Opgaveløsninger til eksamensopgaver. Opgavesæt 46

Transkript

1 EIT3+ITC3/2018 H. Ebert BEREGNINGSTEKNIK INDENFOR ELEKTRONIKOMRÅDET Opgaveløsninger til eksamensopgaver Opgavesæt 46

2 Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/18 Opgavesæt HEb Skriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet Prøve d. 4. januar 2019 kl Ved bedømmelsen vægtes de 7 opgaver således: Opgave 1: 17 % (Vektoranalyse) Opgave 2: 16 % (Vektoranalyse) Opgave 3: 10 % (Kompleks funktionsteori) Opgave 4: 23 % (Kompleks funktionsteori) Opgave 5: 9 % (Rækkeudvikling og Fouriertransformation) Opgave 6: 15 % (Rækkeudvikling og Fouriertransformation) Opgave 7: 10 % (Rækkeudvikling og Fouriertransformation) Denne side skal afleveres sammen med opgavebesvarelsen. Alle afleverede besvarelsesark til bedømmelse skal være påført navn og studienummer. Opgaveteksten kan beholdes. Påfør venligst herunder tydelig navn, studienummer og eksamensnummer. Hvis disse data ikke er korrekte og tydelige, kan opgavesættet ikke blive bedømt. Navn: Studienummer: Eksamensnummer:

3 Praktiske bemærkninger Generelle bemærkninger: Disse hjælpemidler er tilladte under eksamen: Lærebøger, formelsamlinger, notater, lommeregner og pc. Pc og lommeregner må ikke kommunikere med omverdenen. Man kan ikke påregne at kunne få 230 V tilslutning under eksamen. Maskinerne må ikke støje, og skærmen skal vippes mindst 135 grader op i forhold til sammenklappet tilstand. Printerudskrifter accepteres ikke som besvarelse. Eksamenssnyd behandles efter universitetets regler. Ang. den ønskede angivelse af resultater: Besvarelsen skal afleveres på separate papirark for hver opgave. Mellemregninger skal medtages i det omfang, det er nødvendigt for at forstå eksaminandens tankegang i løsningsmetoden. Det er ikke nødvendigt at medtage alle detaljer. Det giver ikke pluspoint at angive mange decimaler i resultatet. Det er en vurderingssag, hvormange, der er nødvendigt, men højst 3 decimaler er almindeligt. Decimaltegnet er komma (og ikke punktum!). Ang. bedømmelsen af opgaverne: Besvarelserne udsættes for en helhedsvurdering mhp. om eksaminanden kan siges at opfylde kursusmålet. Man kan ikke bestå, hvis man er helt blank (under 10 %point) i et af delområderne, idet man ikke opfylder det forud fastsatte kursusmål. Helt simple regnefejl trækker ikke ned. Regnefejl, som giver et helt åbenlyst forkert resultat, trækker ned. Metodefejl trækker meget ned. Fejl tæller kun med 1 gang, selv om de bevirker at efterfølgende spørgsmål også vil blive besvaret forkert. Det er vigtigt, at tankegangen i løsningen af opgaven klart fremgår af besvarelsen. Den blotte angivelse af et facit er ingen god besvarelse, og hvis talværdien oven i købet er forkert, vil eksaminatoren vurdere, at opgaven ikke er besvaret. Derudover er det vigtigt, at man skriver med en tydelig og letlæselig håndskrift og laver en overskuelig opstilling af løsningen. Ting, som eksaminatoren ikke kan læse, kan man ikke blive krediteret for. En god opstilling af løsningen og en klar håndskrift giver pluspoint!

4 Opgave 1 Vektorfunktionen F er givet ved: cos(y)+6x F =( ;x sin(y) + exp(z) y exp(z) ) Figuren herunder viser en cirkelbue med radius 3 m. Buen er den røde kurve. Centrum ligger i (0 2 0), og hele kurven ligger i planet y = 2. Punktet B har koordinaterne (1 2 1). Anvend metoder efter eget valg til beregningerne herunder. x y= π/2 A 45 B ( 1, π/2, 1 ) z 90 Integrationskurver C a. Vis at F er konservativ. b. Evaluer kurveintegralet af F fra punkt A til punkt C langs cirkelbuen. c. Bestem værdien af kurveintegralet af F fra punkt A via en ret linie til punkt B og videre via en ret linie til punkt C. Opgave 2 Fladen S er sammensat af to af fladerne af en cylinderformet dåse med radius 4 m og højden 7 m: S = S 1 [ S 2 hvor: S 1 : cylinderen x 2 + y 2 =16 og 0 z 7 S 2 : cirkelskiven x 2 + y 2 16 og z =0 Vektorfeltet F er givet ved: =( 5x ) F 5y 3y a. Lav en skitse af og en parametrisk repræsentation for fladen S. b. Beregn F s flux gennem fladen S (altså begge fladerne S 1 og S 2 sammenlagt) vha. fladeintegral. c. Beregn vha. Gausses sætning F s flux ud gennem låget af dåsen, dvs. den øverste cirkelskive.

5 Opgave 3 Bestem ved hjælp af Cauchy-Riemann-ligningerne om funktionen f(z) =z + iz 2 er analytisk. Opgave 4 Den komplekse funktion g(z) er givet ved: g(z) = tan(z + i) (z ; 1)(z +1) a. Bestem det område i z-planen, hvor g(z) er analytisk. b. Beregn det komplekse integral I g(z) dz C hvor C er cirklen jz ; 1 ; ij = 2. Vis for hvert kritisk punkt (der hvor g(z) ikke er analytisk), om det ligger inden for eller uden for cirklen.

6 Opgave 5 a. Bestem Maclaurin-rækken for funktionen f(z): f(z) = 4 2 ; 1 8 z b. Bestem funktionsværdien for z =0 5 med henholdsvis kun 3 koefficienter i rækkeudviklingen henholdsvis alle koefficienter i rækkeudviklingen. Opgave 6 En periodisk funktion f(t) er for perioden p =4givet ved: f(t) =(1; t) 2 ;2 t<2 a. Skitser f(t) for tre perioder b. Bestem Fourierrækken (altså Fourierkoefficienterne) for f(t). c. Hvis periodelængden p =4svarer til 4 msek, hvilke koefficienter skal så bruges for at bestemme f(t) s amplitude- og fasespektrum ved frekvensen 5 khz? Opgave 7 Funktionen f(t) er givet ved grafen: f(t) t Bestem den Fouriertransformerede af f(t).

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20