Vejledende Matematik A

Transkript

1 Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Af opgaverne 11A, 11B, 11C, og 11D skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgavesættet består af opgaverne 1-9 med i alt 18 spørgsmål samt valgfrie opgaver 10A-10D med i alt spørgsmål og 11A-11D med i alt 4 spørgsmål. De 4 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

2 Side 1 af 8 sider Opgave 1 I trekant ABC er følgende størrelser kendte: B = 80, BC = 7 og AB = 8 a) Bestem AC og vinkel A. Vinkelhalveringslinjen for vinkel B skærer siden AC i punktet D. b) Bestem BD. Opgave To vektorer!! a og b er bestemt ved! t a! = og b= 1 4t hvor t er et tal.!! a) Bestem den værdi af t, for hvilken a og b er ortogonale.

3 Side af 8 sider Opgave Hvis en lystfisker vil beregne vægten af en fanget fisk, kan han bruge, at der er en sammenhæng mellem fiskens vægt, dens længde fra snude til midten af halefinnen og dens omkreds, målt lige foran rygfinnen. For laks gælder sammenhængen V =,1 10 o l 5 hvor V er vægten i kg, o er omkredsen i cm, og l er længden i cm. a) Bestem vægten af en laks med omkredsen 47, cm og længden 80 cm. For laks gælder tilnærmelsesvis, at omkredsen o er en funktion af længden l bestemt ved o= 0,59 l b) Udtryk V som funktion af l, og bestem længden af en laks, der vejer 10 kg. Kilde: Opgave 4 En romaskine kan indstilles, så man efter en periode på 5 minutter kan få oplyst den effekt, som roeren har ydet samt den tilbagelagte strækning. Tabellen viser resultatet af en sådan måling, hvor 8 personer har deltaget. Effekt målt i watt Tilbagelagt strækning målt i m a Sammenhængen kan beskrives ved en funktion af formen f ( x) = b x, hvor x betegner effekten, målt i watt, og hvor f ( x ) betegner den tilsvarende tilbagelagte strækning, målt i m. a) Bestem ved at benytte tabellens data konstanterne a og b. b) Benyt den fundne forskrift til at bestemme den effekt, der skal til for at opnå en tilbagelagt strækning på 900 m. c) Med hvor mange procent øges den tilbagelagte strækning, hvis effekten øges med 0%? 4

4 Side af 8 sider Opgave 5 En funktion f er givet ved 1 f ( x) = x x + 5x + 1, x R a) Bestem monotoniforhold for f. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ( 0, f (0)). c) Bestem de værdier af a for hvilke ligningen f ( x) = a har netop løsninger. Opgave 6 Rumfanget V af en kegle med højde h og grundfladeradius r er givet ved formlen x r h=x+ x r V = h r π Figur 1 Figur En kegle med grundfladeradius r og højde h er indskrevet i en kugle med radius, som vist på figur 1. Afstanden mellem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade betegnes x, hvor 0 < x <. Figur viser et plant snit gennem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade. a) Bestem for x = 1 grundfladeradius r, og bestem keglens rumfang. Det oplyses, at keglens rumfang V(x) som funktion af x er bestemt ved V x = + x x x, 0 < x < π ( ) (8 4 ) b) Bestem den værdi af x, for hvilken keglens rumfang er størst muligt. 5

5 Side 4 af 8 sider Opgave 7 En funktion f er givet ved y f (x) = x 9 x, x [ 0;] f En punktmængde M afgrænses af grafen for f og x-aksen. a) Bestem arealet af M. M b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 60º om x-aksen. 0 x Opgave 8 Når en varm genstand stilles til afkøling i koldere omgivelser, er genstandens temperatur Tt () en aftagende funktion af tiden t. Omgivelsernes temperatur betegnes T 0. Det oplyses, at væksthastigheden T () t for genstandens temperatur er proportional med forskellen mellem omgivelsernes temperatur og genstandens temperatur. Proportionalitetskonstanten betegnes k. a) Opstil en differentialligning, som Tt () må opfylde. Opgave 9 En funktion f er en løsning til differentialligningen dy y (0, 01 0, y) dx = og f (0) =,99. a) Bestem en forskrift for f. I en model beskriver funktionen f befolkningsudviklingen i USA for perioden efter 1790, idet f ( x ) angiver befolkningstallet i millioner i USA, og x angiver antallet af år efter b) Bestem modellens værdi for befolkningstallet i USA i år 000, og bestem, hvor mange procent dette tal er mindre end det faktiske befolkningstal i USA år 000 på 81,4 millioner. Kilde: US Census Bureau. 6

6 Side 5 af 8 sider Suliassanit ukunannga: 10A,10B, 10C aamma 10D taamaallaat ataaseq naliligassatut tunniunneqassaaq. Suliat ataatsimik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissummut siullermut akissutit nalilerneqassapput. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Opgave 10A: Vektorregning i rummet. I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i punktet C(, 4, ) og radius. a) Gør rede for, at punktet P(5,, ) ligger på kuglen, og bestem en ligning for kuglens tangentplan i P. I punktet Q har kuglen en tangentplan, der er parallel med kuglens tangentplan i P. b) Bestem koordinatsættet til Q. Opgave 10B: Vektorfunktioner i planen. I planen er en kurve givet ved parameterfremstillingen x t t = + 1, t R = + y t t a) Tegn en skitse af parameterkurven, og bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens skæringspunkter med x-aksen. b) Bestem en parameterfremstilling for parameterkurvens tangent i punktet svarende til t = 0. 7

7 Side 6 af 8 sider Opgave 10C: Kvadratisk optimering. På et byggemarked sælges der brædder i to forskellige kvaliteter A og B. Det antal meter af kvalitet A, der sælges pr. uge, betegnes x, hvor 0 x 00. Det antal meter af kvalitet B, der sælges pr. uge, betegnes y, hvor 0 y 00. Det oplyses, at den ugentlige omsætning kan beskrives ved funktionen f ( xy, ) = 0,08x+ 40x 0,0y + 10y a) Tegn niveaukurven N (050) svarende til f ( x, y) = 050. b) Bestem, hvor meget træ der skal sælges af kvalitet A, og hvor meget træ der skal sælges af kvalitet B pr. uge, for at byggemarkedet får den størst mulige ugentlige omsætning. Opgave 10D: Sandsynlighedsregning og statistik. Før et valg i 009 foretager en avis en undersøgelse af, hvor stor en andel af stemmerne et bestemt politisk parti vil få ved valget. En repræsentativ stikprøve på 1750 vælgere viser, at det politiske parti vil få en andel på 1,4% af stemmerne. a) Bestem et 95% konfidensinterval for den andel af stemmerne, som det politiske parti vil få ved valget. Ved et valg i 005 fik det politiske parti 11,% af stemmerne b) Vurdér, om andelen af stemmer på det politiske parti har ændret sig fra 005 til

8 Side 7 af 8 sider Suliassanit ukunannga: 11A, 11B, 11C aamma 11D taamaallaat marluk naliligassatut tunniunneqassapput. Suliat marlunnik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissutinut siullernut marlunnut akissutit nalilerneqassapput. Af opgaverne 11A, 11B, 11C og11d skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgave 11A: Rentes- og annuitetsregning. Jane lånte 0000 kr. i banken den 1/ Tilbagebetalingen af lånet startede den 1/ 007, idet Jane skulle betale en månedlig ydelse i alt 10 gange. Bankens rente var 0,5% pr. måned. a) Bestem den månedlige ydelse. b) Bestem restgælden umiddelbart efter, at den 4. ydelse var betalt. Opgave 11B: Beskrivende statistik. En persons Body Mass Index (BMI) er et mål for sammenhængen mellem personens vægt og højde. For 00 udvalgte personer fordelte BMI sig således: BMI ]14;18] ]18;] ];6] ]6;0] ]0;4] Antal personer a) Bestem middelværdien. Tegn sumkurven, og bestem medianen. Personer med et BMI mellem 5,0 og 0,0 betegnes som overvægtige. b) Bestem hvor mange procent af de udvalgte 00 personer, der betegnes som overvægtige. 9

9 Side 8 af 8 sider Opgave 11C: Lineær programmering. En virksomhed producerer to typer stearinlys: type A og type B. Produktionen pr. dag er underlagt følgende betingelser: 0, x+ 0,1y 80 x+ y 500 x 0 y 0 hvor x angiver antal lys af type A, og y angiver antal lys af type B. a) Tegn polygonområdet ud fra de givne betingelser. Fortjenesten på ét lys af type A er 1 kr., og fortjenesten på ét lys af type B er 9 kr. b) Bestem det antal lys af type A og det antal lys af type B, der skal produceres pr. dag, så den samlede fortjeneste er størst mulig. Opgave 11D: Analytisk beskrivelse af linjer, parabler og cirkler. I et koordinatsystem er en parabel og en linje givet ved ligningerne 1 y = x + x+ og y = x+ 1 5 Parablen og linjen skærer hinanden i to punkter, som benævnes A og B, hvor A er punktet med den mindste førstekoordinat. a) Bestem koordinatsættet til hvert af punkterne A og B. Parablens toppunkt benævnes T. b) Bestem arealet af trekant ABT. 10