G Skriverens Kryptologi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "G Skriverens Kryptologi"

Transkript

1 G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges stuaton under anden verdenskrg. I denne artkel beskrves G Skrverens kryptolog og matematk. Hensgten med de to artkler samlet er at gve lærere og SRP skrvende elever et udgangspunkt for at arbejde med G Skrveren som et emne matematk hstore. Teksten forudsætter kke nogen kryptologsk forhåndsvden hos læseren. Tværtmod sgtes på at gve netop en undvet læser nogle ndtryk af matematkkens brug kryptolog og kryptoanalyse. En detaljeret og fuldstændg gennemgang af G Skrverens svagheder og af operatvt realstske angreb og deres matematk vl blve meget omfattende og har kke været hensgten. Teksten ndeholder først en beskrvelse af masknens kryptolog med ntrodukton af matematske symboler og funktoner. Derefter anvendes denne beskrvelse tl at gve et eksempel på matematsk kryptoanalyse. Teleprntere, bts og karakterer For at forstå G Skrverens vrkemåde er det nødvendgt at vde noget om teleprntere og deres teknk. Produktet SFM T52 fra frmaet Semens & Halske var en synkron telex maskne med en ntegreret krypterng. Det synkrone betød, at to maskner og to operatører måtte være aktve samtdg for at kommunkatonen kunne fnde sted. Hver operatør skrev på sn egen maskne den tekst, som efterfølgende skulle vse sg som modtaget tekst på den anden maskne. En forbndelse begyndte med en oprngnng fra den part, som ønskede at sende noget tl den anden, men kommunkatonen foregk derefter prncppet som en dalog. En helt grundlæggende egenskab ved teleprntere er, at de sender og modtager nformatoner grupper af 5 pulser. Hver puls kan være høj eller lav og er derfor matematsk set en bt. Før og efter hver gruppe af fem bts sendes desuden en særlg start og stop puls, som hjælper tl at fastholde synkronserngen mellem de to parter. På denne måde kan teleprntere sende og modtage nformaton enheder af 5 bts og følgelg med 2 5 = 32 ndvduelle mulgheder for hver transmtteret enhed. Dsse 32 mulgheder fortolkes naturlgt som tallene fra 0 tl 31, hvor de fem bts her læses som , altså som decmaltallet 19. Den rå, transmtterede btsekvens opfattes på denne måde som en sekvens af symboler alfabetet {0,.., 31}. Dsse 32 transmtterngsnære symboler må oversættes tl et sæt af karakterer, som operatørerne kan ndtaste og kan modtage. For at have et passende fyldgt karaktersæt benytter teleprntere sg af en dobbeltbrug, således at hvert af de 32 symboler kan anvendes både en bogstav mode, Letter Mode, og en tal mode, Fgure Mode. De anvendte karakterer hver af de to tlstande er vst fgur 1. Eksempelvs skal de 5 bts 6 = 00110, fortolkes som et I, hvs de sendes bogstav mode, og som et 8, hvs de sendes tal mode. Denne konstrukton kaldes Baudot koden efter franskmanden Emle Baudot, som opfandt den omkrng Dobbeltbrugen udvder mængden af brugbare karakterer betragtelgt, men betyder samtdgt, at de to maskner altd for hver eneste karakter skal være enge om, hvorvdt de nu er letter mode eller fgure mode. For selv at komme letter mode kan den skrvende operatør trykke LS, LetterShft. Dette betyder samtdg, at symbolet LS = blver sendt tl den modtagende maskne, hvor det fungerer som et kommando om også dér at gå letter mode. Denne mode ved- Decmal Bnær Letter Fgure Mode Mode (ubrugt (ubrugt E LF LF A SP SP S BEL I U CR CR D $ R J N F! C : K ( T Z L W H # Y P Q O B? G & FS FS M X / V ; LS LS Fgur 1 Baudot koden. varer hos modtageren ndtl det alternatve symbol FS, FgureShft, er blevet sendt og modtaget. Af øvrge specalkarakterer tabellen kan nævnes LF LneFeed, SP Space og CR CarrageReturn. Symbolet BEL er vst selvforklarende. Krypto prncp De grundlæggende prncpper G Skrverens kryptolog kan føres tlbage tl en patentansøgnng, som jul 1930 blev ndgvet Tyskland af frmaet Semens & Halske AG. Senere blev der tldelt pa- 26 LMFK-bladet 4/2014

2 tenter også eksempelvs USA, og produktonen og vdereudvklngen af T52 seren fortsatte frem tl Det drejer sg prncpelt om en forsats tl noget, som uden krypterng vl være en standard (klar tekst teleprnter. Umddelbart før afsendelse af et 5 bts symbol P, laves P om tl et andet 5 bts symbol C. Når C derefter er modtaget den anden ende, er det første som sker, at modtagermasknen laver C tlbage tl P. Alt andet de to maskner er helt uberørt af, at der foregår en krypterng lge før afsendelsen og en dekrypterng lge efter modtagelsen. Selve krypterngen, ændrngen af P tl C, kan kompakt skrves som C = E A,B (P. Den foregår to krypterngstrn og bruger alt 10 bts hemmelg nøgle tl at kryptere de 5 bt P. Først anvendes 5 bts nøgle A tl at omdanne P tl D = P Å A og derefter anvendes 5 andre nøglebts B tl at omdanne D tl C = π B (D. V vl se nærmere på hvert af dsse skrdt. Bnær addton og egenskaber ved D Regneoperatonen Å er koordnatvs bnær addton. Den bnære addton 0 Å 0 = 0, 1 Å 0 = 1, 0 Å 1 = 1, 1 Å 1 = 0 udvdes tl addton af 5 bts størrelser fx således, at Å = Her kan man tænke på som klarteksten P og på som nøglen A. Højre sden er så fald størrelsen D, der fungerer som en slags mdlertdg cfferkarakter. A Hvs nøglen A er valgt hemmelgt og tlfældgt blandt de 32 mulgheder på en måde, som er uafhængg af P, er allerede D skker mod en hypotetsk angrber, uden at det egentlg er nødvendgt efterfølgende at anvende B. For at se skkerheden D = P Å A kan man gå frem på følgende måde. Først kan det udregnes, at sandsynlghedsfordelngen for D er flad, Prob(D = d = 1 32 for ethvert d. Alle værder d for D er altså lge sandsynlge, og dette er tlfældet helt uanset den ndledende fordelng af klarteksten P. Dernæst kan v for hver mulghed P = p og D = d udnytte denne lgefordelng af D tl at verfcere, at Prob(P = p D = d = Prob(P = p Selv en angrber, som ved alt om, hvordan P og A kombneres for at danne D, må således ndse, at hans betngede sandsynlghedsfordelng for P efter en observaton af D = d, er dentsk med hans sandsynlghedsfordelng nden observatonen. Det er det samme som at sge, at D kke afgver nformaton om P. Transpostonen π Det er heldgt, at D er skker, ford den anden halvdel af krypterngen π B er bestemt kke skker. Og den perfekte lgefordelng af D over de 32 mulgheder for D = d er ronsk nok en stor hjælp en angrbers analyse af π B. De 5 bts nøglen B anvendes tl at lave D om tl C = π B (D ved hjælp af en transposton π B, som flytter om på bttene D. V kan beskrve vrknngen af π B på følgende måde. Lad de 5 bts B være B = b 4 b 3 b 2 b 1 b 0, lad X = x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 være et nput tl π B og lad Y =π B (X være det tlsvarende output med bts Y = y 4 y 3 y 2 y 1 y 0. V starter med at sætte Y = X, hvlket vl sge, at hver bt x fra X koperes over den tlsvarende bt y Y. Derefter sker der følgende 5 skrdt den anførte rækkefølge: B Hvs b 0 = 1, byt om på y 0 og y 4 Hvs b 1 = 1, byt om på y 4 og y 3 Hvs b 2 = 1, byt om på y 3 og y 2 Hvs b 3 = 1, byt om på y 2 og y 1 Hvs b 4 = 1, byt om på y 1 og y 0 Slutværden for y bttene danner den ønskede outputværd Y. Det er let at se, at outputværden Y afslører en del om nputværden X, eller vores sammenhæng, at C fortæller en del om D. Svagheden er grundlæggende, at det er de samme bts som lgger C og D. Der vl være lge mange 0 bt og 1 bt den ukendte D, som der er den observerede C. Dette er nformaton for en angrber. Fordelng af D gvet C Svagheden π B er mest eklatant, hvs angrberen observerer eksempelvs C = 31. Da må også D = 31, ford 31 smpelthen er den eneste mulghed for et 5 bts tal med fem 1 bts og ngen 0 bts. V vl se nærmere på et andet tlfælde. Hvs angrberen observerer værden C = 2, er der 1 5 = 5 mulgheder for D med netop én 1 bt ud af 5, og der vser sg ved en undersøgelse at være følgende mulgheder for parret (D, B D B Antal B 1 15, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 9, 10, , , 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 9 Fgur 3 Mulge værder for D og B svarende tl C = 2. Dsse 32 løsnnger kan fndes ved en smpel computerbaseret efterprøvnng af de mulge værder for D og for B. Eller ved at anvende de fem skrdt beskrvelsen af π B som udgangspunkt for først at lave en tlsvarende beskrvelse af den nverse P D = P A π C = π B (D Fgur 2 Sktse af krypterngen C = E A,B (P. Alle varable er 5 bts størrelser med værder mellem 0 og 31. LMFK-bladet 4/ Matematk

3 Matematk transposton π B 1, og derefter at generere de 32 værder π B 1 (2, når B varerer. V får derfor, at fravær af anden nformaton om D, vl en observaton af C = 2 umddelbart fortælle os, at D må være en af 1, 2, 4, 8 og 16, og at sandsynlgheden for hver af de fem mulgheder for D efter observatonen af C = 2 nu er henholdsvs 9 32, 8 32, 4 32, 2 32 og Bemærk at argumentet udnytter, at både D og B er lgefordelte. For at llustrere den potentelle nytte af at kende fordelngen af D kan v hypotetsk forestlle os, at en angrber efter en observaton af C = 2 gennemløber mulghederne for værderne af D = d, og at angrberen for hver d værd ved en vdere undersøgelse er stand tl at fnde ud af, om netop denne d var den rgtge. Hvor mange d er skal en angrber ndstlle sg på at undersøge? Uden nformaton om D kan angrberen kun gætte tlfældgt og må regne med mddel at gætte og undersøge 16,5 gange, før den rgtge d fndes. Hvs den første d er den rgtge gættes 1 gang, hvs den sdste er den rgtge gættes 32 gange, og alle værder dermellem er lge sandsynlge. Efter observatonen af C = 2 er der færre mulge værder for d, og man kan endda gætte på de mest sandsynlge værder af d først. I mddel kan angrberen derfor nøjes med at gætte = 2, gange. Det begrænsede antal mulgheder nedsætter mddeltallet fra 16,5 tl 3, og den skæve sandsynlghedsfordelng nedsætter mddeltallet yderlgere fra 3 tl 2,4. G Skrveren som kryptosystem En besked bestående af en strøm af klartekstsymboler P 0, P 1,, P, krypteres G Skrveren tl en tlsvarende strøm af cffersymboler C 0, C 1,, C, ved C = E ( P, A B Problemet for konstruktørerne af masknen var, hvor alle dsse uafhængge og tlfældgt fordelte nøgler A og B skulle komme fra. Løsnngen var at lave et system, en pseudorandom generator, tl at danne de tlfældge nøgler A og B. Dsse nøgler vlle kke være vrkelgt tlfældge, men tanken var, at med en passende komplceret metode tl at frembrnge nøglerne, vlle de prakss være lge så gode som vrkelgt tlfældge værder. Alle maskner på det tdspunkt benyttede sg af hjul, som man havde den elektromekanske teknk tl at mplementere. I dette tlfælde blev hver maskne udstyret med et sæt på 10 hjul. Hvert hjul havde langs kanten en række markernger der kunne aflæses som bts. For hver karakter, der skulle krypteres, blev der aflæst en bt fra hvert hjul, og de 10 aflæste bts blev brugt tl A og B. Derefter tog hvert hjul et skrdt fremad og proceduren gentog sg med næste klartekst karakter. Hjulene var af bakelt, og næsten alle eksemplarer af masknen havde de samme 10 hjul med de samme bts. Kun maskner med dentske hjul kunne kommunkere med hnanden, og det overvældende flertal af maskner tlhørte samme sere. Hjullængderne var 47, 53, 59, 61, 64, 65, 67, 69, 71 og 73. Det betød eksempelvs, at hjulet af længde 47 efter 47 skrdt vlle være drejet en hel omgang. Dette hjul vlle skrdt 47 og derefter afgve de samme bts som skrdtene fra karakter 0 og frem. Lad os betegne bttene på hjul nummer 1 med hjullængde 47 matematske symboler med H 1j, 0 j 46. Tlsvarende lad os ndføre h 1 som et symbol for den bt, som tl karakter nummer udlæses fra hjul nummer 1, og lad os sge, at hjul 1 starter mod( + s1, 47 postonen s 1. Da er h1 = H 1. Tlsvarende for de øvrge hjul og hjullængder. G Skrverens nøgler Nøglen tl systemet bestod to tng. Den første del var de 10 startndstllnger af de 10 hjul, som v samlet kan beskrve med S = (s 1, s 2,, s 10 Den anden del af nøglen var den måde, de 10 bts fra hjulene blev brugt på A og B. Hver af de fem bts A og hver af de fem bts B blev dannet ved et udtag fra et bestemt af de alt 10 hjul. Systemet er llustreret fgur 4. De hjul, som anvendes tl A, er gvet ved en delmængde A af {1,.., 10}, og rækkefølgen af de 5 btspor fra A ved brug A er angvet ved en permutaton α af {0,.., 4}. Tlsvarende beskrves brugen af hjulene tl B ved en mængde B og en permutaton β. I det konkrete tlfælde fgur 4 blver de fem bts A bestemt ved a 4 = h 2, a 3 = h 5, a 2 = h 10, a 1 = h 1, a 0 = h 6. I ord kan v sammenfatte, at nøglemateralet er: S, A, B, α, β. Værderne A, B, α, β forblev uændrede under en kommunkaton, når de først var sat ved kommunkatonens begyndelse. Desgnerne af masknen har forladt sg på, at der er nogle store tal assoceret med denne maskne. Antallet af mulge startndstllnger S for hjulene er et voldsomt stort tal. Da de 10 hjullængder er ndbyrdes prmske, vl antallet af skrdt før udtagspunkterne U = (mod( + s1, 47,mod( + s2, 53,,mod( + s, 73 gentager sg, og nøglerne A og B dermed begynder forfra, også være meget stort. Og endelg er der et stort antal af forskellge måder, de 10 bts kan benyttes på tl at danne A og B. I en før computertd, hvor kryptoangreb udgangspunktet måtte foregå ved håndkraft, har opfnderne haft god tlld tl masknens nøglestørrelse og komplekstet. G Skrverens nøgleadmnstraton I sn krypto admnstraton havde man opdelt nøglen tre dele. Der var den ndre ndstllng, der var en hemmelg nøgle, som bestod A, B, α og β. Den ndre ndstllng bestemte hvlke udtag fra hjulene, som skulle lgge på de forskellge btpostoner A og B. Hver værd var gyldg 3 9 dage LMFK-bladet 4/2014

4 Fgur 4 Sktse af frembrngelsen af A og B for valgte llustrerende værder af A og B, α og β. Bemærk at bttene A og B nummereres fra 0 tl 4 med 0 tl højre. Den vste navngvnng af de 10 hjul, med I udeladt, er svenskernes orgnale. s 1 K 47 s 2 J 53 s 3 H 59 s 4 G 61 s 5 F 64 s 6 E 65 s 7 D 67 s 8 C 69 s 9 B 71 s 10 A 73 Der var den daglge nøgle, kaldet QEK. Den daglge nøgle var en hemmelg nøgle, som bestod to tng. Dels en opdelng af de 10 hjul 5 hjul tl såkaldt QEK brug og 5 hjul tl såkaldt QEP brug. Dels et valg af startndstllnger for de 5 QEK hjul. For alle krypternger som fandt sted fra den pågældende dag klokken 09:00 ndtl næste morgen vlle dsse 5 hjul være sat tl den pågældende (hemmelge start ndstllng. Den ndre ndstllng og den daglge nøgle blev bestemt centralt og lange lster med værder og gyldghedsperoder blev fordelt på papr tl alle anvendere af G Skrveren. Dsse paprer var naturlgvs højt klassfcerede og meget blev gjort for at fordele og opbevare dem på en skker måde. Den sdste nøgle var meddelelsesnøglen, kaldet QEP. Meddelelsesnøglen var et valg af startndstllnger på de fem QEP hjul. Dsse værder blev bestemt af oprngeren og sendt med selve teksten den kommunkaton, som foregk før man skftede tl krypteret mode. De var åbne, det vl sge kke hemmelge, og enhver som ndhentede kryptoteksten kunne aflæse de fem tal. h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h 10 A = {1, 2, 5, 6, 10} B = {3, 4, 7, 8, 9} Selv om QEP nøglen var åben, skulle tallene være tlfældge. Deres formål var at skre, at hver krypteret sesson havde sn helt egen ndstllng af masknen. h 1 h 2 h 5 h 6 h 10 h 3 h 4 h 7 h 8 h 9 α = (32041 β = (10432 h 2 h 5 h 10 h 1 h 6 h 8 h 9 h 3 h 4 h 7 A B 1 Kryptologske svagheder Én åbenlys svaghed ved G skrverens kryptologske desgn var, at det kke var mulgt at ændre bttene H j på nogen af de 10 hjul. Alle maskner havde de samme hjul, og hvs en angrber bare én gang fk fyssk adgang tl en maskne eller fandt værderne ved en analyse, så kunne den vden genbruges ubegrænset td og for alle G Skrvere. En anden klar svaghed var, at stepnngen af hjulene var regulær og forudsgelg, et skrdt for hver karakter. Et bedre desgn vlle have steppet hvert hjul et varabelt antal skrdt, måske et eller to, for hver karakter og kunne have ladet hvert hjul styre af de øvrge hjul. LMFK-bladet 4/ Matematk

5 Matematk Men selv dsse svagheder vlle næppe sg selv have gvet svenskerne den praktske succes, som de faktsk fk. De svenske angrbere blev hjulpet på vej af et ndgående kendskab tl særheder den (skjulte klartekst. Og af en vrkelg spektakulær fejl tyskernes brug af masknen. Baggrunden for begge svagheder var, at kommunkatonslnerne var voldsomt udsatte for støj. En krypto karakter kunne smpelthen forsvnde undervejs. Det medførte at synkronserngen mellem afsender og modtager gk tabt, og at modtagerens klartekst var ulæselg fra synkronserngstabet og fremad. Tlsvarende kunne en krypto karakter blve forvansket undervejs og blve modtaget med en forkert værd. Dette vlle som oftest blot medføre, at den ene tlsvarende klartekst karakter den modtagne tekst blev fremvst forkert. Men hvs den pågældende krypto karakter dækkede over en af de usynlge klartekst karakter P = FS eller P = LS, kunne den modtagende teleprnter fnde på at fortolke længere tekst passager den forkerte mode tl stor gene for modtageren. For at begrænse vrknngen af den sdstnævnte type fejl havde operatørerne vænnet sg tl stedet for SP (mellemrum mellem ord, systematsk at skrve de to karakterer LS SP. Det ekstra LetterShft var usynlgt for læseren på modtagersden, men skrede, at den modtagende maskne hvert fald fra det punkt af var den rgtge mode. Som resultat af dette havde klarteksten en voldsom overhyppghed af kombnatonen LS SP. På trods af denne type forholdsregler måtte operatørerne meget ofte begynde om gen på en gven transmsson. Og dette er oplægget tl den helt store fejl. Masknen var udstyret med en nulstllngsfunkton, som med et enkelt greb satte hvert af de 10 hjul tl en gven startposton. Hensgten var, at denne funkton skulle anvendes tl hurtgt og skkert at sætte QEK hjulene tl dagens værder, medens værderne for QEP hjulene derefter skulle ændres tlfældgt af operatøren. Det var kke forudset, at operatørerne, som skulle sende mange tekster og skulle gensende samme tekst mange gange før det lykkedes, vlle udvkle den prakss at begynde en kommunkaton ved at anvende nulstllngsfunktonen uden derefter at ændre på startværderne for QEP hjulene. Resultatet var et meget stort genbrug af ndstllnger af G Skrveren. Det var kke uset, at svenskerne en gven dag kunne arbejde med en dybde på forskellge transmssoner krypteret med samme ndstllng, såkaldte paralleller. Beurlngs opklarng Da Beurlng fk opgaven med at fnde ud af hvordan G Skrveren fungerede eller kunne løses, havde han dette at arbejde med: En vden om, at kryptoapparater på den td ofte benyttede sg af bnær addton og af bt permutatoner. En overordnet vden om, hvordan klarteksterne nok så ud. Et stort sæt af cffertekster, som ud fra deres tdspunkter, længder og vsse karakterstska teksternes ndlednng måtte være parallelle. Blyant og papr. På dette grundlag opbyggede han på få dage en logsk model af masknen. Beurlng har aldrg selv redegjort for sn arbejdsproces. Men det er almndelgt antaget, at det er foregået nogenlunde på følgende måde. Først har Beurlng skrevet teksterne parallelsættet op lange rækker med én tekst hver række og med karakterer på samme plads teksten under hnanden og han har ledt efter alt, som kunne vrke påfaldende. Med baggrund tyskernes tlbøjelghed tl at ndsætte LS SP klarteksten, var en mulg ndledende de, at de mange forekomster af netop dette bgram klarteksten kunne have gvet sg udtryk på en eller anden måde cfferteksterne. På et tdspunkt har han observeret, at der var påfaldende ant gentagelser af cffersymboler, forstået på den måde, at cfferkarakterer på samme plads, men forskellge tekster, havde alle bt forskellge på nær en. Dette er llustreret fgur 5. Beurlng gættede nspreret på, at dsse tlfælde dækkede over forskudte forekomster af klarteksten LS SP, og at krypterngen foregk ved for et gvet at anvende ét bestemt A tl bnær addton og én bestemt bt transposton π for alle tekster hele parallelsættet. Med værderne LS = 31 og SP = 4 er der netop én bt med samme værd de to klartekst bogstaver. Hvs de to værder 31 og 4 først bnært adderes med samme værd A og derefter udsættes for samme bt transposton π vl resultaterne altd være to værder, som stadg har netop en bt tlfælles. Ved at gætte mere og mere klartekst de forskellge tekster kunne han gradvst både bekræfte sn hypotese og bestemme flere og flere værder af A og π. Efterhånden blev det klart, at vsse elementer A og π efterhånden gentog sg, og opklarngen af masknens øvrge dele kunne begynde. Hstoren er fortalt en længere og mere detaljeret form Beckmans bog. Produktonen Den løbende løsnng af G-Skrver trafkken var naturlgvs langt enklere end den første opklarng. Med forhåndskendskab tl masknens opbygnng og hjulenes ndhold, manglede kun den ndre ndstllng og den daglge nøgle. Begge dele blev daglgt fundet med udnyttelse af den ndgående vden om klartekstens særheder og med fordelen af hyppge parallelsæt. Ofte kunne dagsnøglen være klar allerede om morgenen. Den ndre ndstllng og den daglge nøgle blev anvendt tl at ndstlle en efterlgnng af G Skrveren, som blev fremstllet på L. M. Ercsson Workshop For Precson Mechancs. Med denne kunne svenskerne udnytte deres fundne nøgler og dekryptere med samme lethed og hurtghed som tyskerne selv. Lednngerne fgur 6 bruges tl at forbnde udtagene fra hjulene med enkeltbts A og B, det vl vores notaton sge, at lednngerne fastlægger A, B, α og β. 30 LMFK-bladet 4/2014

6 Cffer Klartekst4 LS SP H E U T E LS SP Cffer Klartekst3 LS SP G E H E I M E LS SP K O M M Cffer Klartekst2 LS SP Cffer Klartekst1 LS SP D A S LS SP Kryptoanalyse En kryptologsk beskyttelse med kendt algortme kan som regel brydes af en angrber med ubegrænsede beregnngsmulgheder. Prncpelt kan angrberen forsøge sg frem med alle nøglemulgheder, for hver af dem generere en tlhørende klartekst og så udvælge den rgtge. Hvs han altså er stand tl at kende den rgtge klartekst, når den er der, og adsklle den fra de øvrge forslag. Spørgsmålet er altså kke, om der fndes et angreb på kryptologen, men hvor effektvt et angreb, det er mulgt at desgne. Denne smple brute force metode er dog normalt ugennemførlg prakss på grund af det store antal mulgheder, der skal undersøges. Søgnngen blver aldrg færdg. En angrber vl derfor lede efter kryptologske svagheder det håb, at et mere avanceret angreb måske kan gennemføres nden for en brugbar tdshorsont. Forskellge fundne svagheder kan gve anlednng tl forskellge typer af kryptoangreb. De afsluttende afsnt af denne artkel dskuterer noget af matematkken et angreb på G Skrveren ved kendt klartekst. Det klassske kendt klartekst angreb består at udnytte, at en modstander krypterer og sender en klartekst, som man selv kender, tl at fnde de anvendte nøgler. Nøglerne kan så forhåbentlg genbruges på andre cffertekster med ukendt ndhold. Udgangspunktet for analysen er, at v som angrbere kender en klartekst og den tlsvarende kryptotekst, og at v kender alt tl masknens funkton. Målet er at fnde en metode tl derudfra at dentfcere alle masknens hemmelge dele, det vl sge tekstens nøgleelementer A, B, α, β samt alle bttene H j på de 10 hjul. Startværderne S kan v sætte lg 0, da v kun har én tekst og ngen gvne QEP værder. Fgur 5 Beurlngs arbejdsproces mnatureformat. Cffertekst med grønt og klartekst med rødt. I den vrkelge verden vl opdelngen af startndstllngerne S en lukket del QEK og en åben del QEP blve kraftgt udnyttet. For kke at komplcere fremstllngen og for at holde den rmelgt kort, ser v dog bort fra al nformaton, som kan udledes af nøgleadmnstratonen, og v nøjes desuden med at redegøre for, hvordan et kendt klartekst angreb kan fnde A, α og ndholdet af de fem hjul hørende tl A. Partetsbevarelse Angrebet starter med den observaton, at hvs X = x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 og Y = y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 er sammenknyttede ved Y = π B (X, så gælder y 4 + y 3 + y 2 + y 1 + y 0 = x 4 + x 3 + x 2 + x 1 + x 0 (1 uanset værden af B. Når x og y kun kan antage værderne 0 og 1, tæller begge sder lgnngen (1 antallet af 1 bts og dette antal er det samme Y som X. Ved at reducere modulo 2, og kun se på Efter Beurlngs opklarng af G Skrverens vrkemåde angreb svenskerne masknen ved brug af paralleller, som tyskerne uheldgt kom tl at stlle tl rådghed. Desuden kan nævnes, at G Skrveren også er svag overfor sologer, det vl sge to eller flere cffertekster, som anvender forskellg nøgle, men har samme klartekst. Og at et sæt af parallelle quas sologer, hvor to tekster har samme nøgle og dentske, men forskudte klartekster, er et taknemmelgt angrebsmål. Fgur 6 En af de orgnale APP er, anvendt tl dekrypterng af G Skrveren. Foto: FRA. LMFK-bladet 4/ Matematk

7 Matematk parteten af antallet af 1 bts, fremkommer lgnngen y 4 Å y 3 Å y 2 Å y 1 Å y 0 = x 4 Å x 3 Å x 2 Å x 1 Å x 0 som er en bnær lgnng x erne og y erne. I det te skrdt af krypterngen anvendes denne lgnng for Y = C og X = D = P Å A. Dette fører tl c 4 Å c 3 Å c 2 Å c 1 Å c 0 = (p 4 Å a 4 Å (p 3 Å a 3 Å (p 2 Å a 2 Å (p 1 Å a 1 Å (p 0 Å a 0 som v straks omorganserer tl a 4 Å a 3 Å a 2 Å a 1 Å a 0 = (c 4 Å c 3 Å c 2 Å c 1 Å c 0 Å (p 4 Å p 3 Å p 2 Å p 1 Å p 0 Ponten er at højresden, partetssummen z = (c 4 Å c 3 Å c 2 Å c 1 Å c 0 Å (p 4 Å p 3 Å p 2 Å p 1 Å p 0 af bttene C og P, er noget v konkret kan beregne, når v kender både klartekst og cffertekst. V kender dermed for hvert den bnære sum z af alle de bts h j, som ndgår nøglen A. At fnde A og første halvdel af H bnære lgnnger Hvs v kendte A, kunne v omdanne de bnære lgnnger a 4 Å a 3 Å a 2 Å a 1 Å a 0 = z (2 tl noget umddelbart nyttgt. Som eksempel sæt gen A ={1,2,5,6,10}, hvlket betyder, at hjullængderne brugt tl A er 47, 53, 64, 65 og 73. Hvs eksempelvs a 4 er den bt, som kommer fra hjul nummer 1, er a 4 = h 1 = H 1 mod(, 47 således at eksempelvs a = H 16, a = H 17, a = H 1 8 og så vdere. Tlsvarende vl de øvrge hjul 2, 5, 6 og 10 fra A hver bdrage med en H bt fra deres hjul tl en af a 3, a 2, a 1 og a 0, og v kan bestemme det nummer, hver af dsse ukendte bt har på st hjul. Da v mangler permutatonen α, kender v kke den rækkefølge, hvor dsse fem hjul fra A bdrager tl summen z, men det forhndrer os kke at danne den korrekte sum (2 og at danne lgnngerne H 1 mod(, 47 Å H 2 mod(, 53 Å H 5 mod(, 64 Å H 6 mod(, 65 Å H 10 mod(, 73 = z (3 Hvert gver os én sådan lgnng, og hvs v har tlstrækkelgt mange lgnnger, kan v forvente ved lneær lgnngsløsnng af bnære lgnnger at fnde alle bts fra de fem anvendte hjul. En angrebsmetode er derfor: Prøv alle mulgheder for A en ad gangen, og for hver mulghed opstl de bnære lgnnger svarende tl (3 og prøv at løse dem. Dér, hvor der er en løsnng, har v fundet A og ndholdet alle anvendte hjul. Der er ( 10 5 = 252 mulgheder for mængden A, og det samlede antal ukendte bts 5 hjul er maksmalt 345. Denne metode kræver således, at der er ldt flere end 345 kendte klartekstkarakterer tl rådghed. Beregnngsmæssgt skal v opstlle og forsøge at løse 252 bnære lgnngssystemer op tl 345 varable. Dette kan dag afvkles på en td størrelsesordenen et enkelt sekund på en standard PC. At fnde A og første halvdel af H bnære polynomer En svaghed ved ovenstående metode er, at den kke udnytter den cyklske struktur h bttene. Ved at anvende ldt mere matematk og ldt flere karakterer kan v modellere også denne sde af masknen. Belønnngen blver, at v kan anvse konkrete formler for ndholdet de ukendte H j. At fnde A For at fnde A ønsker v først at gange det bnære polynomum Q A (x defneret som produktet (1 + x 47 (1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 på begge sder af (3 og konstatere, at resultatet blver 0. Det kræver en forklarng. Lad notatonen (e stå for en vlkårlg sekvens af bts, som er defneret for 0. V defnerer multplkatonerne 1 (e = (e, x (e = (e +1 og udvder ved sammensætnng, således at eksempelvs (1 + x (e = (e Å e +1, x 2 (e = x (x (e = (e +2 og x n (e = (e +n. Dermed kan v danne produktet Q(x (e af ethvert bnært polynomum Q(x med enhver ensdg btsekvens (e, og resultatet vl være en ny ensdg btsekvens. Man kan efterprøve, at konstruktonen opfylder (R(xS(x (e = R(x (S(x (e (4 hvor R(xS(x er sædvanlg multplkaton af bnære polynomer. Observér nu, at (1 + x 47 (H 1 mod(, 47 er nulsekvensen (0 og tlsvarende med de øvrge faktorer Q A (x. Ved at gange Q A (x på begge sder af lgnng (3 får man derfor, at Q A (x (z = (0 Dette er vores bedre metode tl at fnde A. For hver af de 252 mulgheder for A danner v polynomet Q A (x og ser efter om Q A (x (z skulle være (0. Når det er tlfældet, har v løsnngen. Da summen af de 5 største hjullængder er 345, kan graden af den rgtge Q A (x være op tl 345. V skal derfor have 345 kendte klartekstkarakterer, før v kan beregne den første bt Q A (x (z og ldt flere end 345 kendte karakterer, før v med høj skkerhed kan dentfcere den rgtge A. At fnde første halvdel af H Når man kraft af A kender de anvendte hjul tl A, kan man, selv uden at kende rækkefølgen α, også udlæse hjulenes bts H j for de ndgående j. V llustrerer metoden for A = {1,2,5,6,10} og for j = 1 hvor hjullængden er 47. Anvend først Eukld s algortme tl at fnde største fælles dvsor mellem de bnære polynomer (1 + x 47 og (1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 og tl at konstruere de tlhørende bnære faktorer R(x og S(x. Da hjullængderne er ndbyrdes prmske, vl den største fælles dvsor vse sg at være 1 + x, så 32 LMFK-bladet 4/2014

8 Eukld vl gve os polynomer R(x og S(x, som opfylder 1 + x = R(x(1 + x 47 + S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 I kombnaton med (3 gver dette en formel for H 1. Da mod(, 47 mod(, 53 mod(, 64 H 1 = H 2 Å H 5 Å mod(, 65 mod(, 73 H 6 Å H 10 Å z og R(x(1 + x 47 + (1 + x = S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 kan v udregne (1 + x (H 1 mod(, 47 = (R(x(1 + x 47 + (1 + x (H 1 mod(, 47 = (S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 (H 2 mod(, 53 Å H 5 mod(, 64 Å H 6 mod(, 65 Å H 10 mod(, 73 Å z = (S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 (z (5 det alle øvrge led blver 0. Vores metode blver således: Identfcér S(x ved Euklds algortme, udregn udtrykket på højresden af (5, gæt på første bt hjul nummer 1 og anvend (5 tl at fnde resten. De øvrge hjul fndes på tlsvarende måde. At fnde α Med 120 mulgheder for permutatonen α, er det kke noget stort beregnngsarbejde at gennemløbe dem alle. Og der er en enkel måde tl med stor skkerhed at afvse de 119 forkerte forslag. Den bygger på, at v nok har udnyttet partetslgnngen (2, men at v endnu kke har udnyttet den oprndelge lgnng (1. Ved brug af kryptoteksten C beregner v en factlste for, hvor mange 1 taller der skal være hver D. For hver foreslået værd for α, kan v desuden beregne alle A og kan bestemme hvad værderne D = P Å A faktsk blver, hvs denne α er den rgtge. V forkaster de α, som fører tl en eller flere D er med et forkert antal 1 taller. Med mndst 345 karakterer at checke på, bør der kun være et overlevende forslag for α. Et hurtgt argument for den sdste påstand kan være følgende. Både for den rgtge og for de forkerte værder af α kan v modellere D som en tlfældg størrelse, lgefordelt mellem 0 og 31. Det betyder, at antallet af 1 taller en D fordeles mellem mulghederne 0, 1, 2, 3, 4, 5 forholdene 1, 5, 10, 10, 5, 1. For en forkert α blver for hvert sandsynlgheden for ved tlfældghed at ramme det rgtge antal 1 taller D gvet ved Fgur 7 En af de sdst udvklede G Skrvere, T52 d/e versonen, som faktsk var skker. Bemærk den omhyggelge nstruks om at smøre maskneret efter 100 tmers brug. Fotografer: Forsvarets Efterretnngstjenestes teknskhstorske samlng = 256 når der tages højde for, at parteterne på forhånd vdes at være ens. At ramme rgtgt 345 gange træk med denne sandsynlghed sker nok kke, selv med 119 forsøg. Det overlades tl læseren at overveje, hvorfor den anvendte tlfældghedsmodel for mange af de forkerte α er er ret grov og eventuelt at fnde en mere præcs analyse. Bblograf Beckman, B. (2002, Codebreakers. Arne Beurlng and the Swedsh crypto program durng world war II, Amercan Mathematcal Socety. Lars Ulvng, Frode Weerud (2000, The Gehemschreber Secret. Arne Beurlng and the Success of Swedsh Sgnals Intellgence. Procedngs on Codng Theory and Cryptography, Sprnger Verlag, men se også cryptocellar.org. Cryptomuseum, se cryptomuseum.com/crypto/semens/t52/ LMFK-bladet 4/ Matematk

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang 2. Kort beskrvelse HR92 Trådløs elektronsk radatortermostat. Leverngens omfang I radatortermostatens emballage er der: 2 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.baccertfceret. Honeywell HR92 er en trådløs elektronsk

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning Pod/Phone speaker ALD1915H ASB4I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 13 FR 25 ES 37 DE 49 EL 62 DA 75 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Nim Skole og Børnehus

Nim Skole og Børnehus Nm Skole og Børnehus... 2 Samlet vurderng af skolen... 2 Rammebetngelser... 4 Budget... 4 Personaletal... 4 Pædagogske processer... 4 Indsatsområder og resultater... 4 Opfølgnng og nye ndsatsområder...

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC da Brugervejlednng 3 da Indholdsfortegnelse Centralkontrolenhed Indholdsfortegnelse 1 Tl nformaton 8 1.1 Illustraton af trnnene 8 1.2 Vse startmenuen 8 1.3

Læs mere

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016 Sundheds- og Ældreudvalget 2014-15 (2. samlng) SUU Alm.del Blag 41 Offentlgt Sundheds- og Ældremnsteret Sundheds- og ældremnsteren Enhed: Jurmed Sagsbeh.: hbj Sagsnr.: 1503875 Dok. nr.: 1768205 Dato: 3.

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

Installationsvejledning 3. Dräger Interlock XT Startspærre styret af åndeluftens indhold af alkohol

Installationsvejledning 3. Dräger Interlock XT Startspærre styret af åndeluftens indhold af alkohol da Installatonsvejlednng 3 Dräger Interlock XT Startspærre styret af åndeluftens ndhold af alkohol Indhold Indhold 1 Vedrørende dn skkerhed........................ 4 1.1 Overhold nstallatons- og brugsanvsnngen...........

Læs mere

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315..

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315.. Monterngsvejlednng Indbygnngsrado 0315.. 1 Betjenng Fgur 1: Betjenngselement Indbygnngsradoens funktoner styres va knapperne på betjenngselementet: Med et kort tryk tændes/slukkes radoen; med et langt

Læs mere

Miljøpolitik. Officiel politik for håndtering af globalt miljø og arbejdsmiljø i SIKA Rengøring A/S

Miljøpolitik. Officiel politik for håndtering af globalt miljø og arbejdsmiljø i SIKA Rengøring A/S Mljøpoltk Offcel poltk for håndterng af globalt mljø og arbejdsmljø SIKA Rengørng A/S SIKA Rengørng A/S blev grundlagt 2001 af Rchard Petersen, Elsabeth Hansen og Bent Hansen, som har mere end 30 års praktsk

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bjarne Vogt, Tage Rasmussen, Bodl Schmdt, Susanne K. Larsen, Vggo Kofod Dagsorden for mødet er: 1) Kommentarer/godkendelse

Læs mere

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Dansk Journalstforbund Februar 2011 BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Jobs og lønkroner er kke lgelgt fordelt blandt mandlge og kvndelge forbunds. Derfor har v her samlet fre oversgter, der sger

Læs mere

VIP X1600 Netværksvideoserver. Installations- og betjeningsvejledning

VIP X1600 Netværksvideoserver. Installations- og betjeningsvejledning VIP X1600 Netværksvdeoserver da Installatons- og betjenngsvejlednng VIP X1600 Indholdsfortegnelse da 3 Indholdsfortegnelse 1 Forord 7 1.1 Om denne vejlednng 7 1.2 Konventoner denne vejlednng 7 1.3 Tlsgtet

Læs mere

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21 Vestbyskolen... 2 Samlet vurderng af skolen... 3 Rammebetngelser... 5 Budget... 5 Personaletal... 5 Pædagogske processer... 6 Indsatsområder og resultater... 6 Opfølgnng og nye ndsatsområder... 10 Udfordrnger...

Læs mere

L EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER

L EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER S A X O L EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER S E R I O U S T R A D I N G. W O R L D W I D E. 1 1 1.1. v v v v v x x x x x xv DEFINITIONER - FORTOLKNING AF VILKÅR I dsse Almndelge Forretnngsbetngelser

Læs mere

Insttut for samfundsudvklng og planlægnng Fbgerstræde 11 9220 Aalborg Øst Ttel: Relatv Fasepostonerng Med bllge håndholdte GPS-modtagere Projektperode: Februar 2006 Jul 2006 Semester: 10. Projektgruppe:

Læs mere

God fornøjelse. NLP Huset 2010

God fornøjelse. NLP Huset 2010 20 ÅR 20 PORTRÆTTER INDHOLD Forord Velkommen tl NLP Huset Peter Grønnng - Fandme farlgt Karen Jensen I dag ser jeg hele mennesker Lsbeth Holm og Søren Stags Hvad nu hvs? Hvad er Enneagrammet? Chrstel Seerø

Læs mere

Indledning ELEVPLAN FOR [NAVN] CPR [123456-9876]

Indledning ELEVPLAN FOR [NAVN] CPR [123456-9876] Kontaktoplysnn Indlednng For elever specalskoler, gruppeordnnger, specalklasser og elever, der modtager særlg støtte tl nkluson almndelge klasser, skal der udarbejdes en ndvduel elevplan, der tager udgangspunkt

Læs mere

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014

Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young. 26. februar 2014 Erhvervsstyrelsen og Ernst & Young 26. februar 2014 Bass- og ex ante-målng af de admnstratve konsekvenser ved forslag tl lov om autorsaton af vrksomheder el-, vvs- og kloaknstallatonsområdet Indholdsfortegnelse

Læs mere

Industrioperatør. Uddannelse inden for produktion og udvikling

Industrioperatør. Uddannelse inden for produktion og udvikling Industropatør Uddannelse nden for produkton udvklng 1 Industropatør - en andledes hvvsuddannelse Høje kvaltetskrav, fokus på mljø skkhed, modne teknol, psonlgt ansvar, løbende udvklng af råvar process

Læs mere

DEN ELEKTRONISKE KOMMUNIKATIONSREVOLUTION 1/19. - Et notat om e-mail markedsføring. Gem dette dokument

DEN ELEKTRONISKE KOMMUNIKATIONSREVOLUTION 1/19. - Et notat om e-mail markedsføring. Gem dette dokument DEN ELEKTRONISKE KOMMUNIKATIONSREVOLUTION - Et notat om e-mal markedsførng Gem dette dokument 1/19 Den elektronske kommunkatonsrevoluton INDHOLD Den elektronske kommunkatonsrevoluton... 3 Den elektronske

Læs mere

Bølgeudbredelse ved jordskælv

Bølgeudbredelse ved jordskælv rojekt: Jordskæl Bølgeudbredelse ed jordskæl IAG 2005 Bølgeudbredelse ed jordskæl V skal dette projekt studere bølgeudbredelse ed jordskæl. Her kommer så ldt teor om bølger. Bølger Man tegner næsten altd

Læs mere

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne.

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne. Dette dokument beskrver overordnet de væsentlge ændrnger tl verson 2.6. I dokumentet er kun medtaget de ændrnger, der har medført ændrnger tl revsonsrapporten. I det omfang der er behov for uddybnng af

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen:

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen: Erhvervs og Selskabsstyrelsen: AMVABopdaterng af Mnsteret for Fødevarer, Landbrug og Fsker Aktvtetsbaseret målng af vrksomhedernes admnstratve omkostnnger ved erhvervsrelateret regulerng på Mnsteret for

Læs mere

SM B-1-99 forskudsvist udbetalt børnebidrag enlig forsørger

SM B-1-99 forskudsvist udbetalt børnebidrag enlig forsørger ordnært ekstra børnlskud standsnng tlbagebalng fælles husførelse SM B199 forskudsvst udbalt børnebdrag enlg forsørger ægteskabslgnende forhold bevs folkeregster mod bedre vdende Resumé Ankestyrelsen har

Læs mere

^i TT T TS TV IF. August 1968-117 Årgang. Nr. 8. .ri *N^ ... - 1 1 1 I '""**

^i TT T TS TV IF. August 1968-117 Årgang. Nr. 8. .ri *N^ ... - 1 1 1 I '** ... - '""** e ^ TT T TS TV IF Nr. 8 August 1968-117 Årgang.r *N^ 1 1 1 I I den den løssalg Det nsprerende budskab AF MARION G. ROMNEY af De Tolvs Råd Gud har fra begyndelsen ment det på sn plads at anbrnge

Læs mere

H A N D E L S A F T A L E

H A N D E L S A F T A L E H A N D E L S A F T A L E I N D H O L D S F O R T E G N E L S E 1. Defntoner - Fortolknng af Vlkår... 2 2. Erkendelse og accept af rsko... 2 3. Ydelser... 3 4. Handel mellem Net Fonds og Kunden... 4 5.

Læs mere

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74

DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 2011 74 DANMARKS NATIONALBANK WORKING PAPERS 211 74 Johan Gustav Kaas Jacobsen Danmarks Natonalbank Søren Truels Nelsen Danmarks Natonalbank Betalngsvaner Danmark September 211 The Workng Papers of Danmarks Natonalbank

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Bjarne Vogt, Lars Provstgaard,

Læs mere

Kunsten at leve livet

Kunsten at leve livet Kunsten at leve lvet UNGE - ADFÆRD - RUSMIDLER 3. maj 2011 Hvad er msbrug? Alment om den emotonelle udvklng Hvem blver msbruger? Om dagnoser Om personlghedsforstyrrelser Mljøterap, herunder: - baggrund

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

Motivationseffekten af aktivering

Motivationseffekten af aktivering DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Kanddatspecale Bran Larsen Motvatonseffekten af aktverng Vejleder: Anders Holm Afleveret den: 03/03/06 Indholdsfortegnelse 1. Indlednng... 1 2.

Læs mere

Betjeningsvejledning. Til Brugeren. Betjeningsvejledning VAI 3-025 WN VAI 3-035 WN VAI 3-050 WN. Væghængte enheder

Betjeningsvejledning. Til Brugeren. Betjeningsvejledning VAI 3-025 WN VAI 3-035 WN VAI 3-050 WN. Væghængte enheder Betjenngsvejlednng Tl Brugeren Betjenngsvejlednng VAI 3-05 WN VAI 3-035 WN VAI 3-050 WN Væghængte enheder DK Pakkelste Anlægget leveres med de dele som vses nedenstående tabel Indendørs enhed Tlbehør Antal

Læs mere

Validering og test af stokastisk trafikmodel

Validering og test af stokastisk trafikmodel Valderng og test af stokastsk trafkmodel Maken Vldrk Sørensen M.Sc., PhDstud. Otto Anker Nelsen Cv.Ing., PhD, Professor Danmarks Teknske Unverstet/ Banestyrelsen Rådgvnng 1. Indlednng Trafkmodeller har

Læs mere

Vejinformation til fremtiden

Vejinformation til fremtiden 0 c 0-0. Sb I 1 0 (I) c Cl) -o Qo m s cl) CD -I 0 - CD overgangssyntern en blleder EDB - Det som er gvet og 2 DANSK VEJTIDSSKRIFT NR. 1 1993 Dansk Vejtdsskrff ISSN 0011-6548 Udgvet sf Dansk Vejtdssbft

Læs mere

DCI Nordsjælland Helsingrsgade SiR 3400 Hillerød tnordijaelland@dgi.dk Telefon 79 4047 00 Fax 79 4047 01 www.dgi.dk/nordsjaelland

DCI Nordsjælland Helsingrsgade SiR 3400 Hillerød tnordijaelland@dgi.dk Telefon 79 4047 00 Fax 79 4047 01 www.dgi.dk/nordsjaelland REDENSBORG KOMMUNE Ansøgnng om tlskud fra samarbejdspuljen Brug venlgst blokbstaver eller udfyld skemaet p dn pc. 1. Ansøgers forenng eller tlsvarende: DGl Nordsjælland 2. Ansøgers postadresse, emal telefonnummer:

Læs mere

Husholdningsbudgetberegner

Husholdningsbudgetberegner Chrstophe Kolodzejczyk & Ncola Krstensen Husholdnngsbudgetberegner En model for husholdnngers daglgvareforbrug udarbejdet for Penge- og Pensonspanelet Publkatonen Husholdnngsbudgetberegner En model for

Læs mere

Viden giver vækst. Højtuddannede til midt- og vestjyske virksomheder. Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretning!

Viden giver vækst. Højtuddannede til midt- og vestjyske virksomheder. Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretning! Vden gver vækst Højtuddannede tl mdt- og vestjyske vrksomheder Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretnng! Vrksomheder og højtuddannede har brug for hnanden Vækst forudsætter

Læs mere

PURE CYCLING. Vigtigt! Monteringsvejledning side 10. Læs side 5-9 inden du kører på cyklen første gang.

PURE CYCLING. Vigtigt! Monteringsvejledning side 10. Læs side 5-9 inden du kører på cyklen første gang. PURE CYCLING Cykelmanual Landevejscykel 1 13 14 2 3 4 5 c a 15 16 17 6 7 8 9 10 11 12 e d b 18 19 20 21 22 23 24 25 Vgtgt! Monterngsvejlednng sde 10. Læs sde 5-9 nden du kører på cyklen første gang.! Dn

Læs mere

Capital Asset Pricing Modellen

Capital Asset Pricing Modellen Captal Asset Prcng Modellen og det danske aktearked Bachelorprojekt af Thoas Klesdorff Hougaard Vejleder Lone Sauelsen Afleverngsdato.05.006 Erhvervsøkono/HA-uddannelsen Insttut for Safundsvdenskab og

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde Onsdag den 28. november 2012 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter

Referat fra Bestyrelsesmøde Onsdag den 28. november 2012 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Maybrtt Pugflod, Lars Provstgaard,

Læs mere

NASDAQ OMX Copenhagen A/S. 6. juli 2010

NASDAQ OMX Copenhagen A/S. 6. juli 2010 Tl NASDAQ OMX Copenhagen A/S 6. jul 2010 Ændrng Endelge vlkår tl prospekt for oblgatoner udstedt medfør af 33 e lov om realkredtlån og realkredtoblgatoner m.v. (junor covered bonds) (udstedt peroden 1.

Læs mere

Advokatfirmaet Poul Schmith

Advokatfirmaet Poul Schmith Advokatfrmaet Poul Schmth JULI 2011 J.nr.: 8914888 BORDERdjj Redegørelse medfør af konkurslovens 125, stk. Fjordbank Mors under konkurs Skfteretten Holstebro - SKS 8D-240/201 1 Konkursdag: 27. jun 2011

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen:

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen: Erhvervs- og Selskabsstyrelsen: AMVAB-opdaterng af Skattemnsteret Aktvtetsbaseret målng af nes admnstratve omkostnnger ved erhvervsrelateret regulerng på Skattemnsterets område peroden 1. jul 2007 tl 30.

Læs mere

CYKELMANUAL MOUNTAINBIKE 1

CYKELMANUAL MOUNTAINBIKE 1 PURE CYCLING CYKELMANUAL MOUNTAINBIKE 1 13 14 15 2 16 3 4 c a I II 17 18 5 6 7 8 9 10 11 12 e d f b III IV 19 20 21 22 23 24 25 26! Dn cykel og denne betjenngsvejlednng svarer tl skkerhedskravene den europæske

Læs mere

NASDAQ OMX Copenhagen A/S. 3. december 2010

NASDAQ OMX Copenhagen A/S. 3. december 2010 Tl NASDAQ OMX Copenhagen A/S 3. december 2010 Ændrng Endelge vlkår tl prospekt for oblgatoner udstedt medfør af 33 e lov om realkredtlån og realkredtoblgatoner mv. (junor covered bonds) (udstedt peroden

Læs mere

Foto: Karl Svansø Iversen - Vintersolen over Kirstinelund. Vinderen af navnekonkurrencen er fundet, læs mere side 15...

Foto: Karl Svansø Iversen - Vintersolen over Kirstinelund. Vinderen af navnekonkurrencen er fundet, læs mere side 15... Marts 2010 Voers Blad Foto: Karl Svansø Iversen - Vntersolen over Krstnelund. Vnderen af navnekonkurrencen er fundet, læs mere sde 15... Formandsstafetten V har Voers Skole, Voers Spejdere, Voers Idrætsforenng,

Læs mere

Først: Slut controlleren til Tænd instrumentet Tryk på Fortsæt for at installere en ny kreds (tryk på Gendan for at genoptage behandlingen)

Først: Slut controlleren til Tænd instrumentet Tryk på Fortsæt for at installere en ny kreds (tryk på Gendan for at genoptage behandlingen) Oversgtsvejlednng Opsætnng og prmng Indsaml følgende utensler nden Opsætnng: Én 500 ml eller 1.000 ml pose/flaske med prmngopløsnng (0,9 % NaCl med 1 E/ml tlsat heparn) Én 500 ml eller 1.000 ml pose fysologsk

Læs mere

i ". servicecenteret i 2 4 APR. 2014

i . servicecenteret i 2 4 APR. 2014 to g 24-04-20 S MODTAGET C) ". servcecenteret 2 4 APR. 2014 l ) l Advokat Rune Wold Vester Farmagsgade 23 1606 København V J nr ^ozés UDSKRFT af DOMBOGEN FOR VESTRE LANDSRET g 0» ' 1 t» l ) o +-04-204--42ld20

Læs mere

FLYDENDE LEDELSE 6 LEDETRÅDEN BUPL S FAGBLAD TIL PÆDAGOGFAGLIGE LEDERE NR. 1/2013

FLYDENDE LEDELSE 6 LEDETRÅDEN BUPL S FAGBLAD TIL PÆDAGOGFAGLIGE LEDERE NR. 1/2013 FLYDENDE LEDELSE I lgt Hjørrng rør fra Kommune den menge fl yd medarbejd god ledelse tl den en øvste lnd strøm topchef gennem tlbage et usyn- gen. Leadshp Ppelne hedd ledelsestankegangen. Den komm fra

Læs mere

!s I J li. Nr. 7 Juli 1968 * 117

!s I J li. Nr. 7 Juli 1968 * 117 !s I J l Nr. 7 Jul 1968 * 117 lvet. I sn vort sjælen, DEN STJERNE Det nsprerende budskab AF DELBERT L. STAPLEY af De Tolvs Råd Organ for JESU KRISTI KIRKE AF SIDSTE DAGES HELLIGE Nr. 7 Jul 1968-117. Årgang

Læs mere

AALBORG UNIVERSITET 2001

AALBORG UNIVERSITET 2001 AALBORG UNIVERSITET 001 P-1 PROJEKT GRUPPE B 16 STORGRUPPE 01 DEN TEKNISK - NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE P1 projekt Aalborg Unverstet 001 Gruppe B16 AALBORG UNIVERSITET Den Teknsk-naturvdenskabelge

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Fødder

TO-BE BRUGERREJSE // Fødder TO-BE BRUGERREJSE // Fødder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jens er 72 år og har været pensonst sden han blev 65. Gennem længere td har han haft bøvl med fødderne, og da det kun blver værre, vælger han

Læs mere

WiM. ififc K*^" «s«^f? "mi. i^* w' Ipsé^"'.#.» *%. '"':.'' Nummer 9 September 1969. DEIfi(«MleSTJERafE. 118. Årgang

WiM. ififc K*^ «s«^f? mi. i^* w' Ipsé^'.#.» *%. '':.'' Nummer 9 September 1969. DEIfi(«MleSTJERafE. 118. Årgang : '"':.'' % ml WM ffc V K*^" x* «s«^f? "m ^* w' Ipsé^"'.#.» *%. -^ DEIf(«MleSTJERafE Nummer 9 September 1969 118. Årgang I fællesskab. Krken Det nsprerende budskab AF BOYD K. PACKER, assstent tl De Tolvs

Læs mere

Digital forvaltning på tværs af den offentlige sektor

Digital forvaltning på tværs af den offentlige sektor Dgtal forvaltnng på tværs den offentlge sektor Manager Lars Andersen PLS RAMBØLL Management A/S www.pls-ramboll.com 23. oktober 2002 Den Dgtale Borger 2002 Konklusoner Nettet er blevet hverdag sær brugsfrekvensen

Læs mere

1925 2.AARGANG 2.HÆFTE. FORENEDE TIDSSKRIFTERS FORLAG Als KØBENHAVN B.

1925 2.AARGANG 2.HÆFTE. FORENEDE TIDSSKRIFTERS FORLAG Als KØBENHAVN B. 0 1925 2.AARGANG 2.HÆFTE FORENEDE TIDSSKRIFTERS FORLAG Als KØBENHAVN B. ,,Vølund Damptromlen Da første Sere,,Vølund Damptromler allerede blev solgt nden Fudførelsen, har v straks paabegyndt Fremstllngen

Læs mere

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3

Måleusikkerhed i kalibrering Nr. : AB 11 Dato : 2011-12-01 Side : 1/3 Sde : 1/3 1. Anvendelsesområde 1.1 Denne akkredterngsbestemmelse gælder ved DANAK s akkredterng af kalbrerngslaboratorer. 1. Akkredterede kalbrerngslaboratorer skal ved estmerng af uskkerhed, rapporterng

Læs mere

Fakta om Erhvervet. Af. Cand. Oecon. Finn Christensen, kilde: Fakta om Erhvervet 2012, udgivet af Landbrug & Fødevarer 1995-99 2008 2009 2010 2011

Fakta om Erhvervet. Af. Cand. Oecon. Finn Christensen, kilde: Fakta om Erhvervet 2012, udgivet af Landbrug & Fødevarer 1995-99 2008 2009 2010 2011 Fakta om Erhvervet Af. Cand. Oecon. Fnn Chrstensen, klde: Fakta om Erhvervet 0, udgvet Landbrug & Fødeer Landbrug & Fødeer udgav november 0 den seneste udgave publkatonen Fakta om Erhvervet 0, Notatder

Læs mere

OPI virksomhedsinvolvering:

OPI virksomhedsinvolvering: 18. jun 2012 OPI vrksomhedsnvolverng: Erfarnger fra OPI-Lab demonstratonsprojekt 1 1 Det Intellgente Hosptalsbaderum Peter Bamberg Jensen, OPI projektleder Syddansk Sundhedsnnovaton Regon Syddanmark Peter.Bamberg.Jensen@regonsyddanmark.dk

Læs mere

MES Korrolyseanlæg UACAC. Driftsinstruktion for: Delstrom på varmt brugsvand cirkulation med indregulerings ventil

MES Korrolyseanlæg UACAC. Driftsinstruktion for: Delstrom på varmt brugsvand cirkulation med indregulerings ventil Ü UACAC MES Korrolyseanlæg Drftsnstrukton for: Delstrom på varmt brugsvand crkulaton med ndregulerngs ventl Grønne sder Delstrom på varmt brugsvand med pumpe Gule sder Delstrom på koldt brugsvand med pumpe

Læs mere

REFORM DREAMs multisektor-cge-model

REFORM DREAMs multisektor-cge-model REFORM DREAMs multsektor-cge-model Peter Stephensen Dansh Ratonal Economc Agents Model, DREAM Grane Høegh Dansh Ratonal Economc Agents Model, DREAM Peter Bache Fnansmnsteret DREAM Arbedspapr 2015:2 Aprl

Læs mere

DEN STJERNE. Nummer 2. Februar 1977. 126. årgang ÆW". mmmuum ;/****.** jé«# **-*» ""'T^' ":,.';,"." ,/l, : u^ - '..' 6HN*

DEN STJERNE. Nummer 2. Februar 1977. 126. årgang ÆW. mmmuum ;/****.** jé«# **-*» 'T^' :,.';,. ,/l, : u^ - '..' 6HN* ,! : DEN STJERNE Februar 1977 126. årgang Nummer 2 ÆW". mmmuum ;/****.** jé«# **-*» ""'T^' ":,.';,"." f f-f - I!.,/l, : 5 u^ - m; : ;. '..' 6HN* ^ *, m: JHUNdansAe STJERNE Organ for JESU KRISTI KIRKE AF

Læs mere

42 Prof il. For at sikre vores hø1e kvalitetsniveau og for at

42 Prof il. For at sikre vores hø1e kvalitetsniveau og for at 72 42 42 42 Prof l Mn Trans har sden 1968 været blandt erhvervslvets foretrukne transoorterer Det skyldes kke mndst at v består og ejes af selvstændge vognmænd Det skrer maksmal opmærksomhed og ansvarlghed

Læs mere

Jr Superfos. Dammann-Luxol ais Tune lufthavn. Asfaltentreprisen udført af Superfos Dammann-Luxol als

Jr Superfos. Dammann-Luxol ais Tune lufthavn. Asfaltentreprisen udført af Superfos Dammann-Luxol als 1. januar sammensluttes Superfos Dammann als og A/S Luxol. Det er vort hàb, at den tlld, der har været vst os, må blve over ført tl vort nye selskab: Jr Superfos Dammann-Luxol as Tune lufthavn. Asfaltentreprsen

Læs mere

Side 1. Bibliotekarforbundet (Karin Madsen) Indhold. Eksempler på retspraksis Litteratur og links

Side 1. Bibliotekarforbundet (Karin Madsen) Indhold. Eksempler på retspraksis Litteratur og links Sde 1 IT-ovvågnng anste - emal ntnet D omsggrbde brug IT nd for alle branch gv dsse år arbejdsgve helt nye mulghed for ovvåge des medarbejde. Man frygte, ledels rundt omkrng kast sg ov dsse nye kontrolmulghed,

Læs mere

Beder-Malling Bio-Local

Beder-Malling Bio-Local = 4 4 4 4 1 - + - - =+ =+ 4 4 Beder-Mallng Bo-Local ksempel på omdannelse et selvstændgt bysamfund -3 -q < 1 1 Bltln-t[lAlll lt G B 0-10G[1 2050 rr nslnrpl på nvrulrrlru r nu suå Bysn[ruln Beder-Mallng

Læs mere

N.B. S G E N E R A L F O R S A M L I N G

N.B. S G E N E R A L F O R S A M L I N G N.B. S G E N E R A L F O R S A M L N G TORDSDAG DEN 25. JANUAR AFHOLDT NB ST ARLGE GENERALFORSAMLNG pa NØRHERREDHUS. DER VAR GANSKE FNT FREMMØDE. UDOVER BESTYRELSEN VAR DER GODT 60 MEDLEMMER OG FORÆLDREREPRÆSENTANTER.

Læs mere

The original laser distance meter. The original laser distance meter

The original laser distance meter. The original laser distance meter Leca Leca DISTO DISTO TM TM D810 X10 touch The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Indholdsfortegnelse Instrumentopsætnng - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Læs mere

tmnndcmsae l9 1 Jli MM) Jjl mi Januar 1977 Nummer 126. årgang

tmnndcmsae l9 1 Jli MM) Jjl mi Januar 1977 Nummer 126. årgang Nummer tmnndcmsae l9 1 Jl MM) Jjl m Januar 1977 126. årgang 1 Nummer thzndansae STJERNE Organ for JESU KRISTI KIRKE AF SIDSTE DAGES HELLIGE Januar 1977 126. årgang 1 Det øverste Præsdentskab Spencer W.

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

klædeskab samt et børneværelse/kontor med renoveret i 2008/2011. ALT er nyt!. Udover yderst charmerende og med klassiske

klædeskab samt et børneværelse/kontor med renoveret i 2008/2011. ALT er nyt!. Udover yderst charmerende og med klassiske Totalrenoveret 4-værelses med bedste belggenhed Oplevelsen af denne sønne lejlghed starter allerede på gaden med de flotte gamle træer. Den klassske hovedtrappe fører dg op tl. lejlgheden, hvor man kommer

Læs mere

Become the new MOK-intern!

Become the new MOK-intern! Nr 11 17. nov. 43. Årg. 2010/2011 ISSN 1904-3163 Become the new MOK-ntern! MOK søger en ny "ntern", som efter at have gennemført det ntensve "ntern-program", vl være blandt verdens bedste tl at MOK'e!

Læs mere

183o~19o0, 1e udarhejfiei af: Pouí Ravn Jegsen Jørgen U

183o~19o0, 1e udarhejfiei af: Pouí Ravn Jegsen Jørgen U *?fâtté; Z H' ' /2/- 085"? S H Sko CU < F-3 CO CU 23 CD f'-+~ öansk vestn J(D ;3 83o~9o0, sä JCD C7 -- n CDlt med henbl -nu-lø ;=-'=:" på St Crox og St Themas! U G *~ f ~- - åuå Q ~;f>'; 6? #-=@'f'/*`?'-"å-f-

Læs mere

Virksomhedsmappen WANEK & MYRNER. Nyt! 42 jobcentres foretrukne præsentationsredskab. Kvalitetsmapper. 44 opdaterede faktaark

Virksomhedsmappen WANEK & MYRNER. Nyt! 42 jobcentres foretrukne præsentationsredskab. Kvalitetsmapper. 44 opdaterede faktaark Kvaltetsmapper 44 opdaterede faktaark Skema tl vrkshedsbesøg Nyt! Nem webvsnng og opdaterng af faktaark Vrkshedsmappen Nem og effektv præsentaton af jobcentrets tlbud tl vrksheder 42 jobcentres foretrukne

Læs mere

Den politiske organisation

Den politiske organisation Regnskab 2010 Den poltske organsaton Byrådet 2010 2013 Ulla Hardy-Hansen (C) 1. vceborgmester Thomas Lykke Pedersen (A) Borgmester Carsten Wlff (V) 2. vceborgmester Per Frost Henrksen (A) Ergn Øzer (A)

Læs mere

SikkerhedSStandarder

SikkerhedSStandarder SkkhedSStandard SIKKERHEDSSTANDARDER & testprocedur TESTPROCEDURER ndhold Forord...4 ord...4 Forskell skell standard drektv...5 5 Standard ISO SO 7176 del 19 Om moblt udstyr hjul tl brug motorkøretøj...20...20

Læs mere

STJERNE. Nummer 12. December 1971. 120. Årgang

STJERNE. Nummer 12. December 1971. 120. Årgang STJERNE December 1971 120. Årgang Nummer 12 mange Salt Utah at manges hele Vstors baggrunden. Nummer DET INSPIRERENDE BUDSKAB AF ÆLDSTE FRANKLIN D. RICHARDS assstent tl De tolvs Råd DEI STJERNE Organ for

Læs mere

DEN. STJERNE Nr. 7 Juli 1970 119. Årgang

DEN. STJERNE Nr. 7 Juli 1970 119. Årgang DEN STJERNE Nr. 7 Jul 1970 119. Årgang og deres Asen Asen. Evangelets Asen. sn dets Det nsprerende budskab af ÆLDSTE MARK E. PETERSEN, medlem af De Tolvs Råd. D~E~NdcmsAe STJERNE Organ for JESU KRISTI

Læs mere

D E! don. istjehw. ApH..,zs. 127^ årgang, Nummer 4

D E! don. istjehw. ApH..,zs. 127^ årgang, Nummer 4 ApH..,zs 127^ årgang, Nummer 4 D E! don STJEHW . Organ AprU978 for Jesu Krst Krke af 127. årgang Sdste Dages Hellge Nummer 4 Det øverste Præsdentskab: Spencer W. Kmball, N. Eldon Tanner, Maron G. Romney.

Læs mere

Rammeaftale 2010. for Social- og specialundervisningsområdet. Del B: Beskrivende del

Rammeaftale 2010. for Social- og specialundervisningsområdet. Del B: Beskrivende del Rammeaftale 2010 for Socal- og specalundervsnngsområdet Albertslund Allerød Ballerup Bornholm Brøndby Dragør Egedal Fredensborg Frederksberg Frederkssund Furesø Gentofte Gladsaxe Glostrup Grbskov Halsnæs

Læs mere

Områdefornyelse BYFORNYELSESPROGRAM

Områdefornyelse BYFORNYELSESPROGRAM Områdefornyelse BYFORNYELSESPROGRAM Glamsbjerg bymdte FEBRUAR 2005 Forord Glamsbjerg er en statonsby fra ca. 1890-1910, der er opstået hvor jernbanen Oden se-assens krydser landevejen Bogense/Fåborg. Byens

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

der havde bevaret sil gode

der havde bevaret sil gode = 9 =_! = : =! = =r- = =1 å = = = : = E = 9= = Så for søren der røg synngen oyerlæderet på mn ene sko. Ja så er det bare om at komme afsted og få købt et par nye. Men hvor skal man dag tage hen. Ved gennemgang

Læs mere