

Læs mere

Sådan undgår du, at dit barn bliver mobbet

Sådan undgår du, at dit barn bliver mobbet Sådan undgår du, at dit barn bliver mbbet Bliver dit barn mbbet, bør du gribe ind, fr mbning kan give alvrlige ar på sjælden. I denne guide kan du læse en masse gde råd m, hvrdan du sm frælder håndterer

Læs mere

Ledetråd til kommunikationsplan INTERREG-projekt

Ledetråd til kommunikationsplan INTERREG-projekt Ledetråd til kmmunikatinsplan INTERREG-prjekt I den fra EU finansierede prjektperide er hvert INTERREG-prjekt frpligtet til at gennemføre kmmunikatins- g ffentlighedsarbejde. INTERREG-prgrammet finansieres

Læs mere

Emne Oplæg Referat. Greenkeeperfaciliteterne. på Lærkeager og

Emne Oplæg Referat. Greenkeeperfaciliteterne. på Lærkeager og Greenkeeperfaciliteterne Hvilke frdele er der ved at flytte faciliteterne til Lærkeager på Lærkeager g Greenkeeperfaciliteterne ved klubhuset Oversigtsft Lærkeager Detailtegning af prjekt fr nye greenkeeper

Læs mere

BRUG DET DU HAR DEL 2

BRUG DET DU HAR DEL 2 1 BRUG DET DU HAR DEL 2 Kim Trp, søndag d. 17. maj 2015 Brug det du har, fr du kan ikke bruge det du ikke har ALLE ER SKABT TIL AT DELTAGE Lad s prøve at adskille Karismagaver Tjenestegaver g Åndens gaver

Læs mere

REFERAT AF BEBOERFORENINGENS GENERALFORSAMLING DEN 24. OKTOBER 2013 AFHOLDT PÅ LUNDDAL, RØRTHVEJ 130.

REFERAT AF BEBOERFORENINGENS GENERALFORSAMLING DEN 24. OKTOBER 2013 AFHOLDT PÅ LUNDDAL, RØRTHVEJ 130. REFERAT AF BEBOERFORENINGENS GENERALFORSAMLING DEN 24. OKTOBER 2013 AFHOLDT PÅ LUNDDAL, RØRTHVEJ 130. Frmanden bød velkmmen g pegede på bestyrelsens vegne på Vagn Christensen sm dirigent. Pkt. 1: Vagn

Læs mere

Silkeborg Kommune på Facebook

Silkeborg Kommune på Facebook Silkebrg Kmmune på Facebk 06. december 2012 Julie Wraa Stine Hmann Hans Mgensen 1. Baggrund De sciale medier har ver en længere årrække vundet str udbredelse til private frmål, g gennem de senere år gså

Læs mere

Virksomhedsoplysninger

Virksomhedsoplysninger Alt det inf du behøver... Frretningsbetingelser & persndataplitik Virksmhedsplysninger Den-design A/S (datterselskab af HFP) CVR NR.: 17023292 Adresse: Hestehaven 16, 8721 Daugaard, DK Mail: Michela@den-design.dk

Læs mere

DATS og Skolereformen Ved børne- og unge teaterkonsulent Gitte Gry Bech Ballesheim

DATS og Skolereformen Ved børne- og unge teaterkonsulent Gitte Gry Bech Ballesheim DATS g Sklerefrmen Ved børne- g unge teaterknsulent Gitte Gry Bech Ballesheim Samarbejdsprjekt mellem fem skler g Dansekapellet i København NV 2013. Kulturminister Marianne Jelved afsætter 40 mi. krner

Læs mere

Modulbeskrivelse. Modul 14. Lokalt tillæg til studieordningen. Ergoterapeutisk udviklingsarbejde. Bachelorprojekt

Modulbeskrivelse. Modul 14. Lokalt tillæg til studieordningen. Ergoterapeutisk udviklingsarbejde. Bachelorprojekt Mdulbeskrivelse Lkalt tillæg til studierdningen Mdul 14 Ergterapeutisk udviklingsarbejde. Bachelrprjekt August 2015 DASN g TON / TRHJ g LIFP 1 1.0. Indledning Mdulbeskrivelsen fr mdul 14 består af studieaktivitetsmdellen,

Læs mere

Referat: Forårsmøde i Alkoholtemagruppen 2015

Referat: Forårsmøde i Alkoholtemagruppen 2015 Temagruppe Alkhl Tlf. 2898 5415 E- mail: anbe03@frederiksberg.dk Dat 10. marts 2015 Referat: Frårsmøde i Alkhltemagruppen 2015 Sted: Phønix, Schaksgade 39, 5000 Odense C. lkale 327 Tid: Tirsdag den 10.

Læs mere

Til alle lærere i Frederiksberg Kommune

Til alle lærere i Frederiksberg Kommune Til alle lærere i Frederiksberg Kmmune Frederiksberg, den 16. december 2013 Kære alle, Dette brev udsendes til alle lærere ansat i Frederiksberg Kmmune. Brevet beskriver de rammer, sm vil være udgangspunktet

Læs mere

Fejring af det innovative fyrtårn i Ikast-Brande kommune!

Fejring af det innovative fyrtårn i Ikast-Brande kommune! Fejring af det innvative fyrtårn i Ikast-Brande kmmune! Så er det tid til uddeling af InnvaPrisen til Ikast-Brande Kmmunes iderige g innvative børn g unge Af Lisbeth Muritzen, Skleafdelingen Entreprenørskabssklen

Læs mere

Gmail Beskrivelse af Gmail.

Gmail Beskrivelse af Gmail. 1 Gmail Beskrivelse af Gmail. Åbn Gmail. Klik på Indbakken g klik på pilen(2) fr indstilling af visninger. Vælg Klassisk (3) Hvis der er fr mange etiketter i venstre side, kan de, der ikke bruges så fte,

Læs mere

Ofte stillede spørgsmål Opdateres løbende Teknik og Miljø Team Natur Dahlsvej 3 4220

Ofte stillede spørgsmål Opdateres løbende Teknik og Miljø Team Natur Dahlsvej 3 4220 Ofte stillede spørgsmål Opdateres løbende Teknik g Miljø Team Natur Dahlsvej 3 4220 Tlf. 58 57 36 00 www.slagelse.dk Ofte stillede spørgsmål Her vil Slagelse Kmmuneløbende svare på de spørgsmål der kmmer

Læs mere

FoU-konferencen 2014. Her følger gruppereferaterne, dog undtaget gr. 17, hvor der ikke blev taget referat.

FoU-konferencen 2014. Her følger gruppereferaterne, dog undtaget gr. 17, hvor der ikke blev taget referat. FU-knferencen 2014 På knferencens første dag var der temaplæg g -drøftelser m pædaggisk ledelse g sklens fælles pædaggiske g didaktiske grundlag (FDPG). På baggrund af resultaterne fra en spørgeskemaundersøgelse

Læs mere

ØKOLOGISK PLANTEAVLSBERETNING

ØKOLOGISK PLANTEAVLSBERETNING ØKOLOGISK PLANTEAVLSBERETNING 2008 Øklgisk rådgivning Brug af egen såsæd i øklgisk jrdbrug af Anders Brgen Der har i den danske landbrugspresse i smmeren 2008 været en debat m frdele g ulemper ved anvendelse

Læs mere

Grundejerforeningen»Blomstervænget«, Stillinge Strand 4200 Slagelse

Grundejerforeningen»Blomstervænget«, Stillinge Strand 4200 Slagelse Referat af generalfrsamling d. 28/6-2009 kl. 10.00, afhldt i»skvhuset«26 persner inkl. bestyrelsen var mødt. 1. Velkmst Mødet indledtes med en bid blødt brød g vres traditinelle sang. g frmanden bød velkmmen.

Læs mere

U-turns Rådgivning en minibrugerundersøgelse

U-turns Rådgivning en minibrugerundersøgelse U-turns Rådgivning en minibrugerundersøgelse Det er genialt, at det er en del af kmmunen, men man har j fjernet kmmunen. Man føler ikke, at man går ind i kmmunen, når man går ind i U-turn. Ung bruger m

Læs mere

1. Indledning. 2. Visionen

1. Indledning. 2. Visionen 1 1. Indledning Københavns Kmmune g staten har samlet beskæftigelsesindsatsen i ét jbcenter fr brgere g virksmheder. Jbcenter København fungerer dermed sm én indgang fr alle. I frbindelse med, at Københavns

Læs mere

Stress hos ledere i Danmark

Stress hos ledere i Danmark Stress hs ledere i Danmark 16. ktber 2002 1 Indledning Lederjbbet er præget af høje krav g stre persnlige udfrdringer. Det er netp det, der gør lederjbbet til et jb, sm mange ledere er yderst tilfredse

Læs mere

Kvinderne haler ind på mændene gennem pensionen

Kvinderne haler ind på mændene gennem pensionen Frca, Aktuariat 05. juli 2013 A N A L Y S E A F L I V S L Ø N : Kvinderne haler ind på mændene gennem pensinen Kvinder får gennemsnitlig mindre løn end mænd. Men udlignes det gennem pensinstiden? Er der

Læs mere

Lad bølgen rulle - med alt hvad det indebærer

Lad bølgen rulle - med alt hvad det indebærer Stedet hvr bør læring bygger på kreativitet g innvatin Lad bølgen rulle - med alt hvad det indebærer Af Pia Stræde Palmelund, Direktør i RemisenBrande, Prjektleder i prjekt Bølger i hverdagen. 4000 skleelever

Læs mere

Inspiration til etablering af læringsmiljøer for medarbejdere

Inspiration til etablering af læringsmiljøer for medarbejdere Inspiratin til etablering af læringsmiljøer fr medarbejdere Varde Kmmune 2013 Dk. nr. 181170-13 Dette dkument har til frmål at give inspiratin g sætte pejlemærker fr det lkale arbejde i Varde Kmmunes skler,

Læs mere

Generic Communication Framework

Generic Communication Framework Generic Cmmunicatin Framewrk B y S t e f a n L y k k e h ø j L u n d Stefan@stell.dk www.stell.dk -- C n t r l i s Y u r s Beskrivelse Generic Cmmunicatin Framewrk (GCF), er et system der muliggør fjernstyring

Læs mere

Studiekredsarbejdet 2011

Studiekredsarbejdet 2011 Studiekredsarbejdet 2011 Sammenskrivning Af Maria Vibe Lynge Callesen Plitifrbundet August 2011 Fagfreningen frem md 2020 Indhldsfrtegnelse Indledning... 3 De vigtigste pinter... 3 Fagfreningens prfil...

Læs mere

1. Velkomst ved Ebbe Hargbøl ESH bød velkommen til den nye styregruppe, hvorefter de nye styregruppemedlemmer præsenterede sig for hinanden.

1. Velkomst ved Ebbe Hargbøl ESH bød velkommen til den nye styregruppe, hvorefter de nye styregruppemedlemmer præsenterede sig for hinanden. Deltagere: Afbud: ESB-netværkets styregruppe Anne Birthe Mrtensen, Tradium (ABM) Jan Havreland, VUC Vestsjælland Nrd (JH) Carl E. Trnhjem, SOSU Sjælland (CES) Karin Rsenmejer, København VUC (KR) Mia Rasmussen,

Læs mere

Performance Gym Århus

Performance Gym Århus Perfrmance Gym Århus Navn: Andreas Quade Kaalby Hld: BA Sprt Management (pbsa0712) Praktiksted: Perfrmance Gym Århus Kntaktpersn(er): Casper Jespersen g Birgitte Møller Larsen Vejleder: Per Justesen Anslag:

Læs mere

PR UDVALGET ARBEJDE OG ORGANISATION DYNAMISK DOKUMENT ROTARY DANMARKS PR UDVALG

PR UDVALGET ARBEJDE OG ORGANISATION DYNAMISK DOKUMENT ROTARY DANMARKS PR UDVALG PR UDVALGET ARBEJDE OG ORGANISATION DYNAMISK DOKUMENT ROTARY DANMARKS PR UDVALG Februar 2014 1 HVORDAN ARBEJDER PR UDVALGET OG HVAD ER DERES ROLLE Indledning PR udfrdringer i Danmark PR er en prces der

Læs mere

Praktisk anvendelse af big data i detailhandlen

Praktisk anvendelse af big data i detailhandlen OPSUMMERING Praktisk anvendelse af big data i detailhandlen INDLÆG: Baggrund g frmål v/ Jan Overgaard, centerleder, IBIZ-Center Aktuelle udfrdringer i detailhandlen v/ Janus Sandsgaard & Luise Riisgaard,

Læs mere

Håndtering af vanskelige kundesituationer

Håndtering af vanskelige kundesituationer Håndtering af vanskelige kundesituatiner FØR, UNDER g EFTER Frrd Sm et led i at frbedre det psykiske arbejdsmiljø inden fr Jernbanetransprt har man i Branchearbejdsmiljørådet fr transprt g engrs (BAR-transprt)

Læs mere

Time Sag Styring i Qmanager

Time Sag Styring i Qmanager Indhldsfrtegnelse Opsætning (NOVAQ Administratr)... 1 Licensnøgle... 1 Rd gruppen til Time-Sag administratrerne... 1 Rettighedspsætning (Default psætning)... 2 Hvem kan administrere brugernes tidsindstillinger...

Læs mere

Vejledning om ansøgning til PUF 2014 puljen til frivilligt socialt arbejde til fordel for socialt truede mennesker 15.13.15.10 11.

Vejledning om ansøgning til PUF 2014 puljen til frivilligt socialt arbejde til fordel for socialt truede mennesker 15.13.15.10 11. Scial-, Børne- g Integratinsministeriet Vejledning m ansøgning til PUF 2014 puljen til frivilligt scialt arbejde til frdel fr scialt truede mennesker 15.13.15.10 11. nvember 2013 INDHOLDSFORTEGNELSE 1

Læs mere

ErhvervsPhD-ordningen en videnindsamling

ErhvervsPhD-ordningen en videnindsamling 1 ErhvervsPhD-rdningen en videnindsamling ErhvervsPhD-rdningen en videnindsamling... 2 Sammenfatning... 4 Dispsitin... 6 Kapitel 1. Indledning... 7 1.1 Baggrund g frmål... 7 1.2 Metde g datagrundlag...

Læs mere

RSV-møde RepræsentantSkabet af Veterinærstuderende. Torsdag d. 18/9 2014 kl.17.15 i lokale A1-05.01

RSV-møde RepræsentantSkabet af Veterinærstuderende. Torsdag d. 18/9 2014 kl.17.15 i lokale A1-05.01 Tilstede: 71 Tilmeldt til spisning: 71 RSV-møde RepræsentantSkabet af Veterinærstuderende. Trsdag d. 18/9 2014 kl.17.15 i lkale A1-05.01 1. Frmalia 17.15 Gdkendelse af dagsrden: k Gdkendelse af referat

Læs mere

Bakkelandets Vuggestue Læreplan 2013-2014

Bakkelandets Vuggestue Læreplan 2013-2014 Bakkelandets Vuggestue Læreplan 2013-2014 Side 1 af 12 Indhld Værdigrundlag... 3 Læreplaner... 3 Hvrfr gør vi det?... 4 Hvrdan gør vi det?... 6 Børn med særlige behv... 11 Evaluering g dkumentatin:...

Læs mere

Notat om metode-udvikling

Notat om metode-udvikling Merete Watt Blsen/Strandhlmgaard/13. februar 2012 Ntat m metde-udvikling Uddannelsessektren er den mest centrale, nødvendige g mkstningsfulde sektr i det mderne, glbale samfund. Alle har ret g pligt til

Læs mere

Microsoft Office Word-dokumenter kan gå tabt i visse situationer. Dokumentet kan eksempelvis gå tabt, hvis en

Microsoft Office Word-dokumenter kan gå tabt i visse situationer. Dokumentet kan eksempelvis gå tabt, hvis en INTRODUKTION Micrsft Office Wrd-dkumenter kan gå tabt i visse situatiner. Dkumentet kan eksempelvis gå tabt, hvis en fejl tvinger Wrd til at afslutte, hvis du plever en strømafbrydelse under redigering,

Læs mere

Idekatalog til styregruppen. Udarbejdet af medarbejdere og ledere i Afdeling for Neurorehabilitering juni 2012

Idekatalog til styregruppen. Udarbejdet af medarbejdere og ledere i Afdeling for Neurorehabilitering juni 2012 Bilag 2 - Idekatalg Juni 2011 Idekatalg til styregruppen Udarbejdet af medarbejdere g ledere i Afdeling fr Neurrehabilitering juni 2012 UDARBEJDET AF PERSONALET I AFDELINGEN I SAMARBEJDE MED LOCUSINSPIRE

Læs mere

Familie og netværk: Personlig og social udvikling: Sundhed og trivsel:

Familie og netværk: Personlig og social udvikling: Sundhed og trivsel: LÆREPLAN 2015/2016 Fr at sikre s at vi ser det enkelte barn i vuggestuens/børnehavens fællesskab, arbejder vi pædagger i et udviklingsstøttende, nærværende g anerkendende samspil med børnene. Vi møder

Læs mere

En mobbefri kultur giver mulighed for, at den enkelte medarbejder/leder tør folde sine ideer og ressourcer ud.

En mobbefri kultur giver mulighed for, at den enkelte medarbejder/leder tør folde sine ideer og ressourcer ud. Udkast til CenterMED 24. marts 2011 Mppeplitik Mppefri-kultur ja-tak! En mbbefri kultur giver mulighed fr, at den enkelte medarbejder/leder tør flde sine ideer g ressurcer ud. En mbbefri kultur fremmer

Læs mere

DanaWeb A/S Herlev hovedgade 201B 2730 Herlev Tlf: 55 55 55 55 support@danaweb.dk

DanaWeb A/S Herlev hovedgade 201B 2730 Herlev Tlf: 55 55 55 55 support@danaweb.dk 1 Indhld DanaWeb A/S Herlev hvedgade 201B 2730 Herlev Tlf: 55 55 55 55 supprt@danaweb.dk Indhld... 2 1. Lg ind... 5 2. Tpbaren... 6 3. Menuen... 7 4. Instrumentbræt... 7 4.1. Hurtige hyperlinks... 8 4.2.

Læs mere

1. Introduktion til sikkerhedsrundering... 4. 1.1 Formål og mål... 4. 1.2 Den samlede proces... 4

1. Introduktion til sikkerhedsrundering... 4. 1.1 Formål og mål... 4. 1.2 Den samlede proces... 4 1. Intrduktin til sikkerhedsrundering... 4 1.1 Frmål g mål... 4 1.2 Den samlede prces... 4 2. Patientsikkerhedsrundering g Den Danske Kvalitetsmdel... 5 3. Ledelse g sikkerhedsrundering... 5 Eksempler

Læs mere

Kvalitet i dagtilbud i Middelfart Kommune

Kvalitet i dagtilbud i Middelfart Kommune Kvalitet i dagtilbud i Middelfart Kmmune Arbejdsgrundlag fr dagtilbuddene 0-6 år 2014-2017 Indledning Med henblik på at styrke kvaliteten i dagtilbuddene har Middelfart kmmune arbejdet med strdriftsmdellen

Læs mere

Notat. Udvikling af ny Folkeregisteradministration BESKÆFTIGELSE OG BORGERSERVICE

Notat. Udvikling af ny Folkeregisteradministration BESKÆFTIGELSE OG BORGERSERVICE Til: Kpi til: BESKÆFTIGELSE OG BORGERSERVICE Dat: 1. maj 2014 Tlf. dir.: E-mail: Ntat Udvikling af ny Flkeregisteradministratin Indledning Flkeregisteret er indgangen ved tilflytning til kmmunen, g efterfølgende

Læs mere

Vejen til Mars et master class project

Vejen til Mars et master class project FORLAG Vejen til Mars et master class prject Ungdmsuddannelserne Af Kirsten Søgaard Nevers g Mette Kbw, Næstved Gymnasium Intrduktin Udvikling g psætning af den dramatiske tekst Vejen til Mars af Daniel

Læs mere

Skolepraktik: Et attraktivt alternativ

Skolepraktik: Et attraktivt alternativ Sklepraktik: Et attraktivt alternativ 1) Oplysninger m ansøger Rskilde Tekniske Skle, Pstbks 132, 4000 Rskilde. Telefn 46 300 400 E mail rts@rts.dk 2) Ansøgningen vedrører (I dette felt skal det plyses,

Læs mere

Triolab-medarbejdere fra hele norden på intern konference

Triolab-medarbejdere fra hele norden på intern konference Oktber 2011 Persnalenyt nyansættelse Det er med str frnøjelse, at vi kan frtælle jer, at vi har ansat en ny medarbejder: Sanne Hedeman er startet i Trilab mandag den 3/10 2011. Sanne får ansvaret fr mråderne

Læs mere

Sagens omstændigheder: I Finanstilsynets afgørelse af 30. marts 2009 hedder det:

Sagens omstændigheder: I Finanstilsynets afgørelse af 30. marts 2009 hedder det: Kendelse af 10. nvember 2009 (J.nr. 2009-0019167) Bnuscertifikater ikke mfattet af 12, stk. 1, nr. 3, jf. nr. 11, i bekendtgørelse nr. 1464 af 13. december 2006. Bekendtgørelse nr. 1464 af 13. december

Læs mere

Referat af Lean Construction-DK: Generalforsamling 2012

Referat af Lean Construction-DK: Generalforsamling 2012 Referat af Lean Cnstructin-DK: Generalfrsamling 2012 Afhldt den 22. marts kl. 16.00-17.30, Teknlgisk Institut, Taastrup. Til generalfrsamlingen var der fremmødt bestyrelsen samt ca. 10 medlemmer af freningen.

Læs mere

Databaser Aflevering 2

Databaser Aflevering 2 Databaser Aflevering 2 E/R diagram lavet i samarbejde med Anders Halager & Trels Hansen. De Danske Rustne Baner (DRB) vil have lavet en database sm skal køre deres E-ticket system. Af de frskellige ting

Læs mere

1. Planlægge projektledelsen

1. Planlægge projektledelsen 1. Planlægge prjektledelsen Indhld: 10 Samlet plan fr prjektledelsen 12 Prjektets kendetegn 13 Prjektledelsens udfrdringer 14 Prjektledelsens aktiviteter 20 Ledelsesaktiviteter 21 Ledelsesaktiviteter under

Læs mere

Model for forstærket samarbejde om de mest specialiserede sociale tilbud i Nordjylland

Model for forstærket samarbejde om de mest specialiserede sociale tilbud i Nordjylland 27. februar 2014 Mdel fr frstærket samarbejde m de mest specialiserede sciale tilbud i Nrdjylland Indhld 1. Baggrund... 2 2. Frmål... 2 3. Kriterier fr udvælgelse af de mest specialiserede tilbud... 3

Læs mere

Ministeriet for Børn, Ligestilling, Integration og Sociale Forhold

Ministeriet for Børn, Ligestilling, Integration og Sociale Forhold Ministeriet fr Børn, Ligestilling, Integratin g Sciale Frhld Vejledning til ansøgning m støtte fra puljen Samarbejdsaftaler m pladser på phldssteder g døgninstitutiner med frhøjet sikkerhed til børn g

Læs mere

Patienttilfredshed. på Dagkirurgisk Afsnit, Regionshospitalet Randers. et pilotprojekt. Pernille Avlastenok & Nanna Kragelund

Patienttilfredshed. på Dagkirurgisk Afsnit, Regionshospitalet Randers. et pilotprojekt. Pernille Avlastenok & Nanna Kragelund Patienttilfredshed på Dagkirurgisk Afsnit, Reginshspitalet Randers et piltprjekt Pernille Avlastenk & Nanna Kragelund hld S07 Vejleder Sine Herhldt, Cand.pæd. i generel pædaggik Antal tegn. 59.908 VIA

Læs mere

Appendiksoversigt. Bilag 1. Bilag 2. Bilag 3. Undersøgelsesbeskrivelse. Spørgeguide til kvalitative interviews. Interviewoversigt

Appendiksoversigt. Bilag 1. Bilag 2. Bilag 3. Undersøgelsesbeskrivelse. Spørgeguide til kvalitative interviews. Interviewoversigt Appendiksversigt Bilag 1 Undersøgelsesbeskrivelse Bilag 2 Spørgeguide til kvalitative interviews Bilag 3 Interviewversigt Bilag 1 Undersøgelsesbeskrivelse NCK 2.5, undersøgelse 3 - fase 2 Titel Barrierer

Læs mere

Kikhøj. Rapport over uanmeldt tilsyn 2011. Socialcentret

Kikhøj. Rapport over uanmeldt tilsyn 2011. Socialcentret Kikhøj Rapprt ver uanmeldt tilsyn 2011 Scialcentret 1 Indhld Beskrivelse af enheden: Lvgrundlag, rammer g vurdering... 2 Navn g Adresse...2 Ledelse...3 Målgruppe...3 Dat fr tilsynet...3 Anvendte tilsynsmetder...3

Læs mere

De 5 mål i Den aktive borger

De 5 mål i Den aktive borger R e v i d e r e t d e n 1 2. m a j 2 0 1 5 De 5 mål i Den aktive brger Knkretiseringen af Den aktive brger i fagmrådet Sundhed g Omsrg, er på nuværende tidspunkt centreret mkring 5 mål. Disse mål er langt

Læs mere

Handlingsplan for frivilligt socialt arbejde og aktivt medborgerskab

Handlingsplan for frivilligt socialt arbejde og aktivt medborgerskab Staben Middelfart Kmmune Østergade 11 5500 Middelfart www.middelfart.dk Telefn +45 8888 5500 Direkte +45 8888 5010 Fax +45 8888 5501 Dat: 20. februar 2013 Sagsnr.: 2012-010287-12 Sabine.Christensen@middelfart.dk

Læs mere

Samarbejde (også) i en krisetid. Ingen hokuspokus men dialog og tillid

Samarbejde (også) i en krisetid. Ingen hokuspokus men dialog og tillid Samarbejde (gså) i en krisetid Ingen hkuspkus men dialg g tillid Samarbejde (gså) i en krisetid Frudsætninger Der er ikke nget nyt under slen! Der er ingen smarte løsninger! Vi har endnu meget at lære!

Læs mere

Bestyrelsesmøde i BB-klubben Søndag 30.05.2010 hos Katrine B. i Odense

Bestyrelsesmøde i BB-klubben Søndag 30.05.2010 hos Katrine B. i Odense Bestyrelsesmøde i BB-klubben Søndag 30.05.2010 hs Katrine B. i Odense Til stede: Katrine B, Katrine S, Jette, Anne Mette, Marina, Mariann, Lisbeth Fraværende: Helle 1. Overdragelse af websiden til den

Læs mere

23. ENoLIVSSTIL, DER NAR UD

23. ENoLIVSSTIL, DER NAR UD 23. ENLIVSSTIL, DER NAR UD "Åh nej. Otte sider. De her figurer er ved at blive kmplicerede." Lad dig ikke afskrække af, at Ottekanten har tte sider. Vi vil ikke bebyrde dig med tte stre telgiske lektiner

Læs mere

REFERAT AF GENERALFORSAMLING D. 24. FEBRUAR 2009

REFERAT AF GENERALFORSAMLING D. 24. FEBRUAR 2009 REFERAT AF GENERALFORSAMLING D. 24. FEBRUAR 2009 Fremmødte Nr. 1-2 fremmødte Nr. 2 repr. 2 stemmer Nr. 3-2 fremmødte Nr. 4 repr. 2 stemmer Nr. 6 repr. 2 stemmer Nr. 8 repr. 2 stemmer Nr. 9 repr. 2 stemmer

Læs mere

En undersøgelse af overgangen fra gymnasiet til de første år på engelskstudiet

En undersøgelse af overgangen fra gymnasiet til de første år på engelskstudiet Case 3: Overgang fra gymnasiet til engelsk på universitetet En undersøgelse af vergangen fra gymnasiet til de første år på engelskstudiet på universitetet Drte Ågård UNDERSØGELSEN: FORMÅL OG RAMMER Frmål

Læs mere

Prisliste for Strålfors Connect ydelser. juni 2014

Prisliste for Strålfors Connect ydelser. juni 2014 Prisliste fr Strålfrs Cnnect ydelser juni 2014 Ydelser g priser fr Cnnect Indhld 1. Indledning... 3 2. Beskrivelse af brev-varianterne... 3 1. Standardbreve... 3 2. Vlumenbreve... 4 3. Specialbreve...

Læs mere

Fælles telefoni & Internet for Rytterkasernen og Åløkkegården. Bilag

Fælles telefoni & Internet for Rytterkasernen og Åløkkegården. Bilag Fælles telefni & Internet fr Rytterkasernen g Åløkkegården. Bilag Versin 1.1, sidst revideret 20.05.2003 Bilag 1: Teleudbyder Vres nuværende teleudbyder er: Cirque Bredbånd Brgergade 14 1300 København

Læs mere