Integralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul

Transkript

1 Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul

2 Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler 5 F ortolk integral6 I integrere K kvadrant 7 S stamunktion, stamunktion med Nspire stamunktion uden hjälpemidler stamunktion, grapunkt givet U ubestemt integral,, 5 Indholdsortegnelse Hvad er en stamunktion UndersÅg om g( er en stamunktion til ( GÅr rede or at g( er en stamunktion til ( En unktion har mange stamunktioner 5 Symbol or stamunktion 6 Bestem stamunktion med Nspire 7 Bestem stamunktion uden hjälpemidler 8 Bestem d 9 Find en bestemt a stamunktionerne 0 Hvad er en arealunktion? Vigtig regel om arealunktioner Hvad er det bestemte integral 5 Udregn b d med Nspire 5 a Udregn b a d uden hjälpemidler 5 5 Regel om bestemt integral og areal 5 6 Bevis or regel om bestemt integral og areal 6 7 Fortolk integral 6 8 Kvadrant 6 9 Areal mellem gra og -akse, eksempel 7 0 Areal mellem gra og -akse, eksempel 8 Areal mellem to graer, eksempel 8 Areal mellem to graer, eksempel 9 Areal mellem to graer, eksempel 9 Bestem k sç arealet a M er lig et tal der er oplyst 0 Integralregning or B-niveau i st É 0 Karsten Juul 9/0-0 Download nyeste version a dette häte ra HÄtet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@matdk

3 Hvad er en stamunktion? g( er en stamunktion til ( hvis g( dierentieret giver ( dvs hvis g( UndersÅg om g( er stamunktion til ( UndersÅg om g( er en stamunktion til For at undersåge om g( er stamunktion til (, vil vi dierentiere g ( : g( ( ) Da g( dierentieret ikke giver (, gälder: g( er ikkeen stamunktion til GÅr rede or at g( er stamunktion til ( GÅr rede or at g( er en stamunktion til For at gåre rede or at g( er stamunktion til (, vil vi dierentiere g ( : g( 0 ( ) Da g( dierentieret giver (, gälder: g( er en stamunktion til Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul

4 En unktion har mange stamunktioner En unktion har mange stamunktioner, da en konstant dierentieret giver nul: c er stamunktion til 5 8 uanset hvilket tal vi skriver i stedet or c NÇr vi Ändrer pç c, orskyder vi graen op eller ned I koordinatsystemet har vi tegnet graerne or nogle a stamunktionerne til SÄtning Hvis h( er en a stamunktionerne til (, sç er unktionerne h( k samtlige stamunktioner til ( (,5) SÄtning Hvis h( er en stamunktion til (, sç vil stamunktionerne til ( väre de unktioner hvis gra vi kan Ç ved at rykke h(-graen op eller ned,75 ( 0,5),75 5 Symbol or stamunktion Symbolet d betyder: stamunktionerne til ( og läses: det ubestemte integral a ( NÇr vi inder ud a hvad d er lig, sç siger vi at vi integrerer ( Eksempel: ( ) d c 6 Bestem stamunktion med Nspire PÇ skabelon-paletten välger vi integralskabelonen Nspire skriver kun Ñn a stamunktionerne: Vi mç selv tilåje c For at inde stamunktion til, 0 skal vi angive at 0 : Husk at trykke pç håjrepilen inden du taster den lodrette streg! Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul

5 7 Bestem stamunktion uden hjälpemidler k har stamunktionen k nçr k er en konstant eks 6 har stamunktionerne 6 c har stamunktionerne c a har stamunktionen a a eks MEN har IKKE stamunktionen har stamunktionerne c har stamunktionerne ln( c i intervallet 0 har stamunktionerne ln( c i intervallet 0 MEN har IKKE stamunktionen ln( e har stamunktionerne e c Hvis: ( har stamunktionen F( sç: k ( har stamunktionen k F( eks har stamunktionerne c dvs c Hvis: ( har stamunktionen F( og g( har stamunktionen G( sç: g( har stamunktionen F( G( g( har stamunktionen F( G( eks eks e 6 har stamunktionerne 6 e c har stamunktionerne ln( c i intervallet 0 Advarsel: Man kan IKKE integrere et udtryk ved at integrere hver del a udtrykket (bortset ra visse specielle tilälde), eks har IKKE stamunktionen e e e har IKKE stamunktionen 5 e har IKKE stamunktionen e 5 e 8 Bestem ( d Bestem 6 d 6 d 6 c 6 c c Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul

6 9 Find en bestemt a stamunktionerne (Vi kender et punkt pç stamunktionens gra) F er en stamunktion til Det er oplyst at graen or F gçr gennem punktet (, 6) I nogle opgaver er denne oplysning ormuleret sçdan: F ( ) 6 Find F Da F er en stamunktion til, indes en konstant c sç F( c Da graen or F gçr gennem punktet (, 6), mç ( ) sç c ( ) c, dvs F (, 6 NÇr vi indsätter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat 0 Hvad er en arealunktion? Den viste gra er pç en skärm NÇr vi träkker -prikken mod håjre, bliver det grç omrçde stårre A( er arealet a det grç omrçde A( kaldes arealunktionen or ( PÇ billedet ser vi at A( 9) 6 og A ( ) 5 A( Vigtig regel om arealunktioner Betyder at graen ligger pä eller over -aksen NÇr A( er arealunktionen or en ikke-negativ unktion (, a b sç gälder at A( er en stamunktion til ( dvs A( Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul

7 Hvad er det bestemte integral Det bestemte integral ra a til b a ( b a d F( b) F( a) hvor F( er en stamunktion til ( Det bestemte integral er et tal Det ubestemte integral er unktioner er tallet a b Udregn ( d med Nspire PÇ skabelon-paletten välger vi integralskabelonen Eksempel ( 6 5) d 05 udregnet med Nspire Husk at skrive dette! Udregn ( d uden hjälpemidler NÇr vi udregner bestemte integraler uden hjälpemidler, er det praktisk at bruge symbolet F b a ( som betyder F( b) F( a) Fordelen er at vi kan skrive stamunktionen inden vi indsätter gränserne a og b or ( 6 5) d a b 5 5 ( ) 5 ( ) 05 5 Regel om bestemt integral og areal SÄtning om bestemt integral og areal Hvis 0 or a b og M er omrçdet mellem -graen og -aksen i intervallet a b sç gälder b a d arealet a M M Integralregning or B-niveau i st 5 0 Karsten Juul

8 6 Bevis or regel om bestemt integral og areal Bevis A( er arealunktionen or ( F( er en stamunktion til ( Da A( og F( er stamunktion til samme unktion, indes en konstant c sç (* ) A( F( c Nu Çs areal a M A(b) IÅlge deinitionen pç arealunktion A( b) A( a) Da A ( a) 0 F b) k F( a k ( ) IÅlge (*) F( b) F( a) Hermed har vi bevist reglen i ramme 5 b a d IÅlge deinitionen pç bestemt integral 7 Fortolk integral I en opgave er Vi har udregnet at 0 d 7 6 Vi skal give en ortolkning a dette tal Svar pç dette spårgsmçl: Da 0 or 0, gälder: 0 d er arealet mellem -graen og -aksen i intervallet 0 sç 7 er arealet mellem -gra og -akse i intervallet 0 6 dvs 6 7 er arealet a det grç omrçde Integralregning or B-niveau i st 6 0 Karsten Juul

9 8 Kvadrant I opgaver hvor vi skal bestemme arealer, kan der stç ordet kvadrant Koordinatakserne deler planen op i ire kvadranter Figuren viser hvad de ire kvadranter hedder kvadrant kvadrant kvadrant kvadrant 9 Areal mellem gra og -akse, eksempel Figuren viser graen or unktionen og linjen med ligningen Graen or skärer -aksen i punkterne (, 0) og (, 0) Bestem arealet a det grç omrçde Det grç omrçde er omrçdet mellem graen or og -aksen i intervallet Da 0 ( d i dette interval, er arealet ) = = ( ) ( ) = 8 8 = = Arealet a det grç omrçde er 9 Integralregning or B-niveau i st 7 0 Karsten Juul

10 0 Areal mellem gra og -akse, eksempel En unktion har orskriten,5 6 Bestem arealet a det omrçde der i Årste kvadrant agränses mellem graen or og koordinatakserne Det sågte areal er skraveret pç skitsen (ra Nspire) PÇ skitsen ser vi at vi skal bruge -koordinaten til det venstre a de to Ällespunkter mellem graen og -aksen, sç vi Çr Nspire til at låse ligningen,5 6 0 mht og Çr 0, 5 eller Det sågte areal er altsç arealet mellem -gra og -akse i intervallet 0 0, 5 0,5 0,5 6 d 0, 875 udregnet med Nspire Arealet a det omrçde der i Årste kvadrant agränses mellem graen or og koordinatakserne, er 0,, dvs Areal mellem to graer, eksempel I nogle opgaver skal et areal udregnes ved at udregne to arealer og träkke det ene ra det andet Vi har tegnet graerne or unktionerne og g( Vi vil udregne arealet a det grç omrçde V pç venstre igur g g g Vi låser ligningen V M H og Çr, sç graernes skäringspunkt har -koordinat Det grç omrçde M pç midterste igur har arealet ( d 0 Det grç omrçde H pç håjre igur har arealet 0 d 0 6 udregnet med Nspire udregnet med Nspire Hvis vi jerner H ra M, Çr vi V, sç arealet a V er Integralregning or B-niveau i st 8 0 Karsten Juul

11 Areal mellem to graer, eksempel Der er givet unktionerne og g ( 0, Bestem arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g For at inde -koordinater til skäringspunkter mellem graer lader vi Nspire låse ligningen 0, og Çr, 0957 eller 7, 08 Se igur nedenor til venstre areal mellem -gra og g-gra = Dvs (areal mellem -gra og -akse) (areal mellem g-gra og -akse) = 7,08,0957 ( d ( 0, ) d = 7,08,0957 9,97687 udregnet med Nspire Arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g er 9, 98 g g,0957 7, 08 6 Figur til ramme Figur til ramme Areal mellem to graer, eksempel Der er givet unktionerne og g ( 0, Bestem arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g i intervallet [ ; 6] Se igur ovenor til håjre Dvs areal mellem -gra og g-gra i [ ; 6] = (areal ml -gra og -akse i [ ; 6]) (areal ml g-gra og -akse i [ ; 6]) = 6 ( d ( 0, ) d = 6,60000 udregnet med Nspire 6 Arealet a det omrçde der agränses mellem graerne or og g er 6, 60 Integralregning or B-niveau i st 9 0 Karsten Juul

12 Bestem k sç arealet a M er lig et tal der er oplyst Figuren viser graen or og linjen med ligningen k Bestem et positivt tal k sç det grç areal er Vi skal bestemme k sç det grç areal = dvs sç k 0 ) ( d Nspire låser denne ligning mht k or k 0 k,080 og Çr Figuren viser graen or k, 0 k Bestem k sç det grç areal er 7 Vi skal bestemme k sç det grç areal = 7 dvs sç ) ( k d Nspire låser denne ligning mht k or 0 k 7 Husk at taste gangetegn mellem k og og Çr k Integralregning or B-niveau i st 0 0 Karsten Juul