Indholdsfortegnelse 1 Abstract: Understanding the teachers classroom priorities Background The data and methods

Transkript

1 Indholdsfortegnelse 1 Abstract:Understandingtheteachers classroompriorities Background Thedataandmethods Analysisandresults Indledning Problemformulering Læsevejledning Metodologi Kvalitativogkvantitativforskning Valgafforskningsmetode Triangulering Groundedtheory Data Litteratur Teori Vorestilgang Groundedtheory processen Groundedtheoryogevalueringafkvaliteteniforskningsmetoden Casestudie Definitionafcasestudier Anvendelsenafforskelligetypercasestudier Generaliseringafcasestudier Voresbrugafcases Begrundelseforvalgafcases Sammenhængmellemgroundedtheoryogcasestudie Empiriindsamling Interview Klasserumsobservation Refleksioneroverobservatørrollen Detviderearbejdemedintervieweneogklasserumsobservationer Forskningsetiskehensyn Lærerhistorier Astridshistorie Faktuelledata Astridsrefleksioner Susanneshistorie Faktuelledata Susannesrefleksioner Rasmus historie Faktuelledata Rasmus refleksioner Teori Reformenimatematikundervisning Læringsomtilegnelseoglæringsomdeltagelse Matematikfilosofiskeperspektiverpåskolefagetmatematik Principles&Standards Forståelseogproblemløsning Lærerrollen

2 8.2 Beliefforskningensudfordringer Beliefdefinitioner BeliefsomForklaringsprincip Beliefforskning Etindividueltogetsocialtperspektiv Etalternativtilbeliefforskning Lærerviden Ettilbageblik Knowledge:Strukturenafmatematiklærerviden Forskningsdesignoglærerviden Matematiklærerviden,klasserumspraksisogelevpræstation Hvordanoghvorkanmanlærelærerviden? Etalternativtillærerviden Undervisningimultiplikation Multiplikationafencifredetal Multiplikationafflercifredetal Begrebskort:Undervisningimultiplikation PatternsofParticipation Praksis Deltagelse Kontekst PatternsofParticipation Problemfeltiteoretisketermer Analyse,fortolkningogdiskussion Læsevejledningtilanalyse,fortolkningogdiskussion Astridsdeltagelseiforskelligepraksisser Skolepraksis:Enfortællingomledelsenogrummelighed Lærersamarbejdspraksis:Læreridentitet,gejstogkultur Skolepraksisoglærersamarbejdspraksis Efteruddannelsespraksis:AthaveJohanneinakken Astridsundervisningsmæssigeerfaringspraksis:Atsamlepå oplevelserogreformorienteretundervisning Praktikstuderende:Dengodelærerogpersonligudvikling FortolkningogdiskussionafCaseAstrid Astrid:Detfysiskemiljø Astrid:Endobbeltlektionmedmultiplikation Astridsintroduktiontilmultiplikationsopgave AstridhjælperLasse Susannesdeltagelseiforskelligepraksisser Susannesuddannelsesmæssigeerfaringer:Traditioneri skolematematikken Susanneogreformdiskursen:SeminariesnakogFællesMål Skolepraksis:Organiseringogeleveriproblemer FortolkningogdiskussionafCaseSusanne Susanne:Detfysiskemiljø Susanne:Endobbeltlektionmedmultiplikation Susannesrefleksionerovermultiplikationsundervisningen Udskillelseafelever Susanneintroduktiontilmultiplikation

3 Renéforeslårenalternativprocedure Renéregner Rasmus deltagelseiforskelligepraksisser Læreruddannelsespraksis:Fradummegruppetilhjernevasket Studiegruppepraksis:Refleksionogstudievision Undervisningspraksis:Levendegjortteori,Ekspertenogrutine Teaterpraksis:Lærermood FortolkningogdiskussionafCaseRasmus Rasmus:Detfysiskemiljø Rasmus:Endobbeltlektionmedmultiplikation Rasmus introduktionsfortællingtilmultiplikation Introduktionsfortællingogopgaveløsning Teoretisering Teoretiskudgangspunkt Whatisthisacaseof? Patternsofparticipationtilviderebrug Teoretiseringogforskningsmetode Konklusion Perspektivering Litteraturliste Bilag Brugaftegnitransskriptionen

4 1 Abstract:Understandingtheteachers classroompriorities Theteacherisseenasthemostimportantsinglefactorintheschoolsystem, whenitcomestostudentlearning,anditisgenerallyagreedthat improving thequalityofteachingisthemostimportantwaytoimprovepubliceducation. (Sowder,2007,p.157).Themainintentionofourthesisistounderstandthe teachers classroomprioritiesandtheemergingclassroompractices. 1.1 Background Overthelast20yearstherehasbeenanever increasingresearchinterestin mathematicsteachers.thisresearchfocusesonteachers knowledgeand teachers beliefs.ourmasterthesisbuildsonworkdoneinthesefields,butin ourresearchprocesswehavemovedfromusingtraditionalnotionstouseofthe newnotion patterns of participation(skott,larsen&østergaard,inpress).this notionallowsustousethesameconceptualframeworkandthesame terminologywhenworkingwithknowledgeandbeliefs.interpretingclassroom interactionsandtheteacher sparticipationinthem,weusethenewnotionand viewtheteacher scontributionsasshiftingengagementinaseriesofdifferent simultaneouspractices. 1.2 Thedataandmethods Thethesisisamultiplecasestudyofoneprospectiveteacher,onenoviceteacher andoneexperiencedteacher.theparticipantsallteachmathematicsin elementaryand/orlowersecondaryschool.wehavefollowedtheselected teachersforonetotwoyears,andthedataincludesobservationsof4 12lessons witheachparticipantandseveralqualitativeinterviews,someofwhichwere conductedbeforetheobservations,othersafter.allinterviewsaresemistructuredandsomeusevideo clipsforstimulatedrecall.analysingthedatawe useaqualitativeapproachinspiredbyconstructivistgroundedtheory(charmaz, 2006).Wedosoinordertodevelopthickdescriptionsoftheteachersintheir socialcontexts. 4

5 1.3 Analysisandresults Astridisanexperiencedteacher.Sheparticipatesinaseriesofdifferent practices.sheparticipatesinapracticewecall in service practice andanother wecall teachingtrainingpractice,wherethefocusisonmathematicandthe didactics.astrid semergingclassroompracticereflectsthesepractices.another twopracticesaretheschoolpracticeandtheteamworkpracticewithher colleagues.someofhercolleaguesarelessco operative,butseveralarevery inspiringcolleagues.astridisverycommittedtotheteamwork inparticular mathematicalandreformdiscussions.astridparticipatesinapracticeofreformdiscourseingeneral,apracticethatisapparentwhensheusesthecontextto introducemathematicalproblemsorwhensheletsherpupilsinventtheirown algorithmsformultiplication.inastrid semergingclassroompracticeboththe mathematicandthereformareverycentral,allthepracticesarevisibleand moreorlesspredominated. Susanneisanoviceteacher.Sheparticipatesinaseriesofdifferentpracticestoo. Inherclassroompracticeemergethreesetsofpractices:onepracticeisbasedon herowneducationalexperiences,anotheronthereformdiscourse,andthethird oneonherschool practice.thepracticeofsusanne sowneducational experienceisevidentinherteaching,forinstancewhensheintroduce multiplicationalgorithms.afterintroducingthesubject,sheexpectsthepupilsto rememberandcopyheralgorithmandthendorelatedexercises.susanneisvery criticaltothereform orientatedmathematicalinstructions.shecallsthis college talk,andshedoesnotfindthesekindsofinstructionshelpfulinherclassroom andshegetsmoreandmorecriticaltothereformthemoreexperiencedshegets. Forexamplewhenitcomestoteachingmultiplicationwithunderstanding the firstyearofteachingshesaidthatproceduralcompetenceshouldbetaughtafter theconceptualunderstanding,butnowshehaschangedhermindandwantsto useanotherapproachespeciallywhenitcomestohelpingtheweakstudents. Thethirdschool practiceispredominantwhenitcomestohandlingpupilsinthe classroom.susanne sschoolhasa special needs department forpupilswith learningdisabilitiesaswellasan observationclass forpupilswhoneedspecial careinashortperiodoftime.thesegregationterminologyisverypredominant, 5

6 whensusannetalksabouttheweakpupilsinherclassandwhenshesendsthree pupilstothenextroom,becauseshethinksthatthey,becauseoftheirgood skills,areabletoworkontheirown. Rasmusisaprospectteacher.Heisverycommittedtothereform.Hetoo participatesinseveraldifferentpractices,whichplaysasignificantroleinhis emergingclassroompractice.onepracticeisthemathematicalactivityandthe reform.asecondpracticeistheteamworkduringrasmus teachertraining this iswhererasmusinasafeenvironmentcantalkaboutteachingmathematicsand whereitisokaytoaskquestionsandreceivehelp.theteamisapartofthe didacticmathematicenvironmentinrasmus teachertraining.theteam membersareeagertoknowmoreabouthowtobeagoodmathematicteacher, andtheyseethepracticaltrainingasthekeytothisknowledge.thethird practiceisthepracticaltrainingsandthesupervisors,hererasmushasvery mixedexperiences,butespeciallyhissecondyearwasrewardingandessential, andrasmusdescribesthisas vivifyingtheory.actingisrasmus leisurepursuit andhisfourthpractice.intheemergingclassroompracticerasmustriesto imitatethegoodexperiencesfromhispracticaltraining the vivifyingtheory, wherethecontextisverycentral.rasmushasplanedthemultiplicationlesson basedontheacademicknowledgeofmultiplicationandadidacticknowledge, wherethedialogueandthemathematicalprocessesareinfocus.butingeneral theactingpracticeisverydominating Rasmustellsstoriesanddramatisesand makesthecontexttakeupmuchofthelesson.theresultisthatthereformfaints andthemathematicalactivitygetsverylittleattention. Intheanalysiswehaveexperiencedhowaprospectteacher,anoviceteacher andanexperiencedteacherengageindifferentpractices.wehaveseenhow thesepracticesevolveandinteractwitheachother.theimplicationsare howeverthattheemergingclassroompracticeinsomesituationswillbe inspiredbythemathematicreformbutinothersituationsotherpracticeswillset anagendawherethereformisnotpresentandthemathematicmarginalises. 6

7 2 Indledning Lærerenansessomdenenkeltfaktoriskolesystemet,derhardenstørste betydningfor,hvadeleverlærer: og Agreementiswidespreadthatteachersarekeytostudentlearning,and effortstoimproveteacherqualityhaveproliferated. (Ball&Forzani,2009,s. 497). improvingthequalityofteachingisthemostimportantwaytoimprove publiceducation. (Sowder,2007,s.157). I2010sættesderiDanmarkigenetøgetfokuspåskolen,daregeringen igangsætteret360 gradersserviceeftersynafdendanskefolkeskole. Undersøgelsengennemføreresafetuafhængigtrejsehold,derrejserrundtog besøger20skoler,talermedlærere,skoleledere,politikere,forvaltninger,elever ogforældre.rejseholdetigangsætterundersøgelseroginddragerallerede eksisterendeundersøgelseromkringfolkeskolen.undersøgelsernebliver yderligerebiståetaforganisationer,forskereoguddannelsesinstitutioner,der hverisærharsærliginteresseiogholdningertilfolkeskolen.detoverordnede målmedserviceeftersyneteratafdækkefolkeskolensstyrkerogsvagheder, kommemedkonkreteforslagtilforbedringerogbelysedendanskefolkeskolei etinternationaltperspektiv(kommisoriumforrejseholdet,2010).konklusionen er10anbefalinger,hvorudviklingenskalsesoveretlængereforløb. Serviceeftersynetfårpådenbaggrundstorbevågenhedimedierneoghar alleredeførttilflereændringer.påbaggrundafkonklusionernesammenlæggesi skrivendestundfleresmåskolertilstordrift,ogiundervisningsministeriet overvejerman,omfællesmål2009skalrevideres. Enafrejseholdetsanbefalingeromhandler,ikkesåoverraskende,lærerne: Lærerneskompetencerskalstyrkes (Sekretariatetforskolernesrejsehold, 2010).Dererhertaleometkompetenceløft,derskalsikre,atlærernes kompetencererbedstmulige.baganbefalingenliggerenkonklusionom,at læreruddannelsenikkeergodnok,hvisfolkeskolensresultaterskalværei verdensklasse.rejseholdetpåpeger,atdererforlidtdidaktiki 7

8 læreruddannelsen,ogatuddannelsenkuniringegradbyggerpåempirisk forskning.dererderudoverikkefokuspå,hvaddervirkerudei klasseværelserne,oghvadelevernelærermestaf.rejseholdetkonkluderer endvidere,atskolenlæggerforstorvægtpåholdninger.deskitsererproblemet som,atderidanmarkeksisterermegetlidtviden ordentligforskningsbaseret viden (Sekretariaterforskolernesrejsehold,2010) om,hvaddervirker,ogat næsteningenforskningfokusererpådet,derrentfaktiskforegåridedanske klasseværelser. Deterinteressantogtiltrængtmedekstrafokuspålærerne.360 graders undersøgelseneriovervejendegradbaseretpåkvantitativforskningogsnak medlærere,skoleledere,politikere,forvaltninger,eleverogforældre,men forskningsprocessenerutydeligogikketransparent.deterdermedsværtattage stillingtilkonklusionerne,nårgrundlagetersløret.derforerderogsåflereaf undersøgelsenskonklusioner,somgivergrundtilflerespørgsmål: Hvadvildetforeksempelsigeatlavedirektekorrelationmellem lærernesudtalelseroglæreruddannelseniforholdtilklasserumspraksis? Vilenændretogbedrelæreruddannelsemedstørrefokuspådidaktik kunnesesdirekteipraksis? Hvordanfårvienforståelseforlærerensagereniklasserummet? Klasserumsforståelsererkomplekse,ogforsøgpåsimplebeskrivelserafdisse harvistsigatblivehule.essenseniundervisningenliggeri klasserumsinteraktionen,ogdetergennemanalyseafdenne,mankanforstå kompleksiteten(potari&jaworski,2002). 360 gradersundersøgelseneretpolitiskprojekt,hvormåleteratfåen folkeskoleiverdensklasse.ensådanundersøgelsekrævertydelige,detaljerede ogveldokumenterederesultater altandetvilkunnefåkatastrofalefølger: Thecurrentlyincompleteandtrivialdefinitionsofteachingheldbythe policycommunitycompriseafargreaterdangertogoodeducationthan doesamoreseriousattempttoformulatetheknowledgebase."(shulman, 1987,s.20). 8

9 3 Problemformulering Intentionenispecialeteratteoretisereoverstuderendesoglæreres interaktionerimatematikklasserum,medhenblikpåatforstådenrollederes deltagelseiforskelligesocialepraksisser iogudenforskolen spilleri klasserummet. Hovedspørgsmåletistudietersåledes: Omogeventuelthvordanmønstreilæreresdeltagelseitidligereog aktuellesocialepraksisserspillerenrolleforpraksisser,deremergereri matematikklassen. Derertosammenhængendeoguadskilleligeaspekterveddette:Fordetførste ensammenhængendekvalitativempiriskundersøgelseoganalyseaflærernes deltagelseiforskelligesocialepraksisser.fordetandetenteoretiskanalysemed denreformorienteredematematikundervisningsomgrundlagforlærernes overordnedematematiklærervidenogmatematiklærervidenimultiplikation.i analysentagerviudgangspunktilærernesdeltagelseiforskelligesociale praksisser.herkanvidenikkesessomobjektive,individuelleenheder.derimod fortolkeslærerneshandlingerogmeningsskabendeaktivitetersomdeltagelsei konkretesocialeinteraktionerogsomengagementiforskellige,samtidige diskursivepraksisser. 9

10 4 Læsevejledning Ispecialetpræsenteresførstvoresmetodologiskevalgogmetode.Intentioneni afsnittetertodelt,ogbestårpådenenesideafeneksplicitredegørelseafvores forskningsmæssigeprocesogprodukt,mensdetpådenandensideerenimplicit forberedelseaflæseren,såledesathangennemspecialetkanforholdesigkritisk tilvoresanalyseogfortolkning.herefterfølgerenskildringafvorescases, Astrid,SusanneogRasmus,iformaffaktuelleoplysningerogderes egenreflektion.efterfølgendefølgeretlængereteoretiskafsnit,somomhandler reformenimatematikundervisning,ogenanalyseogdiskussionafdedidaktiskfagligebegreberbeliefoglærerviden.derpåbeskrivesfagligeogdidaktiske perspektiverimultiplikationsundervisningen.teoriafsnittetafsluttesmeden præsentationafbegrebetpatternsofparticipation.herefterfølgeretanalyse og fortolkningsafsnit,hvorastrids,susannesograsmus deltagelseiforskellige socialepraksisserbeskrivesogenkelteklasserumsinteraktionerpræsenteresi transskriberetform,hvorefterlærerensinteraktionidetemergerende klasserumanalyseres,fortolkesogdiskuteres.medudgangspunktianalyserog fortolkningerfølgerenteoretiseringaf;omogeventuelthvordanmønstrei lærerensdeltagelseisocialepraksisserspillerenrolleforpraksisserne,der emergererimatematikklassen.herefterafsluttesspecialetmedenkonklusionog perspektivering. 10

11 5 Metodologi 5.1 Kvalitativogkvantitativforskning Detogrundlæggendetyperafkategorierindenforuddannelsesforskninger kvantitativogkvalitativforskning.detoformerforforskningbeskrivesoftesom om,dererendikotomimellemdem.kvantitativforskningbeskrivessomen metode,derbenytterobjektivemålingerognumeriskeanalyserafdatatilat forklareogbelyseetgiventfænomen.kvalitativforskningsøgerpådenanden sideenforståelseafdetsocialefænomengennemforskerensfordybelsei situationen.iary,jacobs&razavieh(1996)beskrivesdettekortved,at kvantitativforskningsøgerforklaring,ogkvalitativforskningsøgerforståelse. Vihariprojektetarbejdetmedetforskningsspørgsmål,somendynamisk størrelsemedåbnetilgangetilnyevinkler(charmaz,2006). Forskningsspørgsmåletharudvikletsiggennemvoresempiriindsamlingog ydereligeregennemanalysetilvoresendeligeproblemformulering:omog eventuelthvordanmønstreilæreresdeltagelseitidligereogaktuellesociale praksisserspillerenrolleforpraksisser,deremergererimatematikklassen. Visøgerherenforståelse.Problemfelteterensammensætningafforskellige virkeligheder;hvorfaktaogværdierersammensatteogknyttettilen pågældendepraksis,ogvidenogteorierersitueredeogbundnetilspecielle situationer,perspektiverogerfaringer.dettelæggerhovedsageligtoptilen kvalitativforskningstilgang,hvorvikanudforskelærernesagerenienvirkelig kontekst,oghvortingsmeningnetoptolkesudfradebetingelser,hvorunderde erskabt. 11

12 6 Valgafforskningsmetode Påbaggrundafovenståendeharvivalgtenkvalitativtilgangogvilidetfølgende beskrive,hvordanvivilgribeforskningsprocessenan,hvilkeforskningsmetoder vivilbenytteosafogennærmerebeskrivelseafmetoderne.derudovervilvi beskriverefleksioneroverempiriindsamlingenogdernæstvores forskningsetiskehensyn. 6.1 Triangulering Viviliprocessenmodudledningafteorianvendeforskelligetilgange,derkan supplerehinanden entriangulering(patton,2002).vivilanvendeflere forskelligeformerfortriangulering,herunderdata,forsker,teori og metodetriangulering.vedatanvendetrianguleringbliverundersøgelsenikkeså sårbaroverforfejl.imodsætningtilenmeretraditionelbrugaftrianguleringer detikkevoresudgangspunkt,atdeforskelligetilgangevilbelysesamme underliggendeproblem,ogatvidervedfåradgangtildenenestesandeviden.de forskelligemetoderbrugesistedettilatkastelyspåforskelligepraksisserog deltagelsesformer.fxkanetinterviewbrugessometsupplementtil klasserumsobservation,fordivifårmulighedforatspørgeindtil klasserumsinteraktionenogdervedforståmatematiklærerensagereni klasserummet. 6.2 Groundedtheory Voresprojektfølgerretningslinjerneforgroundedtheory.Groundedtheoryer valgt,idetdennemetodeervelegnettilatafdækkelærernesagerenog efterfølgendegenerereteori,derkanføretilforståelseafundervisning. Groundedtheoryerenudafmangekvalitativeforskningstraditioner,ogvivil herintroduceredenbagvedliggendemetodologi. Traditioneltogmegetforenkletskelnesdermellemtoforskellige videnskabsteoretisketraditioner,denpositivistiskeogdenhermeneutiske (Patton,2002).Detraditionelleopfattelserersåledes,atmanentenudføreren positivistiskundersøgelse,hvormanfinderhypoteser,derbeskrivermålbare 12

13 sammenhænge,ogefterfølgendeafprøverdissegennemdeduktion.elleren hermeneutiskundersøgelse,hvormanindsamlerdata,ogefterfølgendegennem induktiongenerererenteori,derbeskriverengruppemenneskersforskellige værdier,ogdemeningerforskelligefænomenertillægges.metodiskligger groundedtheorytætpådenhermeneutisketradition,hvorentingsmeningmå tolkesudfradebetingelser,hvorunderdenerskabt,sammenholdtmedden kontekstdenfortolkesi: Meningsfortolkningererkarakteriseretvedenhermeneutiskcirkel. Forståelsenafentekstskergennemenproces,hvoribetydningenafde enkeltedelebestemmesaftekstensglobalebetydning,såledessomden foregribes. (Kvale,1997,s.57). Isintilgangtiletundersøgelsesområdeønskerhermeneutikkenaltsåatforstå fremforatforklare. DetosociologerGlaserogStrauss,somitresserneudvikledegroundedtheory, havdeenfælleserkendelseogfrustrationover,atempiriforankret,induktiv, kvalitativforskningvartrængtibaggrundentilfordelfordenkvantitative forskning.kvantitativeforskereitressernesåkvalitativforskningsomen anekdote,usystematiskogensidigt.idenforbindelsevarstrauss&glaserafden overbevisning,atheledetsociologiskefeltmangledesystematiskemetodertilat udledeteori,baseretpåempiriskforskning.deudvikledederfordetderblevtil groundedtheory(søndberg,2005).glaserogstraussharsidenbevægetsigi forskelligeretninger.forbedreatkunneforståvoresgroundedetilgangvilvi herunderskitsereflereafdeforskelligegroundedtheoryversioner Data Afhængigafretningenindenforgroundedtheoryerderforskelligeindgangetil, hvordanforskeremøderderesdata,oghvordandelæggervægtpåprocedurer. Glasermener,atmanskalmødedataheltåbentogladeforskningsspørgsmålog afgrænsningervokseudafdata(patton,2002).glaserpåstår,atteoretiske analyserammerogaprioriopstilledeforskningsspørgsmål,vilhæmme forskerensevnetilatopdage,hvaddererpåspilidataogspærreforenkreativ tilgangtilanalysen.ensådantilgangvilproduceremanipulerendebeskrivelser 13

14 afdata(charmaz,2006).strauss&corbinfremførerderimod,atdetervigtigt,at forskerenfastsætternoglegrænser.detkanværenødvendigtatholdedataop imod,hvadforskerenalleredeved,fordidetaljerikkealtidersynligeforthe nakedeye(patton,2002).charmaz(2006)taleromfærremetodologiskeregler, opskrifterellerbetingelser.hunbeskriver,atgroundedtheorykangivefleksible guidelines,menikkerigideforskrifter.detergennemdisseguidelines,viformår atsedenverden,somvoresforskningsdeltageregør indefra.groundedtheory ersometkameramedmangelinser,førstetbredtbilledeaflandskabet, hvoreftermangennemheledengroundedeproceszoomermereogmereindog bringerscenernetættereogtætterepå.groundedtheoryerenmetode,som giverenmulighedforatfåindsigt,mendengiverikkeautomatiskindsigt. Charmazopfatterforskerensomværendeendelafforskningsprocessenoghari detheletagetetkonstruktivistiskudgangspunkt: Weconstructourgroundedtheoriesthroughourpastandpresent involvementsandinteractionswithpeople,perspectives,andresearch practice. (Charmaz,2006,s.10). TeorierkommerifølgeCharmaz(2006)ikkeudafdatasomemergerende,men ernogetforskerenkonstruerer.voresteoretiskegengivelseafverdentilbyderet fortolkningsportræt,ikkeeteksaktbilledeafverden.detåbnersamtidigen mulighedfor,atforskerenindenforgroundedtheoryharmulighedforat forfølgeideeroggåveje,somhunfinderundervejs Litteratur UenighedenmellempådenenesideGlaserogpådenandensideStraussog Corbin,samtCharmazafspejlesogsåi,hvordandeønskeratanvendelitteratur. Glasermener,atforskerenskalmødedataudenforudgåendeanvendelseaf litteratur,deromhandlerdetspecifikkefelt,derskaludforskes.glasermener,at studiervilpåvirkeforskeren,såhunvilmanipuleremeddata.indenforstrauss &Corbinsforståelseafgroundedtheory(Strauss&Corbin,1998),kanlitteratur brugessomafsættilatformulereforeløbigespørgsmål,indenmangårigang meddenegentligeafkodningafdata.litteraturkanogsåanvendestilatholdeop imoddataogemergerende,ifølgecharmazkonstruerede,teorierogbegreber, foratfindenyeperspektiverpåsituationerogmuligesammenhængesenerei 14

15 kodningenafdata.litteraturbrugestilatfindeudaf,omteorierogbegreber rentfaktiskeremergerende,elleromdeterbegreberellerteorier,manallerede erkendtmedfralitteraturogpåhvilkenmåde,deadskillersigfrakendt litteratur(strauss&corbin,1998).charmazliggerpålinjemedstraussog Corbinogpointerer,atlitteraturstudierianalyse ogfortolkningsprocessenførst ogfremmestskalanvendestilatudvikledebegreberogkategorier,forskeren harfundetfremtilogikke,somdetofteskerindenforkvalitativestudier,tilat underbyggeoggeneraliserealleredefundneresultater Teori Foratgøreteoretiseringentransparentharvibrugforatse,hvordangroundede teoretikerekonstruererderesteorier,oghvordanteoridefineres.indenforteori erderforskelligeretninger,herunderdenpositivistiske,dersøgerbegrundelser, forklaringerogforudsigelser,dereruniverselle(charmaz,2006).etalternativ hertilerdenfortolkendeteori,derfremhæverforståelsefremforforklaring: theveryunderstandinggainedfromthetheoryrestsonthetheorist s interpretationofthestudiedphenomenon.interpretivetheoriesallowfor indeterminacyratherthanseekcausalityandgiveprioritytoshowing patternsandconnectionsratherthantolinearreasoning. (Charmaz,2006, s.126). Groundedtheoryindeholderbådepositivistiskogfortolkendeteori.Glasers behandlingafteoriindeholderstærkepositivistiskeerfaringer.han understregerbrugenafkomparativemetoderogtillæggerdertildenanalytiske udviklingafteorisomemergerendefradettekomparativearbejde;selvomhan behandleremergerendekategoriersomdetsnæstenautomatiskeresultat. StraussogCorbinssynpåteoriharvissepositivistisketendenser,men fremhæverforholdetmellembegreber.fordemerteorienmængde veludvikledebegreber,somsammenudgørenintegreretramme,somkan brugestilatforklareellerforudsigefænomener.deanerkenderfortolkendesyn. Corbinerkender,atanalysebetyder,atforskerenfortolkerdata,menantyder,at ensådanfortolkningerenuundgåeligbegrænsning(charmaz,2006). Konstruktivistgroundedtheoryerendelafdenfortolkendetradition.En konstruktivistiskfremgangsmådeermereendatse,hvordanmenneskerser 15

16 deressituation.dethandlerikkekunomatfortolkeogteoretisere,menogså anerkendeatdenheraffølgendeteorierenfortolkning.teorienafhængeraf forskerenssyn,denkanikkeståalene.atteoretiserebetyderatstoppeop, grubleoggentænkepåny.konstruktivistiskteoretiseringerikkeenmekanisk proces(charmaz,2006) Vorestilgang VoresgroundedeudgangspunkterinspireretafCharmaz.Viserdata,somnoget vikonstruerer.voreskonklusionererdervedenfortolkningafverdenogikkeet eksaktbillede.litteraturanvendervitiludviklingafbegreber,iteoretiseringog tilatforankreogstøttevoresresultater.atteoretiserehandlerikkekunomat fortolke,menogsåomatanerkende,atteorierenfortolkning,atdeteros,der konstruererteorierne,ogatdedervederpåvirkedeaf,hvilkevalgogfravalgvi hartagetiprocessen.herundervilviskitsere,dengroundedeproces,somvihar tagetudgangspunktiogværetvoresledetrådigennemarbejdetmedspecialet. 16

17 6.2.5 Grounded theory processen (Charmaz, 2006, s. 11) Modellen skal ikke læses lineært, hvor forskeren til en begyndelse indsamler empiri og ender med at skrive en analyse og reflektere over processen. Den ikke lineære proces består af flere punkter: 1) indsamling af data. 2) en kodningsproces, hvor forskeren definerer kodninger ved, hvad hun ser i data og definerer mening med dem. Gennem den aktive kodningsproces interagerer forskeren med dataene igen og igen via mange forskellige kodningsmetoder, herunder: Initialkodning, som er den foreløbige kodning, hvor forskeren i særdeleshed er åben og tæt på data, Ord for ord kodning, Linje for linje kodning, 17

18 Hændelsetilhændelse kodning,invivo kodning,hvorsprogeterifokus,fokuseret kodning,derkræverafgørelseromkring,hvilkeforeløbigekodninger,somgiver denbedsteanalytiskemeningtilkategorierne,axialkodning,hvormulighederne ogkategoridimensionernespecificeresogteoretiskkodning,hvordet undersøges,hvordankodningerpassertilandrehypotetiskekoder.3)skrivning afmemos,somkanhjælpemedatudvikleideerogmåder,hvorpåvikan sammenlignedataogundersøgeideer.4)teoretisksamplingogsortering,der kanbrugestilhjælptil,hvornårmanskalstoppemedatindsamledataogudfra hvilkekriterier.5)rekonstruktionafteori.6)skriveprojektetog7)refleksioner overprocessen Groundedtheoryogevalueringafkvaliteteniforskningsmetoden Groundedtheoryerpåsammemådesomandrekvalitativetilgangeåbenfor muligefejl,herunderomforskernemisfortolkerdataene,ellerom forskningsprocessenkunergennemsigtigogtydeligforforskeren: Theendpoint thatweportraymakessensetousbecausewehavebeenimmersedintheprocess. Foraudiences,however,linesbecomeblurredbetweenprocessandproduct. (Charmaz,2006,s.182).Kvalitetenafgroundedtheorymetodenkanbeskrives vedbrugafbedømmelsesstandarder(glaser&strauss,1967;corbin&strauss, 1998;Charmaz,2006).Kriteriernesudformningerafhængigaf,hvemder opsætterdem,ogmedhvilketformåldebliversatop.igroundedtheoryerder beskrevetflereforskelligekriterier.glaser&strauss(1967)opstillerfire kriterier;tilpasning,bearbejdelighed,relevansogmodificerbarhed.engrounded theoryerdervedaldrigrigtigellerforkert,menermereellermindretilpasset, relevant,bearbejdeligogmodificerbar.strauss&corbinbeskriver,at: our purposeistodevelopvalidandgroundedtheorythatspeakstotheissuesand concernsofthosewestudy. (1998,s.265).Deopstillertokriterier,som guidelinesforevaluering;researchprocessogempiricalgroundingoffindings (Strauss&Corbin,1998).Charmazbeskriverevalueringen: Asweevaluate wherewehavebeenandwhatwehavegained,welookbackintoourjourneyand forwardtoimagininghowourendpointappearstoourreadersorviewers. (Charmaz,2006,s.181).Hunopstiller4kriterierforgroundedtheorystudier; troværdighed,originalitet,resonansogbrugbarhed.troværdighedhandler 18

19 blandtandetom,hvorvidtdeopstilledekategorierdækkeretbredtspektrumaf empiriskeobservationer,ogomforskerneharsørgetfornokdokumentationfor påstandene,såledesatlæserenselvkanlaveenvurdering,derstemmeroverens medgældendepåstande.originalitetbeskriver,hvorvidtgroundedtheory udfordrer,udviderellerredefinerereksisterendeideer,begreberogpraksisser, elleromderianalysenkonstrueresennybegrebsmæssigtolkningafdataene.i kriterietresonansspørgesderindtil,omgroundedtheorygivermeningforde deltagende,omanalysengiverdemendybereindsigtideresverden,og: Dothe categoriesportraythefullnessofthestudiedexperience? (Charmaz,2006,s.182). Detsidstekriterium,brugbarhed,handlerom,hvorledesanalysengiveren forståelse,sommankanbrugeihverdagen,elleromdenbidragertil,atverden bliverbedre. Derrejsersignuetspørgsmål,omhvilkeafdissekriterier,derskalbrugestil evalueringafvoresgroundedtheorystudie.glaser&strauss kriteriererspecielt godetilenundersøgelseaf,hvordanteorieneremergeretudfradataene.strauss &CorbinskriteriererpåmangemåderenuddybelseafGlaser&Strauss få kriterier,menharyderligerekriterier,dereksempelvishandlerom dataindsamlingogrelationtilandreteorier.charmaz firekriterierbærerihøj gradprægaf,athungørevalueringskriteriernekonstruktivistiske.hunerikke interessereti: Whatmajorcategoriesemerged? (Strauss&Corbin,1998,s. 269),menmereinteressereti,omforskerenharværetsystematiski konstruktionenafdeenkeltekategorier.idetvorestilgangtilgroundedtheoryer inspireretafcharmaz,harviiløbetafprocessenbrugthendes4kriteriersom evalueringafvoresgroundedtheoryproces. 6.3 Casestudie Somforskningsmetodeharviikkealenevalgtatbrugegroundedtheory,men ogsåarbejdetmedcasesomtilgang.vivilherunderpræsentere forskningsstrategiencasestudieogskitsereforskelligetilgangetildennestrategi. 19

20 6.3.1 Definitionafcasestudier Casestudieforskningkansessomenforskningsstrategi,deromfatterbåde forskningsdesign,forskningsmetodeoganalysemetode,derherved repræsenteressomenprocesiforskningen.casestudietansesaltsåikkesomen metode,mensomenforskningsstrategimedsinheltegenforskningslogik.når casestudieterenforskningsstrategi,betyderdet,atcasestudietrummeren særliglogik,sompåvirkeralleelementerienundersøgelse.brugenaf casestudierkanaltsåsessombådeenprocestilatundersøgeetbestemt fænomeniencase,mencasenkanogsåsessomdetprodukt,manfårudafsin forskning. Acasestudyisbothaprocessofinquiryaboutthecaseandtheproduct ofthatinquiry. (Stake,2000,s.444).Casestudietkansessomenbeskrivelseaf detunikke(stake,2000)ogsomforskning,hvorforståelsenafetfænomen fremmesellersessombevisførelse(robson,2002).yin(1994)anskuercasen sometnaturligteksperimentogsammentænkercasestudietogeksperimentet. Definitionenafcasestudieforskningkanderforvarieremeget: Hereandthere, researcherswillcallanythingtheypleaseacasestudy. (Stake,2000,s.445).Yin læggervægtpåkontekstensbetydningicasestudier: investigatesa contemporaryphenomenonwithinitsreal lifecontext,especiallywhenthe boundariesbetweenphenomenonandcontextarenotclearlyevident. (Yin,1994, s.139).ramianlæggervægtpåanvendelsenafforskelligedatakilder: Casestudieterenstrategitilempiriskudforskningafetudvalgtnutidigtfænomen isinnaturligesammenhængvedanvendelseafforskelligedatakilder,derkan anvendesibevisførelsen. (Ramian,2007,s.15).Dererstorenighedom,atnetop casestudietharenstyrkeiatkunnelavemegetdybtgåendeundersøgelser,og somderforegnersigsærligtgodttilpraksisforskning,dadennenetoper beregnettilatstuderedetkonkreteskompleksitet(ramian,2007) Anvendelsenafforskelligetypercasestudier Dengenerelleidemedcasestudierer,atencaseellereventueltetlilleantalcases skalstuderesidetaljervedbrugafenanvendeligmetode.måleteratudvikleen såstorforståelseforcasensommuligt: Whatcanbelearnedaboutthesingle case? (Stake,2000,s.443).Beslutningenomatvælgecasestudietsom forskningsstrategiafhængerderforaf,hvadmanvilundersøge: 20

21 Casestudyisnotamethodologicalchoicebutachoiceofwhatistobe studied.[...]asaformofresearch,casestudyisdefinedbyinterestin individualcases,notbythemethodsofinquiryused. (Stake,2000,s.443). Indenforcasestudierskelnesmellemsinglecasestudieogmultiplecasestudie. Derkanværebådefordeleogulempervedvalgafentensinglecase eller multiplecasestudie.pådenenesidekanenoverbevisendeundersøgelseafen enkeltcasevisesigathaveenstørregennemslagskraftendmindredybtgående analyserafflerecases.casestudietkanstillesåstorekravtildataindsamling,at kunenenkeltcaseermulig,herunderligeledeshvismanvillaveetstudieover længeretid.etandetrationaleforatvælgesinglecasestudieer:1)hviscasen repræsentererenkritiskcase: thesinglecasecanrepresentasignificant contributiontoknowledgeandtheorybuilding. (Yin,2003,s.40),2)hviscasener unikellerendelig,3)hviscasenrepræsentererdentypiskecase: here,the objectiveistocapturethecircumstancesandconditionsofaneverydayor commonplacesituation. (Yin,2003,s.41).Pådenandensidesesresultaterfra multiplecasestudieroftesommereoverbevisendeendresultaterfraetenkelt casestudie,fxvedundersøgelserafårsagsforhold,hvormankangenfindede sammeårsagsforholdiflerecases:...ifyouwanthighdegreeofcertainty,youmaypressforfive,six,ormore replications (Yin,2003,s.51)og...multiple casedesignsmaybepreferred oversingle casedesigns.evenifyoucanonlydoa two case study,your changesofdoingagoodcasestudywillbebetterthanusingasingle case design. (Yin,2003,s.53). Antalletafcasesietmultiplecasestudieafhængerafformåletmed undersøgelsen,menbestemmesofteafpraktiskeafgrænsninger.dethandlerom, hvormangevariablemanønskeratjongleremed,herunderblandtandet spørgsmålomaldersspredningogkøn.ibeskrivendeundersøgelserkanantallet afcasesværebestemtaf,hvornåretnytcasestudiekantilføjenyeoplysninger. Derskelnesligeledesmellemintrinsicoginstrumentalcases(Stake,2000).Ved intrinsiccase,erdetkundenenkeltecase,dererinteressant: Whenthecase itselfisofinterest. (Creswell,2008,s.476).Vedinstrumentalcasederimoder 21

22 formåletattydeliggøreenbestemtproblemstillingudfraenellerflerecases. Ragin(1992)fremhæverspørgsmålet: whatisitacaseof? : ifaparticularcaseisexaminedmainlytoprovideinsightintoanissueor toredrawageneralization.thecaseisofsecondaryinterest,itplaysa supportiverole,anditfacilitatesourunderstandingofsomethingelse.the casestillislookedatindepth,itscontextscrutinizedanditsordinary activitiesdetailed,butallbecausethishelpsuspursuertheexternalinterest. Thecasemaybeseenastypicalofothercasesornot. (Ragin,1992,s.445) Generaliseringafcasestudier Detharværetenalmindeligopfattelseafcasestudier,atde,ligesomanden kvalitativforskning,harsværtvedatvidereformidletroværdigog generaliserendeinformation.yinstillerspørgsmålet: Howcanyougeneralize fromasinglecase? (Yin,2003,s.10).Detericasestudiesammenhængeikke muligtatlavedirektegeneraliseringer,mendetbetyderikke,atetcasestudie ikkekanbidragetilvidenskabeligudvikling.videnskabbetegneraktivitetenat skabeviden,ogformelgeneraliseringerkunenmådeudafmange,hvorpå menneskerskaberogakkumulererviden.atvidenikkekangeneraliseres formeltbetyderikke,atdenikkekanindgåidenkollektivevidensopsamlingiet fagellerietsamfund.casesrummerimodsætningtildirektebeskrivelseraf praksisenandendybde: Casesaredocumented(orportrayed)occasionsorsetsofoccasionswith thereboundariesmarkedoff,theirbordersdown.generalisabilitydoesnot inhereinthecase,butintheconceptualapparatusoftheexplicator.anevent canbedescribed,acasemustbeexplicated,interpreted,argued,disserted andreassembled. (Shulman,1986,s.12). Kvale(1997)beskriveranalytiskgeneraliserbarhedsomspecieltinteressanti forbindelsemedcasestudie.analytiskgeneraliserbarhedhandleromen begrundetvurderingaf,ihvilkengradfundenefraetstudiekanbrugessom vejledendefor,hvadderkanskeienandensituation: Implicitin( )caseanalysisistheideathatobjectsofinvestigationare similarenoughandseparateenoughtopermittreatingthemas comparableinstancesofthesamegeneralphenomenon.ataminimum, 22

23 mostsocialscientistsbelievethattheirmethodsarepowerfulenoughto overwhelmtheuniquenessinherentinobjectsandeventsinthesocial world. (Ragin,1992,s.1 2). Foratcasestudierkanskabegeneraliserbarhed,stillesderkravom videnskabeligdokumentation,ogdetbliveretspørgsmålomatfremsætteklare ogtroværdigeoggennemsigtigeargumenter.deteretkrav,atmanvælgerog gennemtænkerenmetode,dersikrerkreativitetierkendelsen,mensomogså indeholdertilstrækkeligmedskepsis.casestudietkanikkelænesigopad statistiskbevisførelserogstatistiskgeneralisering,derforstillesderekstrastore kravtildenlogiskekonsekvensibevisførelsenidenenkeltecase(ramian, 2007) Voresbrugafcases Viharvalgtatarbejdemedforskningsstrategiencasestudie,davidervedkan brugeempiriskudforskning,afetudvalgtnutidigtfænomenisinnaturlige sammenhæng,tilvoresteorigenerering.casestudieforskningensinddragelseaf feltetskontekstbliverdervedenintegreretdelafvores undersøgelsesproblemfelt.detbliversåledesbådeenkeltbegivenhedersåvel somsocialeforhold,somladersigafklare,vedatvifærdesideberørtesmiljøer. Viservorescasessombådeetintrinsic ogetinstrumentalcasestudie.de udvalgtecaseserunikkeogharisigselvensæregenskab,somgørdem interessante,mencasenesesogsåtilsammensometinstrumentalcasestudie, hvorfokuserpådenoverordnedeproblemstilling Begrundelseforvalgafcases Viharispecialetvalgt3studerendeog3lærere.Viharidenkontekstgjortos overvejelserover,hvorfordetskulleværeetmultiplecasestudie,oghvorfor valgetnetoperfaldetpåvoreskonkretelærere.idisseovervejelserharviblandt andetvejetsinglecasestudieogmultiplecasestudieopmodhinanden det dybdegåendeoverfordetbredereogmåskemereoverbevisende(yin,2003), hvortilviopererermedflerekomparativefaktorer.detpræciseantalafcaseser blevettiliarbejdsprocessen,hvorviharerfaret,atnyecasestudiervilleberige detalleredeindsamlede.viharsamtidigarbejdetmedhverenkeltcaseforsig, 23

24 således,atdenneogsåvilkunneståalene,ogimodsætningtilyin,menerviikke, atdeterantalletafcases,dererbestemmendeforhvorhøjengradafvaliditet, mankanfåisinundersøgelse,menistørregradgennemsigtighedeni analyseprocessenogihvilkengradfundenefraetstudiekanbrugessom vejledendeiandresituationer. Ivoresudvælgelseaflærereharflereaspekterhaftbetydning: Etønskeombådeatobserverelærerstuderende,nyuddannedeogerfarne lærere. Følgeenellerflereafpersonerneigennemenlængereperiode. Følgelærerederhardeltagetiforskelligeefteruddannelsesforløboghar forskelligerollerpåderesskole. Desekslærereogstuderendeopfyldertilsammenallevores udvælgelseskriterierogbeståraftoerfarnelærere,hvorbeggehardeltageti efteruddannelse,dogpåforskelligvis,ennyuddannet,somviharfuldtsiden hendeslæreruddannelsestid,og3studerende,somhararbejdetsammenog væretipraktiksammen,mensdehavdematematikpålæreruddannelsen. Efterdataindsamlingogefterfølgendegrundiganalysemedudgangspunkti groundedtheory modellenpåside17erdetblevetklartforos,atvoresspeciale rentomfangsmæssigtikkekanrumme3lærereog3studerende,davidervedvil skullegåpåkompromismeddybdenafcasene.viharværetnødsagettilat udvælgeenkeltetilspecialetogfravælgeandre.kriterierneherharigenværet ovenståendetrepunkterogetønskeomflerekomparativefaktorer.voresnuto lærereogenestuderendeharallebeskæftigetsigmedsammefagligeemneide observeredelektioner,nemligmultiplikation.deharalleentengennem uddannelseellerefteruddannelsehaftkontakttilsammelæreruddannelsessted. Derudoverhardenerfarnelærerogdenstuderendearbejdetsammenien praktikperiode,dogikkedenpraktikviobserverer.viharpåforskelligvisfulgt allegennemenlængereperiode.vorescasesbestårdervedafastrid,denerfarne lærer,susanne,dennyuddannedemeritlærerograsmus,somerstuderende. 24

25 6.4 Sammenhængmellemgroundedtheoryogcasestudie Somtidligerenævntharvivalgtatbrugebådegroundedtheoryogcaseivores undersøgelse.groundedtheoryogcasestudieterpåfleremåderflettetsammen ogintegreretihinanden,vibrugerdervedikketilgangenesideløbendeforat kommefremtilsammeresultat.casebrugesoverordnetsomforskningsstrategi, oggroundedtheorysommetodeogforskningsdesign.vitagervores forskningsudgangspunkticharmazskonstruktivistiskegroundedtheorymed hensyntil,hvordanvitænkerblandtandetbrugaflitteratur,oghvordanvi arbejdermeddataogteorigenerering.voresanalysemetodetagerligeledes udgangspunktigroundedtheorysforskelligeikkelineærestadier. 6.5 Empiriindsamling Vivilidenæsteafsnitmedudgangspunktiforskelligeteoretikereskitsere, hvordanviharindsamletvoresempiriogbehandletdenne.foratfåetgodt empiriskgrundlagtilvidereanalyseharvilavet2 3interviewsmedhverenkelt studerendeellerlærer.viharobserveret4 10lektionersklasseundervisningi hverafdeforskelligeunderviseresklasser.derudoverharviindsamletdiverse dokumenteriformafpraktikrapporter,oplægomkringpraktik, forløbsbeskrivelserafundervisningogbreveomkringundervisningentil forældre Interview Medintervieweneønskervietindblikideinterviewedestankerogholdninger.. Vivilivoresinterviewshentebeskrivelserafspecifikkesituationerog handleforløbogikkefokuserepågenerelleopfattelser.idetkvalitative forskningsinterviewforsøgerviatforståverdenfrainterviewpersonernes synspunkt,udfoldemeningenifolksoplevelserogafdækkedereslivsverden. Denkvalitativeundersøgelseerisinnaturhverkensubjektivellerobjektiv,men snarereetspørgsmålomintersubjektivinteraktion,hvormanforsøgerat fremhæveenfællesforståelsemellemtoellerflerepersoner(kvale,1997). Forskningsintervieweterikkeensamtalemellemligestilledeparter,eftersomvi somforskeredefinererogkontrollererinterviewsituationen.bådevoresogde 25

26 interviewedesprofessionellestatus,køn,alderogracekanhaveindflydelsepå interviewetsindhold.viserdogenfordeli,atviselveruddannedelærere,ogpå denmådemåskefåretmereligeforholdtildeinterviewedelærere. Vorestilgangtildeforskelligeinterviewserdefineretsomethalvstruktureret interview(kvale,1997).deterhverkenstramtstruktureretmed standardiseredespørgsmålellerheltikke styret.detharenrækketemaer,der skaldækkes,såvelsomforslagtilspørgsmål.menpåsammetidherskerder åbenhedoverforændringerafspørgsmålenesrækkefølgeogform,såledesat mankanforfølgedesvarinterviewpersonernegiver,ogdehistorierdefortæller. Iintervieweneerviopmærksommepå,atknytteinterviewspørgsmålene sammenmedlærernesundervisningspraksis.derforbenytterviivores empiriindsamlingstimulatedrecallinterview(skott,2009).istimulatedrecall interviewtagerinterviewetudgangspunktideinvolveredespraksis,hvorved deninterviewedeertætterepåkonteksten.ipraksisbetyderdet,atviimangeaf deopfølgendeinterviewsbenyttervideooptagelserfradeinterviewedes undervisningsomenkontekstforinterviewet,enmetodesomnataschaspeer ogsåharbrugtisinforskning: Byusingvideoclipsofteachers classesininterviews,itispossibletoobtain informationbeyondwhatispossibleintraditional,de contextualized interviewsorincombinationofinterviewsandobservation. (Speer,2005, s.377) Klasserumsobservation Iinterviewetfårmandeltagernesmeningerudenforkonteksten,herkandetale uforstyrretiforholdtildeandredeltagereikonteksten.sådannesituationerkan åbneforspørgsmål,somikkevirkersåletteatstilleikontekstensnormale omgivelser(fangen,2004).hvaddenstuderendeoglærernesigeri interviewene,ertilsammenenstorkildetilkvalitativedata,menderer imidlertidbegrænsninger.foratforståkompleksitetenimangeafdesituationer, derforegåriskolen,harvivalgtatlavedirekteobservation.enforståelseaf konteksternemligessentielforatfåetholistiskperspektiv.ligeledesvil førstehåndsundersøgelserafenundervisningssituationgiveoslovtilatvære mereåbneogundersøgende,idetviikkeskalsættevoreslidtilandres 26

27 fortolkningerafdetsete.desudenfårviogsåherenchanceforatseting,som lærerneeventueltikkevilsnakkeomietinterview Refleksioneroverobservatørrollen Iforbindelsemedklasserumsobservationernevarvibevidsteom,atvores tilstedeværelsehavdeenindvirkning.vivilaldrigsomforskereværeistandtil atbefriosfravoresegnesubjektiveogteoretiskeforudsætninger.detvilsige,at visomforskeregennemvoresdeltagelsealtidvilpåvirkekvalitetenafde indsamlededata.iforbindelsemedobservationerkanforskerenhaveforskellige roller.vikankarakteriserevoresrollesomdentotaleobservatør(kristensen& Krogstrup,1999),hvorvistårudenforogbetragterundervisningen.I observationudendeltagelseanskuesdeobserveredeaktørersomobjekter,der måudforskesudefra.detvilsige,atvisomforskereikkedirekteerpersonligt involveretidehændelser,somviobservererogikkeforegiveratværemedlem afdenkontekst,derobserveres.vipåtagerosrollensompublikum.dervilien sådansituationværeåbenlysrisikofor,atforskerenmisforstårdetobserverede pågrundafdenstoredistance Detviderearbejdemedintervieweneogklasserumsobservationer Efterindsamlingenafdataiformaflyd ogvideooptagelsertransskriberedevi voresdata.transskriberebetyderattransformere,atskiftefraénformtilen anden(kvale,1997).nårmanarbejderudfratransskriptioner,skalmanvære bevidstom,attransskriptionerimidlertidikkeerforskningensgrunddata,deer kunstigekonstruktionerfraenmundtligtilenskriftligkommunikationsform 1. Enhvertransskriptionfraenkonteksttilenandenindebærerenrække vurderingerogbeslutninger.ligeledestilsidesættertransskriberingkropslig situerethed.forattransformationernetiltekstikkefårforstorbetydningfor voresforskningsmæssigekvalitet,harviivoreskodningsprocesvalgtattage udgangspunktigrundmaterialet,interviewenesomlydfilerog klasserumsobservationernesomvideofilm.tiltransskriptionharvibrugt softwareprogrammettransana,someretkvalitativanalyseprogram(woods& 1 Sebilag1 Oversigtovertegnitransskription. 27

28 Fassnacht,2007).ITransanakanmansammenkodedetransskriberede interviewsellerklasserumsobservationermedlyd ogbilledfiler,såledesatdisse kørersideløbende.idensenerekodningerdetdervedmuligtikkekunatkode dentransskriberedetekst,mentekstoglyd ogbilledfilernesamtidigt,ogderved fålangtflerenuancermed.transanaharligeledesetkodnings ogmemosystem, såledesatkodningerneogmemosogsålagresdigitalt. 6.6 Forskningsetiskehensyn Somforskereerviforpligtedetilatudvisebehørigrespektfordeinvolverede studerendesoglærerestidogfortrolighed.viharidenforbindelsefølgende forskningsetiskeprincipper: Undersøgelserneskalindebæreminimalindgribenideinvolveredes arbejdeogundgåatbelastedeinvolverede. Alleinvolveredeskalsikreshøjgradafanonymitet.Viharderforændret allenavnenepådeinvolveredeogderesskoler.dogerviklarover,atde involveredepersonersanonymitetikkekangaranteres,dadekanblive genkendtikraftafderespositionellerikraftafsærligtkarakteristiske begivenhederellerhandlinger. 28

29 7 Lærerhistorier Følgendeerenpræsentationaftolærereogenstuderende.Deforskellige historierindeholderfaktuelleoplysningeroglærernesogdenstuderendesegne refleksionerovereksempelvisskoleforhold,udviklingogmatematikklasse. 7.1 Astridshistorie Faktuelledata Astrider45år.Hunblevuddannetlæreri1990underenstudieordning,som indeholdtundervisningiallegrundskolensfagogpædagogiskefag.astridhar musikogidrætsomlinjefag.efterendtuddannelsefulgteenrækkeansættelser påforskelligeskoler,herunderseksårsansættelsepåenspecialskole.i1999 blevastridansatpårosenengskolen,somerenskolebeliggendeienmellemstor danskprovinsby.rosenengskolenerenfolkeskolemednæsten600elever, fordeltpå3spor.astridunderviserimusikogmatematik.hunharimangeår værettillidsrepræsentant,praktiklærerogafholdtenkeltekurseromkring, hvordanmaninddragermusikogidrætimatematikundervisningen.detførste år,astridskulleunderviseimatematik,vardetår,hvorskolenhavdevalgtatfå efteruddannetalleskolensmatematiklærere.efteruddannelsenvarfagligdidaktisk supervision,somtagerudgangspunktilærernespraksismed efterfølgendesupervisionogfalig didaktiskvejledning,enformdererudvikletaf JohanneJohansen,dererunderviserpålæreruddannelsen. Eftermangeovervejelseromkringledelse,kollegaerogteamsamarbejdeog forskelligeprivateårsagerskifterastridskoleivinteren2010,hvilketerganske korttidefter,atvifulgtehende.hunundervisernupåenandenskolebeliggende isammeby. VimødteAstridførstegangvedetpraktikbesøgiefteråret2008,dahunvar praktiklærerforblandtandetrasmus.efterfølgendeharvifulgthendebådesom endelafetpraktiklærernetværk,observerethendesundervisningoglavet interviews.iskrivendestundervifællesometudviklingssamarbejdepåhendes nyeskole.vorestransskriberededataomhandlertidenpårosenengskolenog indeholderetindledendeinterview,indenviobservererhendesundervisning 29

30 (Astrid,interview1)ogetafsluttendevidoeklip interview(astrid,interview2). Derudoverindeholdervoresdataogsåtogangetoobserveredeogvideofilmede lektionerihendes5.klasse(astrid,observation1)(astrid,observation2),og yderligereetdokument(astrid,forældrebrevogbørnemål1) Astridsrefleksioner Astridsselvbeskrivelse Astridinteresserersigmegetforsinpersonligeudviklingsomlærer.Hun fortæller,atdeterårelangudvikling,herunderblandtandetdettidligerefaglige samarbejde,derhargjort,athunerenprogressivogreformorienteretlærer. Astridbeskriver,atsamarbejdetmedpraktikanterermedtilatudviklehende, fordidetgiverhendemulighedforatkunneobservereundervisningogbagefter reflektereoverindholdogform.astridvarienkortperiodeitvivl,omhunville fortsættemedatværelærer,menhunfortæller,atdet,atbørneneersåskægge atværesammenmed,gør,athungernevilfortsætte. Skolebeskrivelseogsamarbejde AstridbeskriverelevgrundlagetpåRosenengskolensombeståendeafbåde fagligtdygtigeogsvageeleverogeleverframangeforskelligesocialeklasser. AstridskildrersinekollegaerpåRosenengskolensomdygtigeogpåpeger,atde allesættermålogbørnemålfordereselever.deerrigtiggodetil erfaringsudveksling,og: vitørgodtatfortællehinandendet,atjegharbrugfor dether,ogjegharlavetdenherårsplan kandetherbrugestildig,nårduskal havetredjeogsådan. (Astrid,interview1).Desværreerdetikkeallehendes matematiklærerkollegaer,dererpådennemåde,forandre: siddermerefastog rykkersigikke. (Astrid,interview1).Astridmener,atderskalledelsetilforat rykkepådelærere,dersidderfast.lærernepårosenengskolenarbejderi årgangsteams. Astridvælgeratskifteskoleiforåret2010,hvilkethunbegrunderiutryghed, overarbejdeogetkonfliktfyldtsamarbejde: sådetdermedathavenedskæringerpåenskole,hvordetikkeer lederoverbliksamtidig,deter(.)utrygtoggiveranledningtilenmasserod 30

31 ogsådan,atjegsimpelthenharhaftoverarbejdeimangeårogbedtom ikkeatfåoverarbejde Ogderkomaldrigordenidet,sådanatjegfik(.) barenormalarbejdstid,jegblevvedmedatfåovertid.ogdensidstetinger så,atjegvarietteamisidsteskoleår,hvor,hvordetvarkonfliktfyldt.jeg varikkeendelafkonflikten,mendetvarubehageligtatværeendelaf (Astrid,interview2). IforbindelsemedskoleskiftetglæderAstridsigtilatværeneutral. Klassebeskrivelse Astridbeskriverdenobserverede5.klasse,sombeståraf21børnsåledes: sødebørnognysgerrigeunger,altsårigtigsjovebørn,synesjeg.deer, deersådanmodige,synesjeg,kreativeoghoppergernemedpåhvadsom helstdeerogsåsådannoglebørn,derskalholdesnede,detmenerjegjo ikkesådanrigtigholdesnede,mendeskalholdesimegettydeligerammer, fordideerogsåfuldeafkreativitet, (Astrid,interview2). Derudoverfortællerhun: ogderergodtnokmangeskæverterderinde.derertrebørnmedadhd, ogtrebørnsomerordblinde,ogderertrebørn,tobørnsomegentligskal haveenspecialundervisning,altsågåienspecialklasse,mendeternogle skidesødebørn,sådeterensjovklasseatværeiogså,ikke? (Astrid, interview1). 7.2 Susanneshistorie Faktuelledata Susanneerislutningenaf30 erneogi2008uddannetmeritlæreri hovedstadsområdetmedmatematiksomlinjefag.hunharfåetmeritforidræt, dahuntidligereharlæstidrætpåuniversitetetogarbejdetsomidrætskonsulent. Susannearbejderpåenstørrefolkeskole,Vestervang,ihovedstadsområdet.Hun begyndteatundervisepåvestervangi2004,indenhunpåbegyndtesin meritlæreruddannelse. PåVestervangSkolenshjemmesidekanmanlæse,atskolenerenvelfungerende skole,sombyggerpådedansketraditionerogkulturværdier.debeskriver yderligere,atdelæggervægtpåtoleranceogrespektforsocialeogkulturelle 31

32 forskelle,oghar25%velintegreredetosprogedeelever.ligeledesbeskriverde, atskolenidenationaletestsklarersigmegetgodtiforholdtildereselevgruppe. Susannekankarakteriseressomnovicelærer.ViharfulgtSusannegennemen 2½ årigperiode.daviiforåret2008mødtesusanneforførstegang,varhun studerendeogarbejdedefuldtidpåvestervang,hunhavdedervedsingangpå bådelæreruddannelsenogifolkeskolen,hvorimodhundeefterfølgendeårefter endtuddannelsealenehavdesingangifolkeskolen.voresdataomkringsusanne indeholdertreinterviews,toindledendeinterviewsihenholdsvis2008og2009 (Susanne,interview08 1),(Susanne,interview09 1)ogetstimulatedrecall interviewi2009(susanne,interview09 2).Seksgangetoobserveredelektioner: 3.klassei2008og5.klassei idensammeklasse:(susanne, observation1 08),(Susanne,observation2 08),(Susanne,observation3 08), (Susanne,observation1 09),(Susanne,observation2 09)og(Susanne, observation3 10) Susannesrefleksioner Skolebeskrivelse SusannebeskriverVestervangSkolensomengodskoleforbådelærereog elever.susannespositiveerfaringerpåvestervangerdendirekteårsagtil,athun valgteatblivelærer: såtænktejeg,detherdeterdenbedstearbejdsplads,jegharværetpå,så måttejegjotagekonsekvensenafdet,ogsåstartedejegpå meritlæreruddannelsenåretefter. (Susanne,interview08 1). Hunbeskriveratskolenharfokuspådetenkelteindivid,ogisærliggradbørn medproblemer,hvortilskolenafegneressourcerharoprettetenspecialklasse ogobsklasse. Susannebeskriverskolensombeståendeafmangeenmandshæreog: hver lærersitræs altsåhvermandklarersit,ik?pågodtogondt. (Susanne, interview08 1).Lærernearbejderiårgangsteams,menderessamarbejdebestår hovedsageligtaforganisatoriskeogpraktiskeopgaversamtetstortfokuspå elevernessocialeproblemer.denfagligesparringmangler.hunbeskriverdet 32

33 fagligesamarbejdesomkuneksisterendepåpapiretogafløseideer,som udvekslesifrikvartererne. I2009erSusannebegyndtatsamarbejdemeddeandrematematiklærerei teamet.dettesamarbejdebeståriatslådetreklassersammenimatematikog niveaudeledemitregrupper.hunbeskriverdenfællesforberedelsesom: kunidenforstand,atviharaltsåkun, nåhherduogså,nugårjegi gangmeddetheremne,passerdetnogenlundemeddig? Altsåviprøver sådannogenlundeatfølges. (Susanne,interview09 2). Susanneserikkeskolensomlukketoverforettætteresamarbejde,menen opstartafetfagligtsamarbejdekræver,atdenenkeltelærerselvtagerinitiativ. Susannereflekterer: Ja,jegvedikke,hvorforjegikkehargjortdet.Jegtror,jegfølermiglidt somdennyestadigvæk mendeterrigtigt,baregørdet,ogvisnakkerogså noglegangeom arhdetkunneogsåværefedt,hvisvigjordeeteller andet,ogsåbliverdetveddet.såkommermanikkerigtigvidere. (Susanne,interview08 1). Læreruddannelsen Læreruddannelsenogskoleneri2008forSusannetoforskelligeverdener.Hun fortæller,athunisinepraktikkerlavedesjovealternativeundervisningsforløb, herkunnealtladesiggøre.imodsætninghertilbeskriverhundenvirkelige verden,hvorseminarieverdenenharlillebetydning,ogbogsystemeter fremtrædende hererderikketidtilatpille rode,klippeklistreellertullelidt rundtogsnakkesammen.susanneserseminarieundervisningensom hovedsageligtbeståendeafgymnasiematematik,hvoretbevisellerenmetode gennemgås,hvoreftermanskalregneetstørreantalopgaver.ligeledesserhun undervisningenafskåretfrapraktiskeideerspecielttilindskolingenog mellemtrinnet.susanneharefterendtlærereksamenikkelængerelysttilat studere: nuharjeglæsthelemitliv. (Susanne,interview08 1). Klassebeskrivelse Susannebeskriversinklassesommegetlarmende,hvorseksafeleverneer omgængere,mangeharsærligebehovogkræversærligtfokus: Altsådeter faktiskenrigtigrigtigsværklasse,kanjegroligtsige.dereraldrighundrede 33

34 procentro,ogdet[ro]kanjegrigtiggodtlide. (Susanne,interview09 2). Susannefortæller,atiundervisningenfylderdetadfærdsmæssige forholdsmæssigtmeget.destoreogstærkekanafogtilsættestandartenfor, hvordanmanmåtaletilhinanden,mensdetfagligetræderibaggrunden.hun opleverafogtil,atdestille,sødeogdygtigeervedatgåtil,oghunønskerikkeat bundenfylderformeget. 7.3 Rasmus historie Faktuelledata Rasmuser31åroglærerstuderendeihovedstadsområdet.Hanpåbegyndte studieti2007.rasmusvilleegentligtgerneværeskuespiller,hvorforhanien længereårrækkesøgteindpåskuespillerskolen,menshansamtidigtunderviste påenfolkeskoleiprovinsen.detblevtil7årsomvikar.rasmusbrugernusin fritidpåskuespil,hvorhanblandtandetharværetmedtilatlavebørneteaterog væretstatistiflereforestillinger.rasmushartidligerelæstpåenandet læreruddannelseijylland.hanstoppedestudietefteretenkeltårudenathave beståetnogenafsineeksamener. Studieordningenpålæreruddannelsen: Karakteristikaffaget Specialiseringsdelenmodbegynder ogmellemtrinsigtermodatgive indsigtidematematiskestofområderogdensærligefagdidaktikog praksiskompetence,derknyttersigtilenmatematiklærersvirksomhedpå 1. 6.klassetrin.Sompåfællesdelenbetragtesmatematikogundervisningi matematiksomtosiderafsammesag,idetfagetsidentiteterknyttettil sammenhængenmellemfag,didaktikogpraksis. (Studieordning, anonymiseret). Rasmushariflereforskelligesammenhængeisitstudiedannetgruppemedto piger,ronjaogrose,somviligeledesharobserveretiderespraktikkerog interviewet.gruppenhararbejdetsammeilinjefagetmatematikogværeti2.års praktikhosastrid.deharligeledes;skrevetpraktikrapportsammen,lavetoplæg forlæreruddannelsesundervisere,praktiklærereog2.årsstuderende.enafde tingderharoptagetgruppenerdengodepraktik hvordanensådankan 34

35 tilrettelæges,oghvilkeelementerdenbeståraf.viharfuldtrasmusgennemen 2 årigperiode;førstsomendelafundervisernepåhanslinjefagsholdogsiden somobservatør,nårhanoghansgruppelavedediverseoplæg,hans2. og3.års praktik,hvorhanunderviseren1.og2.klasseimatematikoggennemflere interviews.viharligeledessetenafhansteaterforestillinger.voresdata omkringrasmusindeholderenpraktikrapportogårsopgaveimatematik,et oplægogdertilhørendepowerpointstillærerstuderendeomhandlende den godepraktik (Rasmusm.fl.,oplæg1),etgruppeinterview(Rasmus,Interview gp 1)ogetopfølgendeenkeltvideo klipinterview(rasmus,interview2)og2 gange2observeredepraktiklektioner(rasmus,observation1)og(rasmus, observation2) Rasmus refleksioner Begrundelseforvalgaflærergerningogvalgafmatematik Rasmusvælgerefterflereårsomvikaratuddannesigtillærer,blandtandet fordihangodtkanlidebørnogsynes,detersjovtatundervise,menogså: fordidetkanmanjoaltidblive(griner). (Rasmus,interviewgp 1).Rasmus sendersinansøgningtillæreruddannelsenforsent,ogdahanbliveroptaget,er detenestehold,dererpladspå,matematik.rasmusbeskrivertilfældighederne omkringfagvalgsomgodetilfældigheder: Jegvilleikkehaveoverlevetherinde, hvisjegikkehavdehaftmatematik.matematikerbarespecielt,dethavdejegikke troet. (Rasmus,interviewgp 1). Praktikker OverordnetbeskriverRasmuspraktikkensomfølgende: Jamen,praktikkenerjo igennøglentildethele,synesjeg. (Rasmus,interviewgp 1).Rasmushar,davi følgerham,væretitremegetforskelligepraktikker. Førsteårspraktikken Førsteårspraktikken,hvorRasmusblandtandetvarigruppemedRonja, handledeihøjgradomoverlevelse:,atvivarmegetuenigemeddenlærer,vi havde,menlodbareståtil((viftermedhænderneindforankroppen))altsåvi gjordeikkenogetveddet,ogdetvarspildtid! (Rasmusm.fl.,oplæg1).Han beskriverforskellentildesenerepraktikkeriforholdettilpraktiklæreren:. 35

36 HanVARjoligeglad. (Rasmus,interviewgp 1),ogiforskellenmellem læreruddannelsenogdenvirkeligeverden: Ja,jegvedikkeomoverrasketerdet rigtigeord,formanvistejo,detforegik:jegvedikke,jegvarikkeoverrasket,men detvarsjovt,sommanbarehoppedemedpåden. (Rasmus,interviewgp 1).I efterfølgenderefleksionoverpraktikkenhuskerrasmus: Jegkanhuske,vimeget snakkedeom,atsåmåttevibaretagedetvikunnebrugeogsige,sådangørviikke. Ogsåbyggeviderepåaltdetgode. (Rasmus,interviewgp 1). Andenårspraktikken PåandetårerRasmussammenmedRoseogRonjaipraktikhosAstrid.Gruppen forberederaltsammen.hanbeskriverpraktikkensomdettidspunkt,hvor teorienfralæreruddannelsenbliverbundetsammenmedvirkelighedens praksis: Vigårjoherindepåseminariet,mangeafosogtænker,atøh,atdetkan godtvære,atvifårenmasseputtetihovedether,mendetforegårpåenhel andenmåde,nårviførstkommerudifolkeskolenogser,atsådanerdet bareikke,ogsåmåmanindordnesigunderdet.øhm(.)vifiksådenglæde atopleve,atdetviople lærteherinde,varfaktiskdetdergjorde,detvardet hungjordevorespraktiklærerudeiskolenunderhelepraktikken. (Rasmus m.fl.,oplæg1). Oghanfortællervidere: Nå,mendeterogsåbare,medhendekunnemanjonemttageogsætte overetandetsted,sådetkanjoladesiggøre,deterjoikke,deterjoens egenindstillingtiltingene.aldrigatblivegammeloggrå. (Rasmus, interviewgp 1). Tredjeårspraktikken RasmuseripraktiksammenmedMathilde,somhanharmusiklinjefagsammen med.rasmus ogmathildestilgangtilundervisningenerforskellig,hvorrasmus planlæggerudfrahvilkemål,deharforundervisningen,tagermathildeihøjere gradudgangspunktiforskelligematematikaktiviteter. Indensinpraktikpåtredjeår,erRasmusklartiludfordringer: jegvilkunnetageover,altsåhvisjegmødtesådanensomden førsteårsting[praktiklærer],,ogdet,synesjeg,errigtigtrart,altsåjegvil 36

37 ikkegåipanikellerovertagehans(.),menværesikkerpå,atjeggodtkan bæredetselv. (Rasmus,interviewgp 1). Dettevisersigipraksisatværeensværopgave: Nubliverdetselvfølgeligogsåmegetkonkretfor,hvemjeghariår,fordi detdermedenpraktiklærer,deterjovildvigtigt((griner)),ogdeterdet sådansetogsåiår.mendethandlermegetomatkunnedæmpesigselv, ellersynesjegfaktisk,altsåjegvedikke,jegharaltidværetfortalerfor,at manskulle,detkanjegogsåhuske,jegharsagt,tagekampenopogsige; at detherervoresrettigheder,ogdetskalvigøreogsådannoget,men alligevelbindermanknuderpåsigselvrigtigmangegangeogbaresidder ognikkerogsiger; ja,jojo. (Rasmus,Interview2). Praktikkeneranderledesend,hvadRasmusharoplevetisinetidligere praktikker.rasmusoplever,atpraktiklæreren,somkaldersigselveksperten, tagerdetroligtiundervisningen: jegtror,dergik20minutter,førtimengiki gang,hvorderbarevarhyggesnak,doudodo, (Rasmus,Interview2).Megetaf matematikundervisningenbestårafarbejdeibøgerneogdetersværtatfå elevernetilatdeltageidialog.praktiklærerenlæggeriforbindelsemed vejledningstimernefælderudiundervisningen,somrasmusogmathildeskal udpegetilvejledningen,hvordeogsåskalkommenterehinandensundervisning. Klassebeskrivelse IbeskrivelseafpraktikklassenitredjeårspraktikkenerRasmus første indskydelse: Deersåsøde (Rasmus,Interview2),oghanfortællervidereom klassen: Men,øh,deter2.b,somer21,nårdeerderallesammen,ogøh,jegtror, dererkarimogmikaelogruniogsara,deerfire,somøher andensprogselever.ogellerserdetjobørn,somkommerfortrinsvisfralille Surstrupkommune[forstadtilKøbenhavn],altsådetvedjegikke,meni hvertfaldligeiomegnen.ogdeter21vildtsødebørn,somfungererrigtig rigtiggodtsammenumiddelbart. (Rasmus,Interview2). 37

38 8 Teori 8.1 Reformenimatematikundervisning Ietforsøgpåsenereatsigenogetgenereltom,hvilkenrollematematiklæreren haridetemergerendematematikklasserum,følgerheretafsnitom,hvordan undervisningenimatematikharændretsigfraensåkaldttraditionel undervisning,tildetviidagkalderenreformorienteretundervisning.nårderi matematikkensdidaktikidagtalesomreformen,erdetetbegreb,somderikke erenighedomkring: Totalkaboutareformoreventhereformofmathematicseducationis obviouslyproblematicconsideringthediversitiesoftheeducational initiativesindifferentcountriesandatdifferenteducationallevelsandalso consideringthedifferentfociindifferentpartsofthemathematics educationcommunity.nonethelessasetofdevelopmentshasevolvedover thelastdecadeortwothatjustifiestheuseatleastoftheconceptofreform movement. (Skott,2000,s.17). Gravemeijer&Galen(2003)argumentererfor,atreformenimatematik omhandler: mathematicsreformthatemphasizeunderstanding,problem solving,andapplication. (Gravemeijer&Galen,2003,s.114).Skott(2000) skriver,atreformenhandleromændringeriforståelsenaf;hvadmatematiker, hvadundervisningoglæringafmatematikerogændringerideprioriteringer, derharværetiskolematematikkeniforholdtilmeregenerelleuddannelsesmål. Detdiskuteresstadig,hvilkenbetydningreformenharhaftimatematikfaget.Vi vilmedudgangspunktiskottsdefinitionbeskrivereformenudfra videnskabsfagetmatematiksændringer,detsafspejlingpåskolefagetmatematik ogforståelseaflæringsombådetilegnelseogdeltagelse.ligeledesvilvi beskrive,hvordantoafgravemeijer&galenspunkterireformdefinitionen problemløsningogforståelse passeroverensmedskottsdefinition.intentionen meddissebeskrivelserer,atdisseområdergiveretmerenuanceretbilledetil analyseogforståelseaflærerensagereniklasserummet. 38

39 8.1.1 Læringsomtilegnelseoglæringsomdeltagelse Reformenimatematikkensdidaktiker,udfraeterkendelsesteoretisk perspektiv,beskrevetgennembådekonstruktivismen(glasersfeld,1995)og socialkulturelteori(vygotsky,1978).dissetoperspektiverbeskrivesafsfard (1998)somtometaforer.Konstruktivismenbeskrivessomenacquisition metaphor,ogdenmeresocialevinkel,beskrivesafsfardsomenparticipation metaphor.forholdetimellemdisseharværetetomdiskuteretemne(cobb& Yackel,1996). IdenradikalkonstruktivistisketilgangharGlasersfeldværetenaf nøglepersonerne,derharvidereudvikletogerkommetmedpræciseringerog fortolkningerafkonstruktivismeniforholdtilfagetmatematik.vidensesher somsubjektivekonstruktioner,derrepræsentererenikke eksisterende virkelighed.dervedkanvidenumuligtoverføresfralærertilelev,idetviden konstrueresfragrundenafdeterkendendesubjektogkunfindesihovedernepå folk: Itstartsfromtheassumptionthatknowledge,nomatterhowitbedefined,is intheheadsofpersons (Glasersfeld,1995,s.1).Attaleomenfællesforståelse bliverdervedenillusion.glasersfeldbeskriverdettevedfølgendemetafor: the onlysenseinwhichwecansharemeaningsisinthesamesenseaswecansharean applepie notwopeoplecaneverhavethesamepiece. (Glasersfeld,1996,s. vigennemkommunikationbliverførttilattro,atbegreber,mål,handlingerosv. bliverdeltafandreogderforermerevirkeligeendaltdet,manharerfaretalene. Deteretniveau,hvormanharenfornemmelseforenvisberettigelsetilattale om,atdereksisterernoget,vihartilfælles.nårvieksempelvissnakkersammen 311).Istedetintroduceresbegrebettaken as sharedunderstandings(antagetfælles forståelse)(cobb,yackel&wood,1992),somenudviklingtilbegrebet sharedunderstandings(fælles forståelse).glasersfeldbrugerbegrebetsecondorderviability(glasersfeld,1995)tilatbeskrivedetintersubjektiveniveau,hvor fårvierfaringer,somtilsyneladendeervirkelige,mensomstammerfrasecondorderviability. Imatematikkensdidaktikerdetsiden1980 erneblevetenmerefremherskende opfattelse,atlæringikkekunforegårindividueltieleverneshoveder,menogså eretaspektafatdeltageisocialefællesskaber: theoreticalframeworksfor 39

40 interpretingthesocialoriginsofknowledgeandconsciousnessbegantoappearin themathematicseducationliteraturetowardtheendofthe1980s. (Lerman,2000 s.23).lerman(2000)beskriverdettesomthesocialturnimatematikkens didaktik.dennedrejningerkendetegnetvedenstørreopmærksomhedpåden rolle,detsocialespillerimatematiklæringenogerstærktinspireretafden kulturhistoriskeskole(vygotsky,1978)ogafteorieromlæringogvidensom situeretipraksis.(lave&wenger,2003;wenger,2004).barnetskalifølge Vygotskylæredetsomgivendekulturatkendeforatbliveenfunktioneldelaf samfundet.detskalsåatsigevokseindikulturen: humanlearning presupposesaspecificsocialnatureandprocessbywhichchildrengrowintothe intellectuallifeofthosearoundthem. (Vygotsky,1978,s.88).Vygotskytillægger idenforbindelsesprogetenaltafgørendebetydning,idetbegrebsdannelseifølge Vygotskybliverafhængigafsprogligmediering.Foratudføreenaktivitet medierermennesketsinaktivitetmedredskaber(vygotsky,1978).tænkning skalderforforståssommedierendeaktiviteter.ellermedandreord,mennesket tænkermedredskaberogidenneforståelsesessprogetsometredskabfor medieringenogbliverdermedbasisforalmenneskeligudvikling(vygotsky, 1978).Isitueretlæringerdetcentralt,atlæringskergennemdeltagelseisocial praksis,ogatlæringopfattessomendelafdelærendesidentitetsudvikling(lave &Wenger2003).Foratomsættedensitueredelæringtilenanalytisktilgangtil læringforslårdebegrebetlegitimperiferdeltagelse.læringerikkenødvendigvis intenderet,menenkonsekvensafatindgåiforskelligesocialepraksisser.et centraltbegrebbliverherdeltagelse,detbetonerdet,atdenenkeltepersonmed sindeltagelseforetageraktivevalgoghandlinger,mensamtidigogsåindgårien størresocialsammenhæng.socialdeltagelsebliversåledesenlærings og erkendelsesproces.udbyttetafetsocialtfællesskaber,atmanbliveren dygtigereogmerecentraldeltageridissefællesskaber.vivilietsenereafsnit kommeindpåoguddybe,hvordanwengers(2004)senereforståelseafpraksis defineres. Detoforskelligeperspektiverpålæring,denradikalekonstruktivismeogden kulturhistoriskeskole,harbådenoglelighederognogleforskelle.dehandler beggeomdenkognitiveudvikling,mendeeruenigeomnetopdenneudvikling.i 40

41 denradikalekonstruktivismetilhørervidenindividetselv,menssocial interaktionbliverenafdevigtigstemåderatudfordreforforståelserpå.læring forbliveretindividueltanliggende.idensocialeforståelsebestår læringsprocesseniatdeltageisocialefællesskaber,såledesatmanbliveren merecentraldeltager,menhosvygoskykommermansomindividogsåtilateje kulturensfrembringelser.mankommertilatovertagedenpågældendekulturs forståelservedanvendelsenafsprogogsymboler.dualiteterneharførttil,at flereforskereimatematikkensdidaktikharforsøgtatsammentænke perspektivernepålæring(skott,2000).etafdemestbetydningsfuldebidragi densammenhængercobbssocialkonstruktivistiskeperspektivpålæringog undervisning(cobb&yakel,1996).herfokuserespådenenesidepåde psykologiskesiderafsagen,ogserdempåbaggrundafdenormerogpraksisser, derudviklessocialt,ellerpådenandensidefokusererpådesocialesideraf sagen,ogserdempåbaggrundafdetpsykologiske.cobb&yakel(1996) beskriver,atdetsocialeogdetpsykologiskeersåfuldstændigtintegrereti hinanden,atingenafdemkanforståsudenatmedtænkedenanden. Sfard(1998)sammentænkerligeledesdenkonstruktivistiskeogkulturhistoriske skole.hunbeskriver,atdissetoikkeskalsessomuforenelige,menistedetsom inkommensurableogkomplementære.hunsammenlignerdetmedattale forskelligesprog;istedetforatværegensidigekonfliktfyldtekanbrugenaf beggeperspektiverhavestorværdi.idesidsteårtierharkombinationenafdisse tolæringsteoretiskepositionerhaftafgørendeindflydelsepåudviklingenaf matematikkensdidaktikogreformenafmatematikundervisningen,ikkemindst spørgsmålomkringsammenhængenmellemproceduremæssigogbegrebslig forståelse Matematikfilosofiskeperspektiverpåskolefagetmatematik Idetfølgendevilvikortbehandlevidenskabsfagetmatematik,herunder matematikkensontologi,forsenereatbeskrive,hvordandettekansesi skolefagetmatematik.voresintentionerikkeatbeskrivealledehistoriske filosofiskeskoler,derharsvaretpåmatematikkensontologi,menkortridse enkelteafdegrundlæggenderetningerop,forderefteratkunnesigenogetom matematikfagetiskolen. 41

42 Derfindesflereretningerimatematikkensontologi.Herunderplatonismen,der fastholder,atmatematikkensobjektereksisterer.detbetyder,atmatematikken herbliverensamlingobjekter,dereksistererførnogenoverhovedettænker matematik,jf.platonshulelignelse.i1900 talletkomblandtandettreandre matematikfilosofiskeretninger(fosgerau,1997):logicismen,somhævder,at matematikkanreducerestillogik.opbygningenafmatematikseshersom konstruktividenforstand,atmanfraetbestemtvalgtgrundlaggradvist opbyggeretsystemafmereogmereindvikletbeskaffenhed.intuitionismen,som anserdenaturligetalforintuitivtgivne,ogalleandreresultaterogobjekter bliverherefterkonstrueretpågrundlagafdisse.formalismen,somhævder,at matematikeretformeltsystembeståendeafaxiomer,definitioner,sætningerog beviser. Lakatos(1976)varinspireretafhistoriensudviklingafmatematik,ogbeskrev udfraenhistoriskbeskrivelseafbevisetforeulerspolyedersætning,etopgør imodblandtandetdenplatonistiskeogdenformalistiskeskoleindenfor matematik: Thehistoryofmathematicsandlogicofmathematicaldiscoveryi.e.the phylogeniesandontogenesisofmathematicalthoughtscannotbedeveloped withoutthecriticismandultimaterejectionofformalism. (Lakatos,1976, s.4). Lakatosanvenderbegrebetfallibilisme,somerenopfattelseafmenneskets mulighedforerkendelseafverden.ifølgedennetankegangeralvidenfejlbarlig. Hanbeskriver,atmatematikforegårsomenkonstantprocesafformodningeri formafkvalificeredegætoggendrivelserafdisse proofsandrefutations. Davis&Hersh(1981)byggerviderepåLakatosteorier.Demener,aten matematikfilosofimåafspejle,hvordanfagetsobjekterogaktiviteteropleves.de skriveromdenmatematiskeerfaring matematikerensdagligeerfaringermedog forestillingeromdetatlavematematik.pådenenesideermatematiken menneskeligkonstruktion,detvilsige,atmatematiskeobjekterikkeharnogen eksistens,deerimaginære;menpådenandenside,såleverdederesegetliv,når førstdematematiskeobjektererskabt(davis&hersh,1981). 42

43 Disseændringerafmatematikkensfilosofiafspejlersigselvfølgeligogsåi skolefagetmatematik,ogderkanargumenteresforenstærkforbindelsemellem disse.steiner(1987)påstårenen til enkorrespondancemellemmatematikkens filosofiogskolefagetmatematik.trodsskepsisimodenen til en korrespondance,harmatematikkensfilosofiværetmedtilatinspirere beslutningerogfortolkningertil,hvordanmatematikfagetskaludviklesig. LakatosogDavis&Hershharfåetendelindflydelseblandt matematikdidaktikere,idetdennetilganggårgodtispændmedden socialkonstruktivistiskelæringsopfattelse: Hviselevernelærervedaktivtattilegnesigfagligebegreberogmetoderog vedatengageresigfagligtifællesskaber,hvormatematiskeformodninger ogideerudviklesogdiskuteres,såmåvisionenværeatetablereklasserum, hvordenslagsermuligt.mendeterjonetopklasserum,derkansigesat lignedet,lakatosbeskriverogdenaktivitetderforegår,ernetopen,der beståriatudviklematematiskebegreberogideerogafsøgederes egenskaber. (Skott,2008,s.529). Imodsætninghertilharmatematikfagettraditioneltværetdomineretaf,atder findesenrækkecentralefagligebegreberogfærdigheder,someleverneskal kendetilogkunneanvende: Inschool,thetruthisgivenintheteacher sexplanationandtheanswer book;thereisnozig zagbetweenconjecturesandargumentsfortheir validity,andonecouldhardlyimagehearingthewordmaybeorperhapsin alesson. (Lampert,1990,s.32). Imidlertiderdersketetskiftimatematikfagetsindholdogarbejdsmetoder,jf. skiftetimatematikkensfilosofi.matematikiskolenerikkelængereensamlingaf sandhederommatematiskeeksisterendeobjekter,deterhellerikkeenformel oglogiskforestillingmeddefinitionerogaksiomer.samtidigmedateleverne skalkendetil,ogkunnebrugebegreberogfærdigheder,skaldeogsåkunnegive sigikastmedfxatundersøge,beskrive,forklareogforudsigesammenhængeog mønstreafforskelligslags.matematikiskolenbliverelevernesorganisering, videreudviklingogudfordringafegneogandreserfaringermedtaloggeometri. Deterdermedindlysende,atdetogsåiskolenerafgørende,omelevernefården eneellerdenandenopfattelseaf,hvadmatematiker.denefterhåndenlange 43

44 debatomkringvigtighedenafogforholdetimellempådenenesidematematiske produkter,ogpådenandensidedemereprocesorienteredeforhold,harværet enbevægelsefraetensidigtfokuspåfagetsproduktertilnuogsåatlæggestørre vægtpåfagetsprocesser: Theintellectualproblemforthestudentistodevelopamathematically legitimatedstrategyforfindingtheanswertoaquestionposedbythe teacher.thecontentofthelessonistheargumentsthatsupportorreject solutionstrategiesratherthanthefindingsofanswers. (Lampert,1990,s. 40). Idagargumenteresderfor,atdissetobegrebersforholdskalsessom komplementære:...althoughostensiblyincompatible(howcananythingbea processandanobjectatthesametime?),theyareinfactcomplementary. (Sfard, 1991,s.4) Principles&Standards Vitagernuenandenvinkelpåreformen.Istedetforatkiggeteoretiskpåhvad reformenimatematikkensdidaktikhandlerom,vilviidetteafsnitbehandleen merepraktisksideaf,hvordanreformenvisersigiskolefagetmatematik.det gælderheridetamerikanskedokument Principles&Standardsforschool mathematics (NCTM,2000).Principles&Standards2000eret inspirationsmaterialeforlærere,læreruddannelse,lærerbogsforfattere, curriculumudviklereosv.detlaverenvisionærogambitiøsbeskrivelseaf matematikundervisning.materialetbliverihøjgradansetsomi overensstemmelsemed,hvadreformorienteretundervisningskalvære: the Standardsareconsistentwiththebestandmostrecentevidenceonteachingand learningmathematics. (Hiebert,2003,s.5).HenvisningenNCTM sprinciples& StandardsellerbareStandardsbliverbrugtsomanbefalingertil,detvikalder, børnehaveklassetil12.klasse.dokumenteterdetmestrefererededokumenti matematikkensdidaktikidesidste20år.detadskillersigfraandretraditionelle teoretiskematerialer,artiklerellerrapportervedatværepraksisrettetbådei detsophavogorienteringogproduceretienproces,hvorbåde forskningsteoretikereogpraktikere,herunderlærere,havdeindflydelse. Principles&Standardsbliverdervedetnormativtmateriale,derrepræsenterer 44

45 prioriteringerogholdningertilmatematikken.igennemallestandardererdet tydeligt,atdeudoverproduktorienteringogsåharfåetfokuspåprocessen: Inageneralsense,theNCTMStandardscallforabroadeningofthegoals ofmathematicseducation.thestandardsdocumentarguesthatthe traditionalfocusonfactandskillsshouldbeexpandedtoincludeconceptual understandingandengagementinarangeofmathematicalprocesses. Mathematicalexpertise,theysay,isfoundnotonlyinstudents factual knowledgebutalsointhestrategicdecisionstheymakewhilesolving problemsandintheirabilitytocommunicatetheseideaswithothers. (Hiebert,2003,s.13). IPrinciples&Standards(NCTM,2000)erderudover10standarderfor,hvilke vigtigepejlemærkereleverneskalarbejdehenimod,ogsåseksprincipper,som ermeregenerelleorienteringspunkterforlæreren.deteneafdisseprincipperer læringsprincippet TheLearningPrinciple,somharfokuspåvigtighedenaf,at matematiklæresmedforståelse: Studentsmustlearnmathematicswith understandingactivelybuildingnewknowledgefromexperienceandprior knowledge. (NCTM,2000,s.20).DeteraltsåifølgePrinciples&Standardsikke tilstrækkeligt,atelevernelæreratbeherskeforskelligeprocedurer,hvisdeikke samtidigtilegnersigenforståelseafdetfagligeindhold,ogenforståelsefor, hvornåroghvordandekananvendes.desudenkanmaniprinciples&standards sedenkonstruktivistisketilgang,nårdetbeskrives,ateleverneaktivtskal opbyggenyviden.deandre5principperer:theequityprinciple,thecurriculum principle,theteachingprinciple,theassessmentprincipleogthetechnology principle(nctm,2000).efterfølgendebeskrivesskolefagets10standarder.de første5afdisseermestproduktorienterede:numberandoperations,algebra, geometry,measurement,dataanalysisogprobability.desidste5ermere procesorienterede:problemsolving,reasoningandproof,communicationog representation.disse5ansesogsåsomindhold,derskalundervisesioglæresi skolen,menogsåsometmiddelogenmetodiktilandenfagliglæring. Overordnetses,atPrinciples&Standardsreformorienteredetilgangstemmer fintoverensmedovenståendebeskrivelseafetkonstruktivistisklæringssynog enændringafmatematikfagetsindholdskriterier.opsummerendegiver 45

46 Principles&Standardsoverordnetdetsammebilledeaf,hvadreformorienteret matematikundervisninger Forståelseogproblemløsning Gravemeijer&Galen(2003)beskriversomtidligerenævntreformenudfra3 begreber.vivilherunderkommeindpåtoafdisse;forståelseog problemløsning.toområdersomogsåprinciples&standardsharstorfokuspå. Forståelse Etafdeområder,somisærdenkonstruktivistiskelæringsteoriogsomPrinciples &Standards,jf.forrigeafsnit,harlagtstorvægtpå,er,atmatematikskallæres medforståelse.hiebertbeskriverbegrebetscentraleplacering: understanding isthekeytorememberingwhatislearnedandbeingabletouseitflexible. (Hiebert,2003,s.53).Mangeeleverharitidensløblærtmatematikuden forståelse.matematikundervisningharoftehandletmereomathuskeformlerog algoritmerendafathaveenforståelse.athaveforståelsefornogetkantolkespå mangemåder: Understandingisnotanall or nonephenomenon.virtuallyallcomplex ideasorprocessescanbeunderstoodatanumberoflevelsandinquite differentways. Itismoreappropriatetothinkofunderstandingas emergingordevelopingratherthanpresumingthatsomeoneeitherdoesor doesnotunderstandagiventopic,ideaorprocess. (Carpenter&Lehrer, 1999,s.20). Densocialkonstruktivistisketilgangsynesatværeigodoverensstemmelsemed LehrersogCapentersbeskrivelseaflæringmedforståelse.Carpenter&Lehrer (1999)giverogsåetbudpå,hvilkekarakteristikalæringafmatematikmed forståelsehar: a) ConstructingRelationship b) ExtendingandApplyingMathematicalKnowledge c) ReflectingAboutExperiences d) Articulationwhatoneknows e) MakingmathematicalknowledgeOne sown 46

47 Dissepunkterkanletsesietkonstruktivistiskperspektiv,mensnogleaf punkterneskalpræciseresiforholdtildensocialkonstruktivistisketilgang, blandtandetpunktc reflectingaboutexperiences.refleksionerikke udelukkendeetindividueltforehavende,menderimoderkommunikationen forudsætningfor,atensådanrefleksionkanunderstøttes.imodsætningtildette fokuspålæringmedforståelseproblematisererdetsocialeperspektivpålæring denidé,ateleverneskalbyggenyvidenpåalleredeetableredeforståelser.sfard menerikke,atmanskalkunnesemeningmedogforstå,hvordetnyefaglige indholdskalførehen.læringbliverderimodetspørgsmålomgradvisatkomme tilattillæggederitualermening,sommantilenbegyndelseikkekunnese meningmed.dethandleromatgøreritualertilrutiner,ogmeningenudvikles hermedførstefterhånden,sommanindividualisererdet(skottm.fl.,2008). Problemløsning Hvisforståelseafmatematikkenerafstorvigtighed,såskalogsåproblemløsning haveenstorpladsimatematikundervisningen: problemsolvingleadsto understanding.studentdevelop,extend,andenrichtheirunderstandingbysolving problems. (Hiebert,2003,s.53).IPrinciples&Standardserdeenige: good problemsgivestudentthechancetosolidifyandextendwhattheyknowandwhen wellchosen,canstimulatemathematicslearning. (NCTM,2000,s.53).Derved kanmankonstruerenymatematiskvidengennemproblemløsning,ogblive bedretilatløseproblemer,deropstårimatematikundervisningenogiandre kontekster.atløseproblemerbliverdervedikkekunetlæringsmålindenfor matematik,hvormankanseproblemløsningsomenslagsmentaløvelse,dergør elevernebedretilatløseproblemergenerelt,menogsåsometmiddeltilat udvikleandrefærdighederogforståelserindenforandrematematiskeområder. Schoenfeld(1992)beskriverudoverproblemsolvingasacontextogproblem solvingasskillogsåettredjetema;problemsolvingasart,hvorproblemløsning bliverhjertetafalmatematik.definitionenafproblemløsningharværetbrugt bredt: problemsolvinghasbeenusedwithmultiplemeaningsthatrangefrom workingroteexercises to doingmathematicsasaprofessional. (Schoenfeld, 1992,s.334).Etproblemdefinereshersom: 47

48 Ved etproblem forstårjegensituationderinvolvererenrække metodeåbnespørgsmålderudfordrerenellerandenintellektueltsomikke umiddelbarteribesiddelseafdirektemetoder/procedurer/algoritmerder ertilstrækkeligtilatbesvarespørgsmålene. (Jensen,2007,s.120). Følgerneafdefinitionenbliver,atmanikkekansnakkeom,atenopgaveeret problemgenerelt,idetdeterenrelativsag,omopgaveneretproblemforden enkelte.ungarskepolyaudgavi1945sitverdensberømteværk,howtosolveit. ForPolyavardetafstorbetydning,ateleverneoplevermatematikpåsamme mådesommatematikeregør.iværketsøgerhanblandtandetatgiveenmetode tilatgribeetprobleman,såledesatmankanfåenmerestrukturerettilgangtil problemer.metodenerbyggetopomfiretrin,derfungerersomenproces,og somgentagesefterbehov: 1. Forståproblemet 2. Lavenplan 3. Udførplanen 4. Setilbagepåprocessen(Hansen,2000). Hvordan,eleverskallærePolyasfiretrin,erikkeentydig.Derfindesmange forskelligebeskrivelseraf,hvordaneleverskallæreatproblemløse.iprinciples &Standardsbeskrivesdetat: Studentshouldhavefrequentopportunitiesto formulate,grapplewithandsolvecomplexproblemthatrequireasignificant amountofeffortandshouldthenbeencouragedtoreflectontheirthinking. (NCTM,2000,s.52).Etgodtmatematiskproblemkanindeholdeflereforskellige emnerogmatematiskeområder,ogmankanbenytteforskelligekontekstertil selveproblemet,detkanforeksempelværeeleverneshverdageller skolekonteksten.iprinciples&standardsbeskrivesligeledeslærerens udvælgelseafproblemer,somværendeafstorvigtighed: Choosingproblems wisely,andusingandadaptingproblemsfrominstructionalmaterials,isadifficult partofteachingmathematics. (NCTM;2000,s.53).Hiebert(2003)beskriver3 signpoststilundervisningimatematikviaproblemløsning: Signpost1:AllowMathematicstoBeProblematicforStudents Signpost2:FocusintheMethodsUsedtoSolveProblems. Signpost3:TelltheRightThingattheRightTime. 48

49 OverordnetlæggerbådeNCTM(2000)ogHiebert(2003)vægtpå,atlærerenfår envigtigogcentralrolle,nåreleverneskalproblemløse.schoenfeldbeskriver,at undervisningiproblemløsninggørdetsværereforlærerenbådematematisk, pædagogiskogpersonligt:matematiskidet: theteachermustperceivethe implicationsofthestudents differentapproaches,whethertheymaybefruitful and,ifnot,whatmightmakethemso..pædagogiskda: theteachermustdecide whentointerveneandwhatsuggestionswillhelpthestudentswhileleavingthe solutionessentiallyintheirhands,andcarrythisthroughforeachstudent,or groupofstudents,intheclass..personligtfordi: Theteacherwilloftenbeinthe position,unusualformathematicsteachersanduncomfortableformany,ofnot knowing;toworkwellwithoutknowingalltheanswersrequiresexperience, confidence,andself awareness. (Schoenfeld,1992,s.354) Lærerrollen Ovenståendeforståelseaflæringogfagetmatematikgiverikkenogetenkeltsvar på,hvordanmansomlærerskalundervise: evenifteachershaveaclearsenseofhowchildrenlearnmathematics, theyneedtobuildanunderstandingofhowtheiractionsasteachers functioninguidingstudentstowardsachievingspecifiedlearning objectives. (Brown,1997,s.172). Reformenimatematikundervisningengiversombeskrevetovenfornogle tilgangetillæringafmatematikogtilfagetmatematik,mendendiktererpåingen mådeundervisningsmetoder.pådeflesteområderdiktererreformenmere,hvad lærerenikkeskalgøreisinpraksis,enddengivernogleretningslinjerfor, hvordanlærerenskalhandleispecifikkesituationer.denhardognogle implikationer,foreksempelskalmansomlærerværeopmærksompåsprogets vigtigerolleiundervisningenogsamtidiggøredetmuligtforeleverneatudvikle enmeta forståelseafmatematik,somerioverensstemmelsemedreformen. Lærerensrolleidenreformorienteredematematikundervisningbliversåledes anderledes.synetpålærerenændresidenforbindelsefraformidleraffaglige resultateritraditionelforstandtilunderstøtteraflæring.lærerenerligeledes blevetenlangtmerecentralpersonforundervisningenendtidligere,herunder bådesomdenderudvælgermaterialerogaktiviteter,menogsåsomden,der 49

50 skalforklareogudfordreeleverne.lærerenskalforsøgeatfortolkeelevernes individuelleogantaget fælles forståelseogigangsætteelevaktiviteter,derkan videreudvikledem.hvismanharfokuspåfagetsprocesser,betyderdet ligeledes,atlærerenskalskabeenåbenhediundervisningen,dergørdetmuligt foreleverneatundersøgeegnefagligeproblemstillinger.lærerenmåså, eksempelvisvedetelevsvarellerspørgsmål,isituationenoverveje,ihvilken retningklassenellerdenenkelteelevskalgå,ogbliverdermeden curriculummager.lærerenkanumuligtlæggeelevsvarellerelevspørgsmåli fasterammerogbestemmedempåforhåndogbliverderfornødttilat manøvrerevidere.denplanlagteuforudsigelighedgørlærerrollenmegetcentral, menogsåkompleks.dettebeskriverskott(2004)som,atlærerenharen tvungenautonomi. 8.2 Beliefforskningensudfordringer Beliefforskningenharsidendetstidligeudviklinghaftflereudfordringer, herunderbegrebsmæssigeuklarheder,forklaringsprincipielleuenighederog metodologiskeproblemer.deflesteafdisseudfordringererstadiguløste.vivil gennemdenæsteafsnitskitserebeliefforskningensudfordringerog afslutningsvisbeskriveetalternativtilbegrebetbelief patternsofparticipation Beliefdefinitioner Idesidste20årharbeliefforskningenfåetstoropmærksomhed.Menpåtrodsaf populariten,bliverbegrebetikkepræciseret,ogdererikkekonsensusomkring begrebetsdefinition(mcleod&mcleod,2002).flereforskereharfokuspå definitionenogkarakteristikkenafbegrebetbelief.speerharfølgendedefinition: beliefsaredefinedasconceptions,personalideologies,worldviewsandvalues thatshapepracticeandorientknowledge. (Speer,2005,s.365).Philippharen merebreddefinition: Psychologicallyheldunderstandingpremises,orpropositionsaboutthe worldthatarethoughttobetrue.beliefsaremorecognitive,arefeltless intensely,andarehardertochangethanattitudes.beliefmightbethought ofaslensesthataffectonesviewofsomeaspectoftheworldoras 50

51 dispositionstowardsaction.beliefs,unlikeknowledge,maybeheldwith varyingdegreesofconvictionandarenotconsensual. (Philipp,2007,s. 259). Skottm.fl.(inpress)skriver,atdenalmindeligeopfattelseer,atbeliefsformodes atværeihovederneellerihjerternepålærerne,hvilkekansessomenparalleltil detkonstruktivistiskesynpåviden(glasersfeld,1995).detvilsige,atnårbeliefs erblevetetableret,bliverdeansetsomindividuellekonstruktioner.dervedkan begrebetgenereltforståssomrelativestabile,mentalekonstruktioner,derer subjektivesande. Idefinitionerneafbeliefserderofteendistinktionmellemknowledgeogbelief (Thompson,1992;Wilson&Cooney,2002;Philipp,2007).Idennedistinktion anseslærerensbeliefssomværendeensvagerekonstellationendknowledge: abeliefthatistrueisnotknowledgeforanindividualunlessonehasa warrantforbelievingit,thatis,unlessone sbelievingisbasedupon evidence.furthermore,underthisdefinition,abeliefisnotknowledge unlessitistrue. (Philipp,2007,s.266). Dogikkesåledes,atdereksistererensandviden.Denoverordnedeholdninger, atbeliefadskillersigfraknowledgevedat: thebelieverisawarethatothers maythinkdifferently. (Thompson,1992,s.129).Yderligerebliverbeliefogså oftedefineretudfraendistinktiontilvalues,hvorvaluesermindrekontekst specifikendbelief.valuesdefineressåledes: abeliefoneholdsdeeply,eventothepointofcherishing,andactsupon. Whereasbeliefsareassociatedwithatrue/falsedichotomy,valuesare associatedwithadesirable/undesirabledichotomy.valuesarelesscontextspecificthanbeliefs. (Philipp,2007,s.259). Thompsonbegrunderuklarhedenomkringbeliefi,atbegrebetansessom velkendt: forthemostpart,researchershaveassumedthatreadersknowwhat beliefsare (Thompson,1992,s.129).LederogForgasz(2002)argumentereri deresartikel,atmangodtkanudføreanvendeligforskningudenenighed omkringenpræcisdefinitionafbeliefbegrebet.wilsonogcooneybeskriver,at definitionenikkeerdetvigtigste: concernoveraprecisedefinitionofbelief palesinimportancecomparedwiththeissueofunderstandingthenatureof teachers thinking... (Wilson&Cooney,2002,s.145). 51

52 8.2.2 BeliefsomForklaringsprincip Iflerebeliefdefinitionerindgår,atbeliefsharindflydelsepåpraksis(Op teynde, DeCorte&Verschaffel,2002),mensandremener,beliefsharenmindre afgørendeposition(schoenfeld,1998).generelterderdogdenforudgående forventningom,atderidetmindsteeretsemi kausalforholdmellembeliefsog praksis ogdervedkanbeliefssessometforklaringsprincipforpraksis.detvil sige,athvismankunneændrelærernesbeliefs,såvillemanogsåkunneløse implementationsproblemernefordenreformorienteredeundervisning: The evidenceisclearthatteacherthinkinginfluenceswhathappensinclassroom,what teacherscommunicatetostudentsandwhatstudentsultimatelylearn. (Wilson& Cooney,2002,s.144)og Clearlyteachers conceptionsaboutmathematicsand mathematicsteachingstronglyinfluenceifnotdictatetheirmovementtowarda reform orientedteachingenvironment. (Cooney,2001,s.18).Foratkunne anvendebeliefssomforklaringsprincipforlærernespraksiserderbehovforen overensstemmelsemellemlærernesbeliefsogderespraksis.thompson(1992) harlavetetstudie,hvordervarhøjgradafoverensstemmelsemellembeliefsog praksis,mensandreharlavetstudier,hvorderderimodvaruoverensstemmelse mellembeliefsogpraksis(cohen,1990;raymond,1997;skott,2001;sztajn, 2003).Forskere,somharundersøgtdisseuoverensstemmelsermellemlærernes beliefsoglærernespraksis,harforsøgtatforklaredettepåforskelligemåder. Noglemener,atlærernespraksispasserbedreoverensmedlærernesbeliefs omkringmatematikendbeliefsomkringmatematikundervisningoglæring. (Raymond,1997).Andrepegerpå,atmanskalundersøgebeliefssomsituereti konteksten,elleratoverensstemmelsernekanforklaresved,atbeliefsentener primaryellerderivative.detbetyder,atlæreresbeliefsikkeeruafhængigaf andrebeliefs,ogderforansesnoglebeliefssomværendeprimæreogandresom værendemereafledtebeliefs.derudoverkanbeliefsansessomværendeenten centraleellerperifere,hvordecentralebeliefsansessomdestærkestebeliefs,og deperifereerlettereatændre(thompson,1992).tilsidstkanmanogsåanse beliefssomværendeiklynger,hvornogleklyngereksistererimereellermindre isolationfraandreklynger.dettebevirker,atnoglebeliefskaneksisteretrods det,atdeeridirektemodstridmedandrebeliefs: Thisclusteringpropertymay 52

53 helpexplainsomeoftheinconsistenciesamongthebeliefprofessedbyteachers documentedinservablestudies. (Thompson,1992,s.130).Skott(2009) beskriver,atlærerensbeliefsomkringundervisningogmatematikbliver overskyggetafmeregenerelleuddannelsesmæssigevalg,fxatopbyggeelevernes selvtillidogatlaveklasseledelse.forståelsenaflærernesforskelligemåli undervisningengiversåforklaringpåuoverensstemmelserne.lærerneer dervedikkeinkonsistente,inkonsistenserforskerensperspektiv: Inconsistency, howeverisanobserver sperspectivethatdoesjusticeneithertothecomplexityof teaching,northeteachers attemptstorelatesensiblytothiscomplexity (Skott, 2009,s.44).Speer(2005)mener,atenskelnenmellemprofessedogattributed beliefserenfalskdikotomi,ogatuoverensstemmelsenskyldes forskningsmetoden.hunmener,atmanskalværeforsigtigmedatproklamere overensstemmelserelleruoverensstemmelsermellembeliefsogpraksis,da: Onecanonlyseewhatmethodsaredesignedtocapture. (Speer,2005,s.387). Speerlæggerdervedoptil,atderistedetskalmerefokuspå,hvilke forskningsmetoderderbliverbrugtibeliefforskningen Beliefforskning Beliefforskningenharmetodeproblemer,hvilkethovedsageligtomhandler, hvordanmankanfåadgangtildeflygtigementalekonstruktioner,somlærerne har: beliefsareprivateandthereforehiddenfromthegazeoftheresearcher onecanonlyinferateacher sbeliefsfromherorhisactions,including answeringquestionnairesorrespondingininterviews. (Lerman,2002,s. 236). Ietforsøgpåatforstålærernesbeliefsharmangjortbrugafflereforskellige forskningsmetoder.megetafforskningenomkringbeliefserbaseretpålærernes udtalelser,ogderergenerelenighedom,atdetikkeernokkunatlytteoglave interviewsmedlærerne(speer,2005).interviewsvilaleneikkegiveadgangtil lærernessandebeliefs.etafproblemernevedintervieweter,atordkanhave forskelligebetydninger,ogatlærerenogforskerenikkenødvendigvishar sammeforståelseafdeforskelligebegreber sharedunderstanding.detvilsige, hvadlærerenudføreripraksisiklasseværelset,måskeerigod 53

54 overensstemmelsemedhendesforståelseafbegrebet,hvorimodlærerenog forskerenmåskehartomegetforskelligeforståelserafbegrebet: itispossible, however,thattheperceiveddiscrepanciesaresometimestheresultofincomplete orinaccurateunderstandingoftermsanddescriptionsusedbyteachersand researchers (Speer,2005,s.371).Foratløsedetteproblemharmanoftegjort brugafmetodologisktriangulering,hvormanharkombineretinterviewog observationafklasserumsinteraktion.dererdogogsåproblemerved trianguleringsomløsningen,herunderatdetafmangeforventes,atmanvia forskelligemetoderimetodetrianguleringkommerfremtilsammeresultat: og Consequentlythereislittlereasontoexpectthatbeliefsespousedina researchinterviewresemblethosethatareenactedinthemathematics classroom,althoughtheremaybe afamilyresemblance betweenthetwo. (Lerman,2001,s.36). Thisleadsmetomovefromnotionsof decontextualised beliefswhichare contrastedwithbeliefs in practicetoproposethatallbeliefsaresituated. (Hoyles,1992,s.40). Etandetmetodologiskproblemvedatsebeliefssomforklaringsprincipfor praksiser,atdeteretcirkulærtargument,hvorpraksiserforklaretmed referencertilbeliefs,ogbeliefserudledtfradeselvsammepraksisobservationer (Lester,2002) Etindividueltogetsocialtperspektiv Kunganskefåbeliefstudiersætterspørgsmålvedforklaringsprincippet: Few empiricalstudies,then,questionthepremisethatbeliefsmayserveasan explanatoryprincipleforpractice. (Skott,2009,s.29),ogkunganskefåhartaget udgangspunktietsocialtperspektiviforståelsenafsammenhængenmellem lærerensbeliefsogklasserum: fewstudiesinmathematicseducationhaveused aprimarilysocialapproachtounderstandtherolethatteachers beliefsmayplay fortheclassroompractice. (Skott,2009,s.29).Beliefforskningstemmerikke overensmeddemeresocialetilgangetilforskning.skott(2009)sætter spørgsmålveddetindividuelleperspektivsombasisforbeliefforskning,og beskriverdetsocialeperspektivsåledes: 54

55 Thesocialperspectivedoesnotthinkofmathematicsclassroomsassites forthe enactment ofteachers beliefs,nordoesitconsiderclassroom practicestheresultofsuchenactment.itviewsclassroompracticeas emerginginandthroughinteraction. (Skott,2009,s.29). Bådelærerenogklasserummetersocialeenhederogvedatsepåderes interaktion,kandervindesmegennyviden: LaveandWengersuggestedthatshiftingtheirfocusfromtheindividual learnertogroupsoflearners,theycouldaccountforthelearningthat resultsfromchangingthewayoneparticipateswithotherswhoshare commongoals. (Philipp,2007,s.306) Etalternativtilbeliefforskning Beliefforskningenfortsætterstadig,ogiennyartikel(Skottm.fl.,inpress) forslåesdetpåbaggrundafbeliefforskningensserieafuløsteproblemeratskifte fradentraditionellebeliefforskningtilpatternsofparticipationinsocialpractices (Skottm.fl.,inpress),ogderfindesikkenogetudoverdissedeltagelsesmønstre: Insteadofconsideringtheteacher smeaning makingandcontributionsto theinteractionsofthemathematicsclassroomtheresultofanenactmentof objectifiedbeliefs,weviewthemasthesimultaneousengagementinarange ofmathematical,meta mathematicalandbroadersocialpractices,the specificcharacterandrelativesignificanceofwhichemergeinthe interactionsinthelocallysocial. (Skottm.fl.,inpress,s.2). Istedetforatarbejdemedobjektificeredementalekonstruktioner,fokuseresder pådeprocesser,somerbaggrundenfordem.skottmeneristedet,at undervisningbliveretspørgsmålomkonstantatbalanceremellemengagementi forskelligedeltagelsesmønstrefrademangeforskelligepraksisser,somlæreren deltageri: Thequestionisnothowtheteacher scontributiontoclassroominteraction relatestoasetofbeliefwithwhichitmaybeinconsistent.ratherthe questionishowdifferentpatternsofparticipationstemmingfromdifferent socialpractices,includingtheonethatevolvesattheinstantrelateand cometoforminstructionalactivity. (Skott,2010,s.7) 55

56 Dettebetyder,atforskningsopgaverneikkelængereeratredegøreforlærerens beliefs,oghvordandissebeliefshængersammenmedpraksis. Forskningsopgaverneerderimodatudrededemangeforskelligepatternsof participationogderesindbyrdesforhold,somharbetydningforlærerens deltagelseidetmatematiskeklasserum. 8.3 Lærerviden Foratfåenforståelsefordetemergerendeklasserumharvibrugforat analyserebegrebetlærervidenforsenereatbrugedeteoretiskebegrebertil analyseaflærernesinteraktioneridetemergerendematematikklasserum.i følgendeafsnitpræsenteres;sammenhængeogkonfliktermellem,hvordan forskelligedidaktikereharkategoriseretlærerviden,hvilkeforskningsmetoder dererbrugttilundersøgelseaflærerviden,hvordansamspilletmellem lærervidenogklasserumspraksisfortolkes,oghvordanendnuenfaktortilføjes elevpræstation.vivilderudoverskitsereforskelligesynpå,hvordanoghvor mankanlærelærerviden.sidstvilvisamletrådene,sehvilkegrundlæggende teoretisketermer,derliggertilgrundfortænkningerne,oggiveetforslagtilen anderledesmådeattænkelærerviden Ettilbageblik Derhargennemtidenværetstorfokuspåeleverslæreprocesser,hvorimoddet førsteridesidsteårtier,lærerensvidenoglærerensegnelæreprocesserharfået interesse.læreruddannelsenhartidligerehovedsageligtkoncentreretsigomdet fagligeindhold,hvorimodmanharignoreretselveundervisningskompleksiteten oghvordanindholdetblevforvandletfralærervidentilindhold.senerehar manerkendt,atmatematiklærerensvidenadskillersigmatematikerens: recognizedthatthewayspresentandfutureteachersneedtoknowmathematics differsfromthewaysothercollegemathematicsstudentsneedtoknow mathematics. (Sowder,2007,s.163). Imidtenaf1980 ernebeskriveralmendidaktikerenshulmantre lærervidenskategorier contentknowledge,pedagogicalcontentknowledgeog 56

57 curricularknowledge(1986).shulmanpræsentererhereftertre lærervidensformer,somhverafdeenkeltekategorierkanorganiseressom propositionalknowledge,caseknowledgeogstrategicknowledge.ienparentesi sammeartikelnævnershulmanyderligerefirekategorier somomhandler; videnomkringstuderendesindividuelleforskelle,videnomkringgenerelle organisationsmetoderogledelsesmetoder,videnomkringuddannelseshistorie og filosofi,videnomkringskoleøkonomiogadminstration ogbeskriver,at dettebloternogleafdenødvendigelærerkvalifikationer.i1987beskriver Shulmansyvkategorier,denneganghenvisesnogleafvidenskategorierneikke tilenparentes,menbeskrivesmereligeværdige contentknowledge,general pedagogicalknowledge,curriculumknowledge,pedagogicalcontentknowledge, knowledgeoflearnersandtheircharacteristics,knowledgeofeducationalcontexts ogknowledgeofeducationalends,purposes,andvalues,andtheirphilosophical andhistoricalgrounds(1987).begrebetpedagogicalcontentknowledgeindgåri beggekategoriseringerogsynliggørdetindlysendei,atrenfagligvidenikkeer nokiforbindelsemedundervisning.pedagogicalcontentknowledgehariårene efterværetudgangspunktetimangeforskningssammenhænge,mensflertalletaf deandrekategorierikkeharfåetsåstoropmærksomhedimatematikkens didaktik.måskefordipedagogicalcontentknowledgeblivertagetudafen sammenhæng,beskyldesbrugenafbegrebetatsavnesammenhængmellem andreformerforlærerviden,mangleempiriskfundamentogværeløstog upræcistdefineret: Whendefinedintheseways,pedagogicalcontentknowledgebeginsto lookasthoughitincludesalmosteverythingateachermightknowin teachingaparticulartopic,obscuringdistinctionsbetweenteacheractions, reasoning,beliefs,andknowledge. (Ball,Thames&Phelps,2008,s.394) Knowledge:Strukturenafmatematiklærerviden MedudgangspunktiShulmansbegrebpedagogicalcontentknowledge(PCK) undersøgerballogmichigangruppen(ball&bass,2003;ballm.fl.,2008)den speciellematematiskeviden,derernødvendigtilundervisningsbrug: Just knowingasubjectwellmaynotbesufficientforteaching.itseemsunlikelythat justknowingmoreadvancedmathwillsatisfyallofthecontentdemandsof 57

58 teaching. (Ballm.fl.,2008,s.404).Deresforeløbigeundersøgelseviser,atde flesteafdeopgaverlærerenudfører,kræverbetydeligmatematiskvidenog ræssoneren.deterdelsatgøresigtankeromenspecifikmatematiskide, sammenholdtmedtankeromlæringogundervisning.etmåskeoverraskende resultatiundersøgelsener,atundervisningikkeblotkræverpædagogiskviden ogmatematiskviden,menatundervisningkræverenheltspecielformfor matematiskviden: Perhapsmostinterestingtoushasbeenevidencethatteachingmay requireaspecializedformofpuresubjectmatterknowledge pure becauseitisnotmixedwithknowledgeofstudentsorpedagogyandisthus distinctfromthepedagogicalcontentknowledgeidentifiedbyshulmanand hiscolleaguesand specialized becauseitisnotneededorusedinsettings otherthanmathematicsteaching Weweresurprisedtoseethatmanyof thecomponenttasksofteachingrequiremathematicalknowledgeapart fromknowledgeofstudentsorteaching. (Ballm.fl.,2008,s.396). BallogMichigangruppenkonstruererfølgendemodelforMKT: Subject Matter Knowledge Common Content Knowledge (CCK) Knowledge at the mathematical horizon Specialized Content Knowledge (SCK) (Ballm.fl.,2008) Pedagogical Content Knowledge Knowledge of Content and Students (KCS) Knowledge of Content and Teaching (KCT) Knowledge of curriculum Commoncontentknowledge(CCK)erdefineretsomdenmatematiskevidenog dematematiskefærdigheder,sombrugesiandresammenhængeend undervisning,ogsomikkeerunikiundervisningssammenhæng.lærerneskal kunnematematiktilløsningafdeopgaver,someleverneskalarbejdemed, herundervide,hviselevergiveretforkertsvar,ellerhvisdererfejlitekstbogen. Specializedcontentknowledge(SCK)erdenmatematiskevidenogde matematiskefærdigheder,somerunikkeiundervisningssammenhæng,ogsom 58

59 modsætningtilcckersckdenmatematiskeviden,somikkeerbrugbariandre sammenhængeendundervisning: Teachers,however,mustholdunpacked mathematicalknowledgebecauseteachinginvolvesmakingfeaturesofparticular contentvisibletoandlearnablebystudents. (Ball,m.fl.,s.400).Icitateter begrebetunpackedcentralt.balldefinererikkebegrebetviaintension,menvia ekstension,hvorbegrebsforklaringerneerbaseretpåeksempler.ideenbag begrebeter,atmenseleverneskalarbejdeundersøgendeogudvikleegne algoritmer,ogiprocesseneffektivisereogforfinederesmetoder altsåpakke viden bestårmatematiklærerensarbejdeafenmodsatrettetproces udpakke viden.lærerenkenderhertildetprodukt,someleverneskalfindefremtil,men skalfoldedetudidetsenkeltdele,såledesatkarakteristiskeegenskabervedet giventindholdgøressynligeogmuligeforelevenattilegnesig.deterballs samledepointe,atdeterrenematematikkvalifikationer,derbrugestilat udpakkeviden,ogikkepædagogiskeellerpsykologiskekvalifikationer. Knowledgeofcontentandstudents(KCS)kombinerervidenomkringdetfaglige matematikindholdogelever.lærerenskalkunneforegribeeleverstankerog reaktioneroghavestyrpå,hvadeleverfinderinteressant,motiverendeog forvirrende.lærerenskalogsåkunnehøreogfortolkeeleversfremkomneog ufuldstændigetænkning(ballm.fl.,2008). Knowledgeofcontentandteaching(KCT)kombinerervidenomkringdetfaglige matematikindholdogundervisning,herunderbeslutningeromhvordanet matematiskindholdkanrepræsenteresoghvilkerepræsentationer,derien givensammenhængvilværebedst,fxbrugafforskelligemanipulativer.kct indeholderligeledesvidenomundervisningsmæssigebeslutninger hvilke elevbidrag,derskalforfølges,oghvilkederskalignoreresellergemmestil senere,hvornårmanskalstoppeopforatuddybeenpointe,hvornårmanskal brugeenelevskommentartilattydeliggøreenmatematiskpointe,ellerhvornår manskalstillespørgsmål. SilvermanogThompson(2008)haretandetfokusendBallog Michigangruppensmathematicalknowledgeforteaching(MKT).Hvor Michigangruppentagerudgangspunktilærernespraksisforatidentificereden speciellematematiskeviden,dererbrugfortilmatematikundervisning,har 59

60 SilvermanogThompsonenteoretiskindgangsvinkel,sombyggerovenpåandres teoretiskeviden.detagerudgangspunktilærerensmatematiskeforståelsei undervisningsforløbogsessomfundamentforelevernesræsonnement.deres teoretiskeudgangspunkter,atlæreresjældenterfarersammenhængog generativitetimatematik,ogatlæreresarbejdemedforståelseerbaseretpå sammenhængoggenerativforståelseafdestorematematiskeideer,somligger tilbaggrundfordiversecurricula.silvermanogthompsonserenlærersmkt somgroundedienpersonligoghandlekraftigmatematikforståelse,sombliver konstrueretgennemenpædagogiskforståelse.tilbeskrivelseafenlæresmkt, brugerdebegrebetkeydevelopmentalunderstanding(kdu): TeacherswhodevelopKDUsofparticularmathematicalideascando impressivemathematicswithregardtothoseideas,butitisnotnecessarily truethattheirunderstandingsarepowerfulpedagogicall. (Silverman& Thompson,2008,s.502). EnlærerharMKTietspecifiktmatematiskemne,hvishan: 1. hasdevelopedakduwithinwhichthattopicexists, 2. hasconstructedmodelsofthevarietyofwaysstudentsmayunderstand thecontent(decentring); 3. hasanimageofhowsomeoneelsemightcometothinkofthe mathematicalideainasimilarway; 4. hasanimageofthekindsofactivitiesandconversationsaboutthose activitiesthatmightsupportanotherperson sdevelopmentofasimilar understandingofthemathematicalidea; 5. hasanimageofhowstudentswhohavecometothinkaboutthe mathematicalideainthespecifiedwayareempoweredtolearnother, relatedmathematicalideas. (Silverman&Thompson,2008,s.508). Mendeterikkeførlærerenhartransformeretsinvidenindtilenpædagogisk handlekraftigviden,atlærerenharudvikletmkt: DevelopingMKT,then,involvestransformationthesepersonalKDUsofa particularmathematicalconcepttoanunderstandingof:(1)howthiskdu couldempowertheirstudents learningofrelatedideas;(2)actionsa teachermighttaketosupportstudents developmentofitandreasonswhy thoseactionsmightwork. (Silverman&Thompson,2008,s.502). 60

61 VedanalyseafSilvermanogThompsonskategoriersesfleresammenfaldmed Michigangruppen,ogdefemkategorierkanbeskrivessomcommoncontent knowledge,knowledgeofcontentandstudentsogknowledgeofcontentand teaching.trodselementerafoverlapogfællesfokus,adskillersilvermanog ThompsonstænkningsigogsåfraMichigangruppens.Michigangruppens hovedkategori,specializedcontentknowledgeerikkedirektetilstede.denkan ganskevisttolkesindidekategorier,derkansidestillesmedkategorierne knowledgeofcontentandstudentsogknowledgeofcontentandteaching,dade forskelligekategorierkanværesværeatadskille,mendererikkesamme vægtningafdetmatematiskeindhold.silvermanogthompsonbeskriverikke hvilkenformformatematiskviden,lærerenharbehovfor.pådenenesidetyder megetpå,atderesteoretiskearbejdeeretforsøgpåatrehabilitereden traditionelleogsekventielletænkningom,atlærerenførstskallærenoget matematik,somderefterkanpakkesindienundervisningskontekst.påden andensidebeskriverdelærerensvidensomtransformativ,hvorveddet,i modsætningtildenintegrativemodel,ikkeermuligtatadskilledeforskellige undervisningselementerideresoriginaleform,mentænkedemien sammenhæng,hvordenmatematiske ogpædagogiskeforståelsesmelter sammentilennyviden(gess Newsome,1999).Ideresbeskrivelseafhvordan forståelseudvikles: bothapersonallypowerfulunderstanding(kdu)and MKT (Silverman&Thompson,2008,s.502),tænkerdesekventielog henvisertilpiagetsbegrebomrefleksivabstraktion: wearguethatthedevelopmentofakduinvolvesafirstabstractionvia reflectingabstraction,andthedevelopmentofmktinvolvesasecond abstraction(wherethedevelopmentofkduisthefirst orderabstraction). (Silverman&Thompson,2008,s.503). BorasiogFonzi(2002)haridentificeretflerelærerbehov categoriesofteacher leraningneeds: 1. Developingavisionandcommitmenttoschoolmathematicsreform. 2. Strengtheningone sknowledgeofmathematics. 3. Understandingthepedagogicaltheoriesthatunderlieschoolmathematics reform. 61

62 4. Understandingstudents mathematicalthinking. 5. Learningtouseeffectiveteachingandassessmentstrategies. 6. Becomingfamiliarwithexemplaryinstructionalmaterialsandresources. 7. Understandingequityissuesandtheirimplicationsfortheclassroom. 8. Copingwiththeemotionalaspectsofengaginginreform. 9. Developinganattitudeofinquirytowardone spractice... (Borasi&Fonzi, 2002,s.10) Kunetenkeltaflærerbehoveneomhandlerdirekteindholdet,Strengthening one sknowledgeofmathematics.herbeskriverborasiogfonzi,atden matematiskevidenharændretsigmedreformen.deterdermedikkelængere nokatkunneforskelligematematiskestrategierogvide,hvornårdekanbruges. Deterogsånødvendigtatvide,hvordanmankanudvikleformler,hvornårde skaltagesianvendelse,oghvormatematikkenkommerfra.denmådeatkunne matematikpåerikkeanderledesendmatematikerens,oglærerbehovetkan dervedsammenlignesmedmichigansgruppenscommoncontentknowledgeog SilvermanogThompsonsKDU. Flereaflærerbehoveneerindenforpedagogicalcontentknowledge,herunder forståelseforelevernesmatematisketænkning,brugafeffektiveundervisnings ogevalueringsstrategier,kendskabtilforskelligematerialerogforståelseaf reformorienteretmatematikundervisning.derudovererderogsålærerbehov, somermererettetmodlærerensomperson,herundervisionerogengagement, defølelsesmæssigeaspektervedreformenogudviklingafenundersøgende tilgangtilegenundervisning.idennesidstnævntekategorierdetvigtigtfor lærerne,atdekananalysereogreflektereoveregenpraksisforatforbedrederes undervisning.deskaludførekontinuerligeevalueringerafeleverneogforme undervisningenherefter: Teacherinquiryplaysacentralroleinmanyoftheprevailingconceptions ofteacherlearningincludingcriticalreflection,reflectioninandonaction, personalandpedagogicaltheorizing,narrativeinquiry,actionresearchand teacherresearch. (Borasi&Fonzi,2002,s.21). UnderdennekategorikanmanogsåhenvisetilDonaldSchönsteoriomden reflekterendepraktiker(schön,2001).schönmener,atdetergennem refleksion,vikanbliveklogerepå,hvadviskalgøreienbestemtsituation,hvisvi 62

63 vilopnåetbestemtmål.gennemrefleksionbliverviklogerepå,delshvordanvi skalhandle,delshvorforviskalhandle.schönskelnermellemreflection in action ogreflection on action.reflection in actionsvarernogenlundetilbegrebettavs videnellerpraksisviden,somudviklesgennemimplicitterefleksionerknyttettil løsningerafpraktiskeproblemer.schönskriver,atudfordringerneog usikkerhederneilærernespraksisbehandlesintuitivtogdialektisk.problemer oplevesoghåndteresienher og nu handling,ogikkesomtekniskeproblemer medtekniskeløsninger,somfxienhierarkiskmål middeltænkning.derligger enudviklingsmulighediatblivebevidstomdennepraksisviden.schönmener,at detkanskeafsigselvipraksisfeltet.idetøjeblikpraktikerenikkelængerekan løseproblemerviaintuitivvidenogpraktiskforståelse,tvingeshantilattænke oversinegenpraksisoggøresinpraksisvideneksplicitienreflection on action. Reflection on actionkanbetegnessomenmetakognitivproces. BorasiogFonzislærerbehovkansessometforsøgpåatarbejdevideremed Shulmanstrefremtrædendekategorierfra1986, contentknowledge, pedagogicalcontentknowledgeogcurricularknowledge.pådenenesidetilføjer BorasiogFonzinogetnytvedatsættefokuspålærerenskonstanteudviklingog reformenspåvirkning bådefagligtogfølelsesmæssigt.mensdepådenanden sideideresindholdsbehov,gårtilbagetildengamletænkningom,atlæreren skalkunnenogetmatematik,menikkebeskriverdennematematikmedmere endlidtudvidedecommoncontentbegreber. Nordenbooghanskollegaer(2008)tagerideresforskningudgangspunkti,at derimangeårharværetfokuspåfaglighed,ogatdetidensammenhænger vigtigt,atmanikkeoverseratuddannelæreretilatetableresocialerelationertil eleverne.deopstillertrekompetencer,sombidragertillæringhosbørnogunge: Relationskompetence Regelledelseskompetence Didaktiskkompetence. (Nordenbo,Larsen,Tiftikçi,Wendt&Østergaard, 2008,s.69). Lærerenskalpådenmåde besiddekompetencen (Nordenbom.fl.,2008,s.69) tilatindgåirelationtildenenkelteelevogdensamledeklasse,herunderlede 63

64 klasseundervisningen,ogløbendeoverdrageeleverogklasseatopretholde reglerogselvopstilleregler.lærerenskaldesligeirelationtilundervisningens indhold: besiddekompetencepådetdidaktiskeområdeialmindelighedogidet specifikkeundervisningsfag. (Nordenbom.fl.,2008,s.69). Opsummerendeharovenståendedidaktikereogforskeregivetforskelligebudpå lærerviden.dereskonklusionerogkategoriererforskellige.hvorball& MichigangruppenogSilverman&Thompsonpåforskelligemåderkoncentrerer sigomogbeskriverdedeleaflærerviden,somharenmatematiskkarakter, beskriverborasiogfonzilærerensbehovtilundervisningsomlangtmere komplekseogbeståendeafmereendindholdskategorier,dereskategoriersynes, måskepågrundafdereskompleksitetatbliveensmulerodede.nordenboog hanskollegaerskategorieromhandlerdetmerebredeogpædagogiske, hvorunderdetfagligeindholdkunharenlilleplads.fællesfordeforskellige lærervidenskategorieroglærerbehover,atdebliverbeskreveti tilegnelsestermer.fxskriverballogmichigangruppen,atlæreren musthold unpackedmathematicalknowledge,silvermanogthompsonbeskriver lærervidensom apersonallypowerfulunderstanding ognordenbooghans kollegaer,atlærerenskalbesiddekompetence.beskrivelsernelæggersigopaf denradikalekonstruktivisme,hvorvidenoglæringsessomindividuelle anliggender,oghvorlæringerenmådeatskabeindividueltejerskabtilvidenog dervedgørevidentilensegen.demisterallederveddetkomplementære deltagelsesperspektiv,hvorlæringiligesåhøjgraderendelafoguadskilleligfra detattagedelisocialepraksisser Forskningsdesignoglærerviden Dererikkenogendirektemådeatafdækkelærerensvidenpå,derforerderogså stadigmangeubesvaredespørgsmålomkringlærerviden(krauss,baumert& Blum,2008).Følgendeeretafsnitom,hvordanforskelligedidaktikerehar forsketimatematiklærerensviden. Sidsti90 ernelaverma(1999)etkomparativtstudieafgrundskolelæreresviden ihenholdsviskinaogusa.matagerudgangspunktiteachereducationand 64

65 LearningtoTeach interviewspørgsmål(telt),hvorinterviewopgaverneer struktureretvedatvæveenbestemtmatematiskideindietklasserumsscenario ellerenundervisnings forberedelses lignende situation.i0 erneundersøgerball ogmichigangruppen: Whatdoteachersneedtoknow? (Ballm.fl.,2008,s.394). Detagerudgangspunktiklasserumspraksissermedfokuspå: onwhatthis actualinstructionsuggestsforadetailedjobdescription. (Ballm.fl.,2008,s.392) ogudviklerderfrakategoriertilbeskrivelseaflærerensviden mathematical knowledgeforteaching,mkt.dekonstruererpådenbaggrundetsætmultiple choiceopgaver,derbrugestilatafdækkelærernesmkt.sidsti0 ernesætter Michigangruppen(Hill,Blunk,Charalambous,Lewis,Phelps,Sleep&Ball2008; LearningMathematicsforTeachingProject,2010)fokuspåforholdetmellem mathematicalknowledgeforteaching,mktogmathematicalqualityof instruction,mqi.hermåleroganalysererdelæreresmktblandtandetviadet tidligereudvikledemultiplechoicematerialeogudviklerviavideooptagelseret værktøjtilatsepåmqiogsammenlignermktogmqi.forskergruppener forbeholdneoveratpåståkausalitet,ogbetegneristedetforskningensom korrelativ.tyskernekrauss,baumertogblum(2008)forskerligeledesi forholdetmellemlærerviden,klasserumspraksisogmedtagerderudoverogså elevniveau.ideresforskningbrugerdeetdertilkonstrueretsætafåbne spørgsmålomhandlendelærerenspædagogisk fagligematematikviden.krauss, BaumertogBlumobservererikkelærerneiderespraksis,menundersøger lærernesbaggrund,motivationogprofessionellebeliefs.tilatfåindbliki elevernesniveaubrugerdepisa resultater.nordenbooghanskollegaer(2008) tagerideressystematiskereviewudgangspunkti: denbedsttilgængelige evidens,derkanfremskaffesidenpædagogiskeogudannelsesvidenskabelige forskningiperioden (Nordenbom.fl.,2008,s.69).Hvilketbeståraf 70undersøgelser,somovervejendeerkvantitative.Deresforskningsresultater byggerpåenforskningskortlægningogforskningsvurderingaftidligere forskning,hvorforskningsrapporterne,sombrugesiundersøgelsen,er fremkommetvedatforetagenarrativeanalyserpåbaggrundaf datauddragninger.ogsåsilvermanogthompsonharetteoretiskudgangspunkti deresforskning. 65

66 Idenovenforbeskrevneforskning,somomhandlerlærerviden,sammenhængtil klasserumspraksisogeleversniveau,liggerbeliefssomenimplicitdelaf forskningen.detbetyder,atdidaktikkernemedderestraditionellebeliefsynser beliefssomforklaringsprincipforpraksis.fxobservererkrauss,baumert& Blum(2008)ikkelærerneideresklasserumspraksis,menlaveristedetåbne opgaver,hvorlærernebeskriver,hvaddegøriundervisningen.ballog Michigangruppentagerudgangspunktipraksis,menendermedmultiplechoice opgaver,derbrugestilatafdækkelærernesmkt.dervedtagerdeogså udgangspunkti,atderersammenhængmellemlæreresbesvarelseafmatematik pakketindienundervisningskontekst,oghvordandevillehåndteresamme udfordringerivirkeligeundervisningssammenhænge.perspektivetherkan udfordresvedatsevidensomsitueretisocialepraksisser,hvorderikke nødvendigvisersammenhængogkausalitetmellem,mådermanagereri forskelligepraksisser.dervedkanderogsåsættesspørgsmålstegnved sammenhængmellemlærernesegnebeskrivelserafundervisningsamt besvarelseafundervisningsspørgsmålogderesudlevedeklasserumspraksis Matematiklærerviden,klasserumspraksisogelevpræstation Atforståklasserumspraksisogmathematicalqualityofinstruction,MQI,erikke såligetil.hvad,derumiddelbartkansynesreformorienteret,kanvednærmere analysevisesigatmangleheledenmatematiskesubstans,somergrundlageti reformen: Butoncloserinspection,wenoticethat,despiteitsengagingsurface features,themathematicalqualityofthelessonislacking.studentsspend aninordinateamountoftimecuttingandmeasuring,aperiodduringwhich thereislittleactiveconnectiontomathematicalideas. (Learning MathematicsforTeachingProject,2010,s.26). Feltetharbrugforetmeresammenhængendebilledeafklasserumspraksis. Hillm.fl.(2008)ogMichigangruppenbelyserpåstandenom,atlærernesMKT spillerenvigtigrolleideresmatematikundervisningogmqi: thereisevidence forthepropositionthatstrongerteacherknowledgeyieldsbenefitsforclassroom instructionandstudentachievement. (Hillm.fl.,2008,s.431).Hillkonkluderer, atdeikkekanbevisekausalitetmellemmktogmqi: wecannotprovethat 66

67 greaterknowledgeresultsinricherinstruction. (Hillm.fl.,2008,s.496).Den uundgåeligekonklusionafstudieter,atdereretstærktforholdmellem,hvad lærerenved,hvordanhunveddet,oghvadhungørisinundervisningspraksis. Noglefaktorerpegerienandenretning,menHillmener,atmankansebortfra faktorerne,dadeblegneriforholdtilbeviserforsammenhæng: However,theseinfluencespaleincomparisonto,andinmanywayswere shapedby,teachers knowledgeitself.incaseaftercase,thequalityofthe modificationsmadetocurriculummaterials,thegoalsforstudentslearning, andevenbeliefsaboutwhatmathematicsiswereshapedbyteachers knowledge. (Hillm.fl.,2008,s.497). Hillbeskriver,atderermangelpåforskning,somogsåkansammenlignesmed eleversniveau: thereisalackofdetailedunderstandingregardinghowteacher knowledgeaffectsclassroominstructionandstudentachievement. (Hillm.fl., 2008,s.431).MatematikdidaktikerneKrauss,BaumertogBlum(2008)harfokus påalletrefacetterviaspørgeskemaerog åbne tests,somafdækkerbåde lærervidenogpraksis,ogpisainformationer,somindeholderelevers spørgeskema ogtestresultater.krauss,baumertogblumkonkluderer,atderer tætsammenhængmellempckogcontentknowledge,ck,ogatmanforatkunne udviklepckharbrugforensolidmængdeck.bådepckogckertætforbudne medsubjektivkonstruktivistisklæringsteori: PCK(andCK)arecloselyrelatedto subjectiveconstructivistlearningteories. (Blum&Krauss,2006,s.3).Derudover konkludererkraussogblum,atderersammenhængmellemlærerespckogck ogeleverspræstation: ThisfindingsdemonstratesthatPCKisindeedacore candidateforcreatingpowerfullearningenvironmentsthatsupportstudents knowledgeconstruction. (Blum&Krauss,2006,s.3) Hvordanoghvorkanmanlærelærerviden? Krauss,BaumertogBlum(2008)konkludererideresundersøgelse,at praksiserfaringikkeharindflydelsepålærerenslærerviden,og: Theknowledge developmentprimarilyseemstoendafterteachereducation. (Blum&Krauss, 2006,s.3).Ball&Cohen(1999)argumentererfor,atlærervidenkanlærespå læreruddannelsen,menatbrugenafdensammevidentilundervisningsbruger situeretipraksis,ogderformålæresipraksis.ballogcohendefinererikke 67

68 praksissomenfysisklokalitet,menmereethandlings oganalyselandskab.mas forskning(1999)viser,atlærervidenblandtandetudviklersigvialærerensegen skolegang,viafokuspåfagogspecialiseringogviamulighedforatudvikle undervisningsvidenipraksis.hvislærerefårafsattidtilindividuelleogfælles studieraflærebøger,udviklerdemereogbedrelærerviden.mabeskriver lærerespraksissomsitueretiklasserumspraksis,hvorderesvidenerbundettil etfællesskabaffaglærereeksempelvisietmesterlærerforhold. Medudgangspunktideovenståendeforskelligetilgangeerderikkenogetnemt svartilsowdersspørgsmål: Howdoteacherslearnwhattheyneedtoknowto teachmathematics?thatis,howdotheyacquireknowledge for practice? (Sowder,2007,s.173),og: Howdoteacherslearnfromtheirprofessional communitiesaboutteachingmathematics?thatis,howdotheyacquire knowledge in practice? (Sowder,2007,s.185) Etalternativtillærerviden Dererbrugforbetydeligeændringer,hvisviskalforstålærereslærerviden: Fundamentalchangesareneededinwhatweconsidertobethenatureof teacherknowledge.wenowhaveatleastsomeknowledgeaboutwhat teachersneedtoknowtobeeffectiveteachers... (Sowder,2007,s.166). Disseændringerbestårblandtandeti,atdetikkeertilstrækkeligtatselæreres lærervidensometrentindividueltanliggende,hvorlærerenharetpersonligt ejerskabtilviden.deterderimodnødvendigtatselærerneslærervidenfraet deltagelsesperspektiv.inspireretafcobbogyackel(1996)skallærervidenikke blotbeskrivesiindividuelletermer,menogsåsocialetermer.atlærelærerviden betyderfraetdeltagelsesperspektiv,atbliveistandtilistadigstørreomfangat individualiserehandlemønstre,sociale,fagligefællesskaber,hvorprocessener, atmanlærerafstadigmereavanceredemåderatdeltageipraksisserpå.fraen deltagelsessynsvinkelervidenikkeihovedetpåfolk,videnerderimodide praksisser,derudvikles.pointener,atmatematiklærervidenerforskelligealt efter,omlærerenunderviserien3.klasseelleren7.klasse,holder forældremøde,debattererpåetfagmødeellerdeltageriefteruddannelse.det betyder,atmanikkekansnakkeommatematiklærervidenirenforstand,men ommatematisklærervidenirelationtilengivensammenhæng.dervedses 68

69 matematiklærervidenbådesomsitueretogtætknyttettildeltagelseiforskellige praksisser. Ligesomlærervidenikkeeretrentindividueltanliggendeerdethellerikkeet rentsocialtanliggende.perspektiverneerbeggegivtigeogvigtigehverforsig,de komplementererhinandenogkanbrugestilatforståforskelligesiderafdet,der foregårimatematikklasserum: SocialPerspectiveandPsychologicalPerspective indicate,theframeworkinvolvestheexplicitcoordinationofthetwodistinct theoreticalviewpointsinclassroomactivity. (Cobb&Yackel,1996,s.176). CobbogYackel(1996)harbrugtdetolæringsperspektivertilforståelseaf eleverslæringimatematiklasserum,mendeterfordemikkeutænkeligt,at sammetermerkanbrugestilatanalyserelærerensagerenisamme matematikklasserum: thereissomeindicationthattheframeworkcanalsobe adaptedtoguideanalysesofteacherssociallysituatedactivity. (Cobb&Yackel, 1996,s.176).Idenforbindelseerdetvigtigtatgøredetklart,atperspektiverne errefleksivrelateredeoggensidigtbestemmerhinanden,såledesatingenafdem eksistereruafhængigafdenanden: Metaphoricallyspeaking,communalprocessesthatareintheforeground whenweadoptasocialperspectivebecomepartoftheunarticulated backgroundagainstwhichweconductpsychologicalanalyses,andvice versa. (Cobb&Yackel,1996,s.178). Enmådeatangribedetsocialeperspektiverpatternsofparticipation. 8.4 Undervisningimultiplikation Atlavelødigundervisningimultiplikationkræverlærerviden,jævnførafsnittet omlærervidenogballogmichigangruppensmodelafforskelligekategorieraf lærerviden.trodsvoreskritikafgruppensmanglendesocialeblikpålærerviden, ervoresintentionidetteafsnitatbeskrive,udfradeforskelligelærervidens kategorier,hvadenlærerskallæreforatunderviseimultiplikation.vivilikke beskriveallekategorierne,dadettevilbliveforbredtogoverfladisk,men koncentrereosomkategorienspecializedcontentknowledge(sck),idetden udgørdenmatematiskevidenogdematematiskefærdigheder,somerspecielt nødvendigeiundervisningssammenhænge. 69

70 Igennemdesidstetoårtierharmatematikkensdidaktikgennemgåeten reformændring.derersketetskiftiforståelsenaf,hvadmatematikfageter,og derersketensocialdrejningaflæringssynetimatematikundervisningen.dette harførttilstoreændringeriindholdetafundervisningenogligeledesde processer,derskalforegåimatematikundervisningen. ImålformuleringerfxPrinciplesandStandards(NCTM,2000)kanmanse reformenimålene,hvordererkommetvægtpåforståelseogproblemløsning, her3. 5.klasse: Understandmeaningofoperationsandhowtheyrelatetoone another og Identifyanduserelationshipbetweenoperations,suchasdivisionas theinverseofmultiplication,tosolveproblems. (NCTM,2000,s.148).Ogsåide danskefællesmål2009kanmanitrinmålenefor6.klassesevægtlægningenaf forståelse: Undervisningenskalledefremmod,atelevernehartilegnetsigkundskaber ogfærdigheder,dersætterdemistandtilat: deltageiudviklingaf metodertilmultiplikationogdivisionpåbaggrundafegenforståelse. (Undervisningsministeriet,2009,s.7). Matematiksessåledesikkelængeresomenmængdebegreberogfærdigheder, derskallæres,mensom..ahumansense makingandproblem solvingactivity. (Verschaffel&DeCorte,1996,s.99). Etafdeområderderspecieltharfåetstorfokus,ogsomervigtigtiforholdtil multiplikationernumbersense 2.Eksempelvisernumbersensebeskrevetiden førstestandardinctmsstandards: centraltothisstandardisthedevelopment ofnumbersense. (NCTM,2000,s.32).IdedanskeFællesMål2009beskrivesder fleresteder,atmåleteratudvikleellerstøttetalforståelsen: enfokuseringpå dentalforståelse,dermåbetragtessomkerneniarbejdetmedtal. (Undervisningsministeriet,2009,s.44). Begrebetnumbersenseeridesidstetoårtierblevetmegetbrugti uddannelseslitteraturen,såvelsomiblandtlærereoglæreruddanneretilat beskrivevidenomtal.oprindeligtblevbegrebetbrugttilatafbilledeennaturlig 2Dendanskeoversættelseaf numbersense ertalforståelse,menvianvenderherdenengelske betegnelse,idetoversættelsenikkeerheltpræcis. Number betydertal,mens sense betyderat forstå,menogsåatføleogsanse,hvilketerendimensionsomdendanskeoversættelseikkefår med. 70

71 ogintuitivevnetilatbedømmenumeriskestørrelserkorrekt,menefterhånden sombegrebetbruges,bliverdetbredereogbredere(kilhamn,2011): Numbersensecanbedescribedasagoodintuitionaboutnumbersand theirrelationships.itdevelopsgraduallyasaresultofexploringnumbers, visualisingtheminavarietyofcontexts,andrelatingtheminwaysnot limitedbytraditionalalgorithms. (Kaminski,2002,s.132). Numbersensebeskrivesoftesomathavecomfortogfriendlinessmedtalogat kunnerelateretaltilegneerfaringer(kilhamn,2011).endviderekanelevers forståelseoganvendelseafmatematikstøttesogudviklesafathavenumber sense.trodsforskelligedefinitionererdergenereltenighedomvigtighedenaf elevernesnumbersense.gersten&chard(1999)sernumbersensesom matematikkenssvarpå,hvadfonetiskeforståelseerforlæseområdet.denne megetkomplekseogmangefasettetforståelseafnumbersensebetyder,atdet ikkeernoget,somkanindskrivesienspecielmatematikgrundbogeller arbejdsbog.specieltdetatføle(tosense)krævermangeerfaringermedmange forskelligekategorierafsituationer.greenoskriver: Thedevelopmentofnumber senseresultfromthewholerangeofactivitiesofmathematicseducation,rather thanadesignatedsubsetofspeciallydesignedactivities. (1991,s.7).Disse ændringerbetyderblandtandet,ateleverneskalarbejdelængeremed forståelsenafdeforskelligebegreber.vershaffelogdecorte(1996)skriver,at eleverneskalstillesoverforenmasseforskelligemodelsituationerafspecifikke aritmetiskeoperationer.debeskriverfølgendemultiplikativesituationer: ligestoregrupper: 3childreneachhave4oranges.Howmanyorangesdo theyhavealtogether? multiplikativesammenligninger: Petehas3apples.Annhas5timesmore thanpete.howmanyapplesdoesannhave? rektangulærmønster: Whatistheareaofarectangle3meterslongby5 metersareawide? kartesiskprodukt: Ifthereare3routesfraAtoBand4routesfromBtoC, howmanydifferentwaysarethereofgoingfromatocviab? (Verschaffel &DeCorte,1996,s.114). Ipræsentationenafdeovenforforskelligemultiplikativesituationer,erdet vigtigt,ateleverneogsåpræsenteresforeksternerepræsentationer.herunder 71

72 oplevelsesfortællingerbaseretpåvirkeligehændelser,manipulativer,billederog diagrammer,sprogogskriftligesymboler.verschaffelogdecorte(1996) beskriver,atdetkunerefter,ateleverharhaftmangeogvarieredeerfaringer medatrepræsentereogforklareadditive ogmultiplikativesituationerviade eksternerepræsentationer,atdetgivermeningatarbejdevideremeddenmere abstraktedelafmultiplikation.detteerentilgang,derståristærkmodsætning tildentraditionelletilgang,hvoreleverneløserenmængdeabstrakteopgaverpå formellemådervedhjælpafudenadlærtealgoritmer Multiplikationafencifredetal Igrundskolenansesdetoftesomværendemegetvigtigt,atelevernelærerden lillemultiplikationsstabeludenad.fuson(2003)sætterspørgsmålved udenadslærenaftabellen,somindeholderikkemindreend100kombinationer. Foratsættedetiperspektivsammenlignerhunmedfølgendetabel,hvortaler skiftetudmedbogstaver. (Fuson,2003,s.77) Hunforeslåristedet,atderskalværefokuspådeforskelligemønstreitabellen (Kilpatrick,2001;Fuson,2003).Herunderkunnemaneksempelvishavefokuspå denkommutativelov,hvorenoperatorbesidderdenegenskab,atdener kommutativ,hvisplaceringenafoperandererudenbetydningforresultatetaf udregningen.foreksempelermultiplikationkommutativ,idetab=ba.det 72

73 betyder,atde100kombinationerifusonsmodelblivertil55forskellige resultater. Iundersøgelseraf,hvordaneleverharlærtdenlillemultiplikationstabel,viser detsig,atelever: laverencount onlistsforforskelligemultiplikationsprodukter.det betyder,atelevernetælleropognedevt.vedhjælpafderesfingrefraet produktdekender: Theyinventthinkingstrategiesinwhichtheyderive relatedproductsfromproductstheyknow. (Fuson,2003,s.76). brugerskip count metodentilatmultipliceretoencifredetal: Theythen countonandcountdowntheselistsusingtheirfingerstokeeptrackof differentproducts. (Kilpatrick,2001,s.191). brugerrytmertilatlæredissetabeller: InJapanoralrhythmicchantingof thetablesisused. (Fuson,2003,s.77).Entilgangsomderogsåharværet initiativertilheridanmark Multiplikationafflercifredetal Atlæreatbrugeenmultiplikationsalgoritmehartraditioneltværetenstordelaf skolensmatematikundervisning,menmultiplikationsalgoritmererretofte sværeatforståoganvende.enalgoritmeerentrin for trinprocedurefor, hvordanmankanmultipliceretotal,enproceduresommankanbrugepåden sammemådetilløsningaflignendeproblemeriforskelligesituationer: algorithmsillustrateasignificantfeatureofmathematics:thestructure ofproblemscanbeabstractedfromtheirimmediatecontextandcompared toseewheateardifferent lookingproblemscanbesolvedinsimilarways. (Kilpatrick,2001,s.196). Derermangefordeleved,atelevernelærerenalgoritme,fxkanenalgoritme væreetbrugbartværktøj,idetforskelligeprocedurerikkebehøveratblive opfundetpånyforhvergangetproblemskalløses.derharidesidsteårværet storkritikafdenbegrænsedeværdiafalgoritmer,hvilketivissetilfældeharført til,atlærerefuldstændigafviserarbejdetmedalgoritmeri matematikundervisningen.detteansesdogafgravemeijeroggalen(1993)som enmisforståelse,ogdehenvisertilvigtighedenafforståelsenafalgoritmen,da 73

74 dererstorsammenhængmellemforståelsenafalgoritmenogfærdighedeniat brugeden.pådenenesiderøgerforståelseforalgoritmenbåde begrebsforståelseogprocedurebeherskelse: Incontrast,instructionalprogramthatemphasizeunderstanding algorithmsbeforeusingthemhavebeenshowntoleadtoincreasesinboth conceptualandproceduralknowledge.sothereissomeevidencethat understandingisthebasisfordevelopingproceduralfluency. (Kilpatrick, 2001,s.196 7). Begrundelsernebagdetteerflere:Udviklingenafselvealgoritmenerenformfor problemløsning(kilpatrick,2001)ellermatematiskmodellering(verschaffel& DeCorte,1996;Gravemaijer&Galen,1993).Elever,derharudvikletderesegen korrektealgoritme,gårtilmatematikkenmedselvtillidistedetforfrygtog tilbageholdenhed(kilpatrick,2001).alleeleverharbrugforhjælptilatudvikle deresegenmetode,ognogleeleverharbrugforlangtmereendandre. Begrebsmæssigeogprocedurefærdighederkandogbliveudvikletinteraktivt, dvs.hvisdeneneudvikles,hardetindflydelsepå,atdenandenogsåudviklesog omvendt: Conceptualandproceduralknowledgemaydevelopinteractively,with gainsinoneleadingtogainsintheother,whichinturntriggernewgainsin thefirst.thusproceduralknowledgecouldalsoinfluenceconceptual understanding Undersomecircumstances,childrenfirstlearnacorrect procedureandlaterdevelopanunderstandingoftheconceptsunderlying it. (Gersten&Chard,1999,s.26). Mankansåledespådenandensideogsåfåforståelsenaffx multiplikationsalgoritmenefter,atmanharlærtatbrugeselvealgoritmen.når eleverneskaludviklederesmetodetilmultiplikationafflercifredetal,findesder mangeforskelligeindgangsvinkler.blandtandetkanbrugenafkonkrete materialertilatrepræsenterehundrederne,tierneogenerneværeeffektiv,hvis dissematerialerhjælperelevernetilattænkepå,hvordanmaterialernehænger sammenmedprocedurer.samtidigskalmanværeopmærksompåde mulighederogbegrænsninger,derliggeribrugenafdekonkretematerialer. Meira(1998)indførerbegrebetgennemsigtighedsomenmålestokfor,hvorgodt 74

75 etkonkretmaterialeer.ereleverneistandtilatseigennemmaterialetog dermedfåadgangtildenmatematik,somerlæringshensigtenmedmaterialet. Dethandlerogsåomathaveenhøjgradafforståelseforpositionssystemet,idet forskningharvist,atdetersværtatudvikleprocedurebeherskelseaffx multiplikationafflercifredetaludenenforståelseaf10 talssystemet: Ifsuch understandingismissing,studentsmakemanydifferenterrorsinmultidigit computations. (Kilpatrick,2001,s.199). Dendistributivelovanvendesogsåofteimplicit, nårmanmultiplicerertotal,hvorafetafdemer to ellerflercifret.rektangelettilvenstrehar højden3ogbredden(a+b).dettekunnegodtses som3x24,hvora=20ogb=4.arealetkanenten udtrykkesved3(a+b)eller3a+3b,detvilsigesummenafdetoarealer:3x20+ 3x4.Detbetyder,atforståelsenafdendistributivelovervigtigforatforstå multiplikationafto ellerflercifredetal. Arraysbeskrivesafflere(Verschaffel&DeCorte,1996;Kilpatrick,2001;Fuson, 2003),somengodrepræsentationformultiplikation.Arrayogeventueltareal givernetopengodforståelseafeffektenmedatmultipliceremed1,10og100. (Kilpatrick,2001,s.208) GravemeijerogGalen(2003)beskriveraktivitetenalgorithmetizingsomet alternativtilatunderviseialgoritmer.debeskriver,atundervisningbaseretpå 75

76 brugafkonkretematerialerikkeereffektivogbegrunderdetmed,at undervisningialgoritmerofteskeriisolation.detvilsige,atelevernei princippetgodtved,hvordanmanbrugerenalgoritme,mendelaverfejli, hvornårdeeranvendelige: Insteadofconcretizingmathematicalalgorithmsfor thestudents,theteachercanletstudentsdeveloporreinventthealgorithms themselves. (Gravemeijer&Galen,2003,s.114).Reinvention processen begyndermedenomhyggeligudvalgtkontekst 3.Konteksteretbegreb,somflere forskereharfokuspåogfinderbetydningsfuldt(vershaffel&decorte,1996; Kilpatrick,2001).Afsluttendemåvikonkludere,atderikkefindesénvejtil læringafmultiplikationafetellerflercifredetal. Vihariovenståendeafsnitbeskrevet,hvilkenlærervidenenlærerskalhavefor atkunneunderviseimultiplikationudframichigangruppens lærervidenskategorisck,menderfindes,sombeskrevetogsåandre lærervidenskategorier,ogdererikkeenfuldstændigafgrænsetlinjeimellem dissekategorier.blandtandetkanderargumenteresfor,atdetbeskrevneafsnit ogsåhandleromknowledgeofcontentandstudents(kcs),somkombinerer videnomkringdetfagligematematikindholdogelever.hvorlærerenskalkunne reflektereover,hvilkenafdebeskrevnetilgangetilmultiplikation,somden enkelteelevfinderinteressantogmotiverende ogikkeforvirrende. Afsnittetbredersigogsåtilknowledgesofcurriculum,sombeskriverdenviden, lærerenskalhaveom,hvornåreleverskalundervisesimultiplikationaf enkeltcifredeogflercifredetal.matematiklærereni1.klasseskalnødvendigvis haveetindbliki,hvadeleverneskallære,nårdenåri3.klasse,såledesatdeer medtilatbyggeetfundamentforsenerelæring. Foratholdeoverblikoverdetbeskrevneafsnitharviherlavetetbegrebskort, derillustrererdebeskrevneområder. 3 GuidedreinventionerRMEsbetegnelsefordenproceshvorundereleverneudviklermetoderog begreber,vedfortsattematematiseringerafomverdensfænomenunderdenvejledningderkan etableresiundervisningen.rme(realisticmathematicseducation)erentilgangtil matematikkengrundlagtafdenhollandskematematikdidaktikerhansfreudenthal. 76

77 8.4.3 Begrebskort:Undervisningimultiplikation 77

78 8.5 PatternsofParticipation Vivilifølgendeafsnitdefinereogbeskrivebegrebernepraksis,deltagelseog kontekst,somalleharenrelationtilbegrebetpatternsofparticipation. Intentionenerendybereogmerenuanceretforståelseforbegrebet Praksis Wengerbeskriverpraksissomhandling(2004),menikkeblothandlingiogaf sigselv.deterhandlingienhistoriskogsocialkontekst,dergiverdet,vigør, strukturogmening.praksissesafwengeraltidsomensocialpraksis.skott (2009)erenigidetteogbeskriverpraksissomtætforbundettilkontekst. Wenger(2004)beskriveryderligere,atenpraksisbådekanværeeksplicitog tavs,detvilsige,atenpraksiskanværedet,derudtales,menogsådet,derikke bliversagt,eksempelvisdet,derpåenellerandenmåderepræsenteres,antages ellermåsketagesforgivet.wengerskriver,atenpraksiskanomfatte: sprog,redskaber,dokumenter,billeder,symboler,veldefinerederoller, specificeredekriterier,kodificeredeprocedurer,reguleringerogkontrakter, somforskelligepraksisserekspliciterertilenrækkeformål.mendet omfatterogsåalledeimplicitterelationer,tavsekonventioner,subtile ledetråde,ikkeudtryktetommelfingerregler,genkendeligeintuitive forståelser,specifikkeopfattelser,velafstemtefølsomheder,legemliggjorte forståelser,grundlæggendeantagelserogfællesverdensbilleder. (Wenger, 2004,s.61). Mangeafdisseblivermåskealdrigartikuleret,menWengerbeskriverdem alligevelsomtegnpåmedlemskabiforskelligepraksisser.praksisserkanogså beskrivessomvirtuelle,idetdeforholdersigtilfællesskaber,derikkefindes fysiskiklasserummetellerpåskolen(skott,2009).foreksempelkanenlæreri løbetafinteraktionmedenelevtrækkepåpraksissermedkollegaer, skoleledelse,forældreellerdeltagernefrasintidligerelæreruddannelse.en lærervilaltsåmanøvrererundtienrækkeafforskelligeeksplicitteogvirtuelle praksisser.nogleafdissepraksisserkaneksempelvisværefralærerenstidligere engagementisocialepraksisser,menersåblevetformetanderledesogeventuelt sammensmeltetmedandreognoglegangeændrettiluigenkendelighed,nårde 78

79 bliversatsammenidenenkeltesituation.vibrugertermenpraksissomet socialtfænomen,idetpraksisikkehørertilnogetenkeltindivid.enlærers deltagelseidissepraksisserimatematikklasserummetbliverderveden meningsskabendeaktivitet,hvorilærerenforhandlerogbidragertildenfortsatte regenerering.fradetteperspektivbliverundervisningetspørgsmålomat manøvrereogengageresigiforskelligeogindimellemgensidige modsætningsfyldepraksisser. Sprogspillerenafgørenderolleidisseforskelligepraksisser: Weuselanguage togetrecognizedasengaginginacertainsortofpracticeoractivity. (Gee,2011, s.17).praksissernebliverdervedopbyggetgennemsprogetogsprogetbliveret vigtigtelementibeskrivelsenafbevægelseniogmønstreneideforskellige praksisser,ogmankansepraksissersomuadskilleligefrasproget: Whenwethinkaboutpractices,weconfrontasignificant chickenand egg sortofquestions.whatwesay,do,andareinusinglanguageenacts practices.atthesametime,whatwesay,doandarewouldhaveno meaningunlessthesepracticesalreadyexisted.whichcomesfirst:a practice orthelanguage. (Gee,2011,s.17) Deltagelse Wenger(2004)anvenderudtrykketdeltagelsetilatbeskrivedensociale oplevelseafatleveiverden,sommedlemskabisocialefællesskaberogaktivt engagementisocialeforetagender.deltagelseeridenforstandbådepersonligog social.deterenkompleksproces,derkombinererhandling,samtale,tænkning, følelseogtilhørsforhold.deltagelseomfatterhelevorespersonherundervores krop,bevidsthed,følelserogsocialerelationer.voresanvendelseafudtrykket deltagelseliggerligesomwenger(2004)indenfordenalmindeligesprogbrugog enordbogsdefinitionafdeltagelse: Atværemedinoget, Atmedvirketil, At levesigindiensituation og Atværefællesmedandreom (Deltagelse,2011). Dissereferererbådetilendeltagelsesprocesogtilderelationertilandre,der afspejlerdenneproces.wenger(2004)beskriver,atdeltagelsekansessomen kildetilidentitet,etdefinerendekendetegnveddeltagelseermulighedenforat udvikleendeltagelsesidentitet,dvs.enidentitetkonstitueretgennem deltagelsesrelationer.deltagelsehandlersåledesommereendetdirekte 79

80 engagementibestemteaktivitetersammenmedbestemtemennesker.deltagelse sættermeningsforhandlingiforbindelsemedvoresforskelligeformerfor deltagelseiforskelligefællesskaber.deltagelseerikkenødvendigvis ensbetydendemedetsamarbejde,mendetkanværeforbundetmedallemulige andreformerforrelationer,konfliktbetonedesåvelsomharmoniske, konkurrerendesåvelsomsamarbejdsvillige.denudgørenkonstituerendedelaf voresidentitet.deltagelsesomsådanerikkenoget,vitænderogslukkerfor.ud fradetteperspektivervoresdeltagelseiverdensocial,ogsånårdenikkeer tydeligforbundetmedsamspilmedandre. Sprogansesligeledessomvigtigideltagelsen,idetsprogettilladerosatgøre forskelligeting,mensprogettilladerosogsåatværeforskelligeting: inlanguage,thereareimportantconnectionsamongsaying(informing) doing(action)andbeeing(identity),ifisayanythingtoyou,youcannot reallyunderstanditfullyifyoudonotknowwhatiamtryingtodoandwho Iamtryingtobebysayingit.Tounderstandanythingfullyyouneedto knowwhoissayingitandwhatthepersonsayingitistryingtodo. (Gee, 2011,s.2). Ordenekanværedesamme,mendebetyderforskelligeting hvemvier,og hvadvigør Kontekst Almindeligvisreferererbegrebetkonteksttildeumiddelbarefysiskeogsociale omgivelser 4.Begrebetkontekstbliverbrugtmegetforskelligt,ogdetharogså væretgenstandfordiskussionimangeartikler(lave,2003;wenger,2004). Kontekstkanbeskrivessom: acontainerintowhichthingsareplaced.itisthe con thatcontainsthe text,thebowlthatcontainsthesoup.assuch,itshapesonlythecontoursof itscontents;ithasitseffectsonlyatthebordersofthephenomenonunder analysis.[ ]Thesoupdoesnotshapethebowl,andthebowlmostcertainly doesnotalterthesubstanceofthesoup. (McDermott,1996,s.282). Denneforståelseafkontekstpasseroverensmeddenforståelse,atnogetder 4Nårviiforbindelsemedmultiplikationsopgaverbrugerbegrebetkontekst,refererervitilde umiddelbarefysiskeogsocialeomgivelser. 80

81 læresienkontekstikkenødvendigviskanoverførestilenandenkontekst, hvilketoftebeskrivessomtransferproblematikken.skott(2009)bruger kontekstpåfølgendemåde: Iviewcontextsasshifting,intersubjectively established,andcontinually(re )generatedsettings. (Skott,2009,s.30).Dette betyder,atskottserkontekstensomkonstrueretafindividuellepersoner,mens dedeltageripraksis.hankritisererderforwengerskontekstdefinition,forkun atværedenenesideafsagen: practiceiscontextualdoing,butpracticealso (re )generatescontext. (Skott,2009,s.31).Mankanigenheroverveje,hvadder kommerførstkontekstellerpraksis! Ibeskrivelsenafdeforskelligepraksissererkontekstenenvigtigdel,idetvi ligesomskott(2009)mener,atkontekstenermedtilatdannepraksisserne, menspraksisserneogsåermedtilatdannekonteksten.enhverbeskrivelseaf kontekstkanderforpåvirkeforståelsenafdeforskelligepraksisserogi empiriafsnittetbliverderderforstorfokuspåatbeskrivelærernesogden studerendesforskelligekontekster PatternsofParticipation Enundersøgelseafdeltagelsesmønstreneideforskelligepraksisser,medfokus pådeltagernessprogogkontekst,kanogsåsessomendiskursanalyse.en diskursanalyseerstudietafsprogbrugenindenforetkommunikerende fællesskab.derfindesmangetilgangetildiskursanalyse.endiskursanalysekan handleomatundersøgeindholdetafdetsprog,derbliverbrugt,andreharmere fokuspåstrukturenafsprogetherundergrammatikkenelleranvendelsenaf specifikkeord.fokusliggerpåatidentificereogtolkedesprogligestørrelser, somkarakterisererogunderstøtterforståelsenaftaleogtekst: Lookingclosely atthestructureoflanguageasitisbeingusedcanhelpusuncoverdifferentways ofsayingthings,doingthings,andbeingthingsintheworld. (Gee,2011,s.9). Sprogbliverhervedensocialinteraktion.Gee(2011)beskriverDiskursermed stortforbogstavdpåfølgendemåde: Iusetheterm Discourse withacapital D forwaysofcombiningand integratinglanguage,actions,interactions,waysofthinking,believing valuing,andusingvarioussymbols,tools,andobjectstoenactaparticular sortofsociallyrecognizableidentity.thinkingaboutthedifferent 81

82 Discoursesapieceoflanguageispartofisanothertoolforengagingin discourseanalysis. (Gee,2011,s.29). Gee(2011)beskriver,athansDiskurs termologikanbrugestilatdække aspekterafdet,andreharkaldtdiskursereksempelviswengersbegreb Communitiesofpractice.AtbrugebegrebetPatternsofparticipationkanpå sammemådesomgeesdiskursanalysesessomenmådeatanalysere klasserummetspraksispå.patternsofparticipationhandlerbådeom deltagelsesmønstre,herunderhvaddetvilsigeatdeltage,menogsåmønstrenei demåderdedeltageriforskelligepraksisserpåogbidragertilderesfortsatte genforhandlingiforskelligekontekster. 82

83 9 Problemfeltiteoretisketermer Efterenindføringiflerevigtigeteoretiskeområdererdetnumuligtatpræcisere problemformuleringen.dererhidtillagtflereteoretiskeperspektiverpå lærerensinteraktionidetemergerendeklasserumherunderbeliefog lærerviden.beggebegreberantagerenindividuelvinkelpålærer og klasserumsproblematikkerogerhovedsageligtkobletoppå tilegnelsesmetaforen.voresambitioneristedetatlæggeenmere deltagelsesorienteretvinkelpåområdet.tilformåletvilvibenytteosafbegrebet patternsofparticipation.intentionenispecialeterdermedenundersøgelse,om oghvordanlærerensdeltagelseisocialepraksisserharbetydningidet emergerendematematikklasserum,ogomoghvordanpraksismønstrenespiller enrollefordepraksisser,deremergererimatematikklassen.kontekstog praksiseruadskillelige,ogdervilderforogsåværefokuspåkonteksteni beskrivelserne.intentionenerikkeatbeskriveogafdækkekausaleeller semikausalesammenhængemellemdeltagelseiforskelligepraksisseriforhold tilklasserumspraksissen,menderertaleomrelationellesammenhængeimellem lærernesdeltagelseogagereniforskelligepraksisseroghermedogså klasserumspraksissen. 83

84 10 Analyse,fortolkningogdiskussion 10.1 Læsevejledningtilanalyse,fortolkningogdiskussion Ifølgendeafsnitvilvianalysereogfortolkeflereudvalgteklipogsammendrag fraastrids,susannesograsmus interaktionidetemergerende matematikklasserum.indenvidiskutererselveepisodernefraklasserummet,vil visepå,hvordanastrid,susanneograsmushverforsigrelaterertilforskellige socialepraksisser.nårvirefererertilpraksis,talerviikkeomuafhængige observationerellerresultaterafempiriskeundersøgelserafpraksisserne.i stedetrefererervitildenmening,astrid,susanneograsmussynesatbrugeifx interviewene deterpådenmådevoresfortolkningafderesreferencerogvores fortolkningafobservationerafforskelligekontekster.eksempelvisbruger Astrid,SusanneogRasmusikkebegrebetreform,detervoresfortolkning. Efterpraksisbeskrivelserneogdereseventuelleindbyrdesforhold,beskrives multiplikationsundervisning,hvorefterundervisningsepisoderitransskriberet formmedtilhørendeillustrationerpræsenteres Astridsdeltagelseiforskelligepraksisser Astriderenerfarenlærer,hunbrugeriinterviewenesineforskellige professionelleogefteruddannelsemæssigeerfaringertilatpositioneresigi forholdtilenrækkeforskelligepraksisser.vivilidetfølgendeafsnitkommeind påseksafdisseadskilteogoverlappendesætafsocialepraksisser.astrider engageretienskolepraksis,enovervejendevirtuelsamarbejdspraksismed lærernepåskolen,enefteruddannelsespraksis,eneksplicitverbalmetadiskursiverfaringsbaseretpraksisogenpraktikpraksis Skolepraksis:Enfortællingomledelsenogrummelighed IkraftafsintidligerepositionsomtillidsmandharAstridarbejdetendel sammenmedledelsenogpåtæthåndsetbeslutningerblivetruffet.astrid beskriversamarbejdetsom: Detharisidsteendeværetformegetformig,fordi jegsåikkeharhaftlederensbeføjelser. (Astrid,interview1),ogvidere,jeg: harværetrodetindialting,menharikkekunnesige(.).jegharikkekunne 84

85 bestemmevel?detharværetanstrengende (Astrid,interview1).Pådenmåde kanmanseastridsompassivibeslutningsprocessernemedentvungenperifer pladsipraksissen.hunharviasinpositionikkemulighedforatbliveenmere centralmedspiller.nogleafdeprioriteringerledelsentager,erastridikkeenigi, herunderatskolenikkeharfagmøder,ogatderikkeernogetfagudvalg.astrid fortæller,atskolenderimodharprioriteretatbrugederesressourcersåledes: viharbrugtsindssygtmegetenergipåatarbejdemeddesværebørn derkandet nogengangeværepåbekostningaffagligheden,ognårmanikkerammerdem fagligt,såtabermandempågulvet (Astrid,interview1).Astridmener derimod: nårdetfungerergodt,såerdetogsåfagligt. (Astrid,interview1), dermedserhundetfagligeogpædagogiskearbejdesomtætoguadskilligt sammenvævet.astriderikkeeksplicitomkringledelsensprioriteringafden matematikfagligeefteruddannelseafalleskolensmatematiklærere,derforgik forhenholdsvisotteårsidenogetenkeltårsiden. Astridbeskriver,atledelsenharenvigtigrolleilærernesdagligevirke,specielt nårdetgælderlærernesudvikling.hunserenstorforskelmellemlærerensog ledelsensrolle: nogentilatsparkesigirøven,somerenandenendbareen kollega,tilatsige:duskal! (Astrid,interview1).Astridserdermedledelsen, somdenmedstyrendeogansvarshavendeenhed,derskaludstikkeden pædagogiske,didaktiskeogfagligeretning. IforbindelsemedsitskoleskifteudtalerAstridsig: serjegmegetfremtil, somerenledelse (Astrid,interview2)og Nukanjegsiddeogsnakkesom medarbejdertilenledelse,ogdetglæderjegmigheltvildttil (Astrid,interview 2),hvilketstårimodsætningtilhendestidligeredeltagelseiskoleledelsen. Enandendelafskolepraksissenbestårafhåndteringafskolenselevgruppe.Som tidligerenævnterelevgrundlagetmegetforskelligtogbestårbådeafmeget dygtigeeleverogeleveribådefagligeogsocialeproblemer.pårosenengskolens hjemmesidebeskrivesskolensgrundholdning: atlæringogudviklingbedstskerifællesskaber,igodeanerkendende relationerogienpositivstemning.vibestræberospåatsebørnenes styrkesideroganstrengelseristedetforatfokuserepåfejlogmangler. 85

86 Rosenengskolenserdetsomsinopgaveatskabeundervisningogfritid,der giverdebedstemulighederforlæringogudviklingforalleskolensbørn. Viarbejderforetligeværdigtkulturmødeogdermedinddragelseaf børnenesforskellighedpåligefodidetdagligesamvær,ilegesituationerog iundervisningen. (Rosenengskolenshjemmeside,anonymiseret) Dervederskoleneksplicitominklusionafeleverogsætterfokuspåfællesskabet. Astriderligeledeseksplicitomkringsineinklusionsønskerafeleveriklassenog begrunderdetteierfaringerfrasinbarndom: Jegtrornogetenormtgrundlæggendeer,atmanharevnernetilatskabe derelationertilungerne,dergørdet,minbaggrundogkæmpefamilieog masseafmennesker,oghvadvedjeg.øhh.mineforældrederlukkedealle muligeskæverterindimithjemogsådan sågrundlæggende.dererjeg ikkebangeforattrædeindisådanenny,øhøh,flok,ogøhh,ogtropå,at demskaljegsgunoklæreatkende,ogderfårmanjomegetserveret. (Astrid,interview1). Astriderpådenmådeforberedtpå,hvordaneleverogforældretænker forskelligt.ietkonkrettilfælde,hvorenmorønskede,athendesbarnskulle siddeadskiltfrarestenafklassen,fikastridvendtdettesåpigenblevendelaf fællesskabet. Opsummerendebestårskolepraksissenafforskelligrettedeprioriteringermed hensyntilskoleudvikling,enudviklingastridikkeerenig.etandetcentralttema ipraksissenerderesfællesrummelighedoghåndteringafskolensvarierede elevgruppevedinklusion Lærersamarbejdspraksis:Læreridentitet,gejstogkultur Astridbeskriver,athunharstorglædeafatarbejdeiteams,sparremed kollegaeroglavefællesforberedelse.indholdetiteamsamarbejdetervarieretog bestårbådeaforganisatoriske,matematiske ogmatematikdidaktiske diskussioner,hvorlærernediskutererdetaljeriundervisningen.astridgiver udtrykforvigtighedenafetgodtteamsamarbejde: Jegerheltvildmeddender læreridentitet,ellerdenderlærergejst,manskalhavenogenoghavegejsten sammenmed. (Astrid,interview1),oghunbliverfrustreret,nårderikkeer 86

87 nogeniteamet,hunkanlavedenvigtigesparringsammenmed: derharikke væretnogenatblivebegejstretsammenmed. (Astrid,interview1)ogfortæller yderligere,atetmanglendesamarbejdekanværefatalt: fordimanbliverkvalt iikkeatfå,altsådengejstdetgiveriatsparresammen,ik'? (Astrid,interview1). Hvissamarbejdetderimodfungerergodt,såerdermuligheder: hvisnumanhardetrigtigeteam,såkanderkommetilatskerigtig mangegodetingidetteam,fordifolkså,altsåderertraditionfor,atman ermegetfleksibel,ermedpåatting,derskalskeogharnoglegode traditionerpåskolen. (Astrid,interview1). Astridbeskriver,atdeterlærerneselv,derskaberkulturenisamarbejdsteamet, ogat: Såskalmanselvudogfådetorganiseret (Astrid,interview1).Astrid harbådeoplevetgodeogdårligeteams,desværreharudviklingenværeti negativretning: delserder,synesjeg,viharhaftdenderrosenengsånd,somvi gernevilleværneom,ogdetharværetsvært,og,ogholdeoppe (Astrid, interview2),men: jegharprøvetdetmestpåondtdesidstetoårik? (Astrid, interview1).iforbindelsemedsitskoleskifteudtalerhun: denmådeat arbejdemedmatematikpå.detkommerjegtilatsavneheltvildt. og: Jamen,der errigtigmegetafdetmiljøher,somjegerrigtigtrætafatskullevækfra (Astrid,interview2).Ogimodsætningtiltidligere,hvorAstridbeskriver samarbejdetsomenfundamentaldelafsinlæreridentitet,fortællerhunnu"... jegkanogsåheltfintsiddeogforberededetselv,synesjeg."(astrid,interview2). OpsummerendebeskriverAstridlærersamarbejdspraksissensomendelafsin professionellelæreridentitetogsometcentraltomdrejningspunktforsit lærervirke.lærersamarbejdspraksissenkanogsåsessommereellermindre virtuelogvilsandsynligvisforsvindevedetskoleskifte Skolepraksisoglærersamarbejdspraksis Skolepraksissenoglærersamarbejdspraksissenerdynamiskestørrelser,somtil tideroverlapperhinandenogeruadskillelige.detteerfxtilfældetiønsketom udviklingogprioriteringenaffagligefteruddannelse.praksisserneeriastrids optiktilandretiderdivergenteoghunser,atpraksissernearbejderiforskellige ogikkeforeneligeretninger.detteerfxtilfældetistyrkelsenafdetfaglige 87

88 samarbejdeogdenfagligeudvikling.ledelsenerpådenmådeendirekteårsag til,atastridgårpåkompromismedsinlæreridentitetogdetcentrale samarbejde.astridvælgeristedetenmodel,oghvorledelsenertydeligere. åriggrundfag.detførsteår,astridskulleunderviseimatematikpå Rosenengskolen,faldtsammenmed,atskolensmatematiklæreredeltogiet fagligt didaktisk supervisionsforløbmedjohannejohansensomunderviser: Altsåvivarsammenomdet,såviplanlagesåsammenogfikhendepå besøgogfiksupervision,oghunerenfantastisklærer,sådetgav,detvar barerigtiggodtiming. (Astrid,interview1). Hvilketgjorde,atAstridblev: rigtigtændtpåmatematikken. (Astrid, interview1).åretindenviobservererastrid,ogomkring8årefterførste Efteruddannelsespraksis:AthaveJohanneinakken Astridharsomtidligerenævntikkelinjefagimatematik,menmatematiksom1 efteruddannelsesforløb,deltagerlærerneietfagligt didaktisksupervisionsforløb,hvordererfokuspålærerneskonkreteklasserumspraksis ogdenuværendefællesmål.astridereksplicitomkringefteruddannelsens indvirkningpåsinundervisningen: Mendersynesjegjo,atmanfårvildtmeget foræretvedathavehaftjohanneinakkenideår. (Astrid,interview1)og: Altså, atdetherdeterligemig,ogjegflyttermig,ogjegkanselvse,atjegflyttermig. (Astrid,interview1).HunbeskrivervidereforholdettilJohannesom: atfordi jeg,erblevetopdragetafjohanne. (Astrid,interview1).SpecieltlæggerAstrid vægtpå: Detharihvertfaldhaftstorbetydning,ogsåfordivibrugtedettilat snakkesammenomdet Atvigikindimatematiktænkningenbag.Ogdetharviså gjortmangegangesiden... (Astrid,interview1).Pådenmådeerdetikkekun efteruddannelsensindhold,dererbetydningsfuldforastrid,menogsåselve formen,hvorlærernesamarbejderoggørbrugafhinandenienfaglig sammenhæng.efteruddannelsenhængerdervedogsågodtsammenmeddet, somastridbeskriversomrosenengsånden,oghvadhunbeskriversomendelaf sinlæreridentitet. Astridfortæller,athunpågrundafefteruddannelsenerbegyndtatlæggemeget vægtpåvigtighedenafdetatsporesigindpåelevernestænkning: Mankommer joingenvegneudenatsnakkemeddederungervel?oghørehvordandetegentlig 88

89 er,detænker. (Astrid,interview1).Johannehariefteruddannelseskursetlagt megetvægtpådialogeniundervisningen,detteerentilgang,somastrid ligeledesharfokuspå.astridsiger:snaksammentoogto,dervedfåralle mulighedforatsigenoget. TrodssinstorelysttilatudviklesigerAstrideksplicitomkring,athunikkeer godtilatlæseteoretiskfagligtmaterialeogudtaler: mendetvilleklædemig, attæskehelematerialet[fællesmål]igennemengangtil (Astrid,interview2). Astridbeskriveryderligere: jegharikkesånemtvedord og jegharikke læstsåmeget,menjegharheldigvisfåetlovtilathørepåmeget (Astrid, interview2).pådenmådeforholderastridsigeksplicittil,hvordanhunlærer,og udtaler: Altså,jegermegetpraktikker (Astrid,interview1) Astridsundervisningsmæssigeerfaringspraksis:Atsamlepåoplevelserog reformorienteretundervisning Astriderenerfarenlærer,somharundervistimangeår.Hunereksplicit omkringbetydningenafdetteogfortæller,athunsamlerpågodeoplevelser: Ogsåerdetsådansetbareårelangudvikling,detdermed,oglærernegør detjoikkebarevel?defalderjotilbageogsiger; dengangjegvarbarn,der gjordevisådan,ik'? ((griner))såforstådetdog!((griner))så,øhh,såhar jegbaregjortmigumageforatsamlepådederoplevelser,oghervirkede det,oghervirkededet,ogsåheletidenprøveattageskridtenevideremed det. (Astrid,interview1). Astridfortæller: selvfølgeligfårmanhverenestegang,manunderviser,enny erfaring,sommankanblivelidtklogerepåik? (Astrid,interview1).Efterhånden somastridharsamletflereogfleregodeoplevelser,haroplevelsernefået betydningiundervisningen: Nej,ogdersidsteår,derkunnejegmærke,atderhavdejegfåetsåmange årserfaringer,altsådenderenormtstorelærerstyringivirkeligheden medatgivepladstil,atdekanudfoldesig.,atdeførsteår,dervarjeg bareoptagetafdetdermed,atdeskullelæredetselv,atforstådetselv,men jegvarikkegodnoktilatfåsamletop,tilsige jamen,determig,derhar ansvaretforatvide,hvaddekan,oghvordeer,oghvaderdetså,deskal 89

90 haveafgodeknebforatkommevidereik?.mendetsynesjeg,atjeghar tagetetlilleskridtvidere (Astrid,interview1). Astridstidligeplanlægnings ogundervisningserfaringer,indenhunbegyndteat underviseimatematik,harværet: Jeglæstesimpelthenbaretresiderfremi bogen,ik? (Astrid,interview1).Detteerikontrasttilhendesnuværendetilgang tilundervisningen,oghendesmatematikoplevelserkanbeskrivesunderflere overordnedetemaer;proces produkt,problemløsning,dialog,kontekstog måltænkning. Proces produkt Astridhargjortsigflereerfaringerogovervejelser,omkringprocesproduktfokusiundervisningen.Herunder: manskalpassepå,manikkeladerdemkommeudpåherrensmark, uden,atdefinder,altså,detkomjegtilistarten,fordijegvarsåjohanne(.). Johannehavdejosagt,manikkemågivedemløsningen,ik?Ogsåialtdet der,dumåendeligikkegivedemløsningen,såfikjegdemjonoglegangeud inogetvære:rod,hæhæhæ,hvadhardethermeddetheratgøre,fordide ligesombarefiklovtilatfølgederestankegangderudaf,ik?ogsåfikjegjo ikkehevetdentilbagetil,hvaddetivir,egentligtibundoggrundhandlede om. (Astrid,interview2). menshunpåandretidspunktererfarede: vivilfxgernehaveprocessenind, mendetvifår,deterresultatet. (Astrid,interview2). Problemløsning Astridfortæller,athuniundervisningenharfokuspåproblemløsning: Såjeg prøvervirkeligikkeatservereopgavenfordem. (Astrid,interview2),men derimoderdeten oplagtmådeatlavedetderproblemtænkningpåik?ogfå stilletdederspørgsmål,sompludseligblivernogetandetendbaregørelæreren tilfreds (Astrid,interview2). Dialog Astridereksplicitomkring,atdialogiundervisningenervigtigt.Samtidigser hun,atdetikkeernemtfordenenkelte: Mankanjoikkebarebesluttesigforat havedetmod,atmanskalbrydeudienforsamlingogsige (Astrid,interview2). 90

91 Hunbenyttersigaf,hvadhunselvkalder: etnemtogbilligtkneb (Astrid, interview2),hvoreleverneskaldiskutereenproblemstillingtoogto,førdeskal diskutereiplenum.pådenmåde: derermangeflere,derfårsagtnoget,fordi deerikkesåbangefordet. (Astrid,interview2).Foratfådialogentilatfungere, såledesatalledeltager,gørastridbrugafettrick: menjegtror,tricketlidteri det,atmanikkegivernogenret. (Astrid,interview2).Astridbegrunder dialogensvigtighedmed: derfårdefaktisksagtnogleumanerligeklogeting (Astrid,interview2). Kontekst Astridbeskriverfleregrundetil,atkontekstenercentraliundervisningen.For detførste: manstarterentimehyggeligtop.ogfårdemtilatslappeaf,iatjeg behøverikkeatskullepræsenterealtmuligt,ikkerigtigtellerforkert,eller jegerikkedumellerklog,ellerjegerikketilmatematikellerikketil matematik.ogdetsynesjeg,dederhistorierogdenmådesådanatkomme indidet,dengiverdetder,(hhh)sådanlidtroimaven,hyggeligstemning, dergiverdemmodetpå,herkanjegsgunokgodtværemed. (Astrid, interview2). altsåensocialbegrundelse.fordetandetharkontekstenenevnetil,at eleverneskifterfokusfra,atregneforlærernesskyldtilatløseetbestemt interessantproblemogdervedløsekontekstproblematikken.astridbegrunder ogsåbrugafkonteksti,atelevernebliverproblemløsere.etafdekneb,astrid benyttersigafikonstruktionafenkonteksthistorie,er: Dererogsådetkneb,atmanselvernysgerrig,ogdeterjolidtligesom,når manlaverfastelavnogsiger,atmanerstærkmand,ik? Ah,erdetnudig Altsåik også.ogdetsammeerdetmeddehermatematikhistorier, ah,kan detnupasse? (Astrid,interview2). MensamtidigmedatAstridspilleretspil,erhunogsåvelklarover,athunikke erdeneneste: Despilleralligevellidtmedpådenalligevel.Lidtligesomhvisman erklædtudsomenstærkmand,ik? (Astrid,interview2). 91

92 Måltænkning Astridserfaringer,sommåskeogsåstammerfrahendesdeltagelsei efteruddannelse,harlærthende,atdetervigtigtathavefokuspåmåleti undervisningen: Jegharirigtigmangeår,synesjeg,skulleværemegetkreativimin undervisning,ogsatbørneneigangmedaltmuligt,såskulledeprøvedet pådenmådeder,denmådeogdenmådeogdenmåde,ogderharværet værksteder,ogderharværet,ojkyounameit.ogsåharjegbarehaftden fornemmelse,uhm,gadvideomdetskabtemereforvirringenddet.de havdedetdasjovt,mengadvideomdeegentligved,hvaddeter,deskulle lære,ha,idether. (Astrid,interview1). UdoverdetfagligeharAstridendnuetmålmedsinundervisning: determigheltvildmegetpåsinde,atungernedeskalkunnelide matematik nogetafdetallerallervigtigste,iskalkunnelidematematik, oghvisiikkekandet,såblivervivedmedatgørenogetveddet. (Astrid, interview2). DeterdervedikkenokforAstrid,atundervisningenblotersjov,derskalogså samtidigværeetfagligtindhold,ogeleverneskalværebevidsteommålet. Opsummerendepegerdeforskelligetemaertilsammenienreformorienteret retning,hvorogsåastridsdeltagelseiefteruddannelseoglærersamarbejdeeren uadskilleligdelheraf Praktikstuderende:Dengodelærerogpersonligudvikling Astridsstoreønskeomathavestuderendeerbegrundetitoområder,fordet første: Såtænkerjeg,viharenvigtigopgaveved,atviskalhavenoglefolktændte tildetatvære,atvilleværeskolelærer. (Astrid,interview1),ogfordetandet jegsynes,jegflyttermigselvveddet,ikke?altså,vifårjosimpelthenikke retmegetefteruddannelse detmåmansige,jo,ogøhh,deterdet,jeger tændtafvedatværelærer,deteratværeopmærksomheletidenogbliveen lillesmulebedre,oghavedenoplevelseaf,atjegkannogetidag,somjeg ikkekunneforbaretoårsiden. (Astrid,interview1). 92

93 MådenAstridudviklersigpåer: såderkommeviligesomogsådenandenvej om,såskaljegjopludseligforklare,hvorforjeggørting,ogdeterderogsånoget læring. (Astrid,interview1).Astridfårdervedmulighedforatobservere undervisningogreflektereoverdensammenmeddestuderende hvilketkan sessometsidestykketildenfaglige didaktiskeefteruddannelse. ForatforberededestuderendeharAstridflerefokuspunkter: Jegtror,noget enormtgrundlæggendeer,atmanharevnernetilatskabederelationertil ungerne.øhh,oghvismanhardet,såfårmanjosåmegetserveret. (Astrid, interview1),og deskallæreogkommeindogtageenklassetilsig lave tydelighed. (Astrid,interview1).Astridsammenlignerundervisningenmedat spilleskuespil: Detdermed,atmanfaktisklaveretlilleskuespil,mantænkernu træderjegindpåscenenogståroverforbørn,manharfokusder.sådefårtroen på,atdekangåindogmestredetderklasserumivirkeligheden Fordinårman kandet,såkanmantagefaglighedenindogså,ellerarhdethængerjosammen. Fordimanskalogsåhavestyrpåsinfaglighed,forellerssåkanmanikkegåindog lavedetandet,vel? (Astrid,interview1).Faglighedenervigtigfordi: såkan mangodtværelidtskrøbelig,hvisdetkunerpersonen,dereratfaldetilbagepå. (Astrid,interview1) FortolkningogdiskussionafCaseAstrid Astrid:Detfysiskemiljø Rosenengskolenbeståraf8husemedklasselokalerogfaglokaler.Astridslokale erstortogopdeltiforskelligeområder.ideneneendeaflokaleterenstor trappe,hvorelevernekansiddeligesomietauditorium.idenandenendeaf lokaletharelevernederesarbejdsborde,gruppebordetil4til5elever.enenkelt elevharsitbordplaceretopadvæggen.undervisningenbliverderveddeltindi fællesundervisningvedtrappen,selvstændigtellergruppearbejdevedbordene, ogsålaverastridengangimellemnoglefysiskeøvelserpågulvet,hvoreleverne kanrøresig.klasseværelsetersåstort,atdererpladstilrundkredsopgaveruden atskulleflytterundtpåinteriøret. 93

94 Astrid:Endobbeltlektionmedmultiplikation IdenobserverededobbeltlektionmedmultiplikationindlederAstridlektionerne medenbeskrivelseafenprivatproblemstilling.efterenfællesdiskussion omkringløsningenafproblemetskalelevernearbejdemedmultiplikationideres matematikbogvedgruppebordene.eleverneskalimatematikbogenfindeantal terniforskelligerektanglerogskrivededertilhørendemultiplikationsstykker. Opgavernekanløsesvedattælletern,mendeflesteeleveranvendermedfordel gentagenadditionellermultiplikation.elevernearbejderpådenmådemedden multiplikativesituationrektangelæremønstre.nåreleverneskalbrugedenlille multiplikationstabel,henviserastridtil,ateleverneharlærtnoglerytmerog sangeforbedreathuskemultiplikationsstykkerne.astridgårrundtoghjælper eleverne,samtidigordnerhunpraktisketing løserkonflikter,giveromsorgtil elever,finderelevernesbøgerfremogsnakkermedelevermedsærligebehov. Astridvisertydeligt,athunkanrummedenvarieredeelevgruppe.Etområde somtrækkerpåskolepraksissenoghendesprivateerfaringerfrabarndommen. Efterarbejdetvedbordeneskalalleeleverneigensættesigpåtrappen.Astrid indledermedensnakom,hvilketabellerdererlette,oghvordanmanganger med10.herefterintroducererhunennyåbenopgave,hvoreleverneskaltegne enstorfirkantogundersøge,hvormangeternfirkantenindeholder derernu fokuspåmultiplikationafflercifredetal.astridholderfastideresdiskussionfra tidligereom,atmankanlavegangestykkeraffiguren,ogatdeterletatgange med10.astridlæggeroptil,ateleverneselvkandifferentiereopgaven,således atdenfårkarakterafetproblem.problemeteridettetilfældeetrent matematiskproblemudenenindbyggetvirkelighedsnærkontekst. Astridhjælperdeelever,dermarkerer.Determegetforskelligt,hvordanhun hjælperdenenkelteelev.deflesteeleverfortællerderestankerogguides dereftervidere;nogleeleverfåretenkeltknebtilatgåvidere,mensastridmere konkretvisermetodertilandre.progressionengårfraattælleterntilfokuspå gentagenadditionmedtiellermultiplikation.astriderselvmegetbevidstom,at hundifferentiererelevhjælpen,ideteleverneharforskelligebehov,ogsåherses skolepraksissensinklusiontydeligt.afslutningsvissamlerastridop. 94

95 Astridsintroduktiontilmultiplikationsopgave ((Alleelevernesidderpåtrappenforanentavle.)) Astrid: Jegharligeetproblem.Viharværetvedatbyggeomderhjemme. VedI,hvaddeter,nårmanbyggerom? Eleverne: Ja. Astrid: Såviharfåetordnettagogvægge,ogjegvedikkehvad,ognusynes vijostortset,vierfærdige,vimanglerbareenting.viharsådanen lillegang,vedihvadenganger? Elever: Ja. Astrid:,jeghartegnetdenhergangopherude,ogviskalnemliglavedeti weekenden,.ikangodtseherommorgenen,hvordeterrigtigt koldt,vikommergåendepåbaretær,derergrusogaltmuligtder. Ogjegharlovet,høm,hamderPrinsHenrik,harjeglovetogkøbe fliserindtildengang,indendetbliverweekend.jegharetproblem, jegkanikkefindeudaf,hvormangejegskalkøbe.jegharfundet sådanenstørrelseflise,ogjeghargodtregnetud,atdersådankan være,nuskalise,omjegkanfådettilatpasse, ,jegved deter7,nuskaljegligetegnedet,ivedgodt,detbliverikkehelt nøjagtigt.jegved= Elev: Dukanbaretegneenfirkant. Astrid: Jegved,derkanvære7fliserher,ik'os'? Elev: Såkanderogsåvære7pådenandenog7imidten. Astrid: Prøvligeatværestille,Niko,nårjegfortæller.Vikanaltidsnakke sammensenere.jegved,derkanvære7der,ogjegved,atderkan være4der,fordijegharlåntenflise. VedIgodt,hvadflisererfornoget? Elever: Ja. Astrid: Veddudet,Meltin?Jegharlåntsådannoglefliserafnaboen,fordi, jegsynes,deerrigtigpæne,deersådanlidtrødesådanlidt boudouxrødeidetogfaktiskrigtigflotte.såjegharlåntnogleaf dem,ogsåharjeglagtdemop,dundundundundun,ogjegkan godtse,atderkanvære7derog4der.mendeharikkesåmange,så jegskaludogkøbe,menjegvedikke,hvormangejegskalkøbe.og såtænktejeg,omiikkegadathjælpemig?såhvisinuligesnakker sammenom,hvordanskaljeg,astridpastrid,regneud,hvormange fliserskaljegkøbe,såvikanfådemlagtpåheriweekenden. ((elevernesnakkersammen2og2,astridsættersignedsammen medmette,enelevgårtiltavlenogpeger,mensdesnakker sammen)) Astrid: Såertidengået.Skidtmedatmanikkeerfærdig,fordivivilgerne høre,hvadihartænkt. ((mangeeleversiddermedhåndenoppe))

96 96 Astrid: Øh,nuspørgerjeglige,schysschysschysschys,heyBatim.Nu spørgerjegligemetteogelinførst,hvadharisnakketom? Elin: Mankan,måjegtegnedet? Astrid: Ja,((giverElintussen))Guddenlugter,jegtroede,jeghavdebrugt denforkerte. Elin: Mankanførsttegnesådanherogsåvidereogvidere,nårmanhar lavetdethele,kanmantællehvormange.((elinpegerpåfirkanten, ogvisermedfingeren,hvordandetermuligtatudfyldefirkanten medfilse tern)) Astrid: Såhvisjegtegnededetpåetstykkepapir,ellerudeigangen? Elin: Nej: Astrid: Barepåetpapir,okay.Ogsåkunnemantælle,hvormangedervar, hvisjegtegnedealledederfliserop.jasuper,godide. Astrid: Ja,AndersogBatim. Anders: Dukanogsålave7gange4. Astrid: Hvorforkanjegdet? Anders: Deterfordideteneled,derer7,ogdenandendererder4.Såkandu gange7med4. Astrid: Såkanmangange7med4.Vilduligeskrivedet? Anders: Nej. Astrid: Skaljegskrivedet? Anders: Ja.((Astridskriver7gange4påtavlen)) Astrid: Jegskriverlige7gange4.Okay.HvadsigerFiratogMagnus? FiratogMagnus:((ikor))7gange3minus3. Astrid: VilIskrivedet?((Astridskriverpåtavlen))7gange(.)Firatog Magnus,3minus3? FiratogMagnus:7gange3minus3. Astrid: HvadsigerFiratogMagnus? FiratogMagnus:7gange3minus3 ((Astridskriverregnestykket7x3 3påtavlen)) Astrid: KanIligeforklare,hvorforlaverIsådanetregnestykke? Magnus: Fordidualleredeharalledeandre[fliserfranaboen]. Firat: Ogsåtagermanbaredemvæk. Astrid: Prøvprøv,ogkomogvisdet.Jegtrorgodt,jegkanregnedetud,men prøvligeatforklaredet.dumågodtstilledigoppåstolen. Magnus: ((Magnuskravleroppåenstologpegerpåtavlen))Duharallerede demder((7 søjlenog4 rækken,somharenflisetilfælles)),ogsåer detde73gange,mendererjoallerede3der,sådetskaljovære minus3. Astrid: Ja,fint.Detergodt,viharnogleelever,derkanhjælpemig,hva'?For ellerskunnejegdaaldrigfåstyrpådether. ((Herefterkommerderflereeleveropogfortælleromenmetodetilatfinde antalletaffliser.enenkeltelevspørgerafslutningsvisastrid,omhunnuharstyrpå sitproblem,ogenandenspørgerundrende,omastridsgangvirkeligersålille.)) (Astrid,undervisning2). Astridharherintroduceretmultiplikation,hvorhunblandtandettrækkerpåsit engagementidenmeta diskursiveerfaringsbaseredepraksis.astridhareksplicit

97 fokuspåflereaftemaerne,eksempelvisproblemløsningogkontekst.astrid brugerenkontekstomhandlendeegengangtilopstillingafet multiplikationsproblem.astridbeskriver,atkontekstengivermulighedfor,at bådehunogelevernespillermed,såledesatproblemetfårvirkelighedskarakter. Dettegårsåyderligt,atenelevefterpræstationafløsningsmetodernespørger indtil,omastridnuharstyrpåsitproblem,mensenandeneleverundrende omkringgangensstørrelse.brugafkontekstsomindgangtildematematiske problemerkansessomstartenpåelevernesreinvention proces.astridstrækker ligeledespådenmeta diskursiveerfaringsbaseredepraksis,nårhunikkekun harfokuspåresultatetiproblemet,menogsåpåprocessen.idetteuddraghører viikke,hvadresultateter,menelevernesforskelligeløsningsmetodertil problemet,ogastridspørgerikkeindtilresultatet,menvilhellerehøre,hvad eleverneharsnakketom,mensdeløsteproblemet.astridgodtagerforeksempel ogsåetmetodeforslag,derudspringerafetændretsynpåselve problemstillingen,hvorkontekstenigenercentral.elevernesforslagtil løsningsmetodeer7gange3minus3.eleverneleversighersåmegetindi konteksten,atdeideresoversættelsefraastridsvirkelighedsnæreproblem, medtænker,athunalleredeharlåntflerefliserhossinnaboogderforikke behøveratkøbesåmange. IklasserumsinteraktionenharAstridogsåfokuspåelevernessprogogdialog. NårAstridpræsentererproblemstillingen,erhunmegetopmærksompå,at eleverneforståralleordeneogspørgerfleregangeindtilderesforståelseaf enkelteord.dettegørhun,fordihunharerfaret,atfleretosprogedeeleverikke altidforstårdeforskelligedagligdagsbegreber.dialogenerligeledesifokus,når Astridbenyttersigafknebtilatfåelevernetilatsnakkesammen2og2,såalle dervedbidragertilfællesskabet.astridafviserellergodkenderingenafde forskelligeløsningsforslag,hvorfordersåledesbliverpladstilalleforslagene. Astridtrækkeriinteraktionenpåsitengagementiefteruddannelsespraksissen. Hunhar,ligesomJohanne,megetfokuspåelevernestænkning,hvilketses,når Astridgernevilhaveelevernetilatforklaretankegangenbagetløsningsforslag.I efteruddannelsespraksissen,menogsåilærersamarbejdspraksissen,varderstor fokuspåselveklasserumspraksissenogdetaljeniundervisningen.i interaktionensesligeledes,atastridergodtilatværecurriculummager, 97

98 98 håndtereelevsvaradhocogsættesigindielevernesræsonnementer,sådehele tidenarbejderhenimoddeopsattemålforundervisningen AstridhjælperLasse ((Eleverneharpåtrappenfåetudleveretetternetstykkepapirogskalnu undersøgeantalterniforskelligerektangler eleverneskalselvtegne rektanglerneogvælgerstørrelsepårektanglerne.astridhjælperdeelever,der markerer,oglasseønskerhjælp.)) Lasse: Prøvatseher. Astrid: Lasse,dukanikkerigtigkommeigang? Lasse: Næ,jeghartegnetdetop. Astrid: Hvaderdetforenduhartegnet? Lasse: Deterdenher.((pegerpåhalvdelenafsiden)) Astrid: Denhele,denstoreder?Duergodtnokarbejdsom.Jeglaverdetlidt tydeligerefordig,så.((lånerlassesblyantogtegnerhansrektangel op)) Ogsåderover,vigiderikkehaveendenmed,vel?Erdetokay? Lasse: Ja. Astrid: Nåforkatten,nukommerdualtsåpåarbejde. Lasse: Ja. Astrid: Hardutænktpå,hvordanduvilgåigangmeddet? Lasse: Næ. Astrid: Nej.((griner))Detmådusåtænkepå.Sådan((rektangletertegnet op)). Lasse: ()detdernogensteder,ogsåtælle. Astrid: Hallo,prøvligeatgøredet. Lasse: 10,20,30,40,50,60,..erher9ik'?((Lassetællerfleregange))10. Astrid: Dumågernesættehjælpestreger,detmåmanmegetgerne.Ja.

99 Lasse: 1,2,3,4,5,5,6,7,8,9,10,((skriver10igenpåsitpapir)) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...((tællerigenogigenogskriver10)) Astrid: Lasse: Astrid: Lasse: Astrid: Elev: Astrid: Lasse: Astrid: Lasse: Astrid: Lasse: Astrid: Lasse: Astrid: "!"!"!"!"!"!"!"!"!" #$"!"!"!"!"!"!"!"!"!" #$"!"!"!"!"!"!"!"!"!" #$"!"!"!" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " Måjegligespørgedigomnoget,Lasse? Ja. Hvordankandetvære,atdugørsådan? Dettænktejegbare,atmankangøre. Jegsynes,detersupersmart.Altså,hvorforerdetsmartatgøre sådanmeddeder10ere? Astrid. Ventligelidt.Jegkommerligeetøjeblik. Detvedjegikke.Altså,jegsynespåenmåde,atgøredetteistedet for,atmanskaltælle1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...,så10ogsåvidere. Hvadgørduså,nårduskaltælleop?Såsætterdu10 ((kiggerpåastrid))10,20,30,40,50,60.. ((lånerblyant))skaljegligeprøveatvisedig,skaljeggivediget kneb? Ja. Jegsiger1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,hvisnujegved,atderer10hertil,hvad nuhvisjegsætterstregenherop,hvormangeerdersåderoppe? Såerder20.!"" Hvadsåhvisjeggørsådanher?((Astridtegnerenhjælpelinje)) "!"!"!"!"!"!"!"!"!" #$"!"!"!"!"!"!"!"!"!" #$"!"!"!"!"!"!"!"!"!" #$"!"!"!" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "!"!"!"!"!"!"!"!"!" #$" " " " Lasse: 30. Astrid: Kandubrugedettilnoget? " Lasse: ((pegerpåsitgamlesystem))().såtænktejeg,mankankørenedher ik? Astrid: Ja. Lasse: Optil100.((pegerpåknebetogtegner10 er hjælpelinjenlængere)) Ogsåkanmantællerdender()optil100. Astrid: Fantastisk.DetvilleværemereendfornemtLasse.((Lassenikkerog gårigang))rigtigsuperfint. ((Astridgårvidere))(Astrid,undervisning2). 99

100 AstridharherhjulpetLassemedatfindeenletteremetodetilundersøgelseaf, hvormangeternhansrektangelbeståraf.lassestartermedattælle10ternog skriverså10,dettegentagerhanfleregange.astridviserlasse,atrækkenunder deførste10ogsåer10lang,oglassegårstraksigangpådennyemåde.astrid trækkerigenmegetpåsinundervisningsmæssigeerfaringspraksisbådemed hensyntilathavefokuspåprocessen,dialogenogmåletforopgaven.astridhar ogsåstorfokuspåproblemløsning,oghunfølgerhieberts(2003)signpostfor undervisningiogmedproblemløsning.opgavenerheltklartetproblemfor Lasse,idethanikkeharendirektemetodetilhurtigtatfindeantalletafterni firkanten.astridharfokuspåmetodentilløsningenafproblemet,menhuner bevidstomkringvigtighedenaf,athjælpengivespåensådanmåde,atproblemet ikkeløsesafhende. Interaktionengivertiltrodsfor,atdetkuneretlilleudsnitafdensamlede lektion,ogsåetgodtbilledeaf,hvordanastridharfokuspåforståelseaf multiplikation,oghvordandetermuligtforeleverneselvogifællesskabat arbejdesigfremmodenmerestabilmetodetiludregningafstørre multiplikationsstykker.astriddeltageriflerereformorienteredepraksisser,hvor dererfokuspåforståelseogudviklingafalgoritme,herunder efteruddannelsespraksissen,denerfaringsbaseredepraksisog samarbejdspraksissen.isininteraktionmedlassegørastridbrugafflere forskelligeformerforlærerviden.specializedcontentknowledgeercentralt,og Astridharindenundervisningenudpakketmultiplikation,såledesatLassekan arbejdemedfleregrundlæggendeogfundamentaledeleireinvention processen. Astridgørligeledesbrugafknowledgeofcontentandstudents,hvorhunprøver atforegribelassestanker,oghvadhanharsværtved,ogknowledgeofcontent andteaching,isinbeslutningafatbrugearealogsenerearraysom repræsentationtilforståelseafmultiplikation. Iovenståendeinteraktionsesogsåpraktikpraksissen,hvordererstorfokuspå athaveengodrelationtileleverne.lasseogastridharhertydeligvisengod relation,hvilketkansesibådesprogjargonenogmådendebeggespillermedi dialogen.hervedlassegodt,atastridikkeblotspørger,forathanskalgiveet korrektsvar,menforathanskaludviklesig. 100

101 FlereandrepraksissersesimplicitimultiplikationsintroduktionenogiAstrids hjælptillasse.eksempelvisastridsdeltagelseilærersamarbejdspraksissen, hvorforberedelsenaflektionenkanværeudarbejdetisamarbejdemeden kollega.deteridentidligereognuvirtuellelærersamarbejdspraksis,atastrid harværetengageretidetaljeniklasserumspraksissenogiproblemløsning.en andenpraksis,somspillerimplicitindpåastridsundervisning,er praktikpraksissen,hvorastridharmulighedforatobservereundervisning, reflektereoverden,samtalemeddestuderendeomkringundervisningenogpå denmådekvalificereklasserumspraksis. Udoverpraksisserneharogsåklasserumskontekstenbetydningfor klasserumspraksissen.astridsklasselokaleer,somtidligerebeskrevet,indrettet medtrappetilfællesdiskussioner,gruppebordetilindividuelt oggruppearbejde oggulvpladstildemerefysiskeaktiviteter.klasserummetsindretninggiver mulighedforatarbejdereformorienteret,dadenfysiskeindretningkanpræge forestillinger,omhvadderkanforegå,ogkanafspejlehistorienogtraditionerfor klasserumspraksis.dermedikkesagt,atdererendirektekorrelationmellem klasserummetsindretningogklasserumspraksissen,ligesomkontekstenikke kansesuafhængigafklasserumspraksissen. Iklasserumspraksissenemergererflereforskelligepraksisser,ogdaflereaf praksisserneerreformorienterede,kanvikunkommemedkvalificeredegætpå, hvilkepraksisserdererpåspiliklasserumspraksissen.astridnavigereri reformjunglenogformåratafstemmeforholdetmellemproces produkt,arbejde problemorienteret,havefokuspåforståelseogværemålorienteretogtænkepå bådedenindividuelleogsocialesideafeleverneslæring.astridsengagementi skolepraksissensynesdogikkeatpåvirkedereformorienteredetiltag,men Astridikkekanfindemeningiskolensmereoverordnedeprioriteringer Susannesdeltagelseiforskelligepraksisser Susannebrugeriinterviewenesinuddannelseogprofessionelleerfaringertilat positioneresigselviforholdtiltreadskiltesocialepraksisser.denførstepraksis indeholderenmeta diskursomkringskolematematik,ogdenerrepræsentereti enretoriskopgørelseaffagetibådegymnasietogpålæreruddannelsen. 101

102 Derudovererdenunderstøttetafetmanglendelærersamarbejde.Denanden praksisersusanneserfaringsommatematikunderviserogetretoriskopgørmed reformen.susanneintroducererhernormerfordensocialeinteraktionog matematiskaktivitetiklasserummet.dentredjepraksisspillerligeledesen afgørenderolleiinterviewenemedsusanne.denrelaterertilhendeserfaringer påvestervangskolenogomhandler,hvordanmanskalarbejdemedelever,som eriproblemerafforskelligart Susannesuddannelsesmæssigeerfaringer:Traditioneriskolematematikken Susannebeskriversinmatematikundervisningsomtraditionel: Jegstartermedattegneogfortælleogforklare,ognuskalIhøre,hvadI skallave dehersider,ogsåhardesatsignedogarbejdetienhalvtime,og detmanikkenår,detfårmanforhjemme.jegharogsåkørtrimelig traditionsbundenundervisning. (Susanne,interview08 1). Susannesundervisningerorganiseretpåsammemåde,somdahunselvgiki skole.foreksempelsigerhunietinterviewetårefter,athunbestodsin lærereksamen: Jaaltså,ibundoggrund,dasynesjeghellerikke,derernogetgaltmed,jeg kanselvrigtiggodtlidedet.deterselvfølgeligogsåsådan,atdererjoogså gernedet,mangivervidereik?jegelskerforedragogsådannoget,hvor manbareskalsiddeogsige GUDJA,deterdaogsårigtigtik? (Susanne, interview09 2). Susanneereksplicitomkring,athunbyggersinundervisningpådissetidlige uddannelsesmæssigeerfaringer.hendesundervisningerimplicitunderstøttetaf deleafhendeslæreruddannelsesundervisning,menpåenmådesomståri modsætningtillæreruddannelsensintentioner.susannepåstår,atenstordelaf indholdetogarbejdsmåderneilæreuddannelsenersammenligneligmedhendes matematikundervisningigymnasiet: Jegsynes,dererutroligmegetgymnasiematematikpåseminariet.Der kommerselvfølgeligengangimellemsådanen detkanijose,såkanijo brugedetheriundervisningen,mendererutroligmeget,atsåskalikunne detbevisogdetbevisogdetbevis,ogsålavervi30opgavermeddet 102

103 bagefter.detvarfuldstændig,somdetvar,dajeggikigymnasiet.helt sammematematik. (Susanne,interview08 1). MensSusannestadigvarstuderendepålæreruddannelsen,beskrevhun studieforløbeneienterminologi,somharstorelighedermeddenbeskrivelse hunlaver18månedersenere: Altsåtavlegennemgangogjegkanjoogsåselvhuske,atjegharhaften rigtigfantastiskskolegang,forjegkunnegodtlidedetdermed,atøhh,nå ja,såsadmanderoglyttede;ogerdetsåsådanogsådanogsåregnede mantyveopgavereller Detkunnejeggodtlide,såderforerdetogså rigtigtnemtformigatbyggeminundervisningopsådan,ik? (Susanne, interview09 1). Susanneergladfordennetilgangtillæreruddannelsen,oghendeskritikerikke henvendtmodmådenatarbejdemedmatematikpå.istedetforeslårhun,både menshunstudererogigenefteretårsomfærdiguddannetlærer,at lærerstuderendeikkeskalbrugederestidpåatstudereselvematematikken, menistedetharhunetønskeom: Atmanblevpumpetmedfedeideertilundervisningen. (Susanne, interview08 1)og NEJ,detvardaengodide!,altsådemfikjegikkeen enesteaf...detvarkunatlæseteoriernebag,ogdetviallesammensadog hungredeefter,detvarsådannoglegodeideertil,hvordanmankunne byggeundervisningenop (Susanne,interview09 1). Susannesamarbejderkunganskelidtmedsinekollegaeromkringdetfaglige indholdimatematik.officieltarbejderlærerneifagteamsogårgangsteams.men fagteametmødeskunsjældentoguregelmæssig,ognårdegør,diskutererde praktisketingogorganisatoriskeopgaveristedetforspørgsmål,derrelaterertil matematikundervisningoglæring: Dererjof.eks.ikkesåmegetfagligsparring, synesjegikke.mendeterjooptilenselv,menderbliverikkesåmegetfaglig sparring. (Susanne,interview08 1).Årgangsteametmødescirkaengangom måneden,hererderfokuspådetsocialeogdetorganisatoriske.omforklaringen tildetmanglendesamarbejde,fortællersusanne,atinitiativetliggerhosden enkeltelærer,ogat: deterenskolenmedmangeenmandshære Hverlærerhar sitræs,ik? (Susanne,interview08 1).Idetsenereinterviewomtalerhunen undtagelsetildetmanglendesamarbejde,nemligathunsommetider 103

104 samarbejderogdelernogleenkelteideermedtokollegaer,somogsåunderviser imatematikpå5.årgang.susanneforklarer: menhuntænkerogsåligesommig, hunkanogsårigtigtgodtlidetavleundervisningogopgaver.øhh,ogdetgrinervi ogsålidtaf. (Susanne,interview09 1). NårSusannepådetkraftigsteargumentererforfordeleneidentraditionelle undervisningstilgang,erhunikkeblindformuligesvagheder.specielterderet dilemmamellempådenenesideatgivegrundigeforklaringerogpådenanden sideatgøredemkorte: Denvekselvirkningmellem,atmangernevilhavedethele med,sådeallesammenforstårdet,ogpådenandensidesåskaldetogsåhelekun varetreminutter. (Susanne,interview08 1).Susanneforklarer,atkorte forklaringerervigtige,fordidererendelelever:,somikkefårnogetudafdet, somstårafik'?oggårpåuendelig,nårmannustårderoppe.dehørerbarehun sigerblablablablabla((griner)). (Susanne,interview09 2).Detersværtfor Susanneatfindepåandremåderatorganiseresinundervisningendden traditionelle,idet: ja,fordetførstesåerjegselvflasketopsådanik'?...altså tavlegennemgang (Susanne,interview09 1).Susannekendertilreformdiskursenfrasinlæreruddannelse,fraFællesMålogfralærebøger,menhun anserdenikkesometpassendealternativ. OpsummerendeerSusannestraditionelletilgangtilundervisningen,herunder tavlegennemgangogopgavediskurs,etvigtigtomdrejningspunktiden diskursiveuddannelsesmæssigeerfarings praksis.praksissenbliveryderligere understøttetafmangelpåfagligsparringogmangelpåreformorienterede visioner Susanneogreformdiskursen:SeminariesnakogFællesMål Susannebeskriversinlæreruddannelseifagligetermerilighedmed,hvordan hunarbejdedeigymnasiet.detteerkontrastfyldtiforholdtildeformelle studieordningerpålæreruddannelsenogretorikkenomkring skolematematikkenpålæreruddannelsen,hvor: Matematikogundervisningimatematikbetragtessomtosiderafsamme sag,idetfagetsidentiteterknyttettilsammenhængenmellemfag,didaktik ogpraksis. oghvor: denstuderendegennemdialogundersøger, 104

105 konstruererogræsonnerersigfremtilnyfagligviden.dettilstræbessåledes, atdestuderendeslæringsmiljøihøjgraderparallelttildetlæringsmiljø,den professionellelærerskalkunneetablereifolkeskolens matematikundervisning. (Studieordning,anonymiseretx). Susannerefererertillæreruddannelsensindholdsomseminariesnak.Hun fortæller,atseminariesnakhandleromatsepåeleversundersøgelserogpå brugenafmanipulativerimatematik.ligeledesskaleleverarbejdeindividueltog brugeuformellemetoder,indendebliverintroducerettildetmereformelle matematik.susanneeruenigidissereformorienteredeaspekter,oghun forbinderseminariesnakmed,hvadhuniforskelligeinterviewsbeskriversomen pædagogikomhandlende: NuskalviklippeklistreogImågernetullelidtrundt ogsnakkesammen., atnuskaldepilleogrørerundt (Susanne,interview08 1) Pille rode undervisning og nogetomklodserogdimserogsådannoget (Susanne,interview09 2).Susannefinderdetsværtatsedematematiske potentialerviadissetilgange.forsusanneerderstorsammenhængmellem seminariesnakogdenmådeundervisningsformåleneerbeskrevetifællesmål. Hunerkender,athendesskepsisimoddisseformerforundervisningogså bringerhendeioppositionmodfællesmål.susanneerdogikkebekymretfor,at hendesundervisningerinkompatibelmeddeformelleretningslinjer,dahunog hendeseleverfølgeretbogsystem: Jamen,såbrugerjegjobogsystemet ik?'oghvaddelæggeroptil.mende læggerjoogsåoptilnogleafdeting,sommansnakkerom,detkanmanjo se.nårdenogengangelæggeroptilnogleopgaver,såkanmanligelugte denherseminariesnakiopgavenik'? (Susanne,interview08 1). og det,synesjeg,erligegyldig,hvadforenmanvælger[bogsystem],såkan mangodtse,dehardetibaghovedet,såhvismankørerefterdetbogsystem, sålevermanrimeligtfintoptildet. (Susanne,interview09 2). Susanneudtaler,athunbrugerganskelidtaf,hvadhunlærteisin læreruddannelse.derimodharhunfåetetmatematiskoverblikogkan matematikpåetligelidthøjereplan,endderkrævespågrundskoleniveau. Susannesklasserumspraksiseranderledesend,hvadhunoghendes medstuderendeudlevedeiderespraktikker.pådettidspunkt: 105

106 Daharvibrugtaltdet,viharlærtpåseminariet((griner))medFrøhop,og ajh,jegskalgi'dig.derlavedevisådannoglesjovealternative undervisningsforløb,ognårjegsåstårherudeidenvirkeligeverden,så brugerjegdetikkesåmeget. (Susanne,interview08 1). Susannehartoindvendingerimoddenpraksis,derpromoveresfori seminariesnak.fordetførstetagerdetforlangtidatforberede,ogfordetandet giverdetenmegetlarmedeklasserumsatmosfære ogsusannehardetsvært medlarm.susannefokusererpåatsørgeforarbejdsroogforklarersinmodviljei atengageresigiseminariesnaksom: Jegsynesselv,atjegbrydermigikkeomatundervise,hvisderermeget sådanuroogvirakogtumlenrundt.såbliverjegselvtrætihovedet,så derforbliverderikkesåmegetafdet..detkanjegikkeselvholdetil.så bliverdetogsåensegenpersonlighedder(.),manskalogsåselvkunnevære der. (Susanne,interview08 1)og Dereraldrighundredeprocentro,og det[ro]kanjegrigtigtgodtlide. (Susanne,interview09 2). Dererogsåandregrundetil,atSusannestillerspørgsmålstegnved læreruddannelsensretorik.baseretpåsineundervisningserfaringererhun specieltbekymretfordesvagereelever.hunmener,deerudsatte,hvisman vælgerenreformorienterettilgang.somlærervilmangernehjælpedisseelever vedatbruge: pilleogrørerundt,mendebliverfaktiskmereforvirret ermit indtryk... (Susanne,interview08 1). Susannevendergentagnegangetilbagetiltemaetomkringreformenogspecielt det,deromhandlereleversforståelseogderesforholdimellemderesforståelse ogderesprocedurer kompetencer.vedvoresførstebesøgpåskolenvardendel afseminariesnak,somsusannefandtmestvigtigt,følgende: Altsåjegbrugernogetafdetmed,atdetervigtigt,atdeskalforstå matematikken.altsådenlæresætning,atdeskalforståmatematikken,og ikkekunkunneregneregler. (Susanne,interview08 1), ogsenereisammeinterview: ogjegsynesfaktiskdetbedste,deterdetdermedatgiveforståelsenaf matematik.jegsynesjo,detersådanengodblandingafmatematik,atførst såharmanforståelsen ahhnuvedman,hvaddeter!ogsålærermandet udenad. (Susanne,interview08 1). 106

107 Susannelæggersåledesvægtpåelevernesforståelse,menikkesådan,athuner enigiprocedurerne.hunerforeksempeleksplicitomkring,atelevernehar behovforatmultiplicereog deskaldælemedulmeogsåkunnedesmåtabeller. Dettrorjegerenhvermatematiklærerssætning,atdeskalkunnedesmåtabeller. (Susanne,interview08 1).IsinlæreruddannelsestidlagdeSusannevægtpåat procedure matematikskullebyggesovenpåbegrebsforståelse.etårefter Susanneseksamen,holderhunfasti,atseminariesnakogFællesMålfokusererpå atbyggeprocedure matematikpåforståelsen: atmanforstår,hvordandethængersammen,oghvordetkommerfra,og hvorformannuhardenregneregel,endatmanbarekandederalgoritmer, sommanselvlærte såskaldenstånederst,ogsåskaldenståøverstogså slutprut,ik?((griner)). (Susanne,interview09 1). Susanneharstadigdetteaspektafseminariesnakihovedet,menhunstiller spørgsmålstegnveddengenerelleanbefaling,ateleverharbehovforatlære medforståelseogsåderefterpraktiseredetforståede.pålinjemed,hvad Susannesagdeårettidligere,finderhundetspecieltproblematiskfordesvagere elever: nogengangsåerdetaltsåligeomvendt.altsåsåøhh(.)såerdetrigtigt, (.)fordemsomhardetfagligtsvært,erdetendnusværere,hvisviførstskal sætteosindiallemuligeforståelser,ogdeterderforat, nåhhdetkommer derfra, nåhhdethængersammenmeddenderogsåbageftersåskaljegjo såiøvrigtogsåligehuskeogdeterdenherregneregel,atduskalhuske, somerbundetoppåaltdetherfnidderfnadder. (Susanne,interview09 1). Idetsidsteinterview,venderSusannetilbagetildette: Fordijegtænker,atnogenafdemderharsværtvedmatematik,fordemer detbarefedt,atdebarekannogetudenad,ognårsådenderkommermed, atnuskalduforstå,hvorfordetersådan,såkandegåpåuendelig.groft sagtikke?mensåkandetrodsaltnoget. (Susanne,interview09 2). OpsummerendeerSusannepåalletidspunkterkritiskmodsinlæreruddannelse, oghunfinderikke,atuddannelsenharbeskæftigetsigmedløsningerafde problemer,hunmøderisinundervisning.hunfortæller,atflereafdetiltag,de hararbejdetmed,gøralleredeeksisterendeproblemerværre,specieltmed 107

108 hensyntildetlarmendeklasserum.endvidereharsusanneitaktmed,athunfår mereogmereerfaringmedatundervise,enstigendekritikimod læreruddannelsensretorik Skolepraksis:Organiseringogeleveriproblemer SomtidligerenævntfortællerSusanne,atskolenbestårafenmandshære.Menpå etområdeerlærerneenige,specieltdemderdelerenbekymringom, handlemulighederforeleverisocialeogfagligeproblemer.mangeafdem: kommeriskoleudenmorgenmad,udenkysogkram,ogudenaltdet,viandre syneserheltnaturligt. (Susanne,interview08 1).Susanneerstoltaf,atskolen: tagerutroligmegethåndomdet,enafdetingviharherer,atviharto AKT lærere,somlaveretkæmpestortstykkearbejde,ogsåharvifået oprettetdet,somigamledagehedenobsklasse. (Susanne,interview08 1). Lærerenkansendeuroligeeleveriobsklassenforatsikresig,atdeikke forstyrrerdeandreeleverslæringsprocesser.susannesforklarer: Derharskolen ligesomselvsagt,atviskalha'enklasse,somaltså,nårdetkammerformegetover iklasserne,såkanmankommederover,ogpustelidtud (Susanne,interview 08 1).Susannepåstår,atdetteharenhøjprioritetpåskolenog: deterskolens egneressourcer,derhar(.),såderermegetopbakningomdet. (Susanne, interview08 1).Susannefortæller,atetforholdsvisstortantaleleverfraskolen bliverhenvisttilandreinstitutioner,fordideikkeerskoleminded. Desocialeproblemerpåskolenvisersigogsåiklasseværelset.Generelter Susannes5.klassemegetlarmende.Derertreeleversomharforskellige psykologiskediagnoser,ogyderligeretoervedatbliveudredt.nogleeleverer svageimatematik,mensandre,somgørdetgodtifaget,ersværeatstyre sammenmeddeandreelever.ogsåerderengruppepå: enfirefempiger derovre,somerstilleogrolige,sødemønsterelever,ogdeervedatgåtilnogle gange. (Susanne,interview08 1).Susanneforklarer,athunnoglegangesender eleverhentilobservationsklassenognogleafdesvageeleverispecial centeret. Susanneopdelerogsåeleverne.Foreksempelsenderhundeelever,somergode tilmatematik,ogsomopførersigpænt,indilokaletvedsidenaf,hvordesåkan arbejdeselv.andreelever,derergodeimatematik,menikkeopførersig 108

109 ordentligt,bliverikkeopmuntrettilatarbejdealeneudenforklasserummet. DesudenharSusanneenaftalemedtokollegaer,somunderviserpåsamme klassetrin,omatdeengangomugenfordeleralledereselevermellemsigitre grupperafhængigtafelevernesmatematikniveau.klassenbliverellerssjældent deltopigrupper,dettepåtrodsaf,atsusanneudtaler,athunønskeratgøredet nogetoftere. OpsummerendeharSusanneforskelligebeskrivelserafelevermedproblemer. Nårhuntaleromeleverneialmindeligegenerelletermer,fokusererhunpå problemer,somrejsersigforelevernepågrundafderessocialebaggrund,mens hun,tætterepåsinklasserumspraksis,fokusererpådetadfærdsmæssigeog faglige,udenheltatkunneskilledemfrahinanden.susannesikrersig,at eleverneundervisesseparatellerarbejderselvvedatbrugeorganisatorisk deling,hvilketserudtilatværeioverensstemmelsemeddengenerelle sekretionstilgangforelevermedproblemerpåskolen FortolkningogdiskussionafCaseSusanne Susanne:Detfysiskemiljø Vestervangskolenhartilhuseiflereældretreetagersbygninger,somligger rundtomenasfalteretskolegård.skolebygningerneerindrettetmedlange gange,medmindrehøjtsiddendevinduertildenenesideogklasselokalertilden andenside.ibåde3.og5.klasseerklasselokaletindrettetsåledes,at størstedelenafelevernesiddersammentoogtovedsmåborde,enkelteelever sidderalene,alleervendtmodtavlen,hvorderogsåeretkateder Susanne:Endobbeltlektionmedmultiplikation Susannesundervisningimultiplikationfølgersammeskabelonsomandreafde lektioner,viharobserveret.undervisningenkankarakteriseressomtraditionel, hvorsusannepræsentererarbejdsmetoder,ogelevernederefterbruger arbejdsmetodernetilløsningafflereopgaver.idenkonkretelektionrepeterer elevernedesmåtabeller,hvoreftersusannegennemgåren multiplikationsalgoritme.elevernepræsenteresderefterfor8 109

110 multiplikationsstykker,somdeudregneridereshæfter,menssusannegårrundt oghjælperdem.dagodttotredjedeleafeleverneerfærdigemedstykkerne, kommer8elevertiltavlenogskriverderesresultat.flereeleversigerikkenoget, mensdeervedtavlen.enenkeltelevharproblemermedenudregning,og Susannehjælperhamvedatstilleguidendespørgsmål.Susannespørgerderefter tilhvertenkeltstykke,omeleverneharfåetdetrigtigesvar hvoreftereleverne råberbingo.susannegennemgårhvorogihvilkeopgaver,derharværet problemer.derernugået60minutterafdobbeltlektionenogelevernebliver bordvissattilatnedskrive20,30,,90tabellenidereskladdehæfter.susanne skrivernu8nyestykkerpåtavlen,tocifredetal,dererdeleligemedtigangeto, tre ogfirecifredetal.hunforklarer,atdeskalgøredetsammesomførog henvisertilgennemgangenistartenaflektionen,ogbaresætteetnulbagved Susannesrefleksionerovermultiplikationsundervisningen Susannebeskriver,atklassentidligerehararbejdetmedmultiplikation: Jamen, dehavdedetsidsteårihvertfald,hvordervaretcifreogsåtocifre,ogsåvedjeg godt,atdetkandeikkehuske. (Susanne,interview09 2).Hunønskernuat byggeovenpåderesvidenfrasidsteår.susannesforberedelseaf multiplikationsundervisningenbestårafovervejelserover,hvordanhun langsomtvilgribeundervisningenanogviseeleverne,hvordandeskalgøre: Jamen,jeghavdeforberedtmigpådenmåde,atjegsådantænkte,atokay, viskalhave,viskalstartelangsomt,ogviskalligeværesikrepå,atdekan dedertabeller...sådethavdejegsådanlidtovervejet,ogsåtænktejeg; jamen,såforberederjegmigbaremedsådanatskrive,nåmensådet førstejegskalvisedem,deterdet,ogdetnæstedeterdet,ogsåskalde arbejdeselv,såskaljegvisedemdet,såskaldearbejde. Altså,detersådan setbare,sådanjegforberedermig. (Susanne,interview09 2). IdenforbindelseundrerSusannesigsamtidigover,atselvomhunfleregange fortællereleverne,hvordandeskalgøre,såkandedetstadigikke.enløsningpå detteproblemkanvære,hvadsusannedefinerersomen finger i bogen lærer, derstykviskanguideelevernegennemderesopgaver.etafdeaspektervedsin undervisning,som,susannesynes,harværetspecieltvellykketer elevpræsentationernevedtavlen: 110

111 Noget,somjegselvsynes,jegvarmestgladfor,detvardetdermed,atde skulleopogprøveselv,ogihvertfaldnogenafdem,ligeprøveatforklare; Jamen,hvaderdetdugør? Fordidetsynesjegselv,manreflekterermest over,deter,nårmanskalforklaredetvidere,ik? (Susanne,interview09 2). Susannefortæller,athervarderfokuspåprocessenogikkeselveproduktet: Ja, såskulledehuskeatsige,hvaddetvar,degjordeundervejs,sådeikkebareskrev ned,hvaddegjorde. (Susanne,interview09 2).Iobservationensesdog,at elevernekunskriverderesresultatogikkegenfortællerderesudregningsproces. Susannereflektererefterendtundervisningover,atfleretingkunneværegrebet anderledesan,eksempelvisskulleelevernearbejdemeremedforståelseogi grupper Udskillelseafelever Susanneorganiserersinundervisningvedatopdelesineelever.Udgangspunktet fordelingenerhovedsageligtderesadfærd,mensdetfagligekunspillerenlille rolle.udskillelsenskervedatsusanneentenfysisksenderelevertilandre lokalerellerladerdemarbejdeselvogiklasserummet.susanneløserpåden mådedeproblemer,hunsermellemelevernesagerenogklasserumssiuationen, vedatflytteeleverne.flytningenafeleverhartilladthendeatværetrooverfor dentraditionellematematikundervisningog læring,somerdomineretaf hendesegneerfaringer.udskillelsenafproblematiskeelevererinspireretaf Vestervanggenerelt.Restenafklassenerderefterpåoverfladenennogenlunde homogengruppe,hvordentraditionelleundervisningfungerer,ogeleverne acceptererdenensformigekarakterafopgaver,ogafhvordandedisciplinære problemerbliverhåndteret.menogsådetilbageværendeeleverudskillesien mentalforstand,dasusanneudfraetbilledeaf,hvemderkanklareatlæremed forståelse,oghvemderblotskalkunneenmetode,harforskelligeønskerogkrav tildepågældendeelever. 111

112 Susanneintroduktiontilmultiplikation ((Susannekiggerlidtnedibogen,hvorefterhunbedereleverneomatforeslåettal mellem2og9ogetandettalmellem11og99.derforeslås5og55,ogsusanne skriver5x55påtavlen.)) Susanne: Susanne: Mira: Susanne: Mira: Susanne: Såerderikkedenheltstoreudfordringidether,godt.Jegved,atvi harsnakketomfør,athvisviskalsige5gange55,erdernogleafjer, dersåkanforklare,hvadbetyderdet?hvadbetyderdet?hvadvil detsige,nårmansiger5gange55?hvisnuvisiger5plus5,såved vigodt,atjeghar5ogsålæggerjeg5oveni,ogsåfinderjegudaf, hvormangedereridethele.hvadbetyderdet,nårjegsiger,øhh,5 gange55?((susannepegerpåtavlen)) Mira? 555gange. Ja. Elleromvendt. Jaelleromvendt,eller555gange.Ligenetop.Okay,mendetvilså sige,atsåmåjegogsågernesige,atnutagerjegførstdederfem ((Susannepegerpå5 talletpåtavlen))5afgangene,ogbagefterså tagerjegdem50gange.detburdeværedetsammeikke?såfårjeg detialt55gange.deterligegyldigt,omjegtager55gangepåen gang,elleromjegførsttagerdenenebunkeogsådenandenbunke, ogsålæggerdemsammen,ik'?sådetgørvi.vistartermedattage de55gange((susannepegerførstpå5talletogsåpådetbagerste 5i55)) 55gange. Dagmar: 25 Susanne: Deter25.Ogsågørjegdet,atjegsigerdether,detvarligealle 1'erne,sålæggerjegalle1'erneherned.((Susanneskriver5under gangestykket)) Dagmar: Og2'ernederned? Susanne: Detersådanset10'erne,ikkeogså?Demlæggerjegtiloppeiden næstebunke,fordinugangerjegmed10'erne.deternemligrigtigt. 112

113 Såivirkeligheden,selvomjegharskrevet2heroppe,såstårder faktisk? Dagmar: 20 Susanne: Såstårderfaktisk20,fordidervar5og20ikke?Menviskriverbare 2.Okay?Såsigerjeg5gange,jegsigeregentlig5gange50ikke?Jeg sigeregentlig5gange50,menvisigerbarelige5gange5. Molly: Altsådeter25,men= Susanne: =Ja Molly: Menbliverdetikke125?[Determegetmuligt,atMollyherudregner 5gange25] Susanne: Nej,forduskalligeplussemeddeder2!25og2? Molly: 27. Susanne: Såerdet27.Ivirkelighedensåerdetjo270,fordideterjo5gange 50,detstårder,ikke?Menviharjoalleredesat1'ernesplads dernede,såviskriverbare27.((susanneskriver27forandet nederste5tal,såledesatdernustår275iresultatet)) Susanne: Forsåharvitagetdeder5gange5,dervar5'ernedernede. ((Susannepegerpådetnederste5tal)) Mikael: Jegforstårdetikke. Susanne: Nej,mensåprøverjeg,atforklaredetengangtil...Såsattejeg5 eren hernedefra25,ogsåsattejeg20 erneoptildennæste,såsagdejeg 5gange50,detblev270,altsåregnetudmed250plusde20,såblev det270. Peter: Jegtroededetblev525. Susanne: Hvadsigerdu? Peter: Jegtroededetblev525?((Andreeleverforeslårandreresultater)) Susanne: 525?(.)Okay,vikanogsåprøveatgøredetpåenandenmåde. ((Susanneviskerudregningenud,såderkunstår5gange5tilbage)) Susanne: Nusigerviførst5gange5,ikke?((mangehænderkommerivejret)) 113

114 Susanne: Detvar25,ja.((Susanneskriver25underregnestykket)) Susanne: Såbageftersåsigerjeglige,nej,sågangerjegogsåligemed50. ((Susanneskriveret0bagved5tallet,såledesatderstår5x50)) Susanne: 5gange50?Detvar?((SusannePegerpåRené))René? René: Erdetikkedetdermedetekstranul? Susanne: Jo,detdermedetekstranul. René: Deter250. Susanne: Ja. ((Susanneskriver250underde25,sætterenstregogskriver275nederst)) Susanne: Såbliverdetfaktiskfuldstændigdet,vifikfør,kanIsedet?Nårjeg læggerdetosammen.(.)såskaljegprøveatforklare,hvorforvi bareligekansmidedenderopimenten.der((susannepegerpå regnestykket)).hvisjegtagerogsiger,nugangerjegførstmed 1'erne,detvarde5,((pegerpå0))[5gange0] ogsåfikjeg25, ogsåviljeggerneligelægge,demher,de20,demviljeggernelægge hensammenmeddeandre10'ere, 114

115 såsvarerdettil,atjegsiger.ja,såkunnejegogsågodthavesagt5 gange5.((susannevisker0udi50ogskriver55)) Hvisnuvigørdetsådanher.Jegkunnefaktiskogsåhavegjortdet sådanher.((susanneviskeralleudregningerneud,såderkunstår5 gange55)).nuviljeggernehaveatvide,hvadderskalståpå 1'ernesplads.Detvar5gange5.Såvarder5afdem.ik?Såvarder 20tilbage.((Susanneskriver20imente)) Såsigerjegså;5gange50,detbliver,øhh,250,mensåhavdejegjo også20frafør,somjegogsåskullelæggeoveni.såblevdet270. ((Susanneskriver270underde5)) ogsålæggerjegdemsammen.((susannesætterenstregogskriver 275)) Såfårjeg275.Nuharvifaktiskgennemgåetdetherpåtre forskelligemåder,ogdetblevfaktiskdetsammepåalletremåder, mendet,dererdenlettestemådeatgøredetpå,deter,atvibare gørdethelepåengang.((susanneviskerigenudregningerneud)) Såvisiger5gange5,deter5og20.((Susanneskriver5nederstog2 imente))5gange5deter25,plus2deter27((skriver275)), 115

116 detbliverdetsamme,selvommangørdet,pådederlidtmere besværligemåder,hvormankanse,nåhhdeterderfor,vigørdet sådan.sånuprøverviengangtilmednogleandretal.((susanne viskertavlenren))(susanne,undervisning09 1). Iovenståendeklipses,hvordanSusanneienklasseundervisningsepisode præsentererenmultiplikationsalgoritme,somhunønsker,ateleverneskal bruge.susanneprøvertilsyneladendeatstøtteelevernesforståelseaf algoritmensfunktionvedatnævnepositionenafhverenkeltciffer,mensamtidig erhunikkekonsekventogfårpræsentereteleverneforetpositionssystem,der indeholderbåde1 ere,2 ere,5 ere,10 ereog20 ere.flereafeleverneforeslår forskelligeresultaterogandreklagerover,atdeikkeforstår.susanne undersøgerikkeomtilkendegivelserneomhandlerdeforskelligetrini algoritmenelleromdeter,fordisusannefleregangekommerfremtiletforkert resultat.susannereagerervedatgennemgåberegningerneigen,ietskrevet format,somermeretransparentmedhensyntilforståelse,menhungørdet udenatforklareværdierneafdeenkeltecifre.altdettekansessometforsøgpå atforsyneelevernemedenmulighedforatudviklederesforståelseaf algoritmerneiklasserumssammenhæng,dogharsusannekunfokuspåden konkretealgoritmeogikkeenmeregenerelforståelseafmultiplikation.susanne karakteriserersinundervisningsomtraditionel.hunsynesimplicitatimitere sinetidligereundervisningsmæssigeerfaringer,oghunudtalerselv: deter rigtigtnemtformigatbyggeminundervisningopsådan,ik? (Susanne,interview 09 1). IintroduktionengørSusannehovedsageligtbrugafsincommoncontent knowledge,hvilketerdenviden,somikkeerspecielknyttettildetatundervisei matematik.susannebrugerligeledes,udenstørresucces,sinspecializedcontent knowledge,ietforsøgpåatudpakkealgoritmerne,såledesatdeforskelligetals positionerblivertydeligeogmeregennemsigtigeforeleverne. 116

117 IklippeterSusannesgentagelserdominerende,oghungentagergangpågangsig selv: hvisviskalsige5gange55,erdernogleafjer,dersåkanforklare,hvad betyderdet?hvadbetyderdet?hvadvildetsige,nårmansiger5gange55? Hvisnuvisiger5plus5,såvedvigodt,atjeghar5ogsålæggerjeg5oveni, ogsåfinderjegudaf,hvormangedereridethele.hvadbetyderdet,nårjeg siger,øhh,5gange55? og Såsigerjeg5gange,jegsigeregentlig5gange halvtredsikke?jegsigeregentlig5gange50,menvisigerbarelige5gange 5. (Susanne,undervisning09 1). Dennespecielletaleformkanudspringefrareformdiskursenogietønskeomat giveeleverforståelse.susanneforbinderforståelsemedatfortælleogguide elevernei,hvordandeskalgøre.taleformenkanligeledesværepåvirketaf Susannestraditionelleundervisningsmæssigeerfaringerellerhendes organisatorisktilgangtilundervisningenogetønskeomorden Susannetaler, hvilketbevirker,atderikkeerlarm Renéforeslårenalternativprocedure ((Susannegennemgårnuendnueteksempelpå,hvordanmanmultiplicerer encifredetalmedtocifredetal.dennegangudfraeksemplet7x49,somstår skrevetpåtavlen. Daopgavenerløst,rækkerRenéhåndenopforatkommemedetforslag.)) Susanne: René? René: Kanmanikkebaresættetoekstranullerpådender7ogsåsige halvdelenogsåminusmed7? Susanne: Altså,såjegsagde700?((Susanneskrivertonullerefter7tallet)) René: Nejaltså,hvisresultatetikke,hvisdetfxvarhundrede,såputterman toekstranuller,ogsåtagermanbarehalvdelenaf700,sågiverdet 117

118 ,ogsåminusserdumed7,fordidetikkeerhalvtreds,men59. [Renésigerher59,menhanmenertydeligvis49] Susanne: Nåhhjo,((Susanneviskernullerneud,somhunskrevvedsidenaf7, såledesatderigenstår7x49))jojo,denerjegmedpå.dusiger7 gange50ogsåsigerdubare= René: =såputterjegbaretonullerpåresultatet. Susanne: Arhh,detvarligeensyvgangformeget,såtrækkerjeg7frasyv gange50.((flereeleverafbryderogtalerhøjtpåengang.derbliver blandtandetsagt: Deterattagedethalve og detersnyd ellerser detuklart)) René: Altsåførst,såsigerjegsådanher,duved,atmanputtertoekstra nuller,nårdeterhundrede,ikke? Susanne: Ja. René: Såharjegdem,såtagerjeghalvdelenaf700pågrundaf,atdeter halvtredslidtagtigt. Susanne: Jajaja. René: Sågiverdet350,mensåfordideterenmindreend50såminusser jegmed7. Susanne: Detvarmegetavancerettænkning,menduharfuldstændigret.Det erfuldstændigrigtigt.detvarsåkompliceret,såjegoverhovedet ikkevarmed,menduharfuldstændigret,ogsådanerdetaltid,når manganger,hvismanligekankommefremtildetpåenanden megetspændendemåde,sågørmandet.(susanne,undervisning 09 1). Iovenståendeklipharenelev,Renéetalternativtforslagtil,hvordanstykket7 gange49kanudregnes.forslagetfungerergodtiforholdtildenenkelteopgave, selvomdererstærkebegrænsningertildensgenerelleanvendelighed.forslaget indikerer,atrenéharudvikletengodforståelseaftalogmultiplikation,men muligvisogså,athanikkekanskabesammenhængisusannesprocedure.da Susanneforstårhansforslag,bliverhunbegejstretogroserhamfordet.Susanne kommenterer: ogsådanerdetaltid,nårmanganger,hvismanligekankomme fremtildetpåenandenmegetspændendemåde,sågørmandet. (Susanne, undervisning09 1).Påtrodsafsinentusiasmeogkommentar;invitererhunikke tilendiskussionafmetodensbegrænsningerogpotentialer.istedetbliverrenés forslageteksempelpå,atdermåskeeradhocmetoder,somfungerer,nårman multiplicerer,ogatmanmåudvikleogbrugesådannemetoder.den underforståedeskjultebeskederdog,atadhoc metodererafganskelille betydning,dadeadskillersigframeregenerellematematiskemetoder.susanne gentagerdennedualitetidetefterfølgendeinterview,ogfortæller,atrené forslagvarsuper,menathanogsåharbehovforatkendetilandremetoder,da

119 detvilværesværtforhamatmultiplicerefx36og53.detladertil,atsusanne serrenéslæringafdisseandremetodersomadskiltfrahansumiddelbare forslag Renéregner ((Susanneharskrevet8gangestykkerpåtavlen,somskalregnesikladdehæftet. Susannefortæller,atdeskalbruge5 10minutterpåatregnegangestykkerne.De næste22minuttersiddereleverneogregnerdeforskelligegangestykker.eleverne skalløsemultiplikationsopgaverindividuelt.opgaverneerfølgende:2 567,3 613,4 86,5 167,6 73,7 703,8 2136og, Menselevernearbejder,gårSusannerundtoghjælperdeelever,derindikerer,at deharbrugforhjælp.susannegåroptiltavlen serpåsedlenmedkøenoggårned tilrené.renéharalleredeløstdetoførsteopgaverkorrektvedbrugaflignende metodertildenmetode,somhanforslogtidligere.)) Susanne: René: Susanne: Susanne: René: Susanne: Prøvatfortælmighvaddugør? (uklart) Skalviikkeprøveatregneen,hvordulaverdetpåsammemåde, somjeggøroppepåtavlen.detkunnejeggodtligetænkemigatse, omdukan.((renéviskerallesinefacitsud.)) Dusiger4gange6først.((Susanneerbegyndtpåstykket4gange 86)) Skaljegikkeviskeud? Nej,detbehøverduikke,baredennæste.Baredennæste.Dukan godtskrivedemigen,mankangodtsehvadduharskrevet [resultatettil2gange567].ja.((renéskriverallefacitsigen)) Susanne: ((Renéskalnuudregnestykket4gange84))Såstarterviher.4 gange6.deter? 119

120 René: 24 Susanne: Ja,såskriverdu4sådanherovremåske,duskalhavepladstilat skrivenogletalforan((susannepegernoglecentimeterfra lighedstegnet)). 4også2imente.((Renéskrivertalleneforkert))Nej,derovre. ((Renéviskerudogskrivernu4og2imente))Okay. René: Såskalvihave4gange8. 32.(uklart)((Reneskriver34,ogderstårnu344)) Susanne: René: Susanne: Susanne: Denmådeduharregnetdetudpå,erderikkenogetivejenmed,og dumågøredet,somduharlysttil. Jeggørdetbarekortere. Ja,detkræverbaresådanlidtmere,atmanskalhuskenogletalog sådannogetopihovedet.(uklart) Menaltså,sålængedufårdetrigtige,såerdetsådansetogså ligegyldigt,hvordanduharregnetdet.jegvillebarese,omduogså kunneminmåde,ogdetkunnedugodt.((susannegårvidere)) (Susanne,undervisning09 1). SusannehjælperRené.Renéharløstdeførstetoopgaverkorrektvedatbrugeen lignendemetode,tildenhanforeslogiintroduktionen.dasusannekommerned tilham,viskerhansitarbejdeud.dahangårvideretilnæsteopgave, respondererhanpåsusannesspørgsmålomkringmultiplikationafenkelte 120

121 encifredetalogfølgerhendesinstruktionomkring,hvordanstykketskal opskrivesoghverttalplaceres.renéforsøgerikkeatforbindesintidligereviden tilengenerelalgoritme,ogsusannedragerikkefordelafhansalternative proceduretilyderligereudviklingafhansgenerelleforståelseafmultiplikation. Derudovererderingenindikationeraf,atSusanneovervejerudviklingog forfinelseafrenésproceduresomenværdifuldmatematiskaktivitetisigselv. Renéharsværtvedatfortolkeogbalancerekonfliktenikravetomatfindeet korrektsvartilopgaverneogfåenforståelseafprocedurerne.hans besværlighedermeddetteerindlysendefradenovenståendeinteraktionmed Susanne.Hansletterkorrektesvar,daSusanneankommer,fordihanforventer, athunkunacceptererstandardprocedure.frasusannessynprøverhunatskabe meningirenésforslag,ogvedatbetragtedetbliverhuninvolveretien udprægetmatematiskdiskurs.hunsenderdervedetblandetsignal,derpåden enesidesiger;ateleverharlovtilatudviklederesegnemåderatmultiplicerepå, menkunhvisdefårdetrettesvar,ogpådenandenside;såharallebrugforen standardalgoritme.vedatsendedettesignalfortsættersusannemedatdeltagei meta diskursivereformpraksissersåvelsomtraditionelle undervisningspraksisser.susannesresponstilrenékanmåskelæsessom hendesskiftendeengagementidissetoadskiltepraksisserunderhendesmeget korteinteraktionmedrené. DererenbemærkelsesværdigsammenhængmellemSusannesinteraktionmed Renéogmådenhundistancerersigfraenpædagogisk klippe klister pædagogik.susanneovervejersådannemetodersomenmuligmådeatvariere klasserumsaktiviteten,menkunfordengodeelev,blandtandetfordihunser sådannetilgangetilundervisningenudmøntesigiuoverkommeligedisciplinære problemer,larm,hvisdebrugesgenerelt.susanneovervejertilgangenesom mindrebrugbareiudviklingenafeleversbegrebsmæssigeforståelse,ogserdem hellerikkesommuligtfundamentforeleverudviklingafalgoritmer.susannehar negativererfaringermedaspekterfratraditionellepraksisser,mendettefår hendedogikketilatovervejeatfravælgetraditionsprægetundervisning. Dentraditionsprægedeundervisningsynestætforbundettilskolenog klasserummetsmeretraditionelleindretningmedbordevendtmodtavlen.i klasserummetforventesdet,atelevernessidderpåderespladserogoverholder 121

122 implicittekonventionerforelevopførsel,menslærerenforventesathandleinden forrammerneafimplicittekonventionerforlæreradfærd. Deskolematematisketraditionerogreformdiskurseneksisterersideomside. IngenafdemhartilstrækkeligengageretSusannei,atmatematiskundersøgelse harenværdiisigselv.enafdespeciellekarakteristikaisusannespåvestervang casener,atdeforskelligepraksisser,hvorihundeltagerikkesmeltersammentil nogetsammenhængende.traditionenerennæstenstatiskstrukturogandre praksisserfungererprimærtvedatforeslåforskelligemåderathåndtere anliggender,somliggeriudkantenafdenalmindeligeklasserumspraksis.de tilladersusanneatdeltageientraditionelpraksisvedatopdeleelever,som udgørproblemerellervedatindsætteelementerafreformdiskursenomkring forståelseiisoleredeinstruktionsenheder.påalletidspunkternavigerersusanne irelationtilfleretidligereognuværendepraksisser,menshunbidragertil interaktionensomudfoldesiklasserummet Rasmus deltagelseiforskelligepraksisser Ideforskelligeinterviewsogideobserveredeundervisningslektionermed Rasmus,positionererhansigselviforholdtilflereforskelligepraksisser.Vivil herkommeindpåfireafdisseadskilte,menogsåoverlappende,sociale praksisser.enafdemerenlæreruddannelsespraksis,densynesatvære inspireretafmatematikundervisereogreformdiskursenimatematik.denanden praksiserensamarbejdspraksismedroseogronja,denneerblandtandet eksplicitpåderes2.årpålæreruddannelsen,iflereeksamensopgaver,ipraktik hosastridogrækkerindideressocialeliv.entredjepraksis,somogsåspilleren rolleiinterviewene,errasmus erfaringermedundervisningfraflerepraktikker ogfraettidligerelærervikarjob.denfjerdeogsidstepraksiserrasmus store engagementiteaterverdenen,hvorhanifritidenerendelafteaterlivet Læreruddannelsespraksis:Fradummegruppetilhjernevasket Rasmusharværetgladforathavematematiksomlinjefag.Hanfinder underviserneengageredeogfornemmer,atdeharlysttilatudviklesigi samarbejdemeddestuderende.rasmusbeskriver,atmatematikikkealtidhar 122

123 væretnemtforham,ogathansammenmedflerefrasitmatematikholdhavde sværtveddetfagligeindeholdiundervisningen.rasmusfortæller,athanvartæt vedatdumpe1.årsprøven,ogatdervardenoglestykker,somdannedeen hjælpegruppe: Detvarogså,fordivihavdeenspecieloplevelse,atvivarhjælpegruppen, der.jegføltemigvirkeligdum,dajegstartedeherinde,detgjordejeg,forat sigedetligeud, jegtænkte,detherdetgennemførerjegaldrig,jegfatter intetaf,hvadderbliversagt.jegkunneingenting,detvarderheldigvis nogleandre,derikkekunne,((roseogronjagriner))()sågikvisammenog lavededumme gruppen. (Rasmus,interviewgp 1). Igruppenhjalpdehinandentiludviklingafbådecommencontentknowledgeog specializedcontentknowledge.hjælpegruppenblevsenereomdøbttil ressourcegruppen.rasmusereksplicitomkringsinematematiskekompetencer: Jegsynesjostadigikkehelt,jegforstår,hvaddeter((griner))... (Rasmus, interviewgp 1),mensamtidigbeskriverhan,athanindhentededetfaglige: detblevjohentetind,kanmansige.andetårformigvardautroliggivende, fagligtaltså,()matematikfagligt.jegerblevetlidtklogere. (Rasmus,interview gp 1).Rasmusafsluttedematematikmedflotteresultater.Hanfølersigensmule usikker,menklartilatskulleudogunderviseimatematik.rasmussynes,athan harfåetmegetudafmatematikundervisningenpålæreruddannelsen: Etoverblikogsåoverdetstof,manerigangmed.Ogdet,synesjegogså, faldermignemmereognemmere,ogkunnesefradeneneendetilden andenogsige,hvorkanjegsåbindetrådenvideretildetnæste?ogdeter virkeligrart.ogdeterkommetiløbetafdetsidsteårpåseminariet,hvori startentænktejegbare,hvordanindihelvedehængeraltdethersammen? (Rasmus,interview2). Rasmusbeskriverher,athanharfåetetoverblikoverdetmatematiskestof, specializedcontentknowledgeogknowledgeofcurriculum.derudoverharhan gennemmatematikstudietgennemgåetenudvikling: Altsåisærudviklingafegnemetoder,deterproblemløsning,deter undersøgendearbejde,deteraltandetend,hvaderdetmankalderdet? opgavepåopgavepåopgavepåopgavepåopgave,repetitionellerhvaddet hedder.øhm,såfedt,mendettogmignogettidsådanselvatindsedet,hvor 123

124 fedtdetegentligter.menrigtigrart,nårmanstårdernedenu,atdet nærmest,detliggerjoikkepårygradenendnuoverhovedet,menjegkanda mærke,atnogetafdetbareerderaltså. (Rasmus,interview2). Hanlæggerherisærvægtpåspecializedcontentknowledge.Etafdeområder, Rasmusbeskriverframatematikstudiet,erdenfagligedialogsvigtighed.Han fortæller,athanbliverglad,nårbarederkommerresponsfraeleverne,oghan vilgernehave,atelevernesnakkersammenommatematikkenidet: jegtror,detgørderesforståelsefordet,somjegnuerigangmedatvise demellerundervisedem,størreihvertfald.plusdeogsåfåren bevidsthedsgørelseom,atdeikkesidderderalene. (Rasmus,interview2). SpecieltarbejdetmedFællesMålharfåetRasmustilatfølesigklartilatskulle underviseimatematik:"nokfordijegharterpetdet,altsådetderfaghæftetså meget,ik'?såmanved,manerpådettørre,((griner))nårmanstarter."(rasmus, interview2).rasmusereksplicitomkring,atlæreruddannelsespraksissenspiller enrolleibådeplanlægningenogudførelsenafundervisningen,mens undervisningenandrestedererimplicitunderstøttetafdelefrahans læreruddannelsesundervisning.medetglimtiøjetfortællerrasmus: atmanbliverindoktrinerettil,atnuvedvi,hvaddengodelærerereller sådannoget,ogsåkanvigåudogsige: Nej,detderdetdurikkeogduer ikke,ogivirkelighedenermansåblevethjernevasketlidt? (Rasmus, interviewgr 1). Foreksempelopleverhanindimellem,athanlydersomsinegen matematikunderviserpålæreruddannelsen: Fangermigselvtitiatsige; "okaaay",fuldstændigligesomjohanne[underviserpålæreruddannelsesi matematik]. (Rasmus,interview2).Rasmuskarikererseneresammeunderviser, dahantiletpraktikoplægfor2.årsstuderendeimitererhende: Deterpraksisvi skalbliveklogepå!((kiggersmilendepåjohanne salengriner)). (Rasmusm.fl., oplæg1). 124

125 OpsummerendedeltagerRasmusienreformorienteret læreruddannelsespraksis,hvorhanopleverlærervidenbådesomspecialized contentknowledge,commoncontentknowledgeogknowledgeofcurriculum. Dererfokuspå,ateleverneskaludvikleegnemetoder,problemløsning,dialogisk undervisningogatfællesmålsindholderenvigtigdelafundervisningen Studiegruppepraksis:Refleksionogstudievision Studiegruppepraksissenerendelaflæreruddannelsespraksissen,ogharsit udspringimatematiklinjefaget,hvorrasmus,ronjaogrosearbejdedesammen. Deharvalgtatbibeholdederessamarbejde,nårdettehargivetmening,trods forskelligelinjefagpå3.og4.årgang.rasmus,ronjaogroseharholdtforedrag forlæreruddannere,praktiklærereogfor2.årsstuderendeomkringdengode praktikogværetiflerefællespraktikker.destøtterhinandenideres Bacheloropgaveskrivningogsesprivatiforskelligesammenhænge.Dagruppen varipraktik,forberedtedederesundervisningsammen: Vilavedealt sammen (Rasmus,interviewgp 1).Gruppenvarherenigeom,atdetvarokay atlavedårligundervisningellerlorteundervisning,somdesiger.deterikkeen falliterklæring,forisidsteendehandlerdetomatlærenogetipraktikkenogom atudviklesig.de3studerendeharforskelligetilgangetil,hvordanmangriber undervisningenan.rasmusudtaler: Mendetsjoveer,atvitænkermeget forskelligtomdetik?forjegkanhuske,nårvisadogplanlagdepraktik,hvorjeg ertypen,derbareharlysttilatgøredet. (Rasmus,interviewgp 1).Ronja fortællerimodsætninghertil,atforberedelsenervigtigfordi: Baredetathavemulighedforathaveenmasseideer,atmanikkekunhar enmådeattænkepå,menjegharfaktiskenhelstribemåderattænkepå, somjegkanbringeispil,det,synesjeg,erenormtvigtigt(.)iallefag, tænkerjeg. (RonjaiRasmus,interviewgp 1). Efterpraktikkenhargruppenarbejdetvideremeddereskonkrete klasserumspraksisseroganalyseretderesundervisningviavideoklip,nogetde selvbeskriversom: studievision (Rasmusm.fl.,oplæg1).Deharideresarbejde væretdrevetafetønskeomatudviklesigogblivegodelærere,derleveroptil reformmæssigekrav. 125

126 Undervisningspraksis:Levendegjortteori,Ekspertenogrutine Rasmusharundervisningserfaringerfratidligerepraktikkerogfratidligere lærervikarjob.hanbeskriveriinterviewene,hvorvigtigpraktiklærerenerfor selvepraktikundervisningenogudbyttetafpraktikopholdet: detvilsigehele deresverden,sommantræderindi,ideder7uger,altså,deerjooveralt,kanman mærke (Rasmus,interview2).Isin2.årspraktikhavdeRasmusAstridsom praktiklærer.tiletforedragomhandlendedengodepraktik,beskriverrasmus, atastrid: erlevendegjortteori.vigårjoherindepåseminariet,mangeafos,og tænkeratøh,atdetkangodtvære,atvifårenmasseputtetihovedether, mendetforegårpåenhelandenmåde,nårviførstkommerudifolkeskolen ogser,atsådanerdetbareikke,ogsåmåmanindordnesigunderdet.øh (.)((kiggerpåpowerpoint)).vifiksådenglædeatopleve,atdetviople lærteherinde,varfaktiskdetdergjorde,detvardethungjordevores praktiklærerudeiskolenunderhelepraktikken. (Rasmusm.fl.,oplæg1). RasmusseraltsåAstridsompersonificeringenafdenteori,dearbejdermedpå læreruddannelsen. Rasmusharoplevetbådegodeogdårligepraktiklærere.Indensitpraktikforløb på3.årbeskriverhan: jegvilkunnetageover,altsåhvismanmødtesådanensomdenførsteårs ting ogdet,synesjeg,errigtigrart,altsåjegvilikkegåipanikeller overtagehans(.),menværesikkerpå,atjeggodtkanbæredet selv. (Rasmus,interviewgp 1). Rasmusbeskriverher,hvorvigtigtdeteratståvedsinundervisningogarbejde reformorienteret.iselvepraktikkenvarrasmusstadigindstilletpåatkæmpefor dengodeundervisning,menindserogså,atdetikkeerlet,ogathanafogtilikke fårsagttilogfra: Jeghartitsagt,atmanskaltagekampenopogsige,atdetherervores rettigheder,ogdetskalvigøreogsådannoget,menalligevelbinderman knudepåsigselvrigtigmangegangeogbaresidderognikkerogsigerjajo jo. (Rasmus,interview2). 126

127 IsammepraktikkalderRasmus praktiklærer,carsten,sigforeksperten. Carstensundervisningogpraktikgruppensvejledningererikkedirekte sammenligneligemedundervisningenpålæreruddannelsen. Frasine7årsomvikarfortællerRasmus,atflereafhanskollegaerstøttervalget afmatematiksomlinjefag: såsagdede:"detersågodtgjort,atduharvalgt matematik",sigerde,"efterdetførsteårdu,såkørerdetbarepårutinendu,såer detbarehjemogtagefrempåhylderne". (Rasmus,interviewgp 1). Undervisningspraksissenerendiskursivpraksis,somersammensataf erfaringerfraflereforskelligekonkretefysiskepraksisser.erfaringernevarierer fradenreformorienteredepraksis,hvorrasmusoplever,hvordanteoriog praksissmeltersammen tilenpraksishvorrasmuserfarer,aten reformorienteretundervisningkræveretsamarbejdendemiljø tilenpraksis hvormatematikhandleromrutineoggentagelse,ogmereersammenligneligt medtidligeretidersundervisningsreform.mankunnemedfordelhavebeskrevet undervisningspraksissernesomflereadskiltepraksisser.deindeholderdogalle væsentligeoplevelserogreferencer,dernuvirtueltspillersammenmedrasmus nuværendeklasserumspraksis Teaterpraksis:Lærermood Rasmusharenstorteaterinteresseoghavdetidligereendrømomatkommeind påteaterskolen.viharoplevethansstoreengagementidetteved,atsehamsom skuespillerietbørneteaterstykke.rasmusfortæller,athanergodtilat improvisere,hanansersigselvsomdenimpulsivetype: derbaresiger;"okay, vigørdetbare" ogjeg: improviserermigfremtilmangeting. (Rasmus, interviewgp 1).AlligevelimprovisererRasmusikkemeget,nårhanskal underviseipraktikken,herskalaltværeplanlagtogstruktureret: Determåskedetenestestedimitliv,hvorjegerstruktureret,hvorjegrent faktiskforberedermig,menaltså(.)ogdeterjegrigtiggladfor,,jegvil måskesletikkegåindafdøren,hvisjegikkevidste,hvaddetvar,detskulle handleom. (Rasmus,interviewgp 1). NårRasmusbeskriversinundervisning,erderelementer,dererparallelletil teaterverdenen.hanbeskriver,atligeindenhantræderindiklassen,gårhaniet 127

128 specieltmood,lærermood,hvorhanerheltroligogmegetstrukturereti modsætningtil,nårhanikkeunderviser: Jegerenormtnervøs,indenjegskalindogundervise,øhhheledageninden (.)kanjeggåsådanogværeheltanspændtoghaveknuderimaven tænke,tænke,tænkepåhvordandetskalforløbe Fordimanerbangefor atfejle,trorjeg.altsåjegernervøs,nårjegskalindforanbørnog undervise,mendeterså,altsådetvedjegikke,deterbarenoget præstationsangst.endnuværre,nårjegved,dersidderfolkogkiggerpå mig.mendererdetsårart,deder10minutterinden,ligeinden,mangår ind,såbegynderjegbareatslappeheltaf vuv;ogbliverenigmedmigselv om,atdetskalgå,somdetgår.detvarnogleerfaringer,vigjordesidsteår, deterbareatgøredetogsåse,hvordandetgår.menjegkanmærke,atnår jegkommerind,jegkannæstenbliveforafslappet.altsåjeg,jeg..detkunne væresjovtatmåleenspuls,nårmanstårderinde,fordijegtrorikkemin pulsstiger,tværtimodsåfalderden,ogdeterforfærdeligt deterikke dårligt...jegsynesbare,determærkeligt,atdetkommersådan atgåfra dendernervøsitettilligepludseligtathvileidetogsige,sågørvisådan (Rasmus,interview2). LærermoodetpåvirkeraltsåRasmustilatfølesigroligogstruktureretogikke impulsiv,mendetfårhamogsåtilatføle,athanikkeersigselv: Oghvisdeter sådan,detskalvære,såerdetogså,jeghardetjofintmeddet,mendeterikkemig selv,deterjodet,dererunderligt.deterikkesådan,somjegernormalt. (Rasmus, interview2). DerermangeelementerfrateaterverdeneniRasmus interviews.hanhenviser ikkeeksplicittilteaterverdenen,menhanbeskriverdetatundervise,somat indtageenrolle.hantræderindiklassen,nærmestsomattrædeindpåenscene. Herspillerhanenrolle,hvorhanerafslappet,struktureretogikkeimpulsiv.En rollehvorhangårilærermood. 128

129 10.7 FortolkningogdiskussionafCaseRasmus Rasmus:Detfysiskemiljø Undervisningslokaletfor2.klasseerindrettetmedenstortavlepådenenevæg medetkatederforan,derudovererder4gruppebordemedpladstil5 6elever Rasmus:Endobbeltlektionmedmultiplikation Idobbeltlektionen,hvorfravisenereanalysererflereundervisningssekvenser, arbejderklassenmedmultiplikation.deterførstegang,atrasmusogmathilde skalunderviseidenneklasse,ograsmuseropmærksompå,atklassens matematiklærerharandretilgangetilmatematikundervisning,enddenrasmus opleverpålæreruddannelsen.rasmusogmathildeharvalgtatproducerederes egetmaterialeogarbejdersåledesikkemedelevernesgrundbog,kontext. Rasmustrækkerblandtandetpåsinlæreruddannelsespraksis,hvorhanharlært atværekritiskoverforbogsystemer,mensamtidigsesogså studiegruppepraksissen,hvorrasmuservanttilatreflektereoveregenpraksis, oghanudtalersåledes: menharsåiforbifartenhaftformegetfartpå,såvi(.)harglemtlidt,at detvarindskolingen,detharviikkeglemt,detharviheletidenvidst,men hvorkonkretmanskalværeideheropgaver,oghvormegetderskalvære billedsymbolsk,sådekanfølgemed,ogrentekstog (Rasmus,interview 2). Rasmus underviserpålæreruddannelsen,johanne,harligeledesfåetrasmustil jævnligtatreflektereoverpraksis deterjopraksis,manskalbliveklogerepå. IstartenaflektionenintroducererRasmushistorienomenhumlebi,Brum.Brum rejsergennemeuropaogkommerudfor4matematiskemultiplikationsopgaver, someleverneløser.elevernebliverhvergang,demøderenopgavesattilat samarbejdeogdiskuterederesløsning.historienombrumvarercirka30 minutter.detertydeligt,atrasmusiopbygningenafhistorienhartænkt,at eleverneskalstillesoverforforskelligemultiplikativesituationer.de multiplikativesituationerharrasmusmuligvisfrasinlæreruddannelsespraksis, herunderetforedragpålæreruddannelsenomkringudviklingaf multiplikationsalgoritmer. 129

130 Rasmus introduktionsfortællingtilmultiplikation Rasmus: HERharIsimpelthenenbrumbasse.Enlidtstorbrumbasse.Man kanfaktiskgodtsige,deterenlidttykbrumbasse.brumbassererjo tykke,mendenhererekstratyk,ogsåhedderdenbrum.ogbrum erendanskbrumbasse,((alleelevernesidderstilleogkiggerpå Rasmus))ogdenhardetrigtigrigtigkoldtiøjeblikket,fordideter vinter,alledensvennerergåethi,ellerfløjetetandetstedhen.så hansidderaltsåudeisitkolonihavehus,herikøbenhavn,ogfryser, forhanharikkerådtilattændeforvarmen,ogfølersigheltalene; hanharfejretjulheltalene,hanharfejretnytårheltalene,såderfor tænkerhan,"nuskalderskenoget,jegskalgøreetellerandet,jeg kanikkebaresiddeherimitsommerhusogkedemig,hvadskaljeg gøre,jegtagerpåferie,jegmådahentiletland,hvorderervarme." Hvortagerhanhen? ((flytterfingerennedoverkortet,som hængerforantavlen,tilgrænkenland))grænkenland.igrækenland erdervarmt,ogderersødemennesker,ogsåerdegodetil matematik,(.)mendeternogetheltandet.sådertænkerhan,han vilflyvened.hvordanerdetmedbrumbasser,ogdetmedatflyve? ((laverflyvebevægelsermedarmene))erdegodeellererdedårlige? ((pegerpåenelev)) Elev: Deerøh:gode? Rasmus: Faktiskerbrumbasserrigtigdårlige Oghanflyveroghanflyverog hanflyvernedgennemdanmark,((pegerpåkortet))zzzz,nedtil Tyskland.ITysklandderhardenoglemotorveje,somerlidtsjovere endherhjemmeidanmark,derernemligikkenoglefartgrænser,så dermåmankøreligesåhurtig,sommanvil,ogdererhansplan ((pegertogangepåsinhjerne))atsættesigombordpåenbil, zuish::::,ogbarekøreafstedmed400kmitimen,woom:((eleverne griner)),helevejenafsted.oghannårogsåatsættesigpåenbil,og hanflyver,hanflyverjoikke,menhansidderfast,zzz::zzz:::zz::, (Rasmus,undervisning1). Elevernesidderallestilleoglytter.Mankanse,atdesyneshistoriener spændende.historienbliverogsåfortaltfyldtmedmimikogfagter,ogdeter tydeligtatseskuespillerenrasmus.dererlydeffekter:zzz::ogwoom,derer storekropsbevægelser:laverflyvebevægelsermedarmene.rasmusfortæller,at hvishanoplever,atderernogen,dersidderogervedatfaldeisøvn: såkan manjoheldigvisbareskrueelementerpåhistorien,somgørdetspændendefor dem. (Rasmus,interview2).DeelementerRasmusønskeratskruepå,erde dramatiskefrahansteaterpraksisogikkedetmatematiskeindhold.rasmus deltagelseiteaterpraksissenerdermedfremtrædendeihelehistorienombrum. RasmusbegrunderhistorienomBrummed,atdekanfåallemuligeandre sidetingmed,fxlidtomdegamlegræskematematikere.desudenbegrunderhan 130

131 sitfokuspåhistorienmed,atelevernenyderundervisningenmere: Ogdenyder detogså.jegvarnæstenvedatgåsålangt,som,athanskullehaveværetpåbesøgi dag,aristotelesmedskæg! (Rasmus,interview2).Etinitiativ,dernærmestville fårasmus deltagelseidenkonkreteklasserumspraksistilatbliveendelafhans deltagelseiteaterpraksissen.idetsenerevideoklip interviewreflekterer Rasmusoverhistorien: JA,ogsåbliverdetmåskelidtformegethistoriefortælling nogengange,mendet,synesjeg,erdetfedesommatematiklærer. (Rasmus, interview2). OverordnetbeskriverRasmus,atdetervigtigt,atmansomlærerhardetsjovt sammenmedeleverne,mensmanlavernogetmatematik oghanvilledø,hvis hanbareskullestillesigopoglaveside4,5og6ibogen.rasmusbrugerden dramainspireredehistorieombrumbådesomenkontekstformatematikken, fordidetgørundervisningensjov,menogsåforditilgangenkanværebåde struktureretogfyldtmedimpulsiveelementer.rasmuserikkeeksplicitomkring kontekstenssammenhængmedsitengagementiteaterverdenen. Brum historiensesaltsåsomkontekst,motivatorogindgangsvinkelfor opgaverne: Enrigtiggodindgangsvinkeltilatgøredederproblemerbareen smulerealistiskfordem,ha,hvorrealistiskdetnukanvære. (Rasmus,interview 2).Rasmustrækkerherligeledespåsinlæreruddannelsespraksis,hvorhan blandtandetharlærtomdenhollandskeskolerealisticmathematiceducation, ogbegrunderbrum historien,udfravigtighedenafathaveenrealistisk kontekst,somelevernekanforholdesigtilogarbejdeudfra.endnuenikke eksplicitbegrundelsekanvære,atrasmusharset,hvordanastridisin undervisningligeledesoftelæggerudmedenhistoriemedetindbyggetproblem. Iovenståendeintroduktionkanmanoverordnetsige,atteaterpraksissener tydelig,mensdetmatematiskeindholdogreformdiskursenbliverskubbeti baggrunden,mendogikkeforsvinder.rasmusermåskegodtselvklarover,at matematikkenkanforsvindelidtvækihistoriefortællingen,nårhanindleder heletimenmedatsige: Mennuerdetjomatematik,Iskalha',itotimer,menjeg synesalligeveljegvilstartemedatfortællejerenhistorie (Rasmus, undervisning1).ordetalligevelindikererherenmodsætningmellem matematikkenoghistorien,oghistorienombrumbliverikke,somden 131

132 reformorienteredekontekst,sommaneksempelviskanseanbefaletirealistic MathematicsEducationellerfindeiFællesMål2009.Pådennemådekommer læreruddannelsespraksissenogteaterpraksissentilatståsommodsætninger. Idesidsteopgaverelevernefåreropdelingenmellemmatematikoghistorie ogsåmegettydelig.dentidligerekonteksternuvæk,ogopgaverneomhandleris ogfirkanter Introduktionsfortællingogopgaveløsning Brumharnuløstdenførsteopgave,ogBrummøderendnuenopgave: Rasmus: "Hallohallohallo,jegerogsåvedatlaveenhave,ogdenfuldstændig ensmedminnabos,mendetkanjegikkerigtigfindeudafdet,men jeghartagetentegningmedher,kandufortællemig,hvormange fliserjegegentligskallæggeher?""ja",sigerbrum,"detkanjeg godt" ((Rasmustegnerhaven)) Rasmus: Sådanserhavenud.Hvormangefliserskalmandenlægge?((Mange eleverharhåndenoppe))prøvligeatsnakkesammenigenmedjeres sidemand,oghøromiharfåetdetsammeresultat. Rasmus: Prøvligeatsnakkesammen,prøvligeatsnakkesammen.Jaja.HarI snakketsammen?ogerikommetfremtildetsamme?ja.mikael. Mikael: 15 Rasmus: 15?((Rasmusskriver15påtavlen)) Rasmus: Otto: Rasmus: Otto: Rasmus: Otto: DetsvarerBrumogså,15.Hvadgjordedu,Mikael?Taltedufelterne? Mikael? Hvordan= Hanfikhjælpafmig. Nå,deterdaogsådetbedste,mankanfå.HjælpergodtMikael. HvadgjordeduOtto? Jegtalteførstenlinje,såvidstejeg,dervar5,såkunnemanregne detud.deter5 tabellen. Deter5 tabellern.sådusagdebarelige,enlinjeer5,ogduvidste, dervar3afdem,ellerhvad? Ja 132