Den tidlige kodningsteoris historie - et undervisningsforløb til gymnasiet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den tidlige kodningsteoris historie - et undervisningsforløb til gymnasiet"

Transkript

1 - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Den tidlige kodningsteoris historie - et undervisningsforløb til gymnasiet Uffe Thomas Jankvist januar 2008 nr

2 blank

3 Roskilde University, Department of Science, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260, DK Roskilde Tel: Fax: Den tidlige kodningsteoris historie et undervisningsforløb til gymnasiet Af: Uffe Thomas Jankvist, januar 2008 IMFUFA tekst nr. 459/ sider ISSN: For faget matematiks vedkommende stiller den gymnasiale bekendtgørelse af 2007 krav om at der som del af undervisningens supplerede stof behandles elementer af matematikkens historie, eksempelvis gennem matematikhistoriske forløb. Nærværende tekst indeholder undervisningsmateriale designet til et sådant matematikhistorisk forløb. Et af formålene med materialet har været overfor eleverne at belyse nogle af de sider af matematikkens udvikling som KOM-rapporten (Niss & Jensen, 2002) nævner. Eksempelvis at matematikkens udvikling finder sted i tid og rum, at den udvikles af mennesker og ikke blot opstår ud af ingenting samt at udviklingen drives af såvel interne som eksterne faktorer. Med kodningsteori tænkes i denne forbindelse på det som undertiden også kendes som kanalkodning, det vil sige studiet af fejlkorrigerende (eller fejlrettende) koder. Med kodningsteoriens tidlige historie er der i denne forbindelse tale om de såkaldte Hammingog Golay-koder. I materialet gennemgås og opstilles de kodningsteoretiske begreber og forudsætninger som eleverne behøver for at kunne forstå funktionen såvel som konstruktionen af den historisk set først præsenterede fejlkorrigerende kode, den såkaldte binære (7,4)-Hamming-kode. Da (7,4)-koden i denne sammenhæng netop er binær præsenteres eleverne også for binære tal og binær aritmetik. Endvidere er (7,4)-koden, såvel som de øvrige diskuterede fejlkorrigerende koder i materialet, en lineær kode, hvorfor eleverne ligeledes præsenteres for linearitetsbegrebet. Samtidig med at matematikken for de fejlkorrigerende koder præsenteres fremstilles også historien bag disse samt dele af den allerede etablerede matematik som Hamming baserede sit arbejde med koderne på, eksempelvis det generaliserede afstandsbegreb en metrik. Historien udspiller sig fortrinsvist ved Bell Laboratories, hvor Hamming var ansat samtidig med at Shannon lagde sidste hånd på sin teori for matematisk kommunikation i slutningen af 1940 erne. Hamming var på dette tidspunkt bruger af Bell Labs supercomputere og det var arbejdet med disse maskiner der motiverede ham til at udvikle sine fejlkorrigerende koder. Der er altså tale om et stykke moderne matematik, og i KOM-rapportens termer tilmed et hvis udvikling i høj grad er drevet af eksterne faktorer. For at sikre at eleverne selv går i dybden med de historiske aspekter af den præsenterede kodningsteori afsluttes forløbet med en såkaldt essay-opgave. Ideen er her at eleverne i grupper arbejder med at besvare en række stillede opgaver, at de anvender de (matematikhistoriske) værktøjer som stilles til rådighed herfor og at det hele munder ud i en skriftlig rapport. For at vænne eleverne til aktiviteten med at skrive dansk stil i matematiktimerne er der undervejs i forløbet også indlagt mindre essay-opgaver. Forløbet om kodningsteoriens tidlige historie er som led i min ph.d. blevet implementeret i en 2g-klasse på Ørestad gymnasium i foråret Klassens egen matematikunderviser gennemførte forløbet, mens jeg observerede og videofilmede hele processen. Specielt fulgte jeg én gruppe bestående af fem elever i forbindelse med deres arbejde med den afsluttende essay-opgave. Resultaterne af denne undersøgelse vil blive fremlagt i min ph.d.-afhandling som forventes afsluttet i midten af Uffe Thomas Jankvist, 2008

4 Forord Dette undervisningsforløb har været kørt i en 2g-klasse som en del af min ph.d. i matematikkens didaktik og matematikkens historie ved Roskilde Universitet. Ph.d.-projektet omhandler brugen af matematikkens historie i matematikundervisningen, hvilket er særlig aktuelt i forbindelse med den ny bekendtgørelse for gymnasiet, hvori der stilles krav om inddragelse af såkaldt supplerende stof i matematikundervisningen. Det hedder således i punkt 2.3: For at eleverne kan leve op til de faglige mål, skal det supplerende stof, der udfylder ca. 1/3 af undervisningen, bl.a. omfatte [...] matematik-historiske forløb. (Undervisningsministeriet; 2007) Det faglige mål som matematikhistoriske forløb retter sig mod lyder: Eleverne skal kunne [...] demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling. (Undervisningsministeriet; 2007) Det matematikhistorie som I, eleverne, vil blive udsat for i dette forløb er at betegne som nyere matematikhistorie, hvilket i denne sammenhæng vil sige matematik hvis udvikling og anvendelse har fundet sted efter 2. verdenskrig. Undervisningsforløbet handler om den matematik der ligger bag transmission af data. Med transmission af data kan eksempelvis forstås telefonsamtaler fra et sted til et andet, transmission af digitale billeder fra Mars til Jorden eller blot det at sende en SMS fra én mobiltelefon til en anden eller en fra én computer til en anden. I langt de fleste tilfælde når vi transmitterer data gennemgår disse data en indkodning før de sendes. Overordnet set kan man sige, at der er tre grunde til at indkode data. Den første af disse er kryptering, altså at man ved at indkode sine data på en bestemt vis ønsker at hemmeligholde indholdet af disse. Den næste omhandler effektivitet, altså at man inden transmissionen påbegyndes komprimerer sine data for på den måde at nedsætte transmissionstiden. Den tredje og sidste grund er fejlkorrigering, det vil sige at man gør sig selv i stand til at rette eventuelle fejl der måtte opstå i data under selve transmissionen. Det er denne tredje og sidste grund som dette forløb omhandler. En essentiel del af dette undervisningsmateriale er den afsluttende skriftlige opgave og de såkaldte essay-opgaver. April, 2007 Uffe Thomas Jankvist IMFUFA, Roskilde Universitet i

5 Indhold 1 Introduktion Et kommunikationssystem Shannons startskud til kodningsteorien Eksempler på kodningsteoris anvendelser Binære tal Binær repræsentation Opgaver Elementære kodningsteoretiske begreber Bell Labs Om blokkoder Afkodning med nærmeste nabo Generaliserede afstandsbegreber Opgaver Fejldetektion versus fejlkorrektion Et eksempel på en fejldetekterende kode t-fejldetekterende og t-fejlkorrigerende koder En geometrisk tilgang til blokkoder Opgaver Lineære og perfekte koder Definition af nye regneoperationer Definition af lineære koder En lille historie om Gauss Lineær algebra og linearitetsbegrebet (7, 4)-Hamming-koden og dens afkodning Perfekte koder Hamming-koder og Golay-koder Et matematikhistorisk spørgsmål Praktiske og faktiske anvendelser Afrunding og perspektiver Opgaver Afsluttende essay-opgave Matematikhistorieskrivning (7, 4)-koden i Shannons 1948-artikel Genstande og behandlingsmåder ii

6 iii 5.4 Æret være Litteratur 65

7 iv

8 1 Introduktion Teksten i dette undervisningsmateriale er sat med to forskellige skrifttyper; én til matematik, som ser sådan her ud, og den her anvendte til kommentarer, det være sig såvel historiske som anvendelsesorienterede og andre. Dette tiltag er tænkt som en service for læseren. I en berømt artikel fra 1948 opstillede matematikeren Claude Shannon fra Bell Labs en matematisk teori for kommunikation, en teori der skulle grundlægge de senere matematiske discipliner informationsteori og kodningsteori. Shannon introducerede det grundlæggende problem, som hans teori skal beskrive på følgende vis: Det fundamentale problem i kommunikation består i ét sted at reproducere enten præcist eller tilnærmelsesvist en besked som er valgt et andet sted. I de fleste tilfælde vil beskederne have mening [...] Disse semantiske aspekter af kommunikation er irrelevante for det ingeniørmæssige problem. (Shannon; 1948, side 5, oversat fra engelsk) Fra et matematisk, eller ingeniørmæssigt, synspunkt er det altså ikke indholdet af en besked, det som Shannon omtaler som de semantiske aspekter, der er det essentielle. Vigtigere er det at en besked skal kommunikeres fra ét sted til Claude Elwood Shannon ( ) Shannon modtog i 1940 sin ph.d.-grad i matematik ved MIT for et arbejde omhandlende populationsdynamik. Inden da havde han studeret såvel matematik som elektroteknik ved University of Michigan. Fra var Shannon tilknyttet AT&T Bell Telephones i New Jersey som forskningsmatematiker, og det var herfra han udgav sin berømte 1948-artikel. I 1958 blev han udnævnt til Donner Professor of Science ved MIT. Shannon beskæftigede sig også med kunstig intelligens, herunder specielt skakprogrammer, og udgav i 1956 en artikel om den universelle Turingmaskine. Shannon var kendt for at holde sig for sig selv, men blev ofte set kørende rundt på sin ethjulede cykel, undertiden samtidigt jonglerende, til stor fare for sine kollegaer. Shannon skulle efter eget udsagn have arbejdet på en motoriseret kængurustylte, hvilket han hævdede skulle afløse den af kollegaerne frygtede ethjulede cykel. uk/~history/mathematicians/shannon.html 1

9 2 Introduktion et andet. At beskrive mængden af information i en besked på matematisk vis er et af de aspekter som informationsteori beskæftiger sig med blandt andet for at kunne sige noget om, hvor meget en given besked kan komprimeres. Det som vi imidlertid skal koncentrere os om i dette forløb er det som Shannon ovenfor omtaler som»det fundamentale kommunikationsproblem«, nemlig ét sted at reproducere en besked, præcist eller så præcist som muligt, som er afsendt fra et andet sted. 1.1 Et kommunikationssystem Et af Shannons væsentlige bidrag var at han opstillede en model for et kommunikationssystem, selv kaldte han det et skematisk diagram for et generelt kommunikationssystem 1. For at forstå indholdet af et sådant skal vi det følgende se på et tænkt eksempel. Men allerførst skal vi have defineret begrebet en streng, idet vi ofte skal benytte dette begreb i det følgende. Lad der være givet en mængde A = {a 1, a 2, a 3,..., a n } af symboler, hvor n er et naturligt tal. En sådan mængde kaldes også et alfabet. En streng over alfabetet A er da ganske simpelt en endelig følge af elementer fra A. Eksempel 1.1 Lad alfabetet være givet ved A = {a, b, α, β, 1, 2}. Eksempler på strenge over A kan da være β, 112, aαa, bbβ1, 21βαba, Lad os begynde med at antage at vi har en afsender af et stykke information og at denne afsender er ingen mindre end Zorro. I og med at dette jo er et tænkt eksempel vil vi lade Zorro eksistere i vores moderne verden og forestille os at han ønsker at sende en SMS med informationen Z via sin mobiltelefon til sin største fjende sergent Garcia. Det første der sker med Zorros meddelelse er en omsætning til binær information, det vil sige at et program i mobiltelefonen oversætter det oprindelige bogstav Z til en binær streng. Begrebet binær dækker over, at der kun forekommer to forskellige symboler i strengen, eller sagt med andre ord at det alfabet som strengen er taget over kun består af to symboler. Disse symboler er typisk 0 og 1, men kunne i princippet lige så godt være a og b eller og. Valget af 0 og 1 gør det dog nemmere for os at regne med binære strenge, hvilket vi skal vende tilbage til på et senere tidspunkt. En måde at oversætte bogstaver og tal til strenge af binære symboler på er ved hjælp af det såkaldte standardiserede ASCII indkodningsskema fra ASCII er en forkortelse af»american Standard Code for Information Interchange«. ASCII-skemaet indeholder i alt 128 symboler og et udsnit 1 Det oprindelige diagram fra Shannons 1948-artikel kan ses på forsiden af undervisningsmaterialet.

10 1.1 Et kommunikationssystem 3 A J S B K T C L U D M V E N W F O X G P Y H Q Z I R ml.rum Tabel 1.1 Et udsnit af ASCII-tegnenes indkodningsskema. af disse kan ses i tabel 1.1. Ved hjælp af dette skema kan vi oversætte Zorros Z til den binære streng De enkelte binære symboler, 0 eller 1, omtales også gerne som bit, hvilket er en forkortelse af»binary digit«. En streng af otte bit kaldes en byte. Hver repræsentation af et symbol i ASCII fylder altså en byte. Fordelen ved en binær meddelelse frem for en indeholdende 128 forskellige tegn er, at den er nem at oversætte til en signalbølge, det være sig et elektrisk signal eller en radiobølge, som kan transmitteres gennem et medie, her omtalt som en kanal. I vores tilfælde udgør luften (atmosfæren) kanalen, idet Zorros mobiltelefon sender en signalbølge til en satellit som videresender signalbølgen til sergent Garcias mobiltelefon. Måden hvorpå en binær streng oversættes til en signalbølge afhænger af den proces der kaldes modulation. Som et simpelt eksempel kan tænkes, at man anvender en enkelt bølgeform til at transmittere de to binære symboler. På figur 1.1 kan ses et eksempel på en sådan bølgeform, nemlig v(t). En bølgetop i v(t), det vil sige et udsving over t-aksen, repræsenterer det binære symbol 1 og en bølgedal, det vil sige et udsving under t-aksen, repræsenterer det binære symbol 0. En sådan modulation kaldes for binær modulation. Den binære modulation af Zorros meddelelse for Z, , kan ses på figur 1.1. v(t) t Figur 1.1 Eksempel på binær modulation af strengen En bølgetop repræsenterer 1, mens en bølgedal repræsenterer 0.

11 4 Introduktion Afsender af information Modtager af information meddelelse meddelelse Omsætning til binær information Omsætning fra binær information binær meddelelse binær meddelelse Modulator Demodulator signalbølge modtaget signalbølge Kanal støj Figur 1.2 Model for kommunikationssystemet med Zorro som afsender og sergent Garcia som modtager. På de to fotografier ( ) er det Guy Williams i rollen som Zorro alias Don Diego de la Vega og Henry Calvin i rollen som sergent Demetrio Lopez Garcia. Problemet med signalbølger som sendes gennem en kanal er at de kan blive forstyrret, man siger at de bliver udsat for støj. Begrebet støj dækker over alle former for forstyrrelser som kan påvirke signalbølgerne, det være sig atmosfæriske forstyrrelser, radiobølger eller hvad man nu kan forestille sig. Hvis en signalbølge udsættes for støj kan den ændre

12 1.1 Et kommunikationssystem 5 udseende, således at den modtagne signalbølge ikke ligner den afsendte. Men lad os se situationen illustreret med en variation af Shannons model for et kommunikationssystem. Figur 1.2 illustrerer den vej en digital meddelelse må følge fra afsender til modtager. Zorro er altså vores afsender i øverste venstre hjørne og sergent Garcia vores modtager i det øverste højre hjørne. Når sergent Garcias mobiltelefon modtager den afsendte signalbølge bliver denne først demoduleret, det til sige oversat fra signalbølge til en binær streng. Derefter foregår en omsætning fra binær information til vores almindeligt kendte bogstaver. Dette gøres ved at man i ASCII-skemaet så at sige oversætter tilbage. Når dette er gjort vil sergent Garcia være i stand til at læse SMSen fra Zorro på sin telefons display. Hvis signalbølgen på figur 1.1 ikke bliver udsat for støj vil sergent Garcia modtage beskeden Z, hvorefter han formentlig vil begynde at ryste i bukserne. Hvis signalbølgen derimod bliver udsat for støj vil dette i værste tilfælde give sig til udtryk i, at en bølgetop bliver opfattet af demodulatoren som en bølgedal eller omvendt, hvilket igen kan betyde at den binære meddelelse som demodulatoren spytter ud kan være forskellig fra den afsendte binære meddelelse. Med andre ord er der altså tale om, at et 1-tal kan blive demoduleret som et 0, eller et 0 som et 1-tal. På figur 1.1 så vi den signalbølge som Zorros mobiltelefon afsendte. Lad os nu sige, at denne bølge udsættes for støj i atmosfæren således at den bølge som sergent Garcias mobiltelefon modtager ser ud som på figur 1.3. v(t) t Figur 1.3 Eksempel på at signalbølgen for den binære streng har været udsat for støj. De bølgetoppe som ikke er blevet forstyrret så meget at de er blevet til bølgedale, det vil sige er røget under t-aksen, vil blive demoduleret korrekt. Det tilsvarende gør sig gældende for bølgedale. Signalet på figur 1.3 vil derfor blive demoduleret korrekt på nær for den anden sidste bit. Det vil sige, at den binære meddelelse istedet for at være nu bliver Denne binære streng bliver ved hjælp af tabel 1.1 omsat fra binær information. Resultatet er ikke Z men derimod X, en meddelelse som sergent Garcia står uforstående overfor (med mindre han da tror, at X-Men er ude efter ham).

13 6 Introduktion Afsender af information Modtager af information meddelelse meddelelse Omsætning til binær information Omsætning fra binær information binær meddelelse binær meddelelse Kanalindkoder Kanalafkoder binære kodeord binære ord Modulator Demodulator signalbølge modtaget signalbølge Kanal støj Figur 1.4 Model for et kommunikationssystem som omfatter kanalkodning. Dette scenario kunne have været undgået, hvis Zorros mobiltelefon havde anvendt kodningsteori. (Kodningsteori kendes også under navnet kanalkodning og teorien omhandler fortrinsvist bestemmelsen af såkaldte fejlkorrigerende eller fejlrettende koder). Det helt overordnede princip i kodningsteori er, at man ved transmissionen af den binære meddelelse tilføjer en mængde ekstra (binær) information, som gør det muligt at opdage og/eller korrigere fejl i transmissionen. Vi skal i de næste kapitler se, præcist hvordan denne ekstra information kan tilføjes. Tilføjelsen af den ekstra binære information sker ved en proces kaldet kanalindkodning og fjernes igen ved en process kaldet kanalafkodning. Indkodning og

14 1.2 Shannons startskud til kodningsteorien 7 afkodning sker henholdsvis umiddelbart før modulation og umiddelbart efter demodulation. Altså må vi udvide vores kommunikationssystem fra før til også at omfatte disse to processer. Dette er gjort på figur 1.4. Den kanalindkodede binære meddelelse kaldes for et binært kodeord. Demodulatoren i det udvidede system giver os nu ikke længere den binære meddelelse, men derimod et binært ord, som måske, måske ikke, er et kodeord, alt afhængig af om signalbølgen er blevet udsat for støj eller ej. Kanalafkoderen korrigerer (så vidt muligt) for fejl i det binære ord ved at oversætte dette til et binært kodeord. Afkoderen fjerner den ekstra binære information fra kodeordet og spytter som resultat en binær meddelelse ud. Tilstedeværelsen af den ekstra binære information gør det altså muligt at opdage og/eller korrigere for eventuelle fejl opstået som følge af støj under transmissionen. 1.2 Shannons startskud til kodningsteorien Fra et kodningsteoretisk synspunkt var det vigtigste bidrag i Shannons artikel en helt bestemt matematisk sætning, senere undertiden omtalt som kodningsteoriens hovedsætning, hvis indhold vi i det følgende skal beskæftige os med. Når man transmitterer beskeder taler man om at disse har en hastighed, hvilket vil sige at der transmitteres et vist antal bit per sekund. Ofte har den kanal som beskeden skal transmitteres igennem en begrænset kapacitet, det vil sige, at den maksimalt kan transmittere et vist antal bit per sekund. Denne kapacitet kendes som kanal-kapaciteten. Kodningsteoriens hovedsætning siger da, at hvis man vil transmittere med en bestemt hastighed, og hvis denne hastighed er under kanal-kapaciteten, så findes der et kodningssystem således at sandsynligheden for fejl i den modtagne besked kan gøres vilkårligt lille. I matematikken kan man undertiden vise eksistensen af noget uden samtidigt at pege på dette. Det vil sige at man kan være i stand til at tale om, at visse ting findes og eventuelt hvordan de opfører sig, uden samtidigt at kunne konstruere disse ting og vise hvordan de ser ud. Shannons resultat er et eksempel på et sådant eksistensudsagn forstået på den måde, at det udelukkende udtaler sig om at der findes gode koder, men ikke udtaler sig om hvordan man konstruerer disse koder. Og netop det faktum at man vidste at de gode fandtes har nok appelleret til skattejæger-instinktet hos datidens matematikere. I hvert fald begyndte en tiltagende jagt på de gode koder, en jagt der kulminerede med opdagelsen af de såkaldte turbo-koder i 1993, en klasse avancerede og matematisk set endnu ikke helt forståede koder, som man regner med er omtrent så gode som fejlkorrigerende koder overhovedet kan blive. Med hensyn til turbo-koderne og de endnu ikke forståede matematiske aspekter af disse siger den danske kodningsteoretiker Tom Høholdt (DTU): De er opfundet af nogle franskmænd som ikke anede noget om kodningsteori, sådan nu prøver vi det her og det virkede. Hvorfor det virkede så godt er der ikke rigtigt nogen der forstår i dag. Man forstår lidt af det men godt nok til at de kom ind i

15 8 Introduktion standarden. [...] men sandheden er jo, at normalt hænger den egentlige anvendelse noget bagefter den teoretiske udvikling. Og i tidernes morgen langt bagefter. Men nu går det forholdsvis hurtigt, så tre-fire år efter at turbo-koderne er opfundet, så kommer de ind i standarderne. Det kan man så nogen gange synes er lige hurtigt nok, fordi man ikke forstår dem godt nok, men det er sådan et teori-matematik-synspunkt. Men synspunktet er et andet en gang imellem for hvis det virker, så skal man da bruge det. (Høholdt; 2004) 1.3 Eksempler på kodningsteoris anvendelser Kodningsteori finder ikke kun sin anvendelse inden for mobiltelefoni. Diverse satellitter som kommunikerer med Jorden gør brug af kodningsteori, satellitter til transmission af radiosignaler, TV-signaler, overvågningssatelliter og så videre. Dertil kommer kommunikation med sonder i det ydre rum, robotter (rovere) på Mars for slet ikke at tale om militære kommunikationssystemer. Også computernetværk, med Internettet som det største, gør flittigt brug af kodningsteori. PC er, MP3-afspillere og CD-afspillere anvender også kodningsteori. Faktisk forholder det sig sådan, at der digitalt set ikke er forskel på at sende information og gemme information. Når man gemmer information på sin PC ers harddisk og på et senere tidspunkt henter det frem svarer den proces som informationen gennemgår nøjagtigt til den på figur 1.4 beskrevne. Når man afspiller en CD er informationerne blot lagret for en i forvejen, men afspilningen består stadig af en afkodning af de på CD en lagrede, indkodede binære informationer. Støj på kanalen kan i disse tilfælde udgøres af enten fabrikationsfejl på harddisken eller ridser på CD en. Er der imidlertid for mange ridser på en CD kan det ske at afspilleren ikke er i stand til at afspille den: Mængden af støj på kanalen giver sig til udtryk i et antal af fejl der overstiger antallet, som den fejlkorrigerende kode er i stand til at rette. Denne situation kan gøre sig gældende inden for alle typer af digital kommunikation og vil resultere i enten et afkodningssvigt, hvor man ikke er i stand til at afkode og typisk vil modtage en fejlmeddelelse, eller en decideret afkodningsfejl, hvor man afkoder til noget forkert, som vi så det i eksemplet med Zorro og sergent Garcia. Præcis hvor mange fejl en given kode er i stand til at korrigere for, skal vi se nærmere på senere. Men inden da skal vi dvæle lidt ved de binære tal og se, hvordan vi med symbolerne 0 og 1 er i stand til at udtrykke præcis det samme, som vi til hverdag anvender symbolerne 0-9 til. 1.4 Binære tal Det talsystem som vi til hverdag anvender til at repræsentere hele tal er 10-talsystemet. Et tal i dette system er en følge af symboler over alfabetet {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, hvor vi dog generelt undlader at anvende 0 som

16 1.4 Binære tal 9 et begyndende ciffer. Hver position i en sådan følge repræsenterer en potens af tallet 10: = 10000, 10 3 = 1000, 10 2 = 100, 10 1 = 10, 10 0 = 1. På hver position står der en koefficient, som skal multipliceres på den pågældende potens af 10. Eksempelvis har vi for tallet 1984 der står for , , , , , idet opskrivningen 1984 underforstår at 10-potenserne skal adderes. Det binære talsystem fungerer på fuldstændig samme vis, blot med den forskel at et tal i dette system er en følge over det binære alfabet {0, 1}. Hver position i følgen repræsenterer nu en potens af tallet 2: = 64, 2 5 = 32, 2 4 = 16, 2 3 = 8, 2 2 = 4, 2 1 = 2, 2 0 = 1. Ønsker vi at opskrive tallet 1984 i det binære talsystem, må vi først finde den største potens af 2 som er mindre end eller lig med Det er 2 10 = 1024 og vi får: 1984 = Den største potens mindre end eller lig 960 er 2 9 = 512, hvorved vi får: 1984 = = 256 hvorfor 448 = hvilket igen giver: 192 = , hvorfor Og da 64 = 2 6 får vi til sidst: 1984 = = = Hvis vi nummererer positionerne i vores følge fra højre mod venstre, } 2 10 = {{ 1024 }, 2 } 9 = {{ 512 }, 2 } 8 = {{ 256 }, 2 } 7 = {{ 128 }, 2 } 6 {{ = 64 }, 2 } 5 {{ = 32 },... 2 } 0 {{ = 1 }, har vi da, at der skal stå 1-taller på positionerne 11, 10, 9, 8, 7 og nuller på de resterende positioner. Det binære tal for 1984 bliver da Undertiden skriver man også = ,

17 10 Introduktion for at kunne skelne tallene i de forskellige talsystemer fra hinanden. At gå fra det binære talsystem til 10-talsystemet er væsentligt nemmere. Med udgangspunkt i eksemplet ovenfor opskriver og udregner man typisk en sum af 2-potenser: = Ligesom i 10-talsystemet kan vi i det binære talsystem også addere, subtrahere, multiplicere og dividere tal. Det eneste vi blot skal holde os for øje i denne sammenhæng er, at i det binære talsystem er = For en uddybelse af den binære aritmetik se opgaverne. 1.5 Binær repræsentation Binær repræsentation af information er et meget gammelt og velkendt fænomen. Afrikanske stammefolk siges eksempelvis at have sendt information bestående af kombinationer af henholdsvis en dyb og en høj tone. Ligeledes skulle både australske aborigines og stammefolk fra New Guinea tælle i toere 2. I antikkens Kina, nærmere bestemt i værket I Ching fra cirka 1100 før vor tidsregning, anvendes også binær repræsentation af tal omend der ikke er tale om et egentligt talsystem med dertil hørende aritmetik. Binære tal og aritmetik med disse kan ligeledes spores langt tilbage i tiden. Den indiske matematiker Pingala giver i sit værk Chhandahshastra, hvilket betyder noget i retning af videnskab om mål og som regnes for at være fra ca år før vor tidsregning, den første kendte beskrivelse af det binære talsystem. I den vestlige verden er det først med den berømte tyske filosof og matematiker Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) og hans Explication de l Arithmétique Binaire at det moderne binære talsystem bliver endeligt fastlagt. Leibniz interesserede sig også for mekaniske regnemaskiner, i 1974 byggede han en forbedret udgave af Blaise Pascals ( ) mekaniske regnemaskine fra Leibniz grublede imidlertid videre over, hvordan hans binære aritmetik kunne anvendes i sådanne maskiner, men der skulle gå mange år førend dette blev en realitet. I 1854 publicerede en anden matematiker ved navn George Boole ( ) sit arbejde The Laws of Thought, hvori han opstillede et logisk system der blev kendt som boolesk algebra. Dette system viste sig senere særdeles brugbart i anvendelsen af binær aritmetik i elektroniske kredsløb. En person der indså dette var ingen mindre end Claude Shannon, der som del af sit speciale, A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits, ved MIT (Massachusetts Institute of Technology) i 1938 skitserede de elektroniske kredsløb med relæer og kontakter som var behøvet for at kunne addere og multiplicere binære tal. Dette arbejde skulle senere danne grundlag for designet af additionsmetoder i moderne lommeregnere og computere. Den formentlig første praktiske anvendelse af binær aritmetik foregik året inden, nærmere bestemt i november 1937, hvor fysikeren George Stibitz 2

18 1.6 Opgaver 11 ved Bell Labs havde samlet en (relæ-baseret) computer som var i stand til at addere binært, den senere såkaldte Model I. I løbet af de kommende år skulle konstruktionen af computere for alvor tage fart. Ikke mindst på grund af 2. verdenskrig og det dermed øgede behov for beregninger i forbindelse med udviklingen af kraftigere våben (atom- og hydrogenbomben), bedre transportmidler og ikke mindst brydning af fjendens krypterede koder (eksempelvis den tyske Enigma-kode). Den person der efter krigen havde den formentlig største betydning for computeres udvikling og endelige design var det ungarsk-amerikanske matematiske geni John von Neumann ( ). Det var von Neumann der indså, at det program som computeren skulle køre kunne gemmes på computeren ligesom de data programmet skulle køres på. (Tidligere havde program og data ikke været gemt i samme lager, programmer var ofte gemt på såkaldte hulkort.) Samtlige computere i dag indeholder en såkaldt von Neumann maskine, hvilket groft sagt er den overordnede struktur som computeren fungerer efter. von Neumann var heller ikke sen til at indse fordelen ved at benytte binær aritmetik i sit arbejde med computere, men gjorde samtidig en del ud af at udvikle decimal-til-binær og binær-til-decimal oversættere, således at operatøren var i stand til at fodre computeren med decimaltal og ligeledes modtage sådanne som resultat. Som vi skal se i næste kapitel opstod der med introduktionen af computerne netop et behov for fejlkorrigerende koder. 1.6 Opgaver Opgave 1 Oversæt følgende ord til binære strenge ved hjælp af ASCII-indkodningsskemaet: SHANNON, BELL LABS, KODNING. Opgave 2 Ved hjælp af ASCII-skemaet ønskes følgende binære streng oversat tilbage til almindelige bogstaver: Vink: Begynd med at bryde strengen op i blokke med otte symboler i hver. Opgave 3 Find det fulde ASCII indkodningsskema (for eksempel ved at søge på ASCII på nettet). Oversæt da Bell Labs igen og tag denne gang højde for såvel store som små bogstaver. Opgave 4 Oversæt ved hjælp af ASCII-indkodningskemaet beskeden OK til binær information og tegn dernæst signalbølgen for denne. Opgave 5 Antag, at signalbølgen for OK afsendes. På hvilke toppe eller dale skal den afsendte besked have været udsat for støj for, at den modtagne besked er enten OO eller KK.

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie???

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie??? Romertal. Hvordan var de struktureret?? Systematisk?? I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Regler: Hvis et lille tal skrives foran et stort tal trækkes tallet fra: IV = 5-1 = 4 Hvis et lille tal skrives

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund.

Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den digitale verden et barn af oplysningstiden Af redaktionen Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den elektroniske computer er blevet

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

1 Bits og Bytes Computere er fortræffelige til at opbevare data og behandle data Af data vil vi i dette afsnit primært beskæftige os med billeder, tekst og lyd, og se på, hvordan sådanne data lagres i

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Kommunikation og teknologi

Kommunikation og teknologi Kommunikation og teknologi Niveau: 8. klasse Varighed: 6 lektioner Præsentation: Forløbet Kommunikation er placeret i fysik-kemifokus.dk 8. klasse, men det er muligt at arbejde med forløbet både i 7.,

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Computerspil rapport. Kommunikation og IT. HTX Roskilde klasse 1.4. Casper, Mathias Nakayama, Anders, Lasse og Mads BC. Lærer - Karl Bjarnason

Computerspil rapport. Kommunikation og IT. HTX Roskilde klasse 1.4. Casper, Mathias Nakayama, Anders, Lasse og Mads BC. Lærer - Karl Bjarnason Computerspil rapport Kommunikation og IT HTX Roskilde klasse 1.4 Casper, Mathias Nakayama, Anders, Lasse og Mads BC Lærer - Karl Bjarnason Indledning Vi har lavet et computerspil i Python som er et quiz-spil

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Først skal du oprette dig i systemet, d. v. s. du skal have en såkaldt Googlekonto bestående af en mailadresse og et kodeord.

Først skal du oprette dig i systemet, d. v. s. du skal have en såkaldt Googlekonto bestående af en mailadresse og et kodeord. Gmail Indhold Indhold...1 Introduktion...2 Opret dig i systemet...2 At skrive mails...5 Sende en mail til flere personer...8 Vedhæfte en fil...9 Kladde...10 Signatur...11 Modtagne mails...12 Stjernemarkering...14

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

CASE: HVAD ER DIGITAL MUSIK?

CASE: HVAD ER DIGITAL MUSIK? CASE: HVAD ER DIGITAL MUSIK? INDHOLD REDEGØRELSE FOR HVORDAN VI KAN FORSTÅ DIGITAL MUSIK DISKUSSION AF DE NYE MULIGHEDER FOR DIGITAL DISTRIBUTION AF DIGITAL MUSIK HVILKE PERSPEKTIVER HAR DIGITAL MUSIK

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Rapport Undervisningsmateriale.

Rapport Undervisningsmateriale. Skrevet af Morten & Jacob A. 1.5 HTX Roskilde 2011 Side 1 Rapport Undervisningsmateriale. Arbejdsgruppen bestod af: Morten, Jacob A. fra 1.5. Dato: 6. maj 2011 Skrevet af: Morten & Jacob A. Fag: Kom/IT.

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

VISNINGS MATERIALE U N D E R. - opfindelser - damplokomotiv

VISNINGS MATERIALE U N D E R. - opfindelser - damplokomotiv U N D E R VISNINGS MATERIALE - opfindelser - Når vi taler om 1800-tallet, taler vi også ofte om industrialiseringen. Det var en tid, hvor der skete en stor udvikling i samfundet. Der kom flere og flere

Læs mere

computerens_udvikling

computerens_udvikling Computeren består af. ---------------------- En computer består af mange ting. Der er det samme i næsten alle computere, men der er en forskel - størrelsen på tingene. Dette er ikke fysisk, men f. eks.

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

COMPUTER ANATOMI. 4.-5. klasse 23. FEBRUAR 2015 HTX - ROSKILDE

COMPUTER ANATOMI. 4.-5. klasse 23. FEBRUAR 2015 HTX - ROSKILDE COMPUTER ANATOMI 4.-5. klasse 23. FEBRUAR 2015 HTX - ROSKILDE 1 Indholdsfortegnelse Kapitel 1: Opbygning s.2 Kapitel 2: CPU s.3 Kapitel 3: Motherboard s.4 Kapitel 4: Ram s.6 Kapitel 5: Grafikkort s.7 Kapitel

Læs mere

Fortroligt dokument. Matematisk projekt

Fortroligt dokument. Matematisk projekt Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Lidt om Bits & Bytes. Talsystemer

Lidt om Bits & Bytes. Talsystemer Lidt om Bits & Bytes En hurtig genopfriskning af: Bits, bytes, kilobytes Megahertz, bps, Bps... Tegnsæt, f.eks. Unicode Hvad er det og hvor bruges det? Moderne og gammelt IT udstyr snakker sammen via 0

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto

INDHOLDSFORTEGNELSE. Googles historie... Forord KAPITEL TO... 19. Introduktion til Google AdWords. Opret din AdWords-konto INDHOLDSFORTEGNELSE Googles historie... Forord KAPITEL ET... 9 Introduktion til Google AdWords Hvad er en søgemaskine?... 10 Hvad er Google AdWords?...11 Eksempel på en AdWords-annonce... 12 Googles partnernetværk...

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Mobiltelefoner og matematik

Mobiltelefoner og matematik Mobiltelefoner og matematik Forord og lærervejledning Mobiltelefonen er blevet et meget vigtigt kommunikationsredskab i de sidste år. Mange af skolens elever har i dag en mobiltelefon, som de ofte bruger.

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Kommunikation muligheder og begrænsninger

Kommunikation muligheder og begrænsninger Kommunikation muligheder og begrænsninger Overordnede problemstillinger Kommunikation er udveksling af informationer. Kommunikation opfattes traditionelt som en proces, hvor en afsender sender et budskab

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Tal i det danske sprog, analyse og kritik

Tal i det danske sprog, analyse og kritik Tal i det danske sprog, analyse og kritik 0 Indledning Denne artikel handler om det danske sprog og dets talsystem. I første afsnit diskuterer jeg den metodologi jeg vil anvende. I andet afsnit vil jeg

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Danskerne ser mere ulovligt TV på nettet

Danskerne ser mere ulovligt TV på nettet TokeWith DanmarksMedie2ogJournalisthøjskole 20142PUJ Forsidehistorie.+ 5 Danskerne ser mere ulovligt TV på nettet Forbrugerne ser mere og mere TV på 25 Det er et oprør mod priserne. Og nu sætter de dem

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Dansk-historie-opgave

Dansk-historie-opgave Dansk-historie-opgave Vejledning CG 2015 Opgaven i historie eller dansk (DHO) skal træne dig i at udarbejde en længere, faglig opgave. Den er første trin i en tretrinsraket med indbygget progression: I

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Modulationer i trådløs kommunikation

Modulationer i trådløs kommunikation Modulationer i trådløs kommunikation Valg af modulationstype er et af de vigtigste valg, når man vil lave trådløs kommunikation. Den rigtige modulationstype kan afgøre, om du kan fordoble din rækkevidde

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87.

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. Side 1 af 10 Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. At skrive At skrive er en væsentlig del af både din uddannelse og eksamen. Når du har bestået din eksamen,

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Lige i øjet, lige i øret, lige nu, lige her!

Lige i øjet, lige i øret, lige nu, lige her! Lige i øjet, lige i øret, lige nu, lige her! Vil du se en film eller høre noget ny musik? Gør brug af bibliotekets netmedier Gratis og helt lovligt giver Aarhus Kommunes Biblioteker adgang til spillefilm,

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL

OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM CUBA-KRISEN OG MATEMATISKE SPIL Indledning Den kolde krig er betegnelsen for perioden 1948 til 1989, hvor USA og USSR i kølvandet på anden verdenskrig

Læs mere

Podcatching. sådan finder, henter og abonnerer du på podcast. Instruktionshæfte. (Rev. 30.10.11) Podcastingkonsulent Karin Høgh

Podcatching. sådan finder, henter og abonnerer du på podcast. Instruktionshæfte. (Rev. 30.10.11) Podcastingkonsulent Karin Høgh Podcatching sådan finder, henter og abonnerer du på podcast Instruktionshæfte (Rev. 30.10.11) Podcastingkonsulent Karin Høgh www.podconsult.dk karin@podconsult.dk Indhold Introduktion...3 Ordforklaring...4

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software

Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software Følgende fremstilling er delvis baseret på Dr. Paul E. Dunne s forelæsningsnotater. Notaterne findes på http://www.csc.liv.ac.uk/~ped/teachadmin/histsci/content.html

Læs mere