i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0"

Transkript

1 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den tilhørende koefficient er forskellig fra. Ovenstående polynomium har altså grad n såfremt an. I denne note skal vi især se på andengradspolynomier, men til sidst også lidt på polynomier af højere grad. Et andengradspolynomium er altså en funktion på formen f ( ) = a + b+ c, hvor abc,, R og a. Som et redskab til at studere graferne for andengradspolynomier vil vi se på parallelforskydning af grafer i næste afsnit. n n B. Parallelforskydning Antag, at vi parallelforskyder grafen for en funktion f. Spørgsmålet er, om vi kan bestemme en forskrift for funktionen hørende til den parallelforskudte graf? Svaret er bekræftende, som de følgende sætninger viser. I næste afsnit vil vi anvende denne viden til specielt at se på parallelforskydninger af grafer for andengradspolynomier. Sætningerne i dette afsnit gælder imidlertid for enhver funktion f. Sætning Parallelforskydes grafen for funktionen f ( ) med i -aksens retning, så fås grafen for funktionen g ( ) = f( ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af med. Bevis: f ( ) g ( ) f g Af figuren ser vi umiddelbart, at funktionsværdien for g i punktet er lig funktionsværdien for f i punktet, altså g ( ) = f( ).

2 Erik Vestergaard 7BEksempel Givet funktionen f( ) = ( + ). Hvis grafen for denne funktion parallelforskydes med 3 i -aksens retning, så vil man få grafen for en funktion med følgende forskrift: 3 3 g ( ) = f( 3) = (( 3) + ) = ( ) idet vi udskifter alle forekomster af med 3. Sætning 3 Parallelforskydes grafen for funktionen f med y i y-aksens retning, så fås grafen for funktionen g ( ) = f( ) + y. Forskriften for g fås altså ved at lægge y til i forskriften for f. Bevis: g () f () y g f () f Alle y-værdier skal der lægges y til, altså er g ( ) = f( ) + y en forskrift for den nye, parallelforskudte graf. Lad os sammenfatte sætningerne og 3 i én sætning: Sætning 4 Parallelforskydes grafen for funktionen f med (, y ), dvs. med i -aksens retning og med y i y-aksens retning, så fås grafen for funktionen med forskrift g ( ) = f( ) + y. Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af med samt til sidst at lægge y til.

3 Erik Vestergaard 3 B. Grafen for et andengradspolynomium Det mest simple andengradspolynomium, man kan tænke sig, er på formen f ( ) = a. Nedenfor til venstre er grafen for et sådant andengradspolynomium afbildet for tilfældene a =, a = ½ og a =. I alle tilfælde er grafen en parabel med toppunkt i (,). Hvis a er positiv, vender grenene opad, mens de vender nedad, hvis a er negativ. Jo større a er numerisk set, jo stejlere er grenene. 4 a a ½ a BEksempel 5 På figuren ovenfor til højre er grafen for f ( ) = blevet parallelforskudt med (, ). Ifølge sætning 4 er en forskrift for funktionen hørende til den parallelforskudte graf lig med g ( ) = f( ) + = ( ) + = ( + ) + = +. Vi har altså at gøre med et andengradspolynomium med koefficienter a=, b= ogc=. Udfra eksempel 5 er det ikke svært at overbevise sig om, at hvis man parallelforskyder grafen for et simpelt andengradspolynomium med forskrift f ( ) = a, så får man i alle tilfælde grafen for et andengradspolynomium. Spørgsmålet er, om vi kan gå den anden vej: Kan grafen for ethvert andengradspolynomium fås ved at parallelforskyde grafen for et simpelt andengradspolynomium med forskriften f ( ) = a? Svaret er bekræftende, som vi skal se i det følgende. Resultatet skal blandt andet benyttes til at udlede en formel for grafens (parablens) toppunkt.

4 4 Erik Vestergaard Sætning 6 Lad g ( ) = a + b+ cog størrelsen d = b 4ac betegne polynomiets såkaldte diskriminant. Grafen for g kan fås ved at parallelforskyde grafen for det simple andengradspolynomium f ( ) = a med b d () (, y) =, a 4a Specielt er koordinaterne til toppunktet for grafen for udtryk for (, y ). g ( ) givet ved ovenstående Bevis: Lad os starte med at parallelforskyde grafen for f ( ) = a med (, y ), og så først senere afgøre, hvad og y skal sættes lig med, for at man får grafen for g. Ifølge sætning 3 haves: () g ( ) = f( ) + y = a ( ) + y = a ( + ) + y ( ) ( = a a + a + y = a + a + a + y ) Husk, at det er, som er den variable, mens a, og y skal betragtes som konstanter. Vi har altså et andengradspolynomium, hvor koefficienten til andengradsleddet er a, koefficienten til førstegradsleddet er a og nultegradsleddet er lig med a + y. Dette andengradspolynomium er lig med a + b+ c hvis og kun hvis koefficienterne til de forskellige potenser af er ens. Koefficienten til er allerede a, så det stemmer. Derudover kræves altså, at: (3) a = b og a + y = c Første ligning kan opfyldes, hvis vi sætter = b a. Den anden ligning kan opfyldes ved at vælge følgende værdi for y : (4) b b b = = = = y c a c a c a c a 4a 4a = 4ac b 4 ac b (4 ac b ) b 4ac d 4a 4a = 4a = 4a = 4a = 4 a hvor vi i andet lighedstegn har indsat udtrykket for. I femte lighedstegn har vi forlænget første led med 4a, så der skabes en fælles nævner. I syvende lighedstegn har vi ganget med i tælleren og samtidigt ganget hele brøken med. I ottende lighedstegn er minusparentesen hævet og leddenes rækkefølge byttet rundt. Alt i alt viser ovenstående, at grafen for g ( ) = a + b+ cfremkommer ved at parallelforskyde grafen for f ( ) = a med vektoren givet ved udtrykket (). Påstanden om toppunktet for g s graf er herefter en simpel konsekvens af, at toppunktet for grafen for f er (,) : Under parallelforskydningen vil (,) flyttes hen i punktet givet ved ().

5 Erik Vestergaard 5 9BBemærkning 7 Indsættes udtrykkene for og y fra sætning 6 i g ( ) = a ( ) + y, kan vi se, at et generelt andengradspolynomium kan omskrives på følgende måde: (5) b d a + b+ c = a + a 4a BEksempel 8 Betragt andengradspolynomiet g ( ) = + 4. Toppunktet for polynomiets graf fås ved hjælp af formel () i sætning 6, idet d = b 4ac= 4 ( 4) = 9: b d 9 (, y) =, =, (, 4 ) = a 4a 4 Det ses at stemme med grafen nedenfor:

6 6 Erik Vestergaard 3B3. Andengradsligninger En andengradsligning er en ligning på formen a + b+ c =, a. Man skal altså finde eventuelle -værdier, som tilfredsstiller ligningen. Løsningerne til andengradsligningen betegnes i øvrigt også som rødderne til andengradspolynomiet a + b+ c. Sætning 9 Givet andengradsligningen a + b+ c =, a. Idet d = b 4achaves følgende løsninger til andengradsligningen: Hvis d < : Der er ingen løsninger Hvis d = : Der er netop én løsning: = b a Hvis d > : Der er netop to løsninger: b± = a d Bevis: Problemet med andengradsligninger er, at man ikke, som i tilfældet med ligninger af. grad, nemt kan isolere på den ene side af lighedstegnet. Man kan ikke umiddelbart samle leddene med, fordi de har forskellig potens i. Heldigvis kan det alligevel gøres med et trick: Man omskriver ligningen, så man får kvadratet på en toleddet størrelse, hvori indgår. Da derved kun kommer til at stå et sted i ligningen, kan den efter omskrivningen ret nemt løses. Den omtalte omskrivning er faktisk bare den, som vi har i formel (5) i bemærkning 7. (6) a + b+ c = b d a + = a 4a b d a + = a 4a b d + = a 4a For at komme videre må vi splitte op i tre tilfælde, afhængig af værdien af d: d < : Nævneren på højre side af den sidste ligning i (6) er positiv, da a står i anden potens. Når diskriminanten d er negativ, vil hele højresiden derfor være negativ. Venstresiden er en parentes i anden potens; den vil derfor være. Ligningen kan dermed ikke opfyldes. Løsningsmængden er derfor den tomme mængde: Vi skriver L =.

7 Erik Vestergaard 7 d = : I så fald er højresiden lig med. Den eneste mulighed for at et udtryk i anden potens kan være lig med er, at udtrykket selv er lig med. Det giver netop én løsning: b b b + = + = = a a a d > : I dette tilfælde er både tæller og nævner i højresiden ligning i (6) kan dermed omskrives til: b d b d + = + = a 4a a a d (4 a ) positive. Sidste Den eneste måde, hvorpå to udtryk i. potens kan være ens er, hvis udtrykkene er ens, eller det ene udtryk er lig med minus det andet udtryk: b d b d b + = + = + = a a a a a b d b d b± d = + = = a a a a a d a Hvor vi i sidste ensbetydende har sat på fælles brøkstreg. I dette tilfælde er der altså to løsninger. Sætningen er dermed bevist. BBemærkning b± d Man observerer, at formlen = egentlig også kan benyttes til tilfældet d =. a b Indsættes d =, får man korrekt løsningen både når + og anvendes i formlen. a Løsningen kaldes da også for en dobbeltrod til det aktuelle polynomium. BEksempel Lad os bestemme løsningerne til følgende. gradsligning: + 4=. Andengradsligningens koefficienter er: a =, b = og c = 4. Dette giver følgende diskriminant: d = b 4ac= 4 ( 4) =9. Da d er positiv fås de to løsninger b± d ± 9 ± 3 = = = = a 4 p ( ) = + 4, så ser man som forventet, at gra- Tegner man grafen for polynomiet fen skærer -aksen i 4 og :

8 8 Erik Vestergaard BEksempel Løs ligningen + = 4 grafisk og ved beregning. Løsning: Nedenfor er graferne for f( ) = + og g ( ) = 4 tegnet. Ligningens løsninger fås som -koordinaterne til grafernes skæringspunkter: = =

9 Erik Vestergaard 9 Ligningen kan løses ved beregning ved at isolere alt på venstre side, således, at der kun er et på højre side: + = = Vi har altså at gøre med en andengradsligning: d = b 4ac= 4 ( ) = 9. Der er altså to løsninger: b± d ± 9 ± 3 = = = = a ( ) Det stemmer overens med vore aflæsninger på forrige side. 4B4. Faktorisering af andengradspolynomium I dette afsnit skal vi se, at hvis et andengradspolynomium har mindst én reel rod, så kan det faktoriseres til et produkt af to førstegradspolynomier. Sætning 3 Givet et andengradspolynomium f ( ) = a + b+ c. Hvis diskriminanten d, så kan polynomiet faktoriseres på følgende måde: (7) f ( ) = a + b+ c = a( )( ) hvor og er rødderne i andengradspolynomiet. Hvis d = og der dermed kun er én rod, så bruges denne rod som både og. Bevis: Som nævnt i bemærkning, så holder udtrykkene for rødderne i sætning 9 når d >, dvs. b + d b d = = a a egentligt også når d =. Ved indsættelse af d = heri ser vi nemlig, at vi får den korrekte rod b a, godt nok to gange. Vi kan altså bare checke sætningen ved at indsætte disse udtryk for rødderne i højresiden i (7) og se, om det holder. (8) a ( )( ) = a [ ( + ) + ] b+ d b d b b (9) + = + = = a a a a

10 Erik Vestergaard () b+ d b d b d b d = a = + a a a a a b d b d b b 4ac = = = a a 4a 4a 4a 4a 4ac = = 4a c a Vi har i det tredje lighedstegn i () benyttet formlen for to tals sum gange to tals differens! Indsættes (9) og () i (8) fås: () a ( )( ) = b c a + a a = b c a + + = a + b+ c a a 4BEksempel 4 Sætning 3 er nyttig i forskellige sammenhænge. Antag for eksempel, at vi ønsker at konstruere et andengradspolynomium, som har rødderne = 6 og =. Der er frit valg for a. lad os sætte den til. Et polynomium med de ønskede egenskaber er da: a ( )( ) = ( ( 6)) ( ) = ( + 6) ( ) = + 6 = + 4 5BEksempel 5 Reducér udtrykket ; 5. + Løsning: Rødderne i andengradspolynomiet i tælleren bestemmes via sætning 9 til at være 5 og. Ifølge sætning 3 kan vi derfor faktorisere tælleren: 9 5 ( ( 5))( ) ( + 5)( ) + ( + 5) ( + 5) + = = = Da ( + 5) er en fælles faktor i tæller og nævner, kan den forkortes væk, og vi ender med et langt enklere udtryk.

11 Erik Vestergaard 5B5. Andengradsuligheder og andet godt I dette afsnit skal vi se på løsninger til andengradsuligheder samt se på ligninger, som viser sig at være skjulte andengradsligninger. 6BEksempel 6 4 Løs fjerdegradsligningen + 6=. Løsning: Der findes faktisk en generel formel, der kan angive løsningerne til en vilkårlig fjerdegradsligning. Da der imidlertid kun er led med lige potenser af, kan vi reducere problemet til en simpel andengradsligning via substitutionen t =, hvormed 4 = ( ) =t. Hermed fås følgende ligning: t + t 6= Ved brug af formlen for andengradsligningen ser vi, at det giver følgende løsninger: t = t = 3 = = 3 =± Bemærk, at ligningen = 3 ingen løsninger har, så der er ikke fire løsninger her, kun to løsninger. En 4. gradsligning kan højst have fire løsninger! 7BEksempel 7 Løs ligningen + = 3 7,. Løsning: Vi foretager substitutionen t = + t = + ( t ) t = ( t ) Indsættes dette i ligningen fås t = 3( t ) 7 3t t =. Sidstnævnte ligning 5 har løsningerne t = og t =. Da t giver sidstnævnte mulighed ikke anledning til 3 nogen løsninger. Derimod fås t = = t = 3. Altså er = 3 den eneste løsning til den oprindelige ligning. 8BEksempel 8 Det oplyses, at. gradsligningen p( ) = 4 + c, hvor c er et tal, netop har én løsning. Bestem værdien af konstanten c. Løsning: En opgave af denne type kaldes undertiden for en parameteropgave, idet en af koefficienterne er en ukendt parameter. Vi får følgende udtryk for diskriminanten: d = b 4 ac= ( ) 4 4 c= 44 6c. Da der er netop en løsning, skal diskriminanten være lig med. Det giver d = 44 6c= c= 9.

12 6B Erik Vestergaard 9BEksempel 9 Løs andengradsuligheden Løsning: Først løses ligningen 8+ 5=. Man finder rødderne 3 og 5. Koefficienten til er. Da det er en positiv værdi, vender parablens grene opad, som vist på figuren nedenfor. Derfor ligger parablen under -aksen imellem rødderne. Løsningsmængden til uligheden er dermed alle tallene imellem 3 og 5, inklusive endepunkterne. Vi angiver løsningsmængden som et interval: L = [3,5].

13 Erik Vestergaard 3 Opgaver Opgaverne er nummereret, så det første ciffer angiver afsnittets nummer. Opgave 3 angiver således opgave i afsnit 3. BOpgave Nedenfor parallelforskydes grafen for en funktion f med (, y ), så man får grafen for en funktion g. Bestem en forskrift for g ( ). Reducer udtrykket om muligt. a) Grafen for f ( ) = parallelforskydes med (, y ) = (,6). b) Grafen for f ( ) = parallelforskydes med (, y ) = (,). c) Grafen for f ( ) = parallelforskydes med (, y ) = (,4). d) Grafen for f ( ) = 5 parallelforskydes med (, y ) = (, 4). e) Grafen for f( ) = ( + ),8 parallelforskydes med (, y ) = (,). f) Grafen for f ( ) = 4 parallelforskydes med (, y ) = ( 3,3). BOpgave Grafen for g ( ) = ( 5) + 4 kan opfattes som værende en parallelforskydning af grafen for en noget simplere funktion. Hvilken funktion er det, og angiv parallelforskydningen. BOpgave Bestem toppunkterne for nedenstående andengradspolynomier. a) b) c) d) e) f) f( ) = + 3 f( ) = 8+ 4 f ( ) = 6+ 5 f ( ) = 4 6 f( ) = 3 9+ f( ) =,8 5,+,7 3BOpgave Bestem toppunkterne for følgende andengradspolynomier og skitser deres grafer: a) b) c) f ( ) = + 3 f ( ) = 3 f( ) = + 4

14 4 Erik Vestergaard 4BOpgave 3 Tegn graferne for følgende andengradspolynomier: a) b) p( ) = p ( ) = 4 5BOpgave 3 Løs følgende andengradsligninger: a) b) c) d) e) f) g) h) 5 6= + 7 4= 4 + 3= 4+ 4= 4= + 5+ = + 4=, 6, 7 5,9 = 6BOpgave 3 Løs følgende andengradsligninger: a) = b) 4+ 4= c) 4+ 3= d) e) 7= + 5= f) + 4 = 7BOpgave 33 Bestem løsningerne til andengradsligningen aflæses på grafen? 3+ 4=. Hvor kan disse løsninger 8BOpgave 34 9BI et rektangel er den længste side meter længere end den korteste side og rektanglets areal er 7 m. Bestem sidelængderne i rektanglet.

15 Erik Vestergaard 5 Opgave 35 Løs nedenstående ligninger: (Husk grundmængder!) a) ( + ) = 6 b) c) d) e) f) 5+ 7= 3. Løs den også grafisk. 3 4 = = = 6 + = 3BOpgave 36 (Det gyldne snit) Definition: Givet et linjestykke AB. Punktet P imellem A og B siges da at dele linjestykket AB i det gyldne snits forhold, såfremt forholdet mellem længden af hele linjestykket og længden af det lange stykke er lig med forholdet mellem længderne af det lange og det korte stykke. a) Forklar hvorfor og y skal tilfredsstille: + y =. y b) Indfør det gyldne snits forhold som z =. Vis, at der må gælde y + = z. z c) Sidste ligning i b) er en andengradsligning. Løs den med hensyn til z. Angiv både den eksakte værdi og et kommatal med 4 decimaler. d) Vis, at z er eksakt lig med ( 5 ) og udregn værdien i kommatal med 4 decimaler. Sammenlign med kommatallet for z: Hvad observerer du? 3BOpgave 37 Givet andengradsligningen 3 + b =, hvor b er en fast parameter. Bestem b således at 6 er rod i polynomiet. Hvad er den anden rod? 3BOpgave 38 Givet andengradsligningen a + 5 =, hvor a er en fast parameter. Bestem a, idet det oplyses, at ligningen netop har en løsning. Hvilken rod er der tale om?

16 6 Erik Vestergaard 33BOpgave 39 (Kasteparabel) Ved kast i tyngdefeltet vil en genstand følge en parabelbane, hvis man kan se bort fra luftmodstand. Lad os sige, at vi kaster en bold skråt op i luften med en vinkel på α. Starthøjden lige i det øjeblik, hvor bolden forlader hånden, betegner vi y og starthastigheden, betegner vi v. Vi indlægger et koordinatsystem i boldens baneplan, således at -aksen er langs jorden og har værdien lige under personens hånd, mens y-aksen er lodret og går igennem personens hånd. Det er hensigtsmæssigt at regne afstande i meter (m), hastigheder i m/s og tiden i sekunder. Man kan vise, at bolden i ovennævnte koordinatsystem vil have følgende koordinater til tiden t, hvor g betegner tyngdeaccelerationen ( g = 9,8m/s ): () t () = v cos( α) t y() t = g t + v sin( α) t+ y Hvis man ikke ønsker positionerne som funktion af tiden, men kun banekurven, så kan den fås af følgende udtryk: (3) y g = + tan( α) + v (cos( α)) y En bold kastes op i luften i en vinkel på 4. Bolden slippes i en højde af 3, m og har en starthastighed på m/s. Til at besvare følgende spørgsmål må du ikke benytte solvefunktionen på grafregneren: a) Benyt () til at bestemme boldens koordinater til tidspunktet,3 sek. b) Til hvilket tidspunkt er bolden m over jorden?

17 Erik Vestergaard 7 c) Benyt (3) til at bestemme hvor langt bolden når ud, før den rammer jorden, altså bestem ma. d) Benyt (3) til at bestemme den maksimale højde, y ma. e) Benyt () til at bestemme til hvilket tidspunkt den maksimale højde opnås. Nu får du lov til at benytte grafregnerens graf-faciliteter: f) Indtast funktionen i (3) med de aktuelle parameter-værdier ovenfor. Tegn grafen for parabelbanen i et passende vindue og løs herefter spørgsmålene c) og d) igen. Formel () kan vi ikke umiddelbart udlede, da der skal nogle fysiske overvejelser til. Formel (3) kan derimod ret let udledes udfra (): g) Isoler t i den første ligning i () og indsæt udtrykket for t i den anden ligning i (). Reducer det fremkommende udtryk og vis, at det giver (3). De følgende tre opgaver er frivillige: h) Måske er du træt af at skulle foretage de samme beregninger, hver gang du skal bestemme den maksimale højde, som bolden opnår: Vis, ved at benytte de generelle udtryk, at der gælder: y v (sin( α)) ma = + y g i) Den generelle formel for kastelængden ma er meget uskøn, men i specialtilfældet, hvor y = bliver den relativ simpel. Benyt symmetrien i parablen til at vise, at i dette tilfælde gælder: cos( α) sin( α) v ma = (hvis y = ) g Hjælp: Tænk på, at toppunktet ligger midt mellem j) Lad os sige, at y =. Benyt da formlen under spørgsmål i) til at vise, at den vinkel α, som giver den største kastelængde, er 45. Hjælp: Her skal du benytte grafregneren: Du skal finde maksimum for med hensyn til α. ma

18 8 Erik Vestergaard 34BOpgave 4 Konstruer et andengradspolynomium, som har følgende rødder: a) og 6 b) 3 og 4 35BOpgave 4 Reducer følgende udtryk: a) b) BOpgave 5 Løs følgende ligninger: 4 a) + 8 = b) = c) 4 3 4= 37BOpgave 53 Løs nedenstående ligninger: 5 + a) = b) = 9 c) 3 + = d) + = + 4 d) = 3 38BOpgave 54 Løs følgende andengradsuligheder: a) b) c) d) e) < >

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

2. Ligninger og uligheder i Derive

2. Ligninger og uligheder i Derive 2. Ligninger og uligheder i Derive Der findes selvfølgelig en indbygget ligningsløser i Derive, en SOLVE-funktion, men den er ikke helt så fleksibel og heller ikke helt så brugervenlig som den tilsvarende

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Læringsmål på 3 niveauer: Eleverne arbejder med at opstille og løse 2.gradsligninger (ax 2 +bx+c=0).

Læringsmål på 3 niveauer: Eleverne arbejder med at opstille og løse 2.gradsligninger (ax 2 +bx+c=0). Planlægningsmodel UVD Forløb med løsning af en 2. gradsligning 9 klasse i 5-6 lektioner Fælles mål /kompetencemål: Tal og algebra Eleverne kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1 Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-2005

Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-2005 Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-005 99-8-1 C = (,-) radius = 7 f (x) = 6x + 4x 5 + y = x + : dist(t, ) = 1,0607 A(1,) og B(5,-1) M AB = (,1) m: y = x 1 x Redegørelse! f(x) = 70,74 x

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering. Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere