Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff

Transkript

1 Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark Per Brockhoff Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Oversigt 1 Tæthedsfunktion Fordelingsfunktion Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel Kovariansen af to stokastiske variable 2 Eksempel 1 Eksempel 3 Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 Eksempel 8 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 Eksempel 1 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion (probability density function (pdf)) Tæthedsfunktion for en kontinuert variabel Tæthedsfunktionen for en stokastisk variabel betegnes ved f() f() siger noget om hyppigheden af udfaldet for den stokastiske variabel X For kontinuerte variable svarer tætheden ikke til sandsynligheden, dvs. f() P (X = ) Et godt plot af f() er et histogram (kontinuert) f() P (a < X b) a b Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

2 Tæthedsfunktion Fordelingsfunktion Tæthedsfunktion for en kontinuert variabel Fordelingsfunktion (distribution function eller cumulative density function (cdf)) For en kontinuert stokastisk variabel skrives tæthedsfunktionen som: f() Der gælder: f() for alle mulige f()d = 1 Fordelingsfunktion for en kontinuert stokastisk variabel betegnes ved F (). Fordelingsfunktionen svarer til den kumulerede tæthedsfunktion: F () = P (X ) F () = f(u)du f() = F () Et godt plot for fordelingsfunktionen er den kumulative fordeling Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Fordelingsfunktion Fordelingsfunktion Fordelingsfunktion (distribution function eller cumulative density function (cdf)) Den empiriske cumulative distribution function - ecdf Student height eample from Chapter 1: F () P (a < X b) = F (b) F (a) a b <- c(168,161,167,179,184,166,198,187,191,179) plot(ecdf(), verticals = TRUE) p <- seq(.9*min(), 1.1*ma(), length.out = 1) lines(p, pnorm(p, mean(), sd())) Fn() ecdf() Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

3 Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel Middelværdi (mean) af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel Middelværdien af en kontinuert stokastisk variabel µ = f()d Variansen af en kontinuert stokastisk variabel: σ 2 = ( µ) 2 f()d Sammenlign med den diskrete definition: Sammenlign med den diskrete definition: µ = i f( i ) i=1 σ 2 = ( i µ) 2 f( i ) i=1 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Kovariansen af to stokastiske variable Kovariansen af to stokastiske variable Konkrete statistiske fordelinger Kovariansen af to stokastiske variable: Let X and Y be two random variables, then the covariance between X and Y, is Cov(X, Y ) = E[(X E[X])(Y E[Y ])] Der findes en række statistiske fordelinger, som kan bruges til at beskrive og analysere forskellige problemstillinger med Vi betragter nu kontinuerte fordelinger Normal fordelingen Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

4 Skrivemåde: X U(α, β) Tæthedsfunktion: f() = 1 β α Middelværdi: µ = α+β 2 Taethed, f() Uniform fordeling U(4,5) Varians: σ 2 = 1 12 (β α)2 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Eksempel 1 Eksempel 1 - forts. Medarbejdere på en arbejdsplads ankommer mellem klokken 8. og 8.3. Det antages, at ankomsttiden kan beskrives ved en uniform fordeling. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt medarbejder (Hans) ankommer mellem 8.2 og 8.3? 1/3=1/3 punif(3,,3)-punif(2,,3) Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt medarbejder (Martin) ankommer efter 8.3? 1-punif(3,,3) [1] [1] Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

5 Taethed, f() Normalfordeling Normal fordelingen Skrivemåde: X N(µ, σ 2 ) Tæthedsfunktion: f() = 1 σ 2π ( µ) 2 e 2σ Middelværdi: µ = µ Varians: σ 2 = σ 2 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Normalfordeling N(,1 2 ) Sammenligning af to normalfordelinger med forskellig middelvardi og ens varians N(,1 2 ) N(5,1 2 ) Taethed, f() σ 2σ σ µ σ 2σ 3σ Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

6 Sammenligning af tre normalfordelinger med ens middelvardi og forskellig varians Normal fordelingen Taethed, f() En standard normal fordeling: Z N(, 1 2 ) En normalfordeling med middelværdi og varians 1. Standardisering: En vilkårlig normal fordelt variabel X N(µ, σ 2 ) kan standardiseres ved at beregne Z = X µ σ Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Målefejl: En vægt har en målefejl, Z, der kan beskrives ved en standard normalfordeling, dvs Z N(, 1 2 ) dvs. middelværdi µ = og spredning σ = 1 gram. Vi måler nu vægten af ét emne pnorm(-2) [1].2275 Spørgsmål a): Hvad er sandsynligheden for at vægten måler mindst 2 gram for lidt? dnorm(z) P (Z 2) = z pnorm(-2) Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

7 Spørgsmål b): Hvad er sandsynligheden for at vægten måler mindst 2 gram for meget? P (Z 2) =.2275 Spørgsmål c): Hvad er sandsynligheden for at vægten måler højst ±1 gram forkert? P ( Z 1) = P ( 1 Z 1) = P (Z 1) P (Z 1) = pnorm(2) [1].2275 dnorm(z) pnorm(1)-pnorm(-1) [1] dnorm(z) Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 z Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, z Forelæsning 3 Foråret / 55 Spørgsmål c): Hvad er sandsynligheden for at vægten måler højst ±1 gram forkert? P ( Z 1) = P ( 1 Z 1) = P (Z 1) P (Z 1) =.683 pnorm(1)-pnorm(-1) [1] dnorm(z) Eksempel 3 Indkomstfordeling: Det antages, at blandt en gruppe lærere i folkeskolen, at lønnen kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ = 28. og spredning σ = 1.. Spørgsmål a): Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt lærer tjener mere end 3.? P (X > 3) = P (Z > ) = P (Z > 2) = X N(3, 1 2 ) Z = X 28 1 N(, 1 2 ) Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, z Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

8 Eksempel 3 Spørgsmål a): Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt lærer tjener mere end 3.? 1-pnorm(3, m = 28, s = 1) [1] pnorm((3-28)/1) [1].2275 dnorm(z) Eksempel 4 En mere smal fordeling: Det antages, at blandt en gruppe lærere i folkeskolen, at lønnen kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ = 29. og spredning σ = 4.. Spørgsmål a): Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt lærer tjener mere end 3.? z Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Eksempel 4 Spørgsmål a): Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt lærer tjener mere end 3.? 1-pnorm(3, m = 29, s = 4) [1].6297 Eksempel 5 Samme indkomstfordeling Det antages, at blandt en gruppe lærere i folkeskolen, at lønnen kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi µ = 29. og spredning σ = 4. Omvendt spørgsmål Angiv det interval, der dækker over 95% af læreres løn dnorm(z) qnorm(c(.25,.975), m = 29, s = 4) [1] z Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

9 Skrivemåde: X LN(α, β) Tæthedsfunktion: Middelværdi: µ = e α+β2 /2 f() = { 1 β 2π 1 e (ln() α)2 /2β 2 >, β > ellers Taethed, f().25.2 LN(1,1) Log Normalfordeling LN(1,1) Varians: σ 2 = e 2α+β2 (e β2 1) Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Kontinuerte fordelinger i R Lognormal og : En log-normal fordelt variabel Y LN(α, β), kan transformeres til en standard normal fordelt variabel X ved dvs. X = ln(y ) α β X N(, 1 2 ) R norm unif lnorm ep Betegnelse Den uniforme fordeling Log-normalfordelingen Eponentialfordelingen d Tæthedsfunktion f() (probability density function). p Fordelingsfunktion F () (cumulative distribution function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Tilfældige tal fra fordelingen. Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

10 Eksponentialfordelingen Tæthedsfunktionen { 1 f() = β e /β >, β > ellers er et special tilfælde af Gamma fordelingen anvendes f.eks. til at beskrive levetider og ventetider kan bruges til at beskrive (vente)tiden mellem hændelser i poisson fordelingen Middelværdi µ = β Varians σ 2 = β 2 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Sammenhæng mellem Eksponential og Poisson fordelingen Eksponential fordeling med β=1 1 Poisson: Diskrete hændelser pr. enhed.8 EXP(1) t 1 t 2 Eksponential: Kontinuert afstand mellem hændelser Taethed, f().6.4 tid t Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

11 Eksempel 6 Eksempel 6 Kø-model - poisson proces Ep(2) distribution Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Hvad er sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter? 1-pep(2, rate = 1/2) dep(z, 1/2) P(X<2) =.63 P(X>2) = [1] z Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Eksempel 6 z=seq(,8,by=.1) plot(z,dep(z, 1/2),type = "l", main = "Ep(2) - distribution") polygon(c(2, seq(2, 8, by =.1), 8, 2), c(, dep(seq(2, 8, by =.1), 1/2),, ), col = "pink") tet(3,.7,"p(x>2)") tet(3,.3,"=.37") polygon(c(2, seq(2,, by = -.1),, 2), c(, dep(seq(2,, by =-.1), 1/2),, ), col = "grey") tet(1,.1,"p(x<2)") tet(1,.5,"=.63") Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Eksempel 7 En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen λ 2min = 1, P (X = ) = e 1 1! 1 = e 1 dpois(,1) [1] ep(-1) [1] Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

12 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 8 Andre tidsperioder: Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 1 minutter Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen λ 1min = 5, P (X = ) = e 5 1! 5 = e 5 dpois(,5) Regneregler for stokastiske variable (Gælder BÅDE kontinuert og diskret) X er en stokastisk variabel. Vi antager at a og b er konstanter Da gælder: Middelværdi-regel: E(aX + b) = ae(x) + b Varians-regel: V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) [1] Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Eksempel 9 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 Regneregler for stokastiske variable X er en stokastisk variabel. En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Beregn middelværdi og varians for Y = 3X + 2 E(Y ) = 3E(X) + 2 = = 1 Var(Y ) = ( 3) 2 Var(X) = 9 6 = 54 X 1,..., X n er stokastiske variable Da gælder (når de er uafhængige): Middelværdi-regel: E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) a n E(X n ) Varians-regel: V ar(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 2 1V ar(x 1 ) a 2 nv ar(x n ) Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55

13 Eksempel 1 Flypassager-planlægning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 1 Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(7, 1 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må ma. lastes med 4 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet Hvad er Y=Total passagervægt? Hvad er Y? I hvert fald IKKE: Y = 55 X!!!!!! Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Eksempel 1 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 1 Hvad er Y=Total passagervægt? Y = 55 i=1 X i, hvor X i N(7, 1 2 ) Middelværdi og varians for Y : E(Y ) = E(X i ) = 7 = 55 7 = 385 i=1 i= Var(Y ) = Var(X i ) = 1 = 55 1 = 55 i=1 Bruger normalfordeling for Y : i=1 1-pnorm(4, m = 385, s = sqrt(55)) [1] Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 1 Eksempel 1 - FORKERT ANALYSE Hvad er Y? I hvert fald IKKE: Y = 55 X!!!!!! Middelværdi og varians for Y : E(Y ) = 55 7 = 385 Var(Y ) = 55 2 Var(X) = = 55 2 Bruger normalfordeling for Y : 1-pnorm(4, m = 385, s = 55) [1] Konsekvens af forkert beregning: MANGE spildte penge for flyselskabet!!! Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55 Oversigt Regneregler for stokastiske variable Eksempel 1 1 Tæthedsfunktion Fordelingsfunktion Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel Kovariansen af to stokastiske variable 2 Eksempel 1 Eksempel 3 Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 Eksempel 8 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 9 Eksempel 1 Per Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 3 Foråret / 55