Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.

Transkript

1

2

3 Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x [ ] 25 M = Stamfunktionen til t 1 /2 er bestemt. 2 t 2 9 M = 65, a Dette sættes lig 100, og ligningen løses. 0 2x (x ) dx = Grænserne er indsat i stamfunktionen. a t 1 /2 dt [ ] a = t /2 9 = 2 ( a ) / ( a ) /2 18 = 100 ( a ) /2 = 118 = a = / ( a = / 9 a = ) 1/2 Opgave 7 Data er indlæst i GeoGebra og illustreret med et xy-plot. Den bedste lineære model y = a x+b har parametre a = kr /kg og b = kr. b) Ved hjælp af GeoGebras skæringsværktøj ses, omsætning og omkostninger er lige store når afsætningen er kg eller kg. c) Overskuddet er R (x) C (x) = ( 0.01x x ) (14.44x ) = 0.01x x Det maksimale overskud opnås midtvejs mellem skæringspunkterne hvor x = , hvilket giver et overskud på = kr. side 1 af 6

4 Opgave 8 Ved et lån på kr. som skal afbetales over 120 måneder med en rente på 0.4 % bliver ydelsen r y = A 0 1 (1 + r) n så den månedlige ydelse bliver kroner. b) Efter 6 måneder er restgælden så restgælden er kroner efter år. c) = = 287.9, R n = A 0 (1 + r) n y (1 + r)n 1 r = = , Ved køb og salg af bilen vil de samlede udgifter efter år være = kroner. Ved leasing bliver de samlede udgifter = kroner. Det kan derfor anbefales at købe bilen. Opgave 9 Differentialligningen dy dx = y, x [0; 25] løses ved hjælp af CAS, hvilket giver ( p (t) = 240 exp 2 x ) + 250, t [0; 25]. 5 Egentlig burde vi arbejde med åbne intervaller som definitionsmængder, idet en funktion ikke er differentiabel i sine endepunkter, men denne detalje vil vi se bort fra. b) Ved at løse ligningen p (t) = 258 ses, at prisen tilsyneladende er faldet til 258 kr. efter 27 måneder. Da definitionsmængden imidlertid er [0; 25], kan opgaven ikke besvares. side 2 af 6

5 Opgave 10 b) Vi opstiller følgende hypotese. H 0 : der er ingen sammenhæng mellem folks alder og hvor ofte de medbringer madpakke. Da p-værdien på er under signifikansniveauet på 5 % afviser vi H 0 og konkluderer, at der er en sammenhæng mellem hvor ofte folk medbringer madpakke og deres alder. c) Andelen, som har madpakke med 4-5 gange om ugen, er 276 /761 = 0.6med et 95 % konfidensinterval på [0.;0.40]. side af 6

6 Opgave 11 Polygonområdets hjørner bestemmes med GeoGebras skæringsværktøj, hvilet giver hjørnepunkterne (0, 0), (7200, 0), ( , ), (1875, 6750) og (0, 8000). Kriteriefunktionens værdier i hjørnerne er f (0, 0) = 0 f (7200, 0) = f ( , ) = f (1875, 6750) = f (7200, 0) = Det optimale er der at producere 1875 WKS og 6750 BKS. b) Hvis triteriefunktionen har forskrift f (x, y) = ax + 100y, så får niveaulinjerne hældning a 100. Hældningerne af de kanter, som støder op til hjørnet (1875, 6750), har hældning = og 1 = 1.2, så vi løser ligheden 1.2 a a a 200 = Sålænge a ligger i intervallet [66.67; 120], så er det optimalt at producere 1875 WKS og 6750 BKS. c) Hvis virksomheden får yderligere 1000 meter træ til rådighed, vil den optimale produktionssammensætning ændre sig til 750 WKS og 5500 BKS. Det giver et dækningsbidrag på f (750, 5500) = = kroner. Prisen for træet skal derfor være under = kroner, hvis køb af træ yderligere træ, skal kunne betale sig. side 4 af 6

7 Opgave 12A Den gennemsnitlige differens er 524 familier. Standardafvigelsen er 9758 familier. b) Som det fremgår af figuren er data langt fra normalfordelte, men hvis vi følger den urimelige antagelse at afvigelsen fra en normalfordeling skyldes tilfældigheder, så kan et konfidensinterval for middelværdien udregnes til [-2250;00]. side 5 af 6

8 Opgave 12B Idet f (x) = 1 x + 5x 2 + x 20, er f (x) = x x +. Vi løser ligningen f (x) = 0 x x + = 0 x = 10 ± ( )1 /2 x = 10 ± 881 /2 2 x = 5 ± 22 1 /2. Der er lokalt ekstremum f ( /2 ) = for x = /2, og der er lokalt ekstremum f ( /2 ) = for x = /2. b) For at bestemme tangenten med hældning -22 løses ligningen Tangenten med denne x-koordinat bestemmes. f (x) = 22 x x + = 22 Skæring med x-aksen bestemmes ved at sætte lig nul. 2 1 x x + 25 = 0 x = 10 ± 0 = y = f (x) (x x 0 ) + f (x 0 ) y = 22 (x ( 5)) + f ( 5) y = 22 (x + 5) (x + 5) = 0 x + 5 = 145 ( 22) x = Tangenten skærer dermed x-aksen i x = 185 /66 = 2.8. x = Opgave 12C ( Funktionen R (x, y) = 0.02x 2 +x 0.005y y har frit maksimum i punktet (x, y) = 2 ( 0.02), ( 0.005) (75, 150). Da dette punkt opfylder alle bibetingelser, er den optimale produktionssammensætning 75 stk./uge på det indenlandske marked og 150 stk./uge på eksportmarkedet. b) Da p (75) = = 1.5, skal prisen på det indenlandske marked sættes til 1500 kr. Da q (150) = = 0.75, skal prisen på eksportmarkedet sættes til 750 kr. ) = side 6 af 6