Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter"

Transkript

1 Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter Estimering af IT projekter har gennem tiderne altid været en særdeles vanskelig disciplin, og der findes næppe den eller de metoder der er den gyldne løsning på problemet. Det viser sig endvidere at estimering af aktiviteter ofte følger en betafordeling, som vist på figur 1 [3,4]: I følge en hollandsk undersøgelse overskred 80% af alle IT projekter budgettet og/eller kalendertiden med mere end 50% [1]. Tallene taler for sig selv, og stemmer vel godt overens med manges praktiske erfaringer. Denne artikel beskriver kort principperne bag estimering med usikkerhed ud fra en pragmatisk indfaldsvinkel og viser herefter eksempler på de opnåede resultater i praksis. Principperne her i artiklen er baseret på praktiske erfaringer og empiriske data. Sandsynlighed for estimat Timer Figur 1 - Betafordeling Netop estimering med usikkerhed kan være med til at forbedre et IT projekts estimat væsentlig og dermed øge chancen for, at projektet opleves som en succes. Hvad er et estimat? Hvis man beder en projektleder om at estimere et IT projekt enten i timer og/eller kroner vil de fleste vende tilbage med svaret, at projektets budgetterede indsats er på 6300 timer og den budgetterede omkostning er på 5,8 millioner kroner. Er det et godt svar på spørgsmålet? Det er det næppe, da man intuitivt kan sige sig, at estimater må være forbundet med en større eller mindre usikkerhed afhængig af hvor godt opgaven er beskrevet, om der er tale om ny eller kendt teknologi osv. Det er derfor rimeligt at antage, at et estimat er en stokastisk variabel [2], hvilket betyder: Tilfældig, men til at forudberegne statistisk med tilnærmelsesvis sikkerhed. Betafordelingen er en såkaldt skæv fordeling, og den viser, at det altid vil tage en vis minimum tid at udføre en aktivitet (meget lille sandsynlighed), mens det kan tage næsten uendelig lang tid at udføre en aktivitet I praksis må der dog være en endelig tid! Anvendelse af statistiske variable ved estimering Men hvordan bruger vi den viden i praksis, at estimering af aktiviteter ofte følger en betafordeling? Både successiv kalkulation [3], og PERT 1 teknikken [4] arbejder med at angive 3 estimater nemlig: Optimistisk estimat (V 0 ) Mest sandsynligt estimat (V S ) Pessimistisk estimat (V P ) For begge metoder kan man vælge at tage udgangspunkt i en betafordeling. 1 PERT betyder Program Evaluation and Review Technique Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 1

2 Med baggrund i disse 3 estimater beregnes middelværdi (µ) og standardafvigelse (σ) ud fra tilnærmede formler: µ = (V 0 + 3V S + V P ) / 5 σ = (V P - V 0 ) / 5 Følgende eksempel viser anvendelsen af ovennævnte formler: V 0 V S V P m s 15 [t] 25 [t] 40 [t] 26 [t] 5 [t] Tabel 1 Beregning af m og s Værdierne i tabel 1 er vist grafisk på figur 2 (dog ikke σ). Sandsynlighed for estimat Timer Middelværdi µ V O V S V P Figur 2 - Betafordeling med værdier Afhængig af det ønskede konfidensinterval kan usikkerheden beregnes Man skal dog være varsom med for sikre antagelser på basis af tabel 2 på grund af: Der er tale om tilnærmede formler. Hvor valide er de 3 grundtal (V 0, V S og V P )? Praktisk estimering med usikkerhed Kan de viste beregninger forenkles? Selvom de tidligere viste beregninger er forholdsvis enkle er det min erfaring, at de kan forenkles yderligere. Det er især baseret på den kendsgerning, at der i praksis er en stor skævhed i betafordelingen således at sandsynligheden for den optimistiske værdi er meget lille. Derfor vælger jeg at forenkle estimaterne til 2 punkter på kurven kaldet estimat 1 (E 1 ) og estimat 2 (E 2 ). De 2 punkter kan eksempelvis findes ved følgende spørgsmål: 1. Hvor lang tid tager det typisk at udføre en given aktivitet? (dette benævnes estimat 1) 2. Hvis tingene går galt hvor stor en usikkerhed 2 i procent skal der lægges til? (dette benævnes usikkerhed og forkortes U) Estimat 2 beregnes således: E 2 = E 1 (1 + U[%]) Konfidens- Interval 68% (16% -84%) 95% (2,5%- 97,5%) 99% (0,5% - 99,5%) Formel (Interval) (µ-σ) - (µ+σ) (µ-2σ) - (µ+2σ) (µ-3σ) - (µ+3σ) Beregning Af Usikkerhed [t] [t] [t] Tabel 2 - Beregning af usikkerhed Figur 3 viser begreberne grafisk: Sandsynlighed for estimat Usikkerhed Timer E 1 E 2 Tabellen skal forstås således, at hvis man vil være 95% sikker på at estimaterne holder skal man vælge intervallet timer. 2 Figur 3 Estimat 1, Usikkerhed og Estimat 2 vist grafisk på betafordelingen Bemærk, at usikkerhed her mere bruges intuitivt og ikke i relation til konfidensintervaller som vist tidligere. Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 2

3 Estimat 1 og Estimat 2 kaldes bevidst ikke for henholdsvis mest sandsynlig og pessimistisk estimat, da man reelt ikke ved, hvor på betafordelingen de 2 punkter befinder sig. Endvidere opfattes en pessimistisk værdi ofte som en slags worst case værdi, hvilket desværre ikke er tilfældet, da det i praksis kan gå meget værre end det der kaldes worst case (betafordelingen går som vist i figur 3 mod uendelig). Det har vist sig at være meget hensigtsmæssigt at operere med estimat 1 og estimat 2, og så opgive en opgaves varighed til et interval (det vil sige fra E 1 til E 2 ). Netop det at opgive et interval i stedet for et enkelt tal er en god praktisk måde at kommunikere et estimat til en styregruppe for et projekt, da de herved bliver klar over, at det ikke er realistisk at opgive et eksakt tal. Metoden kan anvendes på både indsats i såkaldte effektive 3 timer, men også til estimering af omkostninger i IT projekter (eksempelvis maskinel, licenser, rejseomkostninger med flere). Et simplificeret eksempel hvor metoden anvendes Arbejdsgangen for at etablere et estimat med usikkerhed er således: 1. Fastlæg omfanget af opgaven der skal estimeres og beskriv forudsætningerne for opgaven. 2. Nedbryd opgaven i aktiviteter så E 1 40 timer for de enkelte aktiviteter 4. Der er tale om en tommelfingerregel, som har vist sig at være nyttig i praksis. Denne nedbrydning kaldes på engelsk work breakdown structure WBS. 3. Estimat 1 og usikkerheden fastlægges nu for opgaverne på nederste niveau (trin 2 og trin 3 gennemføres iterativ). 4. Der udledes et total estimat med usikkerhed ved simpel aritmetisk summering. Trin 1 og trin 2 Der skal udvikles et system til beregning af årlige omkostninger for personbiler, og det antages at bestå af følgende aktiviteter 5 : Analyse og design af systemet Udvikling af stamdata program Udvikling af beregningsalgoritme Udvikling af udskrivningsprogram Test af systemet. Aktiviteterne hænger grafisk sammen som vist på figur 4 (work breakdown structure): Analyse og Design System Udvikling Stamdata Beregningsprogram Udskriftsprogram Figur 4 - Work breakdown structure Trin 3 og trin 4 I den følgende tabel 3 er estimat 1, usikkerhed og estimat 2 angivet på nederste niveau i WBS strukturen: Test af system Aktivitet E 1 [t] U [%] E 2 [t] Analyse og Design af system 30 50% 45 Udvikling af stamdata 12 25% 15 Udvikling af beregningsalgoritme 36 75% 63 Udvikling af udskriftsprogram 18 25% 23 Test af systemet 12 50% 18 Total % 164 Tabel 3 - Estimat med usikkerhed Af tabel 3 fremgår, at estimatet for udvikling af systemet er i intervallet fra 108 til 164 timer. Totalen for Estimat 2 (E 2 ) er fundet ved aritmetisk summering af de enkelte E 2. Det kan her diskuteres hvorvidt det er statistisk korrekt, da det afhænger af hvordan de enkelte aktiviteter er relateret til hinanden (korrelations faktoren). 3 4 Med effektive timer menes, at det er den tid en medarbejder ville anvende, hvis medarbejderen arbejdede 100% på opgaven, hvilket vil sige eksklusiv egen administration, gruppemøder m.v. Der kan være situationer, hvor det ikke er muligt at nedbryde opgaven så meget. I disse situationer vil man ofte kompensere den manglende nedbrydning med en større usikkerhed. 5 Der er absolut tale om et tænkt eksempel som ikke kan bruges til virkelige estimater for sådan en opgave. Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 3

4 Jeg har valgt at antage at samtlige aktiviteter er 100% korreleret, da det er min erfaring fra praksis, at hvis noget går galt har det en tendens til at påvirke mange aktiviteter i samme negative retning. Det ville blive en noget teoretisk situation at skulle beskrive korrelations faktoren mellem de forskellige aktiviteter og så beregne totalen for Estimat 2 baseret på dette. Som det ses af ovennævnte er der gjort meget for at forenkle den praktiske metode til estimering med usikkerhed, hvilket betyder: At metoden er forholdsvis nem at forstå og den kræver ikke et detaljeret kendskab til statistiske begreber. At den er meget simpel at implementere i regneark. Begge dele gør, at metoden nemt kan bruges i praksis. Som eksempel fra en større dansk virksomhed kan nævnes, at en fornuftig skabelon 6 i et regneark kan udvikles og afprøves på ca. 100 timer, og projektledere kan uddannes i brugen af regnearket på cirka 2 timer. Sammenhæng til andre estimeringsmetoder Metoden til estimering med usikkerhed (herefter forkortet EMU) kan nemt kombineres med en række andre estimeringsmetoder, og kan betragtes som et vigtigt supplement til disse. Der findes en række metoder til estimering af IT projekter [5], og her følger en kort beskrivelse af disse samt sammenhængen til EMU. Top-down & Bottom-up Uanset om der vælges en top-down eller bottom-up metode til fastlæggelse af WBS strukturen vil den naturligvis kunne kombineres med EMU. Det vil typisk være således, at størrelsen af usikkerheden er mindre ved bottom-up end ved top-down metoden. 6 Skabelonen indeholder betydelig mere end blot det der fremgår af tabel 3. Eksempelvis summeringer pr. fase, checklister, omregning til omkostninger ændringsstyring med mere. Grunden til at usikkerheden normalt er mindre ved bottom-up metoden er, at en detaljeret nedbrydning af en opgave gør, at vi nemmere kan overskue og estimere opgaven, og dermed reducere den reelle usikkerhed. Ekspert metoden Fastlæggelse af estimat 1 og estimat 2 i eksemplet fra tidligere er fundet ud fra estimatorens erfaringer. Dette kan kaldes ekspert vurderinger eller blot estimering baseret på erfaringer. Langt de fleste estimater baseres i større eller mindre grad på erfaringer, så det er nok den mest almindelige estimeringsmetode. Denne metode hænger naturlig sammen med EMU, som vist i eksemplet. Analogi metoden Analogi metoden baserer sig på at ekstrapolere estimater for et nyt projekt ud fra estimater fra tidligere gennemførte projekter korrigeret for forskellige forhold som kompleksitet, tekniske forhold med flere. Analogi metoden kan bruges direkte til at finde estimat 1, mens usikkerheden kan udtrykke de variationer (usikkerheder) der skønnes at være til stede. Algoritmiske modeller Algoritmiske modeller kaldes også estimering af omkostninger ved hjælp af parametre. Fælles for disse metoder er, at de baserer sig på en parametrisk sammenhæng mellem størrelsen af et system (S) og estimatet (E) i timer og/eller kroner, som vist nedenfor: E = funktion (S) Denne sammenhæng mellem E og S kan være lineær, eksponentiel med flere og indeholde en lang række konstanter [6]. Estimering ved hjælp af function point [7] og source kodelinier (eksempelvis COCOMO [5]) er eksempler på algoritmiske modeller. Det er oplagt at bruge historiske data fra eksempelvis Function Point metoden sammen med EMU. Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 4

5 Lad os antage, at en IT organisation har fundet ud af, at det koster gennemsnitlig fra timer at gennemføre 1 Function Point (FP). Vi har et program der indeholder 17 FP, så kunne Estimat 1 og Estimat 2 beregnes således: E 1 = 14 * 17 = 238 timer E 2 = 22 * 17 = 374 timer Skævhed i fastlæggelse af estimat 1 og estimat 2 Det er en kendt sag at næsten alle er for optimistiske når de estimerer. Jeg plejer at kalde det optimistfaktoren, og den er en stor risiko i projekter, og giver sig udslag i en skævhed (engelsk bias). Skævheden viser sig ved at estimat 1 og estimat 2 er forskudt i betafordelingen som vist på figur 5. Her vil det være korrekt og nødvendigt at se bort fra tommelfingerreglen om, at E 1 40, da en yderligere nedbrydning ikke er relevant. Faldgruber ved estimering med usikkerhed Der er ingen roser uden torne, hvilket også gælder for Estimering med usikkerhed (EMU). Sandsynlighed for estimat Timer Skævhed Mange af de faldgruber der er ved EMU gælder generelt ved estimering af IT projekter. De er dog medtaget så estimeringen kan sættes i det rette perspektiv. Eksempler på faldgruber er: Den sunde fornuft sættes til side. Skævhed i fastlæggelse af estimat 1 og estimat 2. Omfanget af opgaven ændrer sig. Usikkerhed og risikostyring blandes sammen. Den sunde fornuft sættes til side Der er en tendens til, at vi bliver fanget af tallenes magt, når først vi har etableret metoder og værktøjer (som her til estimering). Det betyder, at vores almindelig dømmekraft erstattes af tal og formler. En god regel er at være flere om at estimere en opgave, og aldrig stole på tallene alene brug din sunde fornuft som en slags sanity check. E 1 E 2 E 2 s korrekte" placering Figur 5 Optimistfaktoren vist som skævhed på Betafordelingen Det fremgår umiddelbart af figur 5, at denne skævhed kan give store problemer ved fastlæggelsen af slutdatoen for projektet og projektets totale omkostninger. Omfanget af opgaven ændrer sig Trin 1 i arbejdsgangen for estimering beskæftiger sig med fastlæggelse af omfanget af opgaven. Hvis de forudsætninger der måtte være stillet op for omfanget af opgaven brister 7 må disse ændringer afspejles i estimatet (reestimering). EMU metoden tager ikke direkte højde for bristede forudsætninger, tilføjelse af mere funktionalitet i et IT system osv. Derimod tager EMU metoden højde for de naturlige variationer der er for at gennemføre en given aktivitet. 7 Hvilket den typisk gør i alle IT projekter. Dette skal håndteres med en effektiv ændringsstyring. Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 5

6 Der er flere måder der kan tage højde for ovennævnte (og de kan bruges i flæng): Den første er meget klart at beskrive hvilke forudsætninger der er for opgaven, så det ikke er manglende klarhed der giver problemet. At indbygge en reserve til uforudsete opgaver [8]. At gennemføre ændringsstyring på projektet så konsekvenser af ændringer hele tiden fastlægges og der tages aktiv stilling til om ændringer skal gennemføres. At gennemføre en kvantitativ risikostyring som indarbejder risikoen for, at opgavens omfang ændres. Usikkerhed og risikostyring blandes sammen Der kan være en god grund til at skelne mellem begreberne usikkerhed og risikostyring, så her følger en forklaring på forskellen: Usikkerhed skal opfattes som den naturlige variation der er for en opgaves udførelse (som nævnt tidligere følger det typisk en betafordeling se eksempelvis figur 1). Risikostyring skal opfattes som håndtering af en række risikofaktorer der kan indtræffe eller udeblive og dermed ændre et estimat drastisk (måske mange hundrede procent). De 2 begreber er vist på figur 6: Estimat for en opgave Erfaringer fra anvendelsen af metoden i konkrete IT Projekter Estimering med usikkerhed (EMU) som beskrevet i denne artikel anvendes i flere danske virksomheder og her følger erfaringer fra 4 projekter. De 4 projekter fremstår anonyme, og der anvendes fortrinsvis relative talstørrelser i stedet for absolutte tal for at bibeholde anonymiteten. Projekternes størrelse udtrykt i kroner varierer fra 3 til 30 millioner kroner. Det der måles på i de konkrete projekter er 2 parametre: 1. Hvad er forskellen på den estimerede indsats i timer og den realiserede indsats i timer? (Dette kaldes CV TIMER for Cost Variance i Earned Value Metoden [8]). 2. Hvad er forskellen på den estimerede omkostning og den realiserede omkostning i kroner? Dette kaldes CV KRONER for Cost Variance i Earned Value Metoden [8]). Beskrivelsen er herefter opdelt i 2 afsnit: Et afsnit som beskriver et enkelt projekts forløb indenfor de 2 parametre Et afsnit som beskriver nøgletallene for de 4 projekter Et projekt fra virkeligheden, hvor EMU metoden er anvendt. Figur 7 på næste side viser henholdsvis hvordan estimat 1 og usikkerhed har ændret sig over en periode. Estimat for planlagt arbejde (E 1 ; E 2 ) Estimering med Usikkerhed Sandsynlighed og konsekvens ed af risiko #1 ns ed af risiko #2 ns af risiko #3 Risikostyring Figuren skal forstås således, at de enkelte stave i histogrammet viser resultatet af de reestimeringer der er udført (her er kun medtaget udvalgte reestimeringer. I virkeligheden er dette projekt blevet reestimeret cirka 1 gang om måneden). Figur 6 Illustration af usikkerhed og risikostyring En uddybende behandling af risikostyring er udenfor denne artikels rammer se eksempelvis reference 9. Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 6

7 Estimat i timer 200 Indeks Initial estimat "Efter 3 måneder" "Efter 6 måneder" "Efter 8 måneder" Aktuel Usikkerhed Estimat E Figur 7 Estimat i timer vist over en periode Af figur 7 ses, at intervallet (dvs. fra E 1 til E 2 ) varierer en del fra initial estimat ( enheder) til sidste estimat her kaldet "Efter 8 måneder" ( enheder). Det der er sket er, at der er bygget mere og mere erfaring ind i estimaterne i takt med at projektet er blevet gennemført. Beregning af variansen i timer er således: CV TIMER = (E 1 + U) - Aktuel CV TIMER = ( ) 150 CV TIMER = - 13 [Enheder] CV TIMER = - 9,5 % Det betyder, at projektet er blevet estimeret 10% for lidt i forbindelse med initial estimatet inklusive usikkerhed. Estimat i Kroner Indeks Initial estimat "Efter 4 måneder" "Efter 6 måneder" "Efter 8 måneder" Aktuel Usikkerhed Estimat E Figur 8 - Estimat i kroner vist over en periode Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 7

8 På figur 8 vises de tilsvarende tal for omkostninger udtrykt i kroner. Figur 7 og figur 8 kan ikke direkte sammenlignes da opgørelsesmetoden for timer og kroner er forskellig i det pågældende projekt. EMU metoden er dog anvendt i både estimeringen af timer og kroner, så set fra en metode synsvinkel er det underordnet. Ved beregning af variansen i kroner når vi frem til følgende resultat: CV KRONER = (E 1 + U) - Aktuel CV KRONER = ( ) 108 CV KRONER = 3 [Enheder] CV KRONER = 2,7 % Her er der tale om at det aktuelle forbrugte har været en anelse mindre end det estimerede. Det er et resultat som de fleste vil betragte som udmærket, da historien er fyldt med eksempler på projekter med store budget overskridelser [1]. Nøgletal for de 4 projekter Her følger en tabel over nøgletallene for de 4 projekter: CV TIMER CV KRONER Projekt 1-9,5% 2,7% Projekt 2 Mangler 36,4% Projekt 3 11,6% 27,9% Projekt 4 17,3% Mangler Tabel 3 - Nøgletal for 4 projekter For alle projekter gælder følgende: Sammenligningen er foretaget mellem initial budget inklusive usikkerhed (E2) og de aktuelle tal. Eventuelle projektændringer er holdt ude af tallene, så der udelukkende måles i forhold til initial omfang. Konklusion EMU metoden er et praktisk redskab til at forbedre estimeringsprocessen i IT projekter 8. Praktiske erfaringer viser, at estimering af IT projekter kan forbedres væsentligt ved at anvende EMU metoden. EMU metoden er samtidig forholdsvis enkel og kan håndteres i et almindelig regneark, så her er en praktisk metode der nemt kan tages i anvendelse. Referencer: 1. Kostenbeheersing bij automatiseringsprojecten: een empirish onderzoek, Informatie, Vol. 31, no F.J. Heemstra, W. Siskens and H. van der Stelt (1989) 2. Controlling Software Projects Tom De Marco - ISBN (1982) 3. Rapport over successiv kalkulation Steen Lichtenberg (1971) 4. A guide to Project Management Body of Knowledge - PMI Standards Committee - ISBN (1996) 5. Software Engineering Economics Barry Boehm - ISBN (1981) 6. Parametric Cost Estimating Handbook Joint Government / Industry Initiative Fall 1995 Tilgængelig på Internet 7. Applied Software Measurement Capers Jones - ISBN (1996) 8. Earned Value Project Management - Quentin W. Fleming & Joel M. Koppelman - ISBN Practical Risk Assessment for Project Management Stephen Grey - ISBN (1995) 10. Proactive Management of Uncertainty Using the Successive Principle Steen Lichtenberg ISBN Af tabel 3 ses, at flere projekter holder sig både under budgettet i timer og kroner. 8 Fokus i denne artikel har været på IT Projekter, men EMU metoden er også anvendelig indenfor andre projekttyper. Copyright ProConsulting A/S Per Svejvig April Version 6 Side 8

Torsdag: PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI

Torsdag: PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI Torsdag: PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI Hvad Er det en god har idé? vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål)

Læs mere

Hvad har vi lært? 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI. Torsdag: Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Er det en god idé?

Hvad har vi lært? 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI. Torsdag: Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Er det en god idé? Torsdag: PROJEKTPLANLÆGNING, ØKONOMI Er det en god idé? Hvad har vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål)

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

Slide 1. Slide 2. Slide 3. Byggeøkonomuddannelsen. Dagens emner. Usikkerheds- og risikoanalyse. Risikoanalyse Successiv kalkulation

Slide 1. Slide 2. Slide 3. Byggeøkonomuddannelsen. Dagens emner. Usikkerheds- og risikoanalyse. Risikoanalyse Successiv kalkulation Slide 1 Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Slide 2 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser

Læs mere

Generelt er korrelationen mellem elevens samlede vurdering i forsøg 1 og forsøg 2 på 0,79.

Generelt er korrelationen mellem elevens samlede vurdering i forsøg 1 og forsøg 2 på 0,79. Olof Palmes Allé 38 8200 Aarhus N Tlf.nr.: 35 87 88 89 E-mail: stil@stil.dk www.stil.dk CVR-nr.: 13223459 Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet 26.02.2016 Sammenfatning I efteråret 2014 blev

Læs mere

UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7

UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7 UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7 Baggrund: Risk Management (RM) er i dag et væsentligt fundament for at kunne håndtere store og komplekse projekter - herunder at kunne

Læs mere

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Økonomisk analyse af forskellige strategier for drægtighedsundersøgelser

Økonomisk analyse af forskellige strategier for drægtighedsundersøgelser Økonomisk analyse af forskellige strategier for drægtighedsundersøgelser Jehan Ettema, SimHerd A/S, 28-10-15 Indholdsfortegnelse Metoden... 2 Design af scenarierne... 2 Strategier for drægtighedsundersøgelser...

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden

Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden 2005-2012 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 7. april 2014 30. april 2014 Søren

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

Valgkampens og valgets matematik

Valgkampens og valgets matematik Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på

Læs mere

Tidsværdi for gods i Sverige

Tidsværdi for gods i Sverige Tidsværdi for gods i Sverige Mogens Fosgerau 1 og Mikkel Birkeland, COWI 1 Indledning COWI har sammen med INREGIA i Stockholm gennemført en undersøgelse af tidsværdien for gods for SIKA, Statens Institut

Læs mere

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT Til: Brugere af Bekendtgørelse om kvalitetskrav til miljømålinger udført af akkrediterede laboratorier, certificerede personer mv.

Læs mere

Supplerende notat om kommunale kontrakter

Supplerende notat om kommunale kontrakter Supplerende notat om kommunale kontrakter En sammenligning af kommunernes brug af forvaltningskontrakter og institutionskontrakter KREVI Dette notat indeholder en kortlægning af kommunernes brug af forvaltningskontrakter

Læs mere

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab

Læs mere

1 Generelt om dokumentation af usikkerheder

1 Generelt om dokumentation af usikkerheder 1 1 Generelt om dokumentation af usikkerheder Begrundelsen for at følge den standardprocedure, som er beskrevet i det følgende - og som måske ved første øjekast kan virke vel grundig - er, at det har vist

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X. Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr.

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr. Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren 2007 udgave Varenr. 7522 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning...

Læs mere

Rapport. Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD. Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus

Rapport. Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD. Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus Rapport Undersøgelse af Dantale DVD i forhold til CD Udført for Erik Kjærbøl, Bispebjerg hospital og Jens Jørgen Rasmussen, Slagelse sygehus 2003-08-19 DELTA Dansk Elektronik, Lys & Akustik Teknisk-Audiologisk

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra

Læs mere

Notat om metoder til fordeling af miljøpåvirkningen ved samproduktion af el og varme

Notat om metoder til fordeling af miljøpåvirkningen ved samproduktion af el og varme RAMBØLL januar 2011 Notat om metoder til fordeling af miljøpåvirkningen ved samproduktion af el og varme 1.1 Allokeringsmetoder For et kraftvarmeværk afhænger effekterne af produktionen af den anvendte

Læs mere

Notat. Demografi- & Budgetmodellen (DBM) Struktur og Metode SOCIAL OG SUNDHED. Dato: 23. Februar 2015

Notat. Demografi- & Budgetmodellen (DBM) Struktur og Metode SOCIAL OG SUNDHED. Dato: 23. Februar 2015 SOCIAL OG SUNDHED Dato: 23. Februar 2015 Tlf. dir.: 4477 3481 E-mail: allh@balk.dk Kontakt: Allan Hjort j.nr.: 00-30-00-S00-1-15 rer Notat Demografi- & Budgetmodellen (DBM) Struktur og Metode Indhold 1

Læs mere

De socioøkonomiske referencer for gymnasiekarakterer 2013

De socioøkonomiske referencer for gymnasiekarakterer 2013 De socioøkonomiske referencer for gymnasiekarakterer 2013 Indhold Sammenfatning... 5 Indledning... 7 Datagrundlag... 9 Elever... 9 Fag, prøveform og niveau... 9 Socioøkonomiske baggrundsvariable... 9

Læs mere

National kvælstofmodel Oplandsmodel til belastning og virkemidler

National kvælstofmodel Oplandsmodel til belastning og virkemidler National kvælstofmodel Oplandsmodel til belastning og virkemidler Kortleverancer Anker Lajer Højberg, Jørgen Windolf, Christen Duus Børgesen, Lars Troldborg, Henrik Tornbjerg, Gitte Blicher-Mathiesen,

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Teknisk Notat. Støj fra vindmøller ved andre vindhastigheder end 6 og 8 m/s. Udført for Miljøstyrelsen. TC-100531 Sagsnr.: T207334 Side 1 af 15

Teknisk Notat. Støj fra vindmøller ved andre vindhastigheder end 6 og 8 m/s. Udført for Miljøstyrelsen. TC-100531 Sagsnr.: T207334 Side 1 af 15 Teknisk Notat Støj fra vindmøller ved andre vindhastigheder end 6 og 8 m/s Udført for Miljøstyrelsen Sagsnr.: T207334 Side 1 af 15 3. april 2014 DELTA Venlighedsvej 4 2970 Hørsholm Danmark Tlf. +45 72

Læs mere

Kommentar til Kulturministerens svar på Mogens Jensens (S) spørgsmål nr. 150 til Kulturministeren.

Kommentar til Kulturministerens svar på Mogens Jensens (S) spørgsmål nr. 150 til Kulturministeren. Kulturudvalget 2010-11 KUU alm. del Bilag 161 Offentligt Preben Sepstrup Kommunikation & Medier Kommentar til Kulturministerens svar på Mogens Jensens (S) spørgsmål nr. 150 til Kulturministeren. Baggrund

Læs mere

Hvad har vi lært? Projektplanlægning 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING. Målet (kvaliteten) er givet på forhånd. Nu skal det klarlægges

Hvad har vi lært? Projektplanlægning 23-02-2012 PROJEKTPLANLÆGNING. Målet (kvaliteten) er givet på forhånd. Nu skal det klarlægges Onsdag: PROJEKTPLANLÆGNING Er det en god idé? Hvad har vi lært? (CBA/BC) Hvad har vi lavet? (projektevaluering) Hvornår har vi et projekt? (projektgeografi) Hvad skal vi levere? (produktmål) Projektledelse

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Syddanmark 2007 2011. Monitorering og effektmåling Strukturfondsindsatsen i

Syddanmark 2007 2011. Monitorering og effektmåling Strukturfondsindsatsen i Monitorering og effektmåling Strukturfondsindsatsen i Syddanmark 2007 Design og kreative erhverv Energieffektivisering Offshore Sundheds- og velfærdsinnovation Turisme Brede indsatser DEN EUROPÆISKE UNION

Læs mere

Statistik kommandoer i Stata opdateret 16/3 2009 Erik Parner

Statistik kommandoer i Stata opdateret 16/3 2009 Erik Parner Statistik kommandoer i Stata opdateret 16/3 2009 Erik Parner Indledning... 1 Hukommelse... 1 Simple beskrivelser... 1 Data manipulation... 2 Estimation af proportioner... 2 Estimation af rater... 2 Estimation

Læs mere

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion

Læs mere

3 trin til at håndtere den indre kritik

3 trin til at håndtere den indre kritik Fri og Kreativ 3 trin til at håndtere den indre kritik Ved cand. mag. i psykologi og pædagogik Line Larsen friogkreativ.dk Copyright 2013 friogkreativ.dk Alle rettigheder reserveret. Side 1 af 7. 3 trin

Læs mere

Den socioøkonomiske reference. for resultaterne AF de nationale test. en vejledning til skoleledere og kommuner

Den socioøkonomiske reference. for resultaterne AF de nationale test. en vejledning til skoleledere og kommuner Den socioøkonomiske reference for resultaterne AF de nationale test en vejledning til skoleledere og kommuner Den socioøkonomiske reference for resultaterne af de nationale test Alle elever i folkeskolen

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Rapport vedrørende. etniske minoriteter i Vestre Fængsel. Januar 2007

Rapport vedrørende. etniske minoriteter i Vestre Fængsel. Januar 2007 Rapport vedrørende etniske minoriteter i Vestre Fængsel Januar 2007 Ved Sigrid Ingeborg Knap og Hans Monrad Graunbøl 1 1. Introduktion Denne rapport om etniske minoriteter på KF, Vestre Fængsel er en del

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Besvarelse af opgavesættet ved Reeksamen forår 2008

Besvarelse af opgavesættet ved Reeksamen forår 2008 Besvarelse af opgavesættet ved Reeksamen forår 2008 10. marts 2008 1. Angiv formål med undersøgelsen. Beskriv kort hvordan cases og kontroller er udvalgt. Vurder om kontrolgruppen i det aktuelle studie

Læs mere

Notat. Brug personas til at leve dig ind i brugernes liv

Notat. Brug personas til at leve dig ind i brugernes liv Notat SEGES P/S Koncern Digital Datadreven informationsformidling, personas og personalisering Ansvarlig JUPO Oprettet 17-03-2016 Projekt: 7464, Digitale relationer og datadreven informationsformidling

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

At lave dit eget spørgeskema

At lave dit eget spørgeskema At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

temaanalyse 2000-2009

temaanalyse 2000-2009 temaanalyse DRÆBTE I Norden -29 DATO: December 211 FOTO: Vejdirektoratet ISBN NR: 97887766554 (netversion) COPYRIGHT: Vejdirektoratet, 211 2 dræbte i norden -29 Dette notat handler om ulykker med dræbte

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

Sammenhængsanalyser. Et eksempel: Sammenhæng mellem rygevaner som 45-årig og selvvurderet helbred som 51 blandt mænd fra Københavns amt.

Sammenhængsanalyser. Et eksempel: Sammenhæng mellem rygevaner som 45-årig og selvvurderet helbred som 51 blandt mænd fra Københavns amt. Sammenhængsanalyser Et eksempel: Sammenhæng mellem rygevaner som 45-årig og selvvurderet helbred som 51 blandt mænd fra Københavns amt. rygevaner som 45 årig * helbred som 51 årig Crosstabulation rygevaner

Læs mere

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press

Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik. Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press Per Vejrup-Hansen Praktisk statistik 6. 5. udgave 2008 2013 Omslag: Torben Klahr.dk Lundsted Grafisk tilrettelæggelse: Samfundslitteratur Grafik Tryk: Narayana Press ISBN Trykt 978-87-593-1381-7 bog ISBN

Læs mere

PCB I SKOLER INDHOLD. Indledning. 1 Indledning. PCB i materialer i skoler. PCB i indeluft i skoler. Sammenfattende vurdering

PCB I SKOLER INDHOLD. Indledning. 1 Indledning. PCB i materialer i skoler. PCB i indeluft i skoler. Sammenfattende vurdering Konsortiet Grontmij/Cowi ENERGISTYRELSEN PCB I SKOLER NOTAT, REVIDERET, 16 MAJ 2013 ADRESSE Grontmij A/S Granskoven 8 2600 Glostrup KONTAKT Majbrith Langeland MLS@Grontmij.dk Tlf: 98799876 Marie Kloppenborg

Læs mere

Appendiks 3 Beregneren - progression i de nationale matematiktest - Vejledning til brug af beregner af progression i matematik

Appendiks 3 Beregneren - progression i de nationale matematiktest - Vejledning til brug af beregner af progression i matematik Appendiks 3: Analyse af en elevs testforløb i 3. og 6. klasse I de nationale test er resultaterne baseret på et forholdsvist begrænset antal opgaver. Et vigtigt hensyn ved designet af testene har været,

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3

Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 18. februar 2005 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Tirsdag 15/2: Afsnit 3.2 og 3.3 indtil eksempel 5. Fredag 18/2: Resten af afsnit 3.3, afsnit

Læs mere

Notat. Notat om produktivitet og lange videregående uddannelser. Martin Junge. Oktober

Notat. Notat om produktivitet og lange videregående uddannelser. Martin Junge. Oktober Notat Oktober Notat om produktivitet og lange videregående uddannelser Martin Junge Oktober 21 Notat om produktivitet og lange videregående uddannelser Notat om produktivitet og lange videregående uddannelser

Læs mere

7. Referencer til andre værktøjer. 8. Sammenhæng med internationale standarder. 9. Referencer til Projektledelse Teori og praksis. 10.

7. Referencer til andre værktøjer. 8. Sammenhæng med internationale standarder. 9. Referencer til Projektledelse Teori og praksis. 10. Projektlederens værktøj 7. Referencer til andre værktøjer Nr. Navn Sammenhæng med Kritisk sti (CPM) 4.3.3 Tidsplan Udarbejdelse af tidsplan er forudsætningen for at kritisk sti kan findes 4.4.2 Successiv

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Rapport. Sammendrag. Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet. Chris Claudi-Magnussen

Rapport. Sammendrag. Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet. Chris Claudi-Magnussen Rapport Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet Afprøvning af mørhedsmåling med LabSpec Portable Spectrometer og VideometerLab 2. august 2010 Proj.nr. 1378902 Version 1 Chris

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520 Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Redskab til hjælp med budgetlægningen for SAPA projektet i kommunerne

Redskab til hjælp med budgetlægningen for SAPA projektet i kommunerne Redskab til hjælp med budgetlægningen for SAPA projektet i kommunerne Til: SAPA kontaktperson / Monopolbrudsansvarlig og KOMBIT kontaktperson i kommunen Instruktion til brug af SAPA Budgetstøtte redskabet

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

1. Indledning. 1 Der er udarbejdet et bilag til embedsregnskaberne, hvor beregningsmetoder og forudsætninger er nærmere beskrevet.

1. Indledning. 1 Der er udarbejdet et bilag til embedsregnskaberne, hvor beregningsmetoder og forudsætninger er nærmere beskrevet. April 2009 2 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Rettens bemærkninger og forklaringer... 5 3. Aktivitet og sagsmængde... 7 4. Produktivitet... 9 5. Sagsbehandlingstider... 12 6. Udvalgte HR-data

Læs mere

1. Indledning. 1 Der er udarbejdet et bilag til embedsregnskaberne, hvor beregningsmetoder og forudsætninger er nærmere beskrevet.

1. Indledning. 1 Der er udarbejdet et bilag til embedsregnskaberne, hvor beregningsmetoder og forudsætninger er nærmere beskrevet. April 2009 2 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Rettens bemærkninger og forklaringer... 5 3. Aktivitet og sagsmængde... 8 4. Produktivitet... 10 5. Sagsbehandlingstider... 13 6. Udvalgte HR-data

Læs mere

1. Intoduktion. Undervisningsnoter til Øvelse i Paneldata

1. Intoduktion. Undervisningsnoter til Øvelse i Paneldata 1 Intoduktion Før man springer ud i en øvelse om paneldata og panelmodeller, kan det selvfølgelig være rart at have en fornemmelse af, hvorfor de er så vigtige i moderne mikro-økonometri, og hvorfor de

Læs mere

FORSLAG TIL ANALYSEKVALITETSKRAV EFTER NY MODEL FOR

FORSLAG TIL ANALYSEKVALITETSKRAV EFTER NY MODEL FOR Notat 10.6 dato den 1/7-011 FORSLAG TIL ANALYSEKVALITETSKRAV EFTER NY MODEL FOR PARAMETRE DER PT. ER INDEHOLDT I BKG. NR. 866 1 Bekendtgørelsens bilag 1.7, Kontrol/overvågning af marint vand Endeligt forslag

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Repræsentative undersøgelser før og nu. Peter Linde, Interviewservice pli@dst.dk

Repræsentative undersøgelser før og nu. Peter Linde, Interviewservice pli@dst.dk Repræsentative undersøgelser før og nu Peter Linde, Interviewservice pli@dst.dk >> >> Dagsorden Hvad er en repræsentativ undersøgelse? Bortfald og forskerbeskyttelse Vægtning for bortfald Effekt af vægtning

Læs mere

Handleplan for elever, hvor der er iværksat særlige indsatser eller støtte

Handleplan for elever, hvor der er iværksat særlige indsatser eller støtte Handleplan for elever, hvor der er iværksat særlige er eller støtte NOTAT 19. september 2013 I forbindelse med arbejdet med inklusion i Frederikssund kommunes skoler, er det besluttet at der på alle kommunens

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Gæste-dagplejen D a g p lejen Odder Ko Brugerundersøgelse 2006

Gæste-dagplejen D a g p lejen Odder Ko Brugerundersøgelse 2006 Gæste-dagplejen Dagplejen Odder Kommune Brugerundersøgelse 2006 Undersøgelsen af gæstedagplejeordningen er sat i gang på initiativ af bestyrelsen Odder Kommunale Dagpleje og er udarbejdet i samarbejde

Læs mere

Syddanmark 2007 2010. Monitorering og effektmåling Strukturfondsprojekter

Syddanmark 2007 2010. Monitorering og effektmåling Strukturfondsprojekter Monitorering og effektmåling Strukturfondsprojekter i Syddanmark 2007 2010 Design Energieffektivisering Offshore Sundheds- og velfærdsinnovation DEN EUROPÆISKE UNION Den Europæiske Socialfond DEN EUROPÆISKE

Læs mere

Privatansatte mænd bliver desuden noget hurtigere chef end kvinderne og forholdsvis flere ender i en chefstilling.

Privatansatte mænd bliver desuden noget hurtigere chef end kvinderne og forholdsvis flere ender i en chefstilling. Sammenligning af privatansatte kvinder og mænds løn Privatansatte kvindelige djøfere i stillinger uden ledelsesansvar har en løn der udgør ca. 96 procent af den løn deres mandlige kolleger får. I sammenligningen

Læs mere

"Teknikken" i testdagsmodellen Jørn Pedersen, Afdeling for Specialviden, Dansk Kvæg

Teknikken i testdagsmodellen Jørn Pedersen, Afdeling for Specialviden, Dansk Kvæg "Teknikken" i testdagsmodellen Jørn Pedersen, Afdeling for Specialviden, Dansk Kvæg Nordisk avlsværdivurdering kort opsummering 3 racegrupper: Nordisk Holstein: Dansk, Svensk og Finsk Holstein samt Dansk

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative

Læs mere

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT Til: Følgegruppen for Naturstyrelsens Referencelaboratorium cc: Fra: Anders Svaneborg Dato: 6. oktober 2014 QA:

Læs mere

Kvælstof i de indre danske farvande, kystvande og fjorde - hvor kommer det fra?

Kvælstof i de indre danske farvande, kystvande og fjorde - hvor kommer det fra? Kvælstof i de indre danske farvande, kystvande og fjorde - hvor kommer det fra? af Flemming Møhlenberg, DHI Sammenfatning I vandplanerne er der ikke taget hensyn til betydningen af det kvælstof som tilføres

Læs mere

To samhørende variable

To samhørende variable To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog

Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange

Læs mere

Den automatiske sanseforventningsproces

Den automatiske sanseforventningsproces Den automatiske sanseforventningsproces Af forsknings- og institutleder Flemming Jensen Det kunne ikke gøres enklere. Jeg ved, at for nogle ser meget teoretisk ud, mens det for andre måske endda er for

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Kapitel 3 Centraltendens og spredning

Kapitel 3 Centraltendens og spredning Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling

Læs mere

Er Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015

Er Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015 Er Danmark på rette vej? En opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Status 2015 Marts 2015 Opfølgning på IDAs Klimaplan 2050 Indledning I 2009 udarbejdede IDA en plan over, hvordan Danmark i 2050 kan have reduceret

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag

Læs mere

Del l: Indledning 5. Del ll: Kontanthjælpsmodtagernes styrker og svagheder under Odense projektet og godt et år efter 7

Del l: Indledning 5. Del ll: Kontanthjælpsmodtagernes styrker og svagheder under Odense projektet og godt et år efter 7 Dokumentationsbilag Undersøgelse i Jobcenter Odense af udvalgte aspekter ved sagsbehandlingen af ikke arbejdsmarkedsparate kontanthjælpsmodtagere, der antages at flytte dem nærmere arbejdsmarkedet alternativt

Læs mere

Dosering af anæstesistoffer

Dosering af anæstesistoffer Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person

Læs mere

i:\september-2000\eu-j-09-00.doc 5. september 2000 Af Steen Bocian

i:\september-2000\eu-j-09-00.doc 5. september 2000 Af Steen Bocian i:\september-2000\eu-j-09-00.doc 5. september 2000 Af Steen Bocian RESUMÈ RENTESTIGNINGEN RAMMER ARBEJDERNE HÅRDEST Et nej til euroen d. 28. september vil medføre en permanent højere rente end et ja. Det

Læs mere

Statistik og beregningsudredning

Statistik og beregningsudredning Bilag 7 Statistik og beregningsudredning ved Overlæge Søren Paaske Johnsen, medlem af Ekspertgruppen Marts 2008 Bilag til Ekspertgruppens anbefalinger til videreudvikling af Sundhedskvalitet www.sundhedskvalitet.dk

Læs mere

METODESAMLING TIL ELEVER

METODESAMLING TIL ELEVER METODESAMLING TIL ELEVER I dette materiale kan I finde forskellige metoder til at arbejde med kreativitet og innovation i forbindelse med den obligatoriske projektopgave. Metoderne kan hjælpe jer til:

Læs mere

Indholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole

Indholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering... 2 Socialkognitiv karriereteori - SCCT... 3 Nøglebegreb 1 - Tro på egen formåen... 3 Nøglebegreb 2 - Forventninger til udbyttet...

Læs mere

! Husk at udfylde spørgeskema 3. ! Lineær sandsynlighedsmodel. ! Eksempel. ! Mere om evaluering og selvselektion

! Husk at udfylde spørgeskema 3. ! Lineær sandsynlighedsmodel. ! Eksempel. ! Mere om evaluering og selvselektion Dagens program Økonometri 1 Dummy variable 4. marts 003 Emnet for denne forelæsning er kvalitative variable i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.5-7.6+8.1)! Husk at udfylde spørgeskema 3!

Læs mere

STOFMISBRUGERE I DANMARK 1996-2005

STOFMISBRUGERE I DANMARK 1996-2005 STOFMISBRUGERE I DANMARK 1996-2005 Nye tal fra Sundhedsstyrelsen 2006 : 23 Redaktion: Sundhedsstyrelsen Sundhedsstatistik Islands Brygge 67 2300 København S. Telefon: 7222 7400 Telefax: 7222 7404 E-mail:

Læs mere