- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog"

Transkript

1 Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive lov for additio og multiplikatio... De modsatte regeoperatioer: Subtraktio og divisio... 3 Rige og legemer Fra rig til legeme: Regig med restklasser... Modulus-fuktioe... Additio og multiplikatio af restklasser... 5 Restklasserige, hvor er et aturligt tal... 8 Restklasselegemet p, hvor p er et primtal Fra legeme til rig: Regig med polyomier... Polyomiumsrige F [ x], hvor F er et tallegeme... Restklasser md polyomier... 3 CASE : Irratioale tallegemer... CASE : - (De komplekse tal)... 7 é ë û Galois-legemere GF p... 0 Irreducible polyomier over... 0 é ë û Regig med bytes: GF... é ë û 8 Regig med words: GF... é ë û Regig i Galoislegemere GF... 8 Stadardrepræsetatioere af Galoislegemer over Projektet sigter mod at give de ødvedige baggrud for at forstå strukture af Galois-legemere baseret på -bit-koder og 8-bit-koder, der ligger til grud for de fejlrettede koder i fx de kvadratiske QR-koder. Først itroduceres talrige og tallegemer. Der fokuseres på talsystemer, der udspriger fra de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal. Alle rige og legemer i dette projekt er derfor kommutative! Ved at arbejde med restklasser og polyomier vises det hvorda ma ka udvide tallegemer ved at tilføje rødder fra irreducible polyomier. Det historiske hovedeksempel er de komplekse tal, hvor ma tilføjer -, me i dette projekt går vi videre og ser også på strukture af de edelige tallegemer, restklasselegemere p, hvor p er et primtal, samt Galois-legemere GF é ëp û baseret på e primtalspotes. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

2 I dette projekt skal vi kigge på forskellige talsystemer med heblik på bedre at forstå fejlrettede koder. Me vi starter med de mest almidelige talsystemer, de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal, og arbejder os så frem mod de edelige talsystemer, de såkaldte Galois-legemer, der ligger bag de fejlrettede koder i fx de kvadratiske QR-koder. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og De mest almidelige talsystemer er de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal. De rummer alle tre e række egeskaber ved talsystemer, der er meget attraktive: De kommutative, associative og distributive lov for additio og multiplikatio I alle tre tilfælde bygger de på to regeoperatioer + (plus/additio) og (gage/multiplikatio) med følgede egeskaber: Regeoperatioere er kommutative, dvs. år vi lægger to tal samme eller gager to tal med hiade er rækkefølge af tallee ligegyldig: a+ b= b+ a ab = ba Regeoperatioere er associative, dvs. år vi lægger tre tal samme (ved hjælp af to additioer) eller gager tre tal med hiade (ved hjælp af to multiplikatioer), så er rækkefølge af regeoperatioere ligegyldige, dvs. a+ b+ c= ( a+ b) + c= a+ ( b+ c) abc = ( ab ) c= a ( bc ) Regeoperatioere er distributive, dvs. år vi gager id i e sum sker det ledvis: a ( b+ c) = ab + ac Vi tæker sjældet over de to regeoperatioer, me de er i virkelighede meget fudametale og forekler fx ligigsløsig betydeligt. Øvelse : b Idefor de aturlige tal, har vi også e tredje regeoperatio, potesopløftig a^b= a, hvor vi ormalt foretrækker de sidste skrivemåde med løftet ekspoet, me her også bruger de første med potesteget ^ for etop at fremhæve, at der er tale om e regeoperatio. a) Gør rede for, at potesopløftig ikke er kommutativ. b) Gør rede for, at potesopløftig ikke er associativ. c) Ka ma i e vis forstad sige, at potesopløftig er distributiv med hesy til multiplikatio? d) Ka ma i e vis forstad sige, at potesopløftig er distributiv med hesy til additio? Det ka syes ret uskyldigt at potesopløftig på de måde er mere kompliceret ed additio og multiplikatio, me i de aksiomatiske opbygig af talteorie fører det til alvorlige vaskeligheder. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

3 De modsatte regeoperatioer: Subtraktio og divisio Til hver af de to regeoperatioer hører der u e modsat regeoperatio, subtraktio heholdsvis divisio. Til at begyde med lægger vi mærke til, at de gægse talsystemer,, og, dels ideholder tallet 0 som er eutralt over for additio, dvs. der gælder 0 + x= x for alle x. Dels ideholder de tallet, som er eutralt over for multiplikatio, dvs. x= x for alle x. Med udgagspukt i det eutrale elemet, ka vi u idføre et iverst elemet. Ved additio hedder det iverse tal det modsatte tal - x, og det er karakteriseret ved (- x) + x= 0 Ved multiplikatio hedder det modsatte tal det reciprokke tal x - og det er karakteriseret ved x - x= Har vi først rådighed over et iverst elemet ka vi u idføre de modsatte regeoperatio, dvs. subtraktio, ved at lægge det modsatte tal til, dvs. def a- b = a+ (-b) Tilsvarede ka vi idføre divisio for alle tal forskellig fra 0 ved at gage det reciprokke tal på, dvs. - a/ b= = a b b Tallet 0 har dog ikke oget reciprokt elemet, idet der gælder ulregle: 0 x= x for alle x. Øvelse : a def a) Gør rede for at ulregle er e kosekves af de distributive lov. Idefor talsystemet, har alle tal x et modsat tal, - x, dvs. subtraktio er også veldefieret idefor. Me i almidelighed har et helt tal derimod ikke et reciprokt tal idefor. Ma ka derfor ikke dividere idefor de hele tal. Idefor talsystemere og har derimod alle tal x et modsat tal, 0 har et reciprokt tal, og de reelle tal. Rige og legemer - x, ligesom et hver tal x forskellig fra x -. Såvel subtraktio som divisio er derfor veldefierede idefor de ratioale tal Defiitio : Talrige Et talsystem med de to regeoperatioer + og kaldes e talrig, hvis det ideholder de eutrale tal 0 og, og hvis ethvert tal x har et modsat tal - x, dvs. e talrig er også lukket overfor subtraktio. Defiitio : Tallegemer Et talsystem med de to regeoperatioer + og kaldes et tallegeme, hvis det ideholder de eutrale tal 0 og, og hvis ikke blot har ethvert tal x et modsat tal - x, me ethvert tal x forskelligt fra 0 har også et reciprokt tal x -, dvs. et tallegeme er både lukket overfor subtraktio og divisio. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

4 Det er da klart at de hele tal er et eksempel på e talrig. Tilsvarede er de ratioale tal og de reelle tal eksempler på tallegemer. Me der fides mage flere eksempler! I det følgede styre vi mod at kostruere alle edelige tallegemer, me først skal vi se lidt ærmere på to fudametale kostruktiosmetoder til at omdae talrige til tallegemer!. Fra rig til legeme: Regig med restklasser I de første kostruktiosmetode beytter vi os af e divisiosalgoritme. Som udgagspukt tager vi heltalsrige. De er ikke lukket over divisio, me der fides ikke desto midre e simpel divisiosalgoritme, som løst sagt fortæller, hvor mage gage q (kvotiete) et givet aturligt tal d (divisore) går op i et adet givet helt tal m (dividede), og hvilke rest r der så bliver til overs. r d q d m q d+d Idee er at vi kigger på multipla af divisore, dvs. d-tabelle eller hele tal på forme q d. De ligger ækvidistat på talakse, idet afstade mellem to successive multipla etop er d. Hvis vi lukker itervallet mellem to successive multipla i det ederste multiplum, ideholder itervallet altså etop d tal på forme { q d, q d+, q d+,..., q d+ ( d-) } Tallet m ligger da i etop et af disse itervaller, dvs. det ka etop skrives etydigt på forme m= q d+ r, 0 r< d Hvis reste er 0, siger vi at divisioe går op og tallet d kaldes e divisor. Tallet går op i alle adre tal, me hvis divisore d er forskellig fra og m kaldes divisore e ægte divisor. Vi siger da at tallet m er sammesat, dvs. det ka skrives som et produkt af to midre tal. Modulus-fuktioe Der fides e speciel fuktio kaldet modulus, som udreger heltalsreste ved divisio. Typisk ser de således ud mod( m, d) = r Vi fider fx mod ( 5,7) = 3, idet der jo gælder 5= + 3= I abstrakt matematik bruger ma ofte otatioe m mod d i stedet for mod(m,d)! Heltalsreste ka også fides ved Euklids algoritme, idet vi successivt trækker 7 fra idtil vi kommer uder divisore 7: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

5 5-7 = 38ü 38-7 = 3 ï ï 3-7 = ï ý 6 gage - 7 = 7ï 7-7 = 0 ï ï 0-7 = 3 ïþ Vi ser da at vi ka trække 7 fra 6 gage, dvs. 7 går 6 gage op i 5, og at reste bliver 3. Det er ikke alle talrige, der uderstøtter Euklids algoritme, der jo bygger på at idefor de hele tals rig bliver der midre og midre tilovers, år vi successivt trækker divisore fra. Der skal altså være e veldefieret ordigsstruktur, der tillades os at tale om at et tal ka være midre ed eller større ed et adet tal. Det er altså ikke alle talrige, der har e divisiosalgoritme, så her udytter vi ogle helt særlige forhold ved heltalsrige! E ade speciel egeskab ved heltalsrige, er at der ikke fides oge uldivisorer, dvs. der fides ige aturlige tal, der går op i 0. Hvis et produkt a b giver 0 må midst e af faktorere være ul. Heller ikke dette ka ma forvete skal gælde i almee talrige, hvilket vi skal se eksempler på lige om lidt! Defiitio 3: Restklassere modulo Lad u være et aturligt tal større ed. Vi kigger da på restere ved divisio med. Der er etop sådae rester og de udgør talsystemet (også kaldet restklassere modulo ). Vi stiler u mod at vise, at restklassere modulo det aturlige tal, dvs. talsystemet ed ) udgør e talrig., (hvor er større Additio og multiplikatio af restklasser Vi skal først vise, at vi ka lægge to restklasser samme og at vi ka gage to restklasser med hiade. Det sker ved at bemærke at hvis vi lægger to hele tal samme afhæger reste ku af restklassere for de to hele tal, dvs. Sætig : Sum af restklasser ( a+ b)mod = ( amod ) + ( bmod ) mod Bevis: Hvis a har reste r a modulo og b har reste r b modulo gælder der ifølge divisiosalgoritme a= q + r ü b q r a a ý = b + b þ ( ) ( ) ( ) ( ) a+ b= q + r + q + r = q + q + r + r a a b b a b a b Det viser etop at går qa + qb gage op i a+ b med reste r a + r b, me reste behøver ikke være midre ed, selv om de to idividuelle rester ødvedigvis er midre ed. Vi skal derfor evetuelt trække fra edu egag. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

6 Sætig 3: Produkt af restklasser ( a+ b)mod = ( amod ) + ( bmod ) mod Bevis: Hvis a har reste r a modulo og b har reste r b modulo gælder der ifølge divisiosalgoritme a= q + r ü b q r a a ý = b + b þ ( )( ) ( ) ( ) a b= q + r q + r = q q + q r + q r + r r a a b b a b a b b a a b Det viser etop at går qa qb + qb ra + qb rb gage op i a b med reste r a r b, me reste behøver ikke være midre ed, selv om de to idividuelle rester ødvedigvis er midre ed. Vi skal derfor evetuelt trække fra edu ogle gage for at fide heltalsreste. Det kræver de ekstra modulo-udregig til sidst! Additio af to restklasser er i e vis forstad triviel. Ma ka opfatte restklassemægde som e talcirkel, idet ma tager de sædvalige tallije og sor de op på e cirkel med omkredse, så tallet etop falder i tallet 0. Alle tallee på tallije falder da etop i deres tilhørede restklasse på talcirkle, som etop rummer gitterpukter 0,,,..., -. Additio med restklasse r svarer da etop til e drejig i positiv retig med de drejigsvikel, der fører restklasse 0 over i restklasse r. Subtraktio med restklasse r svarer tilsvarede til e drejig i egativ retig med de drejigsvikel, der fører restklasse r over i restklasse 0. Hvor additio og subtraktio på de almidelige tallije svarer til parallelforskydiger svarer additio og subtraktio på talcirkle altså til drejiger. Helt så simpelt går det desværre ikke med at tolke multiplikatio på talcirkle. Godt ok ka ma forestille sig at ma strækker e cirkel ud fra et begydelsespukt på cirkle. Me det er ikke helt så oplagt at gitterpuktere etop falder på gitterpukter... d- d+ d d d+ -d Vi ka u emt kostruere additiostabeller og multiplikatiostabeller for restklasser. Vi viser pricippet bar restklasser modulo 7. I regearket afsætter vi tabeller med restklassere { 0,,,3,,5,6 } : 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

7 For at kostruere e additiostabel skal vi så blot vise formle i det øverste vestre hjøre C3 af tabelle: C3 = mod($ B3 + C$,$ B$) Her skal dollartegee sikre at vi hele tide lægger tal samme, der stammer fra søjle B og række. Tilsvarede skal vi hele tide rege modulo 7, dvs. det sidste tal skal låses til celle B! Dee formel trækkes da første edad i tabelle og derefter på tværs. Det samme gøres med multiplikatiostabelle: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

8 Øvelse 3: 7 a) Kig lidt på tabelle og prøv at rege ogle af cellere ud i hovedet! Hvorfor gælder der fx 3 = 5, år vi reger modulo 7? b) Hvorda ka ma se af tabellere at additio og multiplikatio er kommutative? c) Hvorda ka ma se at 0 er et eutralt elemet overfor additio og at er et eutralt elemet over multiplikatio? d) Har ethvert tal et modsat tal (dvs. iverst elemet overfor additio)? e) Har ethvert tal forskelligt fra 0 et reciprokt tal (dvs. et iverst elemet overfor multiplikatio)? f) Er 7 e talrig? Er det et tallegeme? Øvelse : 6 a) Kostruér u tilsvarede tabeller modulo 6. b) Besvar de samme spørgsmål som ovefor for restklassemægde 6. Restklasserige, hvor er et aturligt tal På basis af sådae øvelser skulle det u ikke komme som e overraskelse at der gælder følgede sætig: Sætig : Restklassemægde er e talrig. Mere overraskede er ok de følgede sætig: Sætig 5: Restklassemægde er et edeligt tallegeme, etop år er et usammesat tal, dvs. et primtal. Bevis (skitse): Vi har allerede idført to regeoperatioer på restklasser, som arver de ødvedige egeskaber (kommutativitet, associativitet og distributivitet) fra de sædvalige regeregler. For at vise at er e talrig, skal vi derfor blot vise at ehver restklasse r har e modsat restklasse overfor additio, dvs. e restklasse s, hvor der gælder r+ s= 0 mod.... Me der gælder oplagt s= -r På talcirkle ligger de to modsatte restklasser lige overfor hiade ved spejlig i hoveddiametere geem 0. De tilhørede drejiger foregår da med lige store og modsatrettede drejigsvikler, dvs. de ophæver etop hiade.... -=d- -=d- 0 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

9 Restklasselegemet p, hvor p er et primtal For at vise at er et tallegeme, etop år er et usammesat tal, dvs. et primtal, skal vi udersøge hvorår tal forskellige fra 0 har et reciprokt elemet. Vi starter med at bemærke, at er e talrig med uldivisorer etop er et sammesat tal. Hvis er et sammesat tal, dvs. = a b, hvor divisorere a og b begge er midre ed. Me da gælder jo etop a b= 0mod Hvis talrige fra 0, så på de ade side ideholder uldivisorer fides der altså restklasser a og b forskellige a b= 0mod Me det betyder jo etop at a ber et multiplum af, dvs. a b= q Ved at bortdividere primfaktorere i q på begge sider, eder vi derfor med e relatio af forme: a b = hvor faktorere a og b er midre ed a og b og dermed midre ed. Altså er tallet sammesat. Me e talrig med uldivisorer ka ikke være et tallegeme, fordi uldivisorer ikke ka have et reciprokt elemet! Hvis er sammesat er slaget altså tabt: Restklasserige Vi veder os derfor mod tilfældet hvor er et primtal p. Vi skal vise at ka da ikke være et tallegeme. e restklasse forskellig fra 0 og se på de lieære fuktio f( x) = a xmod. p er et tallegeme. Lad u a være Øvelse 5: Lieære fuktioer modulo 7 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

10 a) Teg grafere for de lieære fuktioer modulo 7, dvs. opret e fuktiostabel i et regeark og kostruer fuktiostabelle for f( x) = a xmod7, hvor a er e skydervariabel med værdiere {,,3,,5,6 }. b) Kommeter grafere! Hvorda ka ma fx se af grafe at det reciprokke elemet til 5 er 6? Det viser sig u, at de lieære fuktio f( x) = a xmod er eetydig, dvs. hver y-værdi optræder højst é gag! Det skyldes etop at der ikke er oge uldivisorer. For hvis y = y, dvs. a x = a x mod, slutter vi at der gælder a x= a x a x - a x = 0 a ( x - x ) = 0 Me da a ikke er 0, og der ikke fides uldivisorer ka produktet ku være ul, hvis de ade faktor er 0, dvs. der gælder x - x = 0 Me restklasserige x = x p ideholder etop p elemeter. Og da de højst ka optræde etop é gag som billeder for de lieære fuktio f( x) = a xmod, må de alle optræde etop é gag! Der fides altså et x, så a x=, dvs. x= a -. Hvorda ma så fider det reciprokke elemet i praksis er e helt ade sag. Vi har vist at det fides og det er ok! Vi har u fudet et stort reservoir af eksempler på edelige tallegemer, emlig restklasselegemere modulo et primtal p. Vi har specielt fudet restklasselegemet = {0,}, hvor restklasse 0 repræseterer alle de lige tal (hvor jo går op) og restklasse repræseterer alle de ulige tal (hvor etop ikke går op). Regig i svarer altså etop til regig med pariteter. Der fides imidlertid adre edelige tallegemer ed restklasselegemere p p. De blev fudet af Galois og kaldes derfor for Galois-legemer. Me før vi ka kostruere Galois-legemere, skal vi først lære edu et kostruktiospricip. Ide da kigger vi lige kort på polyomier over restklasselegemet p. Lad os fx se på tredjegradspolyomiet 3 f( x) = x + 3x+ mod 7. I et regeark ka vi emt kostruere e fuktiostabel og dermed kigge på grafe som et puktplot. Det giver os fx mulighed for a se efter evetuelle rødder, dvs. skæriger med x-akse. Da grafe er diskret, ka vi derimod ikke avede fx differetialregig til at aalysere grafes forløb. Vi ser da at grafe har etop et ulpukt, emlig x = 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

11 Me det betyder jo at tredjegradspolyomiet ka faktoriseres i førstegradspolyomiet x- º x+ 3 og et adegradspolyomium som vi ka fide ved polyomiers divisio: Hvis vi udfører divisioe idefor de ratioale tal fider vi: x 3 + 3x+ 77 = + x + x + x- x- 9 Me vi arbejder jo idefor tallegemet 7 så 77º 0! Ydermere gælder der 9º 5, så idefor tallegemet 7 gælder der 3 x + 3x + º x + x + 5 x- Vi har også teget puktgrafe for adegradspolyomiet og ka etop se at det ikke har oge rødder, så det ka ikke faktoriseres yderligere. Øvelse 6: a) Udersøg u selv et tilfældigt polyomium af grad højst 5 på samme måde. Vælg først e tilfældig grad mellem og 5 og vælg derefter tilfældige koefficieter fra 0 til 6 til polyomiet. b) Hvis det ka faktoriseres, så geemfør faktoriserige som beskrevet ovefor. Restklasselegemere modulo et primtal udgør et særdeles stærkt redskab idefor talteori til at udlede simple egeskaber ved primtal. Me det er et helt adet projekt. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

12 . Fra legeme til rig: Regig med polyomier Polyomiumsrige F [ x], hvor F er et tallegeme Hvis vi kigger på et tallegeme, fx de ratioale tal, eller de reelle tal, så ka vi defiere polyomier af grad på de sædvalige måde som fuktioer med forskrifte p X a a x a x a x ( ) = med a ¹ 0, hvor koefficietere a 0, a, a,..., a alle kommer fra tallegemet. Der fides også e ret algebraisk måde at defierer polyomier på som ree algebraiske objekter, me det får vi ikke brug for her. Mægde af alle polyomier beteges med [ x], hvis der er tale om ratioale polyomier, [ x], hvis der er tale om reelle polyomier osv. Sådae polyomier ka opfattes som geeraliseriger/udvidelser af det uderliggede legeme, idet vi ka idetificere det uderliggede legeme med de kostate polyomier, dvs. polyomier med grad 0. Tekisk set har ul-polyomiet px ( ) = 0 dog ige grad, idet højestegradskoefficiete ikke er forskellig fra 0. Det er klart at vi ka lægge polyomier samme, ligesom vi ka gage dem samme efter de sædvalige regeregler. Det ka derfor ikke komme som e overraskelse at der gælder følgede sætig: Sætig 6: Mægde af polyomier over et tallegeme F udgør e rig, kaldet polyomiumsrige F [ x]. Bemærkig: På egelsk hedder et legeme a field. Fx har vi polyomiumsrige over de ratioale tal [ x], ligesom vi har polyomiumsrige over de reelle tal [ x]. Nulpolyomiet er de kostate fuktio 0, et-polyomiet det kostate polyomium. Hvis p x a a x a x a x ( ) = så er det modsatte polyomium givet ved polyomiet, hvor vi skifter forteg på alle koefficietere, dvs. - p( x) =-a - a x- a x a x osv. 0 Me polyomiumsrige er ikke et tallegeme! Fx er det emt at idse at idetitetspolyomiet x ikke har et reciprokt elemet. For i så fald skulle der gælde x px ( ) = Me sætter vi x = 0 fås heraf Hvilket er e modstrid! 0= Spørgsmålet er så om vi ka omdae det til et tallegeme på simpel vis? Svaret er bekræftede og vi ka bruge præcis de samme ide, som vi brugte da vi omdaede heltalsrige til et tallegeme, ved at gå over til at rege på restklasser Det er e gammel ide, som bl.a. har været udyttet af Cauchy til at defiere de komplekse tal, så det vil også være et af vores hovedeksempler. Me først ser vi lige kort på divisio med polyomier. Poite er emlig at polyomiumsrige tillader e simpel divisiosalgoritme: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

13 Restklasser md polyomier Hvis px ( ) er et polyomium og dx ( ) et divisor polyomium ka vi ved hjælp af polyomiers divisio fide kvotietpolyomiet qx ( ) og et restpolyomium rx ( ) med lavere grad ed divisorpolyomiet, så der gælder: Divisiosalgoritme ka også skrives på forme px ( ) = qx ( ) dx ( ) + rx ( ) px ( ) rx ( ) = qx ( ) + dx ( ) dx ( ) CAS-værktøjer har ormalt både værktøjer til at udføre polyomiers divisio og fide reste direkte. Det ka fx se således ud: Af de første divisiosligig fremgår fx at kvotietpolyomiet er q( x) r( x) =- ( x- ) = - x. = x og at restpolyomiet er Af de sidste fremgår ku restpolyomiet. De sidste kommado svarer til modulus fuktioe for de hele tal. Med lidt tålmodighed ka ma også fide dem ved hådregig, også selv om ma ikke lige har algoritme for polyomiers divisio preset. Vi udytter da, at der gælder og fider u ( ) ( ) 3 x = x x = x x - + = x x - + x ( ) 3 x - 3 x+ x ( x - ) + x - 3 x+ = x - x - x ( x -) x- 3 x+ = + x - x - - x+ = x+ x - Me i det følgede bruger vi skamløst CAS-værktøjet til at udføre de mere komplicerede polyomiers divi- sioer- Vi ka så arbejde med restklasser præcis lige som vi gjorde det med heltalsrige. Defiitio : Restklassere modulo d(x) Lad u ( ) dx være et polyomium af grad midst over et legeme L. Idefor polyomiumsrige L[ x] kigger vi da på restere ved divisio med dx. ( ) De udgør talsystemet L [ x]/ dx ( ) (også kaldet kvotietrige modulo dx). ( ) Læg mærke til at alle restere rx ( ) har grad midre ed grade af divisorpolyomiet dx. ( ) Vi skyder os at se på to kokrete cases, der begge er historisk meget berømte: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

14 CASE : Irratioale tallegemer Vi arbejder med polyomier over de ratioale tal. Idefor de ratioale tal har adegradspolyomiet d x = - ige rødder, dvs. vi ka ikke løse ligige x - = 0 idefor de ratioale tal. Vi ka derfor ( ) x ikke opløse dette adegradspolyomium i faktorer. Vi siger polyomiet er usammesat eller irreducibelt. Vi daer u kvotietrige [ x] / ( x -) Vi ser altså på alle restere af ratioale polyomier ved divisio med d( x) = x -. De består altså af alle polyomier med grad højst, dvs. de kostate polyomier og de lieære polyomier. De ka altså skrives på forme r( x) = a+ b x Her er begge koefficietere ratioale tal og de må gere være 0. Vi lægger dem samme og trækker dem fra hiade på sædvalig vis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b x + a + b x = a + a + b + b x a + b x - a + b x = a - a + b - b x Her er der ige problemer. Me år vi gager dem samme ka vi emt risikere at grade af produktet bliver, og så skal vi reducere grade, dvs. fide reste ved divisio med d( x) = x -. Det er faktisk rimeligt simpelt: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a + b x a + b x = a a + a b + a b x+ b b x ( a a ) ( a b a b ) x ( b b) ( x ) ( a a b b) ( a b a b) x ( b b) ( x ) ( b b) ( x ) (( a a b b) ( a b a b ) x) = = = Me her viser divisiosligige jo at reste er givet ved ( ) ( ) r( x) = a a + b b + a b + a b x Når vi gager to førstegradspolyomier samme sker det altså ved hjælp af regle ( )( ) ( ) ( ) a + b x a + b x º a a + b b + a b + a b x Her har vi brugt ækvivalesteget º for at mide os om at produktet er reduceret med polyomiet d x ( ) x = -! Der kommer u to behagelige overraskelser: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

15 Første overraskelse: Når vi bruger det oveståede produkt på mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate polyomier og lieære polyomier, så udgør de et tallegeme! Vi skal vise at ethvert polyomium a 0 + b 0 x, bortset fra ul-polyomiet, har et reciprokt elemet, dvs. vi skal løse ligigssystemet: Det ka omformes til Her er determiate givet ved ( )( ) ( ) ( ) a + b x a+ b x º a a+ b b + a b+ a b xº a a+ b b= 0 0 b a+ a b= a - b 0 0 Me da a 0 og b 0 ikke begge ka være ul ved vi at a0 - b0 heller ikke ka være ul det er oplagt, hvis e af dem er 0, og hvis de begge er forskellige fra 0 ville vi i sidste istas kue fide et ratioalt tal med kvadratet! Ligigssystemet har altså etop é løsig og dermed har polyomiet a0 + b0 x etop et reciprokt elemet. Det er heller ikke svært at fide løsige der er givet ved - a - b x æ a ö æ -b ö a0 + b0 x = = ç x + ç a0 - b0 èa0 - b0 ø èa0 - b0 ø ( ) Ade overraskelse: Idefor kvotietlegemet ka vi godt løse adegradsligige x - = 0! Der gælder emlig x x - º 0 Idetitetspolyomiet x har altså etop kvadratet, dvs. det spiller rolle som tallet. Der er derfor idefor kvotietlegemet traditio for simpelthe at kalde idetitetspolyomiet x for. º Kvotietlegemet består derfor af alle tal på forme a+ b, hvor koefficietere a og b er ratioale tal. Regereglere for disse tal følger da automatisk af de sædvalige regler år blot vi husker på at der gælder ( ) = : ( a + b ) + ( a + b ) = ( a + a) + ( b + b ) ( a + b ) -( a + b ) = ( a - a ) + ( b - b ) ( a b ) ( a b ) ( a a b b) ( a b a b ) + + = a- b = a+ b a - b 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

16 På dette tidspukt ka ma faktisk roligt glemme alt om polyomier og bare rege løs! Ma siger at vi har udvidet tallegemet de ratioal tal med kvadratrode af, dvs., og det udvidede tallegeme beteges da blot [ ]. Faktisk ka ma idføre det udvidede tallegeme helt simpelt ved i stedet at arbejde med de reelle tal! I- defor de reelle tal har polyomiet x - to rødder ± og ka faktoriseres som ( ) ( ) x x x - = - + Så idefor de reelle tal er der slet ige grud til at udvide tallegemet. Her vil ma i stedet gå således frem. Det midste tallegeme idefor de reelle tal er etop de ratioale tal. Ethvert tallegeme idefor ideholder 0 og og dermed også de hele tal, for at være lukket overfor additio og subtraktio og deræst de ratioale tal, for også at være lukket over multiplikatio og divisio! Idefor de reelle tal udvider vi u de ratioale tal ved at tilføje det reelle tal =.... Det udvidede tallegeme må da i det midste ideholde alle tallee på forme a+ b, hvor a og b er ratioale tal. Me da dee talmægde er et tallegeme er udvidelseslegemet, der ideholder vet ved Der gælder da oplagt { } Q[ ] = a+ b ab, er vilkårlige ratioale tal Ì [ ] Ì altså etop gi- Me selv om vi slet ikke kedte de reelle tal kue vi altså stadigvæk idføre udvidelseslegemet [ ] ved hjælp af polyomier som beskrevet ovefor Øvelse 7: Det gylde sit Idefor de reelle tal er det gylde sit defieret som tallet + 5 F= =.68..., der løser adegradslig- ige x -x- = 0. Me idefor de ratioale tal har dee ade gradsligig ige rødder. VI ka derfor bruge dette adegradspolyomium til at kostruere e udvidelse af de ratioale tals legeme, der også omfatter det gylde sit F. Som ovefor defieres det som mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate fuktioer og lieære fuktioer med ratioale koefficieter: { a b x ab } F [ ] = +, er vilkårlige ratioale tal a) Opstil regereglere for summer og produkter af disse polyomier, idet produktere reduceres ved polyomiers divisio med d( x) = x -x- = 0. b) Gør rede for at idetitetspolyomiet x har det reciprokke polyomium x -. c) Gør rede for at ethvert polyomium af grad højst har et reciprokt polyomium idefor dette talsystem, dvs. der er tale om tallegeme. d) Gør rede for at hvis vi kalder idetitetspolyomiet x for F ka vi rege på helt ormal vis, idet vi blot skal huske på at der må gælde regeregle F =F+. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

17 CASE : - (De komplekse tal) De komplekse tal har e lag og fascierede historie bag sig. Der er mage måder at kostruere de komplekse tal. Oprideligt blev de kostrueret ret geometrisk ved at forsye talplae med to geometriske regeoperatioer: additio (i form af parallelforskydiger), og multiplikatio (i form af ligedaetheder, dvs. strækiger og rotatioer). De geometriske kostruktio skyldes Wessel, Argad og Gauss. Der fides også e ret algebraisk kostruktio, der stammer fra Hamilto, som også idførte kvaterioere. Edelig fides der polyomiemetode, der går tilbage til Cauchy. Det er polyomie-metode vi her skal se ærmere på, me de tre forskellige metoder fører selvfølgelig frem til præcis de samme komplekse tal Vi arbejder dee gag med polyomier over de reelle tal. Idefor de reelle tal har adegradspolyomiet d x = - u rødder, dvs. vi ka dee gag løse ligige x - = 0 idefor de reelle tal. Løsigere ( ) x er givet ved x =± =±.3... Vi ka derfor opløse dette adegradspolyomium i to førstegradsfaktorer x ( x ) ( x ) - = - +. Vi siger at polyomiet d( x) = x -er sammesat eller reducibelt over de reelle tal. Vi ka derfor godt ok dae kvotietrige [ x] / ( x -) Me de vil få uldivisorer, emlig førstegradspolyomiere ( x ),( x ) for at det bliver et yt tallegeme. - +, dvs. der er ige chace Ser vi i stedet på adegradspolyomiet d( x) = x + har det ige reelle rødder. Dette polyomium er altså usammesat eller irreducibelt over de reelle tal. Det giver derfor god meig at se på alle restere af ratioale polyomier ved divisio med d( x) = x +. De består altså af alle polyomier med grad højst, dvs. de kostate polyomier og de lieære polyomier. De ka altså skrives på forme r( x) = a+ b x Her er begge koefficietere dee gag reelle tal og de må gere være 0. Vi lægger dem samme og trækker dem fra hiade på sædvalig vis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b x + a + b x = a + a + b + b x a + b x - a + b x = a - a + b - b x Her er der ige problemer. Me år vi gager dem samme ka vi emt risikere at grade af produktet bliver, og så skal vi reducere grade, dvs. fide reste ved divisio med d( x) = x +. Det er faktisk rimeligt simpelt: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a + b x a + b x = a a + a b + a b x+ b b x ( a a) ( a b a b ) x ( b b) ( x ) ( a a b b ) ( a b a b) x ( b b) ( x ) ( b b ) ( x ) (( a a b b) ( a b a b ) x) = = = L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

18 Me her viser divisiosligige jo at reste er givet ved ( ) ( ) r( x) = a a - b b + a b + a b x Når vi gager to førstegradspolyomier samme sker det altså ved hjælp af regle ( )( ) ( ) ( ) a + b x a + b x º a a - b b + a b + a b x Her har vi brugt ækvivalesteget º for at mide os om at produktet er reduceret med polyomiet d x ( ) x = +! Der kommer u to behagelige overraskelser: Første overraskelse: Når vi bruger det oveståede produkt på mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate polyomier og lieære polyomier, så udgør de et tallegeme! Vi skal vise at ethvert polyomium a 0 + b 0 x, bortset fra ul-polyomiet, har et reciprokt elemet, dvs. vi skal løse ligigssystemet: Det ka omformes til Her er determiate givet ved ( )( ) ( ) ( ) a b x a b x a a b b a b a b x º º a a- b b= 0 0 b a+ a b= a + b 0 0 Me da a 0 og b 0 ikke begge ka være ul ved vi at a0 + b0 er positiv, dvs. heller ikke ka være ul. Ligigssystemet har altså etop é løsig og dermed har polyomiet a0 + b0 x etop et reciprokt elemet. Det er heller ikke svært at fide løsige der er givet ved - a - b x æ a ö æ -b ö a0+ b0 x = = x ç + ç a0 + b0 èa0 + b0 ø èa0 + b0 ø ( ) Ade overraskelse: Idefor kvotietlegemet ka vi godt løse adegradsligige x + = 0! Der gælder emlig x x + º 0 º- Idetitetspolyomiet x har altså etop kvadratet, dvs. det spiller rolle som tallet -. Der er derfor idefor kvotietlegemet traditio for simpelthe at kalde idetitetspolyomiet x for -. Der er dog også traditio for at kalde det i (for de imagiære ehed). Kvotietlegemet består derfor af alle tal på forme a+ bi, hvor koefficietere a og b er reelle tal. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

19 Regereglere for disse tal følger da automatisk af de sædvalige regler år blot vi husker på at der gælder ( ) i = - =- : ( a + b i) + ( a + b i) = ( a + a) + ( b + b) i ( a + b i) -( a + b i) = ( a - a ) + ( b - b) i ( )( ) ( ) ( ) a + b i a + b i = a a - b b + a b + a b i a- bi = a+ b i a + b På dette tidspukt ka ma faktisk roligt glemme alt om polyomier og bare rege løs! Ma siger at vi har udvidet tallegemet de reelle tal med kvadratrode af, dvs. i = -, og det udvidede tallegeme beteges da blot de komplekse tals legeme = [] i. Ma kue forestille sig at ma u kue getage spøge og udvide de komplekse tal ved at fide et tilsvarede simpelt polyomium over de komplekse tal. Me det ka ma ikke! Ifølge algebraes fudametalsætig har ethvert komplekst polyomium midst é kompleks rod! I e vis forstad er de komplekse tal derfor det mest omfattede tallegeme der fides (på samme måde som de ratioale tal var det midste tallegeme): Ì Ì Skal vi udover de komplekse tal skal der derfor ske oget drastisk! Som opdaget af Hamilto ka ma opgive kravet om kommutativitet for multiplikatioe. Det åber mulighed for et edu større tallegeme, kvaterioere. Hvis ma også er villig til at ofte associativitete for multiplikatioe fides der et tallegeme, der rækker ud over kvaterioere, emlig oktoioere. Me så er det også slut! Begge disse tallegeme har vigtige avedelsesområder: Kvaterioere er uudværlige idefor modere avaceret computeraimatio (Ude kvaterioer ige Lara Croft!). Selv om der er tale om firedimesioale objekter er de emlig fremragede til at styre rotatioer i 3-dimesioer (og dermed til at styre flydede bevægelser i computerauimatio) Oktoioere vider id idefor modere stregteori. Selv om der ku er tale om 8-dimesioale objekter ligger de meget tættere på de 0 rum-dimesioer som ma opererer med idefor stregteorie. Me det vil vi ikke komme ærmere id på her i dette projekt. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

20 Galois-legemere é GF ë p û Vi veder u tilbage til de edelige tallegemer i form af primtalslegemere = { 0,,,3,..., p-}. Spørgsmålet var u om der fadtes flere edelige tallegemer ed disse? Svaret er bekræftede: De blev fudet af Galois i forbidelse med has udersøgelser af rødderes opførsel i polyomier med heltalllige koefficieter. p Sætig 7: Galois-legemere GF( p ) For et hvert primtal p og ethvert aturligt tal fides der et Galois-legeme med etop fremkommer som e udvidelse af restklasselegemet p. p elemeter, der Vi vil ikke bevise sætige me vil kostruere Galois-legemere i et kokret tilfælde, der efterfølgede vil kue geeraliseres. Vi tager udgagspukt i paritetetslegemet = {0,}, hvor 0 står for de lige tal og står for de ulige tal. Det er et særligt simpelt tallegeme med regeoperatioere + og, der opfylder de følgede yderst simple regetabeller Læg mærke til, at der idefor ikke er forskel på additio og subtraktio, idet både 0 og er deres eget modsatte tal! Med udgagspukt i dette kostruerer vi u først polyomiumsrige [ ]. Vi skal så have omdaet de til et tallegeme ved at arbejde med restklasser modulo et usammesat, irreducibelt polyomium. x Irreducible polyomier over Vi starter derfor med at kigge efter irreducible polyomier. Vi ka da have glæde af de sædvalige observatio. Udfører vi e polyomiers divisio med førstegradspolyomiet x- x0 fås px ( ) = ( x- x) qx ( ) + rx ( ) 0 Udreges værdie for x= x0 fås derfor px ( ) = 0 qx ( ) + rx ( ) = rx ( ) Der gælder altså de sædvalige sætig: Sætig 8: Første gradspolyomiet x- x0 går op i polyomiet px ( ) etop år x 0 er e rod, dvs. px ( 0) = 0. Det ka vi bruge til at jagte irreducible polyomier over. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf:

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010 Helede miljø e udfordrig for patietsikkkerhed? Workshop Patietsikkerhed og syge bør fredag de 15. oktober 2010 Elisabeth Brøgger Jese mag.art. kultursociolog elisabeth.broegger.jese@regioh.dk. Pricipper

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

RV Unique mop-guide. til alle overflader

RV Unique mop-guide. til alle overflader til alle overflader RV Uique mopguide - ét sortimet til alle gulvoverflader I dee brochure fider du et bredt sortimet af mopper til regørig af alle former for gulvoverfalder. Vi har sammesat et sortimet

Læs mere

Konica Minolta 190f. Til almindelige kontorbehov. Kontorsystem Konica Minolta 190f

Konica Minolta 190f. Til almindelige kontorbehov. Kontorsystem Konica Minolta 190f Koica Miolta 190f Til almidelige kotorbehov Kotorsystem Koica Miolta 190f Koica Miolta 190f, kotorsystem Fra grudlæggede smart til ekstra itelliget Koica Miolta 190f har stort set alt, som det lille kotor

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv

LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013....det brugervenlige gulv LAMINATGULV KOLLEKTION 2012 2013...det brugervelige gulv Smart på mage......forskellige måder Lami art Black & Hype Der fides æppe oget gulv, der sætter brugere mere i fokus ed lamiatgulve fra Tarkett.

Læs mere