Talfølger og -rækker

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Talfølger og -rækker"

Transkript

1 Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber 0 gage hurtigere ed skildpadde, så de får et forsprig på 00 fod. Når Achilleus har tilbagelagt de første 00 fod, vil skildpadde have bevæget sig 0 fod. Efter yderligere 0 fod for Achilleus vil skildpadde stadig føre med fod, og så fremdeles. Achilleus ka aldrig overhale skildpadde.

2

3 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009

4

5 Idholdsfortegelse Forord Idledig iii v Kapitel Talfølger. Følger af tal Koverges af talfølger Regeregler for græseværdier Cauchy-følger Mootoe følger Supremum og ifimum Limes superior og limes iferior Opgaver Kapitel 2 Uedelige rækker Defiitio og koverges af talrækker Additio og multiplikatio af rækker Geometriske rækker Altererede rækker og absolut koverges Kovergeskriterier Potesrækker Opgaver Appedikser Appediks A De komplekse tal 93 Appediks B De reelle tal 99 B. Uedelige decimalbrøker B.2 Mægder og talområder B.3 Fuldstædighed B.4 Opgaver i

6 Idholdsfortegelse Appediks C Logik og bevistekik C. Udsag C.2 De logiske operatioer C.3 Regeregler C.4 Beviser C.5 Opgaver Appediks D Om limsup og limif 25 Litteratur 29 ii

7 Forord Disse oter er blevet til i løbet af foråret 2009 og udgør de cetrale del af udervisigsmaterialet til kurset Itroduktio til Matematisk Aalyse ved det aturvideskabelige fakultet på Aarhus Uiversitet. Ambitioe har været at lave e lærebog der passer til målgruppe som udgøres af førsteårsstuderede optaget på Matematikog Matematik-Økoomi-idgagee. Hesigte er at give e itroduktio til teorie om uedelige rækker, på e såda måde at læsere samtidig tileger sig ogle vigtige og cetrale begreber og metoder i de matematiske aalyse. Det drejer sig især om at itroducere matematiske beviser og bevismetoder, som er e uudværlig del af de modere matematik. Tilegelse af disse metoder er midst lige så vigtig som kedskabet til teorie for talfølger og rækker. Vi har derfor valgt at supplere fremstillige af de matematiske emer med e række bemærkiger, der fremhæver vigtige og geerelle træk ved de avedte metoder. Disse bemærkiger er markeret med e lille advarselstavle i margie. Desude har vi medtaget e midre serie appedikser som bl.a. omhadler bevismetoder og logik. Størstedele af tekste udgøres af defiitioer, sætiger og beviser samt e stor portio eksempler. Nogle sætiger har status af lemma, dvs. hjælpesætig, adre kaldes korollar eller følgesætig. Et lemma er typisk et resultat som ikke er iteressat i sig selv, me som bruges i beviset for e seere sætig. Et korollar er et resultat som let følger af e etop bevist sætig. Læsere vil også støde på propositioer. E propositio er et resultat som er vigtigere ed et lemma me ikke vigtigt ok til at blive kaldt e sætig. Til hjælp for læsere markeres afslutige af et bevis med e lille firkat. Eksempler afsluttes med og bemærkiger med. Visse af boges afsit afsluttes med e lille sad/falsk quiz, markeret med e oplysigstavle i margie. Hver af disse quizzer omhadler de teori der er behadlet side de sidste quiz, dvs. materiale fra ét eller to afsit. Læsere opfordres til at prøve kræfter med quizzere uder læsige af otere for at styrke forståelse af de ye begreber der itroduceres. Vores fremstillig er på flere pukter ispireret af Ebbe Thue Poulses bog Fuktioer af e og flere variable (Gads Forlag, 200) som hidtil er blevet brugt ved udervisige i Itroduktio til Matematisk Aalyse, selvom det ku er e begræset del af emere fra dee vi behadler her. Mage af vores opgaver er hetet direkte iii

8 Forord fra Thue Poulses bog, og vi er ham takemlig for tilladelse til at avede dette materiale. I Idledige til Fuktioer af e og flere variable har vi fudet følgede formulerig, som vi meer beskriver et meget væsetligt forhold, og som vi derfor gere getager her fordi det også gælder for disse oter: Der er i præsetatioe af stoffet lagt mere vægt på præcisio og beviser, ed der er traditio for i gymasiet. Faktisk er mage af bevisere geemført med så mage detaljer, at ogle givetvis vil kalde fremstillige pedatisk. [...] Formålet med de [...] pedatiske fremstillig er at mide læsere om, at alle matematiske beviser pricipielt skal være fuldstædige. Dette krav er imidlertid et ideal, som matematikere ofte vælger at gå på kompromis med, fordi kravet om fuldstædighed gør bevisere lægere og ofte også midre overskuelige. Når ma skriver for læsere med mere erfarig og større overblik, udelader ma derfor tit e del af detaljere [...]. I så fald er det uderforstået, at forfattere for sig selv har geemtækt disse detaljer, og at læsere bør gøre det samme. Vi har lagt et stort arbejde i at udradere fejl i disse oter. Det være sig matematiske såvel som typografiske. Rue Esdahl-Schou har læst ogle foreløbige versioer af otere og har på dee måde hjulpet os med at rette e række fejl og magler. Lars Madse har stillet si store L A TEX iske ekspertise til rådighed. Vi udskylder på forhåd for de fejl, der med garati stadig er at fide. De er alle de ade forfatters skyld! Da Beltoft og Klaus Thomse, Jui 2009 iv

9 Idledig E uedelig sum af tal a 0 + a + a 2 + a 3 + kaldes også for e uedelig række. Fx ka det være række () eller række (2) Dee bog hadler om de matematik der skal bruges for at give meig til og avede sådae uedelige rækker af tal. Egetlig hadler det altså blot om at lægge uedeligt mage tal samme. Me det er ikke så ekelt, og giver let aledig til mærkelige resultater hvis ma ikke passer på. Et helt aivt forsøg på at bestemme summe af leddee i række () kue bestå i at hådtere de som e almidelig edelig sum, og argumetere på følgede måde: Vi keder ikke summe af række så lad os betege de x. Hvis vi gager () med 2 og tillader os at avede sædvalige regeregler for edelige summer fider vi, at 2x = = , (3) hvilket er de samme række som (), me med første led,, udeladt. Det leder os til, at x bør opfylde ligige 2x = x, der som bekedt ku har løsige x =. Så hvis vi tror på at uedelige summer ka hådteres efter samme pricipper som edelige summer år vi frem til det urimelige resultat at summe af række () bør være. Hvis vi derimod beytter samme fremgagsmåde på (2) og kalder summe y, fider vi at 2y = = , v

10 Idledig der jo er det samme som (2), me med det ekstra led. Altså bør y være løsig til ligige 2y = + y, og dermed y =. Hvilket jo de fleste ka se er et uhyre rimeligt bud på hvad summe af (2) må være. Alligevel ka det faktum at summe af række (2) giver et edeligt resultat, for tilstrækkeligt filosofisk alagte persoer opfattes som et paradoks. Uder alle omstædigheder bør disse ekle eksempler mae læsere til forsigtighed i si omgag med uedelige rækker og tjee som legitimatio for de meget grudige tilgag som de modere matematik foreskriver, og som er emet for dee bog. Udgagspuktet er i de modere tilgag de såkaldte afsitssummer s = a 0 + a + a a som fremkommer ved at addere de første + led. For de første rækkes vedkommede, altså (), ser ma let at disse afsitssummer s, s 2, s 3, osv. vokser ud over alle græser og ikke ærmer sig oget edeligt tal. Derimod fider ma ude de store problemer at afsitssummere for de ade rækkes vedkommede vil være givet ved formle s = 2 +, der jo ærmer sig mere og mere år vokser. Så e hel del tyder på, at de afgørede forskel på de to eksempler ka aflæses af, hvorda afsitssummere opfører sig. Og at det afgørede syes at være, hvorvidt følge af afsitssummer s, s 2, s 3, s 4, osv. ærmer sig et tal år vokser. For at forfølge dette syspukt, at e uedelig rækkes opførsel skal afgøres af hvorledes afsitssummere opfører sig, må vi først udvikle oget teori om følger af tal, og om hvorda vi på sikker grud ka give meig til at e følge af tal ærmer sig oget. vi

11 Kapitel Talfølger. Følger af tal Først de formelle defiitio af, hvad e talfølge er for oget: Defiitio.. E følge af tal er e fuktio a: N C. Her beteger N de aturlige tal, iklusive 0, og C de komplekse tal. De reelle tal beteger vi med R og vi opfatter dem som e delmægde af C. I Appediks A fides e kort geemgag af hvad de komplekse tal er og hvorda ma reger med dem. Sædvaligvis afører ma følge a: N C ved at agive værdiere af fuktioe a i de aturlige rækkefølge: {a } = {a 0, a, a 2, a 3, a 4,... }, hvor a = a(). Tallet a siges at have ideks. I otatioe {a } er det ude betydig hvilket symbol der bruges for idekset. Talfølge kue lige så vel skrives {a i } i=0 eller {a } =0. Eksempel.2. Følge a =, =, 2, 3,..., svarer til fuktioe a: N C som seder N til. Bemærk at a ikke er defieret for = 0. Som oveståede eksempel viser er det ogle gage aturligt at begyde idicerige af e følge adre steder ed med = 0. Vi vil geerelt ku iteressere os for talfølgers opførsel år vokser mod uedelig, og derfor er det ikke vigtigt hvor ummererige starter.

12 Kapitel Talfølger Eksempel.3. De aturlige tal N ka opfattes som e følge: a =, = 0,, 2, 3,..., som svarer til fuktioe a: N N givet ved at a() =. Eksempel.4. Lad i = C. Vi defierer e talfølge {a } a = i. ved at Altså er a tallet i opløftet til te, altså gaget med sig selv gage. Så a 0 = i 0 =, a = i, a 2 = i i =, a 3 = i 3 = i i i = i = i, a 4 = i 4 = i 2 i 2 = ( ) 2 =, osv. Mere formelt: år 0 modulo 4 i år modulo 4 a = år 2 modulo 4 i år 3 modulo 4 Følge er periodisk, idet tallee, i,, i getages i det uedelige. Eksempel.5. Fuktioer ka også give aledig til følger. Fx ka sius-fuktioe bruges til at defiere følge a = si. Ved brug af e lommereger ka ma så bestemme approksimative værdier for a : a 0 = si 0 = 0 a = si 0, a 2 = si 2 0, a 3 = si 3 0, a 4 = si 4 0, a 5 = si 5 0, a 6 = si 6 0, a 7 = si 7 0, og så videre. Eksempel.6. Følger ka være kostate. For ethvert komplekst tal z ka vi defiere e følge {a } ved at a = z for alle. Eksempel.7. Følger ka defieres rekursivt. Et berømt eksempel er Fiboaccifølge {a } = som defieres ved at a = a 2 = og a = a + a 2, 3. Altså er a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 5, a 6 = 8 osv. 2

13 .2 Koverges af talfølger.2 Koverges af talfølger Defiitio.8. E talfølge {a } er koverget år der fides et tal a C som opfylder, at der for ethvert ε > 0 fides et aturligt tal N N således at år N. a a ε Betigelse i Defiitio.8 ka også skrives ved brug af kvatorer: ε > 0 N N: a a ε N. (.) Dee smøre af matematiske symboler ka læses på følgede måde: For alle epsilo større ed ul fides der et aturligt tal N, således at afstade mellem a og a ikke er større ed epsilo, år er større ed eller lig med N. E alterativ formulerig kue være: For alle epsilo større ed ul fides der et aturligt tal N, således at år er større ed eller lig med N, er afstade mellem a og a ikke større ed epsilo. På matematisk ville dette skrives ε > 0 N N N : a a ε. (.2) Hvilke af de to matematiske skrivemåder der beyttes er mest e smagssag. I disse oter vil vi oftest beytte kvatorer som forkortelser for sproglige formuleriger, og ikke som logiske symboler. I Appediks C ka du læse mere om kvatorer. I helt jæve ord ka betigelse i Defiitio.8 fx beskrives ved at sige, at elemetere i følge fra et vist tri alle skal ligge så tæt på a som vi måtte øske. Hvis vi tæker på de komplekse tal som e pla ka betigelse beskrives ved, at ehver cirkelskive af radius ε med cetrum i puktet a C ideholder alle de tal i følge, som har idex N eller højere. Der er altså ku edeligt mage tal i følge som ikke ligger idefor e såda cirkel. Se Figur.. Figur.: Koverges af e talfølge Et N N som opfylder (.) for et givet ε > 0 siges at afparere dette ε. Når betigelse i Defiitio.8 er opfyldt kalder vi a for følges græseværdi, og vi siger at følge kovergerer mod a. Dette skrives kort: lim a = a. E talfølge der ikke er koverget kaldes diverget. 3

14 Kapitel Talfølger 4 Eksempel.9. Følge a = fra Eksempel.2 kovergerer mod 0, og har altså græseværdie 0. For at vise det, skal vi ifølge Defiitio.8 for ethvert positivt ε gøre rede for, at der fides et aturligt tal N så for alle N. Nu er a 0 ε (.3) a 0 = 0 =, så kravet er, at der skal fides et N så ε år N. Me ε ε, så vi ser, at hvis blot N er et aturligt tal større ed ε, så vil (.3) være opfyldt for alle N. Eksempel.0. Følge a = kovergerer også mod 0: Lad ε > 0 være givet. 2 Ifølge Eksempel.9 ka vi fide et N N så ε for alle N. Me så er 2 0 = 2 ε for alle N. Se også Opgave.27. Eksempel.. Følge a = + kovergerer mod. Dette ka idses på følgede måde: a = + = + =. (.4) Fra Eksempel.9 ved vi at lim = 0, så for ethvert ε > 0 ka vi fide et N N så ε år N. Og så fortæller (.4) os, at a ε år N. Ikke alle følger har e græseværdi. Fx er det ikke svært at idse at følge a = fra Eksempel.3 ikke har e græseværdi. Me hvis der er e græseværdi, er de etydigt bestemt: E følge ka ikke have mere ed é græseværdi. Et bevis for dee påstad ka forløbe som følger ved brug af et modstridsargumet: Atag a og b begge opfylder betigelse i Defiitio.8 og atag for modstrid at a b. Så er a b > 0 og vi ka avede betigelse med til at fide N a, N b N således at år N a og ε = a b (.5) 3 a a ε (.6) a b ε (.7) år N b. Når er større ed både N a og N b ka vi bruge både (.6) og (.7), og fider så ved brug af trekatsulighede (A.7), at a b = a a + a b a a + a b ε 3 + ε 3 = 2ε 3. Det er i modstrid med (.5), og derfor må atagelse om at a b, være forkert.

15 .2 Koverges af talfølger Eksempel.2. Følge a = i fra Eksempel.4 er ikke koverget. De skifter jo hele tide mellem tallee, i,, i, og kommer ikke vilkårligt tæt på oget adet tal. Me lad os give et formelt bevis for, at dee følge ikke kovergerer: Atag for modstrid at der fides et tal a C således at vi for ethvert ε > 0 ka fide et N N med de egeskab at a a ε år N. Et sådat N skal vi altså specielt kue fide år ε = 2 3. Altså må vi have, at 2 a a 3 år N. Heraf følger så, at a a + = a a + a a + a a + a a = år N. Me det ka ikke være rigtigt, for uaset hvilket vi betragter er (.8) a a + = i i + = i (i ) = i i (jvf. (A.0)) = i i = i = i = = 2. (.9) i modstrid med (.8). Altså ka følge ikke være koverget. Bemærkig. Både i Eksempel.2 og i beviset for etydighede af e græse- værdi har vi e atagelse om at kovergesbetigelse (.) er opfyldt. Og det er jo et krav, der omfatter alle ε > 0. Som det er tilfældet i de to eksempler, bruger ma ofte såda e atagelse ved at vælge et særlig sedigt ε og så udytte at ma, ifølge (.), skal kue fide et N der virker for etop dette valg af ε. Valget af det rette ε kræver aturligvis at ma aalyserer situatioe først. Da forfattere fadt på Eksempel.2 lavede ha fx vurderige i (.9) først, og valgte derefter sit ε. Lad t ]0, [ og sæt a = t, =, 2, 3,.... Dee følge ko- Eksempel.3. vergerer mod : lim t =. (.0) Dette ka vises på følgede måde. Fuktioe f(x) = x = e l x er differetiabel på itervallet ]0, [ og f (x) = x e l x. Fra differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) ved vi, at der fides et s [t, ] så f() f(t) = f (s)( t). (.) Da l s 0 er e l s og derfor er Idsættes dette i (.) får vi estimatet f (s) s t. t = f() f(t) = f (s) t t t. (.2) 5

16 Kapitel Talfølger Lad så ε > 0 være givet. Vælg N N så stor at N t t tε. Når N er tε dermed er t t ε. Ved brug af (.2) fider vi, at t ε og år N. Dermed har vi verificeret (.0). Eksempel.4. Lad z C. Følge a = z, = 0,, 2,..., er koverget med græseværdi 0 år z <. For at vise det skal vi for et givet ε > 0 fide et N så z 0 = z ε (.3) år N. Til det formål ka vi atage, at ε <. Thi hvis vi har vist, at vi ka afparere ethvert ε ]0, [ ka vi også afparere et ε : Vi vælger blot et N som afparerer 2. Så vil (.3) være opfyldt for alle N. Vi atager altså, at ε > 0 og at ε <. Ifølge Eksempel.3 er lim ε =, så der fides at N N så stort at ε z år N. Heraf følger specielt, at ε z år N, og derfor også at z ε år N. Da z = z (ifølge (A.0)) ser vi at (.3) er opfyldt år N. Bemærkig. I det foregåede eksempel argumeterede vi for, at det er ok at verificere betigelse (.) for alle ε er midre ed. Dette er et geerelt pricip, som ofte avedes. For at verificere at kovergesbetigelse (.) er opfyldt, er det tilstrækkeligt at betragte ε er som er midre ed et eller adet fast tal, fx alle ε > 0 som er midre ed 0 23, hvis ma foretrækkker det. Eksempel.5. Talfølge ( a = ), der begyder med tallee a = 0, a 2 = 2, a 3 = 3 2 3, a 4 = osv., kovergerer mod. Dette ka vises ved at sammelige med følge fra Eksempel.3: Når 2 er 2, så da fuktioe s s = exp ( l s) er voksede følger at ( ) 2 ( ) = 6

17 .2 Koverges af talfølger år 2, og dermed er a ( ) 2. (.4) Når vi så har givet et ε > 0 ka vi ifølge Eksempel.3 fide et N 2 så ( ) 2 ε år N. Og så følger det fra (.4) at år N. a ε Quiz. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } være e kompleks talfølge. Udsag Sad Falsk () Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil 2N afparere ε 2. (2) Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil N 2 afparere 2ε. (3) Hvis N N afparerer ε > 0 i betigelse (.), så vil ethvert N N også afparere ε. (4) E kostat talfølge er koverget. (5) Hvis e følge af heltal er koverget, så er græseværdie et heltal. (6) Hvis e følge af ratioale tal er koverget, så er græseværdie et ratioalt tal. (7) Hvis e følge af irratioale tal er koverget, så er græseværdie et irratioalt tal. (8) Ehver rekursivt defieret følge er koverget. (9) Hvis der fides et a C som opfylder at N N ε > 0 N : a a ε, så er {a } koverget med græseværdi a. (0) Hvis {a } er e koverget følge og f : N N er e bijektio, så er følge {a f() } også koverget. 7

18 Kapitel Talfølger.3 Regeregler for græseværdier Idtil videre har vi ku påvist koverges af talfølger ved at bevise direkte, at betigelse i Defiitio.8 er opfyldt. Vi skal i dette afsit bevise e stribe resultater som giver os vide om koverges af ye talfølger bygget op af kedte følger ved fx additio og multiplikatio. Sætig.6. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b, og lad s C. Så er talfølge {a + sb } koverget med græseværdi a + sb. Bevis. Lad ε > 0 være givet. Vi skal vise, at der fides et N N så a + sb (a + sb) ε for alle N. Til det formål laver vi først vurderige a + sb (a + sb) = a a + s(b b) a a + s(b b) = a a + s b b (.5) Da lim a = a ka vi fide et N N så a a ε + s for alle N. Og da lim b = b ka vi fide et N 2 N så b b ε + s for alle N 2. Sæt N = max{n, N 2 }. Når N er a a + s b b ε + s + s ε + s = ε. Ifølge (.5) betyder det, at a + sb (a + sb) ε for alle N, som øsket. De korte udgave af Sætig.6 er lim a + sb = lim a + s lim b. (.6) Eksempel.7. Lad {a } være talfølge givet ved a = +22 i. Lad b 2 = og c = i for alle. Så er lim b = 0 ifølge Eksempel.9 og lim c = i. Da a = b + 2c for alle fortæller Sætig.6 at lim a = 2i. Eksempel.8. Ved hjælp af Eulers formler (side A8 i [S]) har vi at e i = cos + i si. (.7) 8

19 .3 Regeregler for græseværdier Vi ka derfor udersøge kovergesforholdee for følge { } e i ved at udersøge kovergesforholdee for følgere { cos } { og si }. Dette ka gøres på følgede måde: Da cos = si giver differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) at for alle t R fides et s R så cos t = cos t cos 0 = (t 0)( si s) = t si s. Da si s giver dette os estimatet cos t t for alle t R. På tilsvarede måde fider ma, ige ved brug af differetialregiges middelværdisætig, at si t t. Idsætter vi t = og at i de to sidste ligiger får vi at cos (.8) si (.9) for alle N. Fra (.8) følger, at lim cos = og fra (.9) at lim si = 0. Ved brug af (.7) følger u fra Sætig.6 at lim e i = lim cos + i lim si = + i0 =. Sætig.9. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b. Så er talfølge {a b } koverget med græseværdi ab. Bevis. Beviset overlades til læsere som Opgave.22. De komprimerede udgave af Sætig.9 skrives ( ) ( ) lim a b = lim a lim b (.20) Sætig.20. Lad {a } og {b } være kovergete talfølger med græseværdi a, hhv. b. Hvis b 0 fides et K N så b 0 for K, og følge { } a er koverget med græseværdi a b. b =K 9

20 Kapitel Talfølger Bevis. Da b 2 > 0 fides et K N så b b b 2 år K. Ved brug af (A.24) følger så at b b b b b 2 år K. Altså er b b b 2 = b 2 > 0 (.2) år K. Dermed er det første udsag i sætige bevist. a For at vise at lim b = a b lader vi ε > 0 være vilkårlig. Når K er a a b b = a b ab b b = a b ab b b a b ab b 2 2 = 2 a b ab + ab ab b 2 (ved brug af (A.2) og (A.0)) (ved brug af (.2)) (.22) 2 a b ab b ab ab b 2 (ved brug af (A.7)) = a a 2 b + b b 2 a b 2 Da lim a = a pr. atagelse, ka vi fide N N så år N og da lim b = b ka vi fide N 2 N så a a b ε 4, (.23) b b b 2 ε 4( a + ) (.24) år N 2. Sæt N = max{n, N 2 }. Når N ka vi bruge både (.23) og (.24) i (.22) og fider på de måde, at a a b b b ε 2 4 b + b 2 ε 2 a 4( a + ) b 2 ε 2 + ε 2 = ε. Sætig.2. Lad {a } og {b } være kovergete reelle talfølger. Atag, at der fides et N N så a b (.25) for alle N. Så er lim a lim b. (.26) 0

21 .3 Regeregler for græseværdier Bevis. Sæt a = lim a og b = lim b. For at vise, at a b er det ok at vise, at a ε b for ethvert ε > 0 (hvis læsere har problemer med at idse dette, opfordres ha/hu til at placere a og b på e tal-akse). Da a = lim a og b = lim b ka vi fide N a, N b N så år N a og a a ε 2 b b ε 2 (.27) (.28) år N b. Vælg så max{n, N a, N b }, således at vi har både (.25), (.27) og (.28) til rådighed. Så er a ε a + ε 2 ε = a ε 2 b ε 2 (ved brug af (.27)) (ved brug af (.25)) b + ε 2 ε 2 = b (ved brug af (.28)), præcis som vi øskede. Korollar.22. Lad {a } være e koverget reel talfølge, og lad t R. Hvis a t for alle er lim a t. Hvis a t for alle er lim a t. Bevis. Atag først a t for alle. Lad {b } være de kostate følge b = t. Så følger det fra Sætig.2 at lim a lim b = t. Det adet tilfælde, hvor a t for alle, vises på samme måde. Sætig.23. Lad {z } være e følge af komplekse tal, og lad a = Re z og b = Im z være real- hhv. imagiærdele af z. Så er {z } koverget hvis og ku hvis følgere {a } og {b } begge er kovergete. Når dette er opfyldt er lim z = lim a + i lim b. (.29) Bevis. Atag først at {z } er koverget, med græseværdi z. Sæt a = Re z og b = Im z. Så er z z = (a a ) + i(b b ). Så er a a z z og b b z z. Så år ε > 0 er givet fider vi et N N så z z ε år N, hvilket vi ka fordi lim z = z. Me så er også a a ε og b b ε år N, hvilket viser at lim a = a og lim b = b. Altså er a og b begge kovergete, og (.29) følger. De omvedte implikatio, at {z } er koverget år både {a } og {b } er det, følger fra Sætig.6, avedt med s = i. Vi skal seere flere gage få brug for flg.

22 Kapitel Talfølger Lemma.24. Lad {a } være e koverget talfølge med græseværdi a = lim a. Så er er følge { a } koverget og lim a = a. Bevis. Beviset er et direkte check som bruger ulighede fra Korollar A.2: Lad ε > 0 være givet. Da lim a = a fides et N N så a a ε for alle N. Ulighede fra Korollar A.2 medfører så, at år N. a a a a ε Eksempel.25. Lad t > være et reelt tal stregt større ed. Ved brug af Sætig.9 og Eksempel.3 ka vi let vise at lim t =. Vi sætter blot a = og b = ( ) t. Ifølge Eksempel.3 er lim b =, så da lim a = fider vi ved brug af Sætig.9 at lim t a = lim = b =. Eksempel.26. Lad z C være et komplekst tal med lægde z <. Vi viser at lim k z = 0 (.30) for ethvert k = 0,, 2,.... Da dette udsag er trivielt år z = 0 atager vi at z 0. Vælg et vilkårligt k N og sæt a = k z. Så er Da lim + a + a ( ) + k = z. (.3) = lim + = følger det fra Sætig.9 at lim Ved brug af (.3) får vi dermed at ( ) + k =. a + lim = z. (.32) a Sæt ε = 2 ( z ). Det følger så fra (.32) at der fides et N N så a + a z a + a z ε = ( z ) 2 2

23 .3 Regeregler for græseværdier år N. Altså er a + a z + ε = z + ( z ) 2 år N. Sæt r = z + 2 ( z ) og bemærk at r < z + ( z ) =. Da år N ser vi at a + a r a m r a m r 2 a m 2 r 3 a m 3 r m N a N (.33) år m N +. Da 0 r < ved vi fra Eksempel.4 at lim m rm = 0. Ved at bruge (.33) følger det så fra Sætig.2 at lim a = 0. Dermed er (.30) bevist. Eksempel.27. I dette eksempel viser vi at der for alle reelle x R gælder, at følge ( + ) x, =, 2, 3, 4,... er koverget, og at Tilfældet x = 0 er let, så vi atager, at x 0. Lad ε > 0. Da d l( + t) = dt + t ( lim + x = e ) x. (.34) ka vi avede differetialregiges middelværdisætig (side 279 i [S]) på fuktioe t l( + t) til at vise, at der for alle t >, t 0, fides et s mellem 0 og t så Når t 2 er +s l( + t) t = + s. 2. Heraf får vi estimatet l( + t) t = + s = s + s 2 s 2 t (.35) år t 2. Vælg N N så stor at x x2 2 og 2 år N. Ved at sætte t = x fås fra (.35) at ( l + x ) ( ) + x x = xl x = x l ( + x ) 2x2 (.36) år N. Fra (.36) ser vi at ( l + x ) x + x x 3

24 Kapitel Talfølger år N. Aveder vi differetialregiges middelværdisætig på fuktioe t e t ser vi at der for ethvert t R fides et s mellem x og t så e t e x = e s (t x). Når t x + giver det os estimatet e t e x e x+ t x. Specielt får vi, at ( e l(+ ) x e x e x+ l + x ) x for alle N. Da e l(+ x ) = ( + x ) får vi ved udyttelse af (.36) at for alle N. Me lim 2ex+ x2 for alle N. Og så er også ( + x for alle N. Dermed er (.34) bevist. ( + x ) e x x+ x2 2e = 0 så vi ka fide N N så 2ex+ x2 ) e x ε ε Quiz 2. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } og {b } være komplekse talfølger. Udsag Sad Falsk () Kovergesforholdee for e kompleks talfølge er fuldstædig bestemt af kovergesforholdee for real- og imagiærdele. (2) Hvis lim a = a, så er følge {a 2 } også koverget, med græseværdi a 2. (3) Hvis lim a = a, så er følge {a } også koverget, med græseværdi a. (4) Hvis {a } er koverget og {b } er diverget, så er {a + b } diverget. (5) Hvis {a } er koverget og {b } er diverget, så er {a b } diverget. (6) Hvis {a } er reel og koverget og a < t for alle, så er lim a < t. (7) Hvis {a } er koverget, A C og a A for alle, så er lim a A. 4 (8) Hvis P og Q er komplekse polyomier af samme grad og Q() 0 for alle, så er følge koverget. { } P () Q()

25 .3 Regeregler for græseværdier Udsag Sad Falsk (9) Der fides e talfølge {c } med c 0 for alle, så lim a c = 0. (0) Hvis a R for alle og følge {i a } er koverget, så er des græseværdi 0. 5

26 Kapitel Talfølger.4 Cauchy-følger Når ma ved brug af Defiitio.8 vil verificere at e give følge er koverget, må ma ødvedigvis kede græseværdie på forhåd. De optræder jo eksplicit i betigelse (.). Me i mage tilfælde, og især i forbidelse med teoretiske overvejelser, har ma ikke mulighed for at vide hvilke tal der ka tækes at være græseværdie, og det er derfor ikke muligt at bruge Defiitio.8 direkte. I dette afsit beskriver vi e ødvedig og tilstrækkelig betigelse for koverges af e talfølge, som ikke refererer eksplicit til græseværdie. Defiitio.28. E talfølge {a } er begræset år der fides et positivt tal K 0 så a K for alle. E talfølge der ikke er begræset kaldes ubegræset. Propositio.29. E koverget følge er begræset. Bevis. Lad {a } være e koverget følge med græseværdi a. Avedes betigelse (.) med ε = ses det at der fides et N N så a a for alle N. Heraf følger så, ved brug af trekatsulighede (A.7), at a = a a + a a a + a + a år N. Sæt K = max { + a, a 0, a,..., a N }. Så er a K for alle. Propositio.29 giver e ødvedig betigelse for, at e følge ka være koverget. Betigelse er lagt fra tilstrækkelig. Fx er følge a = ( ) begræset, me ikke koverget. Følge fra Eksempel.4 er et adet eksempel på det samme fæome, at e følge sagtes ka være begræset ude at være koverget. Eksempel.30. Lad z C være et komplekst tal af lægde z >. Vi påstår så, at følge {z } er ubegræset, og beviser det ved et modstridsargumet. Atag altså, at der fides et K 0 så z K (.37) for alle N. Fra Eksempel.25 ved vi, at lim (K + ) =. Da z > følger heraf, at der fides et N N så (K + ) N z. Ved brug af (A.0) følger så at z N = z N K +, i modstrid med (.37). Bemærkig. Et modstridsargumet som det vi brugte i Eksempel.30, og iøvrigt også da vi viste at e talfølge højest ka have é græseværdi, kaldes også med e latisk betegelse for reductio ad absurdum. Reductio ad absurdum is oe of a mathematicia s fiest weapos. It is a far fier gambit tha ay chess gambit: a chess player may offer the sacrifice of a paw or eve a piece, but a mathematicia offers the game. G.H. Hardy ( ), egelsk matematiker Modstridsbeviser bliver brugt rigtig ofte, også i situatioer hvor det ikke er stregt ødvedigt. I Appediks C ka du læse mere om modstridsbeviser. 6

27 .4 Cauchy-følger Eksempel.3. Lad {a } være Fiboacci-følge som blev idført i Eksempel.7. Altså er a = a 2 = og I dette eksempel vil vi vise at ulighede a = a + a 2, 3. (.38) a 2 (.39) gælder for alle. Dette viser bl.a. at Fiboacci-følge er ubegræset. Me vigtigere er metode vi vil bruge, idet vi vil bevise (.39) ved et iduktiosbevis. Til det formål lader vi for ethvert 2, p() betege udsaget at a 2 og a. 2 Altså er p(2) udsaget at a = og a 2, p(3) udsaget at a og a =, p(4) udsaget at a = 2 og a osv. Udsaget p(2) er åbelyst korrekt idet a 2 = og a =. Dee observatio udgør det, der kaldes iduktiosstarte i iduktiosbeviset. For at kue kokludere at p() er sad for alle 2 er det ok at vise implikatioe p() = p( + ). Dee del af beviset kaldes for iduktiostriet. I de aktuelle situatio ka vi hådtere iduktiostriet på følgede måde: Vi atager at p() er sad, dvs. at a 2 og a 2. Heraf følger så ved brug af rekursiosformle (.38) at a + = a + a fordi 2 2 år 2. Dermed har vi vist at p( + ) er sad år p() er det. Vi har vist de afgørede implikatio i iduktiostriet, og dermed afsluttet iduktiosbeviset for (.39). Bemærkig. I afit C.4 fider du e lidt mere geerel beskrivelse af iduktios- beviser baseret på det såkaldte iduktiospricip, som er et af aksiomere for de aturlige tal. Defiitio.32. Vi siger, at e talfølge {a } klumper sig samme år der for ethvert ε > 0 ka fides et N N så for alle, m N. a a m ε (.40) E følge der klumper sig samme kaldes for e Cauchy-følge. At e følge klumper sig samme ka også formuleres på flg. måde: Lemma.33. E talfølge {a } klumper sig samme hvis og ku hvis der for ethvert ε > 0 fides et N N så a a N ε (.4) for alle N. 7

28 Kapitel Talfølger Bevis. Atag først at {a } klumper sig samme. Så fides der altså for ethvert ε > 0 et N N så (.40) er opfyldt for alle, m N. Ved at vælge m = N ser vi, at (.4) er opfyldt for alle N. Atag så, at der for ethvert ε > 0 fides et N N så (.4) er opfyldt for alle N. Lad så ε > 0 være givet. Der fides så også et N N så a a N ε 2 (.42) for alle N. For ethvert par, m N gælder så, at a a m a a N + a N a m ε 2 + ε 2 = ε. Dermed har vist, at (.40) er opfyldt for alle, m N, og altså verificeret at {a } klumper sig samme. Sætig.34. E koverget følge er e Cauchy-følge. Bevis. Lad {a } være e koverget følge. Vi skal så vise, at de klumper sig samme. Til det formål lader vi ε > 0 og skal så fide et N N så (.40) er opfyldt år, m N. Lad a = lim a være følges græseværdi. Så fides et N N så a a ε 2 år N. Ved brug af trekatsulighede (A.7) følger så, at år, m N. a a m = a a + a a m a a + a a m ε 2 + ε 2 = ε Det er et meget vigtigt faktum, at de modsatte implikatio af Sætig.34 også er rigtig: Sætig.35. E Cauchy-følge af tal er koverget. Beviset for Sætig.35 er oget sværere ed beviset for Sætig.34 og ka fides i Appediks B..5 Mootoe følger Defiitio.36. E talfølge {a } af reelle tal er voksede år a a + (.43) for alle, og aftagede år for alle. a a + (.44) E reel talfølge som ete er voksede eller aftagede kaldes mooto. Bemærk at følge { a } er voksede år {a } er aftagede og vice versa. 8

29 .5 Mootoe følger Sætig.37. er begræset. E mooto reel talfølge er koverget hvis og ku hvis de Bevis. Lad {a } være e mooto reel talfølge. Vi skal vise at {a } er begræset, hvis de er koverget, og at {a } er koverget, hvis de er begræset. De første implikatio, at koverges medfører begræsethed, blev påpeget i Propositio.29 (og har ikke oget med mootoie at gøre). De ade implikatio derimod, at begræset medfører koverget, er ku rigtig fordi vi atager, at følge er mooto. Da {a } er koverget hvis og ku hvis { a } er koverget ka vi ude tab af geeralitet atage, at {a } er voksede. For at kokludere at {a } er koverget er det ifølge Sætig.35 ok at vise, at {a } er e Cauchy-følge. Vi skal altså bevise at {a } er begræset = {a } er Cauchy. (.45) Det er imidlertid lettere at bevise de kotrapoerede implikatio: {a } er ikke Cauchy = {a } er ikke begræset. (.46) De to udsag er logisk ækvivalete, så vi ka frit vælge om vi vil bevise det ee eller det adet. Atag altså at {a } ikke klumper sig samme, jvf. Defiitio.32. Det betyder, at der fides et ε > 0 således at (.40) ikke er opfyldt for oget N N. Altså ka vi for ethvert 0 N fide, m 0 så a a m > ε. Lad os atage at er det største af tallee og m. Da {a } er voksede er a 0 a m og derfor er a a 0 a a m > ε. Vi getager så argumetet med 0 erstattet af : Der fides 2 > m 2 så a 2 a m2 > ε. Heraf følger så, at a 2 a a 2 a m2 > ε. Herefter getager vi argumetet med 0 erstattet med 2 og får på dee måde et 3 > 2 så a 3 a 2 > ε. Vi skal bevise at {a } ikke er begræset, det vil sige, for alle K R fides et N så a > K. Lad altså K R være vilkårlig, og vælg L N så Lε + a 0 > K. Når vi har getaget argumetet ovefor L gage har vi skaffet os aturlige tal 0 < < 2 < < L så a j a j > ε for alle j =, 2,..., L. Dette giver os så, at a L = a L a L + a L a L 2 + a L 2 a L a a 0 + a 0 Lε + a 0 > K. Dermed har vi vist at hvis {a } ikke er Cauchy, så er de heller ikke begræset, hvilket beviser (.45) og dermed sætige. 9

30 Kapitel Talfølger Bemærkig. I beviset for Sætig.37 brugte vi begrebet kotrapoerig af e implikatio. Ækvivalese af de to udsag (.45) og (.46) er re logik og har ikke oget med talfølger, koverges eller begræsethed at gøre. Hvis P og Q er to udsag, gælder det altid at ( P = Q ) ( Q = P ). Læs mere om kotrapoerig i Appediks C. Eksempel.38. Defier følge {a } = ved at a = og a + = 6 + a, (.47). Bemærk at a 2 = 6 + = 7 >. Vi ka så bevise ved iduktio at a k+ > a k (.48) for alle k =, 2, 3,.... Lad p(k) være udsaget, at (.48) er opfyldt. Da a 2 = 7 > = a er p() sad. Atag så at p(k) er sad. Da har vi ved brug af både (.47) og (.48) at a k+2 = 6 + a k+ > 6 + a k = a k+. Dee ulighed viser, at p(k + ) holder og dermed har vi bevist at p(k) er sad for alle k N \ {0}, dvs. vi har bevist at følge {a } er stregt voksede. For at se, at følge også er begræset kostaterer vi, ige ved et iduktiosargumet, at a k 3. (.49) Dette er tydeligvis sadt for k =, og fra (.47) følger at a k+ = 6 + a k = 3 år a k 3. På dee måde følger det ved iduktio at (.49) er sad for alle k. Altså er følge {a } både voksede og begræset. Ifølge Sætig.37 er de så også koverget, og vi lader a være græseværdie. For at fide a kvadrerer vi først (.47) og fider, at a 2 + = 6 + a. (.50) Da a = lim a + fider vi ved brug af Sætig.9 at lim a2 + = lim a +a + = aa = a 2. Aveder vi deræst Sætig.6 på (.50) får vi, at Ved at løse ligige (.5) fider ma at a 2 = lim a2 + = 6 + lim a = 6 + a. (.5) a = 3 eller a = 2. Me da vi ved at = a a k 3 for alle k, følger fra Korollar.22, at a 3. Så a = 3. 20

31 .5 Mootoe følger Eksempel.39. Lad A være et reelt tal større ed eller lig med. Defier talfølge {a } = rekursivt ved at a = A og a = ( a + A ), 2 2. (.52) a Bemærk at dee rekursive formel ka bruges fordi a > 0 og fordi formle (.52) har de egeskab at a > 0 = a > 0. Dette sikrer at alle a ere er forskellige fra 0 således at vi ikke kommer til at dividere med 0 i (.52). Vi vil vise, at {a } er koverget, og at Dette gøres i tre tri: lim a = A. (.53) (i) Vi viser først at {a } er aftagede. (ii) Vi viser deræst at {a } er begræset. (iii) Fra (i) og (ii) følger det ved brug af Sætig.37 at {a } er koverget. Til sidst viser vi at græseværdie er A, altså at lim a = A. Dee fremgagsmåde er ofte brugbar år det gælder rekursivt defierede talfølger, hvis ellers følge er mooto og begræset. (i) Ved brug af (.52) får vi a a + = a ) (a + Aa = ) (a Aa 2 2 = 2a ( a 2 A ) (.54) Vi reger så videre på a 2 A, og bruger ige (.52): a 2 A = ( a + A ) 2 A = (a 2 + A2 4 a 4 = ) (a 2 + A2 2A = ( a A 4 4 a 2 a 2 a ) + 2A A ) 2 (.55) Af (.55) ser vi at a 2 A 0 og år dette idsættes i (.54) får vi så at a a + 0 eller a a +. Dermed har vi vist, at {a } er aftagede. (ii) Da {a } er aftagede har vi også at a a = A. Da vi ved at a > 0 for alle har vi altså at a A for alle. (iii) Vi ved u fra Sætig.37 at a = lim a fides. Desude følger fra (.52) at a a = ( 2 a 2 + A ). (.56) Ved brug af Sætig.9 fider vi, at lim a a = a 2 = lim a 2. Fra Sætig.6 og (.56) følger at a 2 = lim a ( a = lim 2 a 2 + A ) = ( 2 a 2 + A ). Løser ma ligige a 2 = ( 2 a 2 + A ) fås at a = A eller a = A. Me da a 0 for alle får vi fra Sætig.2 at a 0. Altså er a = A. 2

32 Kapitel Talfølger Quiz 3. Afgør hvorvidt udsagee er sade eller falske. Giv beviser for de påstade du meer er sade, og fid modeksempler til dem du meer er falske. Lad {a } være e kompleks talfølge. Udsag Sad Falsk () E ubegræset følge er diverget. (2) E diverget følge er ubegræset. (3) E Cauchy-følge er begræset. (4) E reel Cauchy-følge er mooto. (5) E reel talfølge ka ikke være både aftagede og voksede. (6) Hvis e reel følge er både begræset og diverget, så er de hverke voksede eller aftagede. 22

33 .6 Supremum og ifimum Udsag Sad Falsk (7) Hvis {a } klumper sig samme og f : N N er e fuktio, så klumper følge {a f() } sig også samme. (8) Hvis {a } er e Cauchy-følge og f : N N er e bijektio, så er følge {a f() } også e Cauchyfølge. (9) Hvis følge { a } er aftagede, så er de koverget. (0) Hvis følge { a } er aftagede, så er {a } koverget..6 Supremum og ifimum I dette afsit skal vi bruge de opåede resultater om talfølger til at geeralisere begrebere maximum og miimum. Der er som bekedt ige ordig på de komplekse tal, så vi holder os til de reelle tal i dette afsit. Lad A være e delmægde af de reelle tal R. Et tal a A er maximum for A år a er det største elemet i A. Mere formelt er kravee til a at (i) a A, og (ii) b a for alle b A. Når A har et maximum beteges det ofte max A. Tilsvarede ka A have et miimum, hvilket så er et tal a, der skal opfylde at, (i ) a A, og (ii ) b a for alle b A. Der er selvfølgelig delmægder A af R som ikke har oget maximum, og delmægder der ikke har et miimum. Fx har delmægde A = N ikke oget maximum, simpelthe fordi A ideholder vilkårligt store tal. Det midste vi må forlage om e delmægde A R for at vi ka gøre os håb om, at max A fides, er at A skal være opadtil begræset, dvs. at der skal være et K R så a K for alle a A. Me det er jo heller ikke ok: Mægde A = {x R x < 2} (.57) er gaske vist opadtil begræset, me har itet maximum. Der er jo itet tal i A som er større ed alle adre tal i A. Der er gaske vist et tal som stærkt kadiderer til at være max A, emlig 2. Me 2 er ikke selv elemet i A, og derfor ikke et maximum for A. 23

34 Kapitel Talfølger Vi idfører u et begreb, der præciserer de relatio tallet 2 har til mægde (.57). Lad B R være e delmægde af de reelle tal. E følge i B er e talfølge {x i } i=0 så x i B for alle i. Sætig.40. Lad B R være e ikke-tom opadtil begræset delmægde af de reelle tal. Så fides et reelt tal, som vi beteger sup B og kalder for supremum af B, som opfylder, at (i) sup B er græseværdi for e følge i B, og (ii) b sup B for alle b B. 24 Bevis. Lad k N. Da B er opadtil begræset er [ j k, j + ] B = k for alle tilstrækkeligt store j Z. Lad { j k = max j Z og vælg et tal b k [ j k, j + ] } B k [ jk k, j ] k + B. (.58) k Ved hjælp af e tegig (se figur.2) overbeviser ma sig let om, at [ jk b, j ] k + 2 k k (.59) år k. Et mere aalytisk argumet for (.59) ka forløbe som følger: Bemærk først at der ikke ka være ogle elemeter fra B i itervallet [ ) jk +, = k Så år vi for et adet N ed k sætter { j = max j Z : { t R : t j k + k [ j, j + }. ] } B må j j k +. (.60) k [ ] For ellers ka der jo ikke ligge oget fra B i j, j+. Af samme grud (byt om på k og ) er k j k k j +. (.6) [ ] (.59) følger u på flg. måde: Da b j, j+ er b j+. Når k er så ved brug (.60) får ma at b j + = j + j k + + k j k + + k k = j k + 2 k (.62)

35 år k. Desude er b j fordi b at.6 Supremum og ifimum [ ] j, j+. Så ved brug af (.6) fider vi, b j = j + j k k j k k k = j k k (.63) år k fordi så er k. Ved kombiatio af (.62) og (.63) får vi u (.59): [ jk b, j ] k + 2 k k år k. Fra (.59) følger at b b m 3 k (.64) år, m k. Fra (.64) følger så, at {b k } k= klumper sig samme: Lad ε > 0, og vælg N N så stor at 3 N ε. Så giver (.64) at b b m 3 N ε år, m N. Altså er {b } e Cauchy-følge, og dermed koverget, ifølge Sætig.35. Sæt sup B = lim b. Så er (i) opfyldt pr. kostruktio. For at vise, at (ii) også er opfyldt lader vi b være et elemet i B. For ethvert k N er der u ku to muligheder, ete er b [ j k k, j k+2 k Atag først at der fides et k N så b < j k ifølge (.59) følger det, at sup B = lim b j k > b, k k. Da b [ j k k, j k+2 k ] eller også er b < j k ] k. for alle k jvf. Korollar.22. Så b < sup B år der fides et k N så b < j k k. Atag så, at et sådat k ikke fides. Så er b [ j k k, j ] k+2 k for alle k, og da bk [ j kk, j ] k+ k [ jk k, j ] k+2 k ifølge (.58), har vi at b b k 3 k for alle k N. Heraf ser vi, at b = lim k = sup B. Så b = sup B i dette tilfælde. Uder alle omstædigheder er (ii) opfyldt. I Opgave.53 skal du bevise at sup B er etydigt bestemt, dvs. at der fides præcis ét tal som opfylder (i) og (ii) i Sætig.40. Et overtal for B er et tal t R som opfylder at b t for alle b B. Supremum for B kaldes også for det midste overtal for B etydighede sikrer at vi ka tale om det midste overtal. Figur.2: Mægde B og itervallet [ j kk, j ] k+ k med bk markeret. 25

36 Kapitel Talfølger Bemærkig. Eksistes- og etydighedsbeviser i stil med Sætig.40 og Opgave.53 er meget udbredte. Mage matematiske problemer hadler om hvorvidt et objekt med visse foreskreve egeskaber eksisterer, og hvis det gør, om der fides flere af dem eller ku ét. Det søgte objekt ka være et tal, e mægde, e fuktio eller oget mere eksotisk, me i pricippet er spørgsmålet det samme hver gag: Eksisterer det, og er det etydigt? De tilsvarede geeraliserig af miimum defieres i de æste sætig, som bevises på helt samme måde som sætige ovefor. Sætig.4. Lad B R være e ikke-tom edadtil begræset delmægde af de reelle tal. Så fides et reelt tal, som vi beteger if B og kalder for ifimum af B, som opfylder, at (i) if B er græseværdi for e følge i B, og (ii) b if B for alle b B. Bevis. Vi overlader til læsere at justere beviset for Sætig.40, idet vi gør opmærksom på, at B er edadtil begræset år der fides et K R så K b for alle b B. Et udertal for B er et tal t R som opfylder at b t for alle b B. Ifimum for B kaldes også for det største udertal for B. E delmægde af R som er både opadtil og edadtil begræset kaldes blot begræset..7 Limes superior og limes iferior Da ikke alle følger har e græseværdi, er det yttigt at kue tale om de størst mulige og de midst mulige græseværdi af e følge af reelle tal. For at få e ide om hvorda ma ka idføre disse begreber, kigger vi først på et par eksempler. Eksempel.42. Følge x = ( ) er som bekedt ikke koverget. For lige er x = og for ulige er x =. Hvis ma meigsfyldt skal kue tale om de størst mulige og de midst mulige græseværdi for dee følge, må det være, der er de største og, der er de midste. Eksempel.43. Følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., består af to grupper tal. De ee gruppe er {x ulige}, der ligger og klumper samme lige til højre for mes de ade gruppe, {x lige}, klumper samme lige til højre for. Ige er det rimeligt at sige, at de størst mulige græseværdi for følge er tallet. Der er gaske vist uedeligt mage x er, der er stregt større ed, me på de ade side vil der om ethvert tal større ed gælde, at det ku er edeligt mage af x ere, der er større. Tilsvarede er de midst mulige græseværdi for følge. 26

37 .7 Limes superior og limes iferior Figur.3: Approksimativ placerig på de reelle akse af de første seks tal i følge. Gaske vist er alle tal i følge større ed, og uedeligt mage af dem er edda større ed, me på de ade side er der uedeligt mage af x ere, der ligger vilkårligt tæt på. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Et første bud på, hvorda ma kue defiere de størst mulige græseværdi for {x }, ville måske være sup{x N}. Det er ret klart, at ethvert tal der er stregt større ed sup{x N} ihvertfald ikke ka være græseværdi for {x }. Tilsvarede er sup{x 7} også et rimeligt bud, idet e evetuel græseværdi af {x } ku afhæger af, hvorda x opfører sig år vokser mod uedelig, og tallee x, x 2, x 3,..., x 6 spiller ige rolle i de forbidelse. Faktisk ville sup{x k} være et bud for ethvert k N. Det er let at se, at sup{x k} geerelt afhæger af k. Til eksempel ka læsere se på følge x = +. Så vi ser, at helt aive overvejelser om, hvorda ma ka idføre begrebet de størst mulige græseværdi for e følge af reelle tal, ka give aledig til e hel stribe kadidater, heribladt k =, 2, 3,... Bemærk u at sup{x k}, sup{x k + } sup{x k} for alle k N, idet {x k + } {x k}. Så tallee sup{x k}, k =, 2, 3,..., (.65) udgør e aftagede følge af reelle tal. Desude er følge (.65) begræset fordi {x } er det, og de er er dermed koverget ifølge Sætig.37. Græseværdie må vel siges at være et rigtig seriøst bud på title de størst mulige græseværdi for {x }. Defiitio.44. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Vi defierer limes superior af følge {x } som græseværdie [ sup{x k} ]. (.66) lim k Limes superior af e følge beteges kort ved lim sup x. 27

38 Kapitel Talfølger Som det burde være fremgået af det foregåede er det e god ide at tæke på lim sup x som de størst mulige græseværdi af følge {x }. I Appediks D bliver dee idé uddybet og præciseret. Lad os sammelige oveståede defiitio med et af eksemplere ovefor. Eksempel.45. Vi kigger atter på følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., fra Eksempel.43. Vi fider, at og helt geerelt at Heraf ses let, at sup{x } = x 2 = + 2, sup{x 2} = x 2 = + 2, sup{x 3} = x 4 = + 4, sup{x 4} = x 4 = + 4, sup{x 5} = x 6 = + 6, sup{x k} = { + k+, år k er ulige + k, år k er lige. ( lim sup ( ) + ) [ = lim sup{x k} ] =, k hvilket jo også var det eeste rimelige bud på title de størst mulige græseværdi for følge. Vi skal aturligvis også have givet meig til begrebet de midst mulige græseværdi. Det er imidlertid ige sag, år ma ved hvorda limes superior skal defieres. Bemærk at for e begræset følge {x } er if{x k} if{x k + } for alle k, fordi {x k + } {x k}. På baggrud af defiitioe af limes superior er det derfor aturligt at lave følgede defiitio. Defiitio.46. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Vi defierer limes iferior af følge {x } som græseværdie [ if{x k} ]. lim k Limes iferior af e følge beteges kort ved lim if Ma ka også defiere limes superior og limes iferior af reelle talfølger som ikke er begræsede. Lad {x } være e vilkårlig reel talfølge. Hvis {x } ikke er opadtil begræset, sætter vi lim sup x =. x. 28

39 .7 Limes superior og limes iferior Hvis {x } er opadtil begræset, kigger vi på følge (.65). Hvis de er edadtil begræset ka vi gøre som før og sætte lim sup x = lim k sup {x k}, og hvis (.65) ikke er edadtil begræset sætter vi lim sup x =. På e tilsvarede måde ka ma give meig til limes iferior for e vilkårlig reel talfølge: Hvis {x } ikke er edadtil begræset, sætter vi lim if x =. Hvis {x } er edadtil begræset, kigger vi på følge if {x k} som vokser med k. Hvis dee følge er opadtil begræset ka vi gøre som før og sætte lim if x = lim k if {x k}, og hvis de ikke er opadtil begræset sætter vi lim if x =. Eksempel.47. Følge x = { år er lige år er ulige er ubegræset. Og sup {x k} = for alle k, så lim sup x =. Da {x } ikke er edadtil begræset er lim if x =. Bemærk at vi altid har, at lim if x lim sup x. (.67) Eksempel.48. Lad os atter kigge på følge x = ( ) +, =, 2, 3,..., fra Eksempel.43, me u med heblik på at fide limes iferior. Vi fider, at if{x N} =. Faktisk er if{x k} = for alle k, så lim if ( ( ) + ) er græseværdie af de kostate følge. Altså er lim if ( ( ) + ) =. E meget væsetlig grud til at idføre lim sup og lim if er, at ma ka bruge dem til at afgøre, om e give følge er koverget, også i situatioer hvor der ikke a priori er oge åbelys kadidat til e græseværdi. Dette skyldes de følgede sætig, som siger at e følge er koverget, hvis og ku hvis limes superior og limes iferior er es. Som matematisk udsag er dette lidt rigeligt upræcist, me for de fleste praktiske formål er det godt ok, og det er uder alle omstædigheder e god huskeregel. Bemærk iøvrigt hvor fit formulerige stemmer med idee om limes superior og limes iferior som de størst mulige heholdsvis de midst mulige græseværdi: E talfølge har aturligvis e græseværdi, etop år de størst mulige græseværdi også er de midst mulige. 29

40 Kapitel Talfølger Sætig.49. Lad {x } være e begræset følge af reelle tal. Lad t R. Så er {x } koverget med græseværdi t hvis og ku hvis lim if x = lim sup x = t. Bevis. Atag først at {x } kovergerer mod t. Lad ε > 0. Så fides et N N, som opfylder at x t ε for alle N. (.68) Heraf følger, at x t ε for alle N, og dermed er t ε if{x k} (.69) for alle k N. Samtidig medfører (.68), at x t + ε for alle N. Derfor er for alle k N. Desude er det klart, at sup{x k} t + ε (.70) if{x k} sup{x k} (.7) for alle k, og år vi sætter (.69), (.70) og (.7) samme, får vi at t ε if{x k} sup{x k} t + ε (.72) for alle k N. Lader vi k gå mod uedelig i (.72), fider vi at t ε lim if x lim sup x t + ε. Da ε > 0 er vilkårligt, kokluderer vi at lim if x = lim sup x = t. Atag u omvedt at lim if x = lim sup x = t. Da er så der fides et N N, som opfylder at [ lim sup{x k} ] = t, k sup{x k} t ε for alle k N. Specielt er sup{x k} t + ε k N, og dermed er Me vi har også, at x m t + ε m N. (.73) [ lim if{x k} ] = t, k så der fides et N 2 N, som opfylder at t if{x k} ε k N 2. 30

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere