Logik og argumentation. Noter til de to forberedende aktiviteter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Logik og argumentation. Noter til de to forberedende aktiviteter"

Transkript

1 Lgik g argumentatin Nter til de t frberedende aktiviteter Belæg: 17 ender på 7, sm er et ulige tal Påstand: 17 er et ulige tal Hjemmel: Et tal er ulige, hvis det ender på et ulige ciffer Belæg: 17 er et ulige tal Påstand: 17 2 er et ulige tal Hjemmel: Kvadratet på et ulige tal er selv et ulige tal Indhldsfrtegnelse: Elevnter Aktivitet 1: Elementær talteri side 1 Aktivitet 2: Matematik g argumentatinsteri side 5 Lærernter Kmmentarer til elementær talteri side 14 Kmmentarer til matematik g argumentatin side 22 Situatinsberetning side 27

2 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 1 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Elementær talteri (elevnte) Indenfr retrikken findes der mange frskellige frmer fr argumenter, fx - Ekspert- eller autritetsargumentet, f.eks. ved henvisning til hvad andre videnskabsflk har udtalt. - referencegruppeargumentet, f.eks. ved at henvise til ppulære persner. - ad-hminem-argumentet, hvr man f.eks. spiller på at påstanden kmmer fra en persn, der er kendt fr at være pålidelig g ubestikkelig. - mængdeargumentet, f.eks. "ni ud af ti udtaler...", "tusind mennesker kan ikke tage fejl..." - den menneskelige histrie, f.eks. ved at frtælle en skæbnehistrie fra det virkelige liv. - trusselsargumentet, sm f.eks. handler m de negative knsekvenser, der vil indtræde, hvis man ikke gør sm freslået. - lykkeargumentet, sm mdsat fremmaner alle de gde ting, der vil ske, hvis afsenderens budskab bliver til virkelighed. Sådanne argumenter er ikke tvingende. De kræver blt, at vi tilslutter s bestemte hldninger, meninger eller at vi trr på argumenter uden nødvendigvis at kunne kntrllere dem. Vi er derfr ikke bundet af sådanne argumenter - selvm det selvfølgelig fte vil være meget praktisk at lytte til dem. I matematik (g videnskab i almindelighed) er vi interesseret i at argumentere tvingende, dvs. alle skal være bundet af argumentatinen, sm ikke må afhænge af persnlige verbevisninger, hldninger, plitiske standpunkter sv. Argumentet skal altså helst være bjektivt. Et matematisk tvingende argument kaldes gså fr et lgisk argument. Men siger gså at man bruger den deduktive metde, idet man ud fra ngle grundlæggende antagelser (hypteser) udleder knsekvenser, sm må anses fr at være ufravigelige. Matematisk deduktin kan stadigvæk indpasses i Tulmins argumentatins mdel: Belæg (Data /Dkumentatin) Påstand Hjemmel (Begrundelse) Gendrivelse Rygdækning Lad s lige se på et eksempel fra matematikundervisningen: Eksempel: En vare kster sm udgangspunkt 1200 kr. (svarende til butikkens råpris = udgifter + frtjeneste). Dertil kmmer mms (25%) g en eventuel rabat. En kunde får tilbudt en rabat på 15%. Er det nu en frdel fr kunden at få rabatten trukket fra før eller efter der er lagt mms til råprisen? 1

3 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 2 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Påstand: Hjemmel: Gendrivelse: Ny påstand: Ny hjemmel: Ny gendrivelse: Belæg/data: Ny påstand (med styrkemarkør) Nyt belæg: Ny hjemmel: Knklusin: A: Jeg vil helst have rabatten trukket fra først! B: Hvrfr det? A: J, fr j mindre udgangsprisen fr mmsen er, j mindre mms skal jeg j betale - g så slipper jeg j billigere! B: Men får du så ikke gså mindre rabat? A: J, det kan der selvfølgelig være nget m hm! Jamen så vil jeg helst have trukket rabatten fra sidst, fr j større udgangsprisen er fr rabatten, j mere rabat får jeg! B: Men hvrdan kan du så vide hvad der bedst kan betale sig, når du vinder nget på begge måder? A: Lad mig prøve at regne på det: Hvis jeg trækker rabat først, så udgør rabatten 15% af 1200 kr. = 180 kr. Dertil kmmer mmsen af den nye udgangspris på 1200 kr. 180 kr. = 1020 kr. Mmsen udgør derfr 25% af 1020 kr. = 255 kr. I alt stiger råprisen derfr med 255 kr. 180 kr. = 75 kr. Hm! Hvis jeg trækker rabatten fra til sidst, så udgør mmsen 25% af 1200 kr. = 300 kr. Dertil kmmer rabatten af den nye udgangspris på 1200 kr kr. = 1500 kr. Rabatten udgør derfr 15% af 1500 kr. = 225 kr. I alt stiger råprisen derfr denne gang med 300 kr. 225 kr. = 75 kr. Hvad søren? B: Men det er ikke bare det samme?! A: J, men så er det da bare fuldstændigt ligegyldigt m jeg får trykket rabatten først eller sidst! B: Er det altid det? A: Hm! Hvad var det nu jeg lærte i prcentregningen? Når jeg trækker rabatten på 15% fra et beløb, svarer det til at gange beløbet med Når jeg lægger mmsen på 25% til et beløb svarer det til at gange beløbet med Hm! B: Jamen, er det ikke ligegyldigt i hvilken rækkefølge du ganger med de t tal 0.85 g 1.25? A: Selvfølgelig faktrernes rden er ligegyldig! Så derfr er det ligegyldigt m jeg får trukket rabatten fra først eller sidst YES!. Vi vender s nu md et simpelt eksempel på et lgisk argument hentet fra hverdagen: A: Hvis du går udenfr bliver du våd! B: Hvrfr det? A: Frdi det regner! Her er påstanden at man bliver våd, hvis man går udenfr. Tilsvarende er belægget, altså de data, der ligger til grund fr påstanden, at det rent faktisk regner. Hjemlen er så underfrstået: Hvis det regner (mens man er udenfr), så bliver man våd. I princippet kunne vi nu frsøge s med en gendrivelse: B: Jeg kan da bare tage en paraply med. 2

4 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 3 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Det afgørende er altså at man kan knytte påstanden til en anden påstand, belægget, der har den egenskab at hvis belægget er sandt trækker det påstanden med sig, dvs. så er påstanden nødvendigvis gså sand. Matematikkens verden handler dels m tal, dels m figurer. I dette frløb vil vi arbejde med tal. Der findes mange frskellige tal, men vi vil mest beskæftige s med de simpleste tal, tælletallene eller de naturlige tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... De naturlige tal udgør allerede i sig selv en yderst kmpliceret verden, der er i stand til at afspejle de mest frunderlige ting. Det er denne verden vi vil dykke ned i g udfrske en lille flig af. Lige g ulige tal: Tilbage til pythagræerne har man været fascineret af den rlle de naturlige tal spiller fr den skjulte rden i naturen, kunsten sv. Pythagræerne interesserede sig bl.a. fr pdelingen af de naturlige tal i frskellige typer af tal. Den mest fundamentale inddeling i frskellige typer er pdelingen i lige g ulige tal, hvrved tallene så at sig fik et køn, på samme måde sm vi deler mennesker i mænd g kvinder. Overvej nu følgende øvelse, sm vi vil snakke m i fællesskab: Øvelse 1: Lige g ulige tal Giv eksempler på lige g ulige tal. Prøv at give en præcis definitin af begreberne lige g ulige tal. Overvej hvrdan I kan afgøre m et tal er lige eller ulige: Er tallet 2467 fx lige eller ulige? Husk at begrunde hvrfr i slutter sm I gør: Hvad er det man skal kigge efter, når man vil afgøre m et tal er lige eller ulige? Kan I pstille en frmel fr et lige tal? kan I pstille en frmel fr et ulige tal? Gå herefter sammen i matrixgrupper g vervej de følgende øvelser. Husk, når I diskuterer, at kmme med hjemmel g belæg fr jeres påstande. Husk at udfrdre hinanden med gendrivelser... Husk gså at skrive ned, hvad det er I kmmer frem til. Nedskriv mindst ét argument med en påstand, en hjemmel g et belæg. Når i er færdige med øvelsen frklarer I hver fr sig en anden gruppe m jeres vervejelser. Øvelse 2: Regning med lige g ulige tal Hvad sker der, når man regner med lige g ulige tal: Hvad kan man sige m summen af t lige tal? summen af t ulige tal? summen af et lige g et ulige tal? Hvad kan man sige m prduktet af t lige tal? prduktet af t ulige tal? prduktet af et lige g et ulige tal? Hvrdan kan man pstille disse regneregler i et skema? Hvrdan kan man bevise disse regneregler, dvs. hvrdan kan man verbevise andre m at disse regneregler nødvendigvis er sande? 3

5 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 4 Aktivitet 1 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Kvadrattallene: Der findes gså andre typer tal. Fx var pythagræerne særligt fascinerede af kvadrattallene. Øvelse 3: Kvadrattal: Giv eksempler på kvadrattal. Prøv at give en gemetrisk tlkning af et kvadrattal. Det er svært umiddelbart at se på et tal m det er et kvadrattal, men ved hjælp af jeres lmmeregner kan I hurtigt afgøre m et tal er et kvadrattal ved at uddrage kvadratrden. Er tallet 4687 fx et kvadrattal? Er tallet 4489 et kvadrattal? Hvad kan man sige m summen af t kvadrattal: Er det aldrig et kvadrattal? Er det smmetider et kvadrat tal? Er det altid et kvadrattal? Hvad kan man sige m prduktet af t kvadrattal: Er det aldrig et kvadrattal? Er det smmetider et kvadrat tal? Er det altid et kvadrattal? Øvelse 4: Kvadrattal g pdelingen i lige/ulige tal: Der findes en simpel frbindelse mellem kvadrattal g pdelingen i lige-ulige tal: Hvad kan I sige m kvadratet på et lige tal? Hvad kan I sige m kvadratet på et ulige tal? Hvrdan kan I bevise disse regler fr kvadratet på et lige tal henhldsvis et ulige tal, dvs. hvrdan kan I verbevise andre m at disse regler nødvendigvis er sande? Hvad kan I sige m et tal, hvis kvadratet på tallet er et lige tal? Hvad kan I sige m et tal, hvis kvadratet på tallet er et ulige tal? Øvelse 5: Pythagræiske kvadrattal Pythagræerne var især fascinerede af de kvadrattal, der kunne skrives sm summen af t kvadrattal, fx er kvadrattallet 25 det samme sm summen af kvadrattallene 9 g 16. Sådanne kvadrattal vil vi kalde pythagræiske kvadrattal. Prøv at give en gemetrisk tlkning af de pythagræiske kvadrattal. Prøv nu at pskrive de ti første kvadrattal i rækkefølge: Hvad kan I sige m frskellen mellem disse tal (dvs. træk det første fra det andet, det andet fra det tredje sv.)? Kan I argumentere fr denne påstand? Hvis frskellen på t kvadrattal selv er et kvadrattal, så har I fundet et pythagræisk kvadrattal. Find de første fem pythagræiske kvadrattal på denne måde. Hvilke retvinklede trekanter svarer de til? Kan I skrive en frmel p fr disse trekanter? Findes der uendeligt mange pythagræiske kvadrattal? Hvrdan kan I argumentere fr denne påstand? 4

6 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 5 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Matematik g argumentatinsteri (elevnte) Matematisk deduktin g Tulmins mdel fr redelig argumentatin Vi minder m at et matematisk tvingende argument gså kaldes fr et lgisk argument. Men siger gså at matematikken bruger den deduktive metde, idet man ud fra ngle grundlæggende antagelser (hypteser) udleder knsekvenser, sm må anses fr at være ufravigelige. Matematisk deduktin kan indpasses i Tulmins argumentatins mdel: Belæg (Data /Dkumentatin) Påstand Hjemmel (Begrundelse) Gendrivelse Vi så sidste gang på et simpelt eksempel på et lgisk argument hentet fra hverdagen: A: Hvis du går udenfr bliver du våd! B: Hvrfr det? A: Frdi det regner! Her er påstanden at man bliver våd, hvis man går udenfr. Tilsvarende er belægget, altså de data, der ligger til grund fr påstanden, at det rent faktisk regner. Hjemlen er så underfrstået: Hvis det regner (mens man er udenfr), så bliver man våd. I princippet kunne vi nu frsøge s med en gendrivelse: B: Jeg kan da bare tage en paraply med. Det afgørende er altså at man kan knytte påstanden til en anden påstand, belægget, der har den egenskab at hvis belægget er sandt trækker det påstanden med sig, dvs. så er påstanden nødvendigvis gså sand. I matematik kalder man fte påstanden fr q g belægget fr p: q = "Når du går udenfr, bliver du våd" p = "Det regner" Hjemlen er den regel, der frbinder de t udsagn g tillader s at slutte fra det ene udsagn til det andet: p q (sm læses: 'p medfører q' eller 'hvis p så q') (dvs. hvis det regner, så bliver du våd, når du går udenfr). Den generelle skabeln fr et typisk lgisk argument ifølge Tulmin ser derfr således ud i matematikken: Præmisser: Knklusin: Rygdækning Udsagnet p er sandt (belægget) Udsagnet p medfører udsagnet q (hjemlen) Altså er gså udsagnet q sandt (påstanden). 1

7 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 6 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Eksempler fra talterien: Lad s tage et eksempel fra talterien, sm vi så nærmere på sidste gang: Påstand: 17 2 er et ulige tal Hjemmel: Kvadratet på ethvert ulige tal er selv et ulige tal, dvs. hvis et tal er ulige, så er kvadratet på tallet gså ulige. Belæg: 17 er et ulige tal Frdi 17 er et ulige tal, g frdi kvadratet på ethvert ulige tal er et ulige tal følger det altså, at 17 2 er et ulige tal. Vi kunne selvfølgelig gså bare regne 17 2 ud g derefter checke m det var et ulige tal. Men nu ville vi j i stedet prøve at argumentere :-) Et sådant argument kan ptrævles yderligere. F.eks. kan vi spørge: Hvrfr skal vi tr på belægget, dvs. hvrfr skal vi tr på at 17 er et ulige tal? Påstand: Tallet 17 er et ulige tal Hjemmel: Et tal er ulige, hvis det ender på et ulige ciffer, dvs. 1, 3, 5, 7 eller 9 Belæg: Tallet 17 ender på 7, sm er et ulige ciffer Tilsvarende kan vi selvfølgelig spørge m hvrfr vi skal tr på hjemlen? Påstand: Kvadratet på ethvert ulige tal er et ulige tal Hjemmel: Det sidste ciffer i kvadrattallet stammer fra kvadratet på det sidste ciffer i tallet Belæg: Kvadratet på et ulige ciffer er ulige: 1 2 = 1, 3 2 = 9, 5 2 = 5, 7 2 = 4 9, 9 2 = 81 Og sådan kan man blive ved! Men i praksis behøver man kun gå så langt tilbage, at de diskuterende er enige m belægget g hjemlen. I matematik støtter man sig altså til sætninger, der allerede er velkendte, frdi de allerede er bevist. Her er et mere kmpliceret argument, sm ikke handler m et knkret tal, g hvr vi derfr er nødt til at argumentere mere abstrakt: Påstand: Hvis et kvadrat tal x 2 er lige, må tallet x selv være lige Hjemmel: Kvadratet på et ulige tal er ulige. Belæg: Ethvert tal er enten lige eller ulige. Dette er et såkaldt mdstridsargument: Der er kun t muligheder: Enten er x lige eller gså er x ulige. En af delene må være sand. Vi viser nu at den anden er falsk. Derfr må den første være sand! Men sm vi har set har vi hjemmel til at slutte, at hvis x er ulige så er x 2 gså ulige. Det er i mdstrid med, at vi ved at x 2 er lige g et tal kan j ikke både være lige g ulige. Heraf følger det derfr, at antagelsen er falsk, dvs. x kan ikke være ulige. Men hvis x ikke kan være ulige, så må x være lige. 2

8 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 7 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Lgikken sm et matematisk sprg: Lgiske binderd g sandhedstavler Her har vi støttet s til ngle af de mest fundamentale principper fr lgisk argumentatin: Et lgisk udsagn er et udsagn, sm enten er sandt eller falsk. Et lgisk udsagn kan ikke både være sandt g falsk på samme tid. Når man i mderne lgik ønsker at hlde styr på sådan argumenter indfører man sandhedstavler: Et lgisk udsagn er sm sagt en påstand sm enten er sand eller falsk. I TI-Nspire kaldes disse sandhedsværdier fr true g false: Læg mærke at TI-Nspire netp pfatter et udsagn af frmen udtryk1 = udtryk2 sm et lgisk udsagn, der enten er sandt eller falsk. I begge tilfælde kan vi umiddelbart udregne begge sider g se m udsagnene er sande eller falske. Men vi kan i mange tilfælde gså argumentere s frem til sandhedsværdien, fx Dette udsagn må nødvendigvis være falsk, frdi er et ulige tal g er et lige tal. Der er derfr ingen grund til at udregne tallene fr at afgøre sandhedsværdien. I den matematiske lgik kan man nu kmbinere udsagn lidt på samme måde sm i dagligdags tale: Her anvender man de lgiske binderd: 'g', 'eller', 'ikke' sm har en præcis betydning, g sm derfr i TI-Nspire udtrykkes med de engelske rd and, r g nt: Fx betyder udsagnet nt (2+3=5) at tallet 2 +3 ikke er det samme sm tallet 5 - g det er j en frkert påstand! Udsagnet 2+3=5 r 5 2 = 24 betyder tilsvarende at enten er tallet 2+3 det samme sm tallet 5 eller gså er tallet 5 2 det samme sm tallet 24; dvs. mindst et af udsagnene er sande g det er j krrekt, idet det første udsagn er sandt. I almindelighed har de lgiske binderd nt, r g and altså den følgende betydning: nt p udsagnet p er falsk. Påstanden p r q betyder at p and q mindst et af udsagnene p g q er sande, dvs. enten er p sand eller gså er q sand (gerne dem begge!). begge udsagnene er sande, dvs. både p g q er sande. 3

9 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 I almindelig tale vil r altså typisk versættes med enten eller, eller bare med eller. Tilsvarende vil and versættes med både - g eller bare med g. Det rejser et mindre prblem: Når vi i almindeligt sprg bruger vendingen 'enten eller' bruger vi den smmetider i betydningen "enten er det ene sandt eller gså er det andet sandt, men de kan ikke begge være sande". Hvis vi fx ser navnet Alaya på en navneliste så kan vi slutte at Alaya enten er navnet på en pige eller på en dreng. Men i dette tilfælde er det klart at Alaya ikke både kan være en pige eller en dreng. Man siger vi bruger det ekslusive enten eller, sm altså indebærer at netp et af udsagnene hlder. I matematisk lgik bruger man da binderdet xr (sm er en sammentrækning af exclusive OR). Der findes ikke andre indbyggede lgiske binderd i TI-Nspire, hvilket vi kan se af listen i katalget. Men får vi brug fr flere kan vi selv definere dem! Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 8 Når man arbejder med sammensatte lgiske udsagn er det nemmest at undersøge deres sandhedsværdi ved hjælp af en sandhedstavle. Hvis man fx har t elementære udsagn p g q så pskriver man en liste ver de fire mulige kmbinatiner af sandhedsværdier fr de t udsagn: Vi ser da netp at det sammensatte udsagn p and q kun er sandt, når begge udsagnene er sande. Øvelse 1. De elementære sandhedstavler Opbyg nu selv sandhedstavler fr de lgiske binderd r, xr g nt. Nrmalt kan et sammensat udsagn både være sandt eller falsk afhængigt af de enkelte udsagns sandhedsværdier. Men der findes sammensatte udsagn, der altid er sande uafhængigt af de enkelte deludsagns sandhedsværdier. Prøv fx at pbygge sandhedstavlen fr udsagnet p r nt p. Sådanne udsagn kaldes tautlgier (dvs. selvindlysende sandheder). Kan du finde andre eksempler på sammensatte udsagn, der altid er sande? Tilsvarende findes der sammensatte udsagn, der altid er falske uafhængigt af de enkelte deludsagns sandhedsværdier. Prøv fx med udsagnet p and nt p. Sådanne udsagn kaldes fr kntradiktiner (selvmdsigelse). Kan du finde andre eksempler på udsagn, der altid er falske? 4

10 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 9 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Øvelse 2. Lgiske kmbinatiner Hvr mange sandhedstavler kan man i alt pbygge ud fra t deludsagn p g q? (SUS står fr Sammensat UdSagn) Hvr mange af disse sammensatte udsagn er symmetriske, dvs. de ikke afhænger af rækkefølgen fr p g q? Kan du pbygge sandhedstavler, der matcher alle de venstående ved at kmbinere p g q med de lgiske binderd nt, r g and (g såmænd gså gerne xr)? Den lgiske implikatin: Hvis... så... Vi er nu kmmet til det mest centrale lgiske udsagn i argumentatinsterien: p medfører q der er det samme sm hvis p så q (dvs. det er netp hjemlen i en lgisk argumentatinskæde). Den vil vi betegne med det engelske rd imply (sm er beslægtet med det danske rd implicere, der netp betyder 'medføre'). Vi skal da først prøve at frstå hjemlens betydning, dvs. hvrnår er det rigtigt, at p medfører q g hvrnår er det frkert? Det er i hvert fald klart, at hvis p er sand, så skal gså q være sand. Knklusinen q må derfr aldrig være falsk, samtidigt med at frudsætningen p er sand. Det kunne vi versætte med nt ( p and nt q). Det fører nu til de t følgende rækker i sandhedstavlen: Men hvad gør vi hvis p er falsk? Kan vi så slutte nget m q? Nej, hvis p ikke er sand, så er det ligegyldigt hvad q er vi kan ikke vide nget m det, fr hvis p er falsk er kæden allerede hægtet af vres argument! Antag fx den følgende hjemmel gælder: Hvis det regner, så bliver du våd, når du går udenfr! Hvad kan vi så slutte? Ja, hvis det regner g vi går udenfr, ja så er det klart at vi bliver våde! Men hvad nu, hvis vi går udenfr g vi bliver våde (dvs. q er sand)? Kan vi så slutte at det regner (dvs. at p er sand)? Nej, fr vi kunne gså blive våde af andre grunde end at det regner, fx frdi vi blev blændet af det strålende slskin g faldt i nabens svømmebassin. 5

11 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 10 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Vi kan altså ikke slutte baglæns: Hvis q er sand, så kan p såvel være sand sm falsk! Af samme grund kan vi heller ikke slutte nget, hvis p er falsk, fr så siger reglen ikke nget! Vi er altså tilbage ved at påstanden 'hvis p så q' alene kan bruges til at drage en slutning, hvis vi enten ved at p er sand (fr så trækker den q med sig) eller hvis vi ved at q er falsk (fr så frhindrer den udsagnet p i at være sand). Det kan gså frmuleres således: Enten er p falsk eller gså er q sand, dvs. nt p r q. Igen bygger det på mdstridsargumentet! Vi skal vise, at hvis udsagnet p er sandt, så er gså udsagnet q sandt. Men hvis p er sandt, så er det første udsagn frkert, g derfr må det andet være rigtigt, dvs. udsagnet q er sand. Det fører til den følgende sandhedstavle fr udsagnet p medfører q: En anden måde vi kan indføre det nye udsagn på er ved at knytte det til vres tidligere udsagn. Vi har allerede set på t muligheder: nt p r q nt (p and nt q) Men det er bare t frskellige måder at sig det samme på. Faktisk mskriver TI- Nspire helt autmatisk det nederste udsagn til det øverste: Tilsvarende kan vi se at de har nøjagtigt den samme sandhedstavle (sm netp er magen til den sandhedstavle vi skrev p fr p medfører q): Vi kan altså definere udsagnet p medfører q til at betyde det samme sm udsagnet nt p r q. I TI-Nspire skrives det således i grafregneren: Så snart vi har defineret implykmmanden kan vi få TI-Nspire til at pstille sandhedstavlen fr kmmanden. Dermed kan vi udnytte binderdet imply på lige fd med de andre lgiske binderd! 6

12 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 11 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Om kærlighed g lgik At Smørrebrød er ikke Mad, Og Kierlighed er ikke Had, Det er fr Tiden hvad jeg veed Om Smørrebrød g Kierlighed. Jhan Herman Wessel Lad s nu illustrere maskineriet med en lgisk slutning m kærlighed helt i Shakespeares ånd: Jespers dilemma: Om Jesper har vi følgende t facts: (1) Enten elsker Jesper Lise eller gså elsker Jesper Hanne (2) Hvis Jesper elsker Lise, så elsker Jesper gså Hanne Kan vi nu slutte at Jesper elsker Lise? Kan vi slutte at Jesper elsker Hanne? Det kan gdt være lidt svært at verskue, men så kan vi j prøve s frem med sandhedstavler! Først skal vi have indført de elementære udsagn "Lise" = Jesper elsker Lise "Hanne" = Jesper elsker Hanne Da et navn i Lister g regneark kun må indehlde 16 tegn afkrter vi udsagnene sm vist, så hvis udsagnet "Lise" er sand, betyder det altså at Jesper elsker Lise sv. Dernæst skal i have indført de sammensatte udsagn L_eller_H = Lise r Hanne (dvs. første fact!) L_medfører_H = Lise medfører Hanne (dvs. andet fact). Endelig skal vi have versat reglen m at vi kan stle på begge facts! Regel = (L_eller_H) and (L_medfører_H) dvs. reglen hævder at begge udsagnene er sande. Men så er det bare at indskrive sandhedsudsagnene i sandhedstavler g checke dem! 7

13 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 12 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Fr det første ved vi, at vi netp lever i et af de følgende fire universer: Fr at kmme tættere på hvilke af disse mulige universer, vi rent faktisk lever i indfører vi nu sandhedstavlerne fr de sammensatte udsagn: Her kunne vi faktisk gdt afgøre det, men lad s fr klarheds skyld gså indføre reglen: Vi ser da at det kun er i det første g tredje univers at reglen hlder. Vi lever altså enten i univers 1, hvr Jesper elsker dem begge, eller i univers 3, hvr Jesper kun elsker Hanne. Knklusinen er derfr den følgende: Det eneste vi med sikkerhed kan slutte er, at Jesper elsker Hanne! I det fregående gennemførte vi nu et rent mekanisk argument fr at Jesper faktisk elsker Hanne (hvis han ellers skulle være i tvivl ). Men vi kunne gså have argumenteret klassisk lgisk fr det: Først et direkte argument: Påstand: Jesper elsker Hanne Belæg: Enten elsker Jesper Lise eller gså elsker Jesper ikke Lise! Hjemmel: Fact 1: Jesper elsker mindst en af dem. Fact 2: Hvis Jesper elsker Lise elsker han gså Hanne. Argumentet er så sm følger: Belægget er ubestrideligt sandt! Hvis Jesper elsker Lise, følger det af fact 2, at han gså elsker Hanne. Hvis Jesper ikke elsker Lise, følger det af fact 1, at så må han nødvendigvis elske Hanne. Hvad enten han elsker Lise eller ikke elsker Lise kan vi altså være sikre på at han elsker Hanne! 8

14 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 13 Aktivitet 2 sm frberedelse til AT-frløb m argumentatinsteri i 1g, april 2009 Dernæst et indirekte argument (mdstridsargument): Antag at Jesper ikke elsker Hanne (hyptesen). Af fact 1 følger da, at han nødvendigvis elsker Lise. Men af fact 2 følger så, at han gså elsker Hanne, hvilket er i mdstrid med vres antagelse. Da vres antagelse fører til en mdstrid er den frkert, dvs. Jesper må nødvendigvis elske Hanne. Påstanden: Jesper elsker ikke Hanne, kan altså gendrives ud fra hjemlen: Fact 1 g Fact 2. Læg mærke til hvrdan vi anvender den hyptetisk-deduktive metde i begge tilfælde! Øvelse 3: Denne gang spørger vi Jesper: 'Er det virkeligt sandt, at hvis du elsker Lise, så elsker du gså Hanne?' Hertil svarer Jesper: 'Hvis det virkeligt er sandt, så elsker jeg Lise!' Er Jesper frelsket i Lise? Er han frelsket i Hanne? NB! Denne gang må vi altså ikke støtte s på de t tidligere facts 1 g 2. Øvelse 4: Når vi spørger Jesper: 'Er det virkeligt sandt, at hvis du elsker Lise, så elsker du gså Hanne?' svarer Jesper: 'Hvis det virkeligt er sandt, så elsker jeg Lise, g hvis jeg elsker Lise, så er det virkeligt sandt!' Hvem er Jesper nu frelsket i? Øvelse 5: Denne gang er der tre piger på spil: Susanne, Marcia g Diana. Vi har nu følgende facts til rådighed: (1) Jesper er frelsket i mindst en af pigerne. (2) Hvis Jesper elsker Susanne, men ikke elsker Diana, så elsker han gså Marcia. (3) Jesper elsker enten både Diana g Marcia eller gså elsker han hverken Diana eller Marcia! (3) Hvis Jesper elsker Diana, så elsker han gså Susanne. Hvem er Jesper frelsket i? 9

15 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 14 Kmmentarer til elementær talteri (lærernte): Øvelse 1: Eksemplerne burde ikke vlde prblemer! Der kan selvfølgelig gives mange definitiner/karakteriseringer af lige g ulige tal, fx 1) Hver andet tal er lige, startende med 2. Tilsvarende er hver andet tal ulige startende med 1. 2) De lige tal er dem, der kan deles med ) De lige tal er dem der ender på cifrene 0, 2, 4, 6 g 8, dvs. de lige cifre. 4) Hvis tallet repræsenteres med en bunke kugler er det lige, når bunken kan deles i t lige stre bunker... Lige tal: Ulige tal: 5) Endelig bør de prøve at frstå frmlerne fr lige g ulige tal: Lige = 2 n Ulige = 2 m +1 dvs. et tal er lige, netp når det kan skrives på frmen 2 n,... Det giver mulighed fr små argumenter/beviser, fx: Påstand: Et lige tal er et tal, der ender på 0, 2, 4, 6 g 8. Hjemmel: Tallet 2 går p i et tal, netp når det går p i sidste ciffer. Belæg: Et lige tal, er et tal, der kan deles med 2 (definitinen på et lige tal) Rygdækning: Ethvert decimaltal kan skrives sm en sum af enere, tiere, hundreder sv. Fx 2467 = Men tallet 2 går p i 1000, 100 g 10. Altså går 2 p i tallet netp når det går p i enerne. Øvelse 2: På basis af knkrete eksempler skal de nu selv kunne pstille skemaerne: + lige ulige lige lige ulige ulige ulige lige lige ulige lige lige lige ulige lige ulige Det er sværere at argumentere fr dem g de kan måske have svært ved at se hvrfr knkrete eksempler ikke kan være nk! Det kan evt. føre til en snak m induktinsprincippet: Hvrfr er det ikke nk at kende ngle få eksempler fr at kunne generalisere til den almene pførsel. Her er tre eksempler, hvr de t første er elementære, mens det tredje er avanceret (men inden fr rækkevidde af et studieretningsprjekt): Eksempel 1: Et tal kaldes fr symmetrisk eller et palindrm, hvis tallet er det samme uanset m det læses frlæns eller baglæns, fx Hvis cifrene er ens er tallet selvfølgelig trivielt symmetrisk. Kig nu på de følgende kvadrater: 1

16 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 15 Alt ånder fred g r, så tilsyneladende er ethvert kvadrattal på frmen et symmetrisk tal? Bemærkning: Kvadrattallene har gså en meget simpel struktur, hvr vi først skriver cifrene p i den naturlige rækkefølge g derefter i den mdsatte rækkefølge Men her kunne man gdt være nervøs, når ekspnenten bliver str. Det skulle dg ikke frstyrre vres symmetri? Læg mærke til cellefrmlen. Den tillader s at trække i en celle i nederste højre hjørne så man autmatisk får skrevet det næste tal i søjlen fr ettaller p g derfr gså autmatisk udregnet kvadrattallet. Eksempel 2: Denne gang er eksemplet gemetrisk. Vi tegner en cirkel med et antal punkter på randen. Derefter frbindes randpunkterne så vi får dannet den tilsvarende plygn med alle de tilhørende diagnaler. Vi tæller nu, hvr mange mråder cirklen er blevet pdelt i: n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 Er der et system i tallene? Læg mærke til den åbne frmulering. Når vi tegner sekskanten er det ikke sikkert vi får det maksimale antal mråder, frdi tre diagnaler nu gdt kan gå gennem samme punkt. Det gælder fx fr den regulære sekskant. Men selvm vi insisterer på at tælle det maksimale antal mråder bryder reglen hurtigt sammen! 2

17 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 16 Eksempel 3: (kun fr mat-fysser g nk ikke i 1g). I frbindelse med kvadratreglerne har de lært at faktrisere andengradsplynmier. Her vil vi nu faktrisere plynmier af frmen x n 1. De første tyve faktriseringer ser således ud: Der er et væld af bservatiner man kan gøre, ngle trivielle g krrekte, andre mere subtile. Men her vil vi kun hæfte s ved en meget simpel bservatin: Alle faktrerne er plynmier, hvr kefficienterne enten er -1, 0 eller 1. Gælder det altid? (Eksemplet stammer fra en sød artikel med titlen: "Så du trede hundrede eksempler var nk?" Den første undtagelse dukker p fr n = 105! I den sidste parentes dukker dels -2 x 41 p, dels -2 x 7 ) 3

18 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 17 De har frskellige karakteriseringer af lige ulige tal, der kan gå ud fra, når de skal prøve at vise reglerne: 3) De lige tal er dem der ender på cifrene 0, 2, 4, 6 g 8, dvs. de lige cifre. 4) Hvis tallet repræsenteres med en bunke kugler er det lige, når bunken kan deles i t lige stre bunker... Lige tal: Ulige tal: 5) Endelig bør de prøve at frstå frmlerne fr lige g ulige tal: Lige = 2 n Ulige = 2 m +1 dvs. et tal er lige, netp når det kan skrives på frmen 2 n,... Hvis de hæfter sig ved de sidste cifre følger reglerne af de almindelige regnetabeller, idet det sidste ciffer i en sum j altid stammer fra summen af de t sidste cifre g tilsvarende fr et prdukt: Hvis de hæfter sig ved diagrammerne ser det således ud: Summen af t tal fås ved at slå bunkerne sammen: Lige tal: Lige tal: Lige tal: Ulige tal: Ulige tal: Ulige tal: 4 Der er ikke ngen i midten, så den samlede bunke repræsenterer et lige tal. Der er netp en kugle i midten, så den samlede bunke repræsenterer et ulige tal. Der er t kugler i midten, der kan frdeles på hver sin side, så den samlede bunke repræsenterer et lige tal.

19 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 18 Prduktet af t tal fås ved i stedet at kmbinere bunkerne til et rektangel sm vist: Lige Lige Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er ingen kugler i midten, så prduktet er et lige tal. Lige Ulige Midterstregen fra den ulige faktr verføres til blkken. Der er et lige antal kugler i midten svarende til den anden faktr, så prduktet er et lige tal. Ulige Ulige Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er et ulige antal kugler i midten, så når de frdeles til hver sin side, bliver den midterste til vers. Prduktet er derfr et ulige tal. Hvis de endelig hæfter sig ved frmlerne ser det således ud: + 2n 2m+1 2p 2p + 2n = 2p + 2m+1 = 2 (p+n) 2 (p+m) + 1 2p+1 2p+1 + 2n = 2p+1 + 2m+1 2 (p+n) + 1 = 2 (p+m+1) 2n 2m+1 2p 2p 2n = 2p (2m+1) = 2 (2pn) 2 (p (2m+1)) 2p+1 (2p+1) (2m+1) = (2p+1) 2n = 4pm + 2p + 2m +1 = 2 ((2p+1) n) 2 (2pm + p + m) +1 5

20 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 19 Øvelse 3: Eksempler på kvadrattal burde ikke være nget prblem. Den gemetriske tlkning knytter kvadrattallet x 2 til arealet af et kvadrat med siden x: Kvadrattallene kan gså bygges p med kuglediagrammer i den pythagræiske traditin. Fr at afgøre m tallet 4687 er et kvadrattal kan man uddrage kvadratrden! I dette tilfælde finder vi altså at 4687 ikke er et kvadrattal, mens 4489 er et kvadrattal. med lidt frnemmelse fr tallene kan man gså hurtigt afgøre det: Tallet deles i blkke bagfra med 2 cifre i hver (hvr der eventuelt kun bliver et ciffer til vers i den frreste blk): Vi ved da, at 4687 må være kvadratet på et tal af frmen 6? idet 6 2 = 36 g 7 2 = 49. men der er ingen cifre, hvis kvadrattal ender på 7. Så 4687 kan ikke være et kvadrattal. Tilsvarende fås Vi ved da, at 4489 må være kvadratet på et tal af frmen 6? idet 6 2 = 36 g 7 2 = 49. Da kvadratet på det sidste ciffer skal ende på 9 er der kun t muligheder: 63 g 67: 63 2 = (60+3) 2 = = = 3969 (duer ikke) 67 2 = (60+7) 2 = = = 4489 (duer!) Summen af t kvadrattal: Det skulle være verkmmeligt at finde eksempler, der virker g eksempler, der ikke virker. Det er fint at kble til Pythagras sætning! Fx = 5 2, = 13 2,... Prduktet af t kvadrattal: her skulle de gerne indse at det altid selv er et kvadrattal: Eks. 4 9 = 36 = 6 2. Her er det nk nemmest at vise det med bgstaver: p 2 q 2 = (p q) 2 Øvelse 4: her kan de eventuelt trække på de tidligere øvelser, men det er ikke fr alvr afgørende at de har lavet de tidligere øvelser. Kvadratet på et lige tal er lige, frdi lige lige = lige. Kvadratet på et ulige tal er ulige, frdi ulige ulige = ulige. Ved cifferregning vises det således x x

21 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 20 Det er bemærkelsesværdigt at slutcifret ikke kan være 2 eller 8 eller 3 eller 7! Ved kuglediagrammer vises det således: Lige 2 Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er ingen kugler i midten, så kvadratet er et lige tal. Det stre kvadrat er pbygget af fire små kvadrater! Ulige 2 Midterstregen fra den ene af faktrerne kan verføres til blkken. Der er et ulige antal kugler i midten, så når de frdeles til hver sin side, bliver den midterste til vers. Kvadratet er derfr et ulige tal. Ved frmler vises det således: Kvadratet på et lige tal: (2n) 2 = 2n 2n = 4 n 2 = 2 (2n 2 ) Kvadratet på et ulige tal: (2n+1) 2 = (2n+1) (2n+1) = 4n 2 +2n+2n+1 = 2 (2n 2 +2n)+1 Det sidste er tricket g kræver et mdstridsargument! Hvis kvadratet på et tal er et lige tal, så kan tallet ikke være ulige! Fr kvadratet på et ulige tal er ulige... Øvelse 5: Frbindelsen til pythagras sætning skulle være prblemfri. tal kvadrattal differens De skulle gerne kunne genkende de ulige tal! Det er nk sværere at argumentere fr det: Først er der de generelle regler fr lige g ulige tal. De sikrer at hver andet kvadrattal er lige g hvert andet kvadrattal er ulige. Når vi regner på differensen er det derfr enten et ulige kvadrattal vi trækker fra et lige eller et lige kvadrattal vi trækker fra et ulige. Det viser at differensen altid er ulige. Det er gså klart at den er vksende. Men at den giver alle de ulige tal kræver et yderligere argument! 8

22 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 21 Ved hjælp af et diagram fås: Ved pdeling sm vist ses netp at ethvert kvadrattal rummer det fregående samt at frskellen netp består af t sider i det fregående g en ekstra hjørnekugle. Det viser netp hvrfr vi får de ulige tal! Endelig kan vi vise det med en frmel: (x+1) 2 x 2 = (x+1) (x+1) x 2 = x 2 + x + x +1 x 2 = x 2 + 2x +1 x 2 = 2x + 1 Resten følger nu ved at bemærke at de fem første ulige kvadrattal er givet ved 1, 9, 25, 49 g 81 De tilsvarende værdier fr x i frmlen fr et ulige tal, dvs. 2x+1, er derfr givet ved 0, 4, 12, 24, 40 Derved fås: = 1 = = = 9 = = = 25 = = = 49 = = = 81 = = Trekanterne skulle være prblemfri: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25) g (9,40,41), idet den første ikke er en trekant eftersm siderne klapper sammen. Frmlen kan se således ud (mest fr mat'er!) (2n + 1) 1 (2n + 1) + 1 (2n + 1) + = ( ) ( ) (2n + 1) + 2n + 2n = 2n + 2n + 1 Til gengæld skulle det være rimeligt prblemfrit at indse at der må være uendeligt mange af slagsens, frdi ethvert ulige tal indgår i (mindst) en pythagræisk trekant. 9

23 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 22 Kmmentarer til aktivitet 2 (lærernte): Matematisk deduktin g Tulmins mdel fr redelig argumentatin De indledende sider m matematisk deduktin er en repetitin af den fregående time! Meget af det kan derfr være faldet på plads i første time. Lgikken sm et matematisk sprg: Lgiske binderd g sandhedstavler De følgende øvelser m sandhedstavler kan man tage i fællesskab uden nødvendigvis at gå i dyb detalje. Det er først med kærlighed g lgik afsnittet til sidst det bliver interessant! Øvelse 1: Eksempler på tautlgier: p r nt p (eller p xr nt p) nt (p and nt p) (p and q) r (p and nt q) r (nt p and q) r (nt p and nt q) (g den tilsvarende med r erstattet af xr) Eksempler på kntradiktiner: p and nt p nt (p r nt p) (p r q) and (p r nt q) and (nt p r q) and (nt p r nt q) Det er faktisk ikke nødvendigt at pbygge sandhedstavler! Udsagnene kan bare skrives direkte ind i grafregneren: Øvelse 2: Der findes i alt 16 sandhedstavler, idet den første kmbinatin (truetrue) har t værdier sv. Hvis sandhedstavlen skal være symmetrisk er der kun 8 sandhedstavler, idet de t midterste (true-false) g (false-true) nu skal have den samme værdi. Skal man pstille den systematisk kan man fx sm vist i nten starte med lutter true, derefter fire kmbinatiner med 1 false, derefter 6 kmbinatiner med 2 false, derefter 4 kmbinatiner med 3 false g endelig 1 kmbinatin med 4 false. Mange af dem kan genkendes uden videre. Her er de 8 symmetriske: Læg mærke til at de spejles på midten, dvs. sus1 g sus16, sus2 g sus15... er fremkmmet ved at mbytte true g false sv. Det er ikke svært at genkende disse symmetriske sandhedstavler. Kig på placeringen af true! Fx i sus2 er den true, når mindst en af dem er falsk, dvs. når de ikke begge t er sande: sus1 sus2 sus5 sus8 sus9 sus12 sus15 sus16 true nt and r xr nt xr nt r and false 1

24 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 23 De asymmetriske kmmer så fra de øvrige kmbinatiner, hvr p kmbineres med nt q eller mvendt. Den lgiske implikatin: Hvis.. så sus3 sus4 sus6 sus7 sus10 sus11 sus13 sus14 nt p p r nt p nt q q p nt p p and r q nt q and q nt q Udvidelse af tlkningen af sandhedstavlen: Et falsk udsagn medfører hvad sm helst! Et sandt udsagn følger af hvad sm helst! Bemærkningen m at vi ikke kan slutte baglæns kan evt. udvides til en diskussin af abduktinsprincippet: Så selv m knklusinen q viser sig at være sand, kan vi ikke slutte, at så må hyptesen p gså være sand. Bemærkning: I den naturvidenskabelige metde betyder det, at hvis vi har en hyptese med en bestemt knsekvens, så kan vi ikke bevise hyptesen ved at påvise at knsekvensen hlder i et eksperiment. Vi kan mdbevise hyptesen ved at påvise at knsekvensen ikke hlder i et bestemt eksperiment. Men vi kan kun understøtte hyptesen ved at vise at knsekvensen er sand. Knsekvensen kunne j være sand af andre årsager. g der vil altid være mange hypteser, der fører til den samme knsekvens, dvs. man vil altid kunne frklare en bservatin på mange måder. Hvis man har flere hypteser man kan vælge mellem, vælger man nu den simpleste hyptese (ccams razr) g går videre med den. Denne frm fr argumentatin er altså ikke lgisk tvingende, men bruges ikke dest mindre meget i naturvidenskaberne, hvr den går under navnet abduktin). Ved hjælp af medfører-kmmanden kan vi nu frmalisere Tulmins argumentmdel således: Hvis vi ved at p er sand (belægget) g vi ved at p medfører q er sand (hjemlen), så kan vi slutte at gså q er sand (påstanden). I lgisk frmulering gælder der altså slutningsreglen 2

25 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 24 (p g (p medfører q)) medfører q Tilsvarende kan vi frmalisere mdstridsargumentet: p g (nt q medfører nt p) medfører q Her kan man evt. indføre følgende supplerende øvelse: Øvelse: Undersøg sandhedstavlen fr det direkte argument: (p g (p medfører q)) medfører q Knklusin? Undersøg tilsvarende sandhedstavlen fr mdstridsargumentet: p g (nt q medfører nt p) medfører q Knklusin? I begge tilfælde fås tautlgier! Om kærlighed g lgik: Øvelserne løses på samme måde sm eksemplet: Øvelse 3: Udsagnet han spørges m svarer til at spørge m Lise medfører Hanne er sandt. Han svarer: Hvis det er sandt at Lise medfører Hanne, så er Lise sand! Knklusin: Han elsker Lise! 3

26 Frberende aktiviteter til frløb m lgik g argumentatin 25 Lgisk argument: Hvis han ikke elsker lise er det sandt at lise medfører hanne, da et falsk udsagn medfører hvad sm helst! Men hvis det er sandt at lise medfører hanne, så er lise selv sand. Og det er en mdstrid. Altså kan vi ikke prethlde antagelsen m at han ikke elsker lise, hvrfr det mdsatte følger! Øvelse 4: Denne gang elsker han dem begge t! Lgisk argument: Den første del af reglen viser sm før at han elsker Lise! Men når han elsker Lise viser den anden del af reglen at så vil Lise trække Hanne med sig. Altså er Lise sand g det er gså sandt at Lise medfører Hanne. Hen elsker altså gså Hanne! Øvelse 5: Knklusin: Han elsker dem alle sammen! Afsluttende bemærkning: Den mderne lgik går tilbage til Leibniz, sm gså er phavsmand til ideen m de mulige verdener. Leibniz believed that much f human reasning culd be reduced t calculatins f a srt, and that such calculatins culd reslve many differences f pinin: "The nly way t rectify ur reasnings is t make them as tangible as thse f the Mathematicians, s that we can find ur errr at a 4

Mig og min ADHD -profil:

Mig og min ADHD -profil: Mig g min ADHD -prfil: - et hjælperedskab til dig, sm kan have svært ved at beskrive dine vanskeligheder g hvad ADHD gør ved lige netp dit liv. Denne skabeln kan du bruge, hvis du ligesm mange andre med

Læs mere

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011 Fibnacciprjekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skle i Skagen Matematikken i blde? December 2011 Klassen deltg fr første gang i Fibnacci Prjektet, g der var afsat ca. 10 timer i en enkelt

Læs mere

skriv disse seks tal omhyggeligt ned

skriv disse seks tal omhyggeligt ned Kære Peter, 3Ør d;3 f/ar: Æ//erede OM.f'å. da:je v;/ d;t /;v ændre 5;3 (t;/ det bedre J) J Hr Peter Knudsen A L Meyers Vænge 3 6 Tv 2450 København Sv DENMARK Marcs vn Ring 15 14 3 6 16 19 Kære Peter, skriv

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE: Indholdsfortegnelse Indledning mm BETA-VERSION. Forord/introduktion til bogen

INDHOLDSFORTEGNELSE: Indholdsfortegnelse Indledning mm BETA-VERSION. Forord/introduktion til bogen DESIGN PROCES & METODE INDHOLDSFORTEGNELSE: 0A Indhldsfrtegnelse 0B Indledning mm 0C HVAD ER DESIGN? 1A 1B 1C 1D Frrd/intrduktin til bgen fra ide til prdukt RIIS RETAIL A/S Hvad er design g hvad er designprcessen?

Læs mere

Opsamling, Workshop, Bedst Praksis Ledelse

Opsamling, Workshop, Bedst Praksis Ledelse Opsamling, Wrkshp, Bedst Praksis Ledelse I frbindelse med prjektet Bedst Praksis Ledelse blev der d. 24. ktber afhldt en wrkshp, hvr de 1. linieledere g øvrige ledere i AaK, sm er blevet interviewet i

Læs mere

Argentinsk Tango. Undervisningsplan for 4 gange MW20131118-1

Argentinsk Tango. Undervisningsplan for 4 gange MW20131118-1 Argentinsk Tang Undervisningsplan fr 4 gange Argentinsk Tang Undervisningsplan fr 4 gange Frrd Glæden g lysten til at danse er det vigtigste vi kmmer med, når vi gerne vil lærer at danse. En danseglæde

Læs mere

Systematisk feedback. Et udviklingsprojekt på Ekstra Bladet 2007-08. Projektet er støttet af Pressens Uddannelsesfond

Systematisk feedback. Et udviklingsprojekt på Ekstra Bladet 2007-08. Projektet er støttet af Pressens Uddannelsesfond Systematisk feedback Et udviklingsprjekt på Ekstra Bladet 2007-08 Prjektet er støttet af Pressens Uddannelsesfnd En UPDATE-evaluering april 2008 1 Indhld 1. Baggrund 2. Målsætning g succeskriterier 3.

Læs mere

! Viden om dåben. Dåben. Julie Sløk, Lektion 3

! Viden om dåben. Dåben. Julie Sløk, Lektion 3 Dåben! Viden m dåben Julie Sløk, Lektin 3 Dåben er Guds ja til dig da du blev døbt sagde Gud Jeg elsker dig g vil være med dig alle dage indtil verdens ende. Dåben er et sakramente ligesm nadveren. Det

Læs mere

Virker Hverdagen. Håndbog til facilitering og gennemførsel af e-learningcases.

Virker Hverdagen. Håndbog til facilitering og gennemførsel af e-learningcases. Virker Hverdagen Håndbg til facilitering g gennemførsel af e-learningcases 1 Indhld Indledning... 3 Den didaktiske stjerne... 4 Frmål:... 4 Deltagere:... 4 Miljø:... 4 Frm:... 4 Rller:... 5 Gennemførsel

Læs mere

Undersøgelse af virksomhedernes tilfredshed med Jobcenter Esbjergs ydelser og service i 2015

Undersøgelse af virksomhedernes tilfredshed med Jobcenter Esbjergs ydelser og service i 2015 Undersøgelse af virksmhedernes tilfredshed med Jbcenter Esbjergs ydelser g service i 2015 Esbjerg, marts 2016 Side 1 af 13 1. Indledning Denne virksmhedstilfredshedsundersøgelse er baseret på udsendelse

Læs mere

På bagside/li får du at Vide, hvad det ha/lidler OlM.

På bagside/li får du at Vide, hvad det ha/lidler OlM. Peter, devl ser! ige tjfag, hvr jeg kavl BfDf OWlItLT til dig, er evltjfelig kowlwlet! Hr Peter Knudsen A L Meyers Vænge 3 6 Tv 2450 København Sv DENMARK Patrick Guerin 17.03.2010 Kære Peteri Du undrer

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Dokumentation: FB dialog om gentest

Dokumentation: FB dialog om gentest Dkumentatin: FB dialg m gentest Fra Twitter til Mette Breinhldts Facebk: Om gentest: Stre mængder usikker inf kan fremme bekymringskultur, g gøre mennesker til patienter, inden de er syge: http://t.c/ippsyrtg

Læs mere

DiEM25 Democracy in Europe Movement 2025

DiEM25 Democracy in Europe Movement 2025 ROLLEKORT: Demnstratinsteamet Vi frbereder demnstratinerne i 1. g 2. sessin. De andre teams deltager naturligvis i demnstratinerne. I tredje sessin skriver vi en t minutter lang tale m DiEM25s visin fr

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne?

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne? Interview med Kristine J: 00:00: Hvr gammel er du? K: 25 J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer J: Hvr er du pvkset henne? K: I slagelse J: Hvilket pstnummer br du i? K: 2000 J: Er du rgandner?

Læs mere

Er genopretningsaftalen er et forvarsel om nye måder at tænke tilskud?

Er genopretningsaftalen er et forvarsel om nye måder at tænke tilskud? nr. 32 Er genpretningsaftalen er et frvarsel m nye måder at tænke tilskud? INDHOLD Genpretningsaftalen - finanslv 2011. Regeringens aftale med Danske Flkeparti indebærer en nedsættelse af tilskuddet til

Læs mere

Af Astrid Juul Poulsen, udsendt lektor i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædagogiske universitet, 2006-2007

Af Astrid Juul Poulsen, udsendt lektor i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædagogiske universitet, 2006-2007 SIG DET PÅ DANSK! Om at give eleverne kmmunikatinsstrategier til at turde mere Af Astrid Juul Pulsen, udsendt lektr i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædaggiske universitet, 2006-2007 I det følgende

Læs mere

Vejledning om ansøgning til Særligsoc 2009 / 2010. Tips og Lottopuljen til særlige sociale formål - frivilligt socialt arbejde - 7. 18. 19.

Vejledning om ansøgning til Særligsoc 2009 / 2010. Tips og Lottopuljen til særlige sociale formål - frivilligt socialt arbejde - 7. 18. 19. VELFÆRDSMINISTERIET Vejledning m ansøgning til Særligsc 2009 / 2010 Tips g Lttpuljen til særlige sciale frmål - frivilligt scialt arbejde - 7. 18. 19. 50 Ansøgningsfrist 16. februar 2009 INDHOLDSFORTEGNELSE

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG KÆRBO Sundheds- g Omsrgsfrvaltningen Brugerundersøgelse : Plejeblig 1 Brugerundersøgelse Plejeblig Brugerundersøgelsen er udarbejdet af Epinin P/S g Afdeling fr Data g Analyse,

Læs mere

PEGIDA Patriotiske europæere mod islamiseringen af vestlige lande

PEGIDA Patriotiske europæere mod islamiseringen af vestlige lande ROLLEKORT: Demnstratinsteamet Vi frbereder demnstratinerne i 1. g 2. sessin. De andre teams deltager naturligvis i demnstratinerne. I tredje sessin skriver vi en t minutter lang tale m Pegidas visin fr

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

WebGuide for Slagelse Kommunes hjemmeside

WebGuide for Slagelse Kommunes hjemmeside Prjektgruppe hjemmeside WebGuide fr Slagelse Kmmunes hjemmeside Indhldsfrtegnelse Om at læse på Nettet...2 Hvrdan læser flk på Nettet?...2 Skærmen er dit papir...3 Tekster på en skærm...3 Målgrupper...4

Læs mere

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement Verdensbrger Hjem Målgruppe: Spirer g grønsmutter Årstid: Hele året. Evt. i frbindelse med Spejderhjælpsugen Varighed: 3 trin + et engagement Hjem - niveau 1 g 2 - trin fr trin Danske pigespejdere skal

Læs mere

YEKBUN YÜKSEKKAYA, MARIA L. MORTENSEN, ASTRID K. MADSEN & METTE S. KVINT ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM

YEKBUN YÜKSEKKAYA, MARIA L. MORTENSEN, ASTRID K. MADSEN & METTE S. KVINT ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM YEKBUN YÜKSEKKAYA, MARIA L. MORTENSEN, ASTRID K. MADSEN & METTE S. KVINT ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM 13/2-2014 Indhldsfrtegnelse Indledning... 3 Teri & Design... 3 Målgruppe... 4 Kmmunikatinsmdellen...

Læs mere

3. Navnerunde Espen, Gunvor, Frederik, Uffe, Eva, Andreas, Fie, Kasper, Malte, Birgitte og Christina.

3. Navnerunde Espen, Gunvor, Frederik, Uffe, Eva, Andreas, Fie, Kasper, Malte, Birgitte og Christina. Referat 2.04.14 kl. 14:30 Lk. 423, etage 4. byg. 1463. Referat 2.04.14 kl. 14:30 Lk. 423, etage 4. byg. 1463. Espen 1. Valg af rdstyrer Gunvr 2. Valg af referent 3. Navnerunde Espen, Gunvr, Frederik, Uffe,

Læs mere

Trivselsplan for Peder Lykke Skolen

Trivselsplan for Peder Lykke Skolen Trivselsplan fr Peder Lykke Sklen Revideret 2014 Trivselsplan fr Peder Lykke Sklen Indledning Peder Lykke Sklen har en sammenhængende trivselsplan, sm løbende gennemarbejdes g revideres, således at den

Læs mere

FOA Aalborg den 18. juni Tjekliste. Høringssvar til påtænkt uansøgt afsked

FOA Aalborg den 18. juni Tjekliste. Høringssvar til påtænkt uansøgt afsked 1 FOA Aalbrg den 18. juni 2014 Tjekliste Høringssvar til påtænkt uansøgt afsked 1 Indledning I det følgende gives der en tjekliste til, hvad man bør være pmærksm på, når der udarbejdes høringssvar til

Læs mere

Hej konfirmand J. God fornøjelse. Julie 1/5

Hej konfirmand J. God fornøjelse. Julie 1/5 Hej knfirmand J Her er første sæt pgaver til knfirmandundervisningen, så lige lidt indledende vejledning: Det er vigtigt, at du læser teksterne g laver alle pgaverne, du må gerne skrive lange svar. Husk

Læs mere

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer Caching g Selvværd Jantelvens udfrdrer Af Jan Wittrup, Adm. Direktør / Executive Advisr En artikel der primært er tilegnet de, der har sat sig fr knstant at være under selvudvikling. Inspireret af egne

Læs mere

Belbin Teamrolle Profil for

Belbin Teamrolle Profil for Belbin Teamrlle Prfil fr J Pink Clurful Cmpany PLC Rainbw HR Belbins 9 Teamrller Teamrlle Bidrag Tilladelige svagheder Idémand Kreativ, fantasifuld, frit tænkende. Genererer ideer g løser vanskelige prblemer.

Læs mere

Brugermanual til Folkeskoledatabasen

Brugermanual til Folkeskoledatabasen Brugermanual til Flkeskledatabasen SKRIV CLIENT NAME INDHOLD. 1. FOLKESKOLEDATABASEN 2 2. HJEM 2 3. RAPPORTER 3 3.1 EKSEMPEL - SÅDAN FINDER DU EN RAPPORT 3 4. BYG EGEN TABEL 5 4.1 Eksempel sådan laver

Læs mere

Kajakpolitik på Faaborgegnens Efterskole

Kajakpolitik på Faaborgegnens Efterskole Kajakplitik Kajakplitik på Faabrgegnens Efterskle Indledning De sidste år er der i samfundsdebatten, g inden fr kajakmiljøet, blevet et større g større fkus g diskussin mkring sikkerhed i kajaksejlas.

Læs mere

Din læringsrejse. En guide til Det Fælles Lederaspirantforløb. i Aarhus Kommune

Din læringsrejse. En guide til Det Fælles Lederaspirantforløb. i Aarhus Kommune Din læringsrejse En guide til Det Fælles Lederaspirantfrløb i Aarhus Kmmune Indhldsfrtegnelse 1. Indledning 3 2. Samtale med nærmeste leder 4 3. Skabeln fr samtale med nærmeste leder 4 4. Lederpraktikken

Læs mere

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil År 2010 Cmputerspil Nils Per Olsen g Martin Vighlt Cmputerspil 10-03-2010 Planlægning Først diskuterer vi hvilken målgruppe spillet skal henvende sig til. Derefter kikker vi på frskellige spil, fr at finde

Læs mere

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen MÅL FOR ELEVERNES ARBEJDE Fælles fkusmråder mht. udviklingen af elevernes faglige kmpetencer herunder særligt den skriftlige! Overrdnet

Læs mere

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 Spammærkning 2. Udgave september 2007 UNI C SkleKm Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 SkleKm - Spammærkning Spammærkningen af internetpst på SkleKm Af Ole Nmann Thmsen UNI-C, ansvarlig fr internetmail

Læs mere

HÅNDBOG TIL HVERDAGSTOLKE

HÅNDBOG TIL HVERDAGSTOLKE HÅNDBOG TIL HVERDAGSTOLKE Indhldsfrtegnelse VELKOMMEN SOM HVERDAGSTOLK I FRIVILLIGNET... 3 HVAD VIL DET SIGE AT TOLKE... 3 HVAD ER HVERDAGSTOLKE OG HVORNÅR KAN DE TILKALDES?... 3 HVAD ER KOORDINATORGRUPPEN

Læs mere

Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing

Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing skrevet 2005 af Rikkecri Marcussen, revideret udgave 2012 Før du påbegynder ngen frm fr spirituelt arbejde, vil jeg råde dig til, at have lært at meditere

Læs mere

15. maj 2015 FM2015/131 BETÆNKNING. Afgivet af Udvalget for Kultur, Uddannelse, Forskning og Kirke. vedrørende

15. maj 2015 FM2015/131 BETÆNKNING. Afgivet af Udvalget for Kultur, Uddannelse, Forskning og Kirke. vedrørende 15. maj 2015 BETÆNKNING Afgivet af Udvalget fr Kultur, Uddannelse, Frskning g Kirke vedrørende Frslag til Inatsisartutbeslutning m at Naalakkersuisut pålægges at fremlægge en redegørelse m integratin.

Læs mere

BRUG DET DU HAR DEL 2

BRUG DET DU HAR DEL 2 1 BRUG DET DU HAR DEL 2 Kim Trp, søndag d. 17. maj 2015 Brug det du har, fr du kan ikke bruge det du ikke har ALLE ER SKABT TIL AT DELTAGE Lad s prøve at adskille Karismagaver Tjenestegaver g Åndens gaver

Læs mere

Teatret Fair Play: MIRAS VERDENER

Teatret Fair Play: MIRAS VERDENER Teatret Fair Play: S VERDENER Frfatter: Martina Mntelius Oversættelse fra svensk: Michael Ramløse Undervisningsmateriale til frdybelse I ngle af de emner, sm frestillingen tager p. Klassetrin: 4. 5. klasse

Læs mere

Folkeskolereform. Kære forældre

Folkeskolereform. Kære forældre Flkesklerefrm Kære frældre Arbejdet med flkesklerefrmen i Nrddjurs Kmmune skrider hastigt frem. Flere arbejdsgrupper har afsluttet deres arbejde g udarbejdet frslag til indhldet i fremtidens flkeskle.

Læs mere

Rejsebrev fra udvekslingsophold

Rejsebrev fra udvekslingsophold Rejsebrev fra udvekslingsphld Udveksling til: Kenya Udvekslingsperide: 3. februar 13. april 2013 Navn: Email: Anne Therese Sørensen annetherese86@gmail.cm Tlf. nr. 22914550 Evt. rejsekammerat: Simne, Christina

Læs mere

Et redskab til brug ved mediekontakt, hvad enten den er opsøgende og man selv tager kontakt eller Rotarys repræsentanter bliver opsøgt af medierne.

Et redskab til brug ved mediekontakt, hvad enten den er opsøgende og man selv tager kontakt eller Rotarys repræsentanter bliver opsøgt af medierne. Værktøjskassen Et redskab til brug ved mediekntakt, hvad enten den er psøgende g man selv tager kntakt eller Rtarys repræsentanter bliver psøgt af medierne. Indhld: Værktøjskassen...1 Indhld:...1 01. Generelt

Læs mere

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag Evaluering af udviklingsprjekter m en længere g mere varieret skledag Kmmune: Vesthimmerland Invlverede skler i prjektet: Løgstør skle Evalueringsrapprten er udarbejdet af: Malene Wennerlin Kntaktplysninger:

Læs mere

Modul 8 Få det ekstra forspring. Modul 8. Få det ekstra forspring. Side 1. Lederkursus Modul 8 2008 Menu of Life

Modul 8 Få det ekstra forspring. Modul 8. Få det ekstra forspring. Side 1. Lederkursus Modul 8 2008 Menu of Life Mdul 8 Få det ekstra frspring Mdul 8 Få det ekstra frspring Side 1 Lederkursus Mdul 8 2008 Menu f Life Mdul 8 Få det ekstra frspring Mdul 8: Få det ekstra frspring I de tidligere mduler har du lært det

Læs mere

It-plan for Valsgård Skole 2011

It-plan for Valsgård Skole 2011 It-plan fr Valsgård Skle 2011 1 Beskrivelse Grundlaget fr brug af IT i er beskrevet i Faghæfte 48. http://www.uvm.dk/~/media/publikatiner/2009/flke/faelles%20maal/filer/faghaefter/100503_it_g_ mediekmpetencer.ashx

Læs mere

Formidling og formidlingsteori præsentationsformer og -teknikker kommunikationsanalyse.

Formidling og formidlingsteori præsentationsformer og -teknikker kommunikationsanalyse. Hvedtema 5 1 2. år uge 6 Fag: Fysik, Kemi, matematik, Teknlgi 2 (Kmmunikatin/IT A) 2 (Kemi A) 3, Mål g kernestf fr dette frløb Studiemrådet Faglige mål Varighed: 30 lekt. Metder vælge g anvende fagligt

Læs mere

Når ledelse gør forskellen - evaluering af tilgang og ledelse i Børneinstitution Hunderup

Når ledelse gør forskellen - evaluering af tilgang og ledelse i Børneinstitution Hunderup Når ledelse gør frskellen - evaluering af tilgang g ledelse i Børneinstitutin Hunderup I Børneinstitutin Hunderup har man længe plevet, at der sker nget usædvanligt g særligt i de tilknyttede institutiner.

Læs mere

Har du psyken til at være leder?

Har du psyken til at være leder? Har du psyken til at være leder? Du ønsker at finde ud af, m du har den frnødne persnlige styrke g psykiske rbusthed til (frtsat) karriereudvikling med yderligere kmpleksitet, ansvar g udfrdringer TalentfuldeKvinder.dk

Læs mere

MBBL's totaløkonomiværktøj i praksis

MBBL's totaløkonomiværktøj i praksis Oktber 2014 Udgivelsesdat : 10. Oktber 2014 Vres reference : 18.1953.27 Udarbejdet : Pia Rasmussen Kntrlleret : Jacb Ilsøe Side 1 INDHOLDSFORTEGNELSE SIDE 1 INDLEDNING 2 2 BOLIGKONTORET 2 3 BOLIGKONTORETS

Læs mere

Sammenhængende børnepolitik i Norddjurs Kommune

Sammenhængende børnepolitik i Norddjurs Kommune Sammenhængende børneplitik i Nrddjurs Kmmune 2012 Frmål Den sammenhængende børneplitik i Nrddjurs Kmmune skal sikre en tæt sammenhæng mellem det generelle frebyggende arbejde i kmmunen g den målrettede

Læs mere

Konkret om AT-opgaver med innovation 1

Konkret om AT-opgaver med innovation 1 Knkret m AT-pgaver med innvatin 1 I de følgende afsnit er der plukket ud fra bl.a. vejledningen g kmmenteret på afsnit. Det er derfr stadigvæk den enkelte lærers ansvar at læse teksten i læreplan g vejledning

Læs mere

Fagfællebedømmelse af videnskabelig artikel i DUT

Fagfællebedømmelse af videnskabelig artikel i DUT Fagfællebedømmelse af videnskabelig artikel i DUT Dat fr review: [skriv her] Artiklens titel: [skriv her] Bedømmelsens frmål Hensigten med fagfællebedømmelse i Dansk Universitetspædaggisk Tidsskrift er

Læs mere

Kommunikation. set i forhold til den vanskelige samtale Bachelorprojekt 2015. Susanne Nestved Boilesen STUDIE NR. KPS11525

Kommunikation. set i forhold til den vanskelige samtale Bachelorprojekt 2015. Susanne Nestved Boilesen STUDIE NR. KPS11525 Kmmunikatin 09 01 2015 set i frhld til den vanskelige samtale Bachelrprjekt 2015 STUDIE NR. KPS11525 Indhldsfrtegnelse Indledning:... 2 Prblemfrmulering:... 3 Metde g afgrænsning:... 3 Systemisk kmmunikatins

Læs mere

Danske Bank. Ansvarlig lånekapital

Danske Bank. Ansvarlig lånekapital https://markets. Ansvarlig lånekapital Anbefaling: DANBNK Var 12-09 Ansvarlig lånekapital med udløb i 2012 g call-mulighed d. 12-11 2009 FK: 0295675 ISIN: XS0157629691 Min. Piece: 1.000 EUR DANBNK Var

Læs mere

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte Glæden ved at være til meditatinsgruppe Level II udvidet prgram Et åbent hjerte I de kmmende måneder vil vi udfrske meditatin på kærlig-venlighed g medfølelse. Vi vil lære hvrdan vi kan åbne vre hjerter

Læs mere

Opfølgning og fremadrettet tiltag ift. tidligere vedtagne strategi for voksenområdet på Handicap og Psykiatri, 2013-2016

Opfølgning og fremadrettet tiltag ift. tidligere vedtagne strategi for voksenområdet på Handicap og Psykiatri, 2013-2016 Opfølgning g fremadrettet tiltag ift. tidligere vedtagne strategi fr vksenmrådet på Handicap g Psykiatri, 2013-2016 den indledende tekst under hvert punkt er fra den tidligere besluttede strategi, pfølgning

Læs mere

Virksomhedsoplysninger

Virksomhedsoplysninger Alt det inf du behøver... Frretningsbetingelser & persndataplitik Virksmhedsplysninger Den-design A/S (datterselskab af HFP) CVR NR.: 17023292 Adresse: Hestehaven 16, 8721 Daugaard, DK Mail: Michela@den-design.dk

Læs mere

Bilag 2. Konkretisering af temadrøftelser med udgangspunkt i det blanke papir metoden

Bilag 2. Konkretisering af temadrøftelser med udgangspunkt i det blanke papir metoden Til Til Kpi til Styringsudvalget Inspiratin g drøftelse 17. nvember 2015 Side 1 af 11 Bilag 2. Knkretisering af temadrøftelser med udgangspunkt i det blanke papir metden Baggrund: Det blanke papirs princip

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Ungdomsskolen har derfor i uge 32 og 33 gennemført en undersøgelse af de unges egen mening om behovet for en Ungdomscafé.

Ungdomsskolen har derfor i uge 32 og 33 gennemført en undersøgelse af de unges egen mening om behovet for en Ungdomscafé. Frederikssund den 18. august 2010 UngdmsCafé Ungdmssklen/Afdækning/Ungdmscafé Indledning Ungdmssklen er, på baggrund af Byrådets supplerende bemærkninger til budget 2010, blevet anmdet m at gennemføre

Læs mere

PÆDAGOGISKE PRINCIPPER OG LÆRERPLANER

PÆDAGOGISKE PRINCIPPER OG LÆRERPLANER PÆDAGOGISKE PRINCIPPER OG LÆRERPLANER Fr at kmme hele vejen rundt g pfylde kravene i Dagtilbudslven g den Pædaggiske Perspektivplan, har vi elleve pædaggiske principper, der alle indgår i læreplanens seks

Læs mere

Opfølgning på projektet Ny afdeling Nye veje som er afholdt for midler bevilget fra pulje til Personalepolitiske projekter, Region Syddanmark

Opfølgning på projektet Ny afdeling Nye veje som er afholdt for midler bevilget fra pulje til Personalepolitiske projekter, Region Syddanmark Odense d. 20/12-2010 Opfølgning på prjektet Ny afdeling Nye veje sm er afhldt fr midler bevilget fra pulje til Persnaleplitiske prjekter, Regin Syddanmark Klinisk Genetisk Afdeling, OUH har fået bevilget

Læs mere

Diskussion af problemstillingerne

Diskussion af problemstillingerne Diskussin af prblemstillingerne I dette kapitel gives der en lille diskussin af de i kapitel 4 udledte prblemmråder, diskussinen er fretages med Dansk Byggeri, freningen bips, Erhvervs- g Byggestyrelsen

Læs mere

Inklusion af børn og unge med autisme En opgave der kræver viden og indsigt

Inklusion af børn og unge med autisme En opgave der kræver viden og indsigt Inklusin af børn g unge med autisme En pgave der kræver viden g indsigt I denne artikel vil jeg diskutere g perspektivere de erfaringer jeg har med inklusin. Mit ønske er, at du sm læser vil få nuanceret

Læs mere

Kravspecifikation for den pædagogiske læreplan

Kravspecifikation for den pædagogiske læreplan Kravspecifikatin fr den pædaggiske læreplan Den pædaggiske læreplan Indhld Indledning... 3 Del 1. Lvgrundlag... 4 Del 2. Generelle plysninger... 5 Del 3. Dkumentatin via hverdagslivstemaer... 8 3.1 Vkseninitieret

Læs mere

Fredrag på Testrup Højskle, 17. august 2009 Matias Møl Dalsgaard Sm født på ny Kierkegaard g kreativitet BEMÆRK: Det følgende er det manuskript jeg talte ver i fredraget. Det er ikke skrevet mhp. selvstændig

Læs mere

Udviklingen af det nære samfund fx udbygning, byggegrunde, der har betydning for bosætning og erhverv, skole og forretningslivet

Udviklingen af det nære samfund fx udbygning, byggegrunde, der har betydning for bosætning og erhverv, skole og forretningslivet OPSAMLING PÅ EKSTERN MINIRESEARCH SAMMENDRAG INDHOLD Alle de adspurgte brgere tager udgangspunkt i eget mråde g understreger aktuelle lkale emner er vigtige, hvis de skal invlvere sig i nærdemkratiet.

Læs mere

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8.

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8. Medlemsmøde/Februar/2011møde/Februar/2011 Så fik vi endelig afhldt det første rigtige medlemsmøde i RyCC. Omkring 35 mødte frem g det er vel meget gdt i betragtning af, at møde var lagt lige i den travle

Læs mere

RETTEBEMÆRKNINGER TIL SKRIFTLIG KVALIFIKATIONSEKSAMEN 2011 Side 1 af 7 sider

RETTEBEMÆRKNINGER TIL SKRIFTLIG KVALIFIKATIONSEKSAMEN 2011 Side 1 af 7 sider Side 1 af 7 sider RETTEBEMÆRKNINGER TIL SKRIFTLIG KVALIFIKATIONSEKSAMEN FOR REGISTREREDE REVISORER 26. AUGUST 2011 Side 2 af 7 sider Generelt. Ved bedømmelsen lægges dels vægt på de i efterfølgende vejledning

Læs mere

Dansk kvalitetsmodel på det sociale område. Fælles regionale retningslinjer for: Standard 1.1 Kommunikation

Dansk kvalitetsmodel på det sociale område. Fælles regionale retningslinjer for: Standard 1.1 Kommunikation 4.1.2010 Dansk kvalitetsmdel på det sciale mråde Fælles reginale retningslinjer fr: Standard 1.1 Kmmunikatin Dansk kvalitetsmdel på det sciale mråde er igangsat af reginerne g Danske Reginer i fællesskab.

Læs mere

Evaluering af projekt "Kompetenceafklaring og innovative læringsforløb"

Evaluering af projekt Kompetenceafklaring og innovative læringsforløb Når Viden skaber resultater--- Statens Center fr Kmpetence- g Kvalitetsudvikling Evaluering af prjekt "Kmpetenceafklaring g innvative læringsfrløb" April 2008 Statens Center fr Kmpetence- g Kvalitetsudvikling

Læs mere

Midtvejsevaluering. af forsøget med at etablere ferieinstitutioner i skolefritidsordningerne i Randers Kommune. Februar

Midtvejsevaluering. af forsøget med at etablere ferieinstitutioner i skolefritidsordningerne i Randers Kommune. Februar Februar 2014 Midtvejsevaluering af frsøget med at etablere ferieinstitutiner i sklefritidsrdningerne i Randers Kmmune 1. Indledning Fra plitisk side har der været et ønske m at undersøge, hvrvidt den nuværende

Læs mere

FAQ - Ofte stillede spørgsmål:

FAQ - Ofte stillede spørgsmål: FAQ - Ofte stillede spørgsmål: 1. Tjekker Badmintnpeple m et hld er ulvligt, fx ved at have fr mange pint? Ved tilmelding til turneringen tjekkes hldets styrke, men ikke når der prettes hldkrt. Det skal

Læs mere

Vejledning før-fasen IKV i AMU for ledige

Vejledning før-fasen IKV i AMU for ledige Vejledning før-fasen IKV i AMU fr ledige Side 1 af 11 Organisering af før-fasen Virkeligheden er ikke at ledige står i kø fr at få udarbejdet en IKV. Derfr bør der være et tæt samarbejde mellem uddannelsesinstitutinen,

Læs mere

Opsamling på høringssvar i forbindelse med forslaget om at etablere ferieinstitutioner i skolefritidsordninger i Randers Kommune

Opsamling på høringssvar i forbindelse med forslaget om at etablere ferieinstitutioner i skolefritidsordninger i Randers Kommune Opsamling på høringssvar i frbindelse med frslaget m at etablere ferieinstitutiner i sklefritidsrdninger i Randers Kmmune 1. Indledning Børn g skleudvalget besluttede på deres møde d. 7. februar 2012,

Læs mere

Belbin Teamrolle Profil for

Belbin Teamrolle Profil for Belbin Teamrlle Prfil fr J Pink Clurful Cmpany PLC Rainbw HR Belbins 9 Teamrller Teamrlle Bidrag Tilladelige svagheder Idémand Kreativ, fantasifuld, frit tænkende. Genererer ideer g løser vanskelige prblemer.

Læs mere

Kvinderne haler ind på mændene gennem pensionen

Kvinderne haler ind på mændene gennem pensionen Frca, Aktuariat 05. juli 2013 A N A L Y S E A F L I V S L Ø N : Kvinderne haler ind på mændene gennem pensinen Kvinder får gennemsnitlig mindre løn end mænd. Men udlignes det gennem pensinstiden? Er der

Læs mere

Vejledning til Plakater

Vejledning til Plakater Vejledning til Plakater Når du er lgget ind, finder du plakatskabelnerne ved at klikke skabelner g derefter Plakat. Under teksten plakater finder du tre ikner. Det er skabelner til tre frskellige plakater:

Læs mere

Evaluering af Stenløse Kulturhus

Evaluering af Stenløse Kulturhus Evaluering af Stenløse Kulturhus Evalueringen er udarbejdet i maj-juni 2016 Af Egedal Kmmune 1 Indhld Indledning... 3 Baggrund... 3 Metde... 4 Sammenhæng på tværs af huset... 5 Et brugerstyret hus... 7

Læs mere

Del 2: Rammer for en professionel samtale med en patient

Del 2: Rammer for en professionel samtale med en patient Del 2: Rammer fr en prfessinel samtale med en patient Indlede samtalen, identificering af prblem, fælles mål 3 LEDE OG SKABE STRUKTUR 1 Indhente infrmatin, DATAINDSAMLE, udfrske, få patientens perspektiv

Læs mere

LOKALSAMFUNDET BYGGER BRO Ny hverdag i Danmark

LOKALSAMFUNDET BYGGER BRO Ny hverdag i Danmark LOKALSAMFUNDET BYGGER BRO Ny hverdag i Danmark Lkal inddragelse af flygtninge g deres deltagelse i Lkalsamfundet Bygger Br I Lkalsamfundet Bygger Br er ét af de tre centrale elementer inddragelse af flygtninge

Læs mere

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som Start ny gruppe PLan Ldsskvvad. Ft: Henrik Weigelt. Du kan skabe gde friluftsplevelser fr børn g unge. Vær med til at starte en ny Blå spejdergruppe i dit lkalmråde. Hvis du synes, at det er fantastisk

Læs mere

Why So Serious? Incorporated Seniorkursus Vork Påsken 2013

Why So Serious? Incorporated Seniorkursus Vork Påsken 2013 Why S Serius? Incrprated Senirkursus Vrk Påsken 2013 Hej alle glade frhenværende medarbejdere. Vi savner jer i firmaet g vi håber i spreder glæden g indsamler smil. I dette kmpendium er alle de skøre påfund,

Læs mere

Kvalitetsudvikling af e-læring

Kvalitetsudvikling af e-læring Kvlitetsudvikling af e-læring Versin 1.1 1. april 20021 Kvalitetsudvikling af e-læring Et system til kvalitetsmåling af e-læring samt anvisning i kvalitetsudvikling af e-læring på Videregående Vksen Uddannelse

Læs mere

Hendes tanker: Jeg betyder intet for ham. Han gør ikke det, som er vigtigt for mig. Han har svigtet mig.

Hendes tanker: Jeg betyder intet for ham. Han gør ikke det, som er vigtigt for mig. Han har svigtet mig. Recke & Hesse 2003 Kapitel 6 Følelser Dftfg Følelser g tanker Følelser g tanker er ikke det samme. Tanker er den måde, vi pfatter situatinen. Følelser frtæller s, hvrdan vi har det med situatinen, gså

Læs mere

Opdateret Lederskab. Det moderne arbejdslivs dilemmaer. - et nyhedsbrev for ledere om lederskab og ledelse. Nr. 4 2009

Opdateret Lederskab. Det moderne arbejdslivs dilemmaer. - et nyhedsbrev for ledere om lederskab og ledelse. Nr. 4 2009 - et nyhedsbrev fr ledere m lederskab g ledelse ISSN 1901- Nr. 4 2009 Tema: Det mderne arbejdslivs dilemmaer Det mderne arbejdslivs dilemmaer Værdier, selvstændighed, kmpetenceudvikling, teamwrk, selvledelse

Læs mere

Generalforsamling den 23. april 2014

Generalforsamling den 23. april 2014 Generalfrsamling den 23. april 2014 Referat 1. Indledning med andagt v/ Martin Lykkegaard 2. Valg af dirigent - Kristian Søndergaard blev valgt 3. Bestyrelsens beretning g visiner - Året der gik i Elim.

Læs mere

Effektivisering af vandforsyningsanlæg kræver mere nuanceret benchmarking

Effektivisering af vandforsyningsanlæg kræver mere nuanceret benchmarking Ingeniør, MSc Jørgen G. Øllgaard, ØLLGAARD Rådgivende Ingeniører A/S Civilingeniør Anders Christiansen, ØLLGAARD Rådgivende Ingeniører A/S Ingeniør Mads Nørgaard, ØLLGAARD Rådgivende Ingeniører A/S Fkus:

Læs mere

Eurobarometer - kvalitativ undersøgelse EU S LØFTE. Resumé dansk udgave Rom, den 12. september 2014

Eurobarometer - kvalitativ undersøgelse EU S LØFTE. Resumé dansk udgave Rom, den 12. september 2014 Eurbarmeter - kvalitativ undersøgelse EU S LØFTE Resumé dansk udgave Rm, den 12. september 2014 Resuméet er udarbejdet på dansk, engelsk, finsk, fransk, tysk, italiensk, plsk, prtugisisk g svensk. Denne

Læs mere

RSV-møde RepræsentantSkabet af Veterinærstuderende. Tirsdag d. 13/5 2014 kl.17.15 i mødelokale 1

RSV-møde RepræsentantSkabet af Veterinærstuderende. Tirsdag d. 13/5 2014 kl.17.15 i mødelokale 1 Tilmeldt til spisning: 28 RSV-møde RepræsentantSkabet af Veterinærstuderende. Tirsdag d. 13/5 2014 kl.17.15 i mødelkale 1 1. Frmalia 17.15 Gdkendelse af dagsrden: gdkendt Gdkendelse af referat fra sidste

Læs mere

Referat af stormøde i rollespilsgruppen d. 15.01.12. Noter til film i begyndelsen af mødet: Til stede og tilknytning til rollespil:

Referat af stormøde i rollespilsgruppen d. 15.01.12. Noter til film i begyndelsen af mødet: Til stede og tilknytning til rollespil: Bilag 2 Referat af strmøde i rllespilsgruppen d. 15.01.12 Hulgårds Plads Nter til film i begyndelsen af mødet: Fra 2004-2005. Der var midler fra kriminalpræventivt råd. Vigtigt at lave film - det gør nget

Læs mere

NOTAT. De to spørgsmål søges besvaret i dette notat.

NOTAT. De to spørgsmål søges besvaret i dette notat. NOTAT Hvem er de frsinkede studerende? Der er meget fkus på de studerende gennemførelsestid. Faktisk lægger plitikerne så meget vægt på gennemførelsestider, at 777 mi. kr. i 2016 frdeles til universiteterne

Læs mere

J.nr. 2010 1937 28. februar 2011

J.nr. 2010 1937 28. februar 2011 J.nr. 2010 1937 28. februar 2011 (EU-reference nr. 2011-031741) Udbud af krtlægning af erfaringerne med efterværn g mægling samt afdækning af nye frmer fr støttemuligheder fr mænd g kvinder, der har været

Læs mere

Forældrehåndbog - Solbjerg IF Fodbold

Forældrehåndbog - Solbjerg IF Fodbold Frældrehåndbg - Slbjerg IF Fdbld Peter Piilgaard SOLBJERG IF FODBOLD AFDELING Indhld Frældrehåndbg - Slbjerg IF fdbld... Fejl! Bgmærke er ikke defineret. Mikrfdbld missin... 2 Årgang U3-U5 g U6-U7... 2

Læs mere

SMTTE-model for temaet Indianer

SMTTE-model for temaet Indianer SMTTE-mdel fr frløbet i vuggestuen. SMTTE-mdel fr temaet Indianer Sammenhæng Løvspring er en integreret natur- g idrætsinstitutin, hvr der pt er 27 vuggestuebørn. Løvspring har årligt t verrdnede temaer,

Læs mere