Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin"

Transkript

1 Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin 72497_epsilon_2k.indd :20:40

2 72497_epsilon_2k.indd :20:40

3 Kristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin Forlaget Samfundslitteratur 72497_epsilon_2k.indd :20:40

4 Kristine Jess, Jeppe Skott, H.C. Hansen, John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin 1. udgave , Forlaget Samfundslitteratur Omslag: Imperiet Tegninger: John Kehlet Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2008 ISBN Kapitel 1. Figur 1 foto Scanpix/Reuters. Figur 5 og 6 er fra NCTM Figur 7 er udarbejdet efter Carpenter T.P. m.fl Kapitel 2. Figur 1 er fra Karim Nice: How odometers work, Figuren på side 55 er fra C. Juel Figuren på side 56 er fra Bonnesen, T Figur 2 5 stammer fra Bundgaard, A og Eva Kyttä Kapitel 4. Figur 1: se figur 6 i kapitel 1. Skemaet på side 106 er fra McClain, K. m.fl Figur 16 er fra Fuson, K.C Figur 20 og 21 er fra National Research Council (2001). Figur 22 er omtegnet efter Ma, L Kapitel 6. Figur 16 foto Evanherk, Wikimedia Commons. Kapitel 10. Figur 3, 5 og 7 er fra Lehrer, R. m.fl. 1999, mens figur 4 er en dansk elevs omtegning af en figur fra samme kilde. Kapitel 16. Figur 1, 2 og 3 er omtegnet fra Russell, S.J Forlaget har ikke kunne lokalisere alle rettighedshavere til bogens illustrationer og opfordrer derfor sådanne med vederlag til gode til at kontakte forlaget på nedenstående adresse. Forlaget Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser _epsilon_2k.indd :20:40

5 Indhold Forord 11 DEL I DE NATURLIGE TAL Introduktion 17 1 Børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår 19 Tal og det at tælle 20 Det indledende arbejde med tal en tradition og kritikken af den 24 Indledende addition og subtraktion 34 Additive situationer når addition og subtraktion kan bringes i spil 38 Udviklingen i børns arbejde med additive situationer 41 Opsamling på kapitel Matematiske teorier for naturlige tal 47 Tælletal (ordinaltal) 47 Peanos aksiomer 48 Definition af talnavne i titalssystemet 49 Definition af regningsarterne + og 51 Mængdetal (kardinaltal) 55 Addition og multiplikation af kardinaltal 60 Fusionen mellem tælleremse og mængdetal 63 Modsatte regningsarter 64 Ordning af de naturlige tal 68 Hvordan får vi styr på uendeligheden? 70 Mængdetallene bryder uendelighedsmuren 70 Tælletallene når aldrig uendelig 73 Induktionsbeviset 74 Et induktionsbevis i grafteori 74 Tælling hinsides uendelig 76 Opsamling på kapitel 2 79 Indhold _epsilon_2k.indd :20:40

6 3 Positionssystemer og regnealgoritmer 81 Alfabetaland 81 Fordelene ved positionssystemer 83 Positionssystem med vilkårligt grundtal 84 Regnealgoritmer i andre talsystemer 88 Opsamling på kapitel Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 93 Titalssystemet et positionssystem 94 Addition og subtraktion af flercifrede tal 96 Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 100 Hen imod relativt standardiserede metoder 104 Indledende multiplikation og division 113 Multiplikative situationer 115 Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 119 Forståelse kontra færdighed? 125 Opsamling på kapitel Del II TALTEORI OG MØNSTRE Introduktion Talteori 135 Hvordan finder man primtal? 136 Euklids algoritme 139 Diophantiske ligninger 142 Aritmetikkens fundamentalsætning 145 Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 147 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 149 Opsamling på kapitel Talmønstre og figurrækker 151 Udvikling i femkanttallene 153 Induktionsbeviser 161 Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 163 Bestemmelse af en formel med computerhjælp 166 Hanoitårnet, fraktaler og fibbonaccital 171 Opsamling på kapitel Indhold 72497_epsilon_2k.indd :20:41

7 7 Konkrete materialer i matematikundervisningen 177 Hvorfor konkrete materialer? 178 Hvad er konkrete materialer, og hvordan kan de bruges? 180 Afstanden mellem et konkret materiale og et matematisk begreb 183 Konkrete materialers gennemsigtighed 185 Andre opmærksomhedsfelter vedr. konkrete materialer 190 Opsamling på kapitel Del III ALGEBRA Introduktion Tidlig algebra 197 Tidlig algebra hvad er det? 199 Variable og funktioner i tidlig algebra 200 Carraher, Schliemann m.fl.: funktioner og variable som tilgang til addition 201 Flere eksempler på aktiviteter med variable i indskolingen 204 Ligninger og lighedstegnet 209 Andre eksempler på aktiviteter i tidlig algebra 211 Argumenter omkring lighedstegnet 212 Læring af algebra i et semiotisk perspektiv 215 Kontekstens betydning 217 Opsamling på kapitel Variable 221 Den ukendte som pladsholder og som variabel 222 Variablen i formler og funktioner 229 Opsamling på kapitel Indhold _epsilon_2k.indd :20:41

8 Del IV GEOMETRI Introduktion Geometri i de første skoleår 243 Geometri som kulturel aktivitet 244 Måling i indskolingen om at bestemme længder 248 Richard Lehrer, m.fl.: at udvikle måleværktøjer med mening 250 Clements: at udvikle mening i måleværktøjer 254 Måling og andre faglige områder 256 At arbejde med form i indskolingen 258 Fra tegning til diagram 259 Opfattelse af og fysiske erfaringer med former 260 Begrebsdannelse og geometriske former 263 Van Hieles niveauer 265 Kritik af og inspiration fra van Hieles 267 Opsamling på kapitel Flytninger, eksperimentelt og teoretisk 273 Eksperimentel flytningsgeometri 274 Flytningernes fænomenologi 276 Kombinationer af flytninger 279 Deduktiv flytningsgeometri 284 Vores teoretiske model: isometrierne 284 Refleksionerne som byggesten for isometrier 286 Hovedsætningen om isometrier 291 Klassifikation af alle flytninger i planen 293 Opsamling på kapitel Symmetrier og mønstre i verden og i geometrien 303 Symmetri i enkeltformer 303 Frisemønstre 311 Tapetmønstre og fliser 314 Konstruktion af fantasifulde flisemønstre 315 En duft af krystallografi 318 Opsamling på kapitel Indhold 72497_epsilon_2k.indd :20:41

9 13 Den elementære skolematematik, perspektiveret ved symmetrier og flytningsregning 323 Karakteristik af de almindeligste polygonale former i skolen 324 Symmetrier i van Hieles didaktik 325 Den perfekte cirkel, ellipsen og ovalen 327 Gruppen, en alternativ regneverden 329 Betydningen af gruppeteori i strukturundersøgelser 338 Opsamling på kapitel Eksperimentelle undersøgelser af former i rummet 341 Genopdagelse af de platoniske legemer 342 Eulers polyedersætning 343 Descartes spidsheder 344 Halvregulære polyedre som inspiration 346 Opsamling på kapitel Geometri i nyere tid 351 Grafteori 351 Teorien for Eulerture 354 Eulers polyedersætning med grafteoretisk bevis 357 Topologi og eulertallet 362 Kuglefladen 363 Baderinge (torusser) og Möbiusbånd 364 Taxageometri i plan og rum 365 Opsamling på kapitel Del V STOKASTIK Introduktion Databehandling 373 At arbejde med data de første skoleår 375 Hvad indgår i at arbejde med data? 375 Perspektiver på data 378 Prøv at være datadetektiv 386 Elever som datadetektiver 391 Opsamling på kapitel Indhold _epsilon_2k.indd :20:41

10 17 Sandsynligheder i skolens yngste klasser 395 Strategier for tilrettelæggelse af undervisning 396 Et eksempel på sandsynlighedsundervisning i den franske skole 398 Elevers forståelse af sandsynligheder 402 Statistiske sandsynligheder 408 En vifte af metoder til løsning af en enkelt elevopgave Det konkrete eksperiment Det simulerede eksperiment Teoretisk beregning baseret på hele tal, tælletræ Teoretisk beregning under anvendelse af brøkbegrebet Chancetræer. Teoretisk behandling under anvendelse af addition og multiplikation af brøker 415 Reducerede chancetræer og betinget sandsynlighed 419 Opsamling af kapitel Referencer 429 Stikordsregister Indhold 72497_epsilon_2k.indd :20:41

11 Forord Matematik for lærerstuderende er et lærebogssystem, der afspejler, at linjefaget i matematik er blevet stærkt forøget i forhold til tidligere årtier. Det giver nogle helt nye muligheder for, at den studerende kan kvalificere sig til den kommende praksis. Der er tildelt næsten den dobbelte studietid til linjefagsuddannelsen, og det endda selv om den studerende nu kun skal kvalificere sig til at undervise på seks af skolens klassetrin. Den studerende, der går i gang med denne bog, vil have valgt specialiseringen mod grundskolens begynder- og mellemtrin. Den studerende, der bruger systemet Matematik for lærerstuderende, vil under fællesdelen have arbejdet med det meste af ϒ-bogen og en god del af den almene fagdidaktik i δ-bogen samt selvfølgelig de ting, som man lokalt er blevet enige om at lægge særlig vægt på. Formålet med denne ε-bog er at levere fagligt og fagdidaktisk materiale, således at den lærerstuderende kan specialisere sig til at være lærer på klassetrin. Det mere almene fagdidaktiske stof vil stadig skulle søges i δ-bogen, mens den fagdidaktik/stofdidaktik, der retter sig specifikt mod de faglige emner i de første skoleår, findes her i ε-bogen. For en typisk lærerstuderende med en god baggrund i matematik fra ungdomsuddannelserne vil det at være matematiklærer i klasse opleves som en større udfordring end at være lærer på sluttrinnet. Rent fagligt er forskellen på det, man selv kan, og det man skal undervise i, så stor, at man nemt kommer til at tage fejl af børnenes forudsætninger og behov. Derfor er der på dette niveau et helt særligt behov for at lære om elevernes forforståelser og medbragte tankegods. Det er også velkendt, at eleverne på godt og ondt har større formbarhed i de tidlige skoleår. Her dannes ikke blot de første faglige begreber, men også elevens holdninger og indstillinger til matematik bliver formet derfor er lærerens ansvar særlig stort. Så kan man vel bare bruge ekstra meget tid på de første skoleårs matematikdidaktik og lægge mindre vægt på det rent faglige, der vel ikke kan være Forord _epsilon_2k.indd :20:41

12 så krævende i klasse? Nej, for her må man skelne mellem, hvad der er elevens behov, og hvad der er lærerens behov. En moderne matematikundervisning bygger i stort omfang på, at læreren fanger idéer og udsagn fra dialogerne i klasseværelset og i en videre dialog styrker fagligheden hos den enkelte og i klassen som helhed. For at kunne gøre dette kræves en ret stor faglighed ikke den videregående matematik, men en stor bredde i den elementære matematik. Matematiklæreren skal kunne præsentere begreber og metoder på mange måder, så der er tilgange, der taler til hver enkelt elevs forestillinger. Den lærerstuderende skal imidlertid også udvikle sine egne matematiske kompetencer, som de er beskrevet i bekendtgørelsen for læreruddannelsen og som de fx vil blive evalueret ved en centralt stillet, skriftlig prøve. Vi har derfor skrevet ε med en overvægt af matematikfagligt stof, men i hver af bogens fem dele er der tillige mindst ét fagdidaktisk kapitel. Nogle af de faglige emner behandles ret kortfattet, idet de har fået en grundig behandling i ϒ -bogen. Mange vil sikkert have sprunget over dele af ϒ -bogen i linjefagets fællesdel. I så fald er det tanken, at man indtænker disse dele undervejs i arbejdet med ε-bogen Som forfattere har vi søgt at lette dette arbejde ved ofte at referere til de relevante steder i ϒ-bogen. Strukturen i denne bog Den første del af bogen drejer sig om et emne, der gennem generationer har været dominerende i de første skoleår, nemlig de naturlige tal. Behandlingen af de naturlige tal i del I har et dobbelt sigte. Dels skal læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels skal læseren få lejlighed til at kende områdets stofdidaktik. Del I består af fire kapitler, hvoraf det første sætter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring det første skoleår. Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og dernæst positionssystemer og regnealgoritmer. I det afsluttende kapitel sætter vi igen fokus på eleverne og stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver dér at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal. 12 Forord 72497_epsilon_2k.indd :20:41

13 I den anden del graver vi lidt dybere ned i de naturlige tals verden for bl.a. at tilfredsstille det mål i den aktuelt gældende danske læreruddannelse, at den kommende matematiklærer skal kunne redegøre for dybde og sammenhæng mellem folkeskolefagets stofområder på begynder- og mellemtrin og dele af videnskabsfaget matematik. Det sker bl.a. ved, at vi tager fat i emnet talteori, der bringer os om ad klassiske teknikker som Eratosthenes si, Euklids algoritme og løsning af diophantiske ligninger, før vi igen lander i skolens hverdag og ser på, hvordan dette stof kan give anledning til aktiviteter i skolen. Men vi vil også se på talmønstre og figurrækker, der er et af de nyere emner i grundskolen. Her inviteres læseren på den ene side til at gå på opdagelse i talmønstre og fastholdes på den anden side i kravet om bevis, hvilket i denne sammenhæng typisk vil være induktionsbeviset. Arbejdet med talmønstre og figurrækker lægger op til det arbejde med funktioner og variable, som er overskriften for bogens del III. Funktioner og variable er måske ikke det første, man tænker på i forbindelse med matematikundervisning i de første skoleår, men vi tilslutter os den dominerende holdning blandt fagdidaktikere om, at det er vigtigt at starte tidligt med variabelbegrebet i skolen. I matematikdidaktikken hedder dette felt tidlig algebra, og vi vil i nogle cases se på og reflektere over, hvordan børn kan arbejde med ubekendte og variable på alderssvarende niveau. Samtidig med, at læseren således får indblik i stofdidaktikken på området, inviteres der til, at man på eget niveau arbejder med variabelbegrebet, som det kommer til udtryk i ligninger, formler og funktioner, således at man er fagligt rustet, når eleverne selv finder sidespor og beder læreren om hjælp. Vi har i ϒ-bogenarbejdet med mange af de centrale geometriske emner, som vi derfor ikke vil tage op igen i denne fremstilling. Tilbage står dog en række vigtige geometriske emner, som er relevante for klasse, og som tages op i del IV, nemlig: flytninger, symmetrier samt formlæren i rummet og nyere geometrier som grafteori og taxageometri. Symmetrier og mønstre indgår i matematikundervisningen fra de første skoleår og findes i alle lærebogssystemer. Vi vil også benytte symmetrier og flytninger til at perspektivere dele af undervisningen i tal og geometri i de første skoleår. I del IV tilgodeses det stofdidaktiske aspekt i et indledende kapitel med Forord _epsilon_2k.indd :20:41

14 fokus på måling og den geometriske begrebsudvikling hos børn, bl.a. som den er fremstillet hos den hollandske didaktiker van Hiele. Læseren vil via de sidste kapitler af ϒ -bogen have et bredt fagligt og stofdidaktisk fundament for arbejdet med stokastik i skolen. Det supplerer vi her i del V med et særligt fokus på stokastikken i de tre første skoleår. Samtidig vil vi gerne fortsætte den holdningsbearbejdning, vi startede på i ϒ -bogen, hvor vi prøvede at få læseren til at lægge mere vægt på tolkning af konkrete data end på at bruge en præfabrikeret skabelon til alle data. Vi betegner denne nye holdning med navnet datadetektiv. Del V består af to kapitler, hvor vi i hvert kapitel har prøvet at flette didaktiske overvejelser sammen med tilsvarende faglige udfordringer for læseren. Selv om disse udfordringer er på læserens eget niveau, er de netop af en karakter, der ligger tæt på den faglighed og holdningsmæssige indstilling, en lærer har brug for som ballast både i undervisning og i vejledning af elever. Der vil igen for denne bogs vedkommende findes svarforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside (søg på Epsilon ). København, juni 2008 Kristine Jess, Jeppe Skott, John Schou og Hans Christian Hansen 14 Forord 72497_epsilon_2k.indd :20:41

15 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:41

16 72497_epsilon_2k.indd :20:41

17 Introduktion Ser man på lærebøger fra tiden efter skoleloven af 1814, vil man opdage, at det helt dominerende emne i matematikundervisningen i de første skoleår er de naturlige tal, dvs. tallene 1, 2, 3, og regning med dem. Også forskellige former for måling af vægt, tid, længde, areal og rumfang er helt afhængige af disse tal, og statistik, et nytilkommet emne i begynderundervisningen, er ligeledes en anvendelse af tal. Læseren af denne bog vil sandsynligvis under arbejdet med fællesdelen af linjefaget have benyttet ϒ -bogen, og derfra have et godt kendskab til de hele tal og brøkerne, som er knyttet til mellemtrinnets emnekreds. I ϒ -bogen tog vi de naturlige tal som noget givet, som vi kun behandlede i en fortælling om talbegrebets historie. Behandlingen af de naturlige tal i første del af denne bog har et dobbelt sigte. Dels kan læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels kan læreren, eller den kommende lærer, få indsigt i områdets stofdidaktik. Behandlingen af de naturlige tal består af fire kapitler, hvoraf det første sætter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår. Vi giver først et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af det at tælle børn typisk har, når de kommer i skole. Dernæst diskuterer vi, hvordan man som lærer kan bygge videre på børnenes forforståelser. Fokus er her på addition og subtraktion og på de situationer, hvor disse regnearter kan komme i anvendelse. Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og positionssystemer og regnealgoritmer. I matematikken findes to forskellige forståelser af de naturlige tal, nemlig som kardinaltal (mængdetal) og som ordinaltal (tælletal). Når vi medtager en faglig behandling af disse to måder at opfatte tal på, er det, fordi didaktik- Introduktion _epsilon_2k.indd :20:41

18 ken om de naturlige tal har taget disse faglige termer til sig, og skolebøgerne klart er præget af både kardinaltal og ordinaltal. Sigtet med kapitlet er imidlertid fagligt. Læseren skal prøve at bevise elementære egenskaber ved de naturlige tal, både inden for teorien om kardinaltal og inden for teorien om ordinaltal. I den klassiske regneundervisning indtog de fire regningsarter, udført efter nøje beskrevne metoder (algoritmer) en dominerende rolle. Den nyere matematikundervisnings princip om, at eleven skal være medkonstruktør af disse algoritmer, kræver en større faglighed af læreren og et bredere syn på såvel talsystemer som mulige regnemetoder. Derfor følger endnu et matematikfagligt kapitel, der drejer sig om talsystemer og regnealgoritmer. Her får læseren lejlighed til at sætte sig i elevens sted, idet der gennem hele kapitlet arbejdes med fremmede talsystemer. I det første, Alfabetaland, er både talsystemet og cifrene anderledes end normalt. Intentionen er, at læseren ved at arbejde med det kan udvikle en dybere forståelse af de måder, tal og regnearter normalt repræsenteres på. De fremmede talsystemer, fx totalssystemet, er dog ikke udelukkende skabt for at uddanne lærere, men bl.a. også for at muliggøre beregninger i computere og lommeregnere Afslutningsvis sætter vi igen fokus på eleverne og på stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal. Der har i skolefaget matematik traditionelt været en modstilling af færdighed og forståelse ikke mindst i forbindelse med netop regnealgoritmerne. Vi gør rede for, at der er både teoretisk og empirisk belæg for at ophæve denne modsætning. 18 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:41

19 1 Børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår Når eleverne begynder i skole, kan de tælle. Det kan de i den forstand, at de kan tælleremsen et stykke ad vejen; de kan finde, hvor mange enheder der er i en bunke af fx 9 centicubes; og ved at tælle kan de finde resultatet i simple additionssituationer, hvis de har konkrete materialer til rådighed (hvis Albert har fundet 6 kastanjer, og Usman har 7, hvor mange har de så tilsammen?). Og der er nogle elever, der kan meget mere end det. I de første skoleår handler de mest dominerende matematikaktiviteter om tal og om indledende regneoperationer. Det gør de, fordi eleverne i denne periode skal udbygge deres forståelse af de naturlige tal og af de måder, hvorpå man kan benytte tal til at beskrive og beregne størrelser. De skal således udvikle forståelser af tal og færdigheder i talbehandling, der er kvalitativt forskellige fra dem, de møder med, når de kommer i skole. Det er arbejdet med at facilitere elevernes faglige læring på disse områder, der er omdrejningspunkt i dette kapitel. Der er over de sidste årtier gennemført en meget stor mængde undersøgelser af små skolebørns talforståelser og -færdigheder. De handler fx om, hvordan børnene opfatter tal, og hvordan de forstår de forskellige typer af situationer, hvor addition og subtraktion kan komme i spil. Desuden drejer de sig om, hvordan man kan understøtte børns udvikling af både talforståelse og færdigheder i talbehandling. Det er en hovedpointe i en stor del af disse undersøgelser, at de to sider af talarbejdet, færdighederne og forståelsen, må udvikles i tæt indbyrdes sam- Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer _epsilon_2k.indd :20:41

20 menhæng. Den overordnede hensigt med dette kapitel er, at læseren udvikler en forståelse af, hvordan man som lærer kan bidrage til det i skolens yngste klasser. Ved at arbejde med forskningsresultaterne i direkte tilknytning til elevers tænkning om og aktivitet med tal er det mere specifikt hensigten, at læseren efter endt læsning: Har dannet sig et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af at tælle, børn typisk har med, når de kommer i skole. Har udviklet en forståelse af og idéer til, hvordan der kan bygges på elevernes tællestrategier i arbejdet med tal i indskolingen, herunder at læseren kan forholde sig til den kritik, der har været rettet mod en dominerende tradition i dette arbejde. Kan beskrive forskellige situationer, hvor additiv tænkning kan bringes i anvendelse, og kender til de måder, elever typisk går til sådanne situationer på. Tal og det at tælle Tal bruges på mange forskellige måder, og det gør det at tælle også. Vi skal i det følgende se på de måder at benytte tal på, som børn gerne skal komme til at beherske, og vi skal se på udviklingen i deres tællestrategier. Vi starter med at se på et eksempel med et tilhørende oplæg. Eksempel 1 Figur 1. Eritrea, et lille land på Afrikas horn, havde deltagere med ved en olympiade for blot anden gang i Athen i Der var 15 eritreere med, blandt dem den 22 årige mellem- og langdistanceløber Zersenay Tadesse. Med nummer 1553 på brystet gennemførte han finalen i meter i tiden og kom ind på en tredjeplads blandt de 24 løbere. Tadesse vandt dermed Eritreas første olympiske medalje nogensinde. 20 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:42

21 Opgave 1 Læs omtalen af Zersenay Tedesse i eksemplet ovenfor. Undersøg, hvilke måder tal og talord benyttes på, og beskriv forskellene på og sammenhængene mellem de forskellige måder. Vi kan benytte tal til at beskrive størrelsen på en mængde. Det gør vi, når vi fx siger, at der er 26 elever i 1.a, eller, at der er 7 bøger i serien om Harry Potter. Her bruges hhv. 26 og 7 til at angive størrelsen på en mængde af diskrete 1 elementer, angivet ved antallet af elementer i mængden. Tal bruges da som kardinaltal. Det er en anden brug af tal, hvis vi ser på 1 tallet i 1.a eller på talordet syvende i formuleringen den syvende og sidste bog i serien om den berømte troldmand hedder Harry Potter og dødsregalierne. Her er der stadig tale om at behandle en diskret mængde af objekter, hhv. klasser og bøger, men tallet benyttes ikke til at angive størrelsen på hele mængden, men derimod til at angive et elements relative placering i den. Der angives således en vis ordning af mængden, og man taler om en ordinal brug af talord eller om ordinaltal. Der er tale om en tredje anvendelse af talord, når man siger, at eleverne i 1.a løber i gennemsnit 60 meter på 12,9 sekunder og Harry Potter og dødsregalierne koster 329,00 kr. Her angiver tallene 60, 14,9 og 329,00 ikke et antal af diskrete elementer i en mængde. De er i stedet knyttet til kontinuerte størrelser, nemlig længde, tid og værdi (målt i penge). Det, der tælles, er således ikke på forhånd iagttagelige elementer som elever eller bøger selv om man naturligvis kan forestille sig en mængde af 329 enkroner som betaling for bogen. Derimod er det enheder, og tallet er et måltal, der angiver det antal gange, en valgt enhed må benyttes for at kunne fylde den kontinuerte mængde ud. Enhederne er meter, sekunder og kroner. I modsætning til det kardinale og det ordinale tilfælde behøver der her ikke være tale om hele tal. Der er således tre numeriske måder at bruge tal på, nemlig som kardinaltal, som ordinaltal og som måltal. Imidlertid er de ikke helt adskilte. Fx introducerer formuleringen Carlo er det tredje barn i familien en ordning ved 1 Diskrete betyder i denne forbindelse adskilte. De naturlige tal er en mængde af diskrete tal, hvor et tal er adskilt fra det foregående og det næste tal. Den radikale modsætning er de reelle tal, der er en helt sammenhængende talmængde, hvor det slet ikke giver mening at tale om det næste tal. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer _epsilon_2k.indd :20:42

22 at placere Carlo i rækken af børn. Men samtidig betyder den, at Carlo og hans to ældre søskende udgør en gruppe på tre. Her var hensigten (måske) ordinal, men formuleringen kan fortolkes kardinalt. Imidlertid kan der også være et ordinalt aspekt involveret, hvis hensigten er kardinal. Hvis man tæller for at finde svar på spørgsmålet: Hvor mange er der? indfører man på sin vis en ordning i mængden, idet man introducerer en tællerækkefølge. Hvis man fx tæller 8 børn, mens man peger på dem en efter en, så betyder otte, at det pågældende barn er det ottende i den rækkefølge, man har lavet ved at tælle. Men her var vi ikke interesseret i rækkefølgen, dvs. i at fx Camilla blev nr. 8. Derimod var vi interesseret i, hvor mange børn der var, dvs. i at bruge otte kardinalt. Det kræver, at man foretager det, Fuson kalder en kardinal integration, dvs. at man knytter otte til ikke bare Camilla, men til mængdens mangehed (the manyness). Tilsvarende er der en måleintegration involveret, når man i en målesituation forbinder den sidst talte måleenhed med det samlede antal enheder, der bruges (Fuson 1988). Tal bruges dog også ikke-numerisk, dvs. på måder hvor der ikke eller i hvert fald ikke primært er tale om en kvantificering. For det første siger små børn tælleremsen uden at knytte indhold til ordene. Tælleremsen er da netop blot en remse, og ordene betyder da hverken mere eller mindre end okker-gokker-gummiklokker. Ja, faktisk kan børn ofte allerede fra 2 årsalderen sige dele af tælleremsen korrekt, uden at de af den grund kan tillægge remsen mening (ibid., kapitel 2). For det andet benytter også voksne talord i situationer, hvor det væsentligste ikke er tallenes kvantitative aspekt. Det er tilfældet, når man bruger tal som identifikation, snarere end som en størrelsesangivelse. Nummerplader og telefonnumre er relevante eksempler. Og i nogle lande har fx skoler ikke navne, men numre, så man som elev fx går på skole nr. 7. Der kan godt være et element af ordinalitet i den måde, disse navne tildeles på. Det gælder i den indlysende forstand, at man ofte begynder med de mindste af de tal, der kan benyttes til et givet formål. Fx er skole nr. 1 vel typisk den første, der blev oprettet. Selv i sådanne tilfælde er ordinaliteten dog ikke altid fuldkommen, og den er kun sjældent interessant. Det er således ikke hverken givet eller interessant, om busrute 112 blev etableret før rute 83, eller om Zersenay Tadesse med nummer 1153 blev meldt til Olympiaden før eller efter deltageren med nummer 1152 (jf. eksempel 1). Og under alle 22 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:43

23 omstændigheder giver det næppe mening at regne på tal, der benyttes til identifikation. I alle vores eksempler ovenfor har vi brugt tal i konkrete sammenhænge. Det er også afgørende, at man gør det i undervisningen, ikke mindst i de første skoleår. Imidlertid er det hensigten, at børn efterhånden kommer til at operere på tal som matematiske størrelser, dvs. så tallenes mening også kommer fra deres relationer til andre tal uden reference til konkrete situationer. Så forbindes 6 ikke bare med 6 perler, der skal tælles, men at August er den 6. ældste i klassen eller med at klassen er 6 bred, hvis det er elever i 1. klasse, man måler med. 6 får i stedet (også) sin mening fra sine relationer til andre tal, fx at 6 = 4 + 2, at = 12, at = 10, at 6 er det dobbelte af 3, og at 6 = , og meget senere at 6 er produktet af de to mindste primtal, at det er kvadratroden af 36, og at hvis man ganger 6 med radius i en cirkel, så får man med nogen tilnærmelse cirklens omkreds. I et sådant netværk af relationer bliver 6 ikke bare noget, man kan bruge til at beskrive sin omverden med. Tallet får nærmest genstandskarakter, det bliver noget, man kan gøre noget med. Det er et gennemgående argument i dette kapitel, at udviklingen af en sådan talforståelse bedst understøttes ved, at eleverne i de første skoleår i høj grad benytter konkrete genstande i deres talarbejde, så de fortolker symbolske talangivelser ved konkrete materialer eller tegninger, og at de omvendt anvender symboler som beskrivelser af konkrete situationer. Der er belæg for at sige, at det er i en sådan dobbeltbevægelse fra relativt konkrete størrelser til symboler og fra symboler til konkrete størrelser, at talforståelser og talfærdigheder kan udvikles. Når man som voksen har benyttet tal utallige (!) gange, synes forskellene i brugen af tal ubetydelige, ja måske endda svære at få øje på. Det skyldes, at tal netop har fået deres eget liv, så det er tallene, man opererer på, når man regner, snarere end de konkrete sammenhænge. Men for børn, der først er ved at udvikle en talforståelse, er det ikke indlysende, at tal, kan bringes i anvendelse på så forskellige måder. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer _epsilon_2k.indd :20:43

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou kristine JEss JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe Geometri 1. 6. klasse Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

Årsplan for 2.kl i Matematik

Årsplan for 2.kl i Matematik Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Nationale mål, resultatmål og Fælles Mål Tre nationale mål 1. Folkeskolen skal udfordre alle elever, så de bliver så dygtige, de kan 2.

Læs mere

Reformen. Forenklede Fælles Mål

Reformen. Forenklede Fælles Mål Reformen Forenklede Fælles Mål Læringskonsulenter klar med bistand 17-03-2014 Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? 2014 Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt ikke

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Aalborg 30. april 2014

Forenklede Fælles Mål. Aalborg 30. april 2014 Forenklede Fælles Mål Aalborg 30. april 2014 Hvorfor nye Fælles Mål? Formål med nye mål Målene bruges ikke tilstrækkeligt i dag Fælles Mål skal understøtte fokus på elevernes læringsudbytte ikke aktiviteter

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2011-12

Årsplan for matematik i 1. klasse 2011-12 Årsplan for matematik i 1. klasse 2011-12 Klasse: 1. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 5 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 3B Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Andre tal Eleven kan anvende konkrete, visuelle og enkle symbolske repræsentationer (fase

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE:

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: Udgangspunktet for Hareskovens Lilleskoles matematikundervisning er vores menneskesyn: det hele menneske. Der lægges

Læs mere

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Talforståelse. Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. Kopi opgave. Navn:

Talforståelse. Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. Kopi opgave. Navn: Talforståelse opgave 1 Du skal veksle mønterne. Vis, hvor mange måder du kan gøre det på. 1 Opgave 1 Fagligt område: Talforståelse Kombinere lægge sammen. Der anvendes kun hele kroner, ellers bliver opgaven

Læs mere

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer BASIS: Klassen består af 26 elever og der er afsat 5 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 1A og 1B, de tilhørende kopisider + CD-rom, Rema samt evt. ekstraopgaver. Derudover vil

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I

ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I de enkelte undervisningsforløb indgår der mål fra både de matematiske kompetencer og fra de 3 stofområder: Matematiske kompetencer Eleven kan handle hensigtsmæssigt

Læs mere

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK 2015-16 Lærer: Sussi Sønnichsen Forord til matematik i 2. Klasse. Vi vil arbejde med bogsystemet Matematrix 2A & 2B, Alinea, samt kopiark til systemet. Jeg vil differentiere undervisningen og vil foruden

Læs mere

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK!

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK! 2014-15 2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: Sussi Sønnichsen Forord til matematik i 2. Klasse. Vi vil arbejde med bogsystemet Matematrix 2A & 2B, Alinea, samt kopiark til systemet. Jeg vil differentiere

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence)

ræsonnere og argumentere intuitivt om konkrete matematiske aktiviteter og følge andres mundtlige argumenter (ræsonnementskompetence) Matematiske kompetencer indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence) løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

ÅRSPLAN M A T E M A T I K

ÅRSPLAN M A T E M A T I K ÅRSPLAN M A T E M A T I K 2013/2014 Klasse: 3.u Lærer: Bjørn Bech 3.u får 5 matematiktimer om ugen: MANDAG TIRSDAG ONSDAG TORSDAG FREDAG Lektion 1 Lektion 2 Lektion 3 Matematik Matematik Lektion 4 Matematik

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kort bestemmelse af faget Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved et samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds-

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:

Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses

Læs mere

Ypsilon er alfa og omega

Ypsilon er alfa og omega 92 Ypsilon er alfa og omega Mikael Skånstrøm, VIAUC, læreruddannelsen i Nørre Nissum Per Nygaard Thomsen, VIAUC, læreruddannelsen i Nørre Nissum Anmeldelse: John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Årsplan matematik 2.klasse - skoleår 14/15- Majbrit Trampedach

Årsplan matematik 2.klasse - skoleår 14/15- Majbrit Trampedach BASIS: Klassen består af 25 elever og der er afsat 5 ugentlige timer, hvoraf en af timerne bliver en fast Regne-time. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 2A og 2B, de tilhørende kopisider + CD-rom,

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Andre måder at lære matematik på!

Andre måder at lære matematik på! 24-10-2011 side 1 Andre måder at lære matematik på! Mette Hjelmborg CFU Hjørring 15-11-2011 24-10-2011 side 2 Andre måder at lære matematik på! Kurset henvender sig til lærere, der gerne vil have inspiration

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-35 Kendskab og skriftligt arbejde At finde elevernes individuelle niveau samt tilegne mig kendskab til deres

Læs mere

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 5 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning Opmærksomhedspunkt Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Vejledende læseplan Matematik

Vejledende læseplan Matematik 2008 Vejledende læseplan Matematik Fjordskolen Matematik Om faget Ifølge folkeskoleloven 5stk. 2 omfatter undervisningen i den 9-årige grundskole faget matematik for alle elever på alle klassetrin. På

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, klassetrin

Kompetencemål for Matematik, klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og

Læs mere

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin:

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin: MATEMATIK Basismål i matematik på 1. klassetrin: at kunne indgå i samtale om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik at kunne afkode og anvende tal og regnetegn og forbinde dem

Læs mere

Formål for faget Matematik

Formål for faget Matematik Formål for faget Matematik Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14

Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14 Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14 Klasse: 2. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 5(mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen

Læs mere

Lærervejledning til Læs selv matematik

Lærervejledning til Læs selv matematik Lærervejledning til Læs selv matematik Målgruppe 4-7. klasse Formål Formålet med "Læs selv matematik" er at føje en ekstra dimension til matematikundervisningen. Med "Læs selv matematik" vil eleverne opleve,

Læs mere

Læseplan og fælles mål for matematik på Engskolen Januar 2005

Læseplan og fælles mål for matematik på Engskolen Januar 2005 Læseplan og fælles mål for matematik på Engskolen Januar 2005 (Fælles mål faghæfte 12 matematik 1.udgave, 1.oplag 2003 ) Indhold 1. Indledning 2. Formål for faget matematik 3. Fælles mål 4. Læreplan 5.

Læs mere

It i Fælles mål 2009- Matematik

It i Fælles mål 2009- Matematik It i Fælles mål 2009- Matematik Markeringer af hvor it er nævnt. Markeringen er ikke udtømmende og endelig. Flemming Holt, PITT Aalborg Kommune Fælles Mål 2009 - Matematik Faghæfte 12 Formål for faget

Læs mere

Test og evaluering: Årsplan matematik 1.A 2015/2016 Nordvest privatskole Hussein Mansour

Test og evaluering: Årsplan matematik 1.A 2015/2016 Nordvest privatskole Hussein Mansour Årsplan matematik 1.A 2015/2016 Nordvest privatskole Hussein Mansour Undervisningen i matematik i 1. klasse bygger i stor udstrækning på de erfaringer, som børnene har tilegnet sig i børnehaveklassen,

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktisk teori samt matematiklærerens praksis i folkeskolen

Læs mere

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 14/15- Ida Skov Andersen

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 14/15- Ida Skov Andersen BASIS: Klassen består af 20 elever og der er afsat 5 ugentlige timer. Grundbog og materialer: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 1A og 1B, de tilhørende kopisider (123-mappen) + CD-rom, Rema samt evt. ekstraopgaver.

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou kristine JEss JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe Geometri 1. 6. klasse Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

MATEMATIK SLUTMÅL FOR FAGET MATEMATIK

MATEMATIK SLUTMÅL FOR FAGET MATEMATIK MATEMATIK FORMÅLET FOR FAGET Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Årsplan i matematik for 1. klasse

Årsplan i matematik for 1. klasse Årsplan i matematik for 1. klasse Der arbejdes med bogsystemet Multi 1A og 1B Periode Emne/ Målet for forløbet er, at eleverne: Handleplan Evaluering fokuspunkt Uge 33-36 Tal bliver fortrolige med matematikbogens

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 3A Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Decimaltal og store tal Eleven kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Subitizing se et antal op til 4. Tal og antal. Forsøg Forsøg 1

Subitizing se et antal op til 4. Tal og antal. Forsøg Forsøg 1 Subitizing se et antal op til 4 Tal og antal Lynghøjskolen 2016 3 4 uger gamle babyer kan med 80% sikkerhed registrere antal på op til 4 genstande. 1 2 Forsøg 1 4 Forsøg 3 6 1 Forsøg 4 8 Sammenligning

Læs mere

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematiske kompetencer Trinmål efter 3. klassetrin Trinmål efter 6. klassetrin Trinmål efter 9. klassetrin indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske

Læs mere