Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:"

Transkript

1 Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab til det pågældende værktøj. Der er mange forskellige måder man kan benytte værktøjerne på det følgende er kun et forslag i forbindelse med den faktiske udførelse af undervisningen kan andre metoder sagtens vise sig mere hensigtsmæssige. Af samme grund er det heller ikke nødvendigt at gennemarbejde samtlige afsnit. Det er valgfrit til såvel den skriftlige eksamen som den mundtlige eksamen om man vil benytte sig af teoretiske metoder eller eksperimentelle metoder. Til den skriftlige eksamen er de indbyggede fordelinger og rutiner et godt udgangspunkt (afsnit 4 og 5). Til den mundtlige eksamen er eksperimentel hypotesetest i forbindelse med et statistisk projekt et godt udgangspunkt (dele af afsnit 2). Indholdsfortegnelse 1) Eksempler på grafisk fremstilling af data side 1 (Beskrivende statistik Explorative Data Analysis) 1a: Uafhængighed side 1 1b: Goodness of fit side 1 2) Eksperimentel hypotesetest side 3 2a: Uafhængighed side 3 Metode 1: Simulering ud fra omrøring side 3 Metode 2: Simulering ud fra produktfordeling side 6 2b: Goodness of Fit side 11 3) Teori: De indbyggede fordelingsfunktioner side 15 4) Teoretiske udregninger hørende til hypotesetest side 18 4a: Uafhængighed side 18 4b: Goodness of Fit side 19 5) Indbyggede testrutiner side 21 5a: Uafhængighed side 21 5b: Goodness of Fit side 22 Følgende TI-Nspire CAS-filer følger med: Afsnit 1: Eksempler på grafiske fremstillinger. Afsnit 2: Eksperimentel hypotesetest Afsnit 3: De indbyggede fordelingsfunktioner Afsnit 4: Teoretiske udregninger Afsnit 5: De indbyggede test

2 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksempler på grafisk fremstilling af data 1) Eksempler på grafisk fremstilling af data (til brug for den beskrivende statistik Explorative Data Analysis) 1a: Uafhængighed Eksempel 1: (side 4 i kursusmaterialet) ø\ 1500./å 1500./å æ i alt Når vi skal vurdere om der er samme fordeling af forbruget hos henholdsvis mænd og kvinder er det formentligt nemmest at taste data ind i lister og regneark og overføre dem til grafer som frekvensplot, her illustreret som cirkeldiagrammer. Det ses da tydeligt at mænds forbrugsmønster i den pågældende stikprøve ser helt anderledes ud end kvinders forbrugsmønster. 1b Goodness of fit Eksempel 2 (side 24 i kursusmaterialet) Indkomstfordelingen i stikprøven var: I = Indkomst i 1000 kr. Observeret antal [[Køn\Forbrug,<1500 kr./måned, 1500 kr./måned,i alt][kvinder,98,102,200][mænd,60,100,160][i alt,158,202,360]] 2 [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 98,88,199,136,210,179,52,38]] side

3 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksempler på grafisk fremstilling af data Den forventede fordeling i stikprøven baseret på de ovenstående procenter er tilsvarende givet ved: Forventet antal Sammenholder vi de observerede hyppigheder med de forventede følges de så nogenlunde ad. Men man kunne måske være bekymret for, om de laveste indkomster er overrepræsenteret i stikprøven. Her ligger den observerede hyppighed et godt stykke over den forventede. 3 Når vi skal vurdere om der er samme fordeling af indkomster i interviewundersøgelsen (stikprøven) og landsgennemsnittet (populationen) er det formentligt nemmest at taste data ind i lister og regneark og overføre dem til grafer som frekvensplot, her illustreret som søjlediagrammer. Det ses da tydeligt at fx fordelingen for de to laveste indkomstgrupper er vendt om i stikprøven i forhold til populationen. Der synes altså at være grund til bekymringen! 3 [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 64,93,178,123,243,180,66,53]] side

4 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest 2) Eksperimentel hypotesetest 2a: Uafhængighed Eksempel 1: (side 4 i kursusmaterialet) ø\ 1500./å 1500./å æ Simulering af nulhypotesen For at simulere nulhypotesen, der påstår at forbruget er uafhængigt af kønnet, må vi først fastlægge en fortolkning af hvad vi mener med uafhængighed. Det kan gøres på flere måder. Metode 1: Vi diskuterer først omrøring. Vi konstruerer først en krydsliste for kombinationen af køn og forbrug der er i overensstemmelse med de oplyste hyppigheder. Derefter konstruerer vi to lister for køn og forbrug, der er i overensstemmelse med de oplyste hyppigheder (benyt som vist FrequencyTable Listkommandoen): køn:=freqtable list('kat_køn,'obs_hyp) Vi får også brug for de forventede hyppigheder til udregning af teststørrelsen. De udregnes ved hjælp af celleformlen D1: _ø,,_ _,,_ 1. 5 _ Endelig kan vi udregne teststørrelsen: _: sum _ Så er vi klar til omrøringen! I TI-Nspire CAS udføres omrøringen ved hjælp af RandSampkommandoen: omrørt_køn:=randsamp(køn,dim(køn),1) hvor slutparameteren 1 angiver at der er tale om en stikprøve UDEN tilbagelæsning. Derved udføres en tilfældig permutation af elementerne i en liste. For at få optalt hyppighederne for omrøringen benyttes celleformlen: =sum(iffn('omrørt_køn=a1 and 'forbrug=b1,1,0)) Endelig har vi oprettet et frekvensplot for kat_mix og sim_hyp, så vi kan visualisere simuleringen, når vi taster CTRL-R i Lister og Regnearksapplikationen! I de observerede hyppigheder ligger KvindeHøjt, KvindeLavt og MændHøjt ca. lige højt. Men i simuleringen er det altid KvindeHøjt, der ligger et stykke over de andre! 4 [[Køn\Forbrug,<1500 kr./måned, 1500 kr./måned,i alt][kvinder,98,102,200][mænd,60,100,160][i alt,158,202,360]] 5 ((sumif('kat_køn,a1,'obs_hyp)*sumif('kat_forbrug,b1,'obs_hyp))/(sum('obs_hyp)))*1. 6 chi2_obs:=sum((((obs_hyp-forv_hyp)^(2))/(forv_hyp))) side

5 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest Vi skal nu også have udregnet teststørrelsen Chi2_Sim for simuleringen, hvilket skal ske i et regneark, så den opdateres løbende: _: sum 7 _ 7 chi2_sim:=sum(((('sim_hyp-'forv_hyp)^(2))/('forv_hyp))) side

6 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest Vi kan så gå på datafangst efter den simulerede teststørrelse. For at holde styr på simuleringen benytter vi manuel datafangst (CTRL R efterfulgt af CTRL.) Så skal vi blot have udført simuleringen systematisk rigtigt mange gange. Her har vi udført simuleringen 500 gange og set prikdiagrammet blive bygget systematisk op. Prikdiagrammet understreger den grynede natur af chi2-testet. Vi kan da umiddelbart tælle, at der er 15 skæve målinger og dermed estimere p-værdien til 15/500, dvs. ca. 3.0%. Den observerede fordeling er derfor forskellig fra den forventede fordeling på 5%-niveauet. side

7 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest Vi kan også illustrere testfordelingen med et histogram overlejret med den teoretiske fordeling. Som det ses stemmer den empiriske simulerede fordeling og den teoretiske fordeling fint overens! Metode 2: Denne gang lægger vi os tættere op af sandsynlighedsregningen og udnytter at sandsynlighedsfordelingen for et mix af to uafhængige variable er givet ved produktfordelingen, dvs. vi ganger de respektive sandsynligheder sammen. Da vi ikke har fået oplyst sandsynlighedsfordelingen for de enkelte variable køn og forbrug, estimerer vi dem ud fra den observerede stikprøve: ø\ 1500./å 1500./å æ De observerede hyppigheder skrives ind i krydslister og de observerede sandsynligheder for simultanfordelingen udregnes ved hjælp af celleformlen: _ø,, _,, Hvis nulhypotesen er korrekt er de to variable uafhængige og de tilhørende sandsynligheder for den simultane fordeling er derfor netop givet ved produktfordelingen: {"KvindeLavt","KvindeHøjt","MandLavt","MandHøjt"} { , , , } 8 [[Køn\Forbrug,<1500 kr./måned, 1500 kr./måned,i alt][kvinder,98,102,200][mænd,60,100,160][i alt,158,202,360]] side

8 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest Her skal vi nu denne gang bruge den kumulerede fordeling til at konstruere stikprøven! Vi trækker derfor 360 tilfældige tal mellem 0 og 1 (Roulette) og afgør i hvert enkelt tilfælde, hvor det tilfældige tal falder indenfor den kumulerede fordeling. Derved simulerer vi netop produktfordelingen for de to uafhængige variable (dvs. i det væsentlige nulhypotesen). Vi skal nu have udregnet teststørrelsen hørende til observationerne: _ sum _ Tilsvarende skal vi have udregnet teststørrelsen for simuleringen, men den er mere subtil: VI kan ikke bare bruge de forventede værdier hørende til produktfordelingen, for så er vi jo reelt i gang med at teste om de observerede hyppigheder passer med produktfordelingen, hvilket er en goodness-of-fit test med 3 frihedsgrader for en kendt fordeling. I stedet må vi til hver af de simulerede hyppigheder udregne de tilhørende forventede hyppigheder - ud fra antagelsen om uafhængighed (nulhypotesen). Det var ikke noget problem ved omrøringen, for der holder vi jo fast i marginalhyppighederne. Men denne gang ændres antallet af kvinder, osv. sig i hver simulering. Så nu er der forskel - OG FORSKELLEN ER AFGØRENDE! 9 chi2_obs:=sum((((obs_hyp-forv_hyp)^(2))/(forv_hyp))) side

9 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest Vi skal nu også have udregnet teststørrelsen Chi2_Sim for simuleringen, hvilket skal ske i et regneark, så den opdateres løbende: _: sum 10 Vi kan så gå på datafangst efter den simulerede teststørrelse. For at holde styr på simuleringen benytter vi manuel datafangst (CTRL R efterfulgt af CTRL.) Så skal vi blot have udført simuleringen systematisk rigtigt mange gange. Her har vi udført simuleringen 500 gange og set prikdiagrammet blive bygget systematisk op. Prikdiagrammet understreger den grynede natur af chi2-testet! Vi kan da umiddelbart tælle, at der er 11 skæve målinger og dermed estimere p-værdien til 11/500, dvs. 2.2%. Den observerede fordeling er derfor forskellig fra den forventede fordeling på 5%-niveauet. Vi kan også illustrere testfordelingen med et histogram overlejret med den teoretiske fordeling. Som det ses stemmer den empiriske simulerede fordeling og den teoretiske fordeling fint overens! 10 chi2_sim:=sum(((('sim_hyp-'sim_forv_hyp)^(2))/('sim_forv_hyp))) side

10 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest side

11 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest side

12 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest 2b: Goodness of Fit Eksempel 2: (side 24 i kursusmaterialet) Indkomstfordelingen i stikprøven var: I = Indkomst i 1000 kr. Observeret antal Den forventede fordeling i stikprøven baseret på de ovenstående procenter er tilsvarende givet ved: Forventet antal Sammenholder vi de observerede hyppigheder med de forventede følges de så nogenlunde ad. Men man kunne måske være bekymret for, om de laveste indkomster er overrepræsenteret i stikprøven. Her ligger den observerede hyppighed et godt stykke over den forventede. Løsning: Vi skal have simuleret nulhypotesen og benytter derfor RandSamp-kommandoen til at udtrække en stikprøve fra en ideel population, der repræsenterer den forventede fordeling, sådan som den fremgår af tallene fra Danmarks statistik. Vi indskriver derfor lister med indkomstkategorier, de observerede hyppigheder og de forventede hyppigheder. Den ideelle population konstrueres derefter med kommandoen: ideel:=freqtable list(kat_indkomst,forv_hyp). Da stikprøven også består af 1000 individer skal vi nu have trukket 1000 individer fra populationen MED tilbagelægning, så hver indkomstkategori hver gang har samme sandsynlighed for at blive udtrukket! Vi kan gentage stikprøven ved at taste CTRL R (mens vi har aktiveret lister og regneark vinduet). De simulerede hyppigheder kan så findes ved hjælp af celleformlen =countif(stikprøve,a1). Med dette på plads kan vi nu både udregne den observerede teststørrelse og den simulerede teststørrelse: _ sum _ [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 98,88,199,136,210,179,52,38]] 12 [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 64,93,178,123,243,180,66,53]] 13 chi2_obs:=sum((((obs_hyp-forv_hyp)^(2))/(forv_hyp))) side

13 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest side

14 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest Den simulerede teststørrelse skal udregnes i et regneark, da den skal være dynamisk og opdateres løbende: _: sum 14 _ Vi kan så gå på datafangst efter den simulerede teststørrelse. For at holde styr på simuleringen benytter vi manuel datafangst (CTRL R efterfulgt af CTRL.) Så skal vi blot have udført simuleringen systematisk rigtigt mange gange. Her har vi udført simuleringen 500 gange og set prikdiagrammet blive bygget systematisk op. Vi kan da umiddelbart tælle, at der er 1 skæv måling (det er faktisk uhyre sjældent man fanger en skæv i dette tilfælde!) og dermed estimere p-værdien til 1/500, dvs. ca. 0.2%. Den observerede fordeling er derfor forskellig fra den forventede fordeling på 5%-niveauet. Vi kan også illustrere testfordelingen med et histogram overlejret med den teoretiske fordeling. Som det ses stemmer den empiriske simulerede fordeling og den teoretiske fordeling rimeligt overens! 14 chi2_sim:=sum((((sim_hyp-forv_hyp)^(2))/(forv_hyp))) side

15 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Eksperimentel hypotesestest side

16 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: De indbyggede fordelingsfunktioner 3) Teori: De indbyggede fordelingsfunktioner De indbyggede fordelingsfunktioner: Chi-kvadrat (χ 2 ) fordelingen hedder chi2. Når man skal arbejde med chi-kvadratfordelingen kan man benytte de følgende operatorer: y = chi2pdf(x,df): p = chi2cdf(xlav,xhøj,df) x = invchi2(p,df) (Point Distribution Function) (Cumulative Distribution Function) (den inverse fordeling) Vi ser først på tæthedsfunktionen: chi2pdf(x,df) χ²pdf(x,df) Som det ses kan vi ikke uden videre få oplyst forskriften. Vil man arbejde med forskriften skal den derfor indføres som en brugerdefineret funktion: chi2tæt(x,df) := 0, 0 0, 0, 0 15 chi2tæt(x,df) :=, 0 Det kan godt se lidt uoverskueligt ud, men for konkrete værdier af antallet af frihedsgrader forenkles udtrykket - ikke mindst for de lige frihedsgrader: 0, 0 chi2tæt(x,4), 0 0, 0 chi2tæt(x,5), 0. Her har vi successivt forenklet udtrykkene ved at markere deludtryk og evalueret dem! For de ulige frihedsgrader fører integrationen kun til en numerisk approksimation. Det er også nemt at afbilde tæthedsfunktionen (som har maksimum i x = df -2, dvs. i dette tilfælde 3): 15 chi2tæt(x,df):=piecewise(0,x<0,((x^(((df)/(2))-1)*^(((-x)/(2))))/( (x^(((df)/(2))-1)*^(((-x)/(2))),x,0, ))),x>=0) side

17 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: De indbyggede fordelingsfunktioner Vi ser dernæst på den kumulerede fordeling: chi2cdf(x_lav,x_høj,df) χ²cdf(x_lav,x_høj,df) Som det ses kan vi igen ikke få oplyst forskriften. Vil man arbejde med forskriften skal den derfor indføres som en brugerdefineret funktion: chi2kumuleret(x_lav,x_høj,df):= chi2kumuleret(x_lav,x_høj,df):= _hø _ 16 _hø _ Igen forenkles det betydeligt for et konkret antal frihedsgrader, ikke mindst for de lige frihedsgrader: chi2kumuleret(x_lav,x_høj,4) _hø hø _ hø chi2kumuleret(0,x_høj,4) _hø _hø _hø _hø _hø 1 _hø (hvor det sidste udtryk er fremkommet ved at anvende en expand-kommando) chi2kumuleret(x_lav,x_høj,5) _hø _ 16 (( (x^(((df)/(2))-1)*^(((-x)/(2))),x,x_lav,x_høj))/( (x^(((df)/(2))-1)*^(((-x)/(2))),x,0, ))) side

18 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: De indbyggede fordelingsfunktioner Endelig kan man finde fraktilerne (den inverse kumulerede fordeling). invchi2(0.95,5) Vi ser altså at 95% af observationerne ligger under , hvis vi har en stokastisk variabel, der er chi-kvadrat fordelt med 5 frihedsgrader: chi2cdf(0, ,5) 0.95 side

19 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Teoretiske udregninger hørende til hypotesetest 4) Teoretiske udregninger hørende til hypotesetest 4a: Uafhængighed ø\ 1500./å 1500./å æ i alt Løsning: Vi skal nu undersøge om der er afhængighed mellem køn og tøjforbrug! Vi får da først og fremmest brug for at beregne de forventede værdier og teststørrelsen. De forventede værdier udregnes nemmest ved at indskrive tabellen som krydslister i regnearket og så anvende den viste celleformel, der trækkes ned gennem søjlen. 17 Vi finder da: forv_hyp { , , , } _ sum _ Herefter er vejen banet for udregning af p-værdien, dvs. sandsynligheden for at vi rammer mindst lige så skævt som det observerede: p_værdi:=chi2cdf(chi2_obs,,1) Den kritiske sandsynlighed er altså 2.89%, hvorfor afvigelsen er signifikant på 5%-niveau, dvs. vi forkaster nulhypotesen om uafhængighed på 5%-niveauet. Vi kunne også have fundet den kritiske grænse for teststørrelsen: chi2_krit:=invchi2(0.95,1) [[Køn\Forbrug,<1500 kr./måned, 1500 kr./måned,i alt][kvinder,98,102,200][mænd,60,100,160][i alt,158,202,360]] 18 chi2_obs:=sum((((obs_hyp-forv_hyp)^(2))/(forv_hyp))) side

20 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Teoretiske udregninger hørende til hypotesetest Hvis teststørrelsen ligger over 3.84 er afvigelsen altså kritisk, dvs. vi må forkaste nulhypotesen (på 5%-niveauet). Endelig kan vi illustrere testen grafisk. Det gøres nemmest i data og statistik-applikationen. For at få lov til at tegne en graf, må vi dog først indføre to tomme variable x_var og y_var! 4b Goodness of fit Indkomstfordelingen i stikprøven var: I = Indkomst i 1000 kr Den forventede fordeling i stikprøven baseret på de ovenstående procenter er tilsvarende givet ved: Sammenholder vi de observerede hyppigheder med de forventede følges de så nogenlunde ad. Men man kunne måske være bekymret for, om de laveste indkomster er overrepræsenteret i stikprøven. Her ligger den observerede hyppighed et godt stykke over den forventede Løsning: Vi skal undersøge om den observerede fordeling følger den forventede. Vi overfører derfor data til lister og udregner teststørrelsen: _ sum _ 19 [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 98,88,199,136,210,179,52,38]] 20 [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 64,93,178,123,243,180,66,53]] 21 chi2_obs:=sum((((obs_hyp-forv_hyp)^(2))/(forv_hyp))) side

21 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Teoretiske udregninger hørende til hypotesetest Herefter er vejen banet for udregning af p-værdien, dvs. sandsynligheden for at vi rammer mindst lige så skævt som det observerede: p_værdi:=chi2cdf(chi2_obs,,7) Den kritiske sandsynlighed er altså %, hvorfor afvigelsen er signifikant på 1%-niveau, dvs. vi forkaster nulhypotesen om at stikprøven er repræsentativ for landsfordelingen på 1%-niveauet. Vi kunne også have fundet den kritiske grænse for teststørrelsen: chi2_krit:=invchi2(0.99,7) Hvis teststørrelsen ligger over er afvigelsen altså kritisk, dvs. vi må forkaste nulhypotesen (på 1%-niveauet). Endelig kan vi illustrere testen grafisk. Det gøres nemmest i data og statistik-applikationen. For at få lov til at tegne en graf, må vi dog først indføre to tomme variable x_var og y_var! I dette tilfælde er det dog meget svært at illustrere det kritiske område uden at grafen for fordelingen bliver meget uoverskuelig. side

22 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Indbyggede testrutiner 5) Indbyggede testrutiner 5a: Uafhængighed Eksempel 1: (side 4 i kursusmaterialet) ø\ 1500./å 1500./å æ i alt Løsning: Vi skal afgøre om de oplyste data er i rimelig overensstemmelse med nulhypotesen om uafhængighed mellem Køn og Forbrug. Vi benytter det indbyggede test for uafhængighed af to variable (2 way test), der forventer at få oplyst matricen for de observerede hyppigheder: chi22way obs : Stat.results "Title" "χ² 2-way Test" "χ²" "PVal" "df" 1. "ExpMatrix" "[...]" "CompMatrix" "[...]" Vi får da som vist en række koncentrerede oplysninger: 1) Teststørrelsen har værdien ) p-værdien er 2.89%, dvs. sandsynligheden for at finde en teststørrelse, der er mindst lige så skæv som den observerede er 2.89%. Nulhypotesen forkastes altså på signifikansniveauet 5%, men den forkastes ikke på 1% niveau! 3) Teststørrelsen er chi2 fordelt med 1 frihedsgrad. 4) Vi får adgang til matricen for de forventede værdier: stat.expmatrix ) Vi får også adgang til matricen for de enkelte bidrag til chi2-teststørrelsen: stat.compmatrix [[Køn\Forbrug,<1500 kr./måned, 1500 kr./måned,i alt][kvinder,98,102,200][mænd,60,100,160][i alt,158,202,360]] 23 obs:=[[98,102][60,100]] side

23 5b: Goodness of fit Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Indbyggede testrutiner Eksempel 2: (side 24 i kursusmaterialet) Indkomstfordelingen i stikprøven var: I = Indkomst i 1000 kr. Observeret antal Den forventede fordeling i stikprøven baseret på de ovenstående procenter er tilsvarende givet ved: Forventet antal Sammenholder vi de observerede hyppigheder med de forventede følges de så nogenlunde ad. Men man kunne måske være bekymret for, om de laveste indkomster er overrepræsenteret i stikprøven. Her ligger den observerede hyppighed et godt stykke over den forventede Løsning: Vi skal afgøre om de oplyste data er i rimelig overensstemmelse med nulhypotesen om samme fordeling for stikprøve og population. Vi benytter det indbyggede test for Goodness of fit, der forventer at få oplyst lister for de observerede hyppigheder, de forventede hyppigheder, samt antallet af frihedsgrader (som vi altså selv skal oplyse i denne test!). Udføres testet fra Lister og Regneark får vi ydermere mulighed for at vælge en grafisk illustration af testet, hvor vi dog ikke kan få det kritiske område at se, fordi de anvendte data er så ekstreme: "Title" "χ² GOF" "χ²" stat.results "PVal" "df" 7. "CompList" "{...}" 24 [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 98,88,199,136,210,179,52,38]] 25 [[I<50,50 I<100,100 I<150,150 I<200, 200 I<300, 300 I<400, 400 I<500,500 I][ 64,93,178,123,243,180,66,53]] side

24 Værktøjshjælp til TI-Nspire CAS: Indbyggede testrutiner Vi får da som vist en række oplysninger: 1) Teststørrelsen har værdien ) p-værdien er %, dvs. sandsynligheden for at finde en teststørrelse mindst lige så stor som den observerede er %. Da den ligger under signifikansniveauet 1% forkastes nulhypotesen på signifikansniveauet 1%. 3) Teststørrelsen er chi2 fordelt med 7 frihedsgrader (som vi selv har måttet oplyse). 4) Vi får adgang til de enkelte bidrag til teststørrelsen: stat.complist { , , , , , ,2.9697, } Hovedbidraget kommer altså fra den første kategori, dvs. for de laveste indkomster. side

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008 Den eksperimentelle metode i statistik Den naturvidenskabelige metode er i fokus efter gymnasiereformen. Det starter med naturvidenskabeligt grundforløb: Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008 Den eksperimentelle metode i statistik Den naturvidenskabelige metode er i fokus efter gymnasiereformen. Det starter med naturvidenskabeligt grundforløb: Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Statistiknoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Bjørn Felsager Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Forord side 1 1. Unges alkoholforbrug som funktion af

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

χ 2 test Formål med noten... 2 Goodness of fit metoden (GOF)... 2 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)...

χ 2 test Formål med noten... 2 Goodness of fit metoden (GOF)... 2 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)... χ Indhold Formål med noten... Goodness of fit metoden (GOF)... 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)... ) χ -fordelingerne (fordelingsfunktionernes egenskaber)... 6 3) χ -

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

The lady tasting tea

The lady tasting tea The lady tasting tea En eksperimentel indføring i hypotesetest Bjørn Felsager Foredrag ved Regionalmødet i Herning den 19. januar 2012 Indholdsfortegnelse 1. Indledning s. 2 Nye læreplaner og undervisningsvejledning

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Chi-i-anden Test. Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller

Chi-i-anden Test. Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller Chi-i-anden Test Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller Chi-i-anden Test Chi-i-anden test omhandler data, der har form af antal eller frekvenser. Antag, at n observationer kan inddeles

Læs mere

q-værdien som skal sammenlignes med den kritiske Chi-i-Anden værdi p-værdien som skal sammenlignes med signifikansniveauet.

q-værdien som skal sammenlignes med den kritiske Chi-i-Anden værdi p-værdien som skal sammenlignes med signifikansniveauet. Introduktion: Chi-i-Anden test (Goodness of Fit) på computeren fungerer som en "black-boks"- kommando, hvor eleverne med udgangspunkt i en nulhypotese (H ) taster de forventede og de observerede talværdier

Læs mere

Betinget fordeling Uafhængighed. Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary

Betinget fordeling Uafhængighed. Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary 1 Kontingenstabeller Betinget fordeling Uafhængighed 2 Chi-kvadrat test for uafhængighed Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM FORMÅL - BEKENDTGØRELSEN STX MATEMATIK A Kompetencer anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte

Læs mere

- Panelundersøgelse, Folkeskolen, september 2014

- Panelundersøgelse, Folkeskolen, september 2014 Svar på spørgsmål om understøttende undervisning og bevægelse, der indgik i Scharling-undersøgelse i Folkeskolens lærerpanel september 2014 Spm. 1: Har du fået mere bevægelse ind i din undervisning i fagene,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Hypotesetest s og spørgeskemaer Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Kumuleret sandsynlighed 1 0.9 0.8

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

KURSUSMATERIALE TIL DET NYE STATISTIKPENSUM

KURSUSMATERIALE TIL DET NYE STATISTIKPENSUM KURSUSMATERIALE TIL DET NYE STATISTIKPENSUM Det foreliggende udkast til kursusmateriale er lagt ud til orientering for kollegerne med henblik på at indhente kommentarer til materialet. Sammen med Susanne

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre

Læs mere

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange

Læs mere

3. Trekantsberegninger. Gør rede for cosinusrelationen i vilkårlige trekanter.

3. Trekantsberegninger. Gør rede for cosinusrelationen i vilkårlige trekanter. Matematik B, 2x - sommereksamen 2014 NB! Prøvespørgsmålene kan ændres på foranledning af censor 1. Trekantsberegninger Gør rede for en trekants vinkelsum og areal. Gør endvidere rede for ensvinklede trekanter.

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

FORDELING AF ARV. 28. juni 2004/PS. Af Peter Spliid

FORDELING AF ARV. 28. juni 2004/PS. Af Peter Spliid 28. juni 2004/PS Af Peter Spliid FORDELING AF ARV Arv kan udgøre et ikke ubetydeligt bidrag til forbrugsmulighederne. Det er formentlig ikke tilfældigt, hvem der arver meget, og hvem der arver lidt. For

Læs mere

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver

Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2. R opgaver Institut for Matematiske Fag Sandsynlighedsregning og Statistik 2 Københavns Universitet Susanne Ditlevsen og Helle Sørensen R opgaver Det er en god ide at vænne sig til at skrive kommandoerne i en editor

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på

Læs mere

Modul 5: Test for én stikprøve

Modul 5: Test for én stikprøve Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................

Læs mere

Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment

Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment Indhold 1. Modellering af fald med papirhelikopter: Et eksempel på lineær regression... 2 Empiri... 2 Helikoptereksperimentet...

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2016 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: t16gymabu1o1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

K.U. 29-03-2006 Metode Skriveøvelse 1 Af Marie Hammer og Steffen Tiedemann Christensen. Indholdsfortegnelse... 1. Opgave 1... 2. Opgave 2...

K.U. 29-03-2006 Metode Skriveøvelse 1 Af Marie Hammer og Steffen Tiedemann Christensen. Indholdsfortegnelse... 1. Opgave 1... 2. Opgave 2... Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Opgave 1... 2 Opgave 2... 2 Forforståelse:...2 Deskriptiv statistik:...3 Overvejelser:...12 Opgave 3... 13 Opgave 4... 15 Opgave 5... 16 Opgave 6... 17 Konklusion:...20

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015

Opgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015 Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses

Læs mere

Workshop i hypotesetest

Workshop i hypotesetest Workshop i hypotesetest Indholdsfortegnelse: Velkommen til TI-Nspire CAS version 3.2 Simple øvelser i chi2-test: Chi2-test I: Goodness-of-fit test side 1 Chi2-test II: Uafhængighedstest side 3 Vejledende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold CampusVejle, Boulevarden 48, 7100 Vejle HHX Matematik

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Kapitel 7 Introduktion til statistik Organisering af data Diskrete variabler Kontinuerte variabler Beskrivende statistik Fraktiler Gennemsnit Empirisk varians og spredning Empirisk korrelationkoe

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere