Fejlstrata. Vi forestiller os at V har. 1) Et underrum L. 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W W m

Transkript

1 Fejlstrata Vi forestiller os at V har 1) Et underrum L 2) Et indre produkt, 3) En ortogonal dekomposition V = W W m Underrummene W i kaldes fejlstrata. Typisk eksempel på en fejlstratumdekomposition: W 1 = L F, W 2 = L F. p.1/13

2 Fejlstratummodel X er regulært normalfordelt på V med centrum ξ L og en præcision, der er givet som x, y ω 2 = m i=1 r i (x), r i (y) ω 2 i for x, y V. hvor r i være projektionen ned i W i med hensyn til,. Parametre: 1) ξ L 2) ω 2 = (ω 2 1,...,ω 2 m) (0, ) m. p.2/13

3 Varians i fejlstratummodel Lad V = R I, og lad, være det sædvanlige indre produkt. Sætning Hvis X er regulært normalfordelt med præcision, ω 2 så er V X = m ωl 2 R l l=1 hvor R 1,...,R m er projektionsmatricerne hørende til strataene W 1,...,W m. Alternativt: V X = ω 2 m I + (ωl 2 ωm) 2 R l m 1 l=1. p.3/13

4 Eksempel Se på dekompositionen R I = L F + L F. Da er V X = ω 2 2 I + (ω 2 l ω 2 2) P F Cov(X i, X i ) = ω ω2 1 ω 2 2 n F (j) ω 2 1 ω 2 2 n F (j) hvis i = i, f(i) = j hvis i i, f(i) = f(i ) = j 0 hvis f(i) f(i ). p.4/13

5 Eksempel fortsat V X = Σ Σ Σ F hvor Σ j = ω λ j λ j... λ j λ j 1 + λ j... λ j hvor λ j = ω2 1 ω 2 2 n F (j) ω 2 2 λ j λ j λ j Vrøvl hvis n F (j) varierer. Tilfældigt F -intercept hvis n F (j) konstant.. p.5/13

6 Varianskomponenter og fejlstrata Sætning 3.10 Lad X være regulært normalfordelt på R I med E X L og V X = σ 2 I + m 1 l=1 ν l 2 B l B T l hvor de tilfældige effekter er intercepts svarende til faktorer G 1,...,G m 1. Antag at G erne udgør et ortogonalt, -stabilt design og at de alle er balancerede. Så kan varianskomponentmodellen INDLEJRES i fejlstratummodel med m strata. Strataene er den ortogonale dekomposition for designet, tilføjet I.. p.6/13

7 ML-estimation i fejlstratummodel Sætning 3.12 Antag at middelværdiunderrummet L står geometrisk ortogonalt på hvert stratum W 1,...,W m, og at L ikke indeholder noget stratum. Så gælder der med sandsynlighed 1 at ML-estimatoren er ˆξ = p(x), ω2 i = r i(x) r i p(x) 2 dimw i. hvor p er projektionen ned i L, og hvor r i er projektionen ned i W i.. p.7/13

8 Fordeling af ML-estimater ˆξ, ω 2 1,..., ω 2 m er uafhængige. ˆξ er regulært normalfordelt på L med centrum ξ ω 2 i er χ2 -fordelt med df = dimw i diml i og skalaparameter ω 2 i / dimw i, hvor L i = L W i Centralt estimat: ω 2 i = r i(x) r i p(x) 2 dimw i diml i. p.8/13

9 REML-estimation i fejlstratummodel Sætning 3.13 Antag at middelværdiunderrummet L står geometrisk ortogonalt på hvert stratum W 1,...,W m, og at L ikke indeholder noget stratum. Så gælder der med sandsynlighed 1 at REML-estimatoren er ˆξ = p(x), ω2 i = r i(x) r i p(x) 2 dimw i diml i. hvor p er projektionen ned i L, og hvor r i er projektionen ned i W i.. p.9/13

10 REML-estimation i varianskomponentmodeller Konklusion For en varianskomponentmodel, der kan indlejres i en fejlstratummodel, fører REML-princippet til centrale estimater for variansparametrene. Så er REML-princippet sikkert også sundt for de mange varianskomponentmodeller, der ikke kan indlejres i en fejlstratummodel.. p.10/13

11 Test i fejlstratummodeller Lad L L. Vi ønsker at teste om ξ L. Antag at L står geometrisk ortogonalt på alle strata, og sæt L i = L W i, L i = L W i Antag at L i = L i for alle i i 0 Resultat p. 79 Kvotienttestet kan gennemføres som et F -test i i 0 -stratummet, F = p r i 0 (X) p r i0 (X) 2 /(diml i0 diml i 0 ) r i0 (X) p r i0 (X) 2 /(dimw i0 diml i0 ) der under hypotesen er F -fordelt med (diml i0 diml i 0, dimw i0 diml i0 ) frihedsgrader.. p.11/13

12 Tosidet variansanalyse med tilfældig blok Fast effekt design: T 1 Tilfældigt effekt design: I B Fælles design: I B T 1 Lad V I, B B, V T, V 1 være den ortogonale dekomposition.. p.12/13

13 Tosidet variansanalyse med tilfældig blok Strata: Med L = L T er W B = L B = V B + V 1 og W I = L B = V T + V I, L (B) = L W B = (V 1 + V T ) (V 1 + V B ) = V 1 Med L = L 1 er L (I) = L W I = (V 1 + V T ) (V T + V I ) = V T L (B) = L W B = V 1 (V 1 + V B ) = V 1 L (I) = L W I = V 1 (V T + V I ) = (0) Testet kommer til at foregå i I-strataet.. p.13/13