Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)"

Transkript

1 Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl Alle sædvalige hjælpemidler (lærebøger, otater etc.) samt brug af lommereger er tilladt. Brug af computer er ikke tilladt. Eksamessættet består af 6 opgaver på 6 ummererede sider (1 6). Fuld besvarelse er besvarelse af alle 6 opgaver. De ekelte opgavers vægt ved bedømmelse er agivet i procet. Der må gere refereres til resultater fra læreboge, samt otere. Dette gælder også de opgaver der har været stillet til eksamiatoriere, eller til afleverig. Specielt må ma gere begrude e påstad med at hevise til, at det umiddelbart følger fra et resultat i læreboge, otere, eller é af de opgaver, der har været stillet på ugesedlere (hvis dette altså er sadt!). Hevisiger til adre bøger (ud over læreboge) accepteres ikke som besvarelse af et spørgsmål! Husk at begrude die svar! 1

2 OPGAVE 1 (10%) Gør rede for, at! = + 1 i=1 ( 1) i C(, i)( i). Hit: se på afbildiger der er 1-1 og på (fra e mægde med elemeter til e mægde med elemeter). Svar: Der er! fuktioer som er på fra e mægde med elemeter til e mægde med elemeter. Dette følger af at det i te elemet har i mulige billeder, år vi har fastlagt billedere af de første i. Højreside agiver også atallet af fuktioer som er på fra e mægde med elemeter til e mægde med elemeter. Dette følger af Theorem 1 side 509 i læreboge. OPGAVE (10%) Løs rekursiosligige a = 7a 1 1a, for og a 0 = 3, a 1 = 10. Svar: De karakteristiske ligig er r 7r+1 med rødder r 1 = 3, r = 4. Dvs a er på forme a = α α 4. Startbetigelsere giver at α 1 + α = 3 og 3 α α = 10 med løsig α 1 =, α = 1. Svaret er altså a = OPGAVE 3 (17%) Bestem atallet af positive heltal som er midre ed 10000, for hvilke summe af s cifre (også kaldet tværsumme) er 5. Det vil sige at d 1 + d + d 3 + d 4 = 5, hvor = d 1 d d 3 d 4 udtrykt i 10-tals systemet (0 d i 9 og vi tillader represetatioer som 0078). Hit: du ka for eksempel avede pricippet om iklusio-eksklusio.

3 Svar: Ude begræsiger på d i ere er der ( ) ( ) = 8 3 løsiger til ligige d 1 + d + d 3 + d 4 = 5 hvor d i 0 for alle i. Vi skal have sorteret dem fra hvor et eller flere af d i ere er større ed 9. Lad D i, i = 1,, 3, 4 være mægde af løsiger til ligige d 1 + d + d 3 + d 4 = 5 hvor d i 10. Så har vi at D i = ( ) Der er ialt 4 sådae led med samlet 4 (18 ) løsiger der skal trækkes fra. 3 Vi har u fratrukket løsiger hvor af d i ere er midst 10 to gage så de skal lægges til ige. Der gælder at D i D j = ( ) 8 3, så vi skal ialt lægge 6 (8) 3 til ige. Vi ka ikke have 3 eller flere forskellige di er større ed 9 samtidigt. Svaret bliver således, at der er ( ) ( ) ( ) heltal midre ed hvis ciffersum (tværsum) er 5. OPGAVE 4 (18%) I dee opgave ka du for eksempel beytte dig af formle i læreboge side 509 for atallet af fuktioer f : X Y som er på og hvor X = m og Y =. Spørgsmål a: På hvor mage forskellige måder ka ma fordele s forskellige emer i 5 forskellige kasser, så midst e af kassere er tom? Spørgsmål b: På hvor mage forskellige måder ka ma fordele s forskellige emer i 5 forskellige kasser, så præcis e af kassere er tom? Spørgsmål c: På hvor mage forskellige måder ka ma fordele s forskellige emer i 5 forskellige kasser, så midst to af kassere er tomme? 3

4 Spørgsmål d: Forklar hvorfor svaret i spørgsmål c ikke er lig med ( ) 5 3 s, som fås ved først at vælge to kasser, der skal være tomme og så tage alle mulige fordeliger af de s emer til de 3 sidste kasser. Svar: (a) Svaret er det samme som det samlede atal fordeliger (ude begræsiger) mius atallet af fordeliger hvor alle kasser har midst et elemet. Sidstævte er etop atallet af afbildiger fra e s-mægde til e 5-mægde der er på. Svaret er altså 5 s (5 s 5 4 s s 10 s +5) = 5 4 s 10 3 s + 10 s 5. (b) Her er svaret 5 gage atallet af afbildiger fra e s-mægde til e mægde med 4 elemeter som er på, dvs 5 (4 s 4 3 s + 6 s 4) = 5 4 s 0 3 s + 30 s 0. Vi har ikke talt oget dobbelt her, idet ige af de talte afbildiger misser mere ed et elemet bladt de 5. (c) Her skal vi blot trække svaret i (b) fra det i (a), så vi får at der er 5 4 s 10 3 s +10 s 5 (5 4 s 0 3 s +30 s 0) = 10 3 s 0 s +15 forskellige måder at fordele på så midst to kasser forbliver tomme. (d) Når vi vælger to kasser a, b som skal være tomme og tager alle de 3 måder at fordele elemeter de 3 tilovers bleve kasser c, d, e på, så tæller vi også de med hvor vi f.eks lægger alle elemeter i kasse e. Dee tælles derfor med 6 gage, svarede til de 6 måder at vælge bladt kassere a, b, c, d som skal forblive tomme. OPGAVE 5 (17%) E graf B = (V, E) er -delt, hvis vi ka opdele des puktmægde V i to disjukte mægder V 1, V, så ehver kat uv E opfylder at u V 1, v V eller u V, v V 1. Lad G = (V, E) være e graf som ikke ødvedigvis er -delt. E udspædede -delt delgraf af G er e -delt graf H = (V, E ) med de samme puktmægde som G og hvor katmægde E er e delmægde af G s kater (E E). Bemærk, at e såda H altid svarer til e opdelig 4

5 U, W af V (U W = og U W = V ) og E er så (ogle af) de kater fra E som har præcist et edepukt i U. E give H ka svare til flere sådae opdeliger. Di opgave er at bevise, at ehver graf G = (V, E) har e udspædede -delt delgraf H = (V, E ) som opfylder at E E /. Du ka for eksempel ete bevise dette ved at beskrive (og vise korrekthede af) e algoritme som givet G kostruerer e såda H, eller du ka bevise ved hjælp af de probabilistiske metode, at der eksisterer e såda udspædede -delt delgraf. Hvis du vælger de sidste metode, ka du med fordel betragte e tilfældig opdelig V = V 1 V, V 1 V = som er frembragt ved at lade v V tilhøre V 1 med sadsylighed 1 (og dermed V med samme sadsylighed). Se u på katere ekeltvis og vurder sadsylighede for, at e givet kat går mellem V 1 og V. Brug dette til at bestemme det forvetede atal kater, der har præcist et edepukt i V 1 (og dermed i V ) og forklar, hvorda ma ud fra dette atal ka kokludere eksistese af de påståede -delte udspædede delgraf. Svar: E løsig som de øskede ka kostrueres ved at starte med alle pukter i U (dvs W = ) og så getage følgede operatio så læge de ka avedes: Hvis der er e pukt i U eller W som har flere kater til pukter i si ege mægde ed til de ade, så flyt puktet til de ade mægde (Hvis f.eks v U har 4 kater til pukter ide i U og ku til pukter i W, så flytter vi v over i W ). Hver gag vi udfører dee operatio stiger atallet af kater mellem U og W, thi vi mister dem mellem v og de ade side, me vider tilgegæld alle dem (og der er flere af disse) fra v til si (idtil u) ege mægde. Dee algoritme vil termiere, da de ikke ka forbedre atallet af kater mellem de aktuelle U, W flere gage ed der er kater i G. Når de slutter har alle pukter midst halvdele af deres kater til de ade side, hvorfor dee opdelig har de øskede egeskab. 5

6 Probabilistisk argumet: Lad som foreslået et givet pukt tilhøre V 1 med sadsylighed 1 og lad V 1, V betege de opdelig af V der er resultatet af dee opsplitig. For e give kat uv E lader vi X uv være idikatorvariable for om kate uv går mellem V 1 og V. Dvs, { 1 Hvis u Vi og v V X uv = 3 i for i = 1 eller i = (1) 0 Hvis u, v V i for i = 1 eller i = Da u og v begge lader i e give mægde med sasylighed 1 får vi p(x uv = 1) = 1 1 = 1. Lad u X være atallet af kater som har præcist et edepukt i V 1, da er X = uv E(G) X uv og de forvetede værdi af X er E(X) = uv E(G) e(x uv ) = uv E(G) p(x uv = 1) = E(G). () Vi u vist at det forvetede atal kater i de -delte udspædede delgraf B = (V 1, V, X), som er resultatet af vores tilfældige opdelig, er E(G). Dette medfører sadsylighede for at vi opår e god opdelig som har midst E(G) kater er større ed ul, thi ellers kue vi tage et r < E(G) så der gælder at p(x r ) = 0 og så ville vi have at E(X) = X=r r p(x = r) = X r r p(x = r) + X r r p(x = r) = X r r p(x = r) < r X r p(x = r) = r < E(G), hvilket er i modstrid med beregige ovefor. Vi har altså at sadsylighede for at de tilfældige opdelig er god (har midst E(G) kater) er skarpt større ed 0 og deraf følger at e såda opdelig eksisterer. 6

7 OPGAVE 6 (8%) I dee opgave betragter vi tilfældige afbildiger f : S T fra e mægde S til e ade mægde T, hvor S = T = og. E tilfældig afbildig f : S T geereres ved at udføre følgede eksperimet Q: for hvert s S vælger vi uiformt (sadsylighed 1 for alle elemeter i T ) et tilældigt t T og vi sætter f(s) = t. Mægde f 1 (t) = {s S f(s) = t} består så af de s S som tildeles t som billede. Bemærk, at 0 f 1 (t) og t T f 1 (t) =. Spørgsmål a: Bestem sadsylighede for at de geererede afbildig f er 1-1 og på. Spørgsmål b: Gør rede for, at det for alle t T gælder, at det forvetede atal elemeter fra S som afbildes over i t er lig med 1. Hit: Betragt idikator variable X t,s som for s S idikerer om f(s) = t og udtryk f 1 (t) ved hjælp af disse. For ethvert t T lader vi U t, være hædelse at f 1 (t) = 1. Spørgsmål c: Gør rede for, at p(u t ) = ( 1 ) 1 Spørgsmål d: Bestem for t t de betigede sadsylighed p(u t U t ). Spørgsmål e: Er hædelsere U t og U t uafhægige år t t? 7

8 Spørgsmål f: Gør rede for, at det forvetede atal elemeter t T for hvilke hædelse U t idtræffer er ( 1 ) 1. Atag u at vi getager eksperimetet Q i alt r gage og at vi for et givet t T lader X t betege atallet af disse eksperimeter i hvilket hædelse U t idtræffer. Spørgsmål g: Hvad er de forvetede værdi E(X t ) af X t for et fast t T? Spørgsmål h: Brug Cheroff bouds til at vurdere sadsylighede for at X t r ( 1 ) 1. Du skal blot opskrive de relevate ulighed som de kommer til at se ud, samt argumetere for, at du ka avede Cheroff bouds til dee vurderig. Svar: (a) Der er (ifølge Opgave 1)! afbildiger fra e -mægde til e - mægde som er på og totalt er der afbildiger. Svaret bliver altså at sadsylighede for at de geererede afbildig er på er!. (b) Lad X st være idikator variable som er 1 år s parres med t og 0 ellers. Dvs p(x st = 1) = 1, da s vælger uiformt fra T. Atallet af elemeter fra S der afbildes id i t er så Z t = s S X st og de forvetede værdi bliver E(Z t ) = s S E(X st ) = s S 1 = 1 = 1. (c) Der er måder at vælge et s S som ka afbildes over i t. De resterede 1 elemeter i S skal samtidig vælge e af de resterede 1 elemeter i T så sadsylighede bliver p(u t ) = 1 (1 1 ) 1 = ( 1 ) 1. (d) Vi har at p(u t U t ) = p(ut U t ) p(u t). Vi keder allerede p(u t ) og skal altså blot bestemme p(u t U t ). Her ka vi vælge s, s som afbildes over i heholdsvis t og t på 1 måder. Sadsylighede for at et sådat 8

9 givet par s, s vælger heholdvis t og t medes alle adre vælger et t T {t, t } er 1 1 (1 ). Dvs p(u t U t ) = ( 1) 1 1 (1 ) = ( 1) 1 ( ). Idsættes dette i udtrykket for p(u t U t ) = p(ut U t ) p(u t) får vi p(u t U t ) = (e) Hædelsere U t og U t 1 ( 1) ( ) ( 1 = ( ) 1 1 ). er ikke uafhægige idet. p(u t U t ) = ( 1 ) ( 1 ) 1 = p(u t ) (f) Lad Y = t T Y t hvor Y t er idikatorvariable for hædelse U t. Så er Y atallet af elemeter i T for hvilke hædelse U t idtræffer. Vi får u E(Y ) = t T E(Y t ) = t T p(u t ) = ( 1 ) 1 (g) Lad Y ti være idikator variable som er 1 hvis U t idtræffer i de i te udførelse af eksperimetet Q. Så er X t = r i=1 Y ti atallet af gage U t idtræffer og vi får at E(X t ) = r i=1 E(Y ti ) = r i=1 p(u t ) = r ( 1 ) 1. (h) Vi aveder formel (13.4) i otere med µ = E(X t ) = r ( 1 δ = 1 og får ved idsættelse: p[x t > r ( 1 ) 1 ] < [ e ]r ( 1 ) 1. 4 ) 1 og Vi ka avede Cheroff bouds eftersom X t er e sum af idikator variablee Y t1, Y t,..., Y tr og disse er uafhægige, fordi de refererer til hædelser i forskellige getagelser af Q. 9

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori

Læs mere

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Uge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :

Uge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) : Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.

Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags. Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2

1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2 Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Projekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN

Projekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i

Læs mere

og Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN

og Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a

Matematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET

Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse

Anvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Hovedpointer fra SaSt

Hovedpointer fra SaSt Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Projekt 9.8 Betingede sandsynligheder og paradokser i sandsynlighedsregningen

Projekt 9.8 Betingede sandsynligheder og paradokser i sandsynlighedsregningen Projekt 9.8 Betigede sadsyligheder og paradokser i sadsylighedsregige Et forløb om betigede sadsyligheder ka itroduceres via et selvstædigt elevarbejde med materialet i projekt 9.7 Testet positiv? samme

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Censorvejledning engelsk B, HF 2017-læreplan

Censorvejledning engelsk B, HF 2017-læreplan Cesorvejledig egelsk B, HF 2017-lærepla December 2018 Lie Flitholm, fagkosulet lie.flitholm@stukuvm.dk 33925383 Idholdsfortegelse Cesorvejledig egelsk B, HF 2017-lærepla... 1 Det skriftlige opgavesæt HF

Læs mere

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala

Sandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

M Å L T E O R I S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R S V E N D E R I K G R A V E R S E N O G

M Å L T E O R I S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R S V E N D E R I K G R A V E R S E N O G F O R E L Æ S N I N G S N O T E R T I L M Å L T E O R I O G S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 S V E N D E R I K G R A V E R S E N A U G U S T 2 0 0 5 I N S T I T U T F O R M A T E M A T I S K

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere