Hansen og Månen. Af René Michelsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Hansen og Månen. Af René Michelsen"

Transkript

1 Hansen og Månen Af René Michelsen Med udgangspunkt i Danmark blev Peter Andreas Hansen ( ) en af 1800-tallets vigtigste astronomer. Gennem næsten 50 år arbejdede han i Gotha og hans bidrag indenfor instrumentudvikling, gradmåling og landmåling var dengang legendariske. Det var dog hans matematiske snilde og ikke mindst teoretiske beregninger af Månens bevægelse, der særligt overleverer mindet om ham til vores tid. Vi skal her se nærmere på Hansens liv og arbejdsvilkår, og i detaljen dykke ned i, hvorfor Hansen og Månen sammen blev så skelsættende. Indledning Hansen var i det 19. århundrede en central skikkelse for europæisk astronomi og geodæsi. Han var yderst produktiv, medlem af henved 20 videnskabelige selskaber, fik Newton-medaljen to gange og blev dekoreret med ordener i flere lande. Hertil var han medgrundlægger af geodæsien som videnskab, præsident for den permanente kommision for europæisk gradmåling, og var medlem af den tyske kommission til observation af Venuspassagen (for derigennem at bestemme afstande i Solsystemet) i far, som i øvrigt blev anset som velstillet, kunne ikke imødekomme ønsket om videre uddannelse pga. pengemangel, ikke mindst som følge af moderens tidlige bortgang. Hansen kom dog to år i såkaldt rektorklasse, og lærte grundlæggende fransk og latin. Hansen blev bedt om at vælge sig et håndværk, og han kom i lære som urmager i Flensborg. Han viste gode evner for faget, men hans far modsatte sig hans drøm om at studere på universitetet. Da han var udlært i 1818 tog han tilbage til Tønder, og begav sig på vandretur, en tur der førte ham til Berlin hvor han blev et år, og gennem sin stilling hos en fransktalende urmagermester lærte han fransk til perfektion. I slutningen af 1819 drog han tilbage til Tønder og etablerede sig som urmager i sin fars hus. Figur 2. Mindesten over Hansen i Tønder (privatfoto 2007). Figur 1. Peter Andreas Hansen i 1840, 45 år gammel. Maleri af Paul Emil Jacobs, original i Pulkovo-observatoriet (Skt. Petersborg), kopier i Kiel og Gotha (Wikipedia). Født i Danmark, arbejdende fra Tyskland, betalt af englænderne og i tæt kontakt med København, har historien om Hansen både en god fortælling og en urkraft, der er stærk nok til at gøre ham til en legende, der er værd at bringe frem i lyset. Desværre er en fuldstænding biografi om ham aldrig blevet skrevet, og de sparsomme kilder efterlader flere åbne spørgsmål. Her vil vi fortælle legenden, rejse spørgsmålene, og samtidig begrænse os til hans centrale arbejde med Månens bevægelse. Fra Tønder til Altona Peter Andreas Hansen blev født i Tønder den 8. december Han var søn af en guldsmed, og viste tidligt interesse for selvstudier i musik og matematik og var tilmed fingersnild. Han klarede sig blandt de bedste i skolen, og var motiveret for at læse videre. Hans Figur 3. Gadeskilt i Tønder, Hansens fødeby (privatfoto 2007). En skelsættende tilfældighed indtraf kort herefter i Hansens 9-årige søster lå syg, og der blev derfor tilkaldt en læge, Dr. Peter Dirks. Dirks var selv interesseret i matematik og astronomi, og Dirks og Hansen må have haft lejlighed til at tale en del sammen, i hvert fald fik Dirks overtalt Hansens far til at lade Hansen rejse til København. Hér havde Dirks nemlig en ven, H.C. Schumacher, professor i astronomi i København, og ansvarlig for den danske gradmåling (dvs. bestemmelse af længde- og breddegrad for et punkt). KVANT, december

2 Hansen rejste til København, og kunne under sit ophold bo i Rundetårn. Han og Schumacher lærte hinanden godt at kende, og Hansens rejse til København blev indledningen til et livslangt venskab og kollegialt forhold mellem de to. Stillingen som assistent var imidlertid blevet besat. Hansen rejste efter aftale med Schumacher i august til Altona ved Hamborg for egen regning, for at deltage som frivillig i gradmålingen i Holsten. Han kom tilbage til København i januar 1821, og blev nu ansat som assistent på gradmålingen. Det er værd at bemærke, at 1821 netop var det år, hvor Schumacher påbegyndte oprettelsen af observatoriet i Altona (på trods af at han var professor i København) [3], og hvorfra han samme år begyndte udgivelsen af tidsskriftet Astronomische Nachrichten (AN). I sommeren 1822 deltog Hansen i 11 ugers feltarbejde på Helgoland for sammen med en engelsk delegation at deltage i opmålinger af øen. Undervejs lærte Hansen engelsk, og samtidig måtte han udvikle en ny metode til beregning af geografisk bredde med et passageinstrument, da de skulle arbejde med transportable instrumenter. Hansen blev ved observatoriet i Altona, der var under opbygning Det fremgår ikke af kilderne, hvor stor en andel han havde i opbygningen af observatoriet under Schumachers ledelse, men tilsyneladende har han haft rig mulighed for at observere med de nyindkøbte instrumenter, og arbejde med metoder til datareduktion. I Altona opnåede han ry som en ferm observatør. Hansen bistod også med udgivelsen af AN, i starten med anonyme bidrag, såsom baneberegninger, på bestilling af Schumacher. Fra 1823 begyndte han at publicere selvstændige artikler med egne observationer, baneberegninger m.m. Observatoriet i Gotha-Seeberg I 1825 valgte Johann Franz Encke at sige sin stilling op som direktør for observatoriet i Gotha, til fordel for en stilling i Berlin. Forinden, i 1822, havde Encke skrevet et memorandum og klaget over de primitive forhold ved observatoriet i Gotha, og ikke mindst over den ringe gage. For at forstå hvad det egentlig var Encke forlod, må vi tage et lille sidespring. Gotha var dengang hovedsæde i hertugdømmet Sachsen-Gotha (i dag en del af Thüringen). De skiftende hertuger satte sig som mål at gøre Gotha til videnskabernes by. I 1786 blev Gothaobservatoriet oprettet på Seeberg, et bakket skovområde et par kilometer uden for byen, af hertug Ernst den 2., med Franz Xaver von Zach som den første direktør. Von Zach udgav i Gotha de første internationale geofysiske og astronomiske tidsskrifter fra 1798, (forløbere og inspiration for AN), ligesom han også i 1798 arrangerede verdens første konference for astronomer. Gotha var dermed for astronomien et videnskabspolitisk centrum. Gothas status var dog falmende. Allerede omkring 1810 var der skader på flere af observatoriets bygninger, der krævede en delvis nedrivning og genopbygning. Instrumentparken var måske heller ikke holdt helt ved lige. Udgivelsen af tidsskrifter fra observatoriet var ophørt i 1813 (og efterlod dermed plads til AN). Med til historien hører, at der ikke fandtes noget universitet i Gotha, og dermed heller ikke noget forskningscentrum. Universitetet i det nærliggende Erfurt var ligeledes blevet lukket i Af arbejdskraft på observatoriet var der en tjener. På lønningslisten stod også en unyttig kurator, der var ment som direktørens formelle foresatte, men som ikke deltog i arbejdet på observatoriet; dvs. ingen videnskabelige assistenter til at hjælpe med observationer eller beregninger. Og lønnen var, som Encke anførte, beskeden. Selvom Gotha-Seeberg havde et renommé, var status dog, at det var et lidet attraktivt sted. På trods af dette var en stilling som direktør i Gotha stærkt attraktiv for Hansen. Han var ved Enckes fratræden 30 år gammel og ugift; hans baggrund var blot grundskolen, han havde ingen akademisk uddannelse og var overvejende autodidakt i sprog, matematik samt astronomisk og geodætisk instrumentering. Det må have været en ubeskrivelig stor glæde for ham at blive tilbudt stillingen i Gotha, og ikke mindst, at han uden at trodse sin fars holdninger kunne gå ind på den videnskabelige vej som han i mange år havde drømt om. At Hansen overhovedet blev ansat skyldtes endnu engang en bemærkelsesværdig situation: Encke havde forladt sin stilling uden at foreslå en efterfølger (hvilket tilsyneladende var kotume dengang; noget kunne tyde på at Encke smækkede med døren da han forlod Gotha). Schumacher anbefalede derfor Hansen til stillingen, og da prominente personer som Olbers, Gauss og Bessel også anbefalede Hansen 3, så var sagen klar. Figur 4. Peter Andreas Hansen i Originalt fotografi i Gotha (Wikipedia). 1 Kilderne [1] og [2] er her ikke helt enige om kronologien. 2 Genåbnet i Det er uklart om Hansen allerede på dette tidspunkt havde personlig kontakt med disse personer; i arkiverne findes hans brevveksling med dem, men de kan være anakronistiske. 10 Hansen og Månen

3 Hansen i Gotha Hansen havde en særdeles aktiv karriere i Gotha helt frem til sin død 49 år senere. På trods af de, fra starten af, beskedne vilkår, må der have været noget, der gjorde Gotha specielt attraktiv; i løbet af hans karriere skortede det ikke på attraktive tilbud om stillinger i universitetsbyerne Helsinki, Dorpat (Tartu), Kønigsberg (efter Bessel), København og Berlin, men han takkede nej til tilbuddene. Svaret på, hvorfor han afviste disse tilbud ligger sandsynligvis gemt i resultaterne af hans eget arbejde, selvom kilderne også synes at antyde, at hans personlighed og baggrund har spillet en rolle. Ved ankomsten i Seeberg må Hansen, som noget af det første, have sat sig ind i de komplekse financielle forhold. Ifølge testamentet efter Ernst den 2., var der oprettet en fond på daler til at sikre driften af observatoriet, hvoraf 4 % blev udbetalt årligt til direktøren for observatoriet, dvs. 800 daler. Heraf skulle dog fratrækkes lønnen til kuratoren, dvs. direktørens formelle overordnede, til den fastboende tjener, samt til en fratrådt opsynsmand, der efter en gammel aftale modtog et bidrag frem til sin død. Beløbet skulle desuden dække vedligeholdelsen af de forsømte bygninger og instrumenter. Alt i alt fik han knap 600 daler udbetalt om året. I 1828 blev Hansen gift med Lina Braun, datter af en skovrider. De fik i tidens løb 7 børn. I 1838 indledte Hansen en brevveksling med statsministeriet, hvor han forklarede, at hans løn ikke rakte til at brødføde hans familie, at han ville foretrække at blive i Gotha (han havde på dette tidspunkt fortalt om tilbuddet om at komme til Helsinki), og han endte med at indgive sin afsked. Hansen blev i Gotha, da han fik forhøjet sin løn til 1200 daler. Dermed lykkedes det ham at forbedre den første præmis for at blive i Gotha, selvom det ganske vist tog 13 år fra hans ankomst. Hansen kunne dernæst tage fat på at forbedre observatoriets fysiske rammer; han må tidligt have fornemmet, at det ville blive vanskeligt, og måske havde han heller ikke regnet med, hvor lang tid det ville ende med at tage. I 1839 fik han med hertugelig tilladelse lov til at flytte fra de faldefærdige bygninger i Seeberg, og byggede et hus i Gotha by. Huset indrettede han med et privatobservatorium i form af en meridiankreds (1842). Derfra kunne han fortsætte sit videnskabelige arbejde, men han må have haft en bagtanke; hertug Ernsts testamente indebar jo, at observatoriet i Seeberg skulle drives videre. Hansen argumenterede for, at omkostningerne med at renovere og vedligeholde de faldefærdige bygninger var for høje, og i 1847 foreslog han, at man oprettede et helt nyt observatorium på nabogrunden til hans hus. Dette kom han dog ikke igennem med, og man valgte i stedet for en nærliggende grund, og at byggemateriale fra de gamle Seebergbygninger skulle genbruges i de nye. Seeberg blev altså revet ned (en lille del står tilbage i dag og er lavet om til et spisested), og Hansen kunne sammen med en kommission planlægge det nye sted. Det fremgår desværre ikke af kilderne, hvordan denne begunstigelse pludselig kunne finde sted, eller hvor stort budgettet var, men der må have været en vis respekt for hertug Ernsts testamente, og også for Hansen. I 1859 var det nye observatorium klar til brug, dvs. 20 år efter Hansen forlod Seeberg, og 34 år efter hans ankomst til Gotha. Figur 5. Hansen nye observatorium på Jägerstrasse i Gotha. Hansens eget hus med interim-observatoriet lå ca. 100 m tættere på Gotha station, i Bahnhofstrasse, og blev ødelagt under 2. verdenskrig (privatfoto 2014). Indtrykket står tilbage, nemlig at det lykkes for Hansen at ændre de forhold, som Encke i sin tid var så utilfreds med. Det tog sin tid og uendelige mængder af tålmodighed og diplomati, uden garanti for succes, så hvorfor valgte han ikke en nemmere vej, og takkede ja til et af de tilbud han fik? Vi må huske at Hansen mestendels var autodidakt, og dermed må have opøvet en meget stærk viljestyrke uden tilbøjelighed til at give op. Dernæst var han en af Europas mest respekterede videnskabsmænd, dvs. på trods af kummerlige forhold var han i stand til at levere solid forskning. At flytte til et andet attraktivt observatorium ville have givet ham en bedre løn, men kunne ikke have gjort ham til en bedre videnskabsmand. Det må han have indset. Kilderne [1] og [2] har nogle intrigante kommentarer vedrørende hans personlighed, som også forklarer, hvorfor han valgte det afsidesliggende Gotha. Hans manglende baggrund i universitetsverdenen og autodidakte tilgang til sprog bevirkede, at hans skriftlige formuleringer kunne virke bombastiske, uden at han dog havde til hensigt at støde nogen. I enkelte tilfælde kunne det føre til dybe forbistringer og stridigheder. En medvirkende faktor hertil var hans indgående kendskab til datidens matematik, hvor ikke alle evnede at følge hans argumentation; efter sigende skulle han senere i livet have været bedre til at uddybe og forklare sine beregninger. En anden faktor synes at være, at var han først selv overbevist om rigtigheden af en konklusion, var han mindre interesseret i, om andre havde samme forståelse. Alt dette insinuerer jo en kolerisk natur, og at Hansen bevidst valgte at isolere sig i Gotha. Disse betragtninger er dog ikke udelukkende objektive og er sikkert unuancerede. Der er bestemt plads til yderligere forskning i Hansens liv og personlighed: I arkiver rundt om i Tyskland findes der ca breve fra hans brevveksling med andre forskere; disse breve har endnu ikke været samlet, KVANT, december

4 analyseret og oversat, men mon ikke de kan bidrage til et mere fuldkomment billede af personen Hansen end gengivet ovenfor? Hansen døde den 28. marts 1874 og ligger ærefuldt begravet i Gotha. Figur 6. Hansens gravmæle på Gotha Hauptfriedhof (privatfoto 2014). Hansens forskning I den periode hvor Hansen indledte sin karriere, foregik der en løbende udvikling af de astronomiske instrumenter og en tiltagende modenhed af matematikken. Der var et politisk ønske om at forbedre nøjagtigheden i bestemmelse af længdegrader, bl.a. for at forbedre navigationen til søs. Til brug herfor blev der arbejdet på mere nøjagtige ure, og forbedrede astronomiske tabeller, fx for Solen, planeterne og Månen, som igen krævede mere nøjagtige observationer og analytisk teori. Parallelt hermed var der øget fokus på landmåling, via triangulering i landskabet. Hansens arbejde rummede hele denne udvikling: Han forstod sig på instrumentering, og udviklede nye metoder til statistisk databehandling og observationsteknik. Han udviklede de nødvendige analytiske metoder til beregning af tabeller for Solens og Månens bevægelse, og han beregnede tabellerne, sideløbende med at han medvirkede til at etablere geodæsien som en videnskab. At han igennem ca. 50 år bar astronomien og geodæsien fremad, var årsagen til den store anerkendelse han fik. Blandt Hansens mange publikationer (ADS angiver 125 publikationer, Worldcat 138, hvoraf flere dog er meddelelser og observationsdata, og i øvrigt skrevet på skiftevis latin, tysk, fransk og engelsk) skal vi her begrænse os til løseligt at omtale hans arbejde vedrørende Månens bevægelse. Hansen og Månen Det synes i dag lettere odiøst at bruge kræfter på at studere Månens dynamik; den er lysstærk, tæt på os, ses som en skive, og vandrer tilsyneladende systematisk henover himlen; måske ser vi Månen så ofte, at vi slet ikke tænker over det. Sådan var det også for 200 år siden på Hansens tid. Netop derfor var Månens bevægelse som tidsreference interessant for navigation. Månens bevægelse er dog rent faktisk yderst kompliceret at beregne, og de analytiske metoder der er udviklet til formålet er både omfattende, matematisk komplekse, og tunge at anvende numerisk. Hansen udgiver i 1838 værket Fundamenta Nova Investigationis Orbitae Verae Quam Luna Perlustrat [4]. Over ca. 360 sider foretager han en række omskrivninger af bevægelsesligningerne for Månen (se figur 7). Hansens metode benytter sig af nogle alternative matematiske kneb til at omskrive ligningerne, hvilket gør den svær at følge. Den store fordel er, at den er praktisk anvendelig ift. at beregne tabeller for Månens bevægelse ud fra et sæt observerede startbetingelser. Efter flere besøg i England endte det med, at hans månetabeller (i øvrigt skrevet på fransk) blev udgivet i 1857 [5] i London for admiralitetet, og han modtog 1000 pund af den engelske regering for arbejdet. Denne udgivelse blev samtidig grundlaget for månetabellerne i den engelske Nautical Almanac gennem 60 år, i perioden fra 1862 til 1922, med enkelte korrektioner til tabellerne af Simon Newcomb i Figur 7. Side 40 fra hovedteksten i Fundamenta [4], hvor Hansen starter med at udvikle ligningerne med tiden t og pseudo-tiden τ. Udover at være skrevet på latin er værket særdeles notationstungt, og indeholder en endeløs række af omskrivninger af ligningerne. Som nævnt var Hansens arbejde med Månens bevægelse særegent; han fulgte ikke hovedstrømningerne som lå indenfor kanonisk perturbationsregning og eksplicitte løsninger for tidsvariationen af baneelementerne, som fx formuleret af de samtidige LeVerrier, Delaunay og Poincaré (se boksen). I stedet for er hans teori udtrykt i abstrakte variable med en pseudo-tid som uafhængig variabel, og er i sin første form kondenseret temmelig kraftigt. 12 Hansen og Månen

5 Hansens Måneteori For at få et indblik i Hansens beregninger for Månens bevægelse, så starter vi først med at beskrive den traditionelle tilgang. For systemet Måne-Jord- Sol kan energien H omskrives som H = H 0 + H 1. (1) H 0 er den konstante energi for en ellipsebevægelse, fx Månens, mens H 1 er en forstyrrelse, eller perturbation, fx fra Solen. Dvs. at i stedet for at have en lukket keplerbevægelse, forårsager perturbationerne at banen varierer med tiden. Tidsvariationen i banen kan findes gennem de 6 baneelementer, der siger noget om banens form (a: Den halve storakse, e: Excentriciteten), orientering (i: Inklinationen, Ω: Knudelængden, ω: Perifokusvinklen), samt den øjeblikkelige position af Månen (M: Middelanomalien). H 1 kan rækkeudvikles til en uendelig trigonometrisk række på formen H 1 (e, i, Ω, ω, M) X n (e, i) cos(b n (Ω, ω, M)), (2) n=0 Illustration af baneelementerne. Middelanomalien M er ikke vist da den er defineret på en omskrevet cirkel således at M varierer lineært med tiden. hvor X n er en potensrække i e og i, og hvor B n er funktioner af vinklerne på nær i. For hvert baneelement kan man opstille differentialligninger i tiden, fx for a: da(t) dt = D(a, e, i) H 1 M. (3) Denne ligning kan løses analytisk via forskellige approksimative og iterative metoder. En sådan fremgangsmåde blev anvendt af Hansens samtidige, LeVerrier for planeternes bevægelse, og Delaunay for Månens bevægelse, i nogle ganske digre værker. Udfordringen er at rækken H 1 kun konvergerer langsomt (og desuden ikke globalt i tid, som Poincaré viste), så de analytiske udtryk bliver ganske store. Hansens metode har nogle andre grundtræk, og nogle andre variable. Her skal vi følge fremstillingen efter [10] og [11]: Lad r(t) være stedvektoren som funktion af tiden t for en planet P (dvs. Månen). Indfør nu en fiktiv planet P 1, der bevæger sig i en konstant keplerbane i et andet baneplan, og lad denne planet have stedvektoren R(z), hvor z betegner en pseudotid forskellig fra t. Lad Q(t) være projektionen af r(t) på det fiktive baneplan, lad afstanden mellem P og baneplanet være d(t), og lad U(t) være en enhedsvektor, der er normal på det fiktive baneplan. Samtidig defineres 1+ν = Q R. Hansen opskriver da følgende bevægelsesligninger: r(t) = Q(t) + d(t)u(t) (4) Q(t) = (1 + ν)r(z). Vi ser altså, at Hansen regner direkte i stedvektorerne, og at han samtidig deler beregningerne op i en fast keplerbane og perturbationerne udtrykt gennem ν, U og z (variationen af z), hvor den fiktive bane bliver valgt, så perturbationerne er tilpas små. Hansen bestemmer nu perturbationerne via funktionen W som er en rækkeudvikling i M 1, der er middelanomalien for P 1 ; her er Hansen dog først nødt til at skelne mellem M 1 i perturbationerne og i keplerbevægelsen for P 1, hvilket gøres i W. Undervejs dannes de såkaldte Hansen-koefficienter X (n) abcd, der kan sammenlignes med X n (e, i) ovenfor. dw dt er projektionen af perturbationerne på en variabel vektor, som vælges således at dw dt er integrabel. Fremgangsmåden går på, først at opskrive ligningerne for d2 r dt, dele op i hovedkomponent og projektion, rækkeudvikle 2 perturbationerne af projektionen, for at nå frem til bevægelsesligningerne for r(t), U(t), ν(t) og for dz dt udtrykt gennem W. Ligningerne integreres analytisk under approksimationer, og et passende sæt integrationskonstanter bestemmes. Fordelen ved Hansens metode er, at den konvergerer hurtigt. Omvendt gør metoden brug af en fiktiv planet og en pseudo-tid, med passende approksimationer i de fiktive variable; mellemregningerne er temmelig vanskelige at følge. Baneelementerne har meget ulige perioder, hvor fx M er kortperiodisk mens Ω er meget langperiodisk, men i Hansens metode udlignes forskellen i variationerne mellem de variable. Da Hansen havde ry for at have haft god numerisk forståelse, er det nok ikke noget tilfælde at han valgte netop denne fremgangsmåde, for at nå frem til den numerisk mest stabile metode. Til sammenligning blev Delaunays metode med rækkeudvikling af baneelementerne aldrig brugt i praksis, hertil er ligningssystemerne ganske enkelt for store. Omvendt er Delaunays metode central for at forstå langtidsdynamikken og kaosmekanismer, noget som Hansens metode ikke direkte egner sig til. Opdelingen i den perturberede bane (øverst) i en fiktiv keplerbane (nederst) og perturbationerne (i midten). Til venstre er tidsangivelserne givet, til højre ses hvordan Hansen skifter mellem systemerne. KVANT, december

6 Som det biografiske materiale antyder (men som nævnt fortjener dette at blive belyst nærmere), må Hansens metode have forekommet aparte, måske mødte den ligefrem mangel på forståelse pga. det avancerede matematiske mønster; vi bemærker de ca. 20 år fra udgivelsen af teorien til tabellerne blev publiceret i London. Den unge Hansen i tiden før 1838 kan næppe have forudsagt, at hans måneteori ville få så stor gennemslagskraft, og at den ville skrive sig direkte ind i almanakkernes og astronomiens historie. Man kan derfor spekulere i (igen en påstand der bør undersøges nærmere), at succesen for teorien, men også behovet for at få den uddybet, samlet foranledigede ham til at uddybe detaljerne 24 år senere i to afhandlinger i hhv og 1864 [6], denne gang på tysk. Med til historien hører, at han i 1854 udgav en artikel om Månens form, og konkluderede, at Månens massemidtpunkt var forskudt 59 km væk fra Jorden ift. den geometriske form (den moderne værdi er kun 2 km og i den modsatte retning, dvs. tættere på Jorden). Udover måneteorien, der behandler Månens bevægelse rundt om Jorden under forstyrrelse fra Solen, så behandlede Hansen også det beslægtede problem om Jordens bevægelse om Solen under forstyrrelse af de øvrige planeter; eller, matematisk set, Solens relative bevægelse ift. Jorden, og derigennem Solens bevægelse på himlen. Sammen med C.F.R. Olufsen i København udgav han i 1853 (på fransk) for Det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab tabeller over Solens bevægelse, dækkende 3000 år, fra 800 f.kr. til 2200 [7]. Olufsen bearbejdede forskelligt observationsmateriale, mens Hansen stod for den analytiske teori, herunder planetperturbationerne [3]. Nok så interessant er det, at brugen af tabellerne er grundigt forklaret, men også at Hansen fremstår som en ekvilibrist i generel perturbationsteori og numerisk analyse. Slutteligt skal i samme boldgade nævnes hans afhandling, udgivet i 1831, om de gensidige perturbationer mellem Jupiter og Saturn; for denne prisopgave fik han i 1830 en guldmedalje fra akademiet i Berlin. Litteratur [1] Peter Brosche, Hans-Joachim Tucholke (Herausgeber): Peter Andreas Hansen ( ). Sonderschriften der Akademie gemeinnütziger Wissenschaften zu Erfurt, Band 27 (1995). Udgivet i anledningen af 200-året for Hansens fødsel. [2] Allgemeine Deutsche Biographie, Band 10, Leipzig, [3] K. Gyldenkerne, P. B. Darnell: Dansk Astronomi Gennem Firehundrede år, Rhodos, [4] P.A. Hansen, Fundamenta Nova Investigationis Orbitae Verae Quam Luna Perlustrat, Gotha, Denne afhandling og flere andre er tilgængelige via [5] P.A. Hansen, Tables de la Lune, London, [6] P.A. Hansen, Darlegung der Theoretischen Berechnung der in den Mondtafeln Angewandten Störungen, Leipzig. Erste Abhandlung 1862, Zweite Abhandlung [7] P.A. Hansen, C.F.R. Olufsen, Tables du Soleil, København, [8] Kaj Elkjær-Larsen, Astronom Peter Andreas Hansens liv og tid, Tønder Kommune, [9] Jürgen Ostwald, Von Tondern nach Gotha, Bund deutscher Nordschleswiger, [10] D. Brouwer, G. M. Clemence, Methods of celestial mechanics, [11] Peter Musen, Investigations in Hansen s planetary theory, NASA Technical Note TN D-4169, René Michelsen er ph.d. i astronomi og har en baggrund i celestmekanik og dynamik, spektroskopi af jordnære asteroider og meteoritter, samt rumfartsindustrien. Han arbejder i dag som projektleder. Den glemte legende Hansen måneteori blev anvendt i almanakkerne i 60 år, hvorefter den blev afløst af Browns teori, der også blev anvendt i 60 år, inden den blev erstattet af de seminumeriske metoder, der stadig anvendes og udvikles i dag. Hansens måneteori er dermed trådt ind i skyggen, ligesom hans ry som instrumentudvikler. Hans arbejde inden for geodæsien er vel i dag så alment, så heller ikke her støder man på ham i nyere bøger. Med til den gode fortælling om Hansen hører derfor også, at hans arbejde for det meste er glemt i dag, men at hans historie er værd at tage frem i lyset; måske er der en dag en Hansen-forsker, der sætter sig for at gennemgå det arkivmateriale, der har overlevet til i dag, som kan svare på de spørgsmål, der omgærder Hansen, og som kan skrive en langt bedre og endnu mere interessant historie om legenden Hansen. Tak til Peter Brosche, Akadem. Gem. Wis. zu Erfurt, og Tønder Lokalhistoriske Arkiv. 14 Hansen og Månen

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Hvordan Kepler fandt sine love

Hvordan Kepler fandt sine love Hvordan Kepler fandt sine love stronomerne forstod ikke at overmande denne krigsgud (Mars). Men den fortræffelige hærfører Tycho har under 0 års nattevågen udforsket al hans krigslist; og jeg omgik ved

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Triangulering af Danmark.

Triangulering af Danmark. Triangulering af Danmark. De tidlige Danmarkskort De ældste gengivelser af Danmark er fra omkring 200 e.kr. Kortene er tegnet på grundlag af nogle positionsangivelser af de danske landsdele som stammer

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Lytternes og seernes redaktør DR Byen 0999 København C. Kære Jacob Christian Mollerup

Lytternes og seernes redaktør DR Byen 0999 København C. Kære Jacob Christian Mollerup Lytternes og seernes redaktør DR Byen 0999 København C Kære Jacob Christian Mollerup Som det blev tilkendegivet inden jul, ønsker Den Uafhængige Politiklagemyndighed at indgive en formel klage over Danmarks

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Kandidatuddannelsen i Litteraturhistorie

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Kandidatuddannelsen i Litteraturhistorie US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Kandidatuddannelsen i Litteraturhistorie Navn på universitet i udlandet: University of Kent at Canterbury Land: Storbritannien Periode: Fra:

Læs mere

PISA 2006 Nordisk konference på Grand Hotel, den 17. august 2009 kl. 9.00

PISA 2006 Nordisk konference på Grand Hotel, den 17. august 2009 kl. 9.00 PISA 2006 Nordisk konference på Grand Hotel, den 17. august 2009 kl. 9.00 Kære konferencedeltagere. Jeg vil byde jer hjertelig velkommen til konferencen PISA 2006 Northern Lights III. Det er mig en særdeles

Læs mere

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen

Transit af XO-2b. Jonas Bregnhøj Nielsen. Lars Fogt Paulsen Transit af XO-2b Udarbejdet af: Kasper Lind Jensen Jonas Bregnhøj Nielsen Lars Fogt Paulsen Indholdsfortegnelse Baggrund... 3 XO-2b... 4 Beskrivelse af observationer... 4 Datareduktion... 5 Diskussion...

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm Oven over skyerne..! Du skal lære mennesker, steder og ting ude i rummet og på jorden hvor du bor Du skal lære om stjernetegnene Du skal lave din egen planet-rap Du skal skrive et brev fra Månen Du skal

Læs mere

KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013

KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013 KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013 KALUNDBORG FORSYNING Totalrapport December 2013 INDHOLD 3 HOVEDRESULTATER OPSUMMERET 4 OM DENNE RAPPORT 4 EFFEKTANALYSE 5 OPBYGNING AF RAPPORTEN 6 DEL 1: OVERORDNEDE RESULTATER

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen 4 Analyse Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen Den seneste tid har budt på studiestart, og først og fremmest skal der lyde et stort velkommen til de nye studerende. Det er ikke sikkert, at

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Eksamen på Økonomistudiet 2009-I. Makro 2. Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00

Eksamen på Økonomistudiet 2009-I. Makro 2. Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00 Eksamen på Økonomistudiet 2009-I Makro 2 2. årsprøve Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00 Der er fokus på at undgå tilfælde af eksamenssnyd I tilfælde af formodet eksamenssnyd,

Læs mere

Som tilsynsførende på Køng Idrætsfriskole har vores opgave været at føre tilsyn med:

Som tilsynsførende på Køng Idrætsfriskole har vores opgave været at føre tilsyn med: Tilsynets opgave Som tilsynsførende på Køng Idrætsfriskole har vores opgave været at føre tilsyn med: 1:Elevernes standpunkt i dansk, regning/matematik, engelsk og idræt. 2: At skolens samlede undervisningstilbud,

Læs mere

K E N D E L S E. i sag nr. 210/04. afsagt den ******************************

K E N D E L S E. i sag nr. 210/04. afsagt den ****************************** 1 REJSE-ANKENÆVNET K E N D E L S E i sag nr. 210/04 afsagt den ****************************** REJSEMÅL: Berlin, 21.5. 23.5.2004 PRIS: KLAGEN ANGÅR: I alt kr. 2.374,- inkl. internetrabat Utilfredsstillende

Læs mere

Erasmus-rapport om udlandsophold Forår12

Erasmus-rapport om udlandsophold Forår12 Erasmus-rapport om udlandsophold Forår12 Titelblad Navn Mark Friis (10512) Email mark-f.r.i.i.s@hotmail.com Semester Forår 2012 Dagens dato 13 August 2012 Spørgsmål: Hvilke faktorer motiverede dig til

Læs mere

Stonehenge i England har måske en længere historie end tidligere antaget

Stonehenge i England har måske en længere historie end tidligere antaget Studiekreds 2015-3 Sidste gang beskæftigede vi os primært med de relativt ny-opdagede (1994) megalit-anlæg i det anatolske område i det sydøstlige Tyrkiet. Selvom anlæggenes akse-orienteringer tydeligvis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009

INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009 Martinus Institut INFORMATONSBREV FRA RÅDET Februar 2009 Kære venner af Martinus-Sagen Det er med stor glæde vi kan konstatere, at antallet af interesserede som bærer vores fælles Sag vokser stille og

Læs mere

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C

Den er et fremragende eksempel på, at 1+1+1 giver langt mere end 3. N. Kochs Skole, Skt. Johannes Allé 4, 8000 Århus C Trøjborg 29. juni 2009 Kære 9. årgang. En tøjklemme. Ja, sådan ser den ud den er blevet lidt gammel og grå lidt angrebet af vejr og vind den er blevet brugt meget. I kender alle sammen tøjklemmer, nogle

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

10 TIPS TIL BEDRE FONDSANSØGNINGER AF STEFFEN GREGERSEN

10 TIPS TIL BEDRE FONDSANSØGNINGER AF STEFFEN GREGERSEN 10 TIPS TIL BEDRE FONDSANSØGNINGER AF STEFFEN GREGERSEN 10 tips til bedre ansøgninger til fonde Forord 3 Tip 1 - Skriv en kort og præcis ansøgning 4 Tip 2 - Søg støtte til et konkret projekt 5 Tip 3 -

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

BILLEDJAGT PÅ FAABORG MUSEUM

BILLEDJAGT PÅ FAABORG MUSEUM BILLEDJAGT PÅ FAABORG MUSEUM Peter Hansen: Kai Nielsen modellerer Mads Rasmussen, 1913 UNDERVISNINGSMATERIALE FOR 4.-6. KLASSE MADS RASMUSSEN OG FAABORG MUSEUM I begyndelsen af 1910 fik konservesfabrikant

Læs mere

902/12. xxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xx xxxx xxxxx. PensionDanmark Langelinie Allé 41 2100 København Ø. k e n d e l s e :

902/12. xxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xx xxxx xxxxx. PensionDanmark Langelinie Allé 41 2100 København Ø. k e n d e l s e : 902/12 Den 5. november 2012 blev i sag nr. 82.161: xxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xx xxxx xxxxx mod PensionDanmark Langelinie Allé 41 2100 København Ø afsagt k e n d e l s e : Forsikrede, der afgik

Læs mere

Jeppe Aakjær 1866-1930 Nanna Aakjær 1874-1962 Solvejg (datter) 1908-2001 Esben (søn) 1911-1958

Jeppe Aakjær 1866-1930 Nanna Aakjær 1874-1962 Solvejg (datter) 1908-2001 Esben (søn) 1911-1958 1 TEMA: REJSER Jeppe Aakjær 1866-1930 Nanna Aakjær 1874-1962 Solvejg (datter) 1908-2001 Esben (søn) 1911-1958 Familien Aakjær rejser meget. I dette hæfte vil du få et lille indblik i hvordan først Jeppe

Læs mere

MEDDELELSE TIL MEDLEMMERNE

MEDDELELSE TIL MEDLEMMERNE EUROPA-PARLAMENTET 2009-2014 Udvalget for Andragender 22.4.2010 MEDDELELSE TIL MEDLEMMERNE Om: Andragende 0026/2005 af Gunther Ettrich, tysk statsborger, om tilbagekaldelse på grund af alder af hans tilladelse

Læs mere

fået den titel? Man kan næsten ikke blive fri for at spekulere på, hvilke tanker Villads Junker senere har gjort sig om sit ordvalg.

fået den titel? Man kan næsten ikke blive fri for at spekulere på, hvilke tanker Villads Junker senere har gjort sig om sit ordvalg. Kære skakkolleger. I kraft af at jeg har kendt Bent Larsen i drengeårene, har Erling Høiberg forespurgt, om jeg med henblik på klubbens hjemmeside ville skrive en personlig erindringsskrivelse om Bents

Læs mere

Nadververs 294 v. 3 Af Talsmand som på jorderige

Nadververs 294 v. 3 Af Talsmand som på jorderige 1 Prædiken i Engesvang 5. s. e. påske 402 Den signede dag 674 v. 1-3 Sov sødt barnlille 674 v. 4-7 Sov sødt barnlille 292 Kærligheds og sandheds Ånd 325 Jeg ved et lille Himmerig Nadververs 294 v. 3 Af

Læs mere

Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv

Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv Fra Valg til Læring potentialer i at skifte perspektiv Randi Boelskifte Skovhus Lektor ved VIA University College Ph.d. studerende ved Uddannelse og Pædagogik, Aarhus Universitet Denne artikel argumenterer

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Der skal være en hensigt med teksten - om tilrettelæggelse og evaluering af elevers skriveproces

Der skal være en hensigt med teksten - om tilrettelæggelse og evaluering af elevers skriveproces Der skal være en hensigt med teksten - om tilrettelæggelse og evaluering af elevers skriveproces Af Bodil Nielsen, Lektor, ph.d., UCC Det er vigtigt at kunne skrive, så man bliver forstået også af læsere,

Læs mere

Introduktion til billeddatabasen

Introduktion til billeddatabasen Introduktion til billeddatabasen Colourbox.dk Colourbox.dk er den billeddatabase som Odense Kommune har købt licens til. Det er vigtigt at bemærke, at der ikke er ubegrænset download af billeder. I materialet

Læs mere

Triumph 2000 MK 2 gennem 17 år.

Triumph 2000 MK 2 gennem 17 år. Triumph 2000 MK 2 gennem 17 år. Af Bernt Pedersen 573. På billedet ses min gamle 2000 MK 2 er som den så ud da jeg solgte den tilbage i 2007. Indkøbt i 1990 for 3500 solgt igen i 2007 for 3500 ---tak for

Læs mere

Overordnet set skelnes der mellem to former for mobilitet: Geografisk og faglig mobilitet.

Overordnet set skelnes der mellem to former for mobilitet: Geografisk og faglig mobilitet. Geografisk mobilitet 1. Indledning En mobil arbejdsstyrke er afgørende for et velfungerende arbejdsmarked. Mobilitet viser sig ved, at den enkelte lønmodtager er villig og i stand til at søge beskæftigelse

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Analyse af Skyggen. Dette eventyr er skrevet af H. C. Andersen, så derfor er det et kunsteventyr. Det er blevet skrevet i 1847.

Analyse af Skyggen. Dette eventyr er skrevet af H. C. Andersen, så derfor er det et kunsteventyr. Det er blevet skrevet i 1847. Analyse af Skyggen Man kan vel godt sige, at jeg har snydt lidt, men jeg har søgt på det, og der står, at Skyggen er et eventyr. Jeg har tænkt meget over det, og jeg er blevet lidt enig, men jeg er stadig

Læs mere

Naturfag i folkeskolen

Naturfag i folkeskolen marts 2011 Naturfag i folkeskolen Resume Unge menneskers interesse for naturfagene har været dalende i de seneste år, og det har betydning for bl.a. søgningen til ingeniøruddannelserne såvel som til læreruddannelsernes

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Sådan består du Prøve i dansk 3

Sådan består du Prøve i dansk 3 Sådan består du Prøve i dansk 3 Denne vejledning skal hjælpe dig med at forberede dig til Prøve i dansk 3. (Danskprøve, højt niveau). Grundlaget for vejledningen er Skapagos erfaringer med elever, der

Læs mere

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen

Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Jobopslag og tanker om jobbet 13 Lærer på et handelsgymnasium Kristian Peter Poulsen Når sommerferien står får døren, kan jeg se tilbage på et ualmindeligt lærerigt år som gymnasielærer. Et år, hvor jeg

Læs mere

Matematik D. Almen forberedelseseksamen. Skriftlig prøve. (4 timer)

Matematik D. Almen forberedelseseksamen. Skriftlig prøve. (4 timer) Matematik D Almen forberedelseseksamen Skriftlig prøve (4 timer) AVU122-MAT/D Torsdag den 24. maj 2012 kl. 9.00-13.00 Olympiske Lege London 2012 Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Stjerner som dig RASMUSANKERSEN. - eksklusiv foredragsholder hos plan4u - 70 200 449 info@plan4u.dk www.plan4u.dk

Stjerner som dig RASMUSANKERSEN. - eksklusiv foredragsholder hos plan4u - 70 200 449 info@plan4u.dk www.plan4u.dk Stjerner som dig Bagsiden af karisma af Rasmus Ankersen I denne klumme forklarer mental coach og forfatter, Rasmus Ankersen dig, hvad du som leder kan lære om motivation af en kenyansk stamme, der siden

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Christian 10. og Genforeningen 1920

Christian 10. og Genforeningen 1920 Historiefaget.dk: Christian 10. og Genforeningen 1920 Christian 10. og Genforeningen 1920 Et af de mest berømte fotos i Danmarkshistorien er uden tvivl billedet af Kong Christian 10. på sin hvide hest,

Læs mere

- stammebeskrivelser ET UNDERVISNINGSMATERIALE FRA

- stammebeskrivelser ET UNDERVISNINGSMATERIALE FRA - stammebeskrivelser ET UNDERVISNINGSMATERIALE FRA Hvid stamme MOTTO: Det er Solgudens vilje, at du skal gøre hvad jeg siger STIKORD: Præster, bestemmer, rige Da Solguden straffede menneskerne, troede

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Vinkelmåling med sekstant

Vinkelmåling med sekstant Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Betydning af elevernes sociale baggrund. Undervisningsministeriet

Betydning af elevernes sociale baggrund. Undervisningsministeriet Betydning af elevernes sociale baggrund Undervisningsministeriet Betydning af elevernes sociale baggrund Pointe 1: Der er flest fagligt svage elever på hf...... 4 Pointe 2: Et fagligt svagt elevgrundlag

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Linseteleskopet. Et billigt alternativ - Unge forskere 2015. Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen

Linseteleskopet. Et billigt alternativ - Unge forskere 2015. Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen Linseteleskopet Et billigt alternativ - Unge forskere 2015 Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen Abstract Formål: Formålet med projektet er at bygge billige linseteleskoper, der ville

Læs mere

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave

Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave LW 014 Strålingsbalance og drivhuseffekt - en afleveringsopgave FORMÅL: At undersøge den aktuelle strålingsbalance for jordoverfladen og relatere den til drivhuseffekten. MÅLING AF KORTBØLGET STRÅLING

Læs mere

Baggrunden, krigen, resultatet

Baggrunden, krigen, resultatet Historisk Bibliotek 1864 Baggrunden, krigen, resultatet ISBN 978-87-992489-1-9 ISBN 978-87-992489-1-9 Thomas Meloni Rønn 9 9 788799 248919 788799 248919 1864 Baggrunden, krigen, resultatet Forlaget Meloni

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Jordens mærkelige følgesvende

Jordens mærkelige følgesvende Jordens mærkelige følgesvende opdagelsen af Jordens første trojanske asteroide Af Tobias Cornelius Hinse, Korea Astronomy and Space Science Institute og René Michelsen Blandt Solsystemets utallige asteroider,

Læs mere

Hvad skal eleverne lære og hvorfor?

Hvad skal eleverne lære og hvorfor? Hvad skal eleverne lære og hvorfor? Af Karina Mathiasen Med indførelse af Folkeskolereformen og udarbejdelse af Folkeskolens nye Fælles Mål er der sat fokus på læring og på elevernes kompetenceudvikling.

Læs mere

Heldigvis har systemet indbygget en hjælp, som man kan benytte, hvis denne vejledning ikke berører det opståede problem.

Heldigvis har systemet indbygget en hjælp, som man kan benytte, hvis denne vejledning ikke berører det opståede problem. Indhold Introduktion...2 Hjælp...2 Office knappen...2 Menulinjen...3 Fast værktøjslinje Hurtig adgang...3 Menupunkter...4 Startside...4 Indsæt...5 Sidelayout...5 Referencer...6 Forsendelser...6 Gennemse...6

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Dansk Sportsdykker Forbund

Dansk Sportsdykker Forbund Dansk Sportsdykker Forbund Teknisk Udvalg Sid Dykketabellen Copyright Dansk Sportsdykker Forbund Indholdsfortegnelse: 1 FORORD... 2 2 INDLEDNING... 3 3 DEFINITION AF GRUNDBEGREBER... 4 4 FORUDSÆTNINGER...

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Amatørfotograf (og sagfører) Anton Pedersen med sit bokskamera

Amatørfotograf (og sagfører) Anton Pedersen med sit bokskamera Amatørfotograf (og sagfører) Anton Pedersen med sit bokskamera Anton Pedersen, sagfører og amatørfotograf Stemningsbilleder med hav og fiskere. På billedet til højre er det fiskere fra Hasle der er på

Læs mere

Ny bog: Ballegaard. Vestjysk politimand bag tysk pigtråd 1944-1945 Lidt om bogens tilblivelse og indhold

Ny bog: Ballegaard. Vestjysk politimand bag tysk pigtråd 1944-1945 Lidt om bogens tilblivelse og indhold Ny bog: Ballegaard. Vestjysk politimand bag tysk pigtråd 1944-1945 Lidt om bogens tilblivelse og indhold Min far, Herluf Ballegaard, og min mor, Elisabeth Hasseriis Ballegaard, har før skrevet til slægtsbladet.

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen har oplyst, at B har været beskikket som statsautoriseret revisor siden den 13. februar 1981.

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen har oplyst, at B har været beskikket som statsautoriseret revisor siden den 13. februar 1981. Den 19. december 2011 blev i sag nr. 28/2011 A mod Statsautoriseret revisor B (advokat C) truffet følgende B e s l u t n i n g : Ved skrivelse af 9. marts 2011 har A klaget over statsautoriseret revisor

Læs mere