G Skriverens Kryptologi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "G Skriverens Kryptologi"

Transkript

1 G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges stuaton under anden verdenskrg. I denne artkel beskrves G Skrverens kryptolog og matematk. Hensgten med de to artkler samlet er at gve lærere og SRP skrvende elever et udgangspunkt for at arbejde med G Skrveren som et emne matematk hstore. Teksten forudsætter kke nogen kryptologsk forhåndsvden hos læseren. Tværtmod sgtes på at gve netop en undvet læser nogle ndtryk af matematkkens brug kryptolog og kryptoanalyse. En detaljeret og fuldstændg gennemgang af G Skrverens svagheder og af operatvt realstske angreb og deres matematk vl blve meget omfattende og har kke været hensgten. Teksten ndeholder først en beskrvelse af masknens kryptolog med ntrodukton af matematske symboler og funktoner. Derefter anvendes denne beskrvelse tl at gve et eksempel på matematsk kryptoanalyse. Teleprntere, bts og karakterer For at forstå G Skrverens vrkemåde er det nødvendgt at vde noget om teleprntere og deres teknk. Produktet SFM T52 fra frmaet Semens & Halske var en synkron telex maskne med en ntegreret krypterng. Det synkrone betød, at to maskner og to operatører måtte være aktve samtdg for at kommunkatonen kunne fnde sted. Hver operatør skrev på sn egen maskne den tekst, som efterfølgende skulle vse sg som modtaget tekst på den anden maskne. En forbndelse begyndte med en oprngnng fra den part, som ønskede at sende noget tl den anden, men kommunkatonen foregk derefter prncppet som en dalog. En helt grundlæggende egenskab ved teleprntere er, at de sender og modtager nformatoner grupper af 5 pulser. Hver puls kan være høj eller lav og er derfor matematsk set en bt. Før og efter hver gruppe af fem bts sendes desuden en særlg start og stop puls, som hjælper tl at fastholde synkronserngen mellem de to parter. På denne måde kan teleprntere sende og modtage nformaton enheder af 5 bts og følgelg med 2 5 = 32 ndvduelle mulgheder for hver transmtteret enhed. Dsse 32 mulgheder fortolkes naturlgt som tallene fra 0 tl 31, hvor de fem bts her læses som , altså som decmaltallet 19. Den rå, transmtterede btsekvens opfattes på denne måde som en sekvens af symboler alfabetet {0,.., 31}. Dsse 32 transmtterngsnære symboler må oversættes tl et sæt af karakterer, som operatørerne kan ndtaste og kan modtage. For at have et passende fyldgt karaktersæt benytter teleprntere sg af en dobbeltbrug, således at hvert af de 32 symboler kan anvendes både en bogstav mode, Letter Mode, og en tal mode, Fgure Mode. De anvendte karakterer hver af de to tlstande er vst fgur 1. Eksempelvs skal de 5 bts 6 = 00110, fortolkes som et I, hvs de sendes bogstav mode, og som et 8, hvs de sendes tal mode. Denne konstrukton kaldes Baudot koden efter franskmanden Emle Baudot, som opfandt den omkrng Dobbeltbrugen udvder mængden af brugbare karakterer betragtelgt, men betyder samtdgt, at de to maskner altd for hver eneste karakter skal være enge om, hvorvdt de nu er letter mode eller fgure mode. For selv at komme letter mode kan den skrvende operatør trykke LS, LetterShft. Dette betyder samtdg, at symbolet LS = blver sendt tl den modtagende maskne, hvor det fungerer som et kommando om også dér at gå letter mode. Denne mode ved- Decmal Bnær Letter Fgure Mode Mode (ubrugt (ubrugt E LF LF A SP SP S BEL I U CR CR D $ R J N F! C : K ( T Z L W H # Y P Q O B? G & FS FS M X / V ; LS LS Fgur 1 Baudot koden. varer hos modtageren ndtl det alternatve symbol FS, FgureShft, er blevet sendt og modtaget. Af øvrge specalkarakterer tabellen kan nævnes LF LneFeed, SP Space og CR CarrageReturn. Symbolet BEL er vst selvforklarende. Krypto prncp De grundlæggende prncpper G Skrverens kryptolog kan føres tlbage tl en patentansøgnng, som jul 1930 blev ndgvet Tyskland af frmaet Semens & Halske AG. Senere blev der tldelt pa- 26 LMFK-bladet 4/2014

2 tenter også eksempelvs USA, og produktonen og vdereudvklngen af T52 seren fortsatte frem tl Det drejer sg prncpelt om en forsats tl noget, som uden krypterng vl være en standard (klar tekst teleprnter. Umddelbart før afsendelse af et 5 bts symbol P, laves P om tl et andet 5 bts symbol C. Når C derefter er modtaget den anden ende, er det første som sker, at modtagermasknen laver C tlbage tl P. Alt andet de to maskner er helt uberørt af, at der foregår en krypterng lge før afsendelsen og en dekrypterng lge efter modtagelsen. Selve krypterngen, ændrngen af P tl C, kan kompakt skrves som C = E A,B (P. Den foregår to krypterngstrn og bruger alt 10 bts hemmelg nøgle tl at kryptere de 5 bt P. Først anvendes 5 bts nøgle A tl at omdanne P tl D = P Å A og derefter anvendes 5 andre nøglebts B tl at omdanne D tl C = π B (D. V vl se nærmere på hvert af dsse skrdt. Bnær addton og egenskaber ved D Regneoperatonen Å er koordnatvs bnær addton. Den bnære addton 0 Å 0 = 0, 1 Å 0 = 1, 0 Å 1 = 1, 1 Å 1 = 0 udvdes tl addton af 5 bts størrelser fx således, at Å = Her kan man tænke på som klarteksten P og på som nøglen A. Højre sden er så fald størrelsen D, der fungerer som en slags mdlertdg cfferkarakter. A Hvs nøglen A er valgt hemmelgt og tlfældgt blandt de 32 mulgheder på en måde, som er uafhængg af P, er allerede D skker mod en hypotetsk angrber, uden at det egentlg er nødvendgt efterfølgende at anvende B. For at se skkerheden D = P Å A kan man gå frem på følgende måde. Først kan det udregnes, at sandsynlghedsfordelngen for D er flad, Prob(D = d = 1 32 for ethvert d. Alle værder d for D er altså lge sandsynlge, og dette er tlfældet helt uanset den ndledende fordelng af klarteksten P. Dernæst kan v for hver mulghed P = p og D = d udnytte denne lgefordelng af D tl at verfcere, at Prob(P = p D = d = Prob(P = p Selv en angrber, som ved alt om, hvordan P og A kombneres for at danne D, må således ndse, at hans betngede sandsynlghedsfordelng for P efter en observaton af D = d, er dentsk med hans sandsynlghedsfordelng nden observatonen. Det er det samme som at sge, at D kke afgver nformaton om P. Transpostonen π Det er heldgt, at D er skker, ford den anden halvdel af krypterngen π B er bestemt kke skker. Og den perfekte lgefordelng af D over de 32 mulgheder for D = d er ronsk nok en stor hjælp en angrbers analyse af π B. De 5 bts nøglen B anvendes tl at lave D om tl C = π B (D ved hjælp af en transposton π B, som flytter om på bttene D. V kan beskrve vrknngen af π B på følgende måde. Lad de 5 bts B være B = b 4 b 3 b 2 b 1 b 0, lad X = x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 være et nput tl π B og lad Y =π B (X være det tlsvarende output med bts Y = y 4 y 3 y 2 y 1 y 0. V starter med at sætte Y = X, hvlket vl sge, at hver bt x fra X koperes over den tlsvarende bt y Y. Derefter sker der følgende 5 skrdt den anførte rækkefølge: B Hvs b 0 = 1, byt om på y 0 og y 4 Hvs b 1 = 1, byt om på y 4 og y 3 Hvs b 2 = 1, byt om på y 3 og y 2 Hvs b 3 = 1, byt om på y 2 og y 1 Hvs b 4 = 1, byt om på y 1 og y 0 Slutværden for y bttene danner den ønskede outputværd Y. Det er let at se, at outputværden Y afslører en del om nputværden X, eller vores sammenhæng, at C fortæller en del om D. Svagheden er grundlæggende, at det er de samme bts som lgger C og D. Der vl være lge mange 0 bt og 1 bt den ukendte D, som der er den observerede C. Dette er nformaton for en angrber. Fordelng af D gvet C Svagheden π B er mest eklatant, hvs angrberen observerer eksempelvs C = 31. Da må også D = 31, ford 31 smpelthen er den eneste mulghed for et 5 bts tal med fem 1 bts og ngen 0 bts. V vl se nærmere på et andet tlfælde. Hvs angrberen observerer værden C = 2, er der 1 5 = 5 mulgheder for D med netop én 1 bt ud af 5, og der vser sg ved en undersøgelse at være følgende mulgheder for parret (D, B D B Antal B 1 15, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, , 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 9, 10, , , 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 9 Fgur 3 Mulge værder for D og B svarende tl C = 2. Dsse 32 løsnnger kan fndes ved en smpel computerbaseret efterprøvnng af de mulge værder for D og for B. Eller ved at anvende de fem skrdt beskrvelsen af π B som udgangspunkt for først at lave en tlsvarende beskrvelse af den nverse P D = P A π C = π B (D Fgur 2 Sktse af krypterngen C = E A,B (P. Alle varable er 5 bts størrelser med værder mellem 0 og 31. LMFK-bladet 4/ Matematk

3 Matematk transposton π B 1, og derefter at generere de 32 værder π B 1 (2, når B varerer. V får derfor, at fravær af anden nformaton om D, vl en observaton af C = 2 umddelbart fortælle os, at D må være en af 1, 2, 4, 8 og 16, og at sandsynlgheden for hver af de fem mulgheder for D efter observatonen af C = 2 nu er henholdsvs 9 32, 8 32, 4 32, 2 32 og Bemærk at argumentet udnytter, at både D og B er lgefordelte. For at llustrere den potentelle nytte af at kende fordelngen af D kan v hypotetsk forestlle os, at en angrber efter en observaton af C = 2 gennemløber mulghederne for værderne af D = d, og at angrberen for hver d værd ved en vdere undersøgelse er stand tl at fnde ud af, om netop denne d var den rgtge. Hvor mange d er skal en angrber ndstlle sg på at undersøge? Uden nformaton om D kan angrberen kun gætte tlfældgt og må regne med mddel at gætte og undersøge 16,5 gange, før den rgtge d fndes. Hvs den første d er den rgtge gættes 1 gang, hvs den sdste er den rgtge gættes 32 gange, og alle værder dermellem er lge sandsynlge. Efter observatonen af C = 2 er der færre mulge værder for d, og man kan endda gætte på de mest sandsynlge værder af d først. I mddel kan angrberen derfor nøjes med at gætte = 2, gange. Det begrænsede antal mulgheder nedsætter mddeltallet fra 16,5 tl 3, og den skæve sandsynlghedsfordelng nedsætter mddeltallet yderlgere fra 3 tl 2,4. G Skrveren som kryptosystem En besked bestående af en strøm af klartekstsymboler P 0, P 1,, P, krypteres G Skrveren tl en tlsvarende strøm af cffersymboler C 0, C 1,, C, ved C = E ( P, A B Problemet for konstruktørerne af masknen var, hvor alle dsse uafhængge og tlfældgt fordelte nøgler A og B skulle komme fra. Løsnngen var at lave et system, en pseudorandom generator, tl at danne de tlfældge nøgler A og B. Dsse nøgler vlle kke være vrkelgt tlfældge, men tanken var, at med en passende komplceret metode tl at frembrnge nøglerne, vlle de prakss være lge så gode som vrkelgt tlfældge værder. Alle maskner på det tdspunkt benyttede sg af hjul, som man havde den elektromekanske teknk tl at mplementere. I dette tlfælde blev hver maskne udstyret med et sæt på 10 hjul. Hvert hjul havde langs kanten en række markernger der kunne aflæses som bts. For hver karakter, der skulle krypteres, blev der aflæst en bt fra hvert hjul, og de 10 aflæste bts blev brugt tl A og B. Derefter tog hvert hjul et skrdt fremad og proceduren gentog sg med næste klartekst karakter. Hjulene var af bakelt, og næsten alle eksemplarer af masknen havde de samme 10 hjul med de samme bts. Kun maskner med dentske hjul kunne kommunkere med hnanden, og det overvældende flertal af maskner tlhørte samme sere. Hjullængderne var 47, 53, 59, 61, 64, 65, 67, 69, 71 og 73. Det betød eksempelvs, at hjulet af længde 47 efter 47 skrdt vlle være drejet en hel omgang. Dette hjul vlle skrdt 47 og derefter afgve de samme bts som skrdtene fra karakter 0 og frem. Lad os betegne bttene på hjul nummer 1 med hjullængde 47 matematske symboler med H 1j, 0 j 46. Tlsvarende lad os ndføre h 1 som et symbol for den bt, som tl karakter nummer udlæses fra hjul nummer 1, og lad os sge, at hjul 1 starter mod( + s1, 47 postonen s 1. Da er h1 = H 1. Tlsvarende for de øvrge hjul og hjullængder. G Skrverens nøgler Nøglen tl systemet bestod to tng. Den første del var de 10 startndstllnger af de 10 hjul, som v samlet kan beskrve med S = (s 1, s 2,, s 10 Den anden del af nøglen var den måde, de 10 bts fra hjulene blev brugt på A og B. Hver af de fem bts A og hver af de fem bts B blev dannet ved et udtag fra et bestemt af de alt 10 hjul. Systemet er llustreret fgur 4. De hjul, som anvendes tl A, er gvet ved en delmængde A af {1,.., 10}, og rækkefølgen af de 5 btspor fra A ved brug A er angvet ved en permutaton α af {0,.., 4}. Tlsvarende beskrves brugen af hjulene tl B ved en mængde B og en permutaton β. I det konkrete tlfælde fgur 4 blver de fem bts A bestemt ved a 4 = h 2, a 3 = h 5, a 2 = h 10, a 1 = h 1, a 0 = h 6. I ord kan v sammenfatte, at nøglemateralet er: S, A, B, α, β. Værderne A, B, α, β forblev uændrede under en kommunkaton, når de først var sat ved kommunkatonens begyndelse. Desgnerne af masknen har forladt sg på, at der er nogle store tal assoceret med denne maskne. Antallet af mulge startndstllnger S for hjulene er et voldsomt stort tal. Da de 10 hjullængder er ndbyrdes prmske, vl antallet af skrdt før udtagspunkterne U = (mod( + s1, 47,mod( + s2, 53,,mod( + s, 73 gentager sg, og nøglerne A og B dermed begynder forfra, også være meget stort. Og endelg er der et stort antal af forskellge måder, de 10 bts kan benyttes på tl at danne A og B. I en før computertd, hvor kryptoangreb udgangspunktet måtte foregå ved håndkraft, har opfnderne haft god tlld tl masknens nøglestørrelse og komplekstet. G Skrverens nøgleadmnstraton I sn krypto admnstraton havde man opdelt nøglen tre dele. Der var den ndre ndstllng, der var en hemmelg nøgle, som bestod A, B, α og β. Den ndre ndstllng bestemte hvlke udtag fra hjulene, som skulle lgge på de forskellge btpostoner A og B. Hver værd var gyldg 3 9 dage LMFK-bladet 4/2014

4 Fgur 4 Sktse af frembrngelsen af A og B for valgte llustrerende værder af A og B, α og β. Bemærk at bttene A og B nummereres fra 0 tl 4 med 0 tl højre. Den vste navngvnng af de 10 hjul, med I udeladt, er svenskernes orgnale. s 1 K 47 s 2 J 53 s 3 H 59 s 4 G 61 s 5 F 64 s 6 E 65 s 7 D 67 s 8 C 69 s 9 B 71 s 10 A 73 Der var den daglge nøgle, kaldet QEK. Den daglge nøgle var en hemmelg nøgle, som bestod to tng. Dels en opdelng af de 10 hjul 5 hjul tl såkaldt QEK brug og 5 hjul tl såkaldt QEP brug. Dels et valg af startndstllnger for de 5 QEK hjul. For alle krypternger som fandt sted fra den pågældende dag klokken 09:00 ndtl næste morgen vlle dsse 5 hjul være sat tl den pågældende (hemmelge start ndstllng. Den ndre ndstllng og den daglge nøgle blev bestemt centralt og lange lster med værder og gyldghedsperoder blev fordelt på papr tl alle anvendere af G Skrveren. Dsse paprer var naturlgvs højt klassfcerede og meget blev gjort for at fordele og opbevare dem på en skker måde. Den sdste nøgle var meddelelsesnøglen, kaldet QEP. Meddelelsesnøglen var et valg af startndstllnger på de fem QEP hjul. Dsse værder blev bestemt af oprngeren og sendt med selve teksten den kommunkaton, som foregk før man skftede tl krypteret mode. De var åbne, det vl sge kke hemmelge, og enhver som ndhentede kryptoteksten kunne aflæse de fem tal. h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 8 h 9 h 10 A = {1, 2, 5, 6, 10} B = {3, 4, 7, 8, 9} Selv om QEP nøglen var åben, skulle tallene være tlfældge. Deres formål var at skre, at hver krypteret sesson havde sn helt egen ndstllng af masknen. h 1 h 2 h 5 h 6 h 10 h 3 h 4 h 7 h 8 h 9 α = (32041 β = (10432 h 2 h 5 h 10 h 1 h 6 h 8 h 9 h 3 h 4 h 7 A B 1 Kryptologske svagheder Én åbenlys svaghed ved G skrverens kryptologske desgn var, at det kke var mulgt at ændre bttene H j på nogen af de 10 hjul. Alle maskner havde de samme hjul, og hvs en angrber bare én gang fk fyssk adgang tl en maskne eller fandt værderne ved en analyse, så kunne den vden genbruges ubegrænset td og for alle G Skrvere. En anden klar svaghed var, at stepnngen af hjulene var regulær og forudsgelg, et skrdt for hver karakter. Et bedre desgn vlle have steppet hvert hjul et varabelt antal skrdt, måske et eller to, for hver karakter og kunne have ladet hvert hjul styre af de øvrge hjul. LMFK-bladet 4/ Matematk

5 Matematk Men selv dsse svagheder vlle næppe sg selv have gvet svenskerne den praktske succes, som de faktsk fk. De svenske angrbere blev hjulpet på vej af et ndgående kendskab tl særheder den (skjulte klartekst. Og af en vrkelg spektakulær fejl tyskernes brug af masknen. Baggrunden for begge svagheder var, at kommunkatonslnerne var voldsomt udsatte for støj. En krypto karakter kunne smpelthen forsvnde undervejs. Det medførte at synkronserngen mellem afsender og modtager gk tabt, og at modtagerens klartekst var ulæselg fra synkronserngstabet og fremad. Tlsvarende kunne en krypto karakter blve forvansket undervejs og blve modtaget med en forkert værd. Dette vlle som oftest blot medføre, at den ene tlsvarende klartekst karakter den modtagne tekst blev fremvst forkert. Men hvs den pågældende krypto karakter dækkede over en af de usynlge klartekst karakter P = FS eller P = LS, kunne den modtagende teleprnter fnde på at fortolke længere tekst passager den forkerte mode tl stor gene for modtageren. For at begrænse vrknngen af den sdstnævnte type fejl havde operatørerne vænnet sg tl stedet for SP (mellemrum mellem ord, systematsk at skrve de to karakterer LS SP. Det ekstra LetterShft var usynlgt for læseren på modtagersden, men skrede, at den modtagende maskne hvert fald fra det punkt af var den rgtge mode. Som resultat af dette havde klarteksten en voldsom overhyppghed af kombnatonen LS SP. På trods af denne type forholdsregler måtte operatørerne meget ofte begynde om gen på en gven transmsson. Og dette er oplægget tl den helt store fejl. Masknen var udstyret med en nulstllngsfunkton, som med et enkelt greb satte hvert af de 10 hjul tl en gven startposton. Hensgten var, at denne funkton skulle anvendes tl hurtgt og skkert at sætte QEK hjulene tl dagens værder, medens værderne for QEP hjulene derefter skulle ændres tlfældgt af operatøren. Det var kke forudset, at operatørerne, som skulle sende mange tekster og skulle gensende samme tekst mange gange før det lykkedes, vlle udvkle den prakss at begynde en kommunkaton ved at anvende nulstllngsfunktonen uden derefter at ændre på startværderne for QEP hjulene. Resultatet var et meget stort genbrug af ndstllnger af G Skrveren. Det var kke uset, at svenskerne en gven dag kunne arbejde med en dybde på forskellge transmssoner krypteret med samme ndstllng, såkaldte paralleller. Beurlngs opklarng Da Beurlng fk opgaven med at fnde ud af hvordan G Skrveren fungerede eller kunne løses, havde han dette at arbejde med: En vden om, at kryptoapparater på den td ofte benyttede sg af bnær addton og af bt permutatoner. En overordnet vden om, hvordan klarteksterne nok så ud. Et stort sæt af cffertekster, som ud fra deres tdspunkter, længder og vsse karakterstska teksternes ndlednng måtte være parallelle. Blyant og papr. På dette grundlag opbyggede han på få dage en logsk model af masknen. Beurlng har aldrg selv redegjort for sn arbejdsproces. Men det er almndelgt antaget, at det er foregået nogenlunde på følgende måde. Først har Beurlng skrevet teksterne parallelsættet op lange rækker med én tekst hver række og med karakterer på samme plads teksten under hnanden og han har ledt efter alt, som kunne vrke påfaldende. Med baggrund tyskernes tlbøjelghed tl at ndsætte LS SP klarteksten, var en mulg ndledende de, at de mange forekomster af netop dette bgram klarteksten kunne have gvet sg udtryk på en eller anden måde cfferteksterne. På et tdspunkt har han observeret, at der var påfaldende ant gentagelser af cffersymboler, forstået på den måde, at cfferkarakterer på samme plads, men forskellge tekster, havde alle bt forskellge på nær en. Dette er llustreret fgur 5. Beurlng gættede nspreret på, at dsse tlfælde dækkede over forskudte forekomster af klarteksten LS SP, og at krypterngen foregk ved for et gvet at anvende ét bestemt A tl bnær addton og én bestemt bt transposton π for alle tekster hele parallelsættet. Med værderne LS = 31 og SP = 4 er der netop én bt med samme værd de to klartekst bogstaver. Hvs de to værder 31 og 4 først bnært adderes med samme værd A og derefter udsættes for samme bt transposton π vl resultaterne altd være to værder, som stadg har netop en bt tlfælles. Ved at gætte mere og mere klartekst de forskellge tekster kunne han gradvst både bekræfte sn hypotese og bestemme flere og flere værder af A og π. Efterhånden blev det klart, at vsse elementer A og π efterhånden gentog sg, og opklarngen af masknens øvrge dele kunne begynde. Hstoren er fortalt en længere og mere detaljeret form Beckmans bog. Produktonen Den løbende løsnng af G-Skrver trafkken var naturlgvs langt enklere end den første opklarng. Med forhåndskendskab tl masknens opbygnng og hjulenes ndhold, manglede kun den ndre ndstllng og den daglge nøgle. Begge dele blev daglgt fundet med udnyttelse af den ndgående vden om klartekstens særheder og med fordelen af hyppge parallelsæt. Ofte kunne dagsnøglen være klar allerede om morgenen. Den ndre ndstllng og den daglge nøgle blev anvendt tl at ndstlle en efterlgnng af G Skrveren, som blev fremstllet på L. M. Ercsson Workshop For Precson Mechancs. Med denne kunne svenskerne udnytte deres fundne nøgler og dekryptere med samme lethed og hurtghed som tyskerne selv. Lednngerne fgur 6 bruges tl at forbnde udtagene fra hjulene med enkeltbts A og B, det vl vores notaton sge, at lednngerne fastlægger A, B, α og β. 30 LMFK-bladet 4/2014

6 Cffer Klartekst4 LS SP H E U T E LS SP Cffer Klartekst3 LS SP G E H E I M E LS SP K O M M Cffer Klartekst2 LS SP Cffer Klartekst1 LS SP D A S LS SP Kryptoanalyse En kryptologsk beskyttelse med kendt algortme kan som regel brydes af en angrber med ubegrænsede beregnngsmulgheder. Prncpelt kan angrberen forsøge sg frem med alle nøglemulgheder, for hver af dem generere en tlhørende klartekst og så udvælge den rgtge. Hvs han altså er stand tl at kende den rgtge klartekst, når den er der, og adsklle den fra de øvrge forslag. Spørgsmålet er altså kke, om der fndes et angreb på kryptologen, men hvor effektvt et angreb, det er mulgt at desgne. Denne smple brute force metode er dog normalt ugennemførlg prakss på grund af det store antal mulgheder, der skal undersøges. Søgnngen blver aldrg færdg. En angrber vl derfor lede efter kryptologske svagheder det håb, at et mere avanceret angreb måske kan gennemføres nden for en brugbar tdshorsont. Forskellge fundne svagheder kan gve anlednng tl forskellge typer af kryptoangreb. De afsluttende afsnt af denne artkel dskuterer noget af matematkken et angreb på G Skrveren ved kendt klartekst. Det klassske kendt klartekst angreb består at udnytte, at en modstander krypterer og sender en klartekst, som man selv kender, tl at fnde de anvendte nøgler. Nøglerne kan så forhåbentlg genbruges på andre cffertekster med ukendt ndhold. Udgangspunktet for analysen er, at v som angrbere kender en klartekst og den tlsvarende kryptotekst, og at v kender alt tl masknens funkton. Målet er at fnde en metode tl derudfra at dentfcere alle masknens hemmelge dele, det vl sge tekstens nøgleelementer A, B, α, β samt alle bttene H j på de 10 hjul. Startværderne S kan v sætte lg 0, da v kun har én tekst og ngen gvne QEP værder. Fgur 5 Beurlngs arbejdsproces mnatureformat. Cffertekst med grønt og klartekst med rødt. I den vrkelge verden vl opdelngen af startndstllngerne S en lukket del QEK og en åben del QEP blve kraftgt udnyttet. For kke at komplcere fremstllngen og for at holde den rmelgt kort, ser v dog bort fra al nformaton, som kan udledes af nøgleadmnstratonen, og v nøjes desuden med at redegøre for, hvordan et kendt klartekst angreb kan fnde A, α og ndholdet af de fem hjul hørende tl A. Partetsbevarelse Angrebet starter med den observaton, at hvs X = x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 og Y = y 4 y 3 y 2 y 1 y 0 er sammenknyttede ved Y = π B (X, så gælder y 4 + y 3 + y 2 + y 1 + y 0 = x 4 + x 3 + x 2 + x 1 + x 0 (1 uanset værden af B. Når x og y kun kan antage værderne 0 og 1, tæller begge sder lgnngen (1 antallet af 1 bts og dette antal er det samme Y som X. Ved at reducere modulo 2, og kun se på Efter Beurlngs opklarng af G Skrverens vrkemåde angreb svenskerne masknen ved brug af paralleller, som tyskerne uheldgt kom tl at stlle tl rådghed. Desuden kan nævnes, at G Skrveren også er svag overfor sologer, det vl sge to eller flere cffertekster, som anvender forskellg nøgle, men har samme klartekst. Og at et sæt af parallelle quas sologer, hvor to tekster har samme nøgle og dentske, men forskudte klartekster, er et taknemmelgt angrebsmål. Fgur 6 En af de orgnale APP er, anvendt tl dekrypterng af G Skrveren. Foto: FRA. LMFK-bladet 4/ Matematk

7 Matematk parteten af antallet af 1 bts, fremkommer lgnngen y 4 Å y 3 Å y 2 Å y 1 Å y 0 = x 4 Å x 3 Å x 2 Å x 1 Å x 0 som er en bnær lgnng x erne og y erne. I det te skrdt af krypterngen anvendes denne lgnng for Y = C og X = D = P Å A. Dette fører tl c 4 Å c 3 Å c 2 Å c 1 Å c 0 = (p 4 Å a 4 Å (p 3 Å a 3 Å (p 2 Å a 2 Å (p 1 Å a 1 Å (p 0 Å a 0 som v straks omorganserer tl a 4 Å a 3 Å a 2 Å a 1 Å a 0 = (c 4 Å c 3 Å c 2 Å c 1 Å c 0 Å (p 4 Å p 3 Å p 2 Å p 1 Å p 0 Ponten er at højresden, partetssummen z = (c 4 Å c 3 Å c 2 Å c 1 Å c 0 Å (p 4 Å p 3 Å p 2 Å p 1 Å p 0 af bttene C og P, er noget v konkret kan beregne, når v kender både klartekst og cffertekst. V kender dermed for hvert den bnære sum z af alle de bts h j, som ndgår nøglen A. At fnde A og første halvdel af H bnære lgnnger Hvs v kendte A, kunne v omdanne de bnære lgnnger a 4 Å a 3 Å a 2 Å a 1 Å a 0 = z (2 tl noget umddelbart nyttgt. Som eksempel sæt gen A ={1,2,5,6,10}, hvlket betyder, at hjullængderne brugt tl A er 47, 53, 64, 65 og 73. Hvs eksempelvs a 4 er den bt, som kommer fra hjul nummer 1, er a 4 = h 1 = H 1 mod(, 47 således at eksempelvs a = H 16, a = H 17, a = H 1 8 og så vdere. Tlsvarende vl de øvrge hjul 2, 5, 6 og 10 fra A hver bdrage med en H bt fra deres hjul tl en af a 3, a 2, a 1 og a 0, og v kan bestemme det nummer, hver af dsse ukendte bt har på st hjul. Da v mangler permutatonen α, kender v kke den rækkefølge, hvor dsse fem hjul fra A bdrager tl summen z, men det forhndrer os kke at danne den korrekte sum (2 og at danne lgnngerne H 1 mod(, 47 Å H 2 mod(, 53 Å H 5 mod(, 64 Å H 6 mod(, 65 Å H 10 mod(, 73 = z (3 Hvert gver os én sådan lgnng, og hvs v har tlstrækkelgt mange lgnnger, kan v forvente ved lneær lgnngsløsnng af bnære lgnnger at fnde alle bts fra de fem anvendte hjul. En angrebsmetode er derfor: Prøv alle mulgheder for A en ad gangen, og for hver mulghed opstl de bnære lgnnger svarende tl (3 og prøv at løse dem. Dér, hvor der er en løsnng, har v fundet A og ndholdet alle anvendte hjul. Der er ( 10 5 = 252 mulgheder for mængden A, og det samlede antal ukendte bts 5 hjul er maksmalt 345. Denne metode kræver således, at der er ldt flere end 345 kendte klartekstkarakterer tl rådghed. Beregnngsmæssgt skal v opstlle og forsøge at løse 252 bnære lgnngssystemer op tl 345 varable. Dette kan dag afvkles på en td størrelsesordenen et enkelt sekund på en standard PC. At fnde A og første halvdel af H bnære polynomer En svaghed ved ovenstående metode er, at den kke udnytter den cyklske struktur h bttene. Ved at anvende ldt mere matematk og ldt flere karakterer kan v modellere også denne sde af masknen. Belønnngen blver, at v kan anvse konkrete formler for ndholdet de ukendte H j. At fnde A For at fnde A ønsker v først at gange det bnære polynomum Q A (x defneret som produktet (1 + x 47 (1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 på begge sder af (3 og konstatere, at resultatet blver 0. Det kræver en forklarng. Lad notatonen (e stå for en vlkårlg sekvens af bts, som er defneret for 0. V defnerer multplkatonerne 1 (e = (e, x (e = (e +1 og udvder ved sammensætnng, således at eksempelvs (1 + x (e = (e Å e +1, x 2 (e = x (x (e = (e +2 og x n (e = (e +n. Dermed kan v danne produktet Q(x (e af ethvert bnært polynomum Q(x med enhver ensdg btsekvens (e, og resultatet vl være en ny ensdg btsekvens. Man kan efterprøve, at konstruktonen opfylder (R(xS(x (e = R(x (S(x (e (4 hvor R(xS(x er sædvanlg multplkaton af bnære polynomer. Observér nu, at (1 + x 47 (H 1 mod(, 47 er nulsekvensen (0 og tlsvarende med de øvrge faktorer Q A (x. Ved at gange Q A (x på begge sder af lgnng (3 får man derfor, at Q A (x (z = (0 Dette er vores bedre metode tl at fnde A. For hver af de 252 mulgheder for A danner v polynomet Q A (x og ser efter om Q A (x (z skulle være (0. Når det er tlfældet, har v løsnngen. Da summen af de 5 største hjullængder er 345, kan graden af den rgtge Q A (x være op tl 345. V skal derfor have 345 kendte klartekstkarakterer, før v kan beregne den første bt Q A (x (z og ldt flere end 345 kendte karakterer, før v med høj skkerhed kan dentfcere den rgtge A. At fnde første halvdel af H Når man kraft af A kender de anvendte hjul tl A, kan man, selv uden at kende rækkefølgen α, også udlæse hjulenes bts H j for de ndgående j. V llustrerer metoden for A = {1,2,5,6,10} og for j = 1 hvor hjullængden er 47. Anvend først Eukld s algortme tl at fnde største fælles dvsor mellem de bnære polynomer (1 + x 47 og (1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 og tl at konstruere de tlhørende bnære faktorer R(x og S(x. Da hjullængderne er ndbyrdes prmske, vl den største fælles dvsor vse sg at være 1 + x, så 32 LMFK-bladet 4/2014

8 Eukld vl gve os polynomer R(x og S(x, som opfylder 1 + x = R(x(1 + x 47 + S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 I kombnaton med (3 gver dette en formel for H 1. Da mod(, 47 mod(, 53 mod(, 64 H 1 = H 2 Å H 5 Å mod(, 65 mod(, 73 H 6 Å H 10 Å z og R(x(1 + x 47 + (1 + x = S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 kan v udregne (1 + x (H 1 mod(, 47 = (R(x(1 + x 47 + (1 + x (H 1 mod(, 47 = (S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 (H 2 mod(, 53 Å H 5 mod(, 64 Å H 6 mod(, 65 Å H 10 mod(, 73 Å z = (S(x(1 + x 53 (1 + x 64 (1 + x 65 (1 + x 73 (z (5 det alle øvrge led blver 0. Vores metode blver således: Identfcér S(x ved Euklds algortme, udregn udtrykket på højresden af (5, gæt på første bt hjul nummer 1 og anvend (5 tl at fnde resten. De øvrge hjul fndes på tlsvarende måde. At fnde α Med 120 mulgheder for permutatonen α, er det kke noget stort beregnngsarbejde at gennemløbe dem alle. Og der er en enkel måde tl med stor skkerhed at afvse de 119 forkerte forslag. Den bygger på, at v nok har udnyttet partetslgnngen (2, men at v endnu kke har udnyttet den oprndelge lgnng (1. Ved brug af kryptoteksten C beregner v en factlste for, hvor mange 1 taller der skal være hver D. For hver foreslået værd for α, kan v desuden beregne alle A og kan bestemme hvad værderne D = P Å A faktsk blver, hvs denne α er den rgtge. V forkaster de α, som fører tl en eller flere D er med et forkert antal 1 taller. Med mndst 345 karakterer at checke på, bør der kun være et overlevende forslag for α. Et hurtgt argument for den sdste påstand kan være følgende. Både for den rgtge og for de forkerte værder af α kan v modellere D som en tlfældg størrelse, lgefordelt mellem 0 og 31. Det betyder, at antallet af 1 taller en D fordeles mellem mulghederne 0, 1, 2, 3, 4, 5 forholdene 1, 5, 10, 10, 5, 1. For en forkert α blver for hvert sandsynlgheden for ved tlfældghed at ramme det rgtge antal 1 taller D gvet ved Fgur 7 En af de sdst udvklede G Skrvere, T52 d/e versonen, som faktsk var skker. Bemærk den omhyggelge nstruks om at smøre maskneret efter 100 tmers brug. Fotografer: Forsvarets Efterretnngstjenestes teknskhstorske samlng = 256 når der tages højde for, at parteterne på forhånd vdes at være ens. At ramme rgtgt 345 gange træk med denne sandsynlghed sker nok kke, selv med 119 forsøg. Det overlades tl læseren at overveje, hvorfor den anvendte tlfældghedsmodel for mange af de forkerte α er er ret grov og eventuelt at fnde en mere præcs analyse. Bblograf Beckman, B. (2002, Codebreakers. Arne Beurlng and the Swedsh crypto program durng world war II, Amercan Mathematcal Socety. Lars Ulvng, Frode Weerud (2000, The Gehemschreber Secret. Arne Beurlng and the Success of Swedsh Sgnals Intellgence. Procedngs on Codng Theory and Cryptography, Sprnger Verlag, men se også cryptocellar.org. Cryptomuseum, se cryptomuseum.com/crypto/semens/t52/ LMFK-bladet 4/ Matematk

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Beregning af strukturel arbejdsstyrke

Beregning af strukturel arbejdsstyrke VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde.

Salg af kirkegrunden ved Vejleå Kirke - opførelse af seniorboliger. hovedprincipper for et salg af kirkegrunden, som vi drøftede på voii møde. Ishøj Kommune Att.: Kommunaldrektør Anders Hvd Jensen Ishøj Store Torv 20 2635 Ishøj Lett Advokatfrma Rådhuspladsen 4 1550 København V Tlr. 33 34 00 00 Fax 33 34 00 01 lettl lett.dk www.lett.dk Kære Anders

Læs mere

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen kak@dtu.dk, psjq@dtu.dk DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej 399 4000, Rosklde, Danmark 17.

Læs mere

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang 2. Kort beskrvelse HR92 Trådløs elektronsk radatortermostat. Leverngens omfang I radatortermostatens emballage er der: 2 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.baccertfceret. Honeywell HR92 er en trådløs elektronsk

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning Pod/Phone speaker ALD1915H ASB4I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 13 FR 25 ES 37 DE 49 EL 62 DA 75 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt

Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Bilag 365 Offentligt Europaudvalget 2009-10 EUU alm. del Blag 365 Offentlgt Notat Kemkaler J.nr. MST-652-00099 Ref. Doble/lkjo Den 5. maj 2010 GRUNDNOTAT TIL FOLKETINGETS EUROPAUDVALG Kommssonens forslag om tlpasnng tl den

Læs mere

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.

Læs mere

ZENITH BRUGERVEJLEDNING. UM_DA Reservedelsnummer: 1704264_00 Dato: 25/11/2014 Oversættelser af den Originale Brugsanvisning

ZENITH BRUGERVEJLEDNING. UM_DA Reservedelsnummer: 1704264_00 Dato: 25/11/2014 Oversættelser af den Originale Brugsanvisning BRUGERVEJLEDNING UM_DA Reservedelsnummer: 1704264_00 Dato: 25/11/2014 Oversættelser af den Orgnale Brugsanvsnng R INDHOLD GENERELT...3 Indlednng...4 Advarsler...4 Forholdsregler...5 Tlsgtet brug...6 OVERSIGT

Læs mere

ipod/iphone/ipad Speaker

ipod/iphone/ipad Speaker Pod/Phone/Pad Speaker ASB8I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 16 FR 30 ES 44 DE 58 EL 73 DA 87 Indholdsfortegnelse

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal

Læs mere

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan. Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel

Læs mere

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016

Handlingsplan om bedre overvågning af biologiske lægemidler, biosimilære lægemidler og vacciner 2015-2016 Sundheds- og Ældreudvalget 2014-15 (2. samlng) SUU Alm.del Blag 41 Offentlgt Sundheds- og Ældremnsteret Sundheds- og ældremnsteren Enhed: Jurmed Sagsbeh.: hbj Sagsnr.: 1503875 Dok. nr.: 1768205 Dato: 3.

Læs mere

Nim Skole og Børnehus

Nim Skole og Børnehus Nm Skole og Børnehus... 2 Samlet vurderng af skolen... 2 Rammebetngelser... 4 Budget... 4 Personaletal... 4 Pædagogske processer... 4 Indsatsområder og resultater... 4 Opfølgnng og nye ndsatsområder...

Læs mere

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh Mary Rays Mary Rays Mary Ray Andrea McHugh Træn lydghed, aglty og trcks med klkkertrænng Ateler An Hachette Lvre UK Company Frst publshed n Great Brtan n 2009 by Hamlyn, a dvson of Octopus Publshng Group

Læs mere

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011

Aftale om generelle vilkår for tillidsrepræsentanter -^ i Magistratsafdelingen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 Aftale om generelle vlkår for tlldsrepræsentanter -^ Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg 2009-2011 1. Aftalens parter Mellem parterne Århus Kommune, Magstratsafdelngen for Sundhed og Omsorg og FOA,

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introdukton Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn skrdt-for-skrdt gude tl den nye Onlne Rapport (OLR) Vgtg nformaton tl alle krker og organsatoner Ikke flere paprlster Sangrapporten går nu onlne

Læs mere

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat.

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat. Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Kaptel 14 IVERS MODELLERIG Torben Obel Sonnenborg Geologsk Insttut, Københavns Unverstet Anker Laer Høberg Hydrologsk Afdelng, GEUS øglebegreber:

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter

Læs mere

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann Gulvvarmeanlæg en ntrodukton af Peter Wetzmann Sde 1 Indholdsfortegnelse 1 Forord... 3 2 Introdukton tl gulvvarme... 4 2.1 Hstorsk gennemgang...4 2.2 Fyssk beskrvelse...4 3 Typer... 6 3.1 Tung gulvvarme...6

Læs mere

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíiin. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx. FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Økonometr 1 Efterår 2006 Ugeseddel 13 Prram for øvelserne: Gruppearbejde plenumdskusson SAS øvelser Øvelsesopgave: Vækstregressoner (fortsat) Ugeseddel 13 fortsætter den emprske analyse af vækstregressonen

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning

Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC. Brugervejledning Centralkontrolenhed MPC-xxxx-B FPA-1200-MPC da Brugervejlednng 3 da Indholdsfortegnelse Centralkontrolenhed Indholdsfortegnelse 1 Tl nformaton 8 1.1 Illustraton af trnnene 8 1.2 Vse startmenuen 8 1.3

Læs mere

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315..

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315.. Monterngsvejlednng Indbygnngsrado 0315.. 1 Betjenng Fgur 1: Betjenngselement Indbygnngsradoens funktoner styres va knapperne på betjenngselementet: Med et kort tryk tændes/slukkes radoen; med et langt

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets

Læs mere

Installationsvejledning 3. Dräger Interlock XT Startspærre styret af åndeluftens indhold af alkohol

Installationsvejledning 3. Dräger Interlock XT Startspærre styret af åndeluftens indhold af alkohol da Installatonsvejlednng 3 Dräger Interlock XT Startspærre styret af åndeluftens ndhold af alkohol Indhold Indhold 1 Vedrørende dn skkerhed........................ 4 1.1 Overhold nstallatons- og brugsanvsnngen...........

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng

Læs mere

TheraPro HR90. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang

TheraPro HR90. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang . Kort beskrvelse TheraPro HR9 Elektronsk radatortermostat. Leverngens omfang I radatortermostatens emballage er der: 4 Med den elektronske radatortermostat kan du ndstlle rumtemperaturen nøjagtgt efter

Læs mere

Når klimakteriet tager magten Fokus

Når klimakteriet tager magten Fokus Når klmakteret tager magten Fokus For Bente Skytthe var det en lang og opsldende proces at komme gennem klmakteret, der blandt andet bød på hjertebanken, hedeture og voldsomme blødnnger. Overgangsalder

Læs mere

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri)

Handleplan for Myndighed (Handicap og Socialpsykiatri) for Myndghed (Handcap og Socalpsykatr) Baggrund Økonomudvalget besluttede den 17. maj 2010, at der bl.a. på Myndghedsområdet for Handcap og Socalpsykatr skal udarbejdes en handleplan som følge den konstaterede

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 10 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 0 Program for øvelserne: Gennemgang af teoropgave fra Ugesedel 9 Gruppearbejde og plenumdskusson SAS øvelser, spørgsmål -4. Sdste øvelsesgang (uge 2): SAS øvelser,

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1 Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet

Læs mere

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet.

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet. BLÅ MEMOSERIE Memo nr. 208 - Marts 2003 Optmal adgangsregulerng tl de vderegående uddannelser og elevers valg af fag gymnaset Karsten Albæk Økonomsk Insttut Købenavns Unverstet Studestræde 6, 1455 Købenavn

Læs mere

SåDAn GØR VI KLASSELEDELSE. Hvad skal eleverne lære?

SåDAn GØR VI KLASSELEDELSE. Hvad skal eleverne lære? SåDAn GØR VI Februar 2014 KLASSELEDELSE Hvad skal eleverne lære? Fagudvalgene har fået en central rolle Sofendalskolens arbejde med klasseledelse og struktur relaton tl folkeskolereformen. Klasserumsledelse

Læs mere

VEDTÆGTER. Advokatfirmaet Espersen 171-1676 Tordenskjoldsgade 6 9900 Frederikshavn TIL 98 4334 ii LE/UJ. for. Andeisforeningen Feddet

VEDTÆGTER. Advokatfirmaet Espersen 171-1676 Tordenskjoldsgade 6 9900 Frederikshavn TIL 98 4334 ii LE/UJ. for. Andeisforeningen Feddet Advokatfrmaet Espersen 171-1676 Tordenskjoldsgade 6 9900 Frederkshavn TIL 98 4334 - LE/UJ Mv. Sekr. Vestermarksve 38 9900 Frederkshavn VEDTÆGTER for Andesforenngen Feddet 1. Navn og hjemsted 1.1- Forenngens

Læs mere

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte ½ års evaluerng projekt Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte Der forelgger her en evaluerng beskrvelse projektstllngen Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte efter et halvt års vrke. Tl forskel fra 3 måneders evaluerngen

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2012. Og den gennemsntlge startløn er fortsat på den pæne sde af 31.500

Læs mere

1. Beskrivelse af opgaver inden for øvrig folkeskolevirksomhed

1. Beskrivelse af opgaver inden for øvrig folkeskolevirksomhed Bevllngsområde 30.32 Øvrg folkeskolevrksomhed Udvalg Børne- og Skoleudvalget 1. Beskrvelse opgaver nden for øvrg folkeskolevrksomhed Området omfatter aktvteter tlknytnng tl den almndelge folkeskoledrft

Læs mere

Programslyring. iiiillm. l{iclo*olt lr/indow* til Workgloups. qfoldctfs- Copyright @ l gbs-lgg3 ldicro*oft Corporation

Programslyring. iiiillm. l{iclo*olt lr/indow* til Workgloups. qfoldctfs- Copyright @ l gbs-lgg3 ldicro*oft Corporation llm Prramslyrng l{clo*olt lr/ndow* tl Workgloups hfm. Verson 311 qfoldctfs Copyrght @ l gbslgg3 ldcro*oft Corporaton En hstore 3 kaptler, der handler om hvordan skærmen fk sn prompt (A:l) hvordan musen

Læs mere

Betjeningsvejledning. Trådløs motoraktuator 1187 00

Betjeningsvejledning. Trådløs motoraktuator 1187 00 Betjenngsvejlednng Trådløs motoraktuator 1187 00 Indholdsfortegnelse Om denne vejlednng... 2 Enhedsoversgt... 3 Monterng... 3 Afmonterng... 3 Spændngsforsynng... 4 Ilægnng af batter... 4 Tlstand ved faldende

Læs mere

Miljøpolitik. Officiel politik for håndtering af globalt miljø og arbejdsmiljø i SIKA Rengøring A/S

Miljøpolitik. Officiel politik for håndtering af globalt miljø og arbejdsmiljø i SIKA Rengøring A/S Mljøpoltk Offcel poltk for håndterng af globalt mljø og arbejdsmljø SIKA Rengørng A/S SIKA Rengørng A/S blev grundlagt 2001 af Rchard Petersen, Elsabeth Hansen og Bent Hansen, som har mere end 30 års praktsk

Læs mere

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 > MfA V Udstyr Trafkspejle Vejregler for trafkspejles egenskaber og anvendelse Vejdrektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 Vejreglernes struktur I henhold tl 6, stk. 1 lov om offentlge veje (Trafkmnsterets

Læs mere

installationsperioden ankom til Flådestation Korsør

installationsperioden ankom til Flådestation Korsør Nr. 1, 2006 Sden sdst den sdste nyhedsbrev har ABSALON lgget ved såvel Flådestaton Korsør som Flådestaton Frederkshavn, for at få nstalleret mere mltært udstyr om bord. Installatonerne blev afsluttet den

Læs mere

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser Najoqqutarsat / Klder: Henrk Rndom Rusmdlernes Bolog, udgvet af Sundhedsstyrelsen 2000. www.netstof.dk www.stofnfo.sst.dk www.sundhedsstyrelsen.dk www.sundhed.dk www.peqqk.gl Denne brochure gver dg oplysnnger

Læs mere

Vejledning til udarbejdelse af forandringsteori

Vejledning til udarbejdelse af forandringsteori Afdelngen for erhvervsrettet voksen Vester Voldgade 123 1552 København V Tlf. 3392 5600 Fax 3392 5666 E-mal uvm@uvm.dk www.uvm.dk CVR nr. 20-45-30-44 Vejlednng tl udarbejdelse forandrngsteor 1. Udarbejdelse

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bjarne Vogt, Tage Rasmussen, Bodl Schmdt, Susanne K. Larsen, Vggo Kofod Dagsorden for mødet er: 1) Kommentarer/godkendelse

Læs mere

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389..

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Betjenngsvejlednng Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Indholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet... 3 Grundlæggende betjenng af rumtemperaturregulatoren... 3 Vsnnger og knapper detaljer... 3 Om denne

Læs mere

Eleven kan deltage i længere, spontane samtaler og argumentere for egne synspunkter

Eleven kan deltage i længere, spontane samtaler og argumentere for egne synspunkter Kpetenceråde Efter klassetrn Efter 7. klassetrn Efter 9. klassetrn Mundtlg deltage korte og enkle samtaler konkrete hverdagsemner på deltage kortere samtaler og gve korte, fremstllnger af almndelge stuatoner

Læs mere

porsche design mobile navigation ß9611

porsche design mobile navigation ß9611 porsche desgn moble navgaton ß9611 [ DK ] Indholdsfortegnelse 1 Indlednng ---------------------------------------------------------------------------------------------- 07 1.1 Om denne manual -------------------------------------------------------------------------------------------

Læs mere

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti Indholdsfortegnelse Instrumentopsætnng - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Introdukton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Oversgt - - - - - - - - - - -

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Trsdag den 10. januar 2012 kl. 19.00 Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Tage Rasmussen, Bodl Schmdt, Susanne K. Larsen, Bjarne Vogt, Vggo Kofod Fraværende

Læs mere

Medarbejderhåndbog. Velkommen som medarbejder i SIKA Rengøring A/S

Medarbejderhåndbog. Velkommen som medarbejder i SIKA Rengøring A/S Medarbejderhåndbog Velkommen som medarbejder SIKA Rengørng A/S SIKA Rengørng A/S ejes af Bent & Elsabeth Hansen. 1 Det bedst mulge ansættelsesforløb SIKA Rengørng A/S blev grundlagt 2001 af Bent & Elsabeth

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 08.oktober 2012 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 08.oktober 2012 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Maybrtt Pugflod Lars Provstgaard,

Læs mere

Marco Goli, Ph.D, & Shahamak Rezaei. Den Sociale Højskole København & Roskilde Universitetscenter

Marco Goli, Ph.D, & Shahamak Rezaei. Den Sociale Højskole København & Roskilde Universitetscenter Marco Gol, Ph.D, & Shahamak Rezae Den Socale Højskole København & Rosklde Unverstetscenter Folkelg opnon Folkelg opnon Kaptel 1: tdernes morgen Folkelg opnon Folkelg opnon Kaptel 2 : Den ratonelle ndvandrer

Læs mere

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21

Vestbyskolen Tlf.: 76 29 40 80 Fax: 75 62 64 21 Vestbyskolen... 2 Samlet vurderng af skolen... 3 Rammebetngelser... 5 Budget... 5 Personaletal... 5 Pædagogske processer... 6 Indsatsområder og resultater... 6 Opfølgnng og nye ndsatsområder... 10 Udfordrnger...

Læs mere

Portable Radio/ Cassette/ (MP3)CD-player with USB-port APRTC41U

Portable Radio/ Cassette/ (MP3)CD-player with USB-port APRTC41U Portable Rado/ Cassette/ (MP3)CD-player wth USB-port APRTC41U User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 15 FR 27 ES

Læs mere

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC

PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC PRODUKTIONSEFFEKTEN AF AVL FOR HANLIG FERTILITET I DUROC MEDDELELSE NR. 1075 Vrknngsgraden (gennemslaget) tl en produktonsbesætnng for avlsværdtallet for hanlg fertltet Duroc blev fundet tl 1,50, hvlket

Læs mere

- 3 - sa? JA, DET KUNNE VÆRE MERE NÆRLIGGENDE, ALLIGEVEL VIL JEG MENE, AT DET ER FOR TIDLIGT AT SIGE NOGET OM DET. KÆRE NB'ERE

- 3 - sa? JA, DET KUNNE VÆRE MERE NÆRLIGGENDE, ALLIGEVEL VIL JEG MENE, AT DET ER FOR TIDLIGT AT SIGE NOGET OM DET. KÆRE NB'ERE KÆRE NB'ERE DET VAR EN STOR OG GLÆDELG OVERRASKELSE AT FORBNDELSE MED MT JUBLÆUM MØDTE MED DET FARVERGE OPTOG DET GLÆDEDE MG SPECELT, AT HAVDE FAET DE SMA PGER OG DRENGE MED BØRN HAR EN FANTASTSK GOD MADE

Læs mere

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Dansk Journalstforbund Februar 2011 BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Jobs og lønkroner er kke lgelgt fordelt blandt mandlge og kvndelge forbunds. Derfor har v her samlet fre oversgter, der sger

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Opbygnng af statstsk model Eksploratv data-analyse Specfcer model Lgnnger og antagelser Estmer parametre Modelkontrol Er modellen

Læs mere

L EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER

L EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER S A X O L EGAL ALMINDELIGE FORRETNINGSBETINGELSER S E R I O U S T R A D I N G. W O R L D W I D E. 1 1 1.1. v v v v v x x x x x xv DEFINITIONER - FORTOLKNING AF VILKÅR I dsse Almndelge Forretnngsbetngelser

Læs mere

Insttut for samfundsudvklng og planlægnng Fbgerstræde 11 9220 Aalborg Øst Ttel: Relatv Fasepostonerng Med bllge håndholdte GPS-modtagere Projektperode: Februar 2006 Jul 2006 Semester: 10. Projektgruppe:

Læs mere

VIP X1600 Netværksvideoserver. Installations- og betjeningsvejledning

VIP X1600 Netværksvideoserver. Installations- og betjeningsvejledning VIP X1600 Netværksvdeoserver da Installatons- og betjenngsvejlednng VIP X1600 Indholdsfortegnelse da 3 Indholdsfortegnelse 1 Forord 7 1.1 Om denne vejlednng 7 1.2 Konventoner denne vejlednng 7 1.3 Tlsgtet

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde

Værktøj til beregning af konkurrenceeffekter ved udlægning af nyt butiksområde Dato: 6. oktober 217 Sag: DIPS- 16/1631 Sagsbehandler: /SBJ/DEB/PMO/KBA Værktøj tl beregnng af konkurrenceeffekter ved udlægnng af nyt butksområde KONKURRENCE- OG FORBRUGERSTYRELSEN ERHVERVSMINISTERIET

Læs mere

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej Trafkgruppen Agenda 1. Vurderng af forsøg Luknng af Sandmosevej 2. Vurderng af foreslået forsøg Luknng af Sandmosevej og Brunbakkevej 3. Forslag tl forbedret fremkommelghed for hele Aarhus Syd 4. Kortsgtet

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med

Læs mere

HI-FI-KOMPONENTSYSTEM

HI-FI-KOMPONENTSYSTEM BEMÆRK: Højttalerne (medfølger kke) kan være forskellge fra dem, der er vst denne betjenngsvejlednng. model RNV70 HI-FI-KOMPONENTSYSTEM Vedlgeholdelse og teknske data Læs betjenngsvejlednngen, før du tager

Læs mere