Induktive og rekursive definitioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Induktive og rekursive definitioner"

Transkript

1 Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal regler. Vi starter med nogle eksempler: Sandhedsværdierne er opbygget fra de to basistilfælde TRUE og FALSE uden brug af regler. Derfor er der kun to sandhedsværdier, nemlig TRUE og FALSE selv. De skrives ofte også true og false. De naturlige tal er opbygget fra basis ZERO ved brug af én regel: hvis n er et naturligt tal, så ersucc(n) det også. De naturlige tal ser derfor således ud: ZERO SUCC(ZERO) SUCC(SUCC(ZERO)) SUCC(SUCC(SUCC(ZERO))) (1) SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))). Standard-notationen er velkendt: ZERO skrives 0 og SUCC(n) skrives 1 + n, ligesom vi normalt bruger decimal notation for hvert af tallene. SUCC(SUCC(SUCC(ZERO))) skrives f.eks. 3. Sekvenser over en mængde A er opbygget fra basis NIL, den tomme sekvens, ved brug af én regel: hvis a A, ogser en sekvens over A, såercons(a, s), dvs. a efterfulgt af s, også en sekvens over A. Hvis A={a, b} ser sekvenserne over A således ud: NIL CONS(a, NIL) CONS(b, NIL) CONS(a, CONS(a, NIL)) CONS(a, CONS(b, NIL)) CONS(b, CONS(a, NIL)) CONS(b, CONS(b, NIL)) CONS(a, CONS(a, CONS(a, NIL))) CONS(a, CONS(a, CONS(b, NIL))). For den tomme sekvens bruges også notationen Λ (stort lambda), λ (lille lambda) eller ɛ (epsilon) kært barn har mange navne. Sekvensen CONS(a, s) skrives normalt blot as. Den sidste sekvens ovenfor skrives normalt aab, idet også det afsluttende NIL udelades. 1 (2)

2 Binære træer er opbygget fra basis EMPTY, det tomme træ, ved brug af én regel: hvis t 1 og t 2 er binære træer, så ernode(t 1,t 2 ) det også. Dette træ består af en knude, kaldet roden, oghart 1 som venstre undertræ og t 2 som højre undertræ. Normalt beskrives binære træer med figurer så som EMPTY NODE(t 1,t 2 ) t1 t2 Det binære træ NODE(EMPTY, NODE(EMPTY, EMPTY)) afbildes som på figuren forneden til venstre. Det større træ til højre på figuren skrives formelt NODE(NODE(NODE(EMPTY, EMPTY), NODE(NODE(EMPTY, EMPTY), NODE(EMPTY, EMPTY))), NODE(NODE(EMPTY, EMPTY), NODE(EMPTY, NODE(EMPTY, EMPTY)))) (3) Bemærk, hvorledes de 10 forekomster af NODE svarer til de 10 hvide cirkler i figuren, mens de 11 forekomster af EMPTY svarer til de 11 sorte firkanter. 2

3 Sandhedsværdier I programmeringssproget SML kan sandhedsværdierne defineres som følger: datatype bool = TRUE FALSE (4) Datatypen bool har nu to værdier og svarer til mængden B = {true, false}. I SML kan datatypen bruges til at definere de logiske operationer: fun Not(TRUE) =FALSE Not(FALSE)=TRUE fun Or(TRUE, TRUE) =TRUE Or(TRUE, FALSE)=TRUE Or(FALSE, TRUE) =TRUE Or(FALSE, FALSE)=FALSE (5) Dette ligner jo til forveksling sandhedstabellerne fra Martin. SML svarer: val Not = fn : bool bool val Or = fn : bool bool bool (6) Dvs. Not er en funktion bool bool,mensor er en funktion bool bool bool. Som en sidebemærkning kan vi notere os at funktionen Or kan defineres mere kortfattet således: fun Or(TRUE,b)=TRUE Or(FALSE,b)=b (7) I denne definition splittes der kun op i de to tilfælde, som første argument giver anledning til. Som vi vil se nedenfor er denne form typisk. Opgave 1 Definer operationerne And ( ) og Implies ( ). Begge skal være funktioner af samme type som Or. Afprøv funktionerne, f.eks. ved at udføre kaldet Implies(FALSE, FALSE);. 3

4 Naturlige tal De naturlige tal defineres i SML som følger: datatype nat = ZERO SUCC of nat (8) Datatypen nat omfatter nu værdien ZERO og alle værdier på formen SUCCessor of a nat, dvs. SUCC(ZERO), SUCC(SUCC(ZERO)), osv. Dermed svarer værdierne i nat til mængden N af naturlige tal. Opgave 2 Definer funktionen Iszero : nat bool, der returnerer TRUE på input ZERO og FALSE på input, der ikke er ZERO. Afprøv definitionen. Vi definerer fordobling således: fun Double(ZERO) =ZERO (9) Double(SUCC(n)) = SUCC(SUCC(Double(n))) Dette skal forstås som følger: Vi vil gerne fordoble et naturligt tal. Hvis vores naturlige tal er 0, bliver resultatet 0. Hvis vores naturlige tal er efterfølger til tallet n, altså1+n, bliver resultatet efterfølgeren til efterfølgeren til det dobbelte af n, altså2 + 2 n. Med almindelig matematisk notation ville definitionen se således ud: Double(0) = 0 (10) Double(1 + n) =2+(Double(n)) Bemærk at funktionen Double : N N, som vi er ved at definere, forekommer igen ( it recurs ) på højre-siden af lighedstegnet. Derfor kaldes definitionen rekursiv. Her skal man naturligvis være varsom. Ikke alle rekursive forskrifter som den ovenfor giver anledning til veldefinerede funktioner. Det er afgørende, at (i) Funktionen defineres direkte, dvs. uden rekursive kald, på basis(her: ZERO eller 0). (ii) Når funktionen defineres på en værdi, der er opstået ved brug af en regel (her: SUCC(n) for n af type nat eller 1 + n for n N), så sker eventuelle rekursive kald på n. Dette sikrer, at rekursionen i hvert trin nærmer sig basis, hvor den stopper pga. punkt (i). F.eks. kaldes Double rekursivt på værdien 2, så på1ogtilsidstpå 0 under udregning af at Double(3) = 6. For datatypen ser beregningen sådan ud: Double(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))) = SUCC(SUCC(Double(SUCC(SUCC(ZERO))))) = SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(Double(SUCC(ZERO)))))) = SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(Double(ZERO))))))) = SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))))) 4

5 Sammenlign med hvad der sker, hvis vi forsøger at definere Double som følger Double(0) = 0 Double(1 + n) =Double(1 + n) (11) Disse ligninger er også sande, men som en definition går det ikke: Opgave 3 Skriv den tilsvarende definition i SML og prøv at udføre kaldet Double(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))); (12) Hvad sker der og hvorfor? Ret definitionen til den korrekte (9) og afprøv den. Operationer som addition og multiplikation kan defineres på samme måde som Or (jf. (7)): fun Add (ZERO,m)=m Add (SUCC(n), m)=succ(add (n, m)) fun Mult(ZERO,m)=ZERO Mult(SUCC(n), m)=add (m, Mult(n, m)) (13) Vi siger, at Add og Mult er definerede rekursivt på første argument, fordi vi splitter op i to tilfælde alt efter formen på første argument. Opgave 4 Definer fakultetsfunktionen Fac rekursivt, således at Fac(n) = n!. Afprøv definitionen. Opgave 5 Definer potensopløftning Pow rekursivt på andet argument, således at Pow(m, n) =m n. Afprøv definitionen. Opgave 6 Definer funktionen Equal : nat nat bool,derpå input (n, m) returnerer TRUE præcis hvis m og n er det samme tal. Hint: brug rekursion på begge argumenter. Afprøv definitionen. Opgave 7 Betragt definitionen af de såkaldte Fibonacci-tal: Fib(0) = 1 Fib(1) = 1 Fib(2 + n) =Fib(1 + n)+fib(n) (14) Giv en tilsvarende definition i SML. Kontroller at Fib(6) = 13. 5

6 Sekvenser Sekvenser af naturlige tal kan i SML defineres som følger: datatype seq = NIL CONS of nat seq (15) Datatypen seq omfatter nu værdien NIL og alle værdier der er CONS-tructed from a nat and a seq, f.eks: CONS(ZERO, NIL) og CONS(ZERO, CONS(ZERO, NIL)). (16) Dermed svarer værdierne i seq til mængden N af sekvenser af naturlige tal. Vi definerer længde og sammensætning som følger: fun Length(NIL) =ZERO Length(CONS(n, s)) = SUCC(Length(s)) fun Concat(NIL,s )=s Concat(CONS(n, s),s )=CONS(n, Concat(s, s )) (17) Opgave 8 Definer funktionen Sum : seq nat rekursivt, således at Sum(s) returnerer summen af tallene i s. Afprøv definitionen. Opgave 9 Definer funktionen Rev rekursivt, således at Rev (s) returnerer sekvensen s vendt om (reverseret). Afprøv definitionen. Opgave 10 Definer funktionen Contains : nat seq bool rekursivt på andet argument. Funktionen skal på input (n, s) returnere TRUE præcis hvis s indeholder n. Afprøv definitionen. Opgave 11 Definer funktionen Prefix : seq seq bool rekursivt på begge argumenter. Funktionen skal på input (s, s ) returnere TRUE præcis hvis s er et præfiks af s. Afprøv definitionen. Opgave 12 Definer funktionen SeqEqual : seq seq bool,der på input (s, s ) returnerer TRUE præcis hvis s og s er den samme sekvens. Afprøv definitionen. Opgave 13 Definer en datatype bseq svarende til mængden B af sekvenser af sandhedsværdier. Definer også funktionerne SeqOr : bseq bool og SeqAnd : bseq bool. Argumenter for værdien af disse to funktioner på den tomme sekvens af sandhedsværdier. 6

7 Binære træer Binære træer kan i SML defineres som følger: datatype tree = EMPTY NODE of tree tree (18) Værdierne af typen tree svarer til mængden af binære træer. Da reglen for konstruktion af det binære træ NODE(t 1,t 2 ) fra de binære træer t 1 og t 2 involverer to mindre værdier i stedet for kun en som hidtil, vil rekursive funktioner på binære træer normalt involvere to rekursive kald. Vi definerer størrelse og spejlvending som følger: fun Size(EMPTY) =ZERO Size(NODE(t 1,t 2 )) = SUCC(Add (Size(t 1 ), Size(t 2 ))) (19) fun Mirror(EMPTY) =EMPTY Mirror(NODE(t 1,t 2 )) = NODE(Mirror(t 2 ), Mirror(t 1 )) Opgave 14 Betragt definitionen af højden af et binært træ: Height(EMPTY) =0 (20) Height(NODE(t 1,t 2 )) = 1 + Max(Height(t 1 ), Height(t 2 )) Giv en tilsvarende definition i SML. Du får brug for at definere operationen Max på naturlige tal. Binære træer bliver mere interessante, hvis deres knuder indeholder information. Vi vil derfor ændre vores definition af binære træer, så defår naturlige tal i knuderne: datatype tree = EMPTY NODE of tree nat tree (21) Opgave 15 Ret i definitionerne af Size, Mirror og Height så de passer til den nye version af tree. Opgave 16 Definer funktionen TreeSum : tree nat således at TreeSum(t) returnerer summen af tallene i t. Afprøv definitionen. Opgave 17 Definer funktionen TreeContains : nat tree bool sådenpå input (n, t) returnerer TRUE præcis hvis t indeholder n. Afprøv definitionen. Opgave 18 Definer funktionen Flatten : tree seq, der returnerer en sekvens indeholdende de naturlige tal, der forekommer i t. Hvordan skal din definition ændres for at opnå forskellige rækkefølger af tallene i t? (Hint/udfordring: der er 6 naturlige rækkefølger). Opgave 19 Skriv en funktion TreeAdd : nat tree tree der på input (n, t) returnerer træet, der opnås ved at lægge n til tallene i alle t s knuder. 7

8 Udtryk Udsagnslogiske udtryk kan i SML defineres som datatypen datatype prop = BOOL of bool NOT of prop OR of prop prop AND of prop prop IMPLIES of prop prop (22) Vi kan beregne sandhedsværdien af et udsagnslogisk udtryk med funktionen Value : prop bool. Denne funktion defineres ved hjælp af vores operationer på sandhedsværdier: fun Value(BOOL(b)) = b Value(NOT(p)) = Not(Value(p)) Value(OR(p, q)) = Or(Value(p), Value(q)) Value(AND(p, q)) = And(Value(p), Value(q)) Value(IMPLIES(p, q)) = Implies(Value(p), Value(q)) (23) Opgave 20 Definer en funktion RemoveImp : prop prop, der omskriver et logisk udtryk vha. ækvivalensen p q p q sådan at resultatet bliver et logisk udtryk uden implikation. Kontroller at funktionen på input (false false) false returnerer udtrykket ( false false) false. Opgave 21 Definer en datatype, der beskriver aritmetiske udtryk over naturlige tal, fordobling, addition og multiplikation. Definer også en rekursiv funktion, der beregner værdien af et aritmetisk udtryk. 8

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype.

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. 16 Træer. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. Gennemløb af binære træer. Træer i Eiffel. 229 Definition af et træ.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.

3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. 3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.

Læs mere

Divide-and-Conquer algoritmer

Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

DATALOGI 0 GA. Skriftlig eksamen tirsdag den 18. januar 2005 af to timers varighed. Opgavesæt med vejledende løsninger

DATALOGI 0 GA. Skriftlig eksamen tirsdag den 18. januar 2005 af to timers varighed. Opgavesæt med vejledende løsninger Københavns Universitet bacheloruddannelsen i datalogi side 1 af 6 DATALOGI 0 GA Skriftlig eksamen tirsdag den 18. januar 2005 af to timers varighed Opgavesæt med vejledende løsninger Dette opgavesæt består

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Rekursion C#-version

Rekursion C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Sommer 1999 Opgavesættet består af 5 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 15% Opgave 2 15% Opgave 3 8% Opgave

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Abstrakte datatyper C#-version

Abstrakte datatyper C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Abstrakte datatyper C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Abstrakte Datatyper Denne note introducerer kort begrebet abstrakt datatype

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Boolsk algebra For IT studerende

Boolsk algebra For IT studerende Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Noter til C# Programmering Selektion

Noter til C# Programmering Selektion Noter til C# Programmering Selektion Sætninger Alle sætninger i C# slutter med et semikolon. En sætning kontrollerer sekvensen i programafviklingen, evaluerer et udtryk eller gør ingenting Blanktegn Mellemrum,

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

Løsningsforslag Skriftlig eksamen 5. januar 2011

Løsningsforslag Skriftlig eksamen 5. januar 2011 Løsningsforslag Skriftlig eksamen 5. januar 2011 Version 3, 2011-01-28 Spørgsmål 1 Spørgsmål 1.1 b c d 1 2 b c d Spørgsmål 1.2 Det regulære udtryk kunne være: (b c d)((b c d)(b c d)) Spørgsmål 1.3 Her

Læs mere

Kursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0.

Kursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0. Kursus 02199: Programmering afsnit 3.1-3.5 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Kontrol af programudførn (afsnit 3.1) 2. Valg-sætninger (if og switch) (afsnit 3.2 og 3.3) 3. Bloksætninger (afsnit 3.2) 4. Logiske

Læs mere

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )?

Opgave 1 (10%) I det følgende angiver log n 2-tals-logaritmen af n. Ja Nej. n+3n er O(2n)? n 6 er O(n 5 )? nlogn er O(n 2 /logn)? 4n 3 er O(3n 4 )? Eksamen juni Algoritmer og Datastrukturer (-ordning) Side af sider Opgave (%) I det følgende angiver log n -tals-logaritmen af n. n+n er O(n)? n 6 er O(n )? nlogn er O(n /logn)? n er O(n )? n er O(n )?

Læs mere

Algoritmer og invarianter

Algoritmer og invarianter Algoritmer og invarianter Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

JavaScript. nedarvning.

JavaScript. nedarvning. JavaScript er et sprog, der kan give en hjemmeside mere funktionalitet og gøre den interaktiv, så den reagerer på læsernes handlinger. CGI (Common Gateway Interface) har hidtil været de protokoller, man

Læs mere

BRP Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer

BRP Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer BRP 13.9.2006 Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer 1. Opgaverne til i dag dækker det meste af stoffet 2. Resten af stoffet logaritmer binære træer 3. Øvelse ny programmeringsopgave

Læs mere

University of Southern Denmark Syddansk Universitet. DM502 Forelæsning 10

University of Southern Denmark Syddansk Universitet. DM502 Forelæsning 10 DM502 Forelæsning 10 Rekursion Fakultet n! Fibonaccitallene 2. projektopgave Opgaven Formalia Indhold Rekursion Rekursion Prøv at definere en liste af tal uden at bruge ordet liste Rekursion Prøv at definere

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Sproget Limba. Til brug i G1 og K1. Dat1E 2003

Sproget Limba. Til brug i G1 og K1. Dat1E 2003 Sproget Limba Til brug i G1 og K1 Dat1E 2003 Abstract Limba er et simpelt imperativt sprog med hoballokerede tupler. Dette dokument beskriver uformelt Limbas syntaks og semantik samt en fortolker for Limba,

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Introduktion. Philip Bille

Introduktion. Philip Bille Introduktion Philip Bille Plan Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Algoritmer og datastrukturer Hvad er det? Algoritmisk problem: præcist defineret relation mellem

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4 Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]

Læs mere

Søgning og Sortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Philip Bille Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft

Kombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af

Læs mere

BRP Sortering og søgning. Hægtede lister

BRP Sortering og søgning. Hægtede lister BRP 18.10.2006 Sortering og søgning. Hægtede lister 1. Opgaver 2. Selection sort (udvælgelsessortering) 3. Kompleksitetsanalyse 4. Merge sort (flettesortering) 5. Binær søgning 6. Hægtede lister 7. Øvelser:

Læs mere

Eksempel: Skat i år 2000

Eksempel: Skat i år 2000 Kursus 02199: Programmering afsnit 2.1-2.7 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Værdier og typer (bl.a. char, boolean, int, double) (afsnit 2.4) 2. Variable og konstanter (afsnit 2.3) 3. Sætninger (bl.a. assignments)

Læs mere

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen mandag den 23. juni 2003

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen mandag den 23. juni 2003 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen mandag den 23. juni 2003 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen herunder, og hver opgaves besvarelse bedømmes

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen herunder, og hver opgaves besvarelse bedømmes

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Regulære udtryk og endelige automater

Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk: deklarative dvs. ofte velegnede til at specificere regulære sprog Endelige automater: operationelle dvs. bedre egnet til at afgøre om en given streng

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA! 1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation

Læs mere

Python programmering. Per Tøfting. MacFest

Python programmering. Per Tøfting. MacFest Python programmering MacFest 2005 Per Tøfting http://pertoefting.dk/macfest/ Indhold Måder at afvikle Python program på Variabler Data typer Tal Sekvenser Strenge Tupler Lister Dictionaries Kontrolstrukturer

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere