Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin"

Transkript

1 Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin 72497_epsilon_2k.indd :20:40

2 72497_epsilon_2k.indd :20:40

3 Kristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin Forlaget Samfundslitteratur 72497_epsilon_2k.indd :20:40

4 Kristine Jess, Jeppe Skott, H.C. Hansen, John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon klassetrin 1. udgave , Forlaget Samfundslitteratur Omslag: Imperiet Tegninger: John Kehlet Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2008 ISBN Kapitel 1. Figur 1 foto Scanpix/Reuters. Figur 5 og 6 er fra NCTM Figur 7 er udarbejdet efter Carpenter T.P. m.fl Kapitel 2. Figur 1 er fra Karim Nice: How odometers work, Figuren på side 55 er fra C. Juel Figuren på side 56 er fra Bonnesen, T Figur 2 5 stammer fra Bundgaard, A og Eva Kyttä Kapitel 4. Figur 1: se figur 6 i kapitel 1. Skemaet på side 106 er fra McClain, K. m.fl Figur 16 er fra Fuson, K.C Figur 20 og 21 er fra National Research Council (2001). Figur 22 er omtegnet efter Ma, L Kapitel 6. Figur 16 foto Evanherk, Wikimedia Commons. Kapitel 10. Figur 3, 5 og 7 er fra Lehrer, R. m.fl. 1999, mens figur 4 er en dansk elevs omtegning af en figur fra samme kilde. Kapitel 16. Figur 1, 2 og 3 er omtegnet fra Russell, S.J Forlaget har ikke kunne lokalisere alle rettighedshavere til bogens illustrationer og opfordrer derfor sådanne med vederlag til gode til at kontakte forlaget på nedenstående adresse. Forlaget Samfundslitteratur Rosenørns Alle Frederiksberg C Tlf Fax Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser _epsilon_2k.indd :20:40

5 Indhold Forord 11 DEL I DE NATURLIGE TAL Introduktion 17 1 Børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår 19 Tal og det at tælle 20 Det indledende arbejde med tal en tradition og kritikken af den 24 Indledende addition og subtraktion 34 Additive situationer når addition og subtraktion kan bringes i spil 38 Udviklingen i børns arbejde med additive situationer 41 Opsamling på kapitel Matematiske teorier for naturlige tal 47 Tælletal (ordinaltal) 47 Peanos aksiomer 48 Definition af talnavne i titalssystemet 49 Definition af regningsarterne + og 51 Mængdetal (kardinaltal) 55 Addition og multiplikation af kardinaltal 60 Fusionen mellem tælleremse og mængdetal 63 Modsatte regningsarter 64 Ordning af de naturlige tal 68 Hvordan får vi styr på uendeligheden? 70 Mængdetallene bryder uendelighedsmuren 70 Tælletallene når aldrig uendelig 73 Induktionsbeviset 74 Et induktionsbevis i grafteori 74 Tælling hinsides uendelig 76 Opsamling på kapitel 2 79 Indhold _epsilon_2k.indd :20:40

6 3 Positionssystemer og regnealgoritmer 81 Alfabetaland 81 Fordelene ved positionssystemer 83 Positionssystem med vilkårligt grundtal 84 Regnealgoritmer i andre talsystemer 88 Opsamling på kapitel Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 93 Titalssystemet et positionssystem 94 Addition og subtraktion af flercifrede tal 96 Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 100 Hen imod relativt standardiserede metoder 104 Indledende multiplikation og division 113 Multiplikative situationer 115 Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 119 Forståelse kontra færdighed? 125 Opsamling på kapitel Del II TALTEORI OG MØNSTRE Introduktion Talteori 135 Hvordan finder man primtal? 136 Euklids algoritme 139 Diophantiske ligninger 142 Aritmetikkens fundamentalsætning 145 Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 147 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 149 Opsamling på kapitel Talmønstre og figurrækker 151 Udvikling i femkanttallene 153 Induktionsbeviser 161 Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 163 Bestemmelse af en formel med computerhjælp 166 Hanoitårnet, fraktaler og fibbonaccital 171 Opsamling på kapitel Indhold 72497_epsilon_2k.indd :20:41

7 7 Konkrete materialer i matematikundervisningen 177 Hvorfor konkrete materialer? 178 Hvad er konkrete materialer, og hvordan kan de bruges? 180 Afstanden mellem et konkret materiale og et matematisk begreb 183 Konkrete materialers gennemsigtighed 185 Andre opmærksomhedsfelter vedr. konkrete materialer 190 Opsamling på kapitel Del III ALGEBRA Introduktion Tidlig algebra 197 Tidlig algebra hvad er det? 199 Variable og funktioner i tidlig algebra 200 Carraher, Schliemann m.fl.: funktioner og variable som tilgang til addition 201 Flere eksempler på aktiviteter med variable i indskolingen 204 Ligninger og lighedstegnet 209 Andre eksempler på aktiviteter i tidlig algebra 211 Argumenter omkring lighedstegnet 212 Læring af algebra i et semiotisk perspektiv 215 Kontekstens betydning 217 Opsamling på kapitel Variable 221 Den ukendte som pladsholder og som variabel 222 Variablen i formler og funktioner 229 Opsamling på kapitel Indhold _epsilon_2k.indd :20:41

8 Del IV GEOMETRI Introduktion Geometri i de første skoleår 243 Geometri som kulturel aktivitet 244 Måling i indskolingen om at bestemme længder 248 Richard Lehrer, m.fl.: at udvikle måleværktøjer med mening 250 Clements: at udvikle mening i måleværktøjer 254 Måling og andre faglige områder 256 At arbejde med form i indskolingen 258 Fra tegning til diagram 259 Opfattelse af og fysiske erfaringer med former 260 Begrebsdannelse og geometriske former 263 Van Hieles niveauer 265 Kritik af og inspiration fra van Hieles 267 Opsamling på kapitel Flytninger, eksperimentelt og teoretisk 273 Eksperimentel flytningsgeometri 274 Flytningernes fænomenologi 276 Kombinationer af flytninger 279 Deduktiv flytningsgeometri 284 Vores teoretiske model: isometrierne 284 Refleksionerne som byggesten for isometrier 286 Hovedsætningen om isometrier 291 Klassifikation af alle flytninger i planen 293 Opsamling på kapitel Symmetrier og mønstre i verden og i geometrien 303 Symmetri i enkeltformer 303 Frisemønstre 311 Tapetmønstre og fliser 314 Konstruktion af fantasifulde flisemønstre 315 En duft af krystallografi 318 Opsamling på kapitel Indhold 72497_epsilon_2k.indd :20:41

9 13 Den elementære skolematematik, perspektiveret ved symmetrier og flytningsregning 323 Karakteristik af de almindeligste polygonale former i skolen 324 Symmetrier i van Hieles didaktik 325 Den perfekte cirkel, ellipsen og ovalen 327 Gruppen, en alternativ regneverden 329 Betydningen af gruppeteori i strukturundersøgelser 338 Opsamling på kapitel Eksperimentelle undersøgelser af former i rummet 341 Genopdagelse af de platoniske legemer 342 Eulers polyedersætning 343 Descartes spidsheder 344 Halvregulære polyedre som inspiration 346 Opsamling på kapitel Geometri i nyere tid 351 Grafteori 351 Teorien for Eulerture 354 Eulers polyedersætning med grafteoretisk bevis 357 Topologi og eulertallet 362 Kuglefladen 363 Baderinge (torusser) og Möbiusbånd 364 Taxageometri i plan og rum 365 Opsamling på kapitel Del V STOKASTIK Introduktion Databehandling 373 At arbejde med data de første skoleår 375 Hvad indgår i at arbejde med data? 375 Perspektiver på data 378 Prøv at være datadetektiv 386 Elever som datadetektiver 391 Opsamling på kapitel Indhold _epsilon_2k.indd :20:41

10 17 Sandsynligheder i skolens yngste klasser 395 Strategier for tilrettelæggelse af undervisning 396 Et eksempel på sandsynlighedsundervisning i den franske skole 398 Elevers forståelse af sandsynligheder 402 Statistiske sandsynligheder 408 En vifte af metoder til løsning af en enkelt elevopgave Det konkrete eksperiment Det simulerede eksperiment Teoretisk beregning baseret på hele tal, tælletræ Teoretisk beregning under anvendelse af brøkbegrebet Chancetræer. Teoretisk behandling under anvendelse af addition og multiplikation af brøker 415 Reducerede chancetræer og betinget sandsynlighed 419 Opsamling af kapitel Referencer 429 Stikordsregister Indhold 72497_epsilon_2k.indd :20:41

11 Forord Matematik for lærerstuderende er et lærebogssystem, der afspejler, at linjefaget i matematik er blevet stærkt forøget i forhold til tidligere årtier. Det giver nogle helt nye muligheder for, at den studerende kan kvalificere sig til den kommende praksis. Der er tildelt næsten den dobbelte studietid til linjefagsuddannelsen, og det endda selv om den studerende nu kun skal kvalificere sig til at undervise på seks af skolens klassetrin. Den studerende, der går i gang med denne bog, vil have valgt specialiseringen mod grundskolens begynder- og mellemtrin. Den studerende, der bruger systemet Matematik for lærerstuderende, vil under fællesdelen have arbejdet med det meste af ϒ-bogen og en god del af den almene fagdidaktik i δ-bogen samt selvfølgelig de ting, som man lokalt er blevet enige om at lægge særlig vægt på. Formålet med denne ε-bog er at levere fagligt og fagdidaktisk materiale, således at den lærerstuderende kan specialisere sig til at være lærer på klassetrin. Det mere almene fagdidaktiske stof vil stadig skulle søges i δ-bogen, mens den fagdidaktik/stofdidaktik, der retter sig specifikt mod de faglige emner i de første skoleår, findes her i ε-bogen. For en typisk lærerstuderende med en god baggrund i matematik fra ungdomsuddannelserne vil det at være matematiklærer i klasse opleves som en større udfordring end at være lærer på sluttrinnet. Rent fagligt er forskellen på det, man selv kan, og det man skal undervise i, så stor, at man nemt kommer til at tage fejl af børnenes forudsætninger og behov. Derfor er der på dette niveau et helt særligt behov for at lære om elevernes forforståelser og medbragte tankegods. Det er også velkendt, at eleverne på godt og ondt har større formbarhed i de tidlige skoleår. Her dannes ikke blot de første faglige begreber, men også elevens holdninger og indstillinger til matematik bliver formet derfor er lærerens ansvar særlig stort. Så kan man vel bare bruge ekstra meget tid på de første skoleårs matematikdidaktik og lægge mindre vægt på det rent faglige, der vel ikke kan være Forord _epsilon_2k.indd :20:41

12 så krævende i klasse? Nej, for her må man skelne mellem, hvad der er elevens behov, og hvad der er lærerens behov. En moderne matematikundervisning bygger i stort omfang på, at læreren fanger idéer og udsagn fra dialogerne i klasseværelset og i en videre dialog styrker fagligheden hos den enkelte og i klassen som helhed. For at kunne gøre dette kræves en ret stor faglighed ikke den videregående matematik, men en stor bredde i den elementære matematik. Matematiklæreren skal kunne præsentere begreber og metoder på mange måder, så der er tilgange, der taler til hver enkelt elevs forestillinger. Den lærerstuderende skal imidlertid også udvikle sine egne matematiske kompetencer, som de er beskrevet i bekendtgørelsen for læreruddannelsen og som de fx vil blive evalueret ved en centralt stillet, skriftlig prøve. Vi har derfor skrevet ε med en overvægt af matematikfagligt stof, men i hver af bogens fem dele er der tillige mindst ét fagdidaktisk kapitel. Nogle af de faglige emner behandles ret kortfattet, idet de har fået en grundig behandling i ϒ -bogen. Mange vil sikkert have sprunget over dele af ϒ -bogen i linjefagets fællesdel. I så fald er det tanken, at man indtænker disse dele undervejs i arbejdet med ε-bogen Som forfattere har vi søgt at lette dette arbejde ved ofte at referere til de relevante steder i ϒ-bogen. Strukturen i denne bog Den første del af bogen drejer sig om et emne, der gennem generationer har været dominerende i de første skoleår, nemlig de naturlige tal. Behandlingen af de naturlige tal i del I har et dobbelt sigte. Dels skal læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels skal læseren få lejlighed til at kende områdets stofdidaktik. Del I består af fire kapitler, hvoraf det første sætter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring det første skoleår. Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og dernæst positionssystemer og regnealgoritmer. I det afsluttende kapitel sætter vi igen fokus på eleverne og stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver dér at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal. 12 Forord 72497_epsilon_2k.indd :20:41

13 I den anden del graver vi lidt dybere ned i de naturlige tals verden for bl.a. at tilfredsstille det mål i den aktuelt gældende danske læreruddannelse, at den kommende matematiklærer skal kunne redegøre for dybde og sammenhæng mellem folkeskolefagets stofområder på begynder- og mellemtrin og dele af videnskabsfaget matematik. Det sker bl.a. ved, at vi tager fat i emnet talteori, der bringer os om ad klassiske teknikker som Eratosthenes si, Euklids algoritme og løsning af diophantiske ligninger, før vi igen lander i skolens hverdag og ser på, hvordan dette stof kan give anledning til aktiviteter i skolen. Men vi vil også se på talmønstre og figurrækker, der er et af de nyere emner i grundskolen. Her inviteres læseren på den ene side til at gå på opdagelse i talmønstre og fastholdes på den anden side i kravet om bevis, hvilket i denne sammenhæng typisk vil være induktionsbeviset. Arbejdet med talmønstre og figurrækker lægger op til det arbejde med funktioner og variable, som er overskriften for bogens del III. Funktioner og variable er måske ikke det første, man tænker på i forbindelse med matematikundervisning i de første skoleår, men vi tilslutter os den dominerende holdning blandt fagdidaktikere om, at det er vigtigt at starte tidligt med variabelbegrebet i skolen. I matematikdidaktikken hedder dette felt tidlig algebra, og vi vil i nogle cases se på og reflektere over, hvordan børn kan arbejde med ubekendte og variable på alderssvarende niveau. Samtidig med, at læseren således får indblik i stofdidaktikken på området, inviteres der til, at man på eget niveau arbejder med variabelbegrebet, som det kommer til udtryk i ligninger, formler og funktioner, således at man er fagligt rustet, når eleverne selv finder sidespor og beder læreren om hjælp. Vi har i ϒ-bogenarbejdet med mange af de centrale geometriske emner, som vi derfor ikke vil tage op igen i denne fremstilling. Tilbage står dog en række vigtige geometriske emner, som er relevante for klasse, og som tages op i del IV, nemlig: flytninger, symmetrier samt formlæren i rummet og nyere geometrier som grafteori og taxageometri. Symmetrier og mønstre indgår i matematikundervisningen fra de første skoleår og findes i alle lærebogssystemer. Vi vil også benytte symmetrier og flytninger til at perspektivere dele af undervisningen i tal og geometri i de første skoleår. I del IV tilgodeses det stofdidaktiske aspekt i et indledende kapitel med Forord _epsilon_2k.indd :20:41

14 fokus på måling og den geometriske begrebsudvikling hos børn, bl.a. som den er fremstillet hos den hollandske didaktiker van Hiele. Læseren vil via de sidste kapitler af ϒ -bogen have et bredt fagligt og stofdidaktisk fundament for arbejdet med stokastik i skolen. Det supplerer vi her i del V med et særligt fokus på stokastikken i de tre første skoleår. Samtidig vil vi gerne fortsætte den holdningsbearbejdning, vi startede på i ϒ -bogen, hvor vi prøvede at få læseren til at lægge mere vægt på tolkning af konkrete data end på at bruge en præfabrikeret skabelon til alle data. Vi betegner denne nye holdning med navnet datadetektiv. Del V består af to kapitler, hvor vi i hvert kapitel har prøvet at flette didaktiske overvejelser sammen med tilsvarende faglige udfordringer for læseren. Selv om disse udfordringer er på læserens eget niveau, er de netop af en karakter, der ligger tæt på den faglighed og holdningsmæssige indstilling, en lærer har brug for som ballast både i undervisning og i vejledning af elever. Der vil igen for denne bogs vedkommende findes svarforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside (søg på Epsilon ). København, juni 2008 Kristine Jess, Jeppe Skott, John Schou og Hans Christian Hansen 14 Forord 72497_epsilon_2k.indd :20:41

15 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:41

16 72497_epsilon_2k.indd :20:41

17 Introduktion Ser man på lærebøger fra tiden efter skoleloven af 1814, vil man opdage, at det helt dominerende emne i matematikundervisningen i de første skoleår er de naturlige tal, dvs. tallene 1, 2, 3, og regning med dem. Også forskellige former for måling af vægt, tid, længde, areal og rumfang er helt afhængige af disse tal, og statistik, et nytilkommet emne i begynderundervisningen, er ligeledes en anvendelse af tal. Læseren af denne bog vil sandsynligvis under arbejdet med fællesdelen af linjefaget have benyttet ϒ -bogen, og derfra have et godt kendskab til de hele tal og brøkerne, som er knyttet til mellemtrinnets emnekreds. I ϒ -bogen tog vi de naturlige tal som noget givet, som vi kun behandlede i en fortælling om talbegrebets historie. Behandlingen af de naturlige tal i første del af denne bog har et dobbelt sigte. Dels kan læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels kan læreren, eller den kommende lærer, få indsigt i områdets stofdidaktik. Behandlingen af de naturlige tal består af fire kapitler, hvoraf det første sætter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår. Vi giver først et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af det at tælle børn typisk har, når de kommer i skole. Dernæst diskuterer vi, hvordan man som lærer kan bygge videre på børnenes forforståelser. Fokus er her på addition og subtraktion og på de situationer, hvor disse regnearter kan komme i anvendelse. Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og positionssystemer og regnealgoritmer. I matematikken findes to forskellige forståelser af de naturlige tal, nemlig som kardinaltal (mængdetal) og som ordinaltal (tælletal). Når vi medtager en faglig behandling af disse to måder at opfatte tal på, er det, fordi didaktik- Introduktion _epsilon_2k.indd :20:41

18 ken om de naturlige tal har taget disse faglige termer til sig, og skolebøgerne klart er præget af både kardinaltal og ordinaltal. Sigtet med kapitlet er imidlertid fagligt. Læseren skal prøve at bevise elementære egenskaber ved de naturlige tal, både inden for teorien om kardinaltal og inden for teorien om ordinaltal. I den klassiske regneundervisning indtog de fire regningsarter, udført efter nøje beskrevne metoder (algoritmer) en dominerende rolle. Den nyere matematikundervisnings princip om, at eleven skal være medkonstruktør af disse algoritmer, kræver en større faglighed af læreren og et bredere syn på såvel talsystemer som mulige regnemetoder. Derfor følger endnu et matematikfagligt kapitel, der drejer sig om talsystemer og regnealgoritmer. Her får læseren lejlighed til at sætte sig i elevens sted, idet der gennem hele kapitlet arbejdes med fremmede talsystemer. I det første, Alfabetaland, er både talsystemet og cifrene anderledes end normalt. Intentionen er, at læseren ved at arbejde med det kan udvikle en dybere forståelse af de måder, tal og regnearter normalt repræsenteres på. De fremmede talsystemer, fx totalssystemet, er dog ikke udelukkende skabt for at uddanne lærere, men bl.a. også for at muliggøre beregninger i computere og lommeregnere Afslutningsvis sætter vi igen fokus på eleverne og på stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal. Der har i skolefaget matematik traditionelt været en modstilling af færdighed og forståelse ikke mindst i forbindelse med netop regnealgoritmerne. Vi gør rede for, at der er både teoretisk og empirisk belæg for at ophæve denne modsætning. 18 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:41

19 1 Børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår Når eleverne begynder i skole, kan de tælle. Det kan de i den forstand, at de kan tælleremsen et stykke ad vejen; de kan finde, hvor mange enheder der er i en bunke af fx 9 centicubes; og ved at tælle kan de finde resultatet i simple additionssituationer, hvis de har konkrete materialer til rådighed (hvis Albert har fundet 6 kastanjer, og Usman har 7, hvor mange har de så tilsammen?). Og der er nogle elever, der kan meget mere end det. I de første skoleår handler de mest dominerende matematikaktiviteter om tal og om indledende regneoperationer. Det gør de, fordi eleverne i denne periode skal udbygge deres forståelse af de naturlige tal og af de måder, hvorpå man kan benytte tal til at beskrive og beregne størrelser. De skal således udvikle forståelser af tal og færdigheder i talbehandling, der er kvalitativt forskellige fra dem, de møder med, når de kommer i skole. Det er arbejdet med at facilitere elevernes faglige læring på disse områder, der er omdrejningspunkt i dette kapitel. Der er over de sidste årtier gennemført en meget stor mængde undersøgelser af små skolebørns talforståelser og -færdigheder. De handler fx om, hvordan børnene opfatter tal, og hvordan de forstår de forskellige typer af situationer, hvor addition og subtraktion kan komme i spil. Desuden drejer de sig om, hvordan man kan understøtte børns udvikling af både talforståelse og færdigheder i talbehandling. Det er en hovedpointe i en stor del af disse undersøgelser, at de to sider af talarbejdet, færdighederne og forståelsen, må udvikles i tæt indbyrdes sam- Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer _epsilon_2k.indd :20:41

20 menhæng. Den overordnede hensigt med dette kapitel er, at læseren udvikler en forståelse af, hvordan man som lærer kan bidrage til det i skolens yngste klasser. Ved at arbejde med forskningsresultaterne i direkte tilknytning til elevers tænkning om og aktivitet med tal er det mere specifikt hensigten, at læseren efter endt læsning: Har dannet sig et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af at tælle, børn typisk har med, når de kommer i skole. Har udviklet en forståelse af og idéer til, hvordan der kan bygges på elevernes tællestrategier i arbejdet med tal i indskolingen, herunder at læseren kan forholde sig til den kritik, der har været rettet mod en dominerende tradition i dette arbejde. Kan beskrive forskellige situationer, hvor additiv tænkning kan bringes i anvendelse, og kender til de måder, elever typisk går til sådanne situationer på. Tal og det at tælle Tal bruges på mange forskellige måder, og det gør det at tælle også. Vi skal i det følgende se på de måder at benytte tal på, som børn gerne skal komme til at beherske, og vi skal se på udviklingen i deres tællestrategier. Vi starter med at se på et eksempel med et tilhørende oplæg. Eksempel 1 Figur 1. Eritrea, et lille land på Afrikas horn, havde deltagere med ved en olympiade for blot anden gang i Athen i Der var 15 eritreere med, blandt dem den 22 årige mellem- og langdistanceløber Zersenay Tadesse. Med nummer 1553 på brystet gennemførte han finalen i meter i tiden og kom ind på en tredjeplads blandt de 24 løbere. Tadesse vandt dermed Eritreas første olympiske medalje nogensinde. 20 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:42

21 Opgave 1 Læs omtalen af Zersenay Tedesse i eksemplet ovenfor. Undersøg, hvilke måder tal og talord benyttes på, og beskriv forskellene på og sammenhængene mellem de forskellige måder. Vi kan benytte tal til at beskrive størrelsen på en mængde. Det gør vi, når vi fx siger, at der er 26 elever i 1.a, eller, at der er 7 bøger i serien om Harry Potter. Her bruges hhv. 26 og 7 til at angive størrelsen på en mængde af diskrete 1 elementer, angivet ved antallet af elementer i mængden. Tal bruges da som kardinaltal. Det er en anden brug af tal, hvis vi ser på 1 tallet i 1.a eller på talordet syvende i formuleringen den syvende og sidste bog i serien om den berømte troldmand hedder Harry Potter og dødsregalierne. Her er der stadig tale om at behandle en diskret mængde af objekter, hhv. klasser og bøger, men tallet benyttes ikke til at angive størrelsen på hele mængden, men derimod til at angive et elements relative placering i den. Der angives således en vis ordning af mængden, og man taler om en ordinal brug af talord eller om ordinaltal. Der er tale om en tredje anvendelse af talord, når man siger, at eleverne i 1.a løber i gennemsnit 60 meter på 12,9 sekunder og Harry Potter og dødsregalierne koster 329,00 kr. Her angiver tallene 60, 14,9 og 329,00 ikke et antal af diskrete elementer i en mængde. De er i stedet knyttet til kontinuerte størrelser, nemlig længde, tid og værdi (målt i penge). Det, der tælles, er således ikke på forhånd iagttagelige elementer som elever eller bøger selv om man naturligvis kan forestille sig en mængde af 329 enkroner som betaling for bogen. Derimod er det enheder, og tallet er et måltal, der angiver det antal gange, en valgt enhed må benyttes for at kunne fylde den kontinuerte mængde ud. Enhederne er meter, sekunder og kroner. I modsætning til det kardinale og det ordinale tilfælde behøver der her ikke være tale om hele tal. Der er således tre numeriske måder at bruge tal på, nemlig som kardinaltal, som ordinaltal og som måltal. Imidlertid er de ikke helt adskilte. Fx introducerer formuleringen Carlo er det tredje barn i familien en ordning ved 1 Diskrete betyder i denne forbindelse adskilte. De naturlige tal er en mængde af diskrete tal, hvor et tal er adskilt fra det foregående og det næste tal. Den radikale modsætning er de reelle tal, der er en helt sammenhængende talmængde, hvor det slet ikke giver mening at tale om det næste tal. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer _epsilon_2k.indd :20:42

22 at placere Carlo i rækken af børn. Men samtidig betyder den, at Carlo og hans to ældre søskende udgør en gruppe på tre. Her var hensigten (måske) ordinal, men formuleringen kan fortolkes kardinalt. Imidlertid kan der også være et ordinalt aspekt involveret, hvis hensigten er kardinal. Hvis man tæller for at finde svar på spørgsmålet: Hvor mange er der? indfører man på sin vis en ordning i mængden, idet man introducerer en tællerækkefølge. Hvis man fx tæller 8 børn, mens man peger på dem en efter en, så betyder otte, at det pågældende barn er det ottende i den rækkefølge, man har lavet ved at tælle. Men her var vi ikke interesseret i rækkefølgen, dvs. i at fx Camilla blev nr. 8. Derimod var vi interesseret i, hvor mange børn der var, dvs. i at bruge otte kardinalt. Det kræver, at man foretager det, Fuson kalder en kardinal integration, dvs. at man knytter otte til ikke bare Camilla, men til mængdens mangehed (the manyness). Tilsvarende er der en måleintegration involveret, når man i en målesituation forbinder den sidst talte måleenhed med det samlede antal enheder, der bruges (Fuson 1988). Tal bruges dog også ikke-numerisk, dvs. på måder hvor der ikke eller i hvert fald ikke primært er tale om en kvantificering. For det første siger små børn tælleremsen uden at knytte indhold til ordene. Tælleremsen er da netop blot en remse, og ordene betyder da hverken mere eller mindre end okker-gokker-gummiklokker. Ja, faktisk kan børn ofte allerede fra 2 årsalderen sige dele af tælleremsen korrekt, uden at de af den grund kan tillægge remsen mening (ibid., kapitel 2). For det andet benytter også voksne talord i situationer, hvor det væsentligste ikke er tallenes kvantitative aspekt. Det er tilfældet, når man bruger tal som identifikation, snarere end som en størrelsesangivelse. Nummerplader og telefonnumre er relevante eksempler. Og i nogle lande har fx skoler ikke navne, men numre, så man som elev fx går på skole nr. 7. Der kan godt være et element af ordinalitet i den måde, disse navne tildeles på. Det gælder i den indlysende forstand, at man ofte begynder med de mindste af de tal, der kan benyttes til et givet formål. Fx er skole nr. 1 vel typisk den første, der blev oprettet. Selv i sådanne tilfælde er ordinaliteten dog ikke altid fuldkommen, og den er kun sjældent interessant. Det er således ikke hverken givet eller interessant, om busrute 112 blev etableret før rute 83, eller om Zersenay Tadesse med nummer 1153 blev meldt til Olympiaden før eller efter deltageren med nummer 1152 (jf. eksempel 1). Og under alle 22 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd :20:43

23 omstændigheder giver det næppe mening at regne på tal, der benyttes til identifikation. I alle vores eksempler ovenfor har vi brugt tal i konkrete sammenhænge. Det er også afgørende, at man gør det i undervisningen, ikke mindst i de første skoleår. Imidlertid er det hensigten, at børn efterhånden kommer til at operere på tal som matematiske størrelser, dvs. så tallenes mening også kommer fra deres relationer til andre tal uden reference til konkrete situationer. Så forbindes 6 ikke bare med 6 perler, der skal tælles, men at August er den 6. ældste i klassen eller med at klassen er 6 bred, hvis det er elever i 1. klasse, man måler med. 6 får i stedet (også) sin mening fra sine relationer til andre tal, fx at 6 = 4 + 2, at = 12, at = 10, at 6 er det dobbelte af 3, og at 6 = , og meget senere at 6 er produktet af de to mindste primtal, at det er kvadratroden af 36, og at hvis man ganger 6 med radius i en cirkel, så får man med nogen tilnærmelse cirklens omkreds. I et sådant netværk af relationer bliver 6 ikke bare noget, man kan bruge til at beskrive sin omverden med. Tallet får nærmest genstandskarakter, det bliver noget, man kan gøre noget med. Det er et gennemgående argument i dette kapitel, at udviklingen af en sådan talforståelse bedst understøttes ved, at eleverne i de første skoleår i høj grad benytter konkrete genstande i deres talarbejde, så de fortolker symbolske talangivelser ved konkrete materialer eller tegninger, og at de omvendt anvender symboler som beskrivelser af konkrete situationer. Der er belæg for at sige, at det er i en sådan dobbeltbevægelse fra relativt konkrete størrelser til symboler og fra symboler til konkrete størrelser, at talforståelser og talfærdigheder kan udvikles. Når man som voksen har benyttet tal utallige (!) gange, synes forskellene i brugen af tal ubetydelige, ja måske endda svære at få øje på. Det skyldes, at tal netop har fået deres eget liv, så det er tallene, man opererer på, når man regner, snarere end de konkrete sammenhænge. Men for børn, der først er ved at udvikle en talforståelse, er det ikke indlysende, at tal, kan bringes i anvendelse på så forskellige måder. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer _epsilon_2k.indd :20:43

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Formål for faget Matematik

Formål for faget Matematik Formål for faget Matematik Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

It i Fælles mål 2009- Matematik

It i Fælles mål 2009- Matematik It i Fælles mål 2009- Matematik Markeringer af hvor it er nævnt. Markeringen er ikke udtømmende og endelig. Flemming Holt, PITT Aalborg Kommune Fælles Mål 2009 - Matematik Faghæfte 12 Formål for faget

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet

Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematik UVMs Trinmål synoptisk fremstillet Matematiske kompetencer Trinmål efter 3. klassetrin Trinmål efter 6. klassetrin Trinmål efter 9. klassetrin indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

7. KLASSE 6. KLASSE 5. KLASSE 4. KLASSE 3. KLASSE 2. KLASSE 1. KLASSE BH. KLASSE

7. KLASSE 6. KLASSE 5. KLASSE 4. KLASSE 3. KLASSE 2. KLASSE 1. KLASSE BH. KLASSE 7. KLASSE 6. KLASSE 5. KLASSE 4. KLASSE 3. KLASSE 2. KLASSE 1. KLASSE BH. KLASSE FORORD At leve i et demokratisk samfund er ensbetydende med, at alle har ret til uddannelse, uanset deres forskellige kultur,

Læs mere

tal, algebra og funktioner

tal, algebra og funktioner JOhN schou kristine JEss hans christian hansen JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 4. 10. klasse Joh n Schou, Kristine Jess, Hans Christian Hansen og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Årsplan 1. klasse Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Bageriet Loppearabere marked ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Årsplan matematik 6.klasse - skoleår 13/14- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 6.klasse - skoleår 13/14- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer BASIS: Klassen består af 22 elever og der er afsat 5 ugentlige timer til faget. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 6, arbejds- og grundbog, tilhørende kopisider + CD-rom, REMA og andre relevante

Læs mere

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014 Uge Emne Trinmål for faget Læringsmål for emnet 33 Opstart 34 - Relationer 35 36-38 39-40 41 42 43-48 Tallene 1-10 Geometriske figurer Aktiv Rundt i Danmark Tale om sprog Lægge mærke til naturfaglige fra

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematik (aldersspecialiseret)

Matematik (aldersspecialiseret) Studieordningsbestemmelser for Læreruddannelsen i Århus Matematik (aldersspecialiseret) Fagets identitet Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved samspillet mellem matematiske kompetencer,

Læs mere

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Fra antologien Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Artikel fra antologien Kommunikation i matematik v/kirsten Søs Spahn, lærer, exam.pæd., pædagogisk konsulent i matematik, Center for

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

FRISKOLEN I STARREKLINTE. Starreklinte, august 2011 UNDERVISNING. faget MATEMATIK

FRISKOLEN I STARREKLINTE. Starreklinte, august 2011 UNDERVISNING. faget MATEMATIK FRISKOLEN I STARREKLINTE Starreklinte, august 2011 UNDERVISNING i faget MATEMATIK Indholdsfortegnelse: Matematik 1. Generelt for faget matematik..... 3 2. Formål for faget matematik... 4 3. Slutmål.....

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

www.navimat.dk MIO i Danmark

www.navimat.dk MIO i Danmark www.navimat.dk MIO i Danmark I NAVIMAT (Nationalt Videncenter for Matematikdidaktik) har vi i det sidste år arbejdet med at tilrette det norske observationsmateriale MIO til danske forhold. Udgangspunktet

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Regnemetoder til store tal

Regnemetoder til store tal Regnemetoder til store tal Navn: Studienr.: Fag: Faglig vejleder: Pædagogisk vejleder: Tea Therkelsen Christensen A100056 Matematik Lars Reidar Salomonson Pia Susanne Frederiksen Antal sider i alt, inkl.

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Årsplan matematik 5.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 5.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer BASIS: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer + 1 time klassens tid, hvor der skal være tid til det sociale i klassen. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 5, arbejds- og grundbog,

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

UNDERVISNINGSPLAN Del- Og slutmål Matematik 1. - 9. klasse

UNDERVISNINGSPLAN Del- Og slutmål Matematik 1. - 9. klasse UNDERVISNINGSPLAN Del- Og slutmål Matematik 1. - 9. klasse 1. klasse Denne undervisning begynder med at tælle, tælle rytmisk fulgt af klappe-, gå-, trampe- og hoppeøvelser. Fra rytmisk tælling er vejen

Læs mere

Evaluering af matematik 0. klasse

Evaluering af matematik 0. klasse Evaluering af matematik 0. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Undervisningsplan matematik (Peter Skjoldborg)

Undervisningsplan matematik (Peter Skjoldborg) Undervisningsplan matematik (Peter Skjoldborg) Der undervises i matematik på alle klassetrin (1.-9. klasse) De centrale kundskabs- og færdighedsområder er:!!!! Formål Formålet med undervisningen i matematik

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik i børnehøjde

Matematik i børnehøjde Matematik i børnehøjde Uglerne 2009 Hættegården Vi spillede kryds og bolle Det begyndte nærmest ved en tilfældighed. Et par piger gik rundt med en kurv med murerværktøj i plastik og vi faldt i snak om,

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Paradigmer til faget Matematik, modul 1

Paradigmer til faget Matematik, modul 1 Paradigmer til faget Matematik, modul 1 Fag Matematik modul 1 Fagets formål Formålet med undervisningen i matematik er at styrke de studerendes matematiske kompetencer ud fra de forudsætninger, de har.

Læs mere

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne:

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne: Lærervejledningen giver supplerende oplysninger og forslag til scenariet. En generel lærervejledning fortæller om de gennemgående træk ved alle scenarier samt om intentionerne i Matematikkens Univers.

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere