n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
|
|
- Caroline Brodersen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål. Husk på, med udgangspunkt i vores undersøgelser af Fourier rækker og partielle differentialligninger, at vi ønsker at kunne danne uendelige linearkombinationer eksempelvis af vektorer i ortonormalsættene omtalt i Eksempel.6 c) og d). Problemet er, at dette hyppigt vil give funktioner, der ikke er kontinuerte, dvs. som ikke ligger i vektorrummet. Tag for eksempel den uendelige linearkombination 4 π (sin x + sin 3x + sin 5x + ) 3 5 i C([ π, π]). Denne repræsenterer, som vi så i AEM Eksempel p eller Eksempel p , funktionen f, som er på [0, π] og på [ π, 0[, og som derfor ikke er kontinuert i 0. Noget tilsvarende gør sig gældende for l 0 (N): Går vi formelt tilværks, ser vi, at den uendelige linearkombination λ ε + λ 2 ε 2 + λ 3 ε 3 + er lig med følgen (λ, λ 2, λ 3,... ), jvf. Eksempel. c). Men denne tilhører kun l 0 (N), hvis højst endelig mange af koefficienterne λ n er 0, dvs. hvis linearkombinationen er endelig. Vi kan undgå disse problemer ved at gøre de omtalte vektorrum større, uden at ændre på det indre produkt. Vi gennemfører dette for l 0 (N) først, og derefter for C(I). Vektorrummet l 2 (N). Bemærk til at begynde med, at normen på l 0 (N), som jo er givet ved (x, x 2,... ) 2 = x n 2 (2.) er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen (, 2, 3,... ) åbenbart ikke l 0(N), men (, 2, 3,... ) 2 = er som bekendt endelig (faktisk lig med π 2 /6). Vi kalder talfølger, for hvilke højresiden af (2.) er endelig for kvadratisk summable følger og betegner mængden af disse med l 2 (N), altså l 2 (N) = {(x, x 2,... ) x n 2 < }. Dette er vores kandidat til udvidelsen af l 0 (N). I en vis forstand er dette den størst mulige udvidelse med den givne norm, idet vi simpelhen har medtaget alle følger 6 n 2
2 med endelig norm. Spørgsmålet er nu dels, hvorvidt l 2 (N) faktisk er et vektorrum, og dels om det indre produkt givet ved (.4) er veldefineret på l 2 (N), altså hvorvidt højresiden af (.4) er konvergent for vilkårlige følger i l 2 (N). Svaret på begge spørgsmål er heldigvis ja, og det er ikke vanskeligt at indse, jvf. Opgave 2. og 2.2. Vektorrummet L 2 ([a, b]). Situationen vedrørende C([a, b]) er tilsvarende. Vi foretager den maksimale udvidelse af C([a, b]) til mængden L 2 ([a, b]) bestående af alle funktioner på [a, b], hvis normkvadrat (.2) er endeligt, altså L 2 ([a, b]) = {f : [a, b] C b a f(x) 2 dx < }. (2.2) Dette rum indeholder eksempelvis alle stykkevis kontinuerte funktioner på [a, b]. Husk, at en funktion f på [a, b] er stykkevis kontinuert, hvis den er kontinuert i alle punkter, pånær muligvis i endelig mange punkter a = t 0 < t < t 2 < < t N = b, hvori dens grænseværdier fra venstre og højre kræves at eksistere. Alternativt betyder dette, at f på hvert af intervallerne ]t i, t i [ kan udvides til en kontinuert funktion f i på [t i, t i ], og integralet af f er da pr. definition givet ved b a f(x)dx = i= ti t i f i (x)dx. Men L 2 ([a, b]) indeholder flere funktioner. F.eks. er funktionen f(x) = x α, 0 < x, hvor α > 0, ikke stykkevis kontinuert på [0, ], uanset hvilken værdi f(0) tillægges. Ikke destomindre har vi, at { f(x) 2 dx = x 2α dx = lim x 2α ɛ 2α dx = lim 0 0 ɛ 0 ɛ ɛ 0 2α =, α < 2α 2 +, α >. 2 Altså er f L 2 ([0, ]) for α < 2. Vi skal ikke her forsøge nøjere at indkredse arten af de funktioner, der tilhører L 2 ([a, b]). En udførlig diskussion ville kræve indførelse af det såkaldte Lebesgue integral, som er underforstået i (2.2), og som tillader integration af en større klasse af funktioner end det sædvanlige Riemann integral. I praksis får vi dog kun brug for at integrere funktioner, for hvilke en simpel udvidelse af Riemann integralet, som i de lige nævnte eksempler, kan anvendes. Man viser nu på lignende vis som for l 2 (N), at L 2 ([a, b]) er et vektorrum, og at integralet, der indgår i definitionen af det indre produkt i (.), er endeligt for f, g L 2 ([a, b]), jvf. Opgave 2.3. At eftervise de fire krav i) iv) er ikke anderledes end for C([a, b]), pånær et enkelt punkt, nemlig det skarpe ulighedstegn i i). Tag f.eks. en funktion f som er nul overalt i [a, b] undtagen i et enkelt punkt (eller endelig mange punkter). Denne funktion er stykkevis kontinuert og dens norm er øjensynlig 0. Der findes altså funktioner i L 2 ([a, b]) forskellige fra nulfunktionen, som har norm 0. Der findes en standard måde at takle dette problem på, nemlig ved at identificere 7
3 funktioner, hvis differens har norm 0. Dette betyder, at man i stedet for at definere L 2 ([a, b]) som et rum af funktioner opfatter det som et rum af klasser (eller mængder) af funktioner, således at to funktioner f og g tilhører samme klasse netop hvis b a f(x) g(x) 2 dx = 0. (2.3) Herved får alle funktioner i en klasse samme norm (jvf. Opgave 2.4), som derfor kan defineres som klassens norm. Tilsvarende vil det indre produkt (.) af to funktioner ikke ændres, hvis de byttes ud med andre funktioner fra deres respektive klasser (jvf. Opgave 2.4), hvilket derfor kan defineres som det indre produkt af klasserne. Denne ændring af synspunkt har ikke nævneværdig praktisk betydning. Det er fortsat nyttigt at tænke på elementerne i L 2 ([a, b]) som funktioner, men blot være opmærksom på, at en ligning i vektorrummet L 2 ([a, b]), hvor der på venstresiden står en funktion f og på højresiden en funktion g, blot betyder at (2.3) er opfyldt, og ikke at funktionerne stemmer overens i alle punkter af [a, b]. Man siger i stedet at f er lig med g næsten overalt i [a, b], eller at f(x) = g(x) for næsten alle x [a, b]. Vektorrummet L 2 (I, ρ). Vi kan tilsvarende indføre vektorrummet L 2 (I), hvor I er et vilkårligt (ikke nødvendigvis endeligt eller lukket) interval, og specielt L 2 (R). Mere generelt kan vi for en positiv vægtfunktion ρ på I indføre vektorrummet L 2 (I, ρ) = {f : I C f(x) 2 ρ(x)dx < } (2.4) med indre produkt, ρ givet ved (.3). L 2 (I) og kvantemekanik. Rummene L 2 (I) er af særlig vigtighed i den kvantemekaniske formalisme. Et af grundpostulaterne i denne formalisme er nemlig, at den fysiske tilstand af en partikel, hvis bevægelsesfrihed er begrænset til intervallet I, er givet ved en bølgefunktion ψ, som er en funktion i L 2 (I), og at ψ(x) 2 da er sandsynlighedstætheden for partiklens position. Dette betyder, at sandsynligheden for, at partiklen befinder sig i intervallet [x, x + x] I, er x+ x x I ψ(x) 2 dx. (2.5) Bemærk, at den ovenfor diskuterede identifikation af funktioner i samme klasse er ganske naturlig ud fra et kvantemekanisk synspunkt, eftersom to funktioner ψ og φ, som opfylder (2.3), regnes for at beskrive den samme kvantemekaniske tilstand. Specielt er sandsynlighederne givet ved (2.5) de samme for ψ og φ (jvf. Opgave 2.4). Et andet grundelement i den kvantemekaniske formalisme med relation til det indre produkt er måleprocessen. En partikel, der vides at befinde sig i en tilstand ψ, vil normalt efter en måleproces befinde sig i en anden tilstand, eller anderledes udtrykt: Måleprocessen forstyrrer det fysiske system. Mere præcist er det sådan, at hvis man foretager en måling, der som resultat enten bekræfter eller afkræfter, at partiklen (efter målingen) befinder sig i tilstanden φ, da er sandsynligheden for et bekræftende svar givet ved ψ, φ 2. 8
4 Specielt gælder, at tilstanden efter målingen ikke kan være vinkelret på ψ. Man kalder tit ψ, φ for overlappet mellem tilstandene ψ og φ. Da den totale sandsynlighed for at finde partiklen i I er, er kvantemekaniske tilstande repræsenteret af enhedsvektorer i L 2 (I), dvs. de har norm lig med. Ikke destomindre siger man tit, at en partikel befinder sig i en tilstand ψ, som ikke er en enhedsvektor. Hermed menes i såfald, at den befinder sig i den tilsvarende normerede tilstand ψ/ ψ. Med denne konvention kan man danne linearkombinationer af kvantemekaniske tilstande. Denne egenskab ved tilstandsrummet for et kvantemekanisk system, som ikke har nogen analogi for klassiske mekaniske systemer, kaldes superpositionsprincippet. Dette er altså en direkte konsekvens af vektorrumsstrukturen af L 2 (I) og giver anledning til de for kvantemekanik så karakteristiske interferensfænomener. Hilbert rum. Vi afslutter dette afsnit med spørgsmålet om, hvilken karakteristisk egenskab, der adskiller de udvidede indre produkt rum fra dem, der var vores udgangspunkt, ud over de lidt løse betragtninger vedrørende uendelige linearkombinationer, vi har været inde på. Det store dyr i åbenbaringen her hedder fuldstændighed. Denne egenskab er en smart måde at udtrykke maksimaliteten, der indgik i konstruktionen af l 2 (N) og L 2 (I) altså, at vi medtog alle vektorer, for hvilke normen (og det indre produkt) var definerede. Man siger også, at l 2 (N) og L 2 ([a, b]) er fremkommet ved fuldstændiggørelse af l 0 (N), henholdsvis C([a, b]). For at kunne formulere denne egenskab har vi brug for først at definere begrebet Cauchy følge (eller fundamentalfølge): Vi siger, at en følge (v n ) i et indre produkt rum er en Cauchy følge, hvis der for hvert ε > 0 findes et N N, således at v n v m < ε for n, m > N, dvs. afstanden mellem to af følgens elementer v n og v m kan gøres vilkårlig lille ved at vælge n og m store nok. Det er klart, at enhver konvergent følge er en Cauchy følge, fordi hvis v n v for n, da er v n og v m begge tæt på v og derfor tæt på hinanden, når n og m er store nok. Eller mere præcist: For et vilkårligt ε > 0 findes N N, så v n v < ε 2 for n > N, og derfor v n v m = (v n v) + (v v m ) v n v + v v m < ε 2 + ε 2 = ε for n, m > N. Fuldstændighed er kravet om, at det omvendte også er sandt: Definition 2.. Et indre produkt rum H er fuldstændigt, hvis enhver Cauchy følge er konvergent. I så fald siges H at være et Hilbert rum. For de reelle tal R, betragtet som indre produkt rum med sædvanligt indre produkt, er denne egenskab ækvivalent med supremumsegenskaben, omtalt i Matematik. Dette diskuteres mere udførligt i appendikset, hvori fuldstændighedsbegrebet søges yderligere belyst. Det følger heraf, at R n og C n er Hilbert rum og mere generelt, at ethvert endeligdimensionalt indre produkt rum er et Hilbert rum (se Opgave 2.5). For endeligdimensionale indre produkt rum er kravet om fuldstændighed derfor overflødigt. Helt anderledes forholder det sig med uendeligdimensionale vektorrum. F.eks. er hverken l 0 (N) eller C([a, b]) fuldstændige. Derimod har vi følgende 9
5 Sætning 2.2. Der gælder, at l 2 (N) og L 2 ([a, b]) og mere generelt L 2 (I, ρ) er Hilbert rum. Dette resultat er helt afgørende for disse vektorrums anvendelighed i analysen. Det er ikke svært at eftervise for l 2 (N), men mere besværligt for L 2 (I, ρ), idet det kræver kendskab til det før omtalte udvidede integralbegreb, hvorfor vi afholder os fra at gennemføre det her. Det bør bemærkes, at tilstandsrummene for kvantemekaniske systemer generelt er Hilbert rum. F.eks. består tilstandsrummet for flerpartikelsystemer uden spin af kvadratisk integrable funktioner af flere variable, nemlig koordinaterne for de enkelte partikler. Vi skal dog ikke omtale disse yderligere i disse noter. 2.2 Ortonormaludvikling Vi skal i dette afsnit generalisere de centrale resultater vedrørende endeligdimensionale indre produkt rum til vilkårlige Hilbert rum, herunder specielt vise projektionssætningen for uendelige ortonormalsæt. Konvergens af rækker i Hilbert rum. Vi begynder med at karakterisere præcist hvilke uendelige linearkombinationer af vektorerne i et ortonormalsæt, der giver mening. Hertil er det nødvendigt først at definere konvergens af rækker i et indre produkt rum. Dette gøres på samme måde som for talrækker: Rækken v n, hvis led v n er vektorer i et indre produkt rum V, siges at være konvergent med sum v V, hvis lim N altså hvis afsnitsfølgen (s, s 2,... ), hvor v n = v, s N = er konvergent i V med grænseværdi v. v n, Eksempel 2.3. a) Lad os se på rækken ε n n i l 2 (N), hvor ortonormalsættet (ε, ε 2,... ) er som i Eksempel. c). Her er s N = n ε n = (, 2, 3,..., N ), 0, 0,.... Vi har tidligere bemærket, at følgen x = (, 2, 3,... ) tilhører l 2(N). Da x s N = ( ) 0, 0,..., 0, N +, N + 2,... 20
6 fås fordi n 2 har vi indset, at x s N 2 = er konvergent, så halen n=n+ n=n+ n 2 0 for N, n 2 n ε n = (, 2, 3,... ). b) Lad os mere generelt undersøge rækken λ n ε n. Her er s N = konvergerer imod 0 for N. Altså λ n ε n = (λ, λ 2,..., λ N, 0, 0,... ). Følgen x = (λ, λ 2, λ 3,... ) tilhører l 2 (N) pr. definition netop hvis λ n 2 <. I dette tilfælde fås og derfor Altså er x s N = (0, 0,..., 0, λ N+, λ N+2,... ) x s N 2 = n=n+ λ n 2 0 for N. λ n ε n = (λ, λ 2,... ), når højresiden tilhører l 2 (N). Ellers er rækken divergent. (Overvej dette! Det følger også af Lemma 2.4 nedenfor.) Ved brug af følgende hjælperesultat kan vi generalisere overvejelserne i det foregående eksempel til vilkårlige ortonormalsystemer i et vilkårligt Hilbert rum. Lemma 2.4. Lad (e, e 2,... ) være et ortonormalsæt i et Hilbert rum H. Da er rækken λ n e n konvergent i H hvis og kun hvis λ n 2 er konvergent i R, altså netop hvis talfølgen (λ, λ 2,... ) tilhører l 2 (N). I bekræftende fald gælder 2 λ n e n = λ n 2. (2.6) Dette resultat afhænger på afgørende vis af fuldstændigheden af H, ifølge hvilken rækken λ n e n er konvergent netop hvis afsnitsfølgen (s, s 2,... ) er en Cauchy følge. Men da s N s M = n=m+ 2 λ n e n,
7 for N > M, følger af Pythagoras, at s N s M 2 = n=m+ λ n 2. Kaldes nu afsnitsfølgen for talrækken λ n 2 for (γ, γ 2,... ), viser dette at s N s M 2 = γ N γ M = γ N γ M. Heraf ses, at (s, s 2, s 3,... ) er en Cauchy følge (i H) netop hvis (γ, γ 2, γ 3,... ) er en Cauchy følge (i R). Men for fuldstændige rum er Cauchy følge og konvergent følge det samme, og da både H og R er fuldstændige, følger den første påstand i lemmaet heraf. Endelig følger ligningen (2.6) af, at iflg. Pythagoras, og derfor λ n 2 = lim N 2 N λ n e n = λ n 2 λ n 2 = lim N 2 2 λ n e n = λ n e n, hvor det sidste lighedstegn følger af Opgave.3. Projektionssætningen. Udstyret med Lemma 2.4 kan vi nu definere det afsluttede underrum udspændt af et ortonomalsæt (e, e 2,... ) ved { } span{e, e 2,... } = λ n e n λ n 2 <. Dvs. span {e, e 2,... } og span{e, e 2, e 3,... } afviger fra hinanden ved, at der i det første kun indgår sædvanlige (endelige) linearkombinationer, mens der i det andet indgår alle tilladte, dvs. konvergente, uendelige linearkombinationer. Den generelle projektionssætning lyder nu således: Sætning 2.5. Lad (e, e 2,... ) være et ortonormalsæt i Hilbert rummet H og lad U = span{e, e 2,... }. For en vilkårlig vektor v H findes da netop én vektor w U, således at afstanden v w er mindst mulig. Vektoren w kaldes projektionen af v på U og er givet ved og der gælder w = e n, v e n, (2.7) v w U. (2.8) 22
8 Eftervisningen af dette foregår, pånær enkelte tilføjelser af teknisk art, efter samme recept som for Sætning.7: Det første, vi bemærker, er, at rækken i (2.7) er konvergent. Ifølge Lemma 2.4 er dette nemlig ensbetydende med, at rækken e n, v 2 er konvergent. Men det er den, fordi ifølge Bessels ulighed (.28) er N e n, v 2 v 2 for alle N N og derfor e n, v 2 v 2. (2.9) Vi kan altså definere w ved (2.7) og får da hvoraf e m, w = = = e m, e n, v e n e m, e n, v e n e n, v e m, e n = e m, v, e m, v w = 0 for alle m N. Men heraf følger, at v w U, fordi der for enhver vektor m= λ me m i U gælder, at m= λ m e m, v w = λ m e m, v w = 0. m= Resten følger nu lige som i beviset for Sætning.7. Vi har ovenfor to gange trukket et summationstegn Dette er tilladt ifølge Opgave 2.6. uden for et indre produkt. Ortonormaludvikling, Parsevals ligning og Fourier rækker. For et endeligdimensionalt indre produkt rum er en ortonormalbasis en basis, som også er et ortonormalsæt. Med den generaliserede projektionssætning til rådighed kan vi indføre en brugbar generalisering af dette begreb til vilkårlige Hilbert rum. Definition 2.6. En ortonormalbasis for et Hilbert rum H er et ortonormalsæt (e, e 2, e 3,... ), således at {e, e 2, e 3,... } = {0}. 23
9 Det følger direkte af projektionssætningen, at der for en ortonormalbasis gælder, at v w = 0, dvs. v = w, hvor w er givet ved (2.7). Altså Bemærk specielt, at det følger, at v = e n, v e n. (2.0) span{e, e 2, e 3,... } = H. Rækken i ligningen (2.0) kaldes ortonormaludviklingen af v m.h.t. ortonormalbasen (e, e 2,... ). Af Lemma 2.4 følger da Parsevals ligning v 2 = e n, v 2. (2.) Eksempel 2.7. Af Eksempel 2.2 b) fremgår, at sættet (ε, ε 2, ε 3,... ) er en ortonormalbasis for l 2 (N). For x = (x, x 2,... ) l 2 (N) gælder, at ε n, x = x n således at (2.0) i dette tilfælde siger, at (x, x 2,... ) = x n ε n, hvilket er identisk med den sidste ligning i Eksempel 2.3. Endvidere ses (2.) at være identisk med definitionen af normen på l 2 (N). Af betydelig større interesse end dette noget trivielle eksempel er, at de to ortonormalsæt i Eksempel.6 c) er ortonormalbaser for L 2 ([ π, π]). Dette faktum er allerede blevet formuleret i AEM Kapitel 0, omend noget indirekte, og udgør i en vis forstand grundlaget for Fourierrækketeorien, som det nu skal forklares. Lad os se på sættet (.26) eller, mere generelt, ( )..., 2L e i2π x L, 2L e iπ x L, 2L, 2L e iπ x L, 2L e i2π x L,.... (2.2) Dette udgør en ortonormalbasis for L 2 ([ L, L]). I henhold til Definition 2.6 betyder dette, at den eneste kvadratisk integrable funktion f på [ L, L], der opfylder L L f(x)e iπn x L dx = 0 for alle n Z, er nulfunktionen. Vi skal ikke vise dette her, men tage det for givet i det følgende. Ortonormaludviklingen (2.0) af en kvadratisk integrabel funktion f m.h.t. denne ortonormalbasis antager nu formen f(x) = c n e iπn x L (2.3) 24
10 for næsten alle x [ L, L], hvor c n = e iπn x L, f = 2L 2L 2L L L f(x)e iπn x L dx. Vi ser altså, at denne ortonormaludvikling netop er den komplekse version af Fourier rækkeudviklingen omtalt i AEM Afsnit 0.5 (se især formel (9) p. 548). Bemærk dog, at der i (2.3) er tale om konvergens i middel, d.v.s. at L L f(x) c n e iπn x L 2 dx 0 (2.4) N for N, hvorimod Theorem p.535 i AEM udtaler sig om punktvis konvergens d.v.s. konvergens af talrækken i (2.3) for hvert fastholdt x. Disse resultater vedrørende konvergens af Fourier rækker kan sammenfattes som følger. Sætning 2.8. For enhver kvadratisk integrabel funktion f på [ L, L] er Fourier rækken konvergent i middel og dens sum er f, d.v.s. (2.4) gælder. Hvis f ydermere er stykkevis glat, er Fourier rækken konvergent i hvert punkt x R, og dens sum er lig med 2 ( f(x+) + f(x )), hvor f betegner den periodiske udvidelse af f med periode 2L, og f(x+) og f(x ) er dens grænseværdier fra h.h.v. højre og venstre i x. Specielt er summen lig med f(x), hvis f også er kontinuert i x. For en kvadratisk integrabel funktion f antager Parsevals ligning nu formen L L f(x) 2 dx = 2L c n 2. (2.5) Denne version af ligningen optræder ikke direkte i AEM, men er analog med formel (8) p På tilsvarende vis som ovefor fås (se Opgave 2.), at ortonormaludvikling m.h.t. ortonormalbasen (.25) netop er Fourier rækkeudvikling som defineret i AEM Afsnit 0.3 (for L = π), og at Parsevals ligning i dette tilfælde netop er formel (8) p. 536 i AEM. Endvidere kan Fourier-Legendre og Fourier-Bessel rækkeudviklingerne som indført i AEM pp opfattes som ortonormaludviklinger i henholdsvis L 2 ([, ]) og i L 2 (]0, R], x). Specielt svarer Fourier-Legendre udvikling til ortonormaludvikling m.h.t. ortonormalbasen (p 0, p, p 2,... ) i L 2 ([, ]), hvor 2n + p n = P n, 2 og P n som sædvanlig betegner det n te Legendre polynomium. Eksempel 2.9. Vi går tilbage til Eksempel p og Eksempel p i AEM og betragter rækken 4 ( sin x + 3 π sin 3x + sin 5x + ). (2.6) 5 25
11 ( ) Da π sin x, π sin 2x,... er et ortonormalsæt i L 2 ([ π, π]), jvf. Eksempel.6 c), og rækken = 2 (2n ) 2 vides at være konvergent, da er (2.6) konvergent i L 2 ([ π, π]) ifølge Lemma 2.4. Vi kalder summen for f, dvs. f(x) = 4 π sin(2n )x (2.7) 2n for næsten alle x [ π, π]. Højresiden i (2.7) er faktisk ortonormaludviklingen af f m.h.t. ortonormalbasen (.25), idet π sin mx, f = π sin mx, 4 π = 4 π = { π 4 m 2n 2n sin(2n )x π sin mx, hvis m er ulige 0 hvis m er lige sin(2n )x π for m =, 2,..., og tilsvarende ses at 2π, f = π cos mx, f = 0. Men højresiden i (2.7) er ifølge de to nævnte eksempler i AEM også ortonormaludviklingen af funktionen { for x [ π, 0[ g(x) = for x [0, π]. Vi kan derfor slutte, at f(x) = g(x) for næsten alle x [ π, π]. Faktisk ved vi p.gr.a. Theorem p. 535 i AEM, at rækken (2.7) er konvergent for hvert x [ π, π] og at for x ] π, 0[ f(x) = for x ]0, π[ 0 for x = π, 0, π. Opgaver Opgave 2. Lad x = (x, x 2,... ) og y = (y, y 2,... ) være to talfølger. Benyt uligheden x n + y n 2 2( x n 2 + y n 2 ) (se (.9)) til at vise, at x + y tilhører l 2 (N), hvis x og y tilhører l 2 (N). Vis, at l 2 (N) er et underrum af l(n). 26
12 Opgave 2.2 Lad x = (x, x 2,... ) og y = (y, y 2,... ) være to talfølger. Benyt uligheden x n y n ( x 2 n 2 + y n 2 ), som følger af ( x n y n ) 2 0, til at slutte, at x n y n < hvis x, y l 2 (N), og at det indre produkt givet ved (.4) er veldefineret på l 2 (N). Opgave 2.3 Eftervis, at L 2 ([a, b]) er et underrum af F ([a, b]), og at det indre produkt givet ved (.) er veldefineret på L 2 ([a, b]). (Benyt lignende fremgangsmåde som i Opgave 2. og 2.2.) Opgave 2.4 Benyt uligheden fra Opgave.2 til at indse, at normen af en funktion f i L 2 ([a, b]) kun afhænger af f s klasse, d.v.s. at f = f, hvis f og f tilhører samme klasse. Brug endvidere Cauchy-Schwarz til at indse, at det indre produkt af to funktioner i L 2 ([a, b]) kun afhænger af de klasser, som f og g tilhører. Opgave 2.5 ) Begrund, at en følge i R n er konvergent, hhv. en Cauchy følge, netop hvis de tilsvarende n koordinatfølger er konvergente, hhv. Cauchy følger, i R, og benyt dette til at indse, at R n er fuldstændigt, og ligeså C n. 2) Lad H være et endeligdimensionalt indre produkt rum og lad (e,..., e n ) være en ortonormalbasis for H. Brug Pythagoras til at godtgøre, at afstanden mellem to vektorer i H er lig med afstanden i R n eller C n mellem deres koordinatsæt m.h.t. basen, og benyt dette til at slutte, at H er fuldstændigt. Opgave 2.6 Lad v n være en konvergent række i et indre produkt rum V. Benyt Opgave.4 til at slutte, at og for en vilkårlig vektor w V. v n, w = w, v n = v n, w w, v n Opgave 2.7 Eftervis, at sættet (2.2) er et ortonormalsæt i C([ L, L]). Udnyt, at sættet (.26) er en ortonormalbasis for C([ π, π]) til at vise, at (2.2) er en ortonormalbasis for C([ L, L]). (Vink: Benyt et simpelt variabelskift til at udtrykke det indre produkt på C([ L, L]) ved det indre produkt på C([ π, π]).) Opgave 2.8 Eftervis, at ( 2 πx sin, L L 2 2πx sin L L, ( 2 L sin 3πx L,... ) 27
13 og ( L, 2 πx cos, L L 2 2πx cos L L, 2 L cos 3πx L,... ) er ortonormalsæt i L 2 ([0, L]). Disse er begge ortonormalbaser for L 2 ([0, L]). Opgave 2.9 Eftervis, at ( sin πx 3πx 5πx, sin, sin,... ) 2L 2L 2L er et ortogonalsæt i C([0, L]), og opskriv det tilsvarende ortonormalsæt efter normering. Dette er en ortonormalbasis for L 2 ([0, L]). Opgave 2.0 Lad (e, e 2,... ) være et ortonormalsæt i Hilbert rummet H. ) Vis, at rækken e n n er konvergent i H, og afgør for hvilke α R rækken nα e n er konvergent i H. 2) Bestem projektionen af vektorerne e ± 2e 2 på (underrummet udspændt af) vektoren n e n. (Man kan benytte, at = π2.) n 2 6 Opgave 2. Diskuter sammenhængen mellem ortonormaludvikling m.h.t. ortonormalbaserne (.25) og Fourier rækkerne i Afsnit 0.3 i AEM. Opgave 2.2 Lad a være et komplekst tal. Bestem de værdier af a, for hvilke følgen (, a, a 2, a 3,... ) tilhører l 2 (N). Opgave 2.3 Lad (e, e 2, e 3,... ) være en ortonormalbasis for Hilbert rummet H. Vis, at der for alle v, w H gælder: v, w = v, e i e i, w. i= Opgave 2.4 ) Afgør for hvilke α R funktionerne f α (x) = x α og g α (x) = e αx tilhører L 2 ([, [). b) Eftervis, at følgerne (f, f 2, f 3,... ) og (g, g 2, g 3,... ) konvergerer (i middel) imod nulfunktionen i L 2 ([, [). Opgave 2.5 a) Afgør, for hvilke α R funktionerne f α (x) = ( + x ) α og g α (x) = x α tilhører L 2 (R). b) Eftervis, at følgen (f, f 2, f 3,... ) konvergerer (i middel) imod nulfunktionen i L 2 (R). 28
14 Opgave 2.6 a) Afgør, for hvilke α R funktionen f α (x) = + x α tilhører L 2 (R). b) Eftervis, at følgen (f, f 2, f 3,... ) konvergerer (i middel) imod funktionen f i L 2 (R), der er lig med på intervallet [, ] og 0 udenfor. Opgave 2.7 Begrund, at alle funktioner af formen P (x)e αx2, hvor α > 0 og P er et polynomium, tilhører L 2 (R). Opgave 2.8 Lad (e, e 2, e 3,... ) være en ortonormalbasis for L 2 (R) og antag, at en kvantemekanisk partikel på R befinder sig i tilstanden ψ = a n e n. Begrund, at sandsynligheden for, at en måling vil resultere i tilstanden e n, er lig med a n 2 samt, at der gælder a n 2 =. 29
Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMatematik 2 AN. Hilbert rum. med anvendelser. Bergfinnur Durhuus
Matematik 2 AN Hilbert rum med anvendelser Bergfinnur Durhuus 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Sammen med hæftet Metriske rum ved Christian
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereMatematik 2 MA Matematisk Analyse. Gerd Grubb
1 Matematik 2 MA Matematisk Analyse 1994 95 Kapitel IV. Fourier Analyse Gerd Grubb 1 1 Matematik 2. Matematisk Analyse 1994-95 Kapitel IV. Fourier analyse 0. Indledning 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereMat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28
Mat2AN Minilex Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dk 6. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl.
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mereHer skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable,
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereOversigt [S] 4.5, 5.10
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mere