Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Prioritetskøer og hobe. Philip Bille"

Transkript

1 Prioritetskøer og hobe Philip Bille

2 Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering

3 Prioritetskøer

4 Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key. Insert(x): sæt S = S cup {x}. Max(): returner element med største nøgle. Extract-Max(): fjern og returner element med største nøgle. Increase-Key(x, k): sæt x.key = k (vi antager k er større end x.key).

5 Anvendelser Hvad kan vi bruge en prioritetskø til? Skedulering Korteste veje i grafer (Dijkstras algoritme + venner) Mindste udspændende træer i grafer (Prims algoritme) Kompression (Huffmans algoritme)

6 Implementation Hvordan kan vi implementere en prioritetkø med nuværende teknikker? Med hægtet liste: O(n) for Insert, Max, Extract-Max og Increase-Key Med sorteret hægtet liste: O(1) for Max, Extract-Max O(n) for Insert og Increase-Key. Kan vi gøre det betydeligt bedre? Kræver nye teknikker!

7 Træer

8 Rodfæstet træ T. Består af knuder og kanter. Børn, forælder, efterkommer, forfader, blade, interne knuder. Acyklisk sammenhængende graf.

9 Lad v være en knude i T. dybden af v = længden af sti fra v til roden. højden af v = længden af længste sti fra v til en bladefterkommer. dybden af T = højden af T = længden af længste sti fra rod til et blad.

10 Binært træ = alle knuder har 2 børn, kaldet venstre barn og højre barn.

11 Komplet binært træ = alle interne knuder netop 2 børn. Næsten komplet binært træ = komplet binært træ hvor 0 eller flere blade er fjernet fra højre mod venstre. Hvad er sammenhæng mellem antallet af knuder og højden af (næsten) komplet binært træ?

12 n = antal knuder, h = højden. Antal blade = 2 h Antal interne knuder = h-1 = 2 h - 1 n = 2 h + 2 h - 1 = 2 h+1-1 h = Θ(log n) (gælder også for næsten komplet binært træ)

13 k k k En hob (heap) er et næsten komplet binært træ så hver knude indeholder et element hver knudes nøgle et højst ligeså stor som dens forælders (hob-orden) Kaldes en max-hob. Tilsvarende kan man definere min-hob.

14 Repræsentation af hobe Hvordan kan vi repræsentere en hob? Vi har brug for effektivt at kunne navigere mellem børn og forælder.

15 root null null null 10 null 3 null null 5 null null null 2 null null 9 null null 12 null

16 Tabel H[1..n]. H[1] er rod, H[n] er blad længst til højre. Knude i har venstre barn på 2i, højre barn på 2i+1 og forælder på i/2

17 Prioritetskøoperationer Hvordan kan vi implementere prioritetskøoperationerne? Insert(x): sæt S = S {x}. Max(): returner element med største nøgle. Extract-Max(): fjern og returner element med største nøgle. Increase-Key(x, k): sæt x.key = k (vi antager k er større end x.key).

18 Insert(x): Indsæt x på næste ledige plads i tabel. Bobl op. Max(): Returner toppen af hob i A[1] Extract-Max() r = top af hob. Flyt blad længst til højre til top af hob. Bobl ned (Max-Heapify) Returner r. Increase-Key(x,k) Sæt x.key = k Bobl op.

19 Analyse Køretid: Insert, Extract-Max, Increase-Key i O(log n) tid Max i O(1) tid. Pladsforbrug: O(n) plads. Eksempel på implicit datastruktur.

20 Konstruktion af hob

21 Konstruktion af hob Lav A[1..n] være en tabel af heltal. Hvordan kan vi effektivt bygge en hob ud af tallene i A? (præprocessering)

22 Første forsøg Sæt alle elementer i A ind i hoben med n Insert operationer. Tid: Θ(n log n) Bygger hoben "oppefra og ned". Kan vi gøre det bedre?

23 Andet forsøg Opfat A som næsten komplet binært træ og Etabler hoborden nedefra og op for alle knuder Blade er allerede hobe af størrelse 1. For hver intern knude, bobl ned. Hvor hurtigt kører det?

24 For hver knude af højde h: O(h) tid. ~ n/2 knuder af højde 1, n/4 knuder af højde 2, n/8 knuder af højde 3,..., 1 knude af højde h. n/2 1 + n/4 2 + n/ h = O(n) O(n) tid

25 Konstruktion af hob Givet en tabel A[1..n] kan vi bygge en hob i Θ(n) tid. Bruger kun O(1) ekstra plads.

26 Hobsortering

27 Hobsortering Lad A[1..n] være en tabel. Hobsortering: Byg hob af A. Lav n Extract-Max. Indsæt resultater sidst i tabel i stedet for at slette. Analyse. Byg en hob i Θ(n) tid n Extract-Max i Θ(nlog n) tid. i alt Θ(nlog n) tid.

28 Hobsortering Givet en tabel A[1..n] kan vi sortere i Θ(n log n) tid. Bruger kun O(1) ekstra plads. Ækvivalens af sortering og prioritetskøer.

29 Opsummering Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006

DM02 Kogt ned. Kokken. Januar 2006 DM02 Kogt ned Kokken Januar 2006 1 INDHOLD Indhold 1 Asymptotisk notation 2 2 Algoritme analyse 2 3 Sorterings algoritmer 2 4 Basale datastrukturer 3 5 Grafer 5 6 Letteste udspændende træer 7 7 Disjunkte

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:

Sortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer: Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb.

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb. Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Algoritmer på træer og trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Introduktion til datastrukturer. Philip Bille

Introduktion til datastrukturer. Philip Bille Introduktion til datastrukturer Philip Bille Plan Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller Datastrukturer Datastrukturer Datastruktur: Metode til at organise data så det kan søges

Læs mere

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 036, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 3. maj 0. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 036. Varighed: timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer.

Orienterede grafer. Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer. Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk sortering og DAGs Stærke sammenhængskomponenter Implicitte grafer Philip Bille Orienterede grafer Introduktion Repræsentation Søgning Topologisk

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 23. maj 20. Kursusnavn: lgoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: lle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.

Læs mere

Søgning og Sortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Philip Bille Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Datastrukturer. Datastruktur = data + operationer herpå

Datastrukturer. Datastruktur = data + operationer herpå Prioritetskøer Prioritetskøer? Datastrukturer Datastruktur = data + operationer herpå Datastrukturer Data: Datastruktur = data + operationer herpå Ofte en ID + associeret data. ID kaldes også en nøgle

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Vægtede grafer. I en vægtet graf har enhver kant tilknyttet en numerisk værdi, kaldet kantens vægt

Vægtede grafer. I en vægtet graf har enhver kant tilknyttet en numerisk værdi, kaldet kantens vægt Korteste veje 1 Vægtede grafer HNL I en vægtet graf har enhver kant tilknyttet en numerisk værdi, kaldet kantens vægt Vægte kan repræsentere afstande, omkostninger, o.s.v. Eksempel: I en flyrutegraf repræsenterer

Læs mere

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning

Søgning og Sortering. Søgning og Sortering. Søgning. Linæer søgning Søgning og Sortering Søgning og Sortering Philip Bille Søgning. Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Sorteret tabel. En tabel A[0..n-1] er sorteret hvis A[0]

Læs mere

A Comparative Analysis of Three Different Priority Deques af: Søren Skov & Jesper Holm Olsen

A Comparative Analysis of Three Different Priority Deques af: Søren Skov & Jesper Holm Olsen A Comparative Analysis of Three Different Priority Deques af: Søren Skov & Jesper Holm Olsen Agenda: Hvad er en Priority Deque? Hvad kan det bruges til? De tre datastrukturer: MinMax-heap The Deap (påpeget

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 23, 2009

Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 23, 2009 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm4: Sorting algorithms - October 3, 009 Algorithms and Architectures II. Introduction to analysis and design of

Læs mere

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2.

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2. Plan Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Introduktion Philip Bille Algoritme Algoritme Algoritme Algoritmer og datastrukturer Eks: Max i tabel Hvad er det? Algoritmisk problem: præcist defineret relation

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: 23n log n. 4 n (log n) log n Eksamen. kvarter 00 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) Ja Nej n er O(n )? n er O(n )? n er O(n + 0 n)? n + n er O(n )? n log n er Ω(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 (fem) Eksamensdag: Fredag den 10. august 007, kl.

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille

Introduktion. Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3. Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Philip Bille Introduktion Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme 1 Algoritme 2 Algoritme 3 Algoritmer

Læs mere

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal Philip Bille Algoritmer og datastrukturer Algoritmisk problem. Præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme. Metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: n 2 n (log n) 2. 3 n /n 2 n + (log n) 4 Eksamen. kvarter 00 Side 1 af sider Opgave 1 ( %) Ja Nej n log n er O(n / )? n 1/ er O(log n)? n + n er O(n )? n( n + log n) er O(n / )? n er Ω(n )? Opgave ( %) Opskriv følgende funktioner efter stigende

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ

Læs mere

Et udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives. Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: Args, const: Int, name: Textè

Et udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives. Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: Args, const: Int, name: Textè Opgave 1 è20èè Et udtrykstrç med de ære regnearter, heltalskonstanter og variabler beskrives af fçlgende rekursive Trine-type: Type Expr = Sumèplus, minus, times, div: rgs, const: Int, name: Textè Type

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del III Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 29. april, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering SØGES

Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering SØGES Førsteårsprojekt F2008 Flere grafalgoritmer, og visualisering Peter Sestoft 2008-03-11* SØGES 1-2 studerende til Åbent Hus torsdag 10. april kl 1700-1800 Skal kunne fortælle 5-10 minutter om hvad hvordan

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer 1 (003-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 10 (ti)

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer

1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer 1. Redegør for Lister, stakke og køer mht struktur og komplexitet af de relevante operationer på disse. Typer af lister: Array Enkelt linket liste Dobbelt linket Cirkulære lister Typer af køer: FILO FIFO

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software

Læs mere

Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Køretid

Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Analyse af algoritmer. Køretid Philip Bille Mål. At bestemme og forudsige resourceforbrug og korrekthed af algoritmer Eks. Virker min algoritme til at beregne korteste veje i grafer? Hvor hurtigt kører min algoritme til at søge efter

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2015 Projekt, del I Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 3. marts, 2015 Dette projekt udleveres i to dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 12 (tolv) Eksamensdag: Fredag den 1. april 200, kl..00-11.00

Læs mere

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort

Sortering. Sortering ved fletning (merge-sort) Del-og-hersk. Merge-sort Sortering Sortering ved fletning (merge-sort) 7 2 9 4! 2 4 7 9 7 2! 2 7 9 4! 4 9 7! 7 2! 2 9! 9 4! 4 1 2 Del-og-hersk Merge-sort Del-og-hersk er et generelt paradigme til algoritmedesign Del: opdel input-data

Læs mere

Hashing. Hashing. Ordbøger. Ordbøger. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering

Hashing. Hashing. Ordbøger. Ordbøger. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering. Ordbøger Hægtet hashing Hashfunktioner Lineær probering Philip Bille. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key fra et univers af nøgler U og satellitdata x.data. Ordbogsoperationer. SEARCH(k): afgør om element med nøgle

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal

Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Oplæg og øvelser, herunder frugt og vand Gerth Stølting Brodal Datalogisk Institut Aarhus Universitet MasterClass Matematik, Mærsk Mc-Kinney Møller Videncenter, Sorø, 29-31. oktober 2009 Algoritmer: Matricer

Læs mere

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet???dag den?.????, 20??. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 13 nummererede sider med

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Torsdag den 9. august, 202. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 2 opgaver.

Læs mere

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype.

16 Træer. Noter. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. 16 Træer. Definition af et træ. Definitioner i tilknytning til træer. Repræsentation af træer. Binære træer. Den abstrakte datatype. Gennemløb af binære træer. Træer i Eiffel. 229 Definition af et træ.

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2014

Rolf Fagerberg. Forår 2014 Forår 2014 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: Format: Programmering og Diskret matematik I (forelæsninger), TE (øvelser), S (arbejde selv og i studiegrupper) Eksamenform: Skriftlig

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2015

Rolf Fagerberg. Forår 2015 Forår 2015 Dagens program 1 2 3 4 5 Underviser:, IMADA Forskningsområde: algoritmer og datastrukturer Deltagere: BA i Datalogi BA i Software Engineering BA i Matematik-Økonomi BA i Anvendt Matematik BA

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet

Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Aarhus Universitet Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer

Læs mere

Rolf Fagerberg. Forår 2012

Rolf Fagerberg. Forår 2012 Forår 2012 Mål for i dag Dagens program: 1 2 3 4 5 6 Forudsætninger: DM502 og DM503 Timer: 50% forelæsninger, 50% øvelser Forudsætninger: DM502 og DM503 Eksamenform: Skriftlig eksamen: Timer: 50% forelæsninger,

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1998/99 Opgavesættet består af 5 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 16% Opgave 2 12% Opgave 3 10% Opgave

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer.

Tilgang til data. To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. Merging og Hashing Tilgang til data To udbredte metoder for at tilgå data: Sekventiel tilgang Random access: tilgang via ID (også kaldet key, nøgle) for dataelementer. API for sekventiel tilgang (API =

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal

Algoritmer og Datastrukturer 1. Gerth Stølting Brodal Algoritmer og Datastrukturer 1 Gerth Stølting Brodal Kursusbeskrivelsen Kursusbeskrivelsen: Algoritmer og datastrukturer 1 Formål Deltagerne vil efter kurset have indsigt i algoritmer som model for sekventielle

Læs mere

Kapitel 9: Netværksmodeller

Kapitel 9: Netværksmodeller Kapitel 9: Netværksmodeller Terminologi: Et netværk eller en graf bestar af et sæt punkter samt et sæt linier, der forbinder par af punkter; netværket betegnes som komplet, hvis ethvert par af punkter

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Christer Vindberg & Kim Birkelund. Avancerede Algoritmer og. Datastrukturer. Projekt 1

Christer Vindberg & Kim Birkelund. Avancerede Algoritmer og. Datastrukturer. Projekt 1 Christer Vindberg & Kim Birkelund Avancerede Algoritmer og Projekt 1 Datastrukturer 7 Indholdsfortegnelse At implementere heaps... 3 Binary-heap... 3 Fibonacci-heap... 3 Størrelser... 4 Worst-case tider...

Læs mere