MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad = x x x x. udgave 0

2 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer, der er nødvendige for at løse lineære ligningssystemer. Endvidere gennemgås hvorledes man beregner usikkerheden på et sammensat udtryk Regnemidler: I dette notat er der i eksemplerne vist hvorledes beregningerne skal foretages med lommeregneren TI89" og PC-programmerne TI-Nspire og Mathcad. Disse regnemidler kan foretage de sædvanlige matrixoperationer, hvilket betyder, at der ikke lægges vægt på at øve, hvorledes man beregner eksempelvis en invers matrix. Ønskes bevis for en række af sætningerne i notatet kan henvises til lærebogssystemet B. Hellesen, M. Oddershede Larsen : Matematik for Ingeniører Bind 3 kapitlerne 6, 7 og 8, hvor man også i kapitel 9 kan finde en gennemgang af egenværdier m.m. Bøgerne kan i pdf-format findes på adressen På denne adresse findes også en række bøger, der behandler forskellige emner indenfor såvel grundlæggende som videregående matematik og statistik. 7. juli 0 Mogens Oddershede Larsen i

3 INDHOLD Indledning Matricer Regneregler for matricer Matrixregning udført på TI89 og Mathcad Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel Lineære ligningssystemer Determinant Lineære ligningssystemer med parameter Cramers sætning Overbestemt ligningssystem Usikkerhedsberegning Opgaver Facitliste Stikord ii

4 . Indledning Indledning Ved problemer, hvis løsning kræver, at man opererer med et større antal sammenhørende lineære ligninger (førstegradsligninger), kan man med fordel anvende matrixregning. Da det matematiske problem i sådanne tilfælde alene er bestemt af de konstanter, der forekommer i ligningssystemet, og ikke af de betegnelser vi giver de variable, er det praktisk ved behandlingen af ligningssystemerne blot at se på skemaer (såkaldte matricer ) indeholdende konstanterne. Eksempelvis vil man ved behandlingen af ligningssystemet 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = med fordel kunne se på matricerne A = 3 4 (ligningssystemets koefficientmatrix ) B = (ligningssystemets højre side ) T = (ligningssystemets totalmatrix ). Større systemer af ligninger forekommer f.eks. ved mange procestekniske beregninger, hvor man opstiller et system af balanceligninger (stofbalancer, energibalancer, økonomiske balancer, osv.), eller ved beregning af modstande og spændinger i elektriske kredsløb. Et meget enkel eksempel herpå er følgende elektriske kredsløb:

5 Matricer og lineære ligninger Ved benyttelse af Kirchoffs strømlov fås I punktet P: i i + i = 3 0 I punktet Q: i + i i = 3 0 Højre kreds: 0i + 5i = 90 3 Venstre kreds: 0i + 0i = 80 Ligningssystemet der består af 4 ligninger med 3 ubekendte er så simpelt, at man umiddelbart kan løse det. Lidt større kredsløb vil føre til flere ligninger med mange ubekendte, og her vil den følgende matrixteori være nødvendig.. Matricer. Ved en matrix forstås et regulært skema bestående af tal eller bogstavsymboler: De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i denne bog være reelle tal Matricen A = 3 4 har 4 rækker og 4 søjler Man siger kort, at den er en 4 gange 4 matrix (4 x 4) matrix Matricer, der som A har lige mange rækker og søjler kaldes kvadratiske. Matricen B = har 4 rækker og søjle (er en (4 x ) matrix). 0 Matricer, der som B kun har søjle, kaldes også for søjlematricer eller søjlevektorer. Ombyttes rækker og søjler i en matrix C, (. række bliver til. søjle,. række bliver til. søjle osv.) fremkommer C s transponerede matrix Eksempelvis har matricen C = den transponerede matrix C T = T T = Af definitionen følger: ( A ) A. C T

6 3. Regneregler for matricer T = Er A A kaldes A symmetrisk. En symmetrisk matrix må nødvendigvis være kvadratisk. a a... a a a a Mere generelt skrives en matrix A = a a... a n n m m mn De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i dette notat være reelle tal. I skemaets m (vandrette) rækker og n (lodrette) søjler indgår m n tal, nummererede med dobbelte indices, således at første index angiver rækkenummer, og andet index angiver søjlenummer. Elementet a rs står således i den r`te række og den s`te søjle. Man siger kort, at A er en m gange n matrix (skrives m x n) Elementerne a, a, a33..., osv. (dvs. elementerne hvor rækkenummeret = søjlenummeret) siges at udgøre matricens diagonal. 3 0 I C = er c og diagonalen er, 6, 8 3 = D = 5 6 er symmetrisk, da matricen er symmetrisk om diagonalen Regneregler for matricer Lighed To m x n matricer A og B kaldes ens (skrives A = B ), hvis tilsvarende elementer i de to matricer er ens. Eksempelvis er A = 3 og ens. B = Multiplikation af matrix med tal (skalar). For et vilkårligt reelt tal k og en vilkårlig matrix A defineres k A som en ny matrix, fremkommet ved at alle A`s elementer er multipliceret med k. 6 3 Eksempelvis gælder 3 3 =

7 Matricer og lineære ligninger Addition af matricer. Ved summen af to m x n matricer A og B forstås den m x n matrix, der fremkommer ved at tilsvarende elementer i A og B adderes Eksempelvis + = Det ses umiddelbart, at A + B = B + A (den kommutative lov gælder) og A + (B + C) = (A + B) + C (den associative lov gælder) Bemærk: Både A og B skal være m x n matricer. Multiplikation af matricer Lad der være givet to matricer A og B, hvor antallet af søjler i A er lig antallet af rækker i B. Elementerne i matricen C = A B beregnes ved en række-søjle multiplikation, dvs. hvis rækkerne i A opfattes som vektorer, og søjlerne i B ligeledes som vektorer, så fremkommer et element i C ved at rækkerne i A multipliceres skalært med søjlerne i B. Følgende eksempel illustrerer dette. Eksempel 3.. Multiplikation af matricer. 0 5 Lad A = og B =. Beregn A B og B A, hvis det er muligt. 3 7 Løsning: 5 ( ) + + ( ) ( ) 5 ( ) + + ( ) ( ) AB = 3 ( ) ( ) ( ) = B A ikke er defineret. Den nedenfor viste opstilling af matricerne kan gøre regningerne mere overskuelige: Anden faktor Første faktor Produkt Det ses ved udregning, at der gælder A (B+C) = A B+A C (den distributive lov) De fleste af disse regneregler er ganske som regnereglerne for de reelle tal. Bemærk dog, at der ikke gælder nogen kommutativ lov for multiplikation, dvs. vi må normalt forvente, at A B B A 4

8 4. Matrixregning udført på TI89 og Mathcad 4. Matrixregning udført på TI89, TI-Nspire og Mathcad. Skal man eksempelvis løse 0 sammenhørende ligninger med 0 ubekendte, bliver matricerne meget store, og så er det nødvendigt at benytte et matrixprogram. Selv om TI89 sagtens kan regnemæssigt kan behandle 0 ligninger, så er displayet så lille, at det bliver lidt besværligt at overskue løsningen. Her kan det være en fordel at benytte PCprogrammerne TI-Nspire eller Mathcad med en stor skærm. Eksempel 4.. Regning med matricer ved benyttelse af TI89 og Mathcad. 0 5 Lad A = og B =. Beregn A B og. 3 7 A T Løsning: TI89 Matricerne A og B indtastes: APPS, Data/Matrix editor, New, Udfyld Type = Matrix, Variable = A, antal rækker= og søjler = 3, ENTER, ENTER. Udfyld skemaet med matricen A, Home Nu er matricen A indtastet. Tilsvarende oprettes matricen B. Beregn A B: VAR-Link, A, ENTER,,*,VAR-Link, B, ENTER, ENTER Resultat A B A T Beregn. VAR-Link, A, ENTER,CATALOG,t T, ENTER: Resultat (Facit: se eksempel 3.). Bemærk: a) Ofte er matricerne så store, at man i Historik feltet ikke kan se alle resultater. Så må man flytte feltet nedad ved at holde tasten pil opad (se øverste tastrække) nede samtidig med at man bruger piletasten nedad. b) Hvis man i næste opgave ønsker igen at kalde en Matrix A, så må man i VAR-Link først slette den tidligere definerede matrix A. TI-Nspire Matricerne A og B indtastes: Vælg Beregninger,Skriv a:=, Vælg Matricer og Vektorer,Opret,Matrix, antal rækker=, antal kolonner = 3,OK Udfyld skemaet med matricen A, ENTER Tilsvarende oprettes matricen B Beregn A B: Skriv a*b. Resultat som i eksempel 3. Beregn A T : Skriv a, Vælg Transponerer i menu Mathcad Matricerne A og B indtastes: Skriv A, :, Vælg fra Matrix-paletten, matrix, Rows =, Column = 3, ENTER,indsæt tal. Tilsvarende oprettes matricen B. Beregn A B: Skriv på ny linie A*B= Resultat A B A T Beregn : Skriv A vælg på Matrix-paletten M T, ENTER, Skriv =, Resultat Bemærk: Skal man anvende eksempelvis matricen A i et udtryk, skal udtrykket stå under A. Et elememt i matricen A, der står i -række, søjle benævnes, da første række og søjle har numrene 0. A < 0> angiver første søjle i A. A 0, A T A T 5

9 Matricer og lineære ligninger 5. Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel. Vi vil i dette afsnit betragte lineære ligningssystemer, hvor der er lige mange ligninger og ubekendte, og som har netop én løsning. Et eksempel på et sådant ligningssystem er 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = Dette ligningssystem kan nu skrives x 3 4 x = 0 x x4 eller kort K X = H, hvor K = 3 4 er ligningssystemets koefficientmatrix x x X = og H = er ligningssystemets højreside. x3 0 x4 K er kvadratisk, da den har lige mange rækker og søjler For at kunne løse en sådan ligning, ville det være godt, hvis der eksisterede en invers matrix A så A X = B X = A B Ligesom 0 ikke har noget inverst element i de reelle tal, findes der matricer, der ikke har en invers matrix. Ved en invertibel matrix forstås en matrix, der har en invers matrix Ved en singulær matrix, forstås en matrix, der ikke har en invers matrix. Vi vil i dette kapitel kun betragte ligningssystemer, hvor den kvadratiske koefficientmatrix er invertibel. Sammenlignes med en sædvanlig førstegradsligning ax = x = a, a 0 ses, at man må indføre en matrix, som svarer til tallet. 6

10 5. Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel DEFINITION af enhedsmatrix. Ved en enhedsmatrix (skrives E eller ) forstås en kvadratisk n x n matrix, hvor alle elementer i diagonalen er og alle elementer udenfor diagonalen er Eksempelvis er E 4 = en 4 4enhedsmatrix Ved direkte udregning ses, at for en vilkårlig n x n matrix A gælder enhedsmatricen reelle tal. E n E n A E = E A = A, dvs. spiller samme rolle i mængden af kvadratiske n x n matricer, som gør i de DEFINITION af invers (reciprok) matrix. Matricen A, hvis A A = A A = E A A n kaldes invers matrix til matricen Man ser, at spiller samme rolle i forhold til A som f. eks. tallet gør i forhold til tallet. ( = = ). Man kunne forestille sig, at en matrix kunne have flere forskellige inverse matricer. Dette er imidlertid ikke tilfældet: Bevis: Antag, at B og C begge er inverse matricer til A. Vi ville da få B = B E = B ( A C) = ( B A) C = E C = C A dvs. B = C. Ved håndregning at beregne en invers matrix er så tidskrævende, at man altid vil bruge et program (TI89/Mathcad). (Håndregningsmetoden kan ses i Matematik for Ingeniører bind 3,kapitel 7 side 8 eksempel 7.3, hvis man vil vide hvordan). Eksempel 5.. Invers matrix Find den inverse matrix til A = Løsning TI89 Matricen A indtastes som angivet i eksempel A, ^-, ENTER Resultat: / / / / / 6 3 / 6 5/ 6 / 6 / 4 / 3 / 6 Vælg gul tast + ENTER hvis resultat ønskes som decimalbrøk TI-Nspire Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4. A, ^-, ENTER Resultet som ovenfor. Hvis du ønsker decimaltal, så tryk CTRL, ENTER (eller skriv et tal i A som decimaltal). Ønskes eksempelvis kun med decimaler vælg Filer, Indstillinger, Dokumentindstillinger n 7

11 Matricer og lineære ligninger Mathcad Matricen A indtastes som angivet i eksempel 4.. Skriv A, vælg på Matrix-paletten X - ENTER Skriv = hvis du ønsker resultatet som decimalbrøk. Vælg fra evaluation-paletten hvis du ønsker brøker. A Har man først fundet er det hurtigt at finde løsningen til ligningssystemet A X = B, da AX = B A AX = A B EX = A B X = A B Eksempel 5.. Løsning af ligningssystem 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = Løs ligningssystemet x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = Løsning: Vi har A X = B, hvor x A = 3 4 x X = og B =. 0 x x4 Matricerne A og B indtastes som angivet i eksempel 4. TI89: X findes ved indtastning af A ^- * B X fremkommer i displayet. Vi får X =. dvs. x =, x =, x3 = 0, x4 = 0 TI-Nspire: X findes ved indtastning af A ^- * B Mathcad: X:= A B ( A kan ses i eksempel 5. ) 8

12 6. Lineære ligningssystemer 6. Lineære ligningssystemer At et ligningssystem er lineært betyder, at de ubekendte alle er af første grad. Et ligningssystem hvori der forekommer x er således ikke lineært. I kapitel 5 har vi løst ligningssystemer hvor koefficientmatrix var invertibel. Vi vil nu benytte en mere generel metode, som ved såkaldt Gauss-elimination kan løse alle typer af lineære ligningssystemer uanset antallet af ligninger og ubekendte Et eksempel på et sådant ligningssystem er x + 3x x3 = 0 x + 6x 5x3 x4 3x5 = 5x3 + 0x4 + 5x5 = 5 x + 6x + 8x4 + 8x5 = 6 som har n = 4 ligninger med m = 5 ubekendte. Man starter nu med at opskrive ligningssystemets totalmatrix T T = Løsningsmetoden er, at man ved passende såkaldte rækkeækvivalente operationer simplificerer ligningssystemet til et system, hvoraf man let kan finde de ubekendte. Rækkeækvivalente operationer. Et lineært ligningssystems løsningsmængde ændrer sig ikke, hvis a) to ligninger ombyttes - svarende til rækkeombytning i totalmatricen T, b) en ligning multipliceres med en konstant k 0 - svarende til at en række i T multipliceres med k 0. c) en ligning L p erstattes af ligningen L p + k L q - svarende til at den q`te række i T multipliceres med k og adderes til den p`te række ( p q ). Dette kaldes en rækkeoperation i T og skrives kort r p + k r q. To matricer A og B er rækkeækvivalente (skrives A B ), hvis de overføres i hinanden ved èn eller flere af de i punkterne a), b) og c) nævnte ændringer. Echelon - matrix Ideen i den såkaldte Gauss elimination er, at man ved rækkeækvivalente operationer omdanner ligningssystemets totalmatrix til en såkaldt echelon-matrix, hvorefter ligningssystemets løsning er nem at finde. 9

13 Matricer og lineære ligninger En matrix af typen kaldes en echelon-matrix (echelon = trinvis opstilling med skrå front). En sådan matrix er karakteriseret ved ) at rækker, som består af lutter 0`er placeret nederst i matricen. og for de øvrige rækker gælder ) at i en række er det første fra 0 forskellige tal i rækken et -tal. Tallet kaldes for rækkens pivotelement, eller ledende -tal. 3) at for to på hinanden følgende rækker vil pivotelementet i den nederste af de to rækker stå længere til højre end pivotelementet i den øverste af de to rækker. Andre eksempler på echelon-matricer er , 0 7, Bemærk: Ethvert pivotelement har lutter 0`er under sig. Gauss elimination Det følgende eksempel viser Gauss eliminationsmetode på et mindre ligningssystem: Eksempel 6.. Gauss elimination Løs ligningssystemet x 6x + 4x3 = 0 3x + x 3x3 = 7x 0x + 5x3 = Da der er lige mange ligninger og ubekendte kunne man umiddelbart fristes til at finde den inverse matrix. Forsøges dette fås udskriften ERR: SINGULAR MAT (Dette skyldes, at L3 = L + L, så reelt er der kun ligninger med 3 ubekendte) Vi reducerer nu totalmatrix til echelon-form r 3r r r3 7r r3 r r

14 6. Lineære ligningssystemer x 6x + 4x3 = 0 x 3x x3 5 Vi har: 3x + x 3x3 = + = 9 4 x x 3 = 7x 0x + 5x3 = Der er følgelig uendelig mange løsninger, idet en af de variable kan vælges frit. x 4 9 ( 4 9 ) 3 Vælges som fri variabel fås x = + x, x = x x eller x = + x, x = + x3, x3 fri For større ligningssystemer er det meget tidsbesparende at benytte et program der kan omdanne en matrix til en echelon matrix. Imidlertid er det her arbejdsbesparende at reducere matricen yderligere ved at skaffe 0'er også over pivotelementerne. Metoden forkortes til rref ( reduced row echelon matrix) Vi viser dette på samme ligningssystemet som i eksempel 6. Eksempel 6.. Gauss elimination ved TI89 og Mathcad. Løs ligningssystemet x 6x + 4x3 = 0 3x + x 3x3 = 7x 0x + 5x3 = Løsning: Totalmatricen indtastes Lad matricens navn være T. TI89: MATH, 4:MATRIX, ENTER, 4:rref, VAR-Link, T, ENTER, ), ENTER 0 5/ 3/ Der fremkommer følgende rref echelon matrix: 0 9 / 4 / eraf fås x = + x3, x = + x3, x fri altså samme facit som i eksempel TI-Nspire: Skriv rref(t) eller benyt Matrix og Vektorer, Reduceret række echelon form, t. Facit som ovenfor Mathcad: Skriv rref (T ) hvis man ønsker brøker eller rref (T )= hvis decimaltal. Anden mulighed er i værktøjslinien at vælge f(x) og i den fremkomne menu vælge Vector and Matrix og derefter rref Et lineært ligningssystem kan have netop løsning, uendelig mange løsninger, eller ingen løsninger. Hvis koefficientmatrix K er invertibel (dvs. K, der har en invers matrix ) så er der netop én løsning (jævnfør eksempel 5.) Hvis K er singulær, så har ligningssystemet uendelig mange løsninger, eller ingen løsninger.

15 Matricer og lineære ligninger Hvis koefficienterne er konkrete tal som i eksempel 6. er det simpleste at omdanne totalmatrix til en rref-echelonmatrix, og på det grundlag løse ligningssystemet. Det vil så umiddelbart fremgå hvad løsningsmængden er. Indgår der i ligningssystemet en parameter kan man imidlertid komme til at overse et specialtilfælde. Et eksempel herpå vises i eksempel 8.. Eksempel 6.3 Ligningssystemers løsninger Lad der være fundet følgende echelonmatricer A= 0 3, B = 0 7, C = 0 0 5, D = Angiv om det tilsvarende ligningssystem har løsning, ingen løsning eller uendelig mange løsninger. Hvis der er uendelig mange løsninger skal angives antallet af frie variable (variable der kan angives frit) Løsning: A: Netop én løsning, da der er et pivotelement i alle tre rækker i koefficientmatricen. B: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 3 er større end antallet af ligninger n =. Antal parametre er m - n = (jævnfør eksempel 6.) C: Ingen løsning, da en række har lutter 0 -er i koefficientmatricen, men et tal forskelligt fra nul på højre side ( 0 x = ). D: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 4 er større end antallet af ligninger n =. Antal frie variable er m - n = Rang af matrix Rangen af en matrix er lig med antallet af uafhængige rækker i matricen. Rangen er derfor lig med antallet af ikke-nul rækker i en tilsvarende echelon-matrix. Rangen af A skrives kort ρ( A) eller rang(a). Eksempel 6.3 (fortsat) ρ( A) =3 rang( koefficientmatrix) = 3, antal ubekendte=3 så netop løsning ρ( B ) = rang(koefficientmatrix)=, antal ubekendte = = fri variabel ρ( C ) = 3 rang( koefficientmatrix) = : antal ubekendte =3. Da < 3 så L=Ø ρ( D ) = rang( koefficientmatrix) =: antal ubekendte = = fri variable. Vi vil illustrere de forskellige løsningsmuligheder ved yderligere to eksempler.

16 6. Lineære ligningssystemer Eksempel 6.4. Netop en løsning (= eksempel 5.) 3x 4x3 x4 = 3x x 4x3 x4 = Løs ligningssystemet x x3 x4 = 0 x + 3x 3x4 = Løsning: Totalmatrix T indtastes A = rref(t) = Heraf ses, at x =, x =, x = 0, x = 3 4 Eksempel 6.5. Uendelig mange løsninger Løs ligningssystemet x + 3x x3 = 0 x + 6x 5x3 x4 3x5 = 5x3 + 0x4 + 5x5 = 5 x + 6x + 8x4 + 8x5 = 6 Løsning: Totalmatricen er T = Totalmatricen indtastes. rref(t) = / Da rang(k) = rang(t) = 3 og antal ubekendte er 5, er der 5-3 = fri variable Vi får: x 5 =, x + x = 0 x = x, x + 3x + 4x = 0 x = 3x 4x 4 4 ( x, x, x, x, x ) = ( 3x 4x, x, x, x, )

17 Matricer og lineære ligninger Eksempel 6.6. Ingen løsning Løs ligningssystemet x + x x3 = x + 3x 3x3 = 4 x x3 = x x x3 = Løsning: Totalmatricen er T = rref(t) = Da rang(k) = 3 < rang(t) = 4 har ligningssystemet ingen løsning. (nederste ligning giver 0 x = ) 7. Determinant 3 Til enhver kvadratisk n n matrix A hører et tal kaldet determinanten for A. Determinanten skrives kort det(a) eller A Vi kender allerede for en matrix determinanten, idet a a a a = a a a a Vi kender også dens geometriske betydning, idet determinanten numeriske værdi er arealet af det r a parallelogram der udspændes af de to rækkevektorer a = og r a a = a a r r Hvis determinanten er 0, vil de to vektorer være parallelle, dvs. a = k a. Det er overkommeligt på tilsvarende måde at udregne determinanten for en 3 3 determinant, hvis numeriske værdi er rumfanget af det parallelepipedum, der udspændes af de tre rækkevektorer. Er determinanten 0 vil rumfanget være 0, dvs. vektorerne ligger i samme plan, hvilket igen vil sige, at den ene vektor kan udtrykkes ved de to andre a r k a r k a r = + 3 Man siger, at de 3 vektorer er lineært afhængige. Generelt gælder, at hvis determinanten 0 er søjlevektorerne (og rækkevektorerne) lineært afhængige. 4

18 7. Determinant Beregningen af en determinant for en vilkårlig kvadratisk matrix kan principielt udføres på nedenfor beskrevne måde,(se eventuelt Matematik for Ingeniører bind 3, kapitel 8 for nærmere begrundelser), men er antal rækker stort, bliver regningerne så tidskrævende, at man må bruge et program. Værdien af en determinant. Værdien beregnes efter følgende forskrift: ) Man udvælger en bestemt række r eller en bestemt søjle s ) For hvert element i den valgte række eller søjle dannes et produkt af følgende 3 faktorer a rs a) Elementet a rs selv. b) Elementets underdeterminant D rs, dvs. den determinant der fremkommer ved at slette både den række og søjle, hvori elementet indgår. + c) Tallet ( ) r s 3) det(a) r+ r + r + ( ) ar Dr + ( ) ar Dr ( ) arn Drn 4) De fremkomne underdeterminanter opløses på tilsvarende måde, og sådan fortsættes til man når ned på determinanter,som kan udregnes direkte. Eksempel 7. Beregning af determinant ved håndregning Beregn ved håndregning determinanten D = Løsning: Man finder en række eller søjle med mange 0-er. Her vælges 3 række Vi har D = ( ) ( ) ( ) De underdeterminanter efter henholdsvis 3 række og række (fordi der er et 0 i disse rækker). 3+ D = ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) Vi kan nu udregne de 4 determinanter 3 ( 8 4) 3 ( 8) ( 3) ( 9 ) ( 9 ) = + 60 ( 33 7) = 0 D = ( ) Eksempel 7.. Beregning af determinant med TI89 og Mathcad Beregn determinanten D = Løsning: Matricen indtastes. Lad matricens navn være B. TI89: MATH, 4:MATRIX, ENTER, : det( B, ) ENTER Resultat: 0 TI-Nspire: Skriv det(b) Mathcad: Vælg på Matrix-paletten X Indsæt D Det kan vises Sætning 7.. Invertibel matrix A er invertibel det( A) 0 Denne sætning er nyttig til at afgøre om en kvadratisk matrix er invertibel ( benyttes i næste afsnit). 5

19 Matricer og lineære ligninger 8. Lineære ligningssystemer med parameter. Benytter man eksempelvis Laplacetransformation til løsning af et differentialligningssystem, fremkommer et lineært ligningssystem, hvor koefficienterne sædvanligvis vil indeholde parameteren s, altså ikke alle være reelle tal. Ligningssystemer som indeholder én eller flere parametre vil ofte give anledning til, at der for visse værdier af parametrene vil være specielle løsninger, f.eks. at der ingen løsninger er, eller der er uendelig mange. Regner men i hånden skal man derfor i forbindelse med reduktion til en echelon-matrix være opmærksom på, om man for visse værdier af parameteren dividerer med 0, da det så giver anledning til en undtagelse. Benyttes et program, og er der lige mange ligninger og ubekendte, vil det sikreste være først at finde de værdier af parametrene, hvor determinanten af koefficientmatrix K er nul, da det viser, hvor ligningssystemet er singulært (ikke regulært). Hvis man kun anvender rref-echelon-metoden, kan man risikere at overse en værdi af parameteren a, der gør K singulær. Eksempelvis vil echelon-metoden reducere ( a ) x4 = 5( a ) x4 = 5 og derved vil man overse, at a = gør K singulær. Dette illustreres i eksempel 8. Eksempel 8. Ligningssystem med parameter Find for enhver værdi af parameteren a løsningen til ligningssystemet x + x + ax3 = x + ax3 = x + 6x + 4x3 = 3 Løsning: Da koefficientmatrix er kvadratisk, beregnes først determinanten for koefficientmatrix, for at finde de værdier af parameteren a for hvilke ligningssystemet er singulært. a Koefficientmatrix K = 0 a indtastes på sædvanlig måde. 6 4 Determinanten af K beregnes (som i eksempel 7.): Resultat: K = 8( a ). Heraf ses, at K = 0 a =. Vi må derfor dele op i tilfælde a og a =. Højre side B af ligningssystemet indtastes på sædvanlig måde. Totalmatricen kan nu fås ved ordren augment (K,B) 6

20 TI 89: rref(augment(k,b) ) Resultat: x augment findes under MATH, Matrix 0 0 3/ ( a ) 0 0 ( a ) 0 0 ( a ) 3 = x = x = ( a ), ( a ), ( a) 3 8. Lineære ligningssystemer med parameter for a Sættes a = ind i totalmatricen (augmenr(k,b), fås analogt echelon-matricen Af nederste ligning 0 x = ses, at ligningssystemet ingen løsning har. 3 TI-Nspire Skriv rref(augment(k,b) resultat som ovenfor Mathcad: rref af en matrix, der indeholder en parameter kan jeg ikke få til at virke. Derfor må vi benytte X:=K - B, hvilket giver ovennævnte løsning, dog skrevet noget mere kompliceret. Vi kan nu sætte a= ind i K og benytte rref(augment(k,b)) (augment kan findes i værktøjslinien at vælge f(x) og i den fremkomne menu vælge Vector and Matrix og derefter augment ) At det virkeligt er nødvendigt først at se på diskriminanten ses af følgende eksempel. Eksempel 8. Ligningssystem med parameter Til beregning af 4 størrelser x, x, x3 og x 4 er opstillet følgende ligningssystem: x x + ( a 3) x3 + ( a + ) x4 = 3 x + x + ( a ) x3 = a ( a ) x + a x + ( a 3) x4 = a 3 x + x + ( a + ) x3 x4 = a Løs ligningssystemet for alle værdier af a. Løsning: Først beregnes determinanten til koefficientmatrix K = a 3 a + a 0 a a 0 a 3 3 a + Koefficientmatrix K og højre side B indtastes på sædvanlig måde. Man får det(k) = a ( a ) ( a + ) Heraf ses, at K er singulær for a = 0, a= og a = -. 7

21 Matricer og lineære ligninger TI 89+TI-Nspire: Vi får nu totalmatricen T ved T:=augment(K,B) Vi får for a 0 a a 3a a a x = + a 4 x = ( + ) ( + ), ( a + 4) + 8, x = x a( a + ) a( a + ) a( a + ), 3 4 Som det ses ville vi her ikke opdage, at der er en singularitet for a =. Mathcad: Her skrives X:= K B og man finder i princippet ovennævnte løsning, men dog reduceret lidt anderledes Vi indsætter nu a= 0 analogt som i eksempel 8. og finder :Ingen løsninger Derefter indsættes a = - og man finder igen Ingen løsninger 7 Endelig indsættes a= og man finder uendelig mange løsninger x =, x = t, x = 5+ t, x = t 4 = a 3 9. Cramers sætning (determinantmetoden). I kapitel 4 løste vi et ligningssystem med lige mange ligninger og ubekendte hvor koefficientmatrix var invertibel. Dette er den hurtigste metode, hvis man ønsker at finde alle de ubekendte. Hvis man kun ønsker at finde en enkelt variabels værdi f.eks. x 5 kan denne determinantmetode (Cramers metode) dog være velegnet. Endvidere har den stor teoretisk interesse. Cramers sætning. Lad der være givet et ligningssystem A X = B, hvis det( A) 0. x k Den ubekendte findes som forholdet mellem determinanter. Nævneren er determinanten af A og tælleren er determinanten af den matrix, som er A bortset fra, at den k te søjle er erstattet af ligningssystemets højre side. Det følgende eksempel illustrerer metoden. Eksempel 9.. Determinantmetoden eller Cramers metode. Find af ligningssystemet x x + x x3 + x4 = x + 3x 3x3 = 4 x x3 + x4 = x + x + 3x4 = Løsning: x = De to matricer svarende til tæller og nævner indtastes benævnes A og B. Man beregner nu det(a)/det(b) Resultat x = 8

22 . Usikkerhedsberegning 0. Overbestemt ligningssystem I de foregående afsnit har vi antaget, at ligningssystemets konstanter er eksakte tal. I tekniske anvendelser er tallene ofte behæftet med måleusikkerhed og lignende, og så vil løsningen naturligvis heller ikke blive eksakt. For at mindske fejlen, benytter man ofte ekstra ligninger, som vist i følgende eksempel (og løser dem ved mindste kvadraters metode ). Eksempel 0.. Overbestemt ligningssystem. På et laboratorium analyseres en blanding af tre organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet spektrum. Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c og c c c c3 = c c c3 = c c c3 = (for overblikkets skyld er her valgt nemme tal). Ligningssystemet har netop én løsning, men da konstanterne er behæftet med uundgåelige småfejl (målefejl m.m.), ønsker man at forbedre nøjagtigheden af løsningen ved at foretage nogle ekstra målinger. Lad os for simpelheds skyld antage, at der kun forekommer yderligere én ligning: 00. c c c3 = Den sidste ligning burde være en linearkombination af de tre første, men på grund af målefejlene er dette sjældent tilfældet, så det samlede ligningssystem har normalt ingen eksakt løsning. Opgaven er nu at finde et talsæt ( c, c, c ), som tilfredsstiller ligningssystemet bedst muligt, 3 dvs. således at residualerne (resterne) r, r, r3 og r 4 givet ved r = 00. c c c r = 00. c c c () r3 = 00. c c c r4 = 00. c c c bliver mindst mulige. Ved mindste kvadraters metode skal talsættet vælges således, at ( 3 4 ) RMS-fejlen r + r + r + r bliver mindst mulig (RMS = root mean square error ). 4 Bemærk, at RMS vedrører fejl på ligningerne og ikke fejl på løsningen ( c, c, c3). ADVARSEL: Det oprindelige ligningssystem må ikke ændres ved at man f.eks. multiplicerer en ligning med 0, da det jo ganger residualet med 0 (ligningen indgår med en anden vægt ) SÆTNING 0. (løsning til overbestemt ligningssystem ). For et overbestemt ligningssystem A X = B vil den løsning, som giver mindst mulig RMS-fejl på ligningssystemet, være en T T eksakt løsning til det såkaldte normalligningssystem A AX = A B, dvs. X A T T = ( A) ( A B) Sætningen anføres uden bevis (se eventuelt Matematik for ingeniører bind 3 side 85-87) 9

23 Matricer og lineære ligninger T I sætningen indgår A A. Er A eksempelvis 4 3 fås Det ses, hvad gælder generelt, at matricen Beregning af A T : Se afsnit A T A = = Formlerne, der skal anvendes ved benyttelse af regnemidler er: C A T T = A ( A B ) Koefficienter ( ) Residualer:D = A* C - B RMS: RMS = T det( D * D) n A T hvor n er antal rækker i B A er kvadratisk og symmetrisk (om diagonalen). Eksempel 0.. Overbestemt ligningssystem (fortsættelse af eksempel 0.). ) Find den løsning til ligningssystemet 00. c c c3 = c c c3 = c c c3 = c c c3 = som giver mindst mulig RMS-fejl. ) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen. Løsning: ) ( T ) X = A A ( A B) T Koefficientmatrix A og højre side B indtastes. T TI89 A A ( T A B ) STO C ( ) T TI-Nspire: ( ) Mathcad: ( T ) C: = A A ( A B) T C = A A ( A B ) 9 / 5 Resultat: som er blevet gemt i matricen C. 3 / 5 Heraf fås c = 8., c =, c = T 0

24 . Usikkerhedsberegning ) Ved håndkraft beregnes resudialerne ved indsætning i de oprindelige ligninger: r = = 0. 0 r = = r 3 = = 0. 0 r 4 = = RMS = 4 Benyttes regnemidler anvendes formlerne Residualer:D = A* C - B det( D * D) RMS: RMS = n TI89: A*C-B STO D RMS: T = hvor n =4 er antal rækker i B (ABS(, Math,Matrix, det(d,math,matrix,t*d)/4) TI-Nspire D:=A*C-B RMS:Under matematikskabeloner findes, numerisk tegn * * Mathcad D: A*C_B RMS: Uunder skabelonerne Calculos og Matrix findes de nødvendige tegn Eksempel 0.3 Regressionsmodel Ved et fysisk forsøg har man målt følgende sammenhørende værdier af x og y. x y Punkterne tegnes ind i et koordinatsystem Der fås følgende figur: Punkterne ligger næppe på en ret linie, men snarere på en hyperbel. b Man vælger derfor modellen y = a + (). x Bestem ved mindste kvadraters metode konstanterne a og b.

25 Matricer og lineære ligninger Løsning: Indsættes punkterne i ligning () fås følgende 9 ligninger. b a + = 5. b a + = 34. b a + =. 9 3 b a + =. 7 4 b a + =. 6 5 b a + =. 5 6 b a + =. 4 7 b a + =. 3 8 b a + =. 9 Koefficientmatrix A og højre side B indtastes, og man bestemmer a og b af det overbestemte ligningssystem: ( T ) X = A A ( A B) T Vi får: dvs. kurven bliver y = x Grafen tegnes i TI89, TI-Ninspire eller Mathcad, sammen med punkterne Nedenfor er kurven indtegnet i Mathcad,, og man ser, at punkterne ligger tilfældigt og tæt omkring kurven. At punkterne ligger tæt og tilfældigt omkring kurven kan også indses ved at beregne residualerne, og eventuelt RMS-fejlen. Ti 89 og TI-Nspire har et udmærket statistikprogram, hvor man bl.a. kan udføre regressionsanalyse på forskellige modeller.

26 . Usikkerhedsberegning. Usikkerhedsberegning Ved enhver måling kan den fysiske størrelse aldrig måles eksakt. Målingen behæftes altid med en vis usikkerhed. Det kan skyldes usikkerhed på objektet, måleinstrumentet, brugeren af instrumentet osv. Systematiske fejl er fejl, hvor man eksempelvis har glemt at korrigere for temperaturens indflydelse på måling af et stofs hårhed. Er målingen befriet for systematiske fejl, er der kun tilbage tilfældige fejl. Eksempelvis vil der ofte på et instrument være anført en instrumentusikkerhed, som viser hvor nøjagtigt instrumentet kan måle. En sådan usikkerhed kan eksempelvis findes ved at man foretager en måling flere gange eventuelt af forskellige personer.. Maksimal usikkerhed Den maksimale usikkerhed x er så defineret som den numerisk største afvigelse mellem en målt værdi og gennemsnittet. Er eksempelvis en temperatur angivet som ± 0.05 menes hermed, at i værst tænkelige tilfælde kunne målingen være eller Eksempel.. Maksimal usikkerhed Lad x = 53 ± m og y = 5 ± m Den maksimale usikkerhed på x - y er da 3m, dvs. x-y = 8 ± 3 m Den maksimale usikkerhed kan man sædvanligvis let beregne i den konkrete situstion, men for forståelsens skyld vil vi her udlede en formel, der i visse vanskelige tilfælde kan lette beregningen. Lad os først se på det lineære tilfælde, at y = ax+b, hvor a > 0 Har x den maksimale usikkerhed x, så er y + y = a(x+ x) + b]y + y=ax+b + aa x Ved at trække de to ligninger fra hinanden fås, at y=aa x Da vi ønsker, at y > 0, så haves y=*a*a x, hvor a er liniens hældningskoefficient. 60x Hvis der nu er tale om et mere kompliceret som eksempelvis y = x, så er det jo ikke helt x + simpelt at finde den maksimale usikkerhed på y. Hvis x = x 0 + x så vokser både tæller og nævner, og hvad bliver så den maksimale usikkerhed på y. Man gør nu det, at man erstatter kurven med sin tangent i punktet (x 0,y 0 ). Da tangenten jo ligger tæt ved kurven når vi ser på x-værdier tæt ved x 0, så vil fejlen herved være lille, hvis x er lille. dy Da tangentens hældning er differentialkvotienten i x 0, så gælder y = x. dx 3

27 Matricer og lineære ligninger Eksempel. Maksimal usikkerhed 60x Lad y = x, og lad x= ± x x + Find y=y 0 ± y Løsning: dy Vi finder differentialkvotienten i punktet x =. dx Ti89: differentialet d står over 8-tallet : d(60@x/(x+)-@x,x)*x= Resultat 5.5 den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses forudsat at TI-Nspire: Beregninger, differential og integralregning, differentialkvotient i et punkt, Udfyld menu med y og x, ENTER, skriv udtryk ind, ENTER Mathcad: Skriv x := d Nedenunder vælg fra menu Calculus Enter og udfyld parantes med funktionen dx Vi har nu y = x 60 y 0 = dvs y = x + = Nu vil udtryk i praksis sjældent var funktioner af kun variabel Eksempel.3. To variable. Insektpulver sælges i papkartoner. Lad x være vægten af pulveret, mens y er vægten af papkartonen. I middel fyldes der 500 gram insektpulver i hver karton med en maksimal usikkerhed på 5 gram. Kartonen vejer i middel 0 gram med en maksimal usikkerhed på.0 gram. z = x + y er da bruttovægten. Find den maksimale usikkerhed på z. Løsning: Det ses umiddelbart, at den maksimale usikerhed på z er z= x + y. Vi ser vi nu på det lineære tilfælde: z = ax+by+c, hvor a > 0 og b > 0 På samme måde som ved variabel kan vi se, at z = a@ x + b@ y Da vi ønsker, at z > 0, så haves mere generelt, at z=*a*a x +*b*a y Hvis man for funktionen z = f ( x, y) holder y konstant på værdien y 0, så vil f ( x, y0 ) være en funktion af én variabel x. Er denne funktion differentiabel, så kan man på sædvanlig måde finde dens aflede funktion. Denne f kaldes f s partielle afledede med hensyn til x og skrives eller. x ( x, y 0 ) f x ( x, y0 ) f Tilsvarende defineres f s partielle afledede med hensyn til y. y f d f Tegnet læses "blødt d" og markerer, at funktionen har flere variable. Dette indebærer nemlig, at (i modsætning til ) x d x ikke uden videre kan opfattes som en brøk i beregninger. 4

28 . Usikkerhedsberegning z z Det ses umiddelbart, at for den lineære funktion z = ax+by+c da er = a og = b, dvs vi x y z z har, at z = x + y x y Lad f(x,y) være en differentiabel funktion af variable. Grafen z = f(x,y) for en sådan funktion er i et rumligt x,y,z-koordinatsystem en flade. Lad z = f ( x, y ).(se figur.) Lad k være skæringskurven mellem planen y = y 0 og grafen for og Tx være tangenten til k med røringspunkt i ( x, y ). Tilsvarende er k 0 0 er skæringskurven mellem planen x x og grafen for f og T y er = 0 tangenten til k. Fig... ( x, y ) 0 0 Tangentplan i Den plan, som er bestemt ved tangenterne T x og T y kaldes tangentplanen for grafen for f i punktet ( x, y ). 0 0 En sådan tangentplan følger fladen tæt i en lille omegn af punktet ( x0, y0 ). Vi kan derfor tillade os, at beregne den maksimale fejl af formlen z f forudsat fejlene x og y er små x x y x + f (, ) ( y x, y ) y f f Koefficienterne og kaldes så f s følsomhed overfor fejl på henholdsvis x og y. x y Ved den relative fejl forstås z z 0 5

29 Matricer og lineære ligninger Eksempel.4. Fejlvurdering. Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3 ± 0. cm og h = 0 ± 0. cm ) Find den maksimale absolutte fejl på hullets volumen V = π r h ) Find den maksimale relative fejl på V 3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h? Løsning. ) Håndregning: V V = π r h og dermed for r = 3 og h = 0, er π r r = 0 = V h = π r og dermed for r = 3 og h = 0, er Den maksimale absolutte fejl på hullets volumen V: V = 8. 7 h r Indsættes h = 0. og r = 0, fås V = 43.4 ) V = Den maksimale relative fejl er dv V = 7. 7% V π h = 9 = ) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dv dv = > = 8. 7 dr dh TI89: πar^ah STO v STO står i række for neden, ) d(v,r)*r=3 and h=0 differentialet d står over 8-tallet : den lodrette streg står til venstre i fjerde række for neden og kan læses forudsat at and står i Catalog Resultat 0 π d(v,h)*r=3 and h=0 Resultat 9 π 0A πa0.+9a πa0. Resultat ) v r=3 and h=0 Resultat 80 π 43.35/(80 π) = =7.7% TI-Nspire: v:=πar^ah d Vælg differentialkvotient og skriv r=3 and h = 0 dr v) Derefter som under TI89 Mathcad: v:=πar^ah Skriv kun : så kommer := skriv r := 3 h:=0 d nedenunder dr v) d dr v) Regningerne foregår nu som ovenfor. Formlen er ikke mere kompliceret end man kan regne den maksimale fejl direkte V = π π 3 0 =

30 . Usikkerhedsberegning.:Statistisk usikkerhed Ved den statistiske usikkerhed regner man populært sagt med at fejlene til en vis grad ophæver hinanden. Betragter vi således igen eksempel. hvor vi fyldte insektpulver i kartonner Vægten x af pulveret var 500 g ± 5 g og vægten y af kartonet var 0 g ± g. Bruttovægten z = x +y Det er rimeligt at antage, at vægten af pulveret og vægten af papkartonen er uafhængige (påfyldningen kan tænkes at ske maskinelt, uden at den er afhængig på nogen måde af hvilken vægt, kartonen tilfældigvis har). Det må derfor ofte forekomme, at eksempelvis vægten er over 500 g mens det tilsvarende karton har en vægt under 0 g, så bruttovægten ligger tæt ved de 50. Man vil derfor sædvanligvis give z en mindre usikkerhed end den maksimale usikkerhed på 6 g. Denne usikkerhed benævned statistisk usikkerhed og skrives her kort σ(z) (sigma). Hvis z = a@x + b@y +c hvor x og y er statistisk uafhængige størrelser. så kan man vise, at der gælder ophobningsloven σ( z) = a ( σ( x)) + b ( σ( y)) Anvendes loven på bruttovægten z = x + y fås σ( z ) = 5 + = 6 = 5. Vi vil derfor nu sige, at bruttovægten er z = 50 ± 5. Ved mere komplocerede udtryk, vil vi ligesom i afsnit 0. erstatte fladen med sin tangentplan Lad z = f(x,y) være en differentiabel funktion af variable. Da ved vi, at vi kan erstatte a og b i ophobningsloven med de partielle afledede, så vi får f f σ( z) = ( x, y ) ( σ( x)) ( x, y ) ( σ( y)) + x x Eksempel.6. = eksempel.4 Et cylindrisk hul med radius r og højde h bores i en metalblok. Man ved, at r = 3 ± 0. cm og h = 0 ± 0. cm ) Find den statistiske usikkerhed på hullets volumen V = π r h ) Find den relative fejl på V 3) Har V størst følsomhed overfor r eller overfor h? Løsning V ) Fra eksempel.4 haves π og r = 0 = 376. V 99 π h = 9 = 8. 7 Af ophobningsloven følger så, at usikkerheden på V er ( ) ( ) σ( V ) = 376, 99 ( 0. ) ( 0. ) = 38. ) V = Den relative fejl er σ( V ) 38 =. = = 6. 7% V ) V har størst følsomhed over for fejl på r, da dv dr Ophobningsloven kan udvides til funktioner af mange variable. Til illustration af det vil vi se på følgende eksempel. dv = > = 8. 7 dh 7

31 Matricer og lineære ligninger Eksempel.7 Usikkerhed på sammensat udtryk Måles trykket P, volumenet V og temperaturen T af en ideal gas, optræder der tilfældige målefejl, som gør værdierne usikre. Beregnes molantallet n nu af ligningen P V P V = n R T n =, bliver værdien af n derfor også usikker. Vi ønsker at kunne R T beregne usikkerheden på n ud fra usikkerhederne på P, V og T. Gaskomstant R = J K mol. P = 3400 Pa, V = 567. m 3, T = 678 K med usikkerheder σ ( P ) = 000 Pa, σ ( V ) = m 3 og σ ( T ) = 3 K. Det kan antages, at måleresultaterne for P, V og T er statistisk uafhængige. a) Find molantallet n, b) Usikkerheden σ ( n) c) Den relative usikkerhed rel( n). Løsning Håndregning: P V a) n = = = 4. mol R T n V 567. n P 3400 b) = = = = = = 895. P R T V R T n P V = = = T R T n n n σ ( n) = σ ( P) σ ( V ) σ ( T) + P + V T = = 74. mol, σ ( n) c) Den relative usikkerhed rel( n) = = = %.. n 4. Hvorledes man finder partielle afledede i de forskellige regnemidler ses i eksempel.4, så her kun for TI 89 p*v/(8.34*t) STO n a) n v=5.67 and p=3400 and t=678 Resultat n = 4. b) d(n,p) v=5.67 and p=3400 and t=678 STO a d(n,v) d(n,t) v=5.67 and p=3400 and t=678 STO b v=5.67 and p=3400 and t=678 STO c ((a*000)^+(b*0.06)^+(c*3)^) Resultat σ( n ) = 743. c) rel(n) =.743/4. = =.4% 8

32 Opgaver OPGAVER Opgave Idet A = og, skal man undersøge om følgende relationer gælder: 0 B = 0 ) ( A + B) = A + AB + B. ) A B = ( A + B)( A B). Foretag beregningerne uden brug af lommeregner. Opgave Lad A = og. 0 B = 0 Beregn A + 3B + 5A B, A B T og A B uden brug af lommeregner Opgave 3 3 Lad A =. 3 Udregn A A 9 A og A A 9E, hvor E er en 3 x 3 enhedsmatrix. Opgave Lad A = B og 3, = C = Vis, at A B = A C ( trods det at B C ). Opgave 5 Lad A = og. Find. og B = 3 4 T T 3 A, ( B ), ( AB ) ( BA T ) Opgave 6 0 Lad A = 0 0 og B = Find ( ) T T T A + B, B + A, AB, BA, A B, A, B, A og ( ) AB 9

33 Matricer og lineære ligninger Opgave 7 Find den inverse matrix til hver af de følgende matricer: 0 0 ) ) 3) Opgave Lad A = 0 0. Find og A ( A T ) Opgave Lad der være givet en invertibel matrix A = Idet B =, skal man løse matrixligningen AX = B. Opgave 0 På et laboratorium analyseres en blanding af 4 organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet-spektogram. Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c, c3 og c 4 ( millimol / liter ) : 5. 00c c c4 = c +. 00c c4 = c c c3 = c c c4 = Find c, c, c3 og c 4. 30

34 Opgave x + x + 5x3 + x4 = 3 x + x + 4x3 + x4 = 6 Løs ligningssystemet x + 3x + 3x3 + x4 = 4 3x + 3x + 3x3 = Opgave. Mellem variablene x og y gælder den teoretiske sammenhæng y = A + Bx + Cx 3 + D x Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x 0 3 y Opstil 4 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C, D og find derpå A, B, C og D. Opgave 3. x + 4x + 3x3 + x4 = x x x3 x4 = Løs ligningssystemet : x + 4x + 6x3 + x4 = 4 x + 4x + 6x3 + 3x4 = 5 Opgave 4. x x x4 = 4 x + x + x3 + 3x4 = Løs ligningssystemet x 3x 3x4 = 3 x x + x3 + x4 = 3 Opgave 5 Man ønsker at fremstille 0 ton af en næringsblanding bestående af 5 komponenter: komponent skummetmælk kartofler æbler sojamel ønsket blanding mængde (ton): x x x 3 x 4 0 Opgaver kulhydrat pr 00 g protein pr 00 g C-vitamin pr 00 g For at kunne bestemme x, x, x3 og x 4, således at den færdige blanding får det ønskede indhold af kulhydrater, protein og C-vitamin, opstilles ligningssystemet: mængde: x + x + x + x = 0 kulhydrat: protein: 3 4 5x + 0x + 0x + 5x = x + 3x + 36x = 60 4 C vitamin: x + 0x + 7x3 = 60 Løs ligningssystemet. 3

35 Matricer og lineære ligninger Opgave 6 Løs ligningssystemet Opgave 7. Løs ligningssystemet x + 4 x x3 = 5 5x + x 3x3 = x + x + x3 = x + 5x = 7 x + 4 x 3x3 + x4 = 3 x x + x3 + x4 = 3x + x x3 + 3x4 = 4 7x + x x3 + 3x4 = 4 Opgave 8 Indledningen (med petit) kan overspringes, da den ikke er nødvendig for opgavens løsning. Indledning. En fabrik får til opgave at fremstille et produkt, der bl.a. skal indeholde 3. kg af stoffet I, 3.6 kg af stoffet II og 3.3 kg af stoffet III. Råstoffernes A, B, C og D s procentiske indhold af I, II og III fremgår af nedenstående tabel. A B C D I 0% 50% 30% 0 % II 0% 40% 30% 0% III 30% 0% 0% 50% Forudsat at alle råstofferne kan udnyttes, ønsker man at finde de antal kg x, x, x3 og x 4 af henholdsvis A, B. C og D, der skal benyttes ved fremstillingen. Specielt ønskes angivet den af de mulige løsninger, der giver det mindste forbrug af det dyre råstof A. x + 5 x + 3x3 = 3 Givet ligningssystemet x + 4x + 3x3 + x4 = 36 3x + x3 + 5x4 = 33 ) Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet. ) Idet det antages, at x 0, x 0, x3 0, og x 4 0, skal man angive den løsning til ligningssystemet, der har den mindste værdi af x. 3

36 Opgaver Opgave 9 En virksomhed fremstiller 4 typer produkter,, 3 og 4. Under tilblivelsesprocessen skal hvert produkt passere igennem alle virksomhedens 3 afdelinger, men beslaglægger her kapaciteten i forskellig grad: afdeling afdeling afdeling 3 Lad x j enhed af type enhed af type enhed af type 3 enhed af type 4 5 % 0 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 0 % 5 % 0 % betegne antal producerede enheder af type j i en uge. Såfremt hver afdelings kapacitet skal udnyttes fuldt ud i denne uge, må der gælde: afdeling : 5x + 0x + 0x + 5x = afdeling : 0x + 5x + 0x + 5x = afdeling 3: 0x + 0x + 5x3 + 0x4 = 00 ) Vis, at ligningssystemet har en uendelighed af løsninger og angiv herunder den fuldstændige løsning ved hjælp af en parameter t. Hvilke værdier af t kan forekomme i virkeligheden (husk, at x 0, x 0, x3 0, x 4 0 )? ) Hvad er det største antal emner af produkttype 3, som virksomheden kan fremstille pr. uge, når der ikke må være ledig kapacitet i nogen af de 3 afdelinger? ( Bemærk: I det matematiske fag lineær programmering behandles sådanne problemtyper - gerne med mange flere variable, idet der benyttes specielle teknikker i forbindelse med edb ). Opgave 0 Find værdien af determinanten Opgave a) Beregn determinanten a a 3 a 0 4a a a b) Løs ligningssystemet for alle værdier af parameteren a x + x + ax3 + x4 = ( a 3) x + x + ax3 = ( 4a + 7) x x = ( a + 6) x 6x 3ax3 x4 = 6 33

37 Matricer og lineære ligninger Opgave a) Beregn determinanten a + a 0 a + 0 D = a b) Løs nedenstående ligningssystem for de værdier af a, for hvilke determinanten D er 0 ax + x x + ( + a) x = x + ( a + ) x = x x + x = x ax = Opgave 3 Der er givet ligningssystemet ax + x + ( a + 3) x3 = 7 ax + 4x + ( 3a + 4) x3 = 3ax + 5x + ( a + 4) x3 = 3 Løs ligningssystemet for de værdier af a, for hvilke ligningssystemet har netop én løsning Opgave 4 Benyt Cramers metode til at finde af nedenstående ligningssystem. x x + x + x3 + x4 = x + x + x3 = 4 3x x = 4x 6x 3x3 x4 = Opgave 5 Benyt Cramers metode til at finde af nedenstående ligningssystem. x 4 x + x x3 + x4 = 0 x + 3x3 = x x3 + x4 = x + x4 = Opgave 6 De tre vinkler i en trekant ABC er målt til 0.53,.34, og.3(radianer). A = 053. Find den løsning til det overbestemte ligningssystem B = 34. π A B = 3. som giver mindst mulig RMS-fejl. Find endvidere residualerne og RMS-fejlen 34

38 Opgaver Opgave 7 Mellem de variable x, y, z, w gælder den teoretiske sammenhæng w = Ax + By + Cz. Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x y z w ) Opstil 5 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C. ) Find derpå konstanterne A, B, C, idet RMS-fejlen på de 5 ligninger skal være mindst mulig. 3) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen. Opgave 8 To tryk p og p samt differencen p p er målt med samme nøjagtighed: p 0 p 5 p p 6 Find p og p bedst muligt. Opgave 9 Der skal fremstilles ton af et produkt ved at blande 3 råvarer (alle tal er i vægt % ): råvare nr råvare nr råvare nr 3 ønsket produkt protein fedt kulhydrat 0 % 30 % 0 % 0 % 0 % 30 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % Af råvarer bruges x ton af nr, x ton af nr og x x ton af nr 3. ) Opstil 3 ligninger til bestemmelse af x og x. ) Find derpå x og x, idet RMS-fejlen på de 3 ligninger skal være mindst mulig. 3) Find til sidst residualerne og RMS-fejlen. Opgave 30 x =. x y = Der foreligger følgende ligningssystem: x + y + z = 3. y + z =. ) Vis, at ligningssystemet ikke har nogen eksakt løsning. ) Løs ligningssystemet bedst muligt, (dvs. således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ). 35

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode (håndregning),

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable. udgave 015 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer

Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 06 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede

Læs mere

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)

Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Funktioner af flere variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Funktioner af flere variable 3. udgave 016 i FORORD Dette notat giver en kort indføring i, hvorledes man ved anvendelse af passende regnemidler og benyttelse af partielle afledede

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere