F.1. Mat 2AL. n Z n a Z n = gcd = ±gcd = lcm = ±lcm d l sinα)+(cosβ sinα)(cosβ N N {id}

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "F.1. Mat 2AL. n Z n a Z n = gcd = ±gcd = lcm = ±lcm d l sinα)+(cosβ sinα)(cosβ N N {id}"

Transkript

1 F. Fejl i bogen. F.1 Herunder flger en liste over nogen af de mere meningsforstyrrende fejl i [J] partition equivalence class 18 3 class relation 18 4 partition equivalence class 28 8 r t [Erstat r med t tre steder] 28 7 r t 28 2 r t then where q 1,...,q l are primes, then 82 3 = (ab)(ac) = (ac)(bc) 82 1 (bc)(ac) = (ac)(ab) = 87 6 t = r k t = r k t = r k s t = r k 1 s 89 4 of rigid of proper rigid 93 1 gcd(k,n) n/gcd(k,n) 99 2 Since Let H be a subgroup of order 6. Since 99 4 By Theorem 5.9, It may be proved that Assume first that if If the nth... are the group of nth... is form generate n a n Z n a Z n = = = gcd = ±gcd = = = lcm = ±lcm d l sinα)+(cosβ sinα)(cosβ N N {id} N N {id} subgroups of H subgroups H hh N h 1 h 2 N H H/H H H/N H H/H H H/N 186 9,x,y 186 9,Ax,Ay ,Ax,Ay x y all x. all x,y sinθ, cosθ sinθ,cosθ 187 8ff Example 6 [Umuligt at rette alle fejlene] reflection reflection in a line parallel to the direction of the translation X R 2 X R n has infinite may have finite [Så Judson s bevis bryder sammen!]

2 all prime different primes Suppose... on n. We shall induct on n = G order p order Certainly We may assume that = = there is... [Umuligt at rette alle fejlene, se U9!] (h 1 h 2,g) =...(h 1,(h 2,g)), (h 1 h 2 )g(h 1 h 2 ) 1 = h 1 (h 2 gh 1 2 )h 1 1, the class equation Theorem {(1)},... [Det er en god opgave at rette alle fejlene] σ σ σ [Men argumentet er galt!] = p n 1 p n Clearly, N is... therefore Clearly HK = HK H K N(H K) A nonzero An a 1 b 1 +b 1 a d 1 b 2 +d 1 b d 1 a 2 +d 1 a subring additive subgroup is in R 1 is in I An ideal A proper ideal Every ideal Every nonzero ideal * to Z p to Z p for some prime p polynomials nonzero polynomials q(x) 0 q(α) the... true then I is principal is called for a prime n, is called S k S r p i = q π(j) p j and q π(j) are associates 297 5ff Hence,... [Beviset er fyldt med fejl, se U15] p 2 = q 2 [Det kan selvfølgelig ikke opnås!] a+3b 2 a 2 +3b unique unique (up to multiplication by a unit) is prime is not necessarily a prime ( [Det er vås, og en god øvelse at finde det rigtige svar] F.2

3 Matematik 2AL Ugeseddel 1. U 1 Undervisningen i Matematik 2AL begynder den 29. januar med forlæsningen i auditorium 4 kl Indtegning til øvelserne finder sted ved den første forelæsning og derefter på indtegningslisterne på opslagstavlen. Der er ingen øvelser den første uge. Ved undervisningen benyttes Judson s bog Abstract Algebra, Theory and Applications, PWS Publishing (1994). Bogen har en række kvaliteter: Den er pæn, den er overskuelig, den har passende historiske afsnit, den har et rimeligt materiale af eksempler og øvelser. Og i niveau og omfang dækker den cirka det, der er sigtet med. Desværre er bogen matematisk set helt fortvivlende dårlig på enkelte steder. Disse steder vil blive kommenteret på ugesedlerne. Bogens notation adskiller sig ganske få steder fra dansk standard. For eksempel bruger bogen tegnet for den bløde inklusion, hvor vi normalt skriver. I forbindelse med mængder er det dansk standard at bruge tegnet i stedet for :, altså fx N = {n Z n > 0}. På ugesedlerne anføres hvilke afsnit, der vil blive gennemgået den kommende uge, og hvilke afsnit, der er gennemgået. I den første uge, 29/1 2/2, gennemgås dele af kapitlerne 0 og 1. Nogle nøgleord fra kapitel 0 er følgende: Set, subset (delmængde), proper subset (ægte delmængde), union (foreningsmængde), intersection (fællesmængde), complement (komplementærmængde), Cartesian product (cartesisk produkt), relation, map (afbildning), domain (definitionsmængde), image(billede eller billedmængde), injective or one-to-one (injektiv), surjective or onto (surjektiv), bijective, identity map, invertible map, equivalence relation (ækvivalensrelation), reflexive, symmetric, transitive, partition (klassedeling), equivalence class, congruence modulo n (kongruens modulo n). I [J, p. 9 10] sammenblandes et par steder afbildninger f: A B med det mere generelle begreb: relationer fra A til B. Den nederste del af figur 0.1 illustrerer ikke en afbildning. Øvelse 0.17 er (næsten(?)) meningsløs. Tilfjelse. En vigtig type ækvivalensrelationer fremkommer på følgende måde: Lad f: A B være en givet afbildning. For to elemeneter a,a A skrives a f a, hvis f(a) = f(a ). Relationen f er da en ækvivalensrelation i A. Ækvivalensklasserne er de ikke-tomme blandt originalmængderne f 1 (b) for b B. De kaldes også fibrene for afbildningen f. I ugen 5/2 9/2 gennemgås kapitel 2 og lidt af kapitel 3 om grupper. Ugens øvelser er 0.22, 0.24, 0.29, 1.2, 1.6, 1.15, 1.27, 1.28, 1.31, hvoraf de kursiverede er til skriftlig aflevering. Thorup Lokale E 216, tlf (priv )

4 Ugeseddel 2. U 2 Stof fra ugen 29/1 2/2: Kapitel 0 (kursorisk), og Kapitel 1 om de hele tal. Ngleord. First Principle of Mathematical Induction (induktionsprincippet), Second Principle of Mathematical Induction (princippet om fuldstændig induktion), Principle of Well-Ordering (velordningsprincippet), Division Algorithm (sætningen om division med rest), common divisor, greatest common divisor (største fælles divisor), relatively prime =coprime (indbyrdes primiske), Euclidean Algorithm (Euklid s algoritme), prime (primtal), composite integer (sammensat tal), The Sieve of Eratosthenes (Eratosthenes si). Kommentar. I [J] bruges d = gcd(a,b) som betegnelse for den største fælles divisor for a og b. Den tilsvarende danske notation sfd(a,b) kan ikke anbefales. Brug den engelske! Eller, som det er sædvane i matematik, brug (a,b) til at betegne den største fælles divisor når det ikke kan forveksles med parret (a, b). For eksempel udtrykker (a,b) = 1, at a og b er primiske. Judson s bevis [J, p. 31] for at der er uendelig mange primtal er et godt eksempel på at et indirekte bevis er lidet informativt. Euklid s (direkte) bevis er følgende: For ethvert givet sæt af n forskellige primtal p 1,...,p n kan vi bestemme et primtal forskelligt fra de givne, nemlig p n+1 := den mindste primdivisor i p 1 p n +1. Som i Judson s bevis ses nemlig, at p n+1 ikke kan være lig med et af primtallene p 1,...,p n. Derfor er der uendelig mange primtal. Bemærk, at Euklid s bevis udfra p 1 := 2 bestemmer en uendelig følge p 1,p 2,... af forskellige primtal: Vi har p 2 := mindste primdivisor i 2+1, altså p 2 = 3. Vi har p 3 := mindste primdivisor i 2 3+1, altså p 3 = 7. Vi har p 4 := mindste primdivisor i , altså p 4 = 43. Osv. Det er måske rimeligt at spørge sig selv, om p 1 p n +1 er et primtal for alle n? Tilfjelse. Det er en vigtig konsekvens af hovedsætningen 1.8, at samtlige positive divisorer d i n umiddelbart kan bestemmes ud fra primopløsningen af n. Antag nemlig, at vi har en primopløsning n = p 1 p k. Hvis d er divisor i n, har vi en ligning n = dq. Heri kan vi indsætte primopløsninger d = u 1 u s og q = v 1 v t. Vi får så ligningen p 1 p k = u 1 u s v 1 v t. Af primopløsningers entydighed følger så, at vi efter permuation af p i erne har s k og u j = p j for j = 1,...,s. De positive divisorer i n er altså de tal, der kan fås ud fra n ved at fjerne nogle af primfaktorerne i primopløsningen. Ved hjælp af dette overblik over divisorerne er det umiddelbart, ud fra primopløsninger, at bestemme den største fælles divisor for to positive tal a og b. Planer. I ugen 5/2 9/2 gennemgås kapitel 2 og kapitel 3 om grupper. Ugens øvelser er 0.22, 0.24, 0.29, 1.2, 1.6, 1.15, 1.27, 1.28, I ugen 12/2 16/2 gennemgås kapitel 4 om permutationsgrupper og kapitel 5 om sideklasser og Lagrange s sætning. Ugens øvelser er 2.1, 2.6, 2.15, 2.29, 2.37, 2.46, 3.23, 3.42.

5 Ugeseddel 3. U 3 Stof gennemgået i ugen 5/2 9/2: Kapitel 2, og side fra kapitel 3. Ngleord. Symmetry, rigid motion (flytning), binary operation = composition (komposition), group, associative, identity element (neutralt element), inverse element, abelian (abelsk), commutative, Cayley table (kompositionstavle), unit (enhed), general linear group, quaternion group (kvaterniongruppen), order (orden), cancellation law (forkortningsreglen), trivial subgroup, proper subgroup (ægte undergruppe), special linear group, cyclic group (cyklisk gruppe). Kommentar. Ladnværeet fast naturligttal. I [J,p ]fremtræder det ikkeklart, at addition og multiplikation modulo n er kompositioner i mængden Z n af restklasser modulo n. De to kompositioner defineres således: Lad A og B være restklasser modulo n. Vælg hele tal a A og b B, og definer sum A+B og produkt AB ved ligningerne: A+B = [a+b], AB = [ab]. (*) Det kræver en overvejelse, at de to kompositioner er veldefinerede, altså at de to restklasser på ligningernes højresider ikke afhænger af de valg, der blev foretaget undervejs. Dette indses således: For et andet valg, af a A og b B, har vi a a og b b. Altså har vi ligninger a = a+kn og b = b+ln. Det følger, at a +b = a+b+(k +l)n, a b = ab+(al+kb+kln)n. Specielt er altså a +b a+b og a b ab. Følgelig er højresiderne i (*) uafhængige af det foretagne valg. Proposition [J, p. 39] bør lyde sådan: Om addition og multiplikation i mængden Z n af restklasser modulo n gælder: (1) Begge kompositioner er kommutative: A + B = B + A og AB = BA. (2) Begge kompositioner er associative: (A + B) + C = A + (B + C) og (AB)C = A(BC). (3) Restklassen [0] er neutralt element for addition og restklassen [1] er neutralt element for multiplikation: A + [0] = A og A [1] = A. (4) Multiplikation er distributiv med hensyn til addition: A(B +C) = AB +AC. (5) Hver restklasse A har en additiv invers: hvis a A, så er A + [ a] = [0]. (6) Lad A være en restklasse og vælg a A. Da er a primisk med n, hvis og kun hvis A en multiplikativ invers: der findes en restklasse B således at AB = [1]. Hvis ab+xn = 1, så er B = [b] den multiplikative inverse til [a]. Gruppen U(n) af invertible (eller primiske) restklasser betegnes også Z n. Gruppen af egentlige flytninger i R n består af afbildninger af formen x Ax+b, hvor A er en ortogonal matrix med determinant 1. Gruppen betegnes E + (n). Specielt består gruppen E + (3) af de afbildninger R 3 R 3, der kan fås som en rotation efterfulgt af en parallelforskydning. Planer. I ugen 12/2 16/2 gennemgås resten af kapitel 3 og kapitel 4 om permutationsgrupper. Ugens øvelser er 2.1, 2.6, 2.15, 2.29, 2.37, 2.46, 3.23, I ugen 19/2 23/2 gennemgås kapitel 5 om sideklasser og Lagrange s sætning, og lidt af kapitel 6. Ugens øvelser er 2.8, 2.46, 3.4, 3.14, 3.36, 4.1, 4.3, 4.7, 4.23, 4.26.

6 Ugeseddel 4. U 4 Stof gennemgået i ugen 12/2 16/2: Resten af kapitel 3 (excl 3.3) og kapitel 4 om permutationsgrupper (diedergruppen og hexaedergruppen gik lidt hurtigt). Ngleord. Cyclic subgroup (cyklisk undergruppe), generator (frembringer), order of an element, circle group T, nth root of unity (n te enhedsrod), primitive n th root of unity, permutation, symmetric group S n, permutation group, cycle of length k (k-cykel), disjoint permutations(disjunkte permutationer), transposition, odd(ulige) permutation, even (lige) permutation, alternating group A n, dihedral group (diedergruppen) D n. Kommentar. Beviset for Lemma 4.5 [J, p. 82] kunne med fordel være indledt med at fortælle lidt om hvad ideen egentlig er. Eller det kunne været indledt med følgende præcision af hvad a,b,c,d er: Den sidste transposition τ r ombytter to tal. Vælg ét af de to tal, kald det a, og lad det andet tal være b. Så er τ r = (ab). Den næstsidste transposition τ r 1 ombytter også to tal, og der er fire muligheder: τ r 1 kan være (ab) eller (ac) eller (bc) eller (cd), hvor det er underforstået at tallene a,b,c,d er forskellige. De fire nederste ligninger, [J, p. 82], skal være følgende: (ab)(ab) = id, (ac)(ab) = (ab)(bc), (bc)(ab) = (ab)(bc), (cd)(ab) = (ab)(cd). Tilfjelse. To permutationer i S X kaldes disjunkte, jfr [J, p. 80], hvis intet element x X flyttes af begge permuationener. Det er ikke svært at vise i almindelighed, at disjunkte permutationer σ og τ kommuterer, dvs opfylder στ = τσ. Følgende resultat burde have stået i [J, p. 61]: Sætning. Lad G være en gruppe og lad a være et element i G. Antag, at a har endelig orden d. Da gælder ligningen, a = {e,a,a 2,...,a d 1 }, (*) og potenserne på højresiden, altså a r for r = 0,1,...,d 1, er forskellige. Specielt er altså ordenen af a er lig med ordenen af den cykliske undergruppe a. Bevis. Det er klart, at højresiden i (*) er indeholdt i venstresiden. Betragt omvendt et element, dertilhørervenstresiden, dvsenpotensa n forn Z. IfølgeSætningenomdivision med rest findes en fremstilling n = qd+r, hvor 0 r < d. Altså er a n = a qd+r = (a d ) q a r. Da a d = e, følger det, at a n = a r. Altså tilhører a n højresiden. Hermed er (*) bevist. Videreerpotenserne a r, for 0 r < d, forskellige. Varnemliga r = a s for0 r < s < d, så ville vi få ligningen a s r = e; her er 0 < s r < d, så ligningen er i modstrid med at ordenen d af a er karakteriseret som den mindste positive exponent for hvilken a d = e. Planer. I ugen 19/2 23/2 gennemgås lidt mere om dieder- og hexaedergruppen, og dernæst kapitel 5 om sideklasser og Lagrange s sætning. Ugens øvelser er 2.8, (2.46,) 3.4, 3.14, 3.36, 4.1, 4.3, 4.7, 4.23, I ugen 26/2 1/3 gennemgås kapitel 8 og lidt af kapitel 9. Ugens øvelser er 2.42, 3.11, 3.13, 3.34, 5.1, 5.2, 5.9, 5.12, 5.21, I ugen 4/3 8/3 skal den første obligatoriske opgave afleveres.

7 Ugeseddel 5. U 5 Der var en trykfejl i sidste linie af kommentaren på ugeseddel 4: Den tredie ligning skal være (bc)(ab) = (ac)(bc). Stof gennemgået i ugen 19/2 23/2: Dieder- og hexaedergruppen fra kapitel 4 og kapitel 5 på nær Euler s og Fermat s sætninger. Ngleord. Center (centrum), left coset (venstre sideklasse), representative (repræsentant), index, Lagrange s theorem, Euler φ-function (Euler s ϕ-funktion). Kommentar. For at huske hvilke sideklasser der er højre-sideklasser og hvilke der er venstre er det smart at huske, at Hø er en højresideklasse. Vi bruger R + som betegnelse for gruppen af positive reelle tal med multiplikation, hvor Judson skriver R +. Gruppen Z 2 Z 2 kaldes også Klein s Vier-gruppe og den betegnes V. I [J, Theorem 4.10, p.86] er det ikke præciseret, at r er rotationen med vinklen 2π/n og at s er spejlingen i symmetriaksen gennem hjørnet 1. Og i den indledende del af beviset, side 87, lykkes det minsandten Judson, i tilfældet hvor n er lige, at overse halvdelen af spejlingerne. Desuden skæmmes beviset af at der til sidst står r k to steder, hvor der skulle have stået r k 1. Præcisér hvilke spejlinger Judson overser! Tilfjelse. For de 24 permutationer i S 4 findes følgende 5 cykeltyper: Type 1 4 ( )( )( )( ), 1 stk, den identiske afbildning, Type 2 2 (, )(, ), 3 stk, dobbelttranspositionerne, Type ( )(,, ), 8 stk, 3-cyklerne, Type ( )( )(, ), 6 stk, transpositionerne, Type 4 1 (,,, ), 6 stk, 4-cyklerne. De 4 permutationer af de to første typer udgør en undergruppe V af orden 4. De 12 permutationer af de tre første typer udgør undergruppen A 4 af orden 12. Videre kan S 3 opfattes som en undergruppe af orden 6 i S 4 og D 4 kan opfattes som en undergruppe af orden 8 is S 4. Permutationer af de 5 typer har orden henholdsvis 1, 2, 3, 2, og 4. Gruppen S 4 indeholder derfor også (cykliske) undergrupper af orden 2, 3 og 4. Ekstraopgaver 1. Lad p være et ulige primtal. Vis, at (p 1)! 1 (mod p) (Wilson s sætning). Vis, at kongruensen x 2 1 (mod p) har en løsning, hvis og kun hvis p 1 (mod 4). 2. Lad n være et fast naturligt tal. De rationale tal af formen a/s, hvor 1 s n kaldes Farey-brøker af orden n. Vis, at hvis a /s < a/s er to på hinanden følgende uforkortelige Farey-brøker, så er as a s = 1. Vis, at hvis a /s < a/s < a /s er tre på hinanden følgende Farey-brøker, hvor a /s og a /s er uforkortelige, så er a/s = (a +a )/(s +s ). Planer. I ugen 26/2 1/3 gennemgås Euler s og Fermat s sætninger og kapitel 8 og lidt af kapitel 9. Ugens øvelser er 2.42, 3.11, 3.13, 3.34, 5.1, 5.2, 5.9, 5.12, 5.21, I ugen 4/3 8/3 gennemgås resten af kapitel 9 og lidt af kapitel 10. Ugens øvelser er 4.29, 4.33, 5.15, 5.16, 8.1, 8.2, 8.5, 8.19, 9.1, U5.1*. I denne uge skal den første obligatoriske opgave afleveres til instruktoren.

8 Ugeseddel 6. U 6 NB. Den obligatoriske opgaves spørgsmål (5) skal forstås således: Betragt modulo n summen på venstresiden af kongruensen i ( ). Vis, at summen ændrer sig når to forskellige ciffre ombyttes (for alle valg af ciffre d 1,...,d k ), hvis og kun hvis w i w j er primisk med n for 1 i < j k. I opgave U5.1 (Wilson s sætning) skal kongruensen være (p 1)! 1. Stof gennemgået i ugen 26/2 1/3: Euler s og Fermat s sætninger. Kapitel 8 om isomorfier og kapitel 9 til og med side 164. Ngleord. Conjugate permutation (konjugeret permutation), isomorphism (isomorfi), Cayley s Theorem(Cayley s sætning), external direct product(ydre direkte produkt), internal direct product (indre direkte produkt), normal subgroup (normal undergruppe), factor or quotient group (kvotientgruppe), homomorphism (homomorfi), homomorphic image (billedgruppe). Kommentar. Beviset [J, Theorem 8.10, p. 153] begynder med et logisk misfoster. Der skal stå: Assume first that Z m Z n Z mn. To show that gcd(m,n) = 1, we will prove the.... Tilfjelse. I [J, Example 15, p. 155] forekommer notationen j i H j. I almindelighed, for en vilkårlig delmængde K af en gruppe G, betegnes med K den mindste undergruppe af G, der indeholder K. Denne undergruppe siges også at være frembragt af K. Det er klart, at undergruppen frembragt af K består af de elementer i G, der kan skrives som produkter af faktorer, hvor hver faktor er enten et element i K eller den inverse til et element i K. Når K har ét element, K = {k}, genfindes notationen k for den cykliske undergruppe frembragt af k. En gruppe frembragt af to elementer kan være kompliceret. Fx følger det af opgave 4.26(c), at S n er frembragt af to permutationer. For en permutation σ defineres fortegnet, sign(σ), ved sign(σ) = 1 når σ er lige og sign(σ) = 1 når σ er ulige. Tallene 1 og 1, med multiplikation som komposition, udgør en (cyklisk) gruppe C 2 = {±1} af orden 2 (isomorf med Z 2 ), og fortegnet er en homomorfi sign: S n {±1}. Det er (næsten) denne homomorfi der omtales [J, p. 164]. Ekstraopgaver. 1. Vis ved et modeksempel, at påstanden i Hint nr 1.29, [J, p. 407], er forkert. Opgave 1.29 bliver lettere, hvis 6n+1 erstattes med 6n 1. Regn den lette version. 2. Klein s Vier-gruppe V er en undergruppe af S 4, jfr ugeseddel 5. Hvilke hexaeder rotationer svarer til permutationerne i V. Vis, at V er en normal undergruppe i S 4, og vis, at S 4 /V S 3. Planer. I ugen 4/3 8/3 gennemgås resten af kapitel 9 og dele af kapitel 10. Ugens øvelser er 4.29, 4.33, 5.15, 5.16, 8.1, 8.2, 8.5, 8.19, 9.1, U5.1*. I denne uge skal den første obligatoriske opgave afleveres til instruktoren. I ugen 11/3 15/3 gennemgås kapitel 11 og lidt af kapitel 12. Ugens øvelser er 8.11, 8.12, 8.17, 8.33, 8.53, 9.2, 9.5, 9.12, 9.13, 9.26, 9.32, U5.2* Opgaven med * er ugens nød.

9 Ugeseddel 7. U 7 Stof gennemgået i ugen 4/3 8/3: Simpelhed af A n for n 5, isomorfisætningerne, og kapitel 10 til side 188. Ngleord. Simple group (simpel gruppe), simplicity of A n (simpelhed af A n ), canonical homomorphism onto G/H (kanonisk homomorfi på G/H), First Isomorphism Theorem (Isomorfisætningen), commutative diagram (kommutativt diagram), Second Isomorphism Theorem (2. isomorfisætning), Correspondence Theorem (Korrespondance-sætningen), the Third Isomorphism Theorem (3. isomorfisætning), general linear group (generelle lineære gruppe), special linear group (specielle lineære gruppe), orthogonal group (ortogonale gruppe), special orthogonal group (specielle ortogonale gruppe), Euclidean group (euklidiske gruppe), isometry (isometri), rigid motion (flytning). Kommentar. De gennemgåede afsnit af noterne indeholder desværre en række egentlige fejl (udover almindeligetrykfejl). I Correspondence Theorem, [J,p ], skal subgroups of H erstattes med subgroups H ; indholdet skal altså være, at under den bijektive forbindelse svarer de normale undergrupper H som omfatter N præcis til de normale undergrupper af G/N. I beviset er der flere trykfejl; fx står der to gange H/H hvor der skulle have stået H/N. I [J, p. 186], beviset for (3) (4), skal den vektor x, der står på andenpladsen i de indre produkter, overalt erstattes med y. Det er først efter denne ændring, at man(umiddelbart) kan konkludere, at A t A I = 0. I figur 10.2 har tværvektoren til (cos θ, sin θ) fået forkerte koordinater. Eksempel 6, [J, p. 187], indeholder mange fejl. Man kan kun slutte, at T(e 2 ) = ( b,a) t eller T(e 2 ) = (b, a) t. I det første tilfælde bliver matricen som anført. I det andet tilfælde bliver matricen som anført øverst på side 188; denne matrix definerer en spejling, og ikke en drejning. I opgave 8.53 skal isomorfitegnet erstattes med et lighedstegn. Tilfjelse. Der er sprogligt rod i definitionen af den euklidiske gruppe E(n) [Det er meningsløst at skrive: The Euclidean group, E(n), can be written as ordered pairs..., når der menes, at gruppens elementer kan skrives som ordnede par]. Men udover at definitionen er mangelfuld, er den også gådefuld. Hvad der menes er, at den euklidiske gruppe E(n) er gruppen bestående af de bijektive afbildninger R n R n, der er af formen x Ax+b, hvor A O(n) og b R n. Det vises senere, at denne gruppe netop er gruppen af isometrier af R n. Der vil iøvrigt senere blive udleveret et sæt noter, der erstatter Judson s kapitel 10. Planer. I ugen 11/3 15/3 gennemgås dele af kapitlerne 10 og 11. Ugens øvelser er 8.11, 8.12, 8.17, 8.33, 8.53, 9.2, 9.5, 9.12, 9.13, 9.26, 9.32, U5.2*. I ugen 18/3 22/3 gennemgås kapitel 12. Ugens øvelser er 8.18, 8.20, 9.6, 9.9, 10.1, 10.3, 10.7, 11.2, 11.15, U6.1*.

10 Ugeseddel 8. U 8 Stof gennemgået i ugen 11/3 15/3: Resten af kapitel 10 (der kommer supplerende noter) og afsnit Ngleord. Glide reflection (glidespejling), wallpaper group (tapetgruppe), lattice (gitter eller lattice), translation subgroup (translationsundergruppe), point group(punkt gruppe), generators of a group (frembringere for en gruppe), p-group (p-gruppe), Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups (Hovedsætning om endelige abelske grupper). Kommentar. Sætning 10.5, [J, p. 190], er kun rigtig med et gran salt. Det blev vist ved forelæsningen, at hvis G er en endelig undergruppe af den euklidiske flytningsgruppe E(n), så findes et punkt i R n som er fixpunkt for alle flytninger i G. Efter en translation af dette fælles fixpunkt til nul-punktet, kan det antages, at nul-punktet er fælles fixpunkt for alle flytninger i G. Med denne antagelse gælder når n = 2, at G er en af de cykliske grupper C k eller en af diedergrupperne D k. De tre første linier i Judson s bevis (nederst side 190) er rent vrøvl. Judson s afsnit om tapetgrupper er ikke let-forståeligt. Som nævnt kommer der supplerende noter. De vil forhåbentlig hjælpe på forståelsen. Judson [J, p. 202] definerer, at G er en p-gruppe, hvis alle elementer i G har en orden, der er en potens af p. Det er klart, at hvis G s orden er en potens af p, så er G en p- gruppe. Det omvendte gælder også. Det er ikke helt let, og det bevises først side 232. Desværre bruger Judson også det omvendte i sit bevis for Lemma 11.4, idet han antager, at G s orden er p n. Denne antagelse er imidlertid overflødig, og beviset kan blot føres ved induktion efter ordenen af G. Det er i øvrigt en let konsekvens af hovedsætningen for endelige abelske grupper, at det omvendte gælder for abelske grupper, altså at en endelig abelsk p-gruppes orden er en potens af p. Tilfjelse. I beviset for 11.2, [J, p. 202], bruges dele af følgende resultat: Lad a 1,...,a r være hele tal, hvoraf mindst ét er forskelligt fra 0. Lad d være den største fælles divisor for a i erne. Da gælder: (1) Enhver fælles divisor for a i erne er divisor i d. (2) Der findes hele tal b 1,...,b r således, at d = b 1 a 1 + +b r a r. Det er ikke svært at bevise dette resultat. Ekstraopgaver. 1. Vis ved et modeksempel, at påstanden i opgave er forkert, altså at der findes en flytning x Ax+b af endelig orden i E(2) med b Vis ved et modeksempel, at opgave 11.7 forudsætter, at G er abelsk. Planer. I ugen 18/3 22/3 gennemgås afsnit 11.2 (kursorisk) og kapitel 12. Ugens øvelser er 8.18, 8.20, 9.6, 9.9, 10.1, 10.3, 10.7, 11.2, 11.15, U6.1*. I ugen 25/3 29/3 gennemgås kapitel 13 og lidt af kapitel 14. Ugens øvelser er 9.18, 10.13, 11.4, 11.6, 11.7, U8.1, U6.2, U8.2*.

11 Ugeseddel 9. U 9 Stof gennemgået i ugen 18/3 22/3: Afsnit 11.1 kursorisk og kapitel 12 til og med side 217. Ngleord. Subnormal series (subnormalrække), refinement (forfining), composition series (kompositionsrække), Jordan Hölder Theorem (Jordan Hölder s sætning), solvable group (opløselig gruppe), action (virkning), G-set (G-mængde), conjugation (konjugering), G- equivalence(g-ækvivalens), orbit(bane), fixed point (fixpunkt), isotropy subgroup (isotropigruppe), class equation (klasseligningen), center (centrum), conjugacy class (konjugeretklasse), centralizer subgroup (centralisator). Kommentar. Afsnit 11.2 om opløselige grupper er kursorisk. Det betyder, at man skal have kendskab til begreberne (fx dem der står på listen herover) og resultaterne, men ikke nødvendigvis til beviserne. Judson s definition af ækvivalens af to subnormalrækker er rent vås. Den korrekte definition er følgende: Til en subnormalrække {H i } n i=0 i G hører de successive kvotienter H 1 /H 0, H 2 /H 1,..., H n /H n 1. En anden subnormalrække {K j } m j=0 er ækvivalent med den første, hvis den på nær isomorfi og rækkefølgehar de samme kvotienter som den første. Mere præcist, hvis m = n og der findes en permutation σ S n således, at K i /K i 1 H σi /H σi 1 for i = 1,...,n. Det er sædvane at skrive X/G for mængden af baner for en given virkning af G på X. Mængden af venstre sideklasser modulo en given undergruppe H, som Judson betegner L H, betegnes sædvanligvis G/H. Tilfjelse. Lad H være en undergruppe af gruppen G. Judson kunne have bemærket, at man, ud fra en given virkning af G på en mængde X, ved restriktion får en virkning af H på X. I forbindelse med konjugering, [J, p. 214], er det sædvane at definere h g := hgh 1 for h,g G. Elementet h g siges at fremkomme af g ved at konjugere med h. Bemærk i øvrigt, at de to yderste led i ligningerne nederst side 214 er meningsløse i sammenhængen. De kan erstattes af h 1h 2 g og h 1 ( h 2 g). Ekstraopgaver. 1. (1) Lad G være en gruppe og lad H være en undergruppe af index 2. Vis, at g 2 H for alle g G. (2) Vis, at enhver 3-cykel er et kvadrat. (3) Vis, at gruppen A 4 ikke kan have en undergruppe H af orden Betragtfølgendepåstand: IgruppenA n gælder, atvilkårligeto3-cyklererkonjugerede. (1) Vis, at påstanden er gal for n = 3. (2) Vis, at påstanden er gal for n = 4. (3) Vis, at påstanden er korrekt for n 5. (5) Hvilken korrekt påstand kan udledes om 3-cykler i A 4 ved brug af Sætning 5.9. [Bemærk, at Judson bruger den forkerte påstand for n = 4 i sit bevis for 5.10.] Planer. I ugen 25/3 29/3 gennemgås resten af kapitel 12. Ugens øvelser er 9.18, 10.13, 11.4, 11.6, 11.7, U8.1, U6.2, U8.2*. I ugen 1/4 12/4 gennemgås (kursorisk) kapitel 13, og lidt af kapitel 14. Ugens øvelser er 11.16, 11.18, 12.1, 12.2, 12.5, 12.6, 12.12, U9.1, U9.2*.

12 Ugeseddel 10. U 10 Stof gennemgået i ugen 25/3 29/3: Resten af kapitel 12 (excl switching functions), afsnit 13.1 med Cauchy s sætning og (kursorisk) Sylow s sætninger. Ngleord. Burnside s Counting Theorem (Burnside s formel), Proposition 12.8 (Polya s formel), p-subgroup (p-undergruppe), Cauchy Theorem (Cauchy s sætning), Sylow Theorems (Sylow s sætninger), Sylow p-subgroup (Sylow-p-undergruppe), normalizer (normalisator). Kommentar. Det er en god øvelse at rette alle fejlene i eksempel 9, [J, p. 218]. Bemærk, at klasseligningen for D 4 er 8 = (1+1)+2+2+2, hvor de 1+1 = 2 kommer fra de to symmetrier i centret for D 4. Tilfjelse. Proposition 12.8, [J, p. 223], erstattes af følgende. Lad X og Y være mængder, og lad F betegne mængden af alle afbildninger f: X Y. Antag, at der er givet en virkning af gruppen G på X. Det er let at indse, at der defineres en virkning af G på F ved at sætte (σf)(x) := f(σ 1 x). Hvis Y er en mængde af farver, kan funktioner f F opfattes som mønstre eller farvelægninger af X: værdien fx er den farve, der er knyttet til x. Når G virker på X, vil permutationerne x σx, for σ G, typisk være dem, der er interessante symmetrier af X. For den tilsvarende virkning af G påf, bestårhver bane af mønstre, der er ækvivalente under disse symmetrier. Antallet af baner er altså antallet af mønstre på nær symmetri. For at anvende Burnside s formel skal man bestemme antallet af fixpunkter F σ for σ G, altså antallet af mønstre, der ikke ændres af symmetrien σ. Afbildningen x σx er en permutation af elementerne i X. Betragt fremstillingen af denne permutation som et produkt af disjunkte cykler. Lad z(σ) betegne antallet af cykler, idet fixpunkterne medregnes som 1-cykler. Det er let at se, at en funktion f: X Y ligger i F σ, hvis og kun hvis f er konstant på de delmængder af X, der svarer til cyklerne. Antallet af funktioner i F σ er derfor lig med Y z(σ). Burnside s formel er herefter: Denne formel kaldes Polya s tælleformel. F/G = 1 Y z(σ). G g G Ekstraopgaver. 1. Vis, at en endelig gruppe G er opløselig, hvis og kun hvis alle de successive kvotienter i en kompositionsrække for G er cykliske grupper af primtalsorden. 2. Hvor mange forskellige perlekæder med 18 perler kan der laves med perler af 2 farver. Planer. I ugen 1/4 12/4 gennemgås resten af kapitel 13, og de første dele af kapitel 14. Ugens øvelser er 11.16, 11.18, 12.1, 12.2, 12.5, 12.6, 12.12, U9.1, U9.2*. I ugen 15/4 19/4 gennemgås resten af kapitel 14 og lidt af kapitel 15. Ugens øvelser er 12.5, 12.11, 12.23, U10.2, 13.2, 13.5, 13.22, 14.1, I denne uge afleveres den anden obligatoriske opgave til instruktoren.

13 Ugeseddel 11. U 11 Stof gennemgået i ugen ugen 1/4 12/4: Resten af kapitel 13 (kursorisk) og kapitel 14 til side 248. Ngleord. Ring (ring), unity or identity (et-element), commutative ring (kommutativ ring), integral domain (integritetsområde), division ring (divisionsring eller skævlegeme), unit (invertibelt element eller enhed), field (legeme), zero divisor (nul-divisor), quaternion (kvaternion), subring (delring), Gaussian integers (Gaussiske tal). Kommentar. Lad R være en ring. Det neutrale element for additionen, altså 0 R, kaldes også ringens nul-element. Judson kræver ikke i definitionen af en ring R, at der skal være et et-element, dvs et element 1 R således, at 1a = a1 = a for alle a R. Det er værd at bemærke, at en anden skole kræver om ringe, at de har et et-element, at delringe har samme et-element som den store ring, og at ringhomomorfier fører et-element i et-element. En mængde, der kun indeholder ét element, kan på entydig måde organiseres som ring. Det ene element er nul-elementet, og den fremkomne ring kaldes også nul-ringen. Det ene element i nul-ringen er også et-element. Det er Judson s private (forkerte) opfindelse at kræve om et-elementet 1 i en ring, at 1 0. I øvrigt er nul-ringen den eneste ring, hvori 1 = 0. Er nemlig 1 = 0 i en ring R, så er a = 1a = 0a = 0 for alle a, hvoraf det følger, at R kun består af nul-elementet 0. Tilfjelse. Judson bruger flere steder følgende påstand: Hvis G er en endelig gruppe, så er g G = e for alle g G. Påstanden er ækvivalent med [J, Corollary 5.6]. Ekstraopgaver. 1. Et kvadrat ligger fast i planen. På hvor mange måde kan de 4 hjørner farves, når der er 3 farver. Hvor mange esssentielt forskellige er der af disse kvadrater. 2. Lad R være en ring med et-element 1 og lad S være en delmængde. Vis, at S er en delring med samme et-element som R, hvis og kun hvis S er stabil under addition og mulitiplikation og 1 S. 3. Lad R være en ring med et-element. Vis, at de invertible elementer i R, med multiplikation som komposition, udgør en gruppe. Den gruppe betegnes R. Angiv R, når R er en af følgende ringe: Z, Q, R, C, Z[i], Z n, Mat n (R) (n n matricer), Mat n (Z), C(I) (kontinuerte funktioner på intervallet I). 4. Lad R 1 og R 2 være ringe med et-element. Vis at produktmængden R := R 1 R 2 naturligt igen er en ring med et-element. Vis, at R = R1 R 2. Udnyt den kinesiske restklassesætning til at løse opgave 5.23 [J, p. 102]. 5. Vis, at restklasseringen Z n er et integritetsområde, hvis og kun hvis n er et primtal. Vis, at Z n er et legeme, hvis og kun hvis n er et primtal. Planer. I ugen 15/4 19/4 gennemgås resten af kapitel 14 og lidt af kapitel 15. Ugens øvelser er 12.5, 12.11, 12.23, U10.2, 13.2, 13.5, 13.22, 14.1, I denne uge afleveres den anden obligatoriske opgave til instruktoren. I ugen 22/4 26/4 gennemgås resten af kapitel 15 og kapitel 16. Ugens øvelser er 12.10, U11.1, 13.3, U11.2, 14.7, 14.8, 14.13, 14.16, 14.27, 15.1, 15.2.

14 Ugeseddel 12. U 12 Stof gennemgået i ugen 15/4 19/4: Kapitel 14 til side 254, definition af maximal ideal, og den kinesiske restklassesætning Ngleord. Characteristic (karakteristik), ring homomorphism (ring-homomorfi), ring isomorphism (ring-isomorfi), ideal (ideal), trivial ideals (trivielle idealer), principal ideal (hovedideal), factor or quotient ring (kvotientring), canonical homomorphism (kanonisk homomorfi), maximal ideal (maksimalideal), Chinese Remainder Theorem (kinesisk restklassesætning). Kommentar. Det er sædvane at kalde et element a i en kommutativ ring R for en nuldivisor, hvis der findes et element b 0 i R så at ab = 0. Det forudsættes altså ikke, at a 0. Judson s notation for hovedidealet {ra r R} er usædvanlig. Den sædvanlige notation er Ra eller (a). Tilfjelse. Til [J, Theorem 14.9, p. 253] bør tilføjes: Moreover, if 1 is the unity of R, then 1+I is the unity of R/I. Judson overser på side 259, at han essentielt har bevist den kinesiske restklassesætning i [J, Corollary 8.12, p. 153]. Til gengæld mangler et par finesser i hans formulering. Her er en bedre formulering: Den kinesiske restklassesætning. Antag, at n = n 1 n r er et produkt af parvis primiske faktorer n i. Da er afbildningen [x] n ([x] n1,...,[x] nr ) en veldefineret ring-isomorfi, Z n Z n1 Z nr. (*) Specielt fås en gruppe-isomorfi Z n Z n 1 Z n r, og for Euler s ϕ-funktion fås ligningen ϕ(n) = ϕ(n 1 ) ϕ(n r ). Bevis. Lad R være produktringen R := Z n1 Z nr. Ved ψ(x) = x1 R defineres da en ring-homomorfi ψ: Z R. Af Isomorfisætningen fås derfor en isomorfi Z/ψ 1 (0) ψ(z). Vi bestemmer kernen ψ 1 (0) og billedringen ψ(z). Et-elementet 1 R er ([1] n1,...,[1] nr ). Det følger, at ψ(x) = x1 R = ([x] n1,...,[x] nr ). Altså er ψ(x) = 0 R, hvis og kun hvis hvert n i er divisor i x. Da faktorerne n i er parvis primiske følger det, at ψ(x) = 0 R, hvis og kun hvis n er divisor i x. Altså er ψ 1 (0 R ) = Zn. Isomorfien er altså en isomorfi Z n ψ(z). Specielt har billedringen ψ(z) orden n. Øjensynlig indeholder R også n elememter. Altså er ψ(z) = R. Isomorfien fra Isomorfisætningen er altså den søgte isomorfi (*). Planer. I ugen 22/4 26/4 gennemgås resten af kapitel 14 og kapitel 15. Ugens øvelser er 12.10, U11.1, 13.3, U11.2, 14.7, 14.8, 14.13, 14.16, 14.27, 15.1, Noterne om symmetrier bliver forhåbentlig trykt i denne uge. I ugen 29/4 2/5 gennemgås kapitel 16. Ugens øvelser er U11.3, U11.4, U11.5, 14.11, 14.12, 14.35, 15.3(b), 15.4(c), 15.5, 15.6, 15.9, 15.17, 14.30*. Eksamenspensum er de gennemgåede afsnit af [J], samt (kursorisk) kapitel 6 og kapitel 20, noterne om symmetrier, samt materialet fra ugesedlerne.

15 Ugeseddel 13. U 13 Stof gennemgået i ugen 22/4 26/4: resten af kapitel 14 (bemærk, at den kinesiske restklassesætning er behandlet på ugeseddel 12), og kapitel 15 til side Ngleord. Polynomial (polynomium), indeterminate (variabel), coefficient (koefficient), leading coefficient (ledende koefficient eller højestegradskoefficient), degree (grad), monic polynomial(normeret polynomial), Division algorithm(division med rest), greatest common divisor(største fælles divisor), irreducible polynomial(irreducibelt polynomium), evaluation (indsættelse eller evaluering). Kommentar. Det skal understreges, at det er en del af definitionen, at maksimalidealer [J, p. 255] og primidealer [J, p. 256] er ægte idealer, altså ikke lig med hele ringen. Judson s fremstilling af polynomier (kapitel 15) er desværre ikke helt optimal. En del af resultaterne gælder for enhver polynomiumsring R[x], hvor R er en vilkårlig kommutativ ring med et-element. Således kan det til Theorem 15.4 tilføjes, at resultatet gælder for enhver polynomiumsring R[X], når blot g(x) forudsættes normeret. Corollary 15.5 gælder for enhver polynomiumsring. Corollary 15.6 forudsætter, at R er et integritetsområde. Proposition 15.7 forudsætter, at R = F er et legeme. Her er en vigtig pointe gået delvis tabt, nemlig at den største fælles divisior d(x) eksisterer. I beviset antager Judson i øvrigt, at p(x) og q(x) ikke begge er nul-polynomiet. Tilfjelse. I tilslutning til definitionen af irreducible polynomier [J, p. 277] skal tilføjes: Betragt et polynomium f(x) 0 i F[x] (hvor F er et legeme) af grad n. (1) Hvis n = 0, er f(x) ikke irreducibelt. (2) Hvis n = 1, så er f(x) irreducibelt. (3) Hvis n 2 og f(x) har en rod α F, så er f(x) ikke irreducibel. (4) Hvis n = 2 eller n = 3, så gælder også det omvendte: f(x) er irreducibelt, hvis og kun hvis f(x) ikke har rødder i F. (1) følger af definitionen. Antag, at n 1. Hvis f(x) har en rod α F, så er f(x) et multiplum af X α. Heraf følger (3). Hvis f(x) reducibelt, findes en fremstilling f(x) = g(x)h(x), hvor g(x) og h(x) har grad mindre end n. Specielt er så n = k +l, hvor 1 k,l < n. For n = 1 er dette ikke muligt, og heraf følger (2). For n = 2 eller n = 3 følger det, at k eller l må være lig med 1. Altså er f(x) deleligt med et polynomium af grad 1, dvs med et polynomium af formen ax +b, hvor a 0. Det følger, at a 1 b er rod i f(x). Altså gælder (4). Planer. I ugen 29/4 3/5 gennemgås resten af kapitel 15 og dele af kapitel 16. Ugens øvelser er U11.3, U11.4, U11.5, 14.11, 14.12, 14.35, 15.3(b), 15.4(c), 15.5, 15.6, 15.9, 15.17, 14.30*. Eksamenspensum er de gennemgåede afsnit af [J], samt (kursorisk) kapitel 6 og kapitel 20, noterne om symmetrier, samt materialet fra ugesedlerne. Hold, der har øvelser på fridage, må regne ekstra hurtigt de kommende uger. I ugen 6/5 10/5 gennemgås resten af kapitel 16 og kaptiel 6. Ugens øvelser er 14.39, 15.4(d), 15.8, 15.24, 16.1, 16.4.

16 Ugeseddel 14. U 14 Stof gennemgået i ugen 29/4 3/5: Resten af kapitel 15 og afsnit Ngleord. Polynomials in n indeterminates (polynomier i n-variable), greatest common divisor (største fælles divisor), relatively prime (primiske), irreducible polynomial (irreducibelt polynomium), Gauss s Lemma (Gauss Lemma), Eisenstein s criterion (Eisenstein s kriterium), field of fractions (brøklegeme). Kommentar. I 16.6 [J, p. 293] antages naturligvis, at p er et primtal. Påstanden er i øvrigt en observation, og ikke et korollar til I skal F[x] erstattes med F[x 1,...,x n ]. Tilfjelse. Judson s første version af Gauss lemma [J, p. 278] er ret mystisk. Det er en god ide at kigge frem til den næste version [J, p. 300] og i stedet bruge dette resultat for D := Z. Corollar [J, p. 279] er totalt håbløst, og skal erstattes af følgende: Corollary Let p(x) = b n x n +b n 1 x n 1 + +b 0 be a polynomial with coefficients in Z and b n 0. Assume that p(x) has a zero α in Q, say α = a/t with a reduced fraction a/t. Then t divides b n and a divides b 0. Proof. By Corollary 15.5, x α is a divisor of p(x) in Q[x]. Hence t(x α) = tx a is a divisor of p(x), that is, we have an equation, p(x) = q(x)(tx a), (1) with a polynomial q(x) in Q[X]. Apply Lemma 15.8 to q(x) to obtain an equation, q(x) = r f(x), (2) s where r/s is reduced and f(x) is a primitive (see [J, p. 300]) polynomial in Z[x]. From the two equations it follows that sp(x) = rf(x)(tx a). (3) By Gauss s Lemma [J, p. 300], the product f(x)(tx a) is a primitive polynomial in Z[x]. It follows for the polynomial on the right hand side of (3) that r is the greatest common divisor of the coefficients. By the equation (3), all the coefficients are divisible by s. Hence s is a divisor of r. Now it follows from (2) that q(x) has integer coefficient. By (1), the leading coefficient b n i p(x) is equal to the leading coefficient of q(x) times t. Hence t divides b n. Similarly, it follows from (1) that a divides b 0. Ekstraopgave. 1. I Lemma skal det antages, at p(x) 0. Gør rede for at konklusionen kan forbedres til følgende: Furthermore, f(x) and f 1 (x), and g(x) and g 1 (x), are associates in F[x]. Planer. I ugen 6/5 10/5 gennemgås resten af kapitel 16. Ugens øvelser er 14.39, 15.4(d), 15.8, 15.24, 16.1, I ugen 13/5 17/5 holdes sidste forelæsning om mandagen. Ugens øvelser er 15.14, 16.2, 16.9, [ unique skal være unique (up to multiplication by a unit) ], U14.1.

17 Ugeseddel 15. U 15 Stof gennemgået i ugen 6/5 13/5: Resten af kapitel 16. Ngleord. Factorization (faktorisering), divides (går op i), associates (associerede), unit (enhed eller invertibelt element), irreducible (irreducibelt), prime (primelement), unique factorization domain(ring med entydig primopløsning), UFD(UFD), principal ideal domain (hovedidealområde), PID (PID), Euclidean domain (euklidisk ring). Kommentar. Judson s bevis for at ethvert PID D er et UFD indeholder en del unøjagtigheder. Her er et korrekt bevis: Vi skal vise, for et givet element a i D, som ikke er 0 eller en enhed, at a kan skrives som et produkt af irreducible elementer og at en sådan fremstilling er entydig. Eksistensen vise indirekte: Antag, at a ikke kan skrives som produkt af irreducible elementer. Specielt er så a ikke selv irreducibel. Altså har vi en faktorisering a = bc med ikke trivielle divisorer b og c i a. Hvis både b og c kunne skrives som produkt af irreducible elementer, ville også produktet a = bc kunne skrives som produkt af irreducible elementer. Der må altså være en af divisorerne b og c, der ikke kan skrives som produkt af irreducible elementer. Kald denne divisor for a 1. Da er a 1 en ægte divisor i a, og a 1 kan ikke kan skrives som produkt af irreducible. Vi kan derfor fortsætte argumentationen med a 1 og finde en ægte divisor a 2 i a 1 således at a 2 ikke kan skrives som produkt af irreducible elementer. Fortsættes således får vi specielt en uendelig følge a = a 0,a 1,a 2,..., hvor hvert a i er enægtedivisoria i 1. Fordetilhørendehovedidealer har viså(a) (a 1 ) (a 2 ), i modstrid med Lemma Hermed er eksistensen vist. For at vise entydigheden betragtes mere generelt en ligning up 1 p r = q 1 q s, hvor u er en enhed og p i erne og q j erne er irreducible. Vi viser, at r = s og at vi efter permutation af q i erne har, at p i og q i er associerede for i = 1,...,r. Af ligningen følger, at p r er divisor i produktet af q j erne. Da p r er et primelement [J, Corollary 16.9], er p r derfor divisor i et af q j erne. Vi kan antage, at p r er divisor i q s. Da q s kun har trivielle divisorer, må p r og q s være associerede. Vi har altså p r = vq s med en enhed v. Ved indsættelse fås ligningen, (uv)p 1 p r 1 q s = q 1 q s 1 q s. I denne ligning kan faktoren q s bortforkortes. Herved fremkommer en ligning af samme type som den vi startede med, blot med r 1 elementer p i venstresiden og s 1 elementer q j på højresiden. Induktivt får vi derfor den ønskede entydighed. Ekstraopgave. 1. Vis, at ethvert primtal p 1 (mod 4) kan skrives på formen p = a 2 +b 2 med a,b N. I ugen 13/5 17/5 holdes sidste forelæsning om mandagen. Ugens øvelser er 15.14, 16.2, 16.9, [ unique skal være unique (up to multiplication by a unit) ].

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Matematik 2AL, vinteren

Matematik 2AL, vinteren EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales

Læs mere

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].

Facitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X]. Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16

Minilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16 Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April 2009 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish

Læs mere

Facitliste til nyere eksamensopgaver

Facitliste til nyere eksamensopgaver Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen,

Læs mere

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam April Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam April Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 16. April 2010 Algebra This exam contains 5 exercises which are to be solved in hours. The exercises are posed in an English and in a Danish version.

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger

Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.

Læs mere

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3

University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Kommutativ algebra, 2005

Kommutativ algebra, 2005 Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København

Læs mere

En algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008

En algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels

Læs mere

DM547/MM537. Spørgsmål 2 (3%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1. Svar 2.h: x Z: y Z: x + y = 5. Svar 1.

DM547/MM537. Spørgsmål 2 (3%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1. Svar 2.h: x Z: y Z: x + y = 5. Svar 1. DM547/MM537 Spørgsmål 1 (10%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1 Svar 1.b: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.c: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.d: x Z: y Z: x 2 + 2y = 0 Svar

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003

Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003 Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001

Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001 Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...

Læs mere

Matematik 2 AL. Opgave 2 (20p)

Matematik 2 AL. Opgave 2 (20p) Opgver til besvrelse i 4 timer. Alle sædvnlige hjælpemidler må medbringes. Sættet består f 6 opgver. Opgve 1, 2, 3, 4, 5 og 6 er for de studerende, der hr læst efter nyt pensum. Opgve 1, 2, 3, 4, 5, og

Læs mere

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen

Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

MATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX

MATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX MATEMATIK 3 AL Klassisk Algebra Christian U. Jensen 2004 Typeset by AMS-TEX Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c 2004 Matematisk Afdeling FORORD TIL 1998-UDGAVEN At lære og at tilegne

Læs mere

Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri

Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Pakke Mat 3AG 1994 Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Anders Thorup 1 Noter til Matematik 3AG, 1994 Om ringe og moduler. 1. Nogle grundbegreber, s. 1 8 2. Kerne og kokerne. Exakte følger, s. 1

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Matematik 3AG Forår Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER. Hans Bjørn Foxby

Matematik 3AG Forår Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER. Hans Bjørn Foxby Matematik 3AG Forår 2003 Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER Hans Bjørn Foxby 0 (A/hA) mp (A/ghA) mp (A/gA) mp 0 2 Mat 3AG I&S 1 Indhold & Stikord Indhold I&S PAK 0. PAK 1. PAK 2. PAK 3. PAK 4. PAK 5.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

6. RSA, og andre public key systemer.

6. RSA, og andre public key systemer. RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1

Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

DM547 Diskret Matematik

DM547 Diskret Matematik DM547 Diskret Matematik Spørgsmål 1 (11%) Hvilke udsagn er sande? Husk, at symbolet betyder går op i. Which propositions are true? Recall that the symbol means divides. Svar 1.a: n Z: 2n > n + 2 Svar 1.b:

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

DM549 Diskrete Metoder til Datalogi

DM549 Diskrete Metoder til Datalogi DM549 Diskrete Metoder til Datalogi Spørgsmål 1 (8%) Hvilke udsagn er sande? Husk, at symbolet betyder går op i. Which propositions are true? Recall that the symbol means divides. Svar 1.a: n Z: 2n > n

Læs mere

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5. Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Secret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017

Secret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017 Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik, Aarhus universitet 24. marts 2017 Resumé Secret sharing henviser til metoder til fordeling af en hemmelighed blandt en gruppe af deltagere, som hver især

Læs mere

A. Appendix: Løse ender.

A. Appendix: Løse ender. Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

Tapetmønstre. Symmetri i 2 dimensioner. 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet

Tapetmønstre. Symmetri i 2 dimensioner. 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet Tapetmønstre Symmetri i 2 dimensioner 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet G3-112 16. maj 2012 Institut for Matematiske Fag Matematik Fredrik Bajers Vej 7G Telefon 99 40 99 40 http://www.math.aau.dk

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere