i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f"

Transkript

1 Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved vi får en funktin, sm eregnes f g sm kldes den fledede funktin f f. Øvelse A.. Angiv en funktinsfrskrift fr den fledede funktin f, idet f er givet ved: ) f() k (knst.) ) f() + c) f() d) f() 5 e) f() f) f() cs() g) f() ln(3 + 5 ) h) f() sin e Betrgt funktinen g() 3, R. g er differentiel, g den fledede funktin g f g er givet ved: g () 6, R. Hvis vi nu vender tilge til funktinen f() 3, så ser vi, t f g. Den fledede funktin g f g fremkmmer ltså ved t differentiere den flede funktin f f f. Der gælder ltså: ( f ) () 6, R. Almindeligvis skrives f i stedet fr ( f ), så vi hr, t f () 6, R. Funktinen f kldes den delt fledede (eller den nden fledede) f f. Vi ser ltså, t den delt fledede f funktinen 3 er funktinen 6. I lmindelighed hr vi, t hvis den fledede funktin f er differentiel fr lle i et intervl I, så kn vi definere den delt fledede f i dette intervl, g den er givet ved: f ( f ). dy df () Ligesm differentilkvtienten f en funktin kn nføres ved,.lign. i stedet fr f, d d d y d f d f () kn den delt fledede nføres ved:,,.lign. i stedet fr f. d d d Øvelse A. Bestem en funktinsfrskrift fr den delt flede f fr hver f funktinerne i øvelse A.. Husk definitinsmængden fr f. Eksempel A.3. Hvis en il kører ud f en lige vej, så vil fstnden s fr strtpunktet være en funktin f den tid t, s(t) s(t ) sm er gået siden strten. Differenskvtienten ngiver ilens gennemsnitshstighed i t t tidsrummet fr t til t (eller fr t til t ), medens differentilkvtienten s (t ) ngiver hstigheden til tidspunktet t (dvs. s (t ) ngiver, hvd speedmeteret viser til tiden t ). Den fledede funktin s ngiver ltså hstigheden sm funktin f tiden t. Ofte skriver mn v i stedet fr s, ltså: v(t) s (t). Sm eken vil hstigheden f en il fte ændres i løet f en køretur l.. fhængig f, hvilken v(t) v(t ) pedl der trykkes på. Differenskvtienten ngiver gennemsnitsccelertinen i tids- t t rummet fr t til t (eller fr t til t ), medens differentilkvtienten v (t ) ngiver, hvr str en ccelertin ilen hr til tidspunktet t. Vi hr ltså, t: v g v s, g dermed t: s. Accelertinen er ltså den delt fledede f strækningen s egge sm funktin f tiden t. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

2 Appendi : Specielle løsninger til den lgistiske differentilligning y ky(m y) Ifølge sidste del f sætning 3.9 er løsningen til ligningen: y ky(m y), hvr k g M er knstnter, der er frskellige fr, givet ved: M y, hvr c R km + c e Vi vil her i dette ppendi se på løsninger, hvr c <, k <, M < g/eller y > M. Ld s strte med t se på et eksempel: Eksempel A... Funktinen f er givet ved frskriften: Dens grf ser således ud: f() 48,85 e,4 48 y Fig. A.. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

3 Det ses (kntrllér ud fr funktinsfrskriften!!), t f () 48 fr g f () fr ln(,85) grfen fr f hr en ldret symptte med ligningen, 9 dvs. t f () fr 8, 4645 f er ftgende i ] ; 8,4645 [ g i ] 8,4645; [ 8,4645 Hvis vi specielt interesserer s fr den del f grfen, der svrer til, får vi følgende: y Bemærk, t selv m grfen her g kunne ligne grfen fr en knstnt plus en ekspnentielt ftgende funktin, så er der ltså tle m en lgistisk funktin! Fig. A.. Øvelse A... Argumentér fr, t den løsning til differentilligningen: y,4 y (48 y), der går igennem punktet (, 3), er den funktin, der mtles i eksempel A... Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

4 - 8 - Øvelse A..3. Tegn i hvert f følgende tilfælde grfen fr funktinen: f() ) M, k,3, c,3 ) M, k,3, c,3 c) M, k,3, c d) M, k,3, c e) M, k,3, c f) M, k,3, c g) M, k,3, c Kmmentér resultterne. M + c e km Øvelse A..4. ) Bestem den løsning f til differentilligningen: y,8 y (3 y), sm pfylder, t f(5) 8. Tegn grfen fr f. ) Bestem den løsning g til differentilligningen: y,8 y (y + 3), sm pfylder, t g(5) 8. Tegn grfen fr g. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

5 - 8 - Appendi 3: Detljerede eksempler på seprtin f vrile. Eksempel A.3.. Vi vil finde den fuldstændige løsning til ligningen: dy d dy Vi ser, t ligningen er på frmen: h() g(y), hvr h() g g(y) y. d Fr t ruge sætning 5.3 m seprtin f vrile skl vi kræve, t g(y), hvilket i dette tilfælde vil sige: y. Så inden vi går i gng med seprtinen undersøger vi lige, m y (dvs. den knstnte funktin dy y() ) er en løsning til ligningen. Dette ses t være tilfældet, idet fr en knstnt funktin g idet, når y. Vi ved ltså, t y (fr < eller > ) er en løsning. d y Vi frtsætter nu med metden seprtin f vrile: Her skl g(y), dvs. y, sm mtlt frudsættes. D g skl være kntinuert i et intervl J, må det kræves, t g(y) > eller g(y) <, dvs. y > eller y <. Intervllet J er ltså enten R + eller R -. Desuden skl h() være kntinuert i et intervl I. D h() ser vi, t det yderligere må kræves, t < eller >. Krvene fr t nvende metden kn ltså psummeres i: y > eller y < g > eller < (dvs. (y > y < ) ( > < )). Beregningen frløer herefter således: dy y d dy d ln y ln + k, y hvr k R er en vilkårlig knstnt. ln y ln + k Når k gennemløer de reelle tl R, så vil q hvr k e g får dermed, t: q R + g t y q e ln( ) y q vælges, når y >, g ln + k y e k y y e ln e e (sm gså er en knstnt) gennemløe R +. Vi sætter ln y q e. D ln ln( ) ln( ) ses, t y q y q k y q y q vælges, når y <. D q R + q R ses, t løsningen kn smles til: y c, hvr c R + R (c ersttter q g q). Hvis vi endelig husker på, t y er en løsning, g t y c giver y, hvis c, kn lle løsninger smles i urykket: y c, hvr c R, g hvr > eller < sm hermed giver den smlede (fuldstændige) løsning. Bemærk: En sådn smmenskrivning f den fuldstændige løsning er ikke ltid mulig! (Se eksempel 5.6 g eksempel A.3.). Vi vil nu finde den prtikulære løsning, sm går igennem punktet (, ). Vi må d vælge frudsætningen: <, g desuden skl der gælde: c ( ), dvs. c. Den søgte løsning er ltså: f (), <. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

6 - 8 - Bemærk: I dette tilfælde er det ikke nødvendigt med yderligere indskrænkninger, idet f() < fr lle <, g idet urykket kn udregnes fr lle. Men i ndre situtiner, hvr værdien f knstnten kmmer til t spille en rlle fr Dm(f), skl yderligere indskrænkninger i definitinsmængden fretges. (Se eksempel 5.6 g eksempel A.3.). Eksempel A.3.. Vi vil løse differentilligningen y e y sin. D e y er defineret fr lle y R g sin er defineret fr lle R, er der ingen indskrænkning på frhånd i reltin til denne differentilligning. Omskrivningen frløer herefter således: y e y sin dy sin() d y e y dy cs() + k e y cs() + k e hvrf vi får (kntrllér), t: e y cs() k Fr t finde et uryk fr den fuldstændige løsning skl vi nu lt tge ln på egge sidder f lighedstegnet. Men dette kræver, t > (hvilket gså ligger i, t e y > fr lle y). cs() k Et krv fr t kunne finde en løsning er ltså, t cs( ) k > dvs. cs( ) > k. Vi inddeler her i 3 situtiner: ) k, ) k < g c) k <. ) k : Her er løsningsmængden til uligheden cs( ) > k lig med Ø, så der er ingen løsninger. ) k < : Her er løsningsmængden til uligheden cs( ) > k lig med R, hvrmed vi får, t y ln, R cs() k c) k < : Her er løsningsmængden L til uligheden cs( ) > k lig med (kntrllér): {, p Z } L R ] cs (k) + p π;cs (k) + p π[ D definitinsmængden til en løsning til differentilligningen skl være et intervl, ser vi, t y ln, ] cs (k) + p π;cs (k) + p π [ cs() k fr en eller nden heltllig værdi f p (sm i en knkret situtin fstlægges f et punkt, sm løsningen skl gå igennem). Vi vil nu finde den løsning, der går igennem punktet 5π, ). Ved indsættelse f tllene i den venstående ligning får vi:,5 e 5π cs( ) k k ( k, 6653,,5 e 5π hvrmed vi ser, t vi er i situtin c). Fr t få ft i -værdien ser vi, t vi skl ruge p. Den søgte løsning er hermed givet ved (kntrllér!): y ln, ] 4,67 ; 8,557 [ cs() +,6653 Øvelse: Find den løsning, der går igennem punktet (3,.) Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

7 Appendi 4: Rektinskinetik i kemi g tilhørende mtemtiske mdeller. Beskrivelsen f kemiske rektiners hstigheder ygger på mtemtiske discipliner sm ekspnentiel vækst, lgistisk vækst g seprtin f de vrile. Afsnittet hører således ikke nturligt ind under et estemt f gens fsnit, g er derfr nrgt sm et ppendi. Indledning Alle stffer estår f tmer, sm i de fleste tilfælde er gået smmen med ndre tmer g hr dnnet kemiske frindelser. Alle tmer hr en krt enævnelse, sm ruges åde m tmets kerne g m tmet sm helhed, f.eks. O (ilt), H (rint), C (kulstf), P (ly), U (urn) g Ar (rgn). I kemisk smmenhæng er det tmet sm helhed, dvs. inklusiv elektrnerne mkring kernen, der hr interesse, idet det er vi disse elektrnstrukturer, t de kemiske frindelser dnnes. I prksis er de kemiske frindelser fhængig f situtinen enten elektrisk neutrle, g kldes d mlekyler, eller gså er de elektrisk ldede (der er ver- eller underskud f elektrner) g kldes d iner. Men vi vil i det følgende nvende mlekyle eller kemisk frindelse sm en fællesenævnelse g kun ruge rdet in, når det urykkeligt skl fremhæves, t det er en ldet prtikel. Der findes c. 9 frskellige, nturligt frekmmende tmer (der dnner de såkle grundstffer). Når der findes så fntstisk mnge frskellige stffer, så skyldes det disse grundstffers evne til på frskellig måde t gå smmen i kemiske frindelser. Hvis vi f.eks. ser på grundstffet ilt, så vil det sm selvstændigt stf (ren ilt) lmindeligvis dnne mlekyler estående f t ilt-tmer. Fri ilt ptræder derfr lmindeligvis sm mlekylet O. Ilt indgår desuden i et utl f kemiske frindelser, hvrf de mest erømte nk er H O, hvr t rint-tmer g et ilt-tm til smmen dnner et vnd-mlekyle, g CO, hvr et kulstf-tm g t ilt-tmer tilsmmen dnner et kuldiid-mlekyle. Ilt indgår gså i mere kmplekse kemiske frindelser, f.eks. smmen med rint g svvl i frindelsen H SO 4 (sm i vndig pløsning kldes svvlsyre), g smmen med kulstf g rint i frindelsen C 6 H O 6 (glucse/druesukker). Undertiden nføres den kemiske frmel (dvs. det uryk, der eskriver mlekylets smmensætning) på en måde, der hjælper kemikere med t flæse mlekylets struktur/pygning, g dermed de indinger, der indgår imellem tmernes elektrner i mlekylet. F.eks. skrives stffet citrnsyre sm (HOOCCH ) C(OH)(COOH) i stedet fr f.eks. C 6 H 8 O 7. Bemærk nvnet kuldiid fr den kemiske frindelse (fr stffet) CO. Her er der dels nven enævnelsen id fr ilt, idet ilt gså kldes ygen, dels etyder det lille di, t der er t ygen-tmer fr hvert kulstf-tm. O kldes tilsvrende diygen. Mnge f de nturligt frekmmende grundstffer hr et dnsk nvn, sm f.eks. kul, sølv g rint, men de hr lle et interntinlt (ltinsk) nvn. Således enævnes kul, sølv g rint sm hhv. crn, rgentum g hydrgen enævnelser der fte ptræder i nvnene på de kemiske frindelser, hvri de indgår. Kuldiid kldes således gså crndiid, g stffet CO (kulilte) kldes crnmnid, hvr det lille mn står fr mn g etyder, t der kun er ét ilt-tm. Fr yderligere infrmtin henvises til en læreg i kemi. Kemiske rektiner. Når visse stffer (dvs. visse kemiske frindelser) kmmer i kntkt med hinnden, fregår der undertiden en såkl kemisk rektin, hvri der sker en mdnnelse f mlekylerne eller inerne. Ngle rektiner fregår spntnt, medens ndre skl hjælpes på vej f.eks. ved t pløse stfferne i en væske, ved t pvrme stfferne eller ved t tilsætte endnu et stf (en såkl ktlystr) sm fremmer prcessen eller en kmintin f disse ting. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

8 Eksempler på kemiske rektiner er givet ved følgende rektinsskemer: ) H + NO H O + N ) CH 3 COOCH 3 + H O CH 3 COOH + CH 3 OH c) N O 3 NO + NO d) Mg + HCl MgCl + H e) Mg + H + Mg + + H f) H + I HI g) BrO Br + 6 H + 3 Br + 3 H O De stffer, der ptræder på venstre side f pilene i rektinsskemerne, kldes rektnterne, g de stffer der ptræder på højre side f pilene, kldes rektinsprdukterne. Bemærk, t lle rektinerne er fstemte, dvs. t ntllet f tmer f de frskellige indgående grundstffer er ens før g efter rektinen, smt t nettldningen før g efter rektinen er den smme. (Kntrllér!). Ad ): Denne rektin skl fregå ved en ret høj tempertur (mkring 8 C). Her mdnnes t hydrgenmlekyler g t nitrgenmnid-mlekyler til t vnd-mlekyler g et nitrgenmlekyle. Ad ): I denne rektin spltes et methylcett-mlekyle (CH 3 COOCH 3 ) ved rektin med vnd i t ndre mlekyler. (En sådn spltningsprces ved ptgelse f vnd kldes en hydrlyse). Ad c): I denne rektin spltes mlekylet N O 3 i de t mindre mlekyler NO g NO. Der er ltså her kun ét stf på venstre side f rektinspilen, dvs. kun én rektnt. Ad d): I denne rektin pløses et metl (her mgnesium Mg) i en syre (her sltsyre HCl), hvrved der dnnes rint (H ) g et såkl slt (hér MgCl ) Ad e): Denne rektin er reelt set den smme sm d), idet sltsyren er en vndig pløsning f gssen hydrgenchlrid HCl, g i denne pløsning er HCl spltet (HCl H + + Cl ) i såkle iner: en rint-in H + (der gså kldes en hydrn) g en chlrid-in Cl. Det lille plus ved rintinen H + indikerer, t der mngler en elektrn, hvrmed vi får en psitivt ldet in, g det lille minus ved Cl indikerer, t der er en ekstr elektrn tilstede, hvrmed vi får en negtivt ldet in. De t plusser ved Mg + indikerer, t der mngler t elektrner mkring kernen i mgnesium-inen. Rektinen estår således i, t t rint-iner hver stjæler en elektrn fr mgnesium, hvrved den delt-psitive mgnesium-in Mg + fremkmmer, smtidig med t der dnnes rintmlekylet H. Vi ser således, t chlrid-inerne reelt ikke indgår i rektinen, hvilket stemmer fint verens med, t sltet MgCl i den vndige pløsning er spltet i en mgnesium-in Mg + g t chlrid-iner Cl. Ad f): Denne rektin skl gså fregå ved en ret høj tempertur (4-8 C). Det interessnte ved denne rektin er, t efterhånden sm prcessen frløer, g der dnnes mere g mere hydrgenidid (HI), kn rektinen gå den mdstte vej, ltså HI + HI H + I. Vi siger, t rektinen er reversiel. På et tidspunkt vil den hstighed, hvrmed de t mdst rettede rektiner fregår, være den smme. Kncentrtinerne f de frskellige stffer vil herefter ikke ændre sig, g vi siger, t der hr indstillet sig, t der er pnået eller, t der er inrå en kemisk ligevægt. Mnge ndre rektiner (i reliteten de fleste) er gså reversile. Men tidspunktet (kncentrtinen f stfferne), hvr der frekmmer ligevægt, kn være frsku mere eller mindre til den ene f siderne i rektinsskemet. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

9 Rektiner, der ikke kn frløe den mdstte vej, siges t være irreversile. (Rektinen i d) er et eksempel herpå). Rektiner, hvr der først frekmmer ligevægt, når kncentrtinerne f rektnterne er meget lvere end strtkncentrtinerne, kn i prksis g i mdelsmmenhænge pfttes sm irreversile. (Mn siger krt, t ligevægten d er frsku lngt md højre ), Ad g): Dette er et eksempel på en rektin med mere end t rektnter. Rektinen er pskrevet efter smme princip sm rektinen i e), hvr kun de i rektinen indgående iner nføres. Rektinen fregår, når vi hr kliumrmt g kliumrmid i en såkl sur pløsning (i en syre). Undertiden ruges enævnelsen kemisk prces synnymt med kemisk rektin. Men fte enyttes enævnelsen kemisk prces til t eskrive den kemiske mdnnelse, der lt i lt på et givet tidspunkt fregår i det eksperiment, i den prduktin sv., sm mn knkret tler m, medens den kemiske rektin står fr, hvd der sker på mlekylært niveu. Rektinshstighed generelle frhld. Der er meget str frskel på, hvr hurtigt frskellige kemiske rektiner fregår. Og fr en given kemisk prces fhænger rektinshstigheden f en række frskellige fktrer, idet det følgende spiller en rlle fr, hvr hurtigt prcessen/rektinen frløer: kncentrtinerne f rektnterne temperturen, sm prcessen fregår ved de kemiske stffer selv de kemiske stffers tilstndsfrm (fst, flydende, gs) g dermed deres verflderel tilstedeværelse f eventuelle ktlystrer eller inhiitrer (dvs. stffer, der hhv. øger eller mindsker rektinens hstighed uden selv t live frrugt i prcessen). Vi vil i denne tekst kun se på kncentrtinernes etydning. Alle de øvrige fktrer indgår i den såkle hstighedsknstnt k (se senere). Vi vil ltså ntge, t vi ser på en kemisk prces, hvr temperturen, eventuelle ktlystrer sv. er ken g fsthl g disse frhld fører til en given værdi f hstighedsknstnten. Det er f str etydning t kende et uryk fr, hvrdn givne rektiner udvikler sig efterhånden sm tiden går. Dette gælder f.eks. i lrtriefrsøg, hvr diverse prcesser skl testes mm., g i den kemiske prduktin/industri, hvr disse rektiner indgår. Men det gælder gså i mere dgligdgs prcesser sm f.eks. t ruste, t irre, t størkne, smt i ilgisk/medicinske prcesser sm t live slræn, lkhlfrrænding g ndre kemiske energimdnnelse i rgnismer, mdnnelse f medicin, hvr kncentrtinen f de tilgeværende kemiske stffer i rgnismen følges, sv. Hvis mn ved, hvrdn rektinshstigheden udvikler sig med tiden, kn mn til et vilkårligt tidspunkt eregne, hvd kncentrtinen f de i rektinen indgående stffer vil være. Det frudsætter nturligvis, t mn gså kender strtværdien f kncentrtinen f disse stffer (eller mere præcist: deres værdi til et givet tidspunkt). Det ville derfr være fristende t frsøge t pstille en mdel fr rektinshstigheden sm funktin f tiden efter smme principper, sm f.eks. nvendes ved pstilling f en mdel fr rdiktivt henfld eller en gærcelleppultins vækst. Ld s nlysere situtinen, g strte med t se på en simpel rektin, hvr stf A g B regerer g fører til stf C g D, ltså: A + B C + D Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

10 Et mål fr, hvr hurtigt denne rektin udvikler sig, må være den hstighed hvrmed kncentrtinen f A ændres (eller den hstighed hvrmed kncentrtinen f B ændres, sv.). Så rektinshstigheden v er givet ved: d[ A ](t) d[ A] v(t) eller krt: v(t) hvr [ A ](t) etyder kncentrtinen f stffet A til tiden t (g når t er underfrstået skrives der lt: [ A ]), g hvr minusset meges, idet vi ønsker en psitiv rektinshstighed (kncentrtinen f A liver mindre, hvrmed differentilkvtienten er negtiv). Hver gng der frruges et A-mlekyle, frruges der gså et B-mlekyle (en sådn rektin kldes en :-rektin (læses: en-til-en -rektin)). Og hver gng dnnes der et C-mlekyle g et D- mlekyle. Rektinshstigheden fr den mtlte prces kn derfr ngives ved (vervej!!) d[ A] d[ B] d[ C] d[ D] v(t) hvilket er væsentligt t vide, hvis mn vil måle på rektinshstigheden, idet mn d vælger det stf, hvis kncentrtin er nemmest t estemme. (Hvrdn kncentrtiner g rektinshstigheder måles fhænger meget f den knkrete situtin. Der henvises til en læreg i kemi!). Øvelse A.4.. Argumentér fr, t hvis vi ser på en prces f typen: A + 3B 4C + D, så er rektinshstigheden v givet ved: d[ A] d[ B] d v(t) [ C] d [ D] 3 4 Kmmentér dette resultt g dets etydning fr måling f rektinshstigheder. Vi vil nu frtsætte med t prøve t rgumentere s frem til et uryk fr rektinshstigheden fr prcessen: A + B C (+ D +...) Bemærk, t ntllet f rektinsprdukter er uden etydning fr den følgende rgumenttin. Derfr står + D +... i prentes: Rektinshstigheden må fhænge f rektnternes kncentrtiner (dvs. ntl mlekyler pr. cm 3 ), idet vi må frvente, t ntllet f rektiner pr. tidsenhed vil vkse, når kncentrtinerne frøges. Fr t en rektin f den mtlte type kn fregå, skl et mlekyle f type A støde smmen med et mlekyle f type B, hvrved der rydes en eller flere indinger i de kemiske frindelser g dnnes en eller flere nye indinger, hvrmed der skes nye mlekyler eller iner. Hvis vi etrgter en estemt cm 3 f en given pløsning eller lnding f de t stffer, så vil sndsynligheden pr. tidsenhed (P R ) fr en rektin her indenfr være prprtinl med sndsynligheden S AB fr t træffe et A-mlekyle g et B-mlekyle i den pågældende cm 3. D tilstedeværelsen f et A-mlekyle er ufhængigt f tilstedeværelsen f et B-mlekyle, vil S AB være lig med SA SB, hvr S A (hhv. S B ) er sndsynligheden fr t træffe et A-mlekyle (hhv. et B-mlekyle) indenfr den givne cm 3. Idet rektinshstigheden v er prprtinl med P R, medens S A g S B er prprtinl med kncentrtinerne f A hhv. B, dvs. med [ A ] g [ B ], får vi i lt, t v er prprtinl med [ A] [ B ], dvs. t der findes en knstnt k, så: v k[ A] [ B ]. D v [ A ] (t) ville vi få differentilligningen: [ A ] (t) k[ A] [ B ], sm vi kunne løse, g prlemet ville dermed strt set være løst. Den smme rgumenttin ville fr rektinen A + B + C D +... føre til hstighedsurykket: v k[ A] [ B] [ C ] Og så fremdeles ved eventuelt flere rektnter. Men desværre! Sådn ser verden ikke ud. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

11 Hvis vi f.eks. ser på prcessen: H + NO H O + ½N (eller mere krrekt: H + NO H O + N ), så viser det sig ved frskellige målinger, t der gælder følgende uryk fr rektinshstigheden: v k[ H ] [ NO ] hvilket ikke på ngen måde stemmer med den verfr freslåede udledning f et uryk fr v. Vi skulle d enten hve hft: v k[ H ] [ NO ] eller evt. v k[ H ] [ NO ] (Overvej dette!) Pinten er, t en rektin sm H + NO H O + ½N (eller: H + NO H O + N ) viser sig t være en såkl ruttrektin (dvs. det smlede resultt f en række del-rktiner ). Ifølge den kemiske littertur er rektinen i virkeligheden pdelt i tre del-rektiner: Trin : NO + H NOH Trin : NOH + NO N + H O Trin 3: H O + H H O hvilket giver ruttresulttet: H + NO H O + N (Kntrllér!) En sådn serie f delrektiner, der lt i lt eskriver en given ruttrektin, kldes en rektinsmeknisme fr ruttrektinen, delrektinerne kldes elementrrektiner fr rektinsmeknismen, g de stffer der dnnes g mdnnes igen undervejs i rektinsmeknismen (det vil i den venstående rektinsmeknisme sige NOH g H O ) kldes mellemprdukter. Den venfr nførte rgumenttin fr hstigheden f en rektin f typen A + B C (+ D..) gælder fr de enkelte elementrrektiner (når der er tle m en fuldstændig lnding f rektnterne, så de kn kmme i kntkt g dermed regere). Fr trin gælder der ltså: v k [ NO] [ H ], fr trin gælder der: v k [ NOH ] [ ] trin 3 gælder der: v 3 k 3 [ HO ] [ H ] NO g fr Nu frhlder det sig således, t de enkelte elementrrektiner ikke frløer lige hurtigt (ngle stffer er mere rektinsvillige end ndre stffer g denne villighed fhænger gså f, hvilke ndre stffer det er, mn frsøger t få et givet stf til t regere med). Det er dermed klrt, t det er den lngsmste elementrrektin, der er fgørende fr, hvr hurtig den smlede rektinsmeknisme (g dermed den smlede ruttrektin) frløer. I den venstående rektinsmeknisme er det rektinen i trin, der er den lngsmste. Dermed er trin g trin med til t estemme hstighedsurykket fr ruttrektinen, hvrimd trin 3 frløer så hurtigt, t det ingen indflydelse får på det smlede hstighedsuryk (mellemprduktet H O frruges strks reltivt set efter t det er levet dnnet). (Overvej dette!). D rektinen i trin er den lngsmste, er rektinshstigheden v fr ruttrektinen prprtinl med v, dvs. der findes en knstnt c, så v c k [ NOH ] [ NO ]. Kncentrtinen f mellemprduktet NOH er prprtinl med kncentrtinerne f NO g H. (Dette skyldes, t trin er hurtigere end trin, hvrmed der reltivt hurtigt pnås g løende prethldes en kemisk ligevægt fr denne rektin). Der findes derfr en knstnt d, så [ NOH ] d[ ] v k[ H ] [ NO ] (hvr k cdk ), hvilket er det målte hstighedsuryk. NO [ H ]. Urykket fr v liver dermed til: Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

12 Eksempel A.4.. Hvis vi ser på rektinen: CH 3 COOCH 3 + H O CH 3 COOH + CH 3 OH, så kn mn i den kemiske littertur læse, t hstighedsurykket er givet ved: v k [CH 3 COOCH 3 ] [H O]. Dette stemmer j fint med den prindeligt fremstte idé til rgumenttin fr et hstighedsuryk fr en given rektin, så her fås det ventede uryk. Det viser sig imidlertid, hvis mn måler g nlyserer kemisk på rektinen, t der er tle m en ret kmpliceret rektinsmeknisme på fem trin, g t det lt ved en tilfældighed giver det mtlte frventede hstighedsuryk. Rektinsmeknismen fr ruttrektinen: CH 3 COOCH 3 + H O CH 3 COOH + CH 3 OH er: Trin : CH 3 COOCH 3 + H + CH 3 C(OH + )OCH 3 Trin : CH 3 C(OH + )OCH 3 + H O CH 3 C(OH)(OH + )OCH 3 Trin 3: CH 3 C(OH)(OH + )OCH 3 CH 3 C(OH) O + (H)CH 3 Trin 4: CH 3 C(OH) O + (H)CH 3 CH 3 C + (OH) + CH 3 OH Trin 5: CH 3 C + (OH) CH 3 COOH + H + hvr trin er den lngsmste g dermed den hstighedsestemmende rektin. (Tegnet etyder, t der ptræder såkle deltindinger). Vi vil dg ikke gå dyere ind i sgen her. Eksempel A.4.3. ) Bruttrektinen: I + S O 8 I + SO 4 v k [I ] [ S O 8 ] g følgende rektinsmeknisme (hvr trin er det lngsmste): Trin : I 3 + S O 8 IS O 8 3 Trin : IS O 8 SO 4 + I + Trin 3: I + + I I hr følgende hstighedsuryk: Vi ser, t hstighedsurykket fr ruttrektinen stemmer verens med hstighedsurykket fr den første elementrrektin, men derimd ikke med urykket v k [I ] [ S O 8 ], sm mn ville få ifølge det venfr mtlte frsøg på t rgumentere fr hstigheden (vervej!). ) Bruttrektinen: S O 3 + H 3 O + S + SO + 3 H O hr følgende hstighedsuryk: v k [ S O 3 - ] g følgende rektinsmeknisme (hvr trin er det lngsmste): Trin : S O 3 + H 3 O + HS O 3 + H O Trin : HS O 3 HSO 3 + S Trin 3: HSO 3 + H 3 O + SO + H O så rektnten H 3 O + ptræder slet ikke i hstighedsurykket. Ngle rektiner giver ikke så pæne hstighedsuryk sm de venfr mtlte. Dette skyldes l.., t rektnterne i den/de lngsmste elementrrektiner ikke står i et simpelt ntlsmæssigt frhld til rektnterne i ruttprcessen, g t ngle f elementrrektinerne er reversile g smtidig må vente på den lngsmste elementrrektin, hvilket i lt påvirker rektinshstigheden. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

13 Eksempel A.4.4. Ifølge den kemiske littertur gælder der (tilsyneldende) l.. følgende: 3 / ) Hstighedsurykket fr rektinen: CO + Cl COCl er givet ved: v k [ CO] [ Cl ] 3/ [ H ] [ Br ] ) Hstighedsurykket fr rektinen: H + Br HBr er givet ved: v k [ Br ] + c [ HBr] hvr k g c er knstnter. c) Hstighedsurykket fr rektinen: N O N + O er givet ved: v hvr k g c er knstnter. d) Hstighedsurykket fr rektinen: [ ] [ + ] BrO v k 3 H [ Br ] BrO 3 + k + [ NO] c [ O ] 5 Br + 6 H + 3 Br + 3 H O er givet ved: Bemærk i øvrigt vedrørende denne prces, t hvis det venstående frsøg på t rgumentere fr rektinshstigheden ud fr ruttrektinen skulle være krrekt, så skulle vi hér se på sndsynligheden fr t prtikler støder smmen smtidigt g regerer med hinnden. Dette må etrgtes sm helt usndsynligt, hvrmed rektinen ikke ville kunne frløe men det gør den. Og det skyldes sm nævnt, t ruttrektinen fregår i flere trin i en rektinsmeknisme, sm i lt giver den mtlte ruttrektin. Vi vil dg ikke kmme yderligere ind på emnet her. Det er f såvel teretiske sm prktiske årsger vigtigt t kende rektinsmeknismen g dermed elementrrektinerne. I industrielle smmenhænge mm. kn mn derefter l.. lede efter ktlystrer, sm kn øge hstigheden f prcessen eller efter inhiitrer, sm kn sænke hstigheden f prcessen, fhængig f hvd mn ønsker. (Overvej dette nærmere!) Og hvis mn kender rektinsmeknismen, kn mn sm vist venfr fte finde et uryk fr hstigheden f ruttrektinen g ud fr dette kn mn d mtemtisk vej estemme udviklingen i kncentrtinen f rektnter eller rektinsprdukter, hvilket sm tidligere nævnt er vigtigt. Prlemet er re, t mn i mnge tilfælde ikke kender (eller kene) rektinsmeknismen. Situtinen vendes derfr på hvedet, idet mn ved hjælp f en række frskellige målemetder frsøger t estemme et uryk fr ruttrektinens hstighed, g på ggrund f dette g nden viden m de knkrete prcesser giver et kvlificeret ud på, hvrdn rektinsmeknismen kn tænkes t se ud, så den l.. giver det eksperimentelt fundne hstighedsuryk. Imidlertid kn der fte tænkes flere frskellige mulige rektinsmeknismer, sm kn frklre den smme ruttrektin g det hertil hørende hstighedsuryk. Det er derfr lt i lt en kmpliceret ffære t finde en krrekt rektinsmeknisme, g der skl fte flere frskellige målinger g målingstyper mm. til t fgøre sgen. Rektinshstighed g rektinsrden. Ld s strte med igen t fstslå, t hstighedsurykket fr en given (rutt)rektin estemmes eksperimentelt det kn ikke flæses ud fr rektinsskemet. Vi vil nu pstille ngle mdeller fr, hvrdn visse fte frekmmende hstighedsuryk kn føre til en eskrivelse f udviklingen f kncentrtinen f en f rektnterne eller rektinsprdukterne. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

14 - 9 - Hvis vi ved målinger (ltså eksperimentel estemmelse) finder, t udviklingen i kncentrtinen følger en f disse mdeller, giver det grundlg fr t ntge, t rektinen med str sndsynlighed følger det hstighedsuryk, der ligger til grund fr mdellen. (Omtles flere gnge i det følgende). I mnge prcesser kn rektinshstigheden v eskrives ved et uryk på følgende frm: ) Hvis der én rektnt A, så er: v k[ ] n A ) Hvis der t rektnter A g B, så er: v k[ A] n [ B ] m [ ] m [ C ] p c) Hvis der er tre rektnter A, B g C, så er: v k[ A] n B hvr n, m g p enten er eller et lille helt tl (lmindeligvis, eller 3). Tllet n kldes rdenen f rektinen med hensyn til rektnten A, tllet m kldes rdenen f rektinen med hensyn til rektnten B, g tllet p kldes rdenen f rektinen med hensyn til rektnten C. Størrelsen k er sm tidligere mtlt hstighedsknstnten fr den givne prces. I rektinerne ) g c) kldes summen f rektnternes rden fr den smlede rektins rden. I ) ser vi ltså på en prces f rden n + m, g i c) ser vi på en prces f rden n + m + p. I den følgende mtemtiske eskrivelse vil vi indskrænke s til t se på sådnne prcesser, hvr den smlede rden er,, eller 3. (Dette er dg ikke ngen str indskrænkning, d der ikke findes særligt mnge prcesser f fjerde eller højere rden). Eksempel A.4.5. ) I.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k. Hstigheden er ltså knstnt, dvs. ufhængig f rektnternes kncentrtin. Sådnne rektiner frekmmer fte, hvr der er pldsprlemer, så rektnterne ikke kn nå hinnden. Dette kn f.eks. frekmme, hvis den ene rektnt A er i en metlverflde g den nden rektnt B er i en væske eller en gs, sm er i erøring med metlverflden. Fr et vist niveu i prcessen er metlverflden dækket f B-rektnter, g selvm vi øger kncentrtinen herf, ændrer det ikke på rektinens hstighed. Et ndet eksempel er, hvr rektinen kun kn fregå v.hj.. en ktlystr. Hvis denne ktlystr kun findes i en egrænset mængde, vil der højst kunne fregå en vis mængde prcesser pr. tidsenhed, unset hvr meget vi øger kncentrtinen f ndre rektnter, idet lle ktlystrens mlekyler er ptget. ) I.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k[ A ] Et eksempel på en.rdens rektin ses i eksempel A.4.3 ). Et ndet eksempel findes i følgende rektin: NO5 4 NO + O, hvr der gælder, t v k [ ] N O 5 c) I.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k[ A] [ B ] eller v k[ A ] (Der er selvfølgelig gså muligheden v k[ B ], hvis der indgår mere en én rektnt i prcessen. Men den er principielt det smme sm v k[ A ], idet det kun er et spørgsmål m nvngivning f rektnterne i den generelle prces hvd kldes A g hvd kldes B). Eksempler på.rdens rektiner findes i eksempel A.4. g eksempel A.4.3 ). Et ndet eksempel findes i følgende rektin: NO + CO NO + CO, hvr der gælder, t v k [ NO ] [ CO] k [ NO ] Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

15 - 9 - d) I 3.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k[ A] [ B] [ C ], v k[ A] [ B ] eller v k[ ] 3 A (g hermed symmetriske uryk). Et eksempel på en 3.rdens rektin er: H NO HO+ N +, hvr v k [ H ] [ ] NO Inden vi går i gng med den mtemtiske eskrivelse, skl det lige mtles, t kncentrtiner måles i enheden stfmængde (dvs. ntl mlekyler eller iner) pr. rumfngsenhed. Her er det lmindeligt t ngive stfmængden v.hj.. enheden ml, sm svrer til 6,4 3 mlekyler (egrundelse: se i en kemig), medens der sm rumfngsenhed nvendes enheden liter (L). Enheden ml/l (ml pr. liter) kldes mlær g skrives krt M. Kncentrtinerne måles ltså i M. Rektinshstigheden måles dermed i M/s, dvs. mlær pr. sekund (vervej). Vi ser desuden, t hstighedsknstnten k måles i frskellige enheder, fhængig f rdenen fr rektinen, idet der gælder følgende m hstighedsknstntens enhed (vervej!): I en.rdens rektin er enheden fr hstighedsknstnten: M/s I en.rdens rektin er enheden fr hstighedsknstnten: /s s I en.rdens rektin er enheden fr hstighedsknstnten: s M s M I en 3.rdens rektin er enheden fr hstighedsknstnten: s M s M Mtemtisk mdel fr en.rdens rektin. I.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k. Rektinshstigheden er ltså knstnt lig med k, dvs. vi får: [ ] d A (t) k [ ] d A (t) k [ A ](t) k t + c hvr c er en knstnt. Ved t sætte tiden lig med ses, t c [ ] [ A] etegnelsen [ A ] fr egyndelseskncentrtinen f rektnten A. Vi får dermed i lt: [ A ](t) k t + [ A] Mdel fr.rdens rektin A (), hvr vi hr indført I en.rdens rektin er kncentrtinen ltså en lineært ftgende funktin f tiden. Hvis vi måler kncentrtin f A til en række frskellige tidspunkter g fsætter disse målinger i et ( t, [ A ](t )) - krdintsystem, g hvis grfen her giver en ftgende ret linie, så kn vi med str sndsynlighed knkludere, t rektinen er f.te rden (med hensyn til rektnten A). Hstighedsknstnten k er den numeriske værdi f liniens hældning. Mtemtisk mdel fr en.rdens rektin. I.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k[ A ]. Rektinshstigheden er ltså prprtinl med den ktuelle værdi f kncentrtinen f A, dvs. vi får: Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

16 - 9 - [ ] [ ] d A (t) d A (t) kt k[ A ](t ) k[ A ](t ) [ A]( t) ce hvr c er en knstnt (i sidste mskrivning hr vi nven sætning 3.). A () A. Vi får d: Knstnten c findes ved t indsætte tiden t, hvilket giver s: c [ ] [ A ]( t k t ) [ A ] e Mdel fr.rdens rektin I en.rdens rektin er kncentrtinen ltså en ekspnentielt ftgende funktin f tiden. Vi kn derfr undersøge, m en given rektin er f. rden med hensyn til rektnten A ved t fsætte eksperimentelle (dvs. en række målte værdier f tiden t g kncentrtinen [ A ](t)) i et enkeltlgritmisk krdintsystem g så se m det giver en ret linie. Det kn imidlertid edre etle sig t fsætte punkterne ( t, ln[ A] ) i et lmindeligt krdintsystem, g så se m det giver en ret linie. Der gælder nemlig, t [ A]( t) [ A] e k t ln[ A]( t) ln[ A] k t Hvis vi får en ret linie ved t fsætte punkterne ( t, ln[ A] ) i et lmindeligt krdintsystem, så får vi derfr dels, t der med str sndsynlighed er tle m en.rdens rektin (med hensyn til A), dels t hstighedsknstnten k er den numeriske værdi f liniens hældning. [ ] Mtemtisk mdel fr en.rdens rektin simpelt tilfælde. I.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k[ A] [ B ] eller v k[ A ]. I første mgng vil vi se på det simple tilfælde, dvs. v k[ A ]. Rektinshstigheden er ltså prprtinl med kvdrtet på den ktuelle værdi f kncentrtinen f A, dvs. vi får: d[ A ](t) k ([ ](t) ) d A (t) A k ([ A ](t) ) Fr simpelheds skyld sætter vi y [ A ] (eller mere krrekt: y(t) [ A ](t ) ). dy Vi skl ltså løse differentilligningen: k y Hertil nvendes metden seprtin f de vrile (se kpitel 5): [ ] dy k y dy k kt + c kt + q y y y hvr c g q er knstnter (q c). q findes ved t sætte t, hvrmed vi får: q, hvr y er kncentrtinen til tiden. y() y D q >, d k > (idet v >, d prcessen ellers ikke ville frløe), g d t, ser vi i lt, t: kt + q > fr lle værdier f t. Vi kn derfr islere y i den venstående ligning: [ A] kt + q y [ A ](t) [ A ](t) y kt + q [ A] kt kt + + [ A] hvr vi hr genindført, t [ A ] y. Vi kn dermed knkludere: Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

17 Hvis vi ser på urykket: [ ] A (t) [ A] [ A] kt + Mdel fr en.rdens rektin, hvr v k[ A ] y kt + q g heri indsætter den fundne værdi fr q, smt [ A ] y, får vi: A (t) k t + A [ ] [ ] Vi kn derfr undersøge, m en given rektin er f. rden i det simple tilfælde ved fr eksperimentelle t fsætte punkter på frmen: ( t, ) i et lmindeligt krdintsystem g så se [ A ](t) m det giver en ret linie. Hvis det er tilfældet, er der med str sndsynlighed tle m en.rdens rektin (mht. A), hvr hstighedsknstnten k er lig med liniens hældningskefficient. En speciel udgve f det simple tilfælde får vi, hvis vi ser på en : rektin: A + B C (+ D...) med hstighedsurykket: v k[ A] [ ] B er ens, dvs. B, hvr strtkncentrtinerne [ A ] g [ ]. (I prksis er det nk, t strtkncentrtinerne strt set er ens, dvs. [ A ] [ B ] ). [ A ] [ B ] D det er en : rektin, vil der nemlig til ethvert tidspunkt t i prcessen gælde, t [ ](t ) A [ ](t ) B, hvrmed hstighedsurykket kn mskrives til: v k[ A ], g den venstående løsning kn ruges. Vi ved derfr, hvrdn kncentrtinen f A (g dermed f B) udvikler sig med tiden. Men det frudsætter ltså, t vi på frhånd ved, t hstighedsurykker er givet ved: v k[ A] [ B ] Hvis vi derimd ikke kender hstighedsurykket fr rektinen: A + B C (+ D...), så hr vi følgende situtin: Selvm vi ved, t strtkncentrtinerne er ens, g selvm vi ved hjælp f et sæt eksperimentelle fr rektinen knstterer, t der må være tle m en.rdens rektin, så er det ikke nk til t fgøre, m hstighedsurykket er givet ved: v k[ A] [ B ] eller: v k[ A ]. (Begge muligheder eksisterer, jfr. eksempel A.4.5 c)). Kncentrtinen f A sm funktin f tiden pfører sig ens i de t mtlte simple tilfælde, men rektinsmeknismerne er frskellige. Hvis vi derfr måler [ A ](t ), så giver det smme type resultt i de t tilfælde, men vi ved ikke, m rektinen er f. eller. rden med hensyn til A, kun t den er det med hensyn til A g B. Der skl flere målinger til. (Se senere under pseud rdens rektiner). Vi skl gså senere se på.rdens rektiner i mindre simple tilfælde. Mtemtisk mdel fr en 3.rdens rektin. I 3.rdens rektiner er hstighedsurykket givet ved: v k[ A] [ B] [ C ], v k[ A] [ B ] eller v k[ A ] 3 (g hermed symmetriske uryk). Vi vil her kun se på den sidstnævnte situtin (g dermed gså på de speciltilfælde f de øvrige hstighedsuryk, hvr der er tle m : rektiner g hvr strtkncentrtinerne er ens). Vi hr ltså, t: d[ A ](t) k ([ ](t) ) 3 A g dermed t: [ ] d A (t) k ([ A ](t) ) 3 Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

18 Hvis vi sm tidligere sætter y(t) [ A ](t ), så skl vi løse ligningen: v.hj.. metden seprtin f de vrile. Vi får: dy 3 k y dy 3 y hvr c g q er en knstnter (q c). k y dy k t + c 3 k y, g det fregår y k t + q q findes ved t sætte t, hvrmed vi får: q, hvr y er strtkncentrtinen. y() y D q >, d k > (idet v >, d prcessen ellers ikke ville frløe), g d t, ser vi i lt, t: kt + q > fr lle værdier f t. Vi kn derfr islere y i den venstående ligning: k t + q y y y k t + q k t + q hvr vi i sidste mskrivning hr nven, t y > (kncentrtinen er et psitivt tl!). Hvis vi genindfører, t [ A ] y, så får vi: [ A]( t) k t + [ A]( t) [ A] [ A] k t + [ A] hvrmed vi kn knkludere, t udviklingen f kncentrtinen f A sm funktin f tiden t er: [ A]( t) [ A] [ A] k t + Mdel fr en 3.rdens rektin, hvr v k[ A ] 3 Hvis vi ser på urykket: k t + q g heri indsætter den fundne værdi fr q g [ A ] y, får vi: y k t + [A](t) [A] Vi kn derfr undersøge, m en given rektin er f 3. rden (i det simple tilfælde) ved fr eksperimentelle t fsætte punkter på frmen: ( t, ) i et lmindeligt krdintsystem g så [ A ](t) se m det giver en ret linie. Hvis det er tilfældet, er der med str sndsynlighed tle m en 3.rdens rektin, hvr hstighedsknstnten k er lig med hlvdelen f liniens hældningskefficient. Øvelse A.4.6. Lv ud fr den venstående teri en krt versigt ver de grfiske g eregningstekniske metder, der nvendes til t fgøre, m der på ggrund f et givet sæt eksperimentelle med str sndsynlighed kn knkluderes, t der er tle m en.,.,. eller 3.rdens rektin mht. A Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

19 Øvelse A.4.7. I en given rektin indgår et stf A. Der er målt følgende smmenhæng mellem tiden t (målt i minutter) g kncentrtinen [ A ]: Tid / min A M,5,38,33,3,,9 [ ] Tid / min [ A ] M,4,,8,66,56,46 ) Afgør, m der kn være tle m en.,.,. eller 3.rdens rektin med hensyn til A. ) Bestem hstighedsknstnten k (husk enheden). 3 c) Hvrnår er kncentrtinen f A lig med,3 M? Øvelse A.4.8. Fr rektinen: NO5 4 NO + O er der i et givet frsøg målt følgende værdier: Tid / sek N M,54,4,37,3,,9,6,,,84,7 [ ] O 5 ) Gør rede fr, t rektinen med gd tilnærmelse kn eskrives sm en.rdens rektin. ) Bestem hstighedsknstnten. N c) Bestem strtkncentrtinen f [ ] O 5 d) Hvrnår er kncentrtinen f [ ] O 5 N lig med 3 8,5 M? e) Hvr str er rektinshstigheden til tiden sek.? Øvelse A.4.9. I en.rdens rektin er strtkncentrtinen f rektnten A givet ved:,8 M, g efter minutter er [ A ],49 M ) Bestem hstighedsknstnten. ) Hvis rektinen frtsætter med t være f.te rden, hvrnår vil den så være løet til ende? Øvelse A.4.. Vi ser på rektinen: A + B prdukt. Det plyses, t rektinen er f. rden mht. A g f. B,4 M, g hstighedsknstnten rden mht. B. Om strtkncentrtinerne gælder: [ A ] [ ] er givet ved: k,45 s M ) Bestem funktinsfrskriften fr [ B ](t) ) Bestem kncentrtinen f B efter,5 timer g efter 3 timer. c) Tegn grfen fr [ B ](t) Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

20 Øvelse A.4.. Om en.rdens rektin er hstighedsurykket givet ved: v k[ A ]. Det plyses desuden, t [ A ]( sek.),8 M g [ A ](5 sek.),7 M ) Bestem hstighedsknstnten. A (t) ) Bestemt funktinsfrskriften fr [ ] c) Tegn grfen fr [ A ](t) Pseud-rdens-rektiner Det er vnskeligt t estemme rektinsrdenen fr en rektin, hvr der skl indgå flere rektnter i hstighedsurykket, idet lle rektnternes kncentrtiner ændrer sig løende efterhånden sm tiden (g dermed prcessen) skrider frem, g mn skl derfr måle på flere ting på én gng. En metde til t løse dette prlem fremgår f det følgende. Vi vil først nlysere li på situtinen. Ld s se på rektinen: A + B C (+ D...), g ld s ntge, t den hr hstighedsurykket: v k[ A] [ B ]. Dette er ltså en.rdens rektin, men den er f. rden med hensyn til åde A g B. Hvis vi nu lver et frsøg, hvr kncentrtinen f B er meget større end kncentrtinen f A, så vil kncentrtinen f B strt set ikke ændres, dvs. den kn etrgtes sm værende knstnt. Hstighedsurykket kn hermed skrives sm: v c[ A ], hvr c k[ B ]. Selvm der er tle m en.rdens rektin, så vil prcessen i denne situtin frløe sm en.rdens rektin (dvs. hvis vi løende måler kncentrtinen f A, så vil den pføre sig, sm det er eskrevet venfr fr en.rdens rektin). I en sådn prces tler vi m en pseud.rdens rektin (pseud uægte). Hvis rektinens hstighedsuryk er givet ved: v k[ ] B, så får vi efter smme princip (dvs. A [ ] vi lder kncentrtinen f B være meget større end kncentrtinen f A), t v c[ A ]. Vi får dermed en pseud.rdens rektin. Efter denne indledende nlyse kn vi vende situtinen på hvedet, idet vi nu ikke kender hstighedsurykket fr rektinen: A + B C (+ D...). Vi lver d et frsøg, hvr vi sørger fr, t kncentrtinen f B er meget større end kncentrtinen f A. I dette frsøg måles [ A ] med jævne mellemrum, dvs. vi finder smmenhørende værdier f tiden t g kncentrtinen [ A ](t ). Og herefter gennemføres nlyser sm mtlt i fsnittene fr.rdens,.rdens,.rdens g 3.rdens rektiner fr t se, m en f disse mdeller skulle psse. (Jfr. øvelse A.4.6). Hvis det f.eks. viser sig, t mdellen fr en.rdens rektin psser på de eksperimentelle, så er der str sndsynlighed fr, t der er tle m en.rdens rektin med hensyn til rektnten A. D vi derimd ikke får infrmtin m rektnten B s etydning fr hstighedsurykket, ved vi ikke, m vi hr en.rdens rektin eller kun en pseud.rdens rektin. Dette prlem må løses på nden vis, f.eks. følgende: [ ] m Vi ntger, t hstighedsurykket fr rektinen: A + B C (+ D...) er v k[ A] n B, d dette er det lmindeligste. Vi gennemfører først en måleserie sm mtlt, hvr kncentrtinen f B er meget større end kncentrtinen f A, således t den kn regnes fr knstnt. Dette giver f.eks. et hstighedsuryk sm: v c [ A ] (dvs. n ), hvr knstnten c er givet ved: c k[ B ] m. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

21 Vi gennemfører herefter en ny måleserie med smme strtkncentrtin fr A, men med den hlve kncentrtin f B. D kncentrtinen f B stdigvæk er meget større end kncentrtinen f A, kn [ B ] igen regnes fr knstnt. Måleserien giver så hstighedsurykket: v c k [ B] ) m c [ A ], hvr (. Ud fr de målte g inegnede kender vi værdien f knstnterne c g Vi kn hermed frtge følgende eregning: m c k [ B] m ln( c hvrf vi får (kntrllér!): m ) ln(c ) c m m [ ] k ( B ) ( ) ln Vi frventer, t m (indenfr målenøjgtigheden) giver et helt tl. Hvis vi f.eks. får m, så er der ltså tle m en.rdens rektin med hensyn til B, g i lt giver det så en 3.rdens rektin. Dette princip kn udygges til flere end rektnter, ltså f.eks. prcessen: A + B + C D +..., men vi vil ikke kmme yderligere ind på emnet her. c. Mtemtisk mdel fr en.rdens :-rektin, hvr strtkncentrtinerne er frskellige. Ovenfr så vi på.rdens rektiner i det simple tilfælde, hvr v k[ A ] eller v k[ A] [ B ], hvr der i sidstnævnte situtin er tle m en : rektin g hvr strtkncentrtinen er den smme fr t rektnter. Vi vil nu se på, hvd der sker, hvis vi i den sidstnævnte situtin pgiver frudsætningen, t de t strtkncentrtiner er ens. Der er ltså stdigvæk tle m en :-prces, dvs.: A + B C (+ D...) g vi hr hstighedsurykket v k[ A] [ B ], men strtkncentrtinerne er frskellige (dg uden t være så frskellige, t vi er vre i pseud-.rdens-tilfældet). B A B. D der er tle m en :-rektin, vil frskel- Ld s ntge, t [ A ] > [ ] g sæt c [ ] [ ] len imellem de t kncentrtiner være den smme igennem hele prcesfrløet, dvs. [ ] [ B] eller mere udførligt: [ A] (t) [ B ](t ) c fr lle værdier f t. A c Kncentrtinen f A: Vi vil først se på udviklingen i kncentrtinen fr rektnten A, dvs. vi vil finde et funktinsuryk fr [ A ](t ). Vi hr i denne situtin følgende mskrivning: d[ A ](t) d k[ ] [ ] [ A ](t) A (t) B (t) k[ A] (t) ([ A ](t) c) hvr vi hr nven, t [ B ](t ) [ A] (t) c. dy Hvis vi sm tidligere sætter y(t) [ A ](t ), så skl vi løse ligningen: k y(y c) Vi mskriver først li på ligningen: dy dy dy k y (y c) k y( y c) k y ( c y) Vi ser, t der er tle m en lgistisk differentilligning sm mtlt i sætning 3.9. Vi skl lt checke, t frudsætningerne er pfyl, dvs. t k g c. D k er hstighedsknstnten, er k, idet der ellers ikke er ngen rektin. Og c følger direkte f definitinen f c g frudsætningerne m strtkncentrtinerne. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

22 Løsningen til differentilligningen er ltså en lgistisk funktin med følgende frskrift: c y kct + q e c hvr q er en knstnt, sm findes ved t sætte t. Vi får d (kntrllér), t: q. Hvis vi y() [ B] heri enytter, t y() [ A ] g c [ A] [ B], ser vi (kntrllér), t: q I lt ser vi dermed, t kncentrtinen f A sm funktin f tiden t er givet ved frskriften: [ A] [ ] [ ]( ) B A t [ B] k( [ A] [ B] ) t e [ A] Kncentrtinen f A sm funktin f tiden t er ltså en lgistisk funktin, g vi ser, t [ A ](t ) [ A] [ B] fr t. Dette psser fint med, t rektinen går i stå, når rektnten B er (ved t være) prugt, g t kncentrtinen f den tilgeværende del f A er givet ved [ A] [ B]. Kncentrtinen f B: Ld s dernæst se på udviklingen i kncentrtinen fr rektnten B, dvs. vi vil finde et funktinsuryk fr [ ] d [ A ](t) d[ B ](t) B (t). D vi hr en :-rektin gælder sm tidligere mtlt, t, d[ B ](t) hvrmed hstighedsurykket kn skrives således: k[ A] (t) [ B ](t ). Hvis vi i dette uryk sætter y(t) [ B ](t ) g nvender, t [ A ](t ) [ B ](t) + c så får vi i lt følgende dy dy differentilligning: k ( y + c) y, sm kn mskrives til: k y ( c y) Sm venfr ved A ser vi, t løsningen ifølge sætning 3.9 er en lgistisk funktin givet ved: c c y dvs. y k( c) t kct + q e + q e c hvr q er en knstnt, sm findes ved t sætte t. Vi får d, t: q. y() [ A] A B, ser vi (kntrllér), t: q Hvis vi heri enytter, t y() [ B ] g c [ ] [ ] I lt ser vi dermed, t kncentrtinen f B sm funktin f tiden t er givet ved frskriften: ( [ ]( ) [ A] [ B] ) B t [ A] k( [ A] [ B] ) t e [ B] Vi ser f det sidst nførte uryk, t: [ ](t ) [ B]( t) [ A] [ B] [ A] k [ A] [ B] e [ B] ( ) t B fr t, idet nævneren går md uendelig medens tælleren er en knstnt. Dette psser fint med, t rektinen går i stå, når rektnten B er (ved t være) prugt g kncentrtinen f B dermed er nul. [ A] [ B] Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

23 Smlet resultt fr kncentrtinerne f A g B sm funktin f tiden t: Den smlede mdel fr udviklingen f kncentrtinerne fr t rektnter A g B i en :-rektin, A > B ), ser ltså således ud: hvr strtkncentrtinerne er frskellige (vi ntger t: [ ] [ ] [ A] [ B] [ A]( t) g [ ] [ B]( t) B k( [ A] [ B] )t e [ A] [ A] [ B] [ A] k [ A] [ B] e [ B] ( ) t Mdel fr en.rdens :-rektin, hvr strtkncentrtinerne er frskellige (hér: [ A ] > [ B] ). Vi emærker, t egge funktiner er ftgende, hvilket stemmer fint verens med, t de eskriver kncentrtinerne f rektnter, der frruges i prcessen. Eksempel A.4.. Vi ser på en :-rektin: A + B prdukter, sm hr hstighedsurykket v k[ ] A Strtkncentrtinerne er givet ved: [ ] er givet ved: k,7 s M. Ifølge det venstående får vi (kntrllér), t [ A] [ B],5,38 [ A]( t) [ B] k( [ A] [ B] ) t,38,7,5 e e A,5 g [ B]( t) [ ] [ A] [ B] [ A] k [ A] [ B] e [ B] ( ) t A [ B ].,5 M g [ B ],38 M, g hstighedsknstnten (,38) t, M,84 t,358 e M, M,84t,76e Grferne fr disse t funktiner er tegnet i krdintsystemet på næste side (jfr. Appendi ). Det ses, t [ A ](t),m fr t (den stiplede linie), g t [ ](t) M fr t B Øvelse A.4.3. Vi ser på en :-rektin: A + B prdukter, sm hr hstighedsurykket v k[ ] Strtkncentrtinerne er givet ved: [ A ],6 M g [ B ],4 M. 8 minutter efter strten f rektinen måles kncentrtinen f A til t være,44 M. ) Bestem hstighedsknstnten k. ) Opstil frskrifter fr funktinerne, der eskriver [ A ](t ) g [ B ](t ) c) Tegn grferne fr disse funktiner, g kmmentér resulttet. A [ ] B. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

24 - - Mlær Sek. Fig. A.4. Mtemtisk mdel fr en.rdens rektin, sm ikke er en :-rektin. Ld s se på rektinen: A + B prdukter, der hr hstighedsurykket: v k[ ] d[ A] d[ B] d Sm i øvelse A.4. hr vi, t: v(t) g dermed, t: [ A] Hvis t er et vilkårligt tidspunkt i prcessen, så får vi ved integrtin, t: [ B ](t) d[ ] A [ ] t d t A (t) [ B] (t ) [ B ]() ([ A ](t ) [ A ]()) D t er vilkårligt vlgt, gælder dette sidste uryk fr lle værdier f t. Vi kn derfr lige så g klde det t, hvrmed vi efter reduktin hr, t: [ B ](t) [ A ](t) [ A ]() + [ B ]() Hvis vi sm tidligere nvender etegnelserne [ A] [ A ]() g [ B] [ B ]() fr egyndelseskncentrtinerne, så ser vi lt i lt, t hstighedsurykket kn skrives sm: v k[ A] [ ] B k[ ](t ) Hvis vi sætter q [ ] [ B] d[ A] A (t) [ A ](t) q) k[ ] A [ A ](t) [ A] [ B] ) ( + A, så får vi lt i lt følgende ligning (kntrllér): ( g dermed: d[ A] k[ ](t ) A ( q [ A ](t )) Hvis vi sm tidligere sætter y(t) [ A ](t ), så ser vi, t vi skl løse ligningen: k y ( q y) B. d B [ ] dy. Steen Bentzen; Mtemtik fr Gymnsiet. Differentilligninger g mtemtiske mdeller

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader.

Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader. - - Kap. : Trignmetriske funktiner g grader. Grader sm vinkelmål. Inden vi går i gang med at mtale de trignmetriske funktiner: sinus, csinus g tangens, vil vi først minde m, hvrdan en given vinkel kan

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

1. Andalusien - en provins i Spanien

1. Andalusien - en provins i Spanien 1. Andlusien - en prvins i Spnien Andres g hns fmilie skl pa ferie i Andlusien. I et rejsektlg finder de frskellige plysninger. Digrmmet viser fr hver maned, hvr mnge dge det regner mere end 1 mm i Mlg'

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Analyse af danske vindmøllers driftsudgifter 1993

Analyse af danske vindmøllers driftsudgifter 1993 K^M>n.8 Risø-R-776(DA) Anlyse f dnske vindmøllers driftsudgifter 99 Finn Gdtfredsen Prøvesttinen fr Vindmøller Frskningscenter Risø, Rskilde Oktber 994 IIS^BTO r IBIS mmm isunuwtei iurfisn 8ALB PR8HIITEB

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Deloitte" Mission Afrika. Revisionsprotokollat til årsrapport 2012

Deloitte Mission Afrika. Revisionsprotokollat til årsrapport 2012 " Missin Afrik Revisinsprtkllt til årsrpprt 2012 Indhldsfrtegnelse Side 1. Revisin f årsregnskbet 1.1 Ä.rsregnskbet L2 Frhld f væsentlig betydning fr vurdering f årsregnskbet 1.2.1 Generelle it-kntrller

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 23. novemer 20 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal

Tal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Talsyste Brøk Decimalt Procent. Primtal eller sammensat tal Tl Prisen på g uld tog tors d stte ny re kord i Lon g et stort spring op d og don med rende til.,, kron er per ounce dollr sv.000 (, grm )..00.000 Guld.00.000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 m Tlsyste Brøk

Læs mere

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 11 Kvalitetsstandard fr støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 1 Frmålet med kvalitetsstandarden En kvalitetsstandard er et andet rd fr serviceniveau. Den beskriver indhldet g mfanget

Læs mere

Kom godt i gang med Insemineringsplaner i DMS

Kom godt i gang med Insemineringsplaner i DMS Kom godt i gng med Insemineringsplner i DMS 1 OPRET NY INSEMINERINGSPLAN... 2 2 GRUNDINDSTILLINGER... 3 2.1 SÆDBEHOLDERKODE... 4 2.2 PRIORITEREDE EGENSKABER... 5 2.3 GÅRDINDEKS... 5 3 HUNDYRGRUPPER...

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Konkret om AT-opgaver med innovation 1

Konkret om AT-opgaver med innovation 1 Knkret m AT-pgaver med innvatin 1 I de følgende afsnit er der plukket ud fra bl.a. vejledningen g kmmenteret på afsnit. Det er derfr stadigvæk den enkelte lærers ansvar at læse teksten i læreplan g vejledning

Læs mere

Algebra, ligninger og uligheder

Algebra, ligninger og uligheder Alger, ligninger og uligheder I dette kpitel skl du rejde med lger, ligninger og uligheder. Et esøg på Bkken kn give nledning til mnge overvejelser over priser. Det kunne f være den smlede pris for turen

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Undersøgelse af virksomhedernes tilfredshed med Jobcenter Esbjergs ydelser og service i 2015

Undersøgelse af virksomhedernes tilfredshed med Jobcenter Esbjergs ydelser og service i 2015 Undersøgelse af virksmhedernes tilfredshed med Jbcenter Esbjergs ydelser g service i 2015 Esbjerg, marts 2016 Side 1 af 13 1. Indledning Denne virksmhedstilfredshedsundersøgelse er baseret på udsendelse

Læs mere

Opsamling på høringssvar i forbindelse med forslaget om at etablere ferieinstitutioner i skolefritidsordninger i Randers Kommune

Opsamling på høringssvar i forbindelse med forslaget om at etablere ferieinstitutioner i skolefritidsordninger i Randers Kommune Opsamling på høringssvar i frbindelse med frslaget m at etablere ferieinstitutiner i sklefritidsrdninger i Randers Kmmune 1. Indledning Børn g skleudvalget besluttede på deres møde d. 7. februar 2012,

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center

Aarhus Universitet - Laboratoriekompleks - inano Center Arhus Universitet, Lortoriekompleks inno Center Skitseprojekt. 16. septemer 2010 Beskrivelse se fde udsnit nord Udsmykningen indeftter: 2 stk. udsmykkede glsprtier á 2 x 12,62 x 4,40 m. 3 stk. emlede srør

Læs mere