Differentialregning. for A-niveau i stx Karsten Juul

Transkript

1 Dierentialregning r A-niveau i st t s 0 Karsten Juul

2 Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient AlÅs tallet r pç igur 4 AlÅs tallet ' r pç igur 5 AlÅs läsninger til =t pç igur 6 AlÅs läsninger til ' =s pç igur 7 Bestem ' med Nspire 4 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler 4 9 Advarsler m regler ra ramme Eksempel pç brug a regler ra ramme 8 5 Eksempel pç brug a regler ra ramme 8 5 Eksempler pç brug a regel 8j 6 Tangent Bestem ligning r tangent 7 4 Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat 7 5 Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat 8 6 Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning 8 7 Bestem tangenthåldning 9 8 Har graen en tangent med håldningskeicienten a? 9 9 Bestem 0 ud ra tangents ligning 9 0 Er linjen tangent? 0 Bestem räringspunkt r tangent Bestem knstant i rskrit nçr vi kender punkt pç gra Bestem knstant i rskrit nçr vi kender tangenthåldning 4 Bestem räringspunkt r tangent gennem givet punkt VÄksthastighed 5 Frtlkning a ' nçr ikke er tiden 6 Frtlkning a ' nçr er tiden 7 VÅksthastighed 4 8 AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt 4 9 AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt 5 0 AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt 5 AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt 6 Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt 6 Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt 7 4 Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt 7 5 Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt 7 Mntni 6 Vksende g atagende 8 7 Hvad er mntnirhld? 9 8 Regel r at inde mntnirhld 9 9 Bestem mntnirhld 0 40 GÄr rede r at er vksende eller at er atagende 0 4 Bestem k sç er vksende eller sç er atagende 4 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm 4 Bestem mntnirhld r ud ra -gra 44 Bestem mntnirhld r ud ra '-gra Ekstrema 45 Maksimum g minimum 46 Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst 4 47 Bestem med ' den stärste vårdi a y 5 48 Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst 6 49 Bestem med ' den mindste vårdi a y 6 50 Bestem ekstrema 6 5 GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum 6 5 Lkalt maksimum g minimum 7 5 Bestem lkale ekstrema 8 54 Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til = a 9 55 GÄr rede r at ligning ikke kan have mere end Én läsning 9 56 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum 9 Beviser 57 Dierentiabel 0 58 GrÅnsevÅrdi 59 Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi 60 Udledning a rmlen r at dierentiere 6 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk Dierentialregning r A-niveau i st, Ä 0 Karsten Juul /9-0 Nyeste versin a dette häte kan dwnlades ra HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@matdk sm plyser at dette häte benyttes skriv ulde titel g Årstal, g plyser m hld, niveau, lärer g skle

3 Tangent g räringspunkt Dierentialkvtient PÇ iguren har vi tegnet graen r en unktin g en ret linje l Linjen l er tangent til graen i punktet P rdi l er den linje gennem P sm Älger graen når P P Den viste gra har kun Ét punkt Ålles med l l Punktet P kaldes tangentens råringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient PÇ iguren har vi tegnet graen r en unktin g tangenten i grapunktet med -krdinat r FunktinsvÄrdien i r er lig y-krdinaten t til grapunktet med -krdinat r a Dierentialkvtienten i r er lig håldningskeicienten a r tangenten i grapunktet med -krdinat r t l P FunktinsvÅrdien i r betegnes r r t Dierentialkvtienten i r betegnes ' r r a ' r Symblet r låses: a r Symblet 'r låses: mårke a r typerne i rammerne 4-7, -, -5, 56 läses med Älgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n eller m p Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten Denne metde indgçr sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer BemÅrk: Tallet pç m 's plads er en -vårdi Tallet pç n 's plads er en y-vårdi Tallet pç p 's plads er en tangenthåldning eller våksthastighed Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

4 AlÅs tallet r pç igur AlÅs tallet 4 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal vi inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4 Der stçr, sç y-krdinaten er acit 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4 Se markering pç igur Husk NÇr vi alåser et tal pç en igur, skal vi skrive tallet pç iguren der hvr vi har alåst det Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alåst 4 AlÅs tallet 'r pç igur AlÅs tallet '4 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4 Der stçr, sç tangenthåldningen er acit '4 Vi tegner l = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4 Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l l 's håldningskeicient er sç ' 4 6,7 l 4, Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

5 5 AlÅs läsninger til =t pç igur AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 6, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr y-krdinaten er 6 Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal läse 6 er y-krdinaten til et grapunkt Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6 Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7 Se markeringen pç iguren LÄsningerne til 6 er eller 7 6 AlÅs läsninger til '=s pç igur AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 0, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 0 Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet Vi skal läse 0 er tangenthåldningen i et grapunkt Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0 Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5 Se markeringen pç iguren LÄsningen til 0 er 5 Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes håldningskeicient Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

6 7 Bestem ' med Nspire Fr at Ç Nspire til at dierentiere bruger vi skabelnen d d g Çr mht til at taste Husk at indstille Nspire til radianer hvis rskriten indehlder cs eller sin Sm kntrl skal du taste cs Hvis resultatet er, er Nspire indstillet til radianer d Symblet kan IKKE skrives ved hjålp d a en bräkstreg Brug skabelnen Skabeln-paletten Çr vi rem sçdan: Lmmeregner: Tryk pç t Cmputer: Klik pç g pç Eksempel NÇr g ln er g ln udregnet med Nspire Husk at skrive dette! 8 Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler 8a k 0 nçr k er en knstant eks 4 0 g ln 0 8b k k eks g 4 4 8c a aa eks 4 4 g,6, 6 4,6 8d e er et bestemt tal ligesm e,788 e er pç Nspire, men er ikke den sådvanlige e-tast e 8e ln e Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin" ln er pç Nspire 8 k k g ln eks g g g 7 7 eks ln eks 4 ln eks ln ln ln 8h g g 8i g g g 5 4 eks 5 8j g g g ln ln Da g kan vi udregne g med reglen a aa PÇ de t nåste sider er der lere eksempler pç brug a reglerne 8a-8j Dierentialregning r A-niveau i st Side 4 0 Karsten Juul

7 9 Advarsler m regler ra ramme 8 a er IKKE e er IKKE a g 4 e g er IKKE ln er IKKE e er IKKE e e g er IKKE er IKKE 4 er IKKE g ln g e er IKKE e er IKKE e 0 Eksempel pç brug a regler ra ramme 8 En unktin er givet ved e ln Bestem FÄrst inder vi e ln ln e ln Hera Çr vi e ln e0 e ln e e ln Eksempel pç brug a regler ra ramme 8 En unktin er givet ved sç Bestem Hera Çr vi Dierentialregning r A-niveau i st Side 5 0 Karsten Juul

8 Eksempler pç brug a regel 8j 8j NÇr g h er g h h En unktin er bestemt ved Bestem SÇdan tänker vi Fr 4 4 er den ydre unktin Dierentialkvtienten a den ydre er 4 8 4, g den indre er unktin er 4, g dierentialkvtienten a den indre er En unktin er bestemt ved ln Bestem SÇdan tänker vi Fr ln er den ydre unktin ln, g den indre er unktin er Dierentialkvtienten a den ydre er, g dierentialkvtienten a den indre er En unktin er bestemt ved Bestem e SÇdan tänker vi Fr e er den ydre unktin e Dierentialkvtienten a den ydre er, g den indre er unktin er e, g dierentialkvtienten a den indre er e e Dierentialregning r A-niveau i st Side 6 0 Karsten Juul

9 Bestem ligning r tangent Tangent Funktinen er givet ved Bestem en ligning r tangenten til graen r i punktet, y-krdinaten til grapunktet med -krdinat y 4 er TangenthÅldningen i grapunktet med -krdinat a er Tangenten i grapunktet med -krdinat y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y har ligningen Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y 4 Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat En unktin er givet ved Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5 Bevarelse 5 er punktets y-krdinat: Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50 Dierentialregning r A-niveau i st Side 7 0 Karsten Juul

10 5 Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat En unktin er givet ved Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4 Bevarelse er punktets y-krdinat: 4 4 Nspire läser denne ligning mht g Çr eller De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g 6 Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning Bevarelse En unktin er givet ved Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9 6 er tangenthåldningen i punktet: Nspire läser denne ligning mht g Çr eller er punktets y-krdinat: 4 g 0 De punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0 Dierentialregning r A-niveau i st Side 8 0 Karsten Juul

11 7 Bestem tangenthåldning Bevarelse En unktin g er givet ved g Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat g g er tangenthåldningen i punktet: g 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er 4 8 Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved g Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten? g er tangenthåldningen i punktet: g Hvis tangenthåldningen er : g Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten 9 Bestem 0 ud ra tangents ligning Bevarelse Linjen l: y 4 er tangent til graen r i punktet med -krdinat 7 Bestem 7 7 er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat 7 Da dette punkt ligger pç l, kan dets y-krdinat bestemmes a l 's ligning: y 47 y 7 Dvs 7 7 Dierentialregning r A-niveau i st Side 9 0 Karsten Juul

12 0 Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens Dette er vist pç de tre igurer ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent Linjen er ikke tangent Linjen er tangent Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser denne ligning mht g Çr eller Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat Linjen l er tangent til graen r Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 0 Karsten Juul

13 Bestem räringspunkt r tangent Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen Bestem krdinatsåttet til räringspunktet I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser denne ligning mht g Çr eller Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt KrdinatsÅttet til räringspunktet er, Bestem knstant i rskrit nçr vi kender punkt pç gra Punktet, ligger pç graen r a4 Bestem a Da, ligger pç graen r a4, er a 4, sç a Bestem knstant i rskrit nçr vi kender tangenthåldning Graen r a4 har i punktet med -krdinat tangenthåldningen 8 Bestem a 4a g tangenthåldningen er 8, sç 4a 8, dvs a Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

14 4 Bestem räringspunkt r tangent gennem givet punkt Punktet P0, ligger pç linjen l sm er tangent til graen r Bestem det punkt Q 0, y hvr l rärer graen r 0 Vi skriver ligningen r l udtrykt ved 0 : Vi bruger metden ra ramme Da Q 0, y 0 y ligger pç -graen, er Da Q 0, y er räringspunkt r l, er l 's håldningskeicient a l har ligningen 0 0 dvs y a 0 0 l : y Vi indsätter P 's krdinater i l 's ligning r at bestemme 0 : l 's ligning er sand r, y 0, da P0, ligger pç l : Nspire läser denne ligning mht 0 g Çr 0 0 Vi udregner y 0 : Da Q 0, y 0 ligger pç -graen, er y 0 l 's räringspunkt er Q, Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

15 VÄksthastighed 5 Frtlkning a ' nçr ikke er tiden Frtlkning a ' nçr ikke er tiden Om et tegnet dyr pç skårmen gålder at 0, hvr er dyrets häjde, g er dyrets långde Bestem 0, g gär rede r hvad dette tal rtåller m dyret ca h l 0, 4 Heri såtter vi lig 0: 0 0, 0 4 udregnet med Nspire 0 Dette rtåller at nçr dyrets långde er 0 g vi lågger et lille tal til långden, sç lågges ca gange dette tal til häjden h 6 Frtlkning a ' nçr er tiden Frtlkning a ' nçr er tiden Om et tegnet dyr pç skårmen gålder at 0, hvr er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter Bestem 0, g gär rede r hvad dette tal rtåller m dyret 0, 4 Heri såtter vi lig 0: 0 0, 0 4 udregnet med Nspire 0 Dette rtåller at pç tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr minut Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

16 7 VÅksthastighed Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca 0,5 mm häjere pr dag Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr dag I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca 0,5 mm pr dag dage 8 AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem temperaturen pç tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alåser at r dette punkt er T 4 Dette har vi vist pä skitsen T / C PÇ tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C t / s Dierentialregning r A-niveau i st Side 4 0 Karsten Juul

17 9 AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g pç l alåser vi punkterne A,5 g B 7, 7 Alt dette har vi vist pä skitsen T / C A l B l 's häldningskeicient er temperaturens väksthastighed pç tidspunktet sekunder l 's håldningskeicient er t / s ,75 Temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder er 0,75 C pr sekund 0 AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alåser at r dette punkt er t Dette har vi vist pä skitsen T / C Temperaturen er 4 C pç tidspunktet sekunder t / s Dierentialregning r A-niveau i st Side 5 0 Karsten Juul

18 AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset Tiden t mçles i sekunder Bestem det tidspunkt hvr temperaturens våksthastighed er 0,75 C pr sekund T / C t / s Vi tegner en linje m sm har håldningskeicient 0,75, g vi lågger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alåser at r räringspunktet er t Alt dette har vi vist pä iguren T / C l m 0 5 VÅksthastigheden r t PÇ tidspunktet 0,75 C pr sekund er l 's håldningskeicient: sekunder er temperaturens våksthastighed 0 0,75 5 t / s Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage 0 56,0 40 4,46 Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet 0 0 Dierentialregning r A-niveau i st Side 6 0 Karsten Juul

19 Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage,0895, 0 0,0895,0 udregnet pä Nspire 0,0087 PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden,0 gram pr dag 4 Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram , Nspire läser denne ligning mht g Çr 77, 56 Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage 5 Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr dag,0895, 0 Vi Çr 4 udregnet pä Nspire,0895,0 4 Nspire läser denne ligning mht g Çr 64, 784 PÇ tidspunktet 65 dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr dag Dierentialregning r A-niveau i st Side 7 0 Karsten Juul

20 6 Vksende g atagende Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre hele tiden blive mindre 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ét tal Vi taler m at en unktin er vksende i et interval Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre Dierentialregning r A-niveau i st Side 8 0 Karsten Juul

21 7 Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 8 Regel r at inde mntnirhld Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4 ** er vksende i intervallet 4 Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ét punkt hvri tangenthåldningen er 0 Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder SÄtning 8 Hvis er psitiv r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet Hvis er negativ r alle i et interval, evt med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet Dierentialregning r A-niveau i st Side 9 0 Karsten Juul

22 9 Bestem mntnirhld Bestem mntnirhldene r unktinen udregnet pä Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0 : 0 0 Nspire läser denne ligning mht g Çr eller 0 Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : 9 sç negativ r sç psitiv r 0 sç psitiv r 0 A dette Älger: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Oversigt: : 0 : 0 0 : 40 GÄr rede r at er vksende eller at er atagende En unktin er givet ved 4 4 e Bestem g gär rede r at er vksende 4e udregnet pä Nspire Da e altid er psitiv, er psitiv, g sç er vksende BemÄrkning 4 Hvis e 4, er 4e Da e altid er psitiv, er er atagende 4 negativ, sç Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 0 Karsten Juul

23 4 Bestem k sç er vksende eller sç er atagende En unktin er givet ved k Bestem de vårdier a k r hvilke er vksende k Hvis k 0 er psitiv, da 0, sç er vksende Hvis k 0 er er vksende netp nçr k 0 BemÄrkning Hvis lig 0 nçr er 0, g ellers psitiv, sç er vksende k e, er negativ netp nçr k, sç er atagende netp nçr k 0 4 Tegn -gra ud ra '-rtegn mm Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist pç tallinjen: NÇr : : m n, gçr -graen gennem punktet m, n er atagende i -intervaller hvr er vksende i -intervaller hvr er negativ er psitiv Fr de -vårdier hvr er 0, har graen vandret tangent Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

24 4 Bestem mntnirhld r ud ra -gra Figuren viser graen r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 PÇ iguren har vi vist hvrdan vi alåser at -vårdierne r de lkale ekstrema er g 4 PÇ iguren ser vi at er atagende i intervallet 4 er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet Bestem mntnirhld r ud ra '-gra Figuren viser graen r den aledede unktin ' r en unktin Bestem mntnirhldene r i intervallet 4 6 PÇ iguren har vi vist hvrdan vi alåser at 4, 5 PÇ nåsten samme mçde kan vi alåse r andre vårdier a end 4 Feks ser vi at g at er 0 nçr er eller er psitiv r 4 er negativ r er psitiv r 6 Hera Älger at er vksende i intervallet 4 er atagende i intervallet er vksende i intervallet 6 Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

25 45 Maksimum g minimum Ekstrema g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen Vi ser at maksimum r er Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen Vi ser at minimum r er Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere, eks: har maksimum i 4 g maksimum er har minimum i g minimum er StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv maksimum g minimum I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

26 46 Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst HÄjden a en igur er givet ved 6 86, 9 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig 6 Vi bestemmer de vårdier a hvr 0 udregnet pä Nspire 6 0 Vi Çr Nspire til at läse denne ligning mht r 9 ved at taste 6 slve 0, 9 5 g Çr Vi bestemmer mntnirhldene r : kan skite rtegn: Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : sç er psitiv r sç er negativ r 9 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet 5 er atagende i intervallet 9 A mntnirhldene Älger: er stärst nçr, dvs HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er Dierentialregning r A-niveau i st Side 4 0 Karsten Juul

27 47 Bestem med ' den stärste vårdi a y HÄjden a en igur er givet ved 6 86, 9 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde Bestem den stärst mulige häjde 6 Vi bestemmer de vårdier a hvr 0 udregnet pä Nspire 6 0 Vi Çr Nspire til at läse denne ligning mht r 9 ved at taste 6 slve 0, 9 5 g Çr Vi bestemmer mntnirhldene r : kan skite rtegn: Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : sç er psitiv r sç er negativ r 9 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet 5 er atagende i intervallet 9 A mntnirhldene Älger: er stärst nçr, sç den stärst mulige vårdi a dvs Den stärst mulige häjde er 74 er Dierentialregning r A-niveau i st Side 5 0 Karsten Juul

28 48 Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst Dette gäres sm vist i ramme 46 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst 49 Bestem med ' den mindste vårdi a y Dette gäres sm vist i ramme 47 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst 50 Bestem ekstrema NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum Se ramme 47 g 49 5 GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum Metde Vi bestemmer mntnirhld r Da er med metden ra ramme 9 Hereter skriver vi: atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r Dierentialregning r A-niveau i st Side 6 0 Karsten Juul

29 5 Lkalt maksimum g minimum P Figuren viser graen r en unktin I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5 Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5 har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5 har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5 har minimum r 70 g minimum er y 5 Undertiden er det skrevet krtere, eks: har minimum i 70 g minimum er 5 har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5 I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver Dierentialregning r A-niveau i st Side 7 0 Karsten Juul

30 5 Bestem lkale ekstrema Bestem de lkale ekstrema r unktinen 8 90 I hvilke -vårdier er der lkale ekstrema? Det kan vi se nçr vi har undet mntnirhldene r Nspire dierentierer 8 90 g Çr 8 mht Nspire läser ligningen 0, dvs ligningen 8 0 g Çr läsningerne 6 g mht Hera Älger at kun kan skite rtegn i -vårdierne 6 g Disse t tal deler tallinjen p i tre delintervaller I hvert a disse vålger vi et tal g udregner i tallet: Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r Vi kan slutte Älgende: : 6 : 0 0 : Da Çr vi har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 4 Dierentialregning r A-niveau i st Side 8 0 Karsten Juul

31 54 Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til = a a UndersÄg mht lkale ekstrema b Bestem r hver vårdi a a antal läsninger til ligningen a a b A undersägelsen i a Älger at graen r er sm vist pç skitsen PÇ skitsen har vi vist hvrdan vi ser at hvis a 4, har a t läsninger g PÇ nåsten samme mçde ser vi: a 0 : 0 läsninger a 0 : läsninger 0 a : 4 läsninger a : läsninger a 89 : läsninger a 89 : läsning 89 a 0 läsninger, 55 GÄr rede r at ligning ikke kan have mere end Én läsning Fr unktinen sin cs 5 ser vi pç ligningen c hvr c er et tal GÄr rede r at denne ligning ikke kan have mere end Én läsning Vi indstiller Nspire til at regne med radianer Nspire dierentierer g Çr cs sin 5 cs g sin kan ikke våre under Da der lågges 5 til, er resultatet psitivt Da er psitiv, er vksende, g kan derr ikke vår lig c r mere end Én vårdi a 0,0 89, 56 Bestem knstant i rskrit ud ra lkalt ekstremum Funktinen k har lkalt minimum r Bestem k k Da har lkalt minimum r, Çr vi 0 k 0 k Hvis der i stedet er plyst en -vårdi med lkalt maksimum, lçses pgaven pä samme mäde Dierentialregning r A-niveau i st Side 9 0 Karsten Juul

32 Beviser 57 Dierentiabel Graen r har et knåk i punktet med -krdinat Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt Tangenten er en linje der Älger graen når punktet Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent Der gålder altsç at ikke eksisterer Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient g Der gålder altsç at g ikke eksisterer Deinitin 57 Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs hvis eksisterer Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 0 Karsten Juul

33 58 GrÅnsevÅrdi 6 Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0 Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç : Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6 Vi siger: gränsevärdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 Metde 58,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende teknik: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 Fr er 6 sç lim lim g lim 6 SÄtning 58 lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en knstant SÄtning 58 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk Metde 584 HÄjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stçr i PÇ iguren ser det ud til at stlpens häjde nårmer sig nçr vi tråkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer Vi Çr Nspire til at udregne grånsevårdien a häjden r gçende md 0 : e lim 0 PÅ Nspire kan vi välge gränsevärdi-skabelnen på skabelnpaletten Skabelnen ser sådan ud: Vi behçver ikke skrive nget i det tredje elt Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

34 59 Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi Figuren viser graen r unktinen Linjen t er tangenten i grapunktet med -krdinat t Linjen s skårer graen i punkterne med -krdinaterne g s HÅldningskeicienten r s er PÇ iguren er, 8 4,48,5 NÇr, 8 er,,8 dvs linjen s har håldningskeicienten, Frestil dig at du tager at i skåringspunktet med -krdinat g Ärer det langs graen ned md det andet skåringspunkt SÇ vil s dreje g nårme sig mere g mere til t Vi ser at hvis, 0 vil s g t have nåsten samme håldning,5995,5 NÇr, 0 er, 995 0,0 AltsÇ er,995 en gd tilnårmelse til Vi ser at vi r at Ç helt näjagtigt skal udregne lim Fr er sç lim lim dvs Den sidste mskrivning kan vi eks Ç Nspire til at lave Vi kan gsç bruge reglen m at aktrisere et andengradsplynmium g dereter rkrte Vi kan kntrllere lighedstegnet ved at gange begge sider med g SÄtning 59 Fr en unktin er lim Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul

35 Dierentialregning r A-niveau i st Side 0 Karsten Juul 60 Udledning a rmlen r at dierentiere NÇr er lim iälge såtning 59 lim lim iälge en a kvadratsåtningerne lim vi har rkrtet med iälge metde 58 Vi har nu undet rem til Älgende: SÄtning 60: 6 Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk NÇr h g er lim iälge såtning 59 lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iälge såtning 58 h g iälge såtning 59 Vi har nu undet rem til Älgende: SÄtning 6: h g h g

36 Stikrdsregister atagende8, 9, 0, dierentiabel0 dierentialkvtient, 4, dierentialkvtient pç gra dierentialkvtient, udledning dierentialkvtients rskrit4 dierentialkvtients rtlkning dierentiatinsregler4 ekstrema, 6 ekstremum rtlkning a dierentialkvtient unktinsvårdi unktinsvårdi pç gra gra grånsevårdi, håldningskeicient, 7, 9, 5, 6, 0 lkale ekstrema 7, 8 lkalt ekstremum9 lkalt maksimum7, 8, 9 lkalt minimum7, 8, 9 läs ligning ud ra gra läsninger, antal9 maksimum, 6 mindstevårdi, 6 minimum, 6 mntnirhld 9, 0, Nspire4, 4, 5, räringspunkt,, stärstevårdi, 4, 5 tangent, 7, 9, 0, 4, 0 tangenthåldning7, 8, 9, 0, vksende 8, 9, 0, våksthastighed4, 5, 6, 7