Induktive og rekursive definitioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Induktive og rekursive definitioner"

Transkript

1 Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal regler. Vi starter med nogle eksempler: Sandhedsværdierne er opbygget fra de to basistilfælde TRUE og FALSE uden brug af regler. Derfor er der kun to sandhedsværdier, nemlig TRUE og FALSE selv. De skrives ofte også true og false. De naturlige tal er opbygget fra basis ZERO ved brug af én regel: hvis n er et naturligt tal, så ersucc(n) det også. De naturlige tal ser derfor således ud: ZERO SUCC(ZERO) SUCC(SUCC(ZERO)) SUCC(SUCC(SUCC(ZERO))) (1) SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))). Standard-notationen er velkendt: ZERO skrives 0 og SUCC(n) skrives 1 + n, ligesom vi normalt bruger decimal notation for hvert af tallene. SUCC(SUCC(SUCC(ZERO))) skrives f.eks. 3. Sekvenser over en mængde A er opbygget fra basis NIL, den tomme sekvens, ved brug af én regel: hvis a A, ogser en sekvens over A, såercons(a, s), dvs. a efterfulgt af s, også en sekvens over A. Hvis A={a, b} ser sekvenserne over A således ud: NIL CONS(a, NIL) CONS(b, NIL) CONS(a, CONS(a, NIL)) CONS(a, CONS(b, NIL)) CONS(b, CONS(a, NIL)) CONS(b, CONS(b, NIL)) CONS(a, CONS(a, CONS(a, NIL))) CONS(a, CONS(a, CONS(b, NIL))). For den tomme sekvens bruges også notationen Λ (stort lambda), λ (lille lambda) eller ɛ (epsilon) kært barn har mange navne. Sekvensen CONS(a, s) skrives normalt blot as. Den sidste sekvens ovenfor skrives normalt aab, idet også det afsluttende NIL udelades. 1 (2)

2 Binære træer er opbygget fra basis EMPTY, det tomme træ, ved brug af én regel: hvis t 1 og t 2 er binære træer, så ernode(t 1,t 2 ) det også. Dette træ består af en knude, kaldet roden, oghart 1 som venstre undertræ og t 2 som højre undertræ. Normalt beskrives binære træer med figurer så som EMPTY NODE(t 1,t 2 ) t1 t2 Det binære træ NODE(EMPTY, NODE(EMPTY, EMPTY)) afbildes som på figuren forneden til venstre. Det større træ til højre på figuren skrives formelt NODE(NODE(NODE(EMPTY, EMPTY), NODE(NODE(EMPTY, EMPTY), NODE(EMPTY, EMPTY))), NODE(NODE(EMPTY, EMPTY), NODE(EMPTY, NODE(EMPTY, EMPTY)))) (3) Bemærk, hvorledes de 10 forekomster af NODE svarer til de 10 hvide cirkler i figuren, mens de 11 forekomster af EMPTY svarer til de 11 sorte firkanter. 2

3 Sandhedsværdier I programmeringssproget SML kan sandhedsværdierne defineres som følger: datatype bool = TRUE FALSE (4) Datatypen bool har nu to værdier og svarer til mængden B = {true, false}. I SML kan datatypen bruges til at definere de logiske operationer: fun Not(TRUE) =FALSE Not(FALSE)=TRUE fun Or(TRUE, TRUE) =TRUE Or(TRUE, FALSE)=TRUE Or(FALSE, TRUE) =TRUE Or(FALSE, FALSE)=FALSE (5) Dette ligner jo til forveksling sandhedstabellerne fra Martin. SML svarer: val Not = fn : bool bool val Or = fn : bool bool bool (6) Dvs. Not er en funktion bool bool,mensor er en funktion bool bool bool. Som en sidebemærkning kan vi notere os at funktionen Or kan defineres mere kortfattet således: fun Or(TRUE,b)=TRUE Or(FALSE,b)=b (7) I denne definition splittes der kun op i de to tilfælde, som første argument giver anledning til. Som vi vil se nedenfor er denne form typisk. Opgave 1 Definer operationerne And ( ) og Implies ( ). Begge skal være funktioner af samme type som Or. Afprøv funktionerne, f.eks. ved at udføre kaldet Implies(FALSE, FALSE);. 3

4 Naturlige tal De naturlige tal defineres i SML som følger: datatype nat = ZERO SUCC of nat (8) Datatypen nat omfatter nu værdien ZERO og alle værdier på formen SUCCessor of a nat, dvs. SUCC(ZERO), SUCC(SUCC(ZERO)), osv. Dermed svarer værdierne i nat til mængden N af naturlige tal. Opgave 2 Definer funktionen Iszero : nat bool, der returnerer TRUE på input ZERO og FALSE på input, der ikke er ZERO. Afprøv definitionen. Vi definerer fordobling således: fun Double(ZERO) =ZERO (9) Double(SUCC(n)) = SUCC(SUCC(Double(n))) Dette skal forstås som følger: Vi vil gerne fordoble et naturligt tal. Hvis vores naturlige tal er 0, bliver resultatet 0. Hvis vores naturlige tal er efterfølger til tallet n, altså1+n, bliver resultatet efterfølgeren til efterfølgeren til det dobbelte af n, altså2 + 2 n. Med almindelig matematisk notation ville definitionen se således ud: Double(0) = 0 (10) Double(1 + n) =2+(Double(n)) Bemærk at funktionen Double : N N, som vi er ved at definere, forekommer igen ( it recurs ) på højre-siden af lighedstegnet. Derfor kaldes definitionen rekursiv. Her skal man naturligvis være varsom. Ikke alle rekursive forskrifter som den ovenfor giver anledning til veldefinerede funktioner. Det er afgørende, at (i) Funktionen defineres direkte, dvs. uden rekursive kald, på basis(her: ZERO eller 0). (ii) Når funktionen defineres på en værdi, der er opstået ved brug af en regel (her: SUCC(n) for n af type nat eller 1 + n for n N), så sker eventuelle rekursive kald på n. Dette sikrer, at rekursionen i hvert trin nærmer sig basis, hvor den stopper pga. punkt (i). F.eks. kaldes Double rekursivt på værdien 2, så på1ogtilsidstpå 0 under udregning af at Double(3) = 6. For datatypen ser beregningen sådan ud: Double(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))) = SUCC(SUCC(Double(SUCC(SUCC(ZERO))))) = SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(Double(SUCC(ZERO)))))) = SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(Double(ZERO))))))) = SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))))) 4

5 Sammenlign med hvad der sker, hvis vi forsøger at definere Double som følger Double(0) = 0 Double(1 + n) =Double(1 + n) (11) Disse ligninger er også sande, men som en definition går det ikke: Opgave 3 Skriv den tilsvarende definition i SML og prøv at udføre kaldet Double(SUCC(SUCC(SUCC(ZERO)))); (12) Hvad sker der og hvorfor? Ret definitionen til den korrekte (9) og afprøv den. Operationer som addition og multiplikation kan defineres på samme måde som Or (jf. (7)): fun Add (ZERO,m)=m Add (SUCC(n), m)=succ(add (n, m)) fun Mult(ZERO,m)=ZERO Mult(SUCC(n), m)=add (m, Mult(n, m)) (13) Vi siger, at Add og Mult er definerede rekursivt på første argument, fordi vi splitter op i to tilfælde alt efter formen på første argument. Opgave 4 Definer fakultetsfunktionen Fac rekursivt, således at Fac(n) = n!. Afprøv definitionen. Opgave 5 Definer potensopløftning Pow rekursivt på andet argument, således at Pow(m, n) =m n. Afprøv definitionen. Opgave 6 Definer funktionen Equal : nat nat bool,derpå input (n, m) returnerer TRUE præcis hvis m og n er det samme tal. Hint: brug rekursion på begge argumenter. Afprøv definitionen. Opgave 7 Betragt definitionen af de såkaldte Fibonacci-tal: Fib(0) = 1 Fib(1) = 1 Fib(2 + n) =Fib(1 + n)+fib(n) (14) Giv en tilsvarende definition i SML. Kontroller at Fib(6) = 13. 5

6 Sekvenser Sekvenser af naturlige tal kan i SML defineres som følger: datatype seq = NIL CONS of nat seq (15) Datatypen seq omfatter nu værdien NIL og alle værdier der er CONS-tructed from a nat and a seq, f.eks: CONS(ZERO, NIL) og CONS(ZERO, CONS(ZERO, NIL)). (16) Dermed svarer værdierne i seq til mængden N af sekvenser af naturlige tal. Vi definerer længde og sammensætning som følger: fun Length(NIL) =ZERO Length(CONS(n, s)) = SUCC(Length(s)) fun Concat(NIL,s )=s Concat(CONS(n, s),s )=CONS(n, Concat(s, s )) (17) Opgave 8 Definer funktionen Sum : seq nat rekursivt, således at Sum(s) returnerer summen af tallene i s. Afprøv definitionen. Opgave 9 Definer funktionen Rev rekursivt, således at Rev (s) returnerer sekvensen s vendt om (reverseret). Afprøv definitionen. Opgave 10 Definer funktionen Contains : nat seq bool rekursivt på andet argument. Funktionen skal på input (n, s) returnere TRUE præcis hvis s indeholder n. Afprøv definitionen. Opgave 11 Definer funktionen Prefix : seq seq bool rekursivt på begge argumenter. Funktionen skal på input (s, s ) returnere TRUE præcis hvis s er et præfiks af s. Afprøv definitionen. Opgave 12 Definer funktionen SeqEqual : seq seq bool,der på input (s, s ) returnerer TRUE præcis hvis s og s er den samme sekvens. Afprøv definitionen. Opgave 13 Definer en datatype bseq svarende til mængden B af sekvenser af sandhedsværdier. Definer også funktionerne SeqOr : bseq bool og SeqAnd : bseq bool. Argumenter for værdien af disse to funktioner på den tomme sekvens af sandhedsværdier. 6

7 Binære træer Binære træer kan i SML defineres som følger: datatype tree = EMPTY NODE of tree tree (18) Værdierne af typen tree svarer til mængden af binære træer. Da reglen for konstruktion af det binære træ NODE(t 1,t 2 ) fra de binære træer t 1 og t 2 involverer to mindre værdier i stedet for kun en som hidtil, vil rekursive funktioner på binære træer normalt involvere to rekursive kald. Vi definerer størrelse og spejlvending som følger: fun Size(EMPTY) =ZERO Size(NODE(t 1,t 2 )) = SUCC(Add (Size(t 1 ), Size(t 2 ))) (19) fun Mirror(EMPTY) =EMPTY Mirror(NODE(t 1,t 2 )) = NODE(Mirror(t 2 ), Mirror(t 1 )) Opgave 14 Betragt definitionen af højden af et binært træ: Height(EMPTY) =0 (20) Height(NODE(t 1,t 2 )) = 1 + Max(Height(t 1 ), Height(t 2 )) Giv en tilsvarende definition i SML. Du får brug for at definere operationen Max på naturlige tal. Binære træer bliver mere interessante, hvis deres knuder indeholder information. Vi vil derfor ændre vores definition af binære træer, så defår naturlige tal i knuderne: datatype tree = EMPTY NODE of tree nat tree (21) Opgave 15 Ret i definitionerne af Size, Mirror og Height så de passer til den nye version af tree. Opgave 16 Definer funktionen TreeSum : tree nat således at TreeSum(t) returnerer summen af tallene i t. Afprøv definitionen. Opgave 17 Definer funktionen TreeContains : nat tree bool sådenpå input (n, t) returnerer TRUE præcis hvis t indeholder n. Afprøv definitionen. Opgave 18 Definer funktionen Flatten : tree seq, der returnerer en sekvens indeholdende de naturlige tal, der forekommer i t. Hvordan skal din definition ændres for at opnå forskellige rækkefølger af tallene i t? (Hint/udfordring: der er 6 naturlige rækkefølger). Opgave 19 Skriv en funktion TreeAdd : nat tree tree der på input (n, t) returnerer træet, der opnås ved at lægge n til tallene i alle t s knuder. 7

8 Udtryk Udsagnslogiske udtryk kan i SML defineres som datatypen datatype prop = BOOL of bool NOT of prop OR of prop prop AND of prop prop IMPLIES of prop prop (22) Vi kan beregne sandhedsværdien af et udsagnslogisk udtryk med funktionen Value : prop bool. Denne funktion defineres ved hjælp af vores operationer på sandhedsværdier: fun Value(BOOL(b)) = b Value(NOT(p)) = Not(Value(p)) Value(OR(p, q)) = Or(Value(p), Value(q)) Value(AND(p, q)) = And(Value(p), Value(q)) Value(IMPLIES(p, q)) = Implies(Value(p), Value(q)) (23) Opgave 20 Definer en funktion RemoveImp : prop prop, der omskriver et logisk udtryk vha. ækvivalensen p q p q sådan at resultatet bliver et logisk udtryk uden implikation. Kontroller at funktionen på input (false false) false returnerer udtrykket ( false false) false. Opgave 21 Definer en datatype, der beskriver aritmetiske udtryk over naturlige tal, fordobling, addition og multiplikation. Definer også en rekursiv funktion, der beregner værdien af et aritmetisk udtryk. 8

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Rekursion C#-version

Rekursion C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannn i Informationsteknologi Rekursion C#-version Finn Nordbjerg 1 Rekursion Rekursionsbegrebet bygger på, at man beskriver noget ved "sig selv". Fx. kan tallet

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Induktion

BOSK F2011, 1. del: Induktion P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Objektorienteret design med arv og polymorfi:

Objektorienteret design med arv og polymorfi: Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Objektorienteret design med arv og polymorfi: Substitutionsprincippet Composite Design Pattern Finn Nordbjerg Side 1 Objektorienteret

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Start af nyt schematic projekt i Quartus II

Start af nyt schematic projekt i Quartus II Start af nyt schematic projekt i Quartus II Det følgende er ikke fremstillet som en brugsanvisning der gennemgår alle de muligheder der er omkring oprettelse af et Schematic projekt i Quartus II men kun

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Crash Course i Programmering. HumTek, RUC

Crash Course i Programmering. HumTek, RUC Crash Course i Programmering HumTek, RUC Kursus mål At give en basal introduktion til programmering i sproget Processing At give et overblik over sprogets potentiale At have det sjovt :-) Kursus form Meget

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Programmering i C. Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet. Sammendrag

Programmering i C. Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet. Sammendrag Programmering i C Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet Sammendrag Dette er et undervisningsmateriale om introducerende programmering i et imperativt sprog. Mere konkret er det et

Læs mere

Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software

Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software Følgende fremstilling er delvis baseret på Dr. Paul E. Dunne s forelæsningsnotater. Notaterne findes på http://www.csc.liv.ac.uk/~ped/teachadmin/histsci/content.html

Læs mere

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer.

Benyt evt. programmeringsguiden Kør frem vælg sekunder i stedet for rotationer. Lego Mindstorms Education NXT nat1 nat april 2014 Dette dokument ligger på adressen: http://www.frborg-gymhf.dk/eh/oev/legonxtnat1nat2014.pdf Følgende er en introduction til Lego Mindstorms NXT. Her er

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for matematik C

Undervisningsbeskrivelse for matematik C Termin Termin hvor undervisnings afsluttes: maj-juni skoleåret 12/13 Institution Thisted Gymnasium og HF-kursus Uddannelse STX Fag og niveau Matematik C Lære Mads Lundbak Severinsen Hold 1.d Oversigt over

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Family Tree Maker Hints omkring det at lave træer

Family Tree Maker Hints omkring det at lave træer Nærværende vejledning vil omfatte hints til forfædretræ (vifte, standard & vertikalt), efterkommertræ (vifte & standard), timeglastræ (vifte & standard) og alle-i-et træ. Da mange af tingene er identiske

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Kort og godt om test af arkiveringsversioner

Kort og godt om test af arkiveringsversioner Kort og godt om test af arkiveringsversioner Data og dokumenter fra den offentlige forvaltnings it-systemer, som skal bevares for eftertiden, skal afleveres til arkiv i form af arkiveringsversioner. Arkiveringsversioner

Læs mere

Peter Kragh Hansen. Microsoft Excel 2013 Videregående. ISBN nr.: 978-87-93212-02-2

Peter Kragh Hansen. Microsoft Excel 2013 Videregående. ISBN nr.: 978-87-93212-02-2 Peter Kragh Hansen Microsoft Excel 2013 Videregående ISBN nr.: 978-87-93212-02-2 I n d h o l d s f o r t e g n e l s e Introduktion... 1 Funktioner... 2 Syntaks (Grammatik)... 2 Guiden Funktion... 4 Formelhjælp...6

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

En note om Programmering

En note om Programmering En note om Programmering Kurt Nørmark Institut for Datalogi Aalborg Universitet normark@cs.aau.dk Resumé Denne note er en introduktion til programmering. Formålet er at give dig et indblik i hvad programmering

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Installationsvejledning Family Tree Maker

Installationsvejledning Family Tree Maker Side 1 af 10 Først og fremmest tillykke med din nye version, oversat til dansk af undertegnede. Håber du bliver lige så glad for alle dens muligheder, som så mange over hele verden er blevet det. Installation

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

LRESULT CALLBACK WndProc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam) { int wmid, wmevent; programmering med

LRESULT CALLBACK WndProc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam) { int wmid, wmevent; programmering med LRESULT CALLBACK WndProc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam) int wmid, wmevent; PAINTSTRUCT Introduktion ps; til HDC hdc; programmering med switch (message) case WM_COMMAND: wmid = LOWORD(wParam);

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Introduktion til Domæneteori

Introduktion til Domæneteori Introduktion til Domæneteori 1995 Mads Rosendahl Datalogisk Institut Københavns Universitet Disse noter er skrevet til Introduktionskurset i Semantik afholdt første gang i efteråret 1992. Noterne er siden

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Kursusbeskrivelse. Forarbejde. Oprettelse af en Access-database

Kursusbeskrivelse. Forarbejde. Oprettelse af en Access-database Kursusbeskrivelse Oprettelse af en Access-database Som eksempel på en Access-database oprettes en simpelt system til administration af kurser. Access-databasen skal indeholde: et instruktørkartotek et

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

+ "&"' +,! ")& - )'.** /, )'.** 1 2 "&"' +,! 3 *4 5

+ &' +,! )& - )'.** /, )'.** 1 2 &' +,! 3 *4 5 !"#!"# $&'( # $ "&"' ( )* =NUTIDSVÆRDI(B8;B12:K12)-B4 ")&# + "&"' +,! ")& - )'.** / 0, )'.** 1 2 "&"' +,! 3 *4 64 " *7)*7 '7 )87 )'.**!"# 9 )( )"* $ 3 (!" 3 :: 3 :"*;8: 3 Range( A1:A10 ).Cells(3)

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Niveauer af abstrakte maskiner

Niveauer af abstrakte maskiner Det digitale niveau Niveauer af abstrakte maskiner Digitale kredsløb Logiske tilstande: (- V), (2-5 V) Kombinatoriske kredsløb Logiske tilstande: (- V), (2-5 V) Registre Logiske tilstande: (- V), (2-5

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere