Indhold. 1 Indledning Baggrund... 2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2"

Transkript

1 Indhold 1 Indledning Baggrund Elliptisk kurve Gruppeoperationen på E sjove punkter på E Gruppestruktur Polynomier på E Rationelle funktioner Divisorer og Picard-gruppen Endelige kurver Karakteristik 2 og k-rationelle punkter Anvendelse: Kryptologi ElGamal systemet Den Diskrete Logaritme Rigtige Algoritmer Kryptosystem over en elliptisk kurve sikkerheden Resumé: Elliptiske kurver og gruppestrukturen på dem bliver præsenteret. Der gives bevis for gruppestrukturen ved hjælp af divisorer og Picardgruppen. Derefter ses på hvordan kurver kan defineres over endelige legemer. Så præsenteres asymmetrisk kryptografi og det diskrete logaritmeproblem. Endelig diskuteres muligheder, fordele og problemer ved at anvende elliptiske kurvegrupper til dette formål.

2 1 Indledning Elliptiske kurver, som denne rapport handler om, er sjove fordi de berører forskelligartede matematiske emner. I første omgang ligner det og navnet lyder som et geometrisk objekt. Det viser sig så at punkterne på kurven har en interessant indbyrdes struktur, således at emnet får mere at gøre med algebra og gruppeteori. Med gruppestrukturen kommer anvendelsesmulighed indenfor f.eks. talteori og, som vi skal se nogle eksempler på til sidst i rapporten, kryptologi. I del 2 defineres først kurven som objekt, og den algebraiske struktur, gruppestrukturen, præsenteres. Dette er ikke specielt kompliceret, men det er derimod beviset for at gruppen opfører sig som den skal, nemlig som en abelsk gruppe. Dette handler resten af del 2om. Jeg har valgt at holde mig til en simpel version af definitionen på kurven. Det gør det nemmere at følge med i hvad der foregår, og derfor forhåbentlig nemmere at læse end f.eks. (Enge, 1999), hvori der løbende tages højde for diverse besværlige tilfælde. Del 3 præsenterer grundlæggende idéen bag asymmetrisk kryptografi. Derefter lidt om hvordan kryptering kan implementeres ved hjælp af elliptiske kurver, og om hvad fordelen kunne være ved at gøre det. For eksempel kunne det være interessant at finde ud af: - Hvilke kurver giver en sikker kode? - Hvad er det som gør koden sværere at knække end f.eks. en RSA-indkodning af tilsvarende tyngde (størrelsen af den offentlige nøgle kunne være en sammenligning, eller forholdet i størrelse mellem den indkodede og den rå tekst.) 1.1 Baggrund Som datalogistuderende med hang til matematik er det svært at forestille sig et mere behageligt emne at skrive opgave om: En fin matematisk definition, som ender med at kunne bruges til noget så konkret som kryptering af data. Mit svage punkt har været algebraen; det har været min første oplevelse med gruppeteori, og mange af de algebraiske sætninger der i (Enge, 1999) gør gennemgangen hurtigere, gjorde den langsommere for mig. En mere jordnær gennemgang fandt jeg i (Charlap og Robbins, 1988), som er mit faste holdepunkt gennem hele første del af opgaven. Jeg har skrevet opgaven ud fra den måde jeg selv har forstået stoffet, og håber at den vil være læsbar for andre med en lignende baggrund. 2

3 2 Elliptisk kurve En elliptisk kurve E består af de punkter (x, y) som opfylder ligningen y 2 = x 3 + Ax + B (1) Kurven kan afbildes som på figur 1. En sådan tegning giver på sin vis et falsk billede af kurven selvom vi kunne gøre figuren uendelig stor i de retninger hvor kurven fortsætter ud af billedet, ville den kun viser den del som ligger i R 2. Gruppestrukturen afhænger af at alle polynomier har rødder, så det er nødvendigt at udvide det talsystem som indeholder x, y og koefficienterne A og B, til at være et algebraisk lukket legeme. Det nemmeste er at sige at A og B er reelle, og variablene er komplekse tal. På den måde kan vi betragte figur 1 som et reelt billede af kurven, og må acceptere at en del af kurven, nemlig den del som ikke ligger i R 2, er usynlig. 4 4 y 2 y 2 K x K2 K2 K x K2 K4 K4 (a) En ikke-singulær kurve med parametrene A = 2 og B = 2. Polynomiet x 3 2x + 2 har én reel rod, 2. Denne rod gør at (-2,0) ligger på kurven. (b) Denne kurve er singulær: Parametrene A = 3 og B = 2 giver = 0. Kurven har ikke en veldefineret tangent i punktet (1,0) Figur 1: Afbildning i R 2 af nogle elliptiske kurver. For at de beregninger vi skal udføre kommer til at fungere, skal kurven være ikkesingulær. Det betyder, som sædvanligt når man taler om en kurve, at kurven har en veldefineret tangent i ethvert punkt. I praksis betyder det også (og er faktisk ækvivalent med) at polynomiet på højre side af (1) har tre forskellige rødder (af hvilke to af dem gerne må være komplekse, bare de er forskellige). Disse benævnes med ω 1, ω 2 og ω 3 eller bare ω hvis det er ligegyldigt hvilken. For at sikre sig at de er forskellige kan 3

4 man prøve at skrive polynomiet som et produkt. Antag at to af rødderne er ens, f.eks. ω 2 = ω 3. Så er x 3 + Ax + B = (x ω 2 ) 2 (x ω 1 ) = x 3 (ω 1 + 2ω 2 )x 2 + (ω ω 1 ω 2 )x ω 1 ω 2 2 Koefficienten til x 2 er jo nul, så ω 1 = 2ω 2. Ved at sammenligne de andre koefficienter fåes A = ω ω 1 ω 2 = 3ω 2 2 A 3 = 27ω 6 2 B = ω 1 ω 2 2 = 2ω 3 2 B 2 = 4ω 6 2 Til sammen giver de to ligninger længst til højre at 4A 3 = 27B 2 denne ligning er opfyldt hvis kurven er singulær. Tallet = 4A B 2 kaldes kurvens diskriminant, og kan altså bruges til at checke parametrene A og B inden man arbejder med kurven (Charlap og Robbins, 1988). Fra nu af bruges E om kurven givet ved ligning (1), med parametre A og B valgt således at Gruppeoperationen på E Vi skal nu definere en regneoperation som kan bruges på punkter på E. Det skal vise sig at der derved opstår er en gruppestruktur, der gør at vi kan bruge kurven E til en masse ting. Definitionen af gruppestruktur er simpel nok. Følgende definition bruger additiv notation, da det er det vi vil bruge på E. Definition 2.1 (Abelsk gruppe): En mængde G med en tilhørende operator + er en (algebraisk) gruppe hvis den opfylder gruppeaksiomerne: 1. G er lukket: a, b G a + b G 2. G har et nulelement: 0 G G : a G : a + 0 G = 0 G + a = a 3. Alle elementer kan inverteres: a G : ( a) G : a + ( a) = 0 G 4. Operatoren er associativ: a, b, c G : a + (b + c) = (a + b)c Hvis endnu et aksiom gælder, siges G at være en abelsk gruppe. 5. Alle elementer kommuterer a, b G : a + b = b + a 4

5 Operatoren på E defineres i første omgang kan på en geometrisk måde; senere kan vi, ved at regne på punkternes koordinater, se at den samme definition kan bruges generelt (altså også virker på den usynlige del af E). Vi betegner punkter på E med store bogstaver, f.eks. P, Q og R, og bruger notationen P + Q = R når R er det punkt vi kommer hen til ved at lægge P og Q sammen ved hjælp af den nye operator. Idéen er at betragte skæringspunkter mellem kurven og en ret linje, og definere summen af de punkter som ligger på en ret linje til at være nul. Hvis additionen skal være en gruppeoperation skal nul selvfølgelig også være et punkt på kurven. Til dette formål indføres et uendeligt punkt O, som fungerer som nulelement (additiv identitet) for additionen. Man kan forestille sig at alle rette linjer skærer O. På figur 2 kan man se nogle sådanne linjer, og ved at kombinere linjernes ligninger med kurvens ligning kan vi finde formler som gør det muligt at beregne et nyt punkt på kurven altså udføre additionen P + Q, når vi kender koordinaterne til P og Q på kurven. 5

6 4 3 KQ y 2 R S 1 T K2 K x P K1 K2 K3 Q K4 Figur 2: Skæringspunkter mellem kurven med parametrene A = 2 og B = 0 og nogle rette linjer. x 3 2x har tre rødder i R, derfor skærer denne kurve x-aksen tre steder. Betragt figur 2. Se først på den lodrette linje som går gennem punktet Q. Hvis man sætter Q s koordinater til (x q, y q ), og sætter x = x q i ligning (1), får man en andengradsligning i y, så linjen kan kun skære kurven i ét punkt udover Q. Dette punkt, med koordinater (x q, y q ), kalder vi Q, så vi får Q + ( Q) = O. Vi finder altså den additivt inverse til et punkt ved at gange y-koordinaten med 1. Linjen gennem punkterne R, S og T giver at R + S + T = O. Hvis vi kender R = (x r, y r ) og S = (x s, y s ), og kan beregne T = (x t, y t ), kan vi skrive P + Q = T. Vi kan opskrive en ligning for linjen: Hældningen bliver λ = ys yr x s x r, og linjens ligning bliver y = λ(x x r ) + y r (2) Ved at sætte dette udtryk for y ind i kurvens ligning fås et tredjegrads polynomium i x, hvis rødder er skæringspunkternes x-koordinater: f(x) = (λ(x x r ) + y r ) 2 x 3 Ax B (3) Hvis man ganger ud kan man se at koefficienten til x 2 bliver λ 2. Vi kender allerede to rødder i f, nemlig skæringspunkternes x-koordinater x r og x s, og vil finde den tredje, x t. Et polynomium med samme rødder som f er altså g(x) = (x x r )(x x s )(x x t ) = x 3 (x r + x s + x t )x 2 + (x r x s + x s x t + x t x r )x x r x s x t 6

7 Hvis vi ganger g med 1 får vi et polynomium med samme grad, rødder og højeste koefficient (koefficienten til x 3 i f er jo 1) som f. Altså må f = g, og derfor må koefficienterne til x 2 være ens, altså λ 2 = x r + x s + x t. Det giver x t = λ 2 x r x s, og vi kan derpå finde y t ved at sætte x t ind i linjens ligning (2). Linjen mellem P og Q tangerer kurven i P. Vi kan finde linjens hældning ved at differentiere (1), og det bliver λ = 3x p 2 +A 2y p. Hvis vi erstatter R s koordinater med P s (x p, y p ) i polynomiet f fra (3) og differentierer bliver det Med x = x p og λ = 3x 2 p +A 2y p f (x) = 2λ(λ(x x p ) + y p ) 3x 2 A får vi ( ) 3x f 2 p + A (x p ) = 2 y p 3xp 2 A = 0 2y p Vandret tangent i nulpunktet betyder at x p er dobbelt rod i f, så der er altså ikke andre røringspunkter end P og Q. Dette kan opfattes som om at linjen skærer kurven to gange i P, og derfor defineres P + P + Q = O. Når vi har λ kan vi ligesom før uanset hvilken af metoderne vi har brugt til at beregne λ bruge det til at finde den ukendte rod i f, og derefter finde den tilhørende y-koordinat ved at indsætte i linjens ligning, og kan nu beregne P + P = Q og P + Q = P. Definition 2.2 (Additionsformler på E): Lad P 1, P 2 være punkter på E. Det inverse element til P 1 er givet ved P 1 = (x 1, y 1 ) Hvis P 2 = P 1 er P 1 + P 2 = P 1 P 1 = O Ellers udføres additionen P 1 +P 2 ved at beregne P 3, hvis koordinater fremkommer ved følgende formler: y 2 y 1 x 2 x 1 hvis x 2 x 1 λ = 3x1 2+A 2y 1 hvis P 1 = P 2 x 3 = λ 2 x 1 x 2 y 3 = λ(x 3 x 1 ) + y 1 7

8 2.1.1 sjove punkter på E Definitionen af den inverse af et punkt som spejlingen af punktet i x-aksen giver en lidt mere intuitiv forklaring på O som et uendeligt punkt. På figur 2 forbinder en lodret linje Q med Q. Det er ikke svært at se at hvis et punkt Q ligger lidt til højre for Q, vil linjen gennem Q og Q skære kurven i et tredje punkt som ligger langt oppe til højre, og hvis man flytter Q nærmere til Q, vil Q + Q nærme sig O, imens punktets koordinater nærmer sig. Vi kalder af og til et punkt på E for et endeligt punkt for at understrege at det ikke er O det drejer sig om. Tre punkter på kurven har y-koordinat nul, nemlig (0, ω i ) for i = 1, 2, 3. Disse punkter kaldes andenordens punkter, da de er de eneste endelige punkter som opfylder P + P = O. Der er også punkter som har orden 3; det er punkter for hvilke P + P + P = O. Det er de punkter hvor kurven har en vendetangent, så polynomiet f (fra (3) i forrige afsnit) har en tredobbelt rod i punktet. Brown (2001) nævner nogle skægge egenskaber ved disse punkter, og viser at der er ni af dem hvis man tæller O med. Disse vendepunkter kræver dog ikke særbehandling som vi får at se at det er tilfældet for andenordenspunkterne. 2.2 Gruppestruktur Nu har vi en operator så vi kan lægge to punkter på E sammen, men vi har endnu ikke bevist at aksiomerne i definition 2.1 er opfyldt. Ved et nærmere øjekast på definition 2.2 kan vi dog nemt se at det er tilfældet for de fleste af dem: Additionsformlerne er konstrueret så resultatet af additionen ligger på kurven. Punkter kommuterer, kan man se på formlerne. O er identitetselement, og det inverse element til (x, y) er (x, y) Det eneste der mangler for at gøre (E, +) til en abelsk gruppe er altså at bevise at addition er associativ. Beviset for associativitet kan gennemføres ved algebraisk beregning (Stinson (2005) betegner dette bevis som rather messy ), eller ved hjælp af algebraisk geometri. Jeg vil foretrække det sidste. Idéen er at definere en ny type objekter, kaldet divisorer på E. De defineres ved hjælp af de rationelle funktioner på E, og de udgør en gruppe. Derpå kan man vise at en undergruppe af divisorerne, den såkaldte Picard-gruppe, er isomorf med mængden af punkter på E under addition. Dette viser at (E, +) er en gruppe, herunder at gruppeoperationen er associativ. En rationel funktion er en kvotient mellem polynomier, så for at kunne arbejde med rationelle funktioner skal man først definere egenskaber ved polynomier på E. 8

9 2.2.1 Polynomier på E Polynomier på E kan nemt defineres ved hjælp af begreberne om ringe og legemer, og man ville derved få en del gratis viden om dem via sætninger fra abstrakt algebra. Det vælger jeg at lade være med i stedet vil jeg bruge følgende definition, som minder om den fra Charlap og Robbins (1988): Definition 2.3: Et polynomium på E er et polynomium i x og y, med den yderligere information at (x, y) ligger på E, altså at ligning (1): y 2 = x 3 + Ax + B altid gælder. En konsekvens af at (x, y) ligger på kurven er at alle potenser af y højere end 1, kan omskrives ved hjælp af ligning (1). Derved kan alle polynomier skrives på standardformen u(x) + yv(x), hvor u og v er polynomier i x alene. Nu skal graden af polynomium på E defineres. Graden af et almindeligt polynomium, i én variabel, opfylder regnereglerne deg(pq) = deg p + deg q og deg(p + q) max{deg p, deg q}, (4) hvor uligheden kun optræder når p og q har samme grad og højestegradsledene ophæver hinanden fordi de optræder med modsat fortegn i p og q. Samme regler skulle gerne gælde for polynomier på E. Graden af et polynomium ændrer sig selvfølgelig ikke ved omskrivningen til standardform, så y 2 må have samme grad som x 3 + Ax + B. Derfor vedtages: Definition 2.4 (Grad af polynomier på E): For et polynomium p på E betegnes graden ved deg E (p(x, y)).når x og y er polynomier på E, defineres deres grad som: deg E x = 2 og deg E y = 3. Mere generelt bliver deg E (v(x)) = 2 deg v, hvor v er et polynomium i én variabel. For et polynomium på standardform bliver det til deg E p(x, y) = deg E (u(x) + yv(x)) = max{2 deg u, deg v} Bemærk lighedstegn tilsidst: Her kan ikke være ulighed, fordi u(x) og yv(x) kan ikke have samme grad da graden af u(v) er lige og graden af yv(x) er ulige. For at se at definitionen giver opfylder regnereglerne i (4), bruger vi følgende Definition 2.5 (Konjugering og norm af polynomier): For et polynomium p(x, y) = u(x) + yv(x) defineres: p(x, y) = u(x) yv(x) N(p(x, y)) = p(x, y) p(x, y) = u(x) 2 ( x 3 + Ax + B ) v(x) 2 Disse definitioner har nogle egenskaber som vi kan får brug for: 9

10 - Vi så før at når et punkt P = (x p, y p ) ligger på kurven, gør P = (x p, y p ) også. Når p er et polynomium på E bliver altså p(p ) = p( P ) - Normen N(p(x, y)) har den egenskab at den er uafhængig af y. Endvidere er graden af N(p(x, y)), betragtet som et polynomium i én variabel, lig med graden af p(x, y), betragtet som et polynomium på E, hvilket kan ses af definition 2.4 og de almindelige regneregler i (4). Nu ses det let at (4) gælder for vilkårlige polynomier p og q: deg E (pq) = deg(n(pq)) = deg(pq pq) = deg(n(p)) + deg(n(q)) = deg E p + deg E q og, med p(x, y) = u p (x) + yv p (x) og q(x, y) = u q (x) + yv q (x): deg E (p + q) = deg E ((u p + u q )(x) + y(v p + v q )(x)) = max{2 deg(u p + u q ), deg(v p + v q )} max{2 deg u p, deg v p, 2 deg u q, deg v q } = max{deg E p, deg E q} Endelig kan vi se at hvis p(x, y) = 0 for alle (x, y) E, må både u og v være nulpolynomiet; for hvis p altid er nul, må N(p) = p p også være det. Altså må der gælde u 2 = (x 3 + Ax + B)v 2, hvilket kun kan lade sig gøre hvis u = v = 0, da højresiden har ulige grad, og venstresiden lige (som polynomier i x). Heraf følger også at hvis u 1 (x) + yv 1 (x) = u 2 (x) + yv 2 (x) på hele E, så er u 1 = u 2 og v 1 = v 2. Vi har altså at standardformen p = u + yv er entydig Rationelle funktioner En rationel funktion f på E er en funktion som kan skrives f = p/q, hvor p og q er polynomier på E. Bemærk at denne repræsentation af f ikke er entydig; tværtimod kan på samme tid f = r/s når blot at sp = rq. Vi siger at værdien af en funktion f er veldefineret i et punkt P hvis f kan skrives f = p/q på en måde så nævneren q(p ) 0. Hvis p(p ) = 0 er selvfølgelig f(p ) = 0; i dette tilfælde er 1/f så ikke defineret i P, og vi siger at f har en pol i P. I det følgende betyder funktion, hvis ikke andet fremgår, altid rationel funktion på E som ikke er identisk nul. 10

11 Definition 2.6 (Værdien af en funktion i O): defineres på samme måde som grænseværdien af en almindelig rationel funktion af én variabel x, for x gående mod. Hvis f = p/q afhænger f(o) af deg E p og deg E q: 0 hvis deg E p < deg E q f(o) = a/b hvis deg E p = deg E q udefineret hvis deg E p > deg E q, hvor a og b er højestegradskoefficienterne i henholdsvis p og q. I det tilfælde at f er udefineret i O siger vi også at f har en pol i O. Da et polynomium er en rationel funktion hvor nævneren er konstant, og altså har grad nul (f.eks. p = p/1), har alle polynomier en pol i O. Den næste sætning hjælper os til at beskrive poler. Sætning 2.7: I ethvert punkt P på kurven E findes der en funktion g med g(p ) = 0, som opfylder at enhver rationel funktion r på E kan skrives som f = g d s hvor s er en funktion som er veldefineret men ikke nul i P, og d er et helt tal, som er entydigt bestemt ved f og punktet P. Bevis. Lad P = (x p, y p ), f = p/q, og p(x, y) = u(x) + yv(x). Først bemærkes at hvis f er (veldefineret og) forskellig fra nul i P, er den eneste mulighed at sætte d = 0 (da g(p ) = 0 vil g d s blive nul i P hvis d 0). Hvis f har en pol i P, er 1/f nul i P, og hvis 1/f = g d s får man f = g d (1/s), hvor 1/s er veldefineret fordi s 0. I beviset antages derfor at f(p ) = 0 nærmere betegnet at p(p ) = 0 og q(p ) 0. Alt efter hvilket P det drejer sig om deles beviset op i tre dele, nemlig O, andenordens punkter, og alle de almindelige punkter. Først de almindelige punkter: I dette tilfælde p, og får sættes g = x x p. Hvis p(p ) 0 kan vi forlænge brøken p/q med f = N(p) q p, som stadig er veldefineret i P, og hvor tælleren er et polynomium i x. Eftersom p(p ) = 0 må p(p ) p(p ) = 0. Så er x p rod i N(p), så derfor kan tælleren skrives N(p) = g d p, hvor p er et polynomium i x med p (x P ) 0 og så er vi færdige idet f = g d p q p, 11

12 hvor både p, q og p er forskellige fra nul i P. Hvis p(p ) = 0 er u(x p )+y p v(x p ) = u(x p ) y p v(x p ) = 0. Da P ikke er et andenordens punkt er y p 0, og derfor må x p være rod i både u og v. Altså kan vi skrive p(x, y) = (x x p )(u 1 (x) + yu 1 (x)). Kald p 1 = u 1 (x) + yu 1 (x). Hvis p 1 (P ) 0 kan vi sætte d = 1, og i modsat fald kan vi blive ved med at faktorere g ud k gange, indtil enten p k (P ) 0 så er vi færdige, og sætter d = k, eller fordi p k (P ) 0 så vi er tilbage i situationen fra før, med p k q = gd s og derfor f = g k p k q = gd+k s. Graden af u k og v k falder hver gang (som polynomium i x har g grad 1, så u k 1 = gu k deg u k = deg u k 1 1), så det virker for et endeligt k, da graden af u er endelig. Hvis P har orden 2 er x p en af de tre rødder i højresiden af kurvens ligning; lad P = (ω 1, 0). Da p(p ) = u(ω 1 ) + 0 v(ω 1 ) = 0, må altså u(ω 1 ) = 0, så u kan skrives som (x ω 1 )u 1. Da de tre rødder er forskellige er (x ω 2 )(x ω 3 ) forskellig fra nul i P, og vi kan igen forlænge p/q: f = u + yv q = (x ω 1)(x ω 2 )(x ω 3 )u 1 + y(x ω 2 )(x ω 3 )v (x ω 2 )(x ω 3 )q = y2 u 1 + y(x ω 2 )(x ω 3 )v (x ω 2 )(x ω 3 )q ( ) (x ω2 )(x ω 3 )v + yu 1 = y (x ω 2 )(x ω 3 )q Hvis den sidste parentes giver nul i P kan man fortsætte med at trække faktor y ud denne gang ser vi at v(ω 1 ) = 0 så v = (x ω 1 )v 1. Igen kan stopper processen efter endeligt mange gange, da (x ω 1 ) kun kan gå endeligt mange gange op i u og v. Det vil sige at for andenordens P kan vi bruge g = y. Sidste tilfælde P = O. Her sættes g = x/y og d = deg E q deg E p. Da f(o) = 0 er d positiv, ifølge definition 2.6. Nu bliver deg E y d p = 3d + deg E p og deg E x d q = 2d + deg E q. Så er deg E x d q = 2d + deg E q = 2d + d + deg E p = deg E y d p, hvilket ifølge definition 2.6 betyder at x d q/y d p = (x/y) d (p/q) er endelig i O. Så kan vi skrive f på den ønskede form: f = g d ( x y ) d f. 12

13 Entydighed af k: Hvis to funktioner g og g opfylder betingelsen for sætningen i punktet P kan man skrive g = g m s og g = g n s Tilsammen giver det g = (g n s) m s = g mn s m s. Hvis man dividerer med g får man g mn 1 s m s = 1. Hvis man nu antager mn 1 og indsætter punktet P for man 1 = 0 (da g(p ) = 0), en modstrid. Derfor må m = n = 1. Derfor kan enhver funktion f skrives f = g d t = g d s d t Definition 2.8: Entydigheden af d gør at orden af en funktion i et punkt P er veldefineret: Lad f være en funktion og P et punkt på E. Så er ord P (f) = tallet d fra sætning 2.7 Hvis d er positiv siger vi at f har et nulpunkt af orden d i P ; hvis d er negativ har f en pol af orden d i P. Beviset for sætning 2.7 giver en måde at beregne ord O (f) direkte, når bare vi kender en repræsentation af f, hvor graden af tæller og nævner er kendte. Specielt for et polynomium p er ord O (p) = deg E p. Vi kan også beregne ordenen af et produkt: Hvis man skriver to funktioner f 1 og f 2 på den form som benyttes i sætningen, og bagefter ganger dem sammen, ser man at ord P (f 1 f 2 ) = ord P (f 1 ) + ord P (f 2 ). (5) Eksempel 2.9: Betragt l = x x 0 som polynomium på E. l kan have enten et eller to nulpunkter på E et hvis x 0 {ω 1, ω 3, ω 2 } og to for alle andre x 0. Hvis x = ω 1 (wlog) kan l skrives l = y 2 1 (x ω 2 )(x ω 3 ), så ord (ω1,0)(l) = 2. For x 0 ω er l = (x x 0 ) 1 1, dvs. at ord P (l) = 1 når P er et af de to punkter med x-koordinat x 0. l har altså et nulpunkt af orden 2 eller to nulpunkter af orden 1. Uanset værdien af x 0 gælder deg E l = 2, så ord O (l) = 2; l har altså en pol af orden 2 i O. Lemma 2.10: Lad p være et polynomium på E, og R betegne mængden af rødder i p: R = {P E p(p ) = 0}. Så gælder ord P (p) = deg E p P R 13

14 Bevis. Vi ved at N(p) = p p er et polynomium i x af grad ν = deg E p, og kan altså skrives som et produkt af ν faktorer ikke nødvendigvis forskellige af formen (x x i ). Vi så at hver sådan faktor har to nulpunkter af orden 1 eller et enkelt nulpunkt af orden 2. Den samlede orden af nulpunkter for p p er altså 2ν. Men p har nøjagtig lige så mange nulpunkter som p (da p(q) = p( Q), Q E), og den samlede orden af nulpunkterne er også ens for de to ( p(x, y) = p(x, y) medfører at ord (x, y) ( p) = ord (x,y) (p)). Derfor må den samlede orden af nulpunkterne være ν både for p og p. Dette resultat kan udvides til at gælde rationelle funktioner: Sætning 2.11: Når f er en (rationel) funktion på E så gælder ord P (f) = 0 P E Bevis. Hvis f er et polynomium så vi at der gælder ord O (f) = deg E f. Så følger sætningen direkte af lemma 2.10, da orden jo er nul i alle punkter som ikke er nulpunkter. For f = p/q, bemærk at da ord P (1/q) = ord P (q), og så giver ligning (5) P E ord P (p/q) = P E ord P (p) P E ord P (q) = 0. Vi skal bruge to lemmaer mere. De fortæller hvilke rationelle funktioner der i virkeligheden er polynomier, og begge er sammen med deres beviser taget næsten uændret fra Charlap og Robbins (1988). Lemma 2.12: Ethvert ikke-konstant polynomium på E har mindst to enkelte nulpunkter eller et dobbelt nulpunkt. Bevis. Hvis polynomiet ikke er konstant må det indeholde x eller y, og derfor have grad mindst to. Påstanden følger nu direkte fra lemma Lemma 2.13: En funktion f som ikke har andre poler end O, er et polynomium. Den tilsvarende påstand for rationelle funktioner i én variabel at en rationel funktion som ikke har nogen poler, er et polynomium benyttes uden bevis. Bevis. Bemærk at f = p/q kan skrives som f(x, y) = a(x) + yb(x), hvor a og b er rationelle funktioner i x, ved at gange i tæller og nævner med q. Lad f betegne den konjugerede a(x) yb(x). Hvis f er fri for poler (i endelige punkter) må det samme gælde f, og derfor også f + f = 2a(x). a kan altså ikke have en pol, og må derfor være et polynomium. Dette 14

15 medfører så at f a = yb ikke har poler, og dermed at (yb) 2 = (x 3 + Ax + B)b 2 ikke har det. Hvis b har en pol i et punkt x 0 har b 2 en dobbelt pol i x 0. Den eneste måde for (yb) 2 at undgå at få en pol i x 0 vil så være at (x 3 + Ax + B) har en dobbelt rod i x 0 og dette kan kun ske hvis E, imod vores tidligere antagelse, er singulær. Altså må b(x) være fri for poler, og altså er også b et polynomium. Da både a og b således er polynomier i x, er f = a + yb et polynomium på E Divisorer og Picard-gruppen Definition 2.14: For en mængde C betegner den fri abelske gruppe med basis C mængden af endelige linære kombinationer med heltallige koefficienter af elementer i C { } n P P n P Z, n P 0 for endeligt mange P P C med addition defineret på samme måde som for almindelige linære kombinationer: (n P + m P )P. P C n P P + P C m P P = P C Den fri abelske gruppe med basis E kalder vi for divisorerne på E, og bruger betegnelsen D(E). For at kunne se forskel på addition af punkter (som defineret i 2.2) og addition mellem divisorer bruges notationen P til at betegne en divisor som har koefficient 1 til punktet P, og koefficient nul til alle andre punkter. Nulelementet i D er divisoren hvor alle koefficienter er nul, og betegnes 0 D. Definition 2.15: For en divisor D D(E) betegner graden af D størrelsen deg D = P E n P og normen af D defineres D = P O n P. Hver gang vi har en funktion f kan vi nu danne en divisor, som vi kalder δf: δf = P E ord P (f) P Divisorer som er fremkommet på denne måde kaldes funktionelle (eng. principal divisors 1 ). Sætning 2.11 siger at funktionelle divisorer har grad nul. Hvis vi kalder mængden af divisorer med grad nul for D 0 og mængden af funktionelle divisorer for F har 1 funktionelle divisorer er mit eget bud på en oversættelse af det engelske udtryk. Jeg synes principal lyder underligt på dansk, og den direkte oversættelse, hoved-divisorer, endnu værre. Desuden kommer de funktionelle divisorer netop fra funktioner, så jeg synes det giver mening at kalde dem det. 15

16 vi altså F D 0. Det er klart at D 0 er en undergruppe af D, og det samme gælder for F, hvilket følger af regnereglen (5) for ord P af et produkt: δfg = P E ord P (fg) P = P E (ord P (f) + ord P (g)) P = δf + δg (6) Definition 2.16: Den nemmeste måde at definere Picard-gruppen Pic 0 på, er som gruppen af kongruensklasser: Pic 0 = D 0 /F Det giver med det samme anledning til en ækvivalensrelation på D 0, nemlig kongruens modulo F: Relationen defineres ved D 1 D 2 D 1 D 2 F D 1 D 2 er funktionel Definitionen skal forstås på den måde at et element i Pic 0 er en delmængde af D 0 i hvilken alle elementer er ækvivalente mht. relationen. Nulelementet i Pic 0 er F, og for enhver funktionel divisor D gælder D 0 D. At P ic 0 er en gruppe følger, med grundlæggende gruppeteori, af at F D 0. Sammenhængen i (6) mellem multiplikation af funktioner og addition af divisorer gør at vi kan bruge vores viden om polynomier til at vise følgende: Sætning 2.17: For ethvert element D D 0 (E) findes der et entydigt punkt P E så D P O I afsnit 2.1 så vi på forskellige konfigurationer af linjer og deres skæringspunkter med kurven. Nu vil vi betragte en linje som et polynomium l på E, af grad 2 eller 3. Nulpunkterne for l er præcis skæringspunkterne. Vi ved altså at vi, ved hjælp af linjer, kan lave følgende funktionelle divisorer: (i) P + Q + R 3 O for en linje der skærer E i tre punkter (ii) 2 P + Q 3 O for en tangent i P, som skærer kurven i et andet punkt Q. (iii) 2 P 2 O for en lodret linje gennem et andenordens punkt P. (iv) P + P 2 O for en lodret linje gennem P og P. (v) 3 P 3 O, for tangenten i et vendepunkt som de der nævntes i afsnit Teknikken til at bevise sætning 2.17 er at vise at man for enhver divisor med norm større end 1 kan finde en ækvivalent divisor hvis norm er mindre. Dette er et lemma i sig selv: Lemma 2.18 (Linær reduktion): For enhver divisor D 1 D 0 med D 1 > 1 findes der en divisor D 2 D 0 som opfylder D 2 D 1 og med D 2 < D 1. 16

17 Bevis. Lad D 1 = P n P P, og antag D 1 > 1. Vi vil finde L D 0 som er divisor for en ret linje, så den har en af de fem former beskrevet ovenfor, og som kan reducere D 1, dvs. enten D 1 + L < D 1 eller D 1 L < D 1. Der er forskellige tilfælde: Enten er der et punkt P med n P 2. I dette tilfælde vælges divisoren til tangenten i P. Hvis P er et andenordens punkt bliver L = 2 P 2 O, og vi kan reducere normen ved at trække L fra (lægge til hvis n P er negativ). Hvis ikke P er af orden 2, sættes L = 2 P + Q 3 O, og vi kan reducere n P med to mod at gøre n Q (højest) én større. Alt i alt reduceres normen med mindst én. Hvis der ikke findes et n P 2, må der være mindst to punkter P og Q med koefficienter ±1, da normen af D 1 jo er større end 1. Hvis P og Q kan vælges så n P har samme fortegn som n Q, kan vi reducere med L = P + Q + R 3 O. Derved bliver n P = n Q = 0, og n R forøges med højest én, og igen har vi reduceret normen. Hvis endelig D 1 = P Q (koefficienten til O er nul her, da D 1 D 0 ) må vi først lægge Q + Q 2 O, divisoren for en lodret linje gennem Q, til D 1, og så bruge lemmaet på P + Q 2 O, som er ækvivalent med og har samme norm som D 1. Bevis for Bemærk først at hvis D selv er funktionel er D 0 D = O O. Hvis D ikke er funktionel, kan vi benytte lemmaet et endeligt antal gange og få den ønskede form. For at være sikre på at denne repræsentation er entydig, kan vi prøve at antage P O Q O. Så skal P Q være funktionel. Ved at først at trække divisoren for en lodret linje gennem P fra, og derefter lægge divisoren for linjen gennem P og Q til, ser vi at så skal R O være funktionel. Men hvis δf = R O for en rationel funktion f, så har den for det første ingen poler i endelige punkter, og er derfor et polynomium (lemma 2.13) som dernæst ses kun har en rod, hvilket er i modstrid med lemma Konklusionen er at P er entydigt identificeret af D. Det fantastiske ved sætning 2.17 er at det fortæller at der er en bijektion mellem E og Pic 0. Elementerne i Pic 0 er jo netop ækvivalensklasser ved, og sætningen viser at enhver af disse ækvivalensklasser kan identificeres med et entydigt punkt på E. Nu skal vi bare overbevise os om at billedet af addition i Pic 0 er den addition vi definerede i afsnit 2.1. Hvis det er sandt har vi bevist at E og Pic 0 er isomorfe, hvilket til overflod medfører at (E, +) er en gruppe. Vi skal altså bevise Sætning 2.19: Når P, Q og R er punkter på en elliptisk kurve, gælder ( P O ) + ( Q O ) R O P + Q = R Bevis. Divisoren lænst til venstre kan skrives P + Q 2 O. Kald denne divisor for for D. Se på linjen gennem P og Q (eller tangenten i P, hvis P = Q). Hvis vi antager 17

18 P +Q = R, ved vi at R ligger på en linje hvis divisor er L = P + Q + R 3 O. Nu bliver D L = R + O D. Nu kan vi tage den den lodrette linje gennem R. Den har divisor L = R + R 2 O, så ved at lægge den til får vi det ønskede resultat D L + L = R O D. Entydigheden i sætning 2.17 giver så at relationen D R O kun er sand hvis P + Q = R. Beviset virker næsten for simpelt, men det fungerer faktisk i alle tilfælde, hvis man tillader at P, Q og R ikke behøves at være forskellige. Med Q = P fås R = O og D 0 D. 2.3 Endelige kurver Indtil nu har vi behandlet kurven E som et geometrisk objekt i R 2 dog med den krølle at vi har forlangt, og brugt i beviserne, at E er ikke-singulær som kurve i C 2. Nu vil vi prøve at udskifte R i definitionen med et endeligt legeme. Jeg vil ikke give en fuldstændig definition på hvad et endeligt legeme er, men blot gøre opmærksom på de egenskaber vi skal bruge: Definitionen af et legeme minder om definitionen af en gruppe, men med to forskellige operationer, som regel skrives + og. Aksiomerne for et legeme beskriver at begge operationer skal være invertible, og at de skal opføre sig som de plejer. Resultatet er at alt hvad man kan med polynomier i R (gange dem sammen, tælle rødder etc.) kan man også gøre i et legeme. Teorien om legemer siger at der for ethvert legeme k findes en entydig algebraisk afslutning K. Det kræver nogen overvejelse at indse dette, og jeg vil ikke komme nærmere ind på det. Se f.eks. (Hungerford, 1996, afsnit 10). K er altså et legeme, k K, og ethvert polynomium defineret over K har rødder i K. Et legemes karakteristik er det antal gange man skal lægge dets multiplikative identitetselement (1-elementet) sammen med sig selv for at få det additive identitetselement (nulelementet). Et endeligt legeme er simpelthen en endelig mængde for hvilke disse betingelser gælder. Det grundlæggende eksempel på et endeligt legeme er Z p, de hele tal modulo et primtal p. Hvis vi ser på et endeligt legeme k og dets algebraiske afslutning K, kan vi definere en elliptisk kurve over k på samme måde som i (1), ved simpelthen at udskifte R med 18

19 k. Det vil sige lade A, B k og x, y K. De definitioner vi har bliver ved med at virke (med undtagelse af legemer af karakteristik 2 og 3, som har nogle uheldige egenskaber som vi skal se kort på, for derefter at glemme dem igen). Entydigheden af K gør at polynomier med koefficienter i k har entydige rødder i K. Det vil sige at ω 1, ω 2 og ω 3 fortsat er forskellige når k er et legeme og 0. Man kan spørge hvordan den del af definitionen som omhandler tangenlinjen kan blive ved med at virke, når man definerer E over et endeligt legeme. Argumentet for definitionen at polynomiet for tangentlinjens skæring har en dobbelt rod i punktet benytter jo differentiation, og det er ikke ret oplagt hvad dette vil sige i et endeligt legeme. Svaret på dette spørgsmål ligger imidlertid lige for, hvis man lader den sædvanlige definition af den afledede til et polynomium være rent algebraisk: Hvis polynomiet f for eksempel polynomiet for skæringspunkterne, men nu defineret over k har en rod i et punkt x 0, kan det skrives som f(x) = (x x 0 ) m g(x), hvor g er et polynomium som ikke har rod i x 0, og m 1 er et helt tal. Nu kan vi tage den afledede: f (x) = m(x x 0 ) m 1 g(x) + (x x 0 ) m g (x) (7) Da m 1 er andet led (x x 0 ) m g (x) er altid nul for x = x 0. Til gengæld kan mg(x) ikke være nul i x 0, så hvis x 0 er rod i f må det være fordi at (x x 0 ) m 1 bliver nul for x = x 0, og det vil sige at m > 1 (da (x x 0 ) 0 = 1 uanset hvilket x 0 ). Det vil sige at f har en (mindst) dobbelt rod i x 0, hvilket er præcis den konklusion vi var ude efter før. Produktreglen, som benyttes i (7), følger direkte af den algebraiske definition af den afledede for polynomier. (Hungerford, 1996, afsnit 10.5, specielt øvelse 8). Alle de resterende argumenter om polynomier, rødder og rationelle funktioner i afsnit 2.2 gælder uændrede i et ethvert legeme, og det samme gør konklusionen, nemlig at (E, +) er en abelsk gruppe når E er defineret over k Karakteristik 2 og 3 For at indse hvordan det kan være at definitionen bryder sammen i et legeme med karakteristik 2, bemærk at i et sådant legeme er 1+1 = 0. Division med 2 er således det samme som division med nul, og additionsformlerne på side 7 bliver ubrugelige. Faktisk viser det sig at selve definitionen af kurven, inklusive ligning (1) og diskriminanten, bliver anderledes i legemer af karakteristik 2 eller 3. At = 0 er ikke det samme som at der ikke findes andet end 1 og 0 man kan konstruere et såkaldt Galois-legemer F 2 m med 2 m elementer som har karakteristik 2, og som er praktiske at bruge i nogen sammenhænge. I (Enge, 1999) kan man se versioner af definitionerne og de relevante beviser, som gælder for legemer af karakteristik 2 og 3. 19

20 For nu vil jeg gå ud fra at k = Z p hvor p > 3 er et primtal, og så ikke tænke mere på det k-rationelle punkter Punkterne på kurven defineret over k er ligger i K K, da deres koordinaterne er rødder i et polynomium over k. De punkter på E(K) som har koordinater i k som er endelig kaldes for k-rationelle. Mængden af k-rationelle punkter betegnes E(k). Så er det vigtigt at E(k) også er en gruppe, altså lukket under addition: Sætning 2.20: Lad k være et legeme, og E en elliptisk kurve defineret over k. Så er (E(k), +) en gruppe. Dvs. at P, Q E(k) P + Q E(k) Bevis. Lad P = (x 1, y 1 ) og Q = (x 2, y 2 ). Når P, Q E(k), så er x 1, y 1, x 2 og y 2 elementer i k. Da k er et legeme ligger x 3 og y 3 (beregnet med additionsformlerne fra definition 2.2) også i k, og dermed P + Q i E(k). Vi har faktisk allerede set at denne sætning virker, nemlig da vi så på punkter på en elliptisk kurve defineret over R: Hver gang vi har to punkter på E(R) kan vi finde et tredje, som også ligger på E(R), men for at kunne definere kurven og overbevise os om gruppestrukturen, må vi have hele E(C) med. I et endeligt legeme k kan vi altså definere en elliptisk kurve E(k), og får derved en endelig gruppe (E(k), +). I næste afsnit skal vi se et eksempel på hvad endelige grupper kan bruges til. 20

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen

Introduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Fortroligt dokument. Matematisk projekt

Fortroligt dokument. Matematisk projekt Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre?

Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? CAS og folkeskolens matematik muligheder og udfordringer Carl Winsløw winslow@ind.ku.dk http://www.ind.ku.dk/winslow Hvad er CAS? Hvad er algebra? Didaktisk analyse af CAS-brug Hvad kan lærerne gøre? 1

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard

Med udgangspunkt i FIPS-197-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen. Af Mathias Vestergaard Med udgangspunkt i FIPS-97-standarden AES, baseret på Rijndael-algoritmen Af Mathias Vestergaard F O R O R D " " " # # " $ # % '(%) '(%) %* %* +,-.), ) ( " $ 0 2 2 + 3 $ ' {0000} $, AA ) 4555 67 +8 9 :;

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere