Differentialregning. for B-niveau i hf Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. for B-niveau i hf Karsten Juul"

Transkript

1 Dierentialregning r B-niveau i h t s 0 Karsten Juul

2 . Tangent g räringspunkt.... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient.... AlÅs tallet r pç igur AlÅs tallet ' r pç igur AlÅs läsninger til =t pç igur AlÅs läsninger til ' r =s pç igur Bestem rskrit r ' med Nspire Bestem rskrit r ' uden hjålpemidler Bestem ligning r tangent Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning Bestem tangenthåldning Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Er linjen tangent? Bestem räringspunkt r tangent Frtlkning a ' nçr ikke er tiden Frtlkning a ' nçr er tiden VÅksthastighed Bestem stärrelsen nçr tidspunktet er kendt.... Bestem våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt..... Bestem tidspunktet nçr stärrelsen er kendt.... Bestem tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Vksende g atagende Hvad er mntnirhld? Regel r at inde mntnirhld Bestem mntnirhld Maksimum g minimum Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst Bestem med ' den stärste vårdi a y...8. Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst Bestem med ' den mindste vårdi a y...9. Bestem ekstrema GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Lkalt maksimum g minimum Bestem lkale ekstrema Dierentiabel GrÅnsevÅrdi Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi Udledning a rmlen r at dierentiere Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk....5 Dierentialregning r B-niveau i h É 0 Karsten Juul Dette håte kan dwnlades ra HÅtet mç benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en til kj@mat.dk sm plyser at dette håte benyttes, g plyser m hld, niveau, lårer g skle.

3 . Tangent g räringspunkt. PÇ iguren har vi tegnet graen r en unktin g en ret linje l. Linjen l er tangent til graen i punktet P rdi l er den linje gennem P sm Älger graen når P. P Den viste gra har kun Ñt punkt Ålles med l. l Punktet P kaldes tangentens räringspunkt.. FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient. PÇ iguren har vi tegnet graen r en unktin g tangenten i grapunktet med -krdinat r. FunktinsvÅrdien i r er lig y-krdinaten t til grapunktet med -krdinat r. a Dierentialkvtienten i r er lig håldningskeicienten a r tangenten i grapunktet med -krdinat r. t l P FunktinsvÅrdien i r betegnes r. r t. Dierentialkvtienten i r betegnes ' r. r a. ' r Symblet r låses: a r. Symblet 'r låses: mårke a r. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

4 . AlÅs tallet r pç igur. AlÅs tallet 4 pç iguren. 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4. Se markering pç igur. 4. AlÅs tallet 'r pç igur. AlÅs tallet '4 pç iguren. '4 Vi tegner l. = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4. Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l. l 's håldningskeicient er sç ' 4. 6,7 l 4, Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

5 5. AlÅs läsninger til =t pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren Vi skal läse 6. er y-krdinaten til et grapunkt. Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6. Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7. Se markeringen pç iguren. LÄsningerne til 6 er eller AlÅs läsninger til 'r=s pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren. Vi skal läse 0. er tangenthåldningen i et grapunkt. Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0. Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5. Se markeringen pç iguren. LÄsningen til 0 er 5. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

6 7. Bestem rskrit r ' med Nspire. Fr at Ç Nspire til at dierentiere taster vi ved hjålp a skabelnen g Çr d d mht. Älgende: d Symblet kan IKKE skrives ved hjålp d a en bräkstreg. Brug skabelnen. Skabeln-paletten Çr vi rem sçdan: Lmmeregner: Tryk pç t Cmputer: Klik pç g pç En unktin g har rskriten g ln Vi udregner rskriten r g' : g ln udregnet med Nspire 8. Bestem rskrit r ' uden hjålpemidler. k 0 nçr k er en knstant..eks. 4 0 g ln 0 k k.eks. 4 4 g,5, 5 a aa.eks. 4 4 g,6, 6 4,6 e e er et bestemt tal ligesm. e,788. e er pç Nspire, men det er ikke den sådvanlige e-tast. e ln Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin". ln er pç Nspire. k k g ln.eks g g g g.eks..eks. ln 4 0 ln 4 0 g g e 8 74 e 8 e e 6 Eksempel: Advarsler: a er IKKE a g 4 er IKKE 4. e er IKKE e g e er IKKE e. Da g kan vi udregne g med reglen a aa. Dierentialregning r B-niveau i h Side 4 0 Karsten Juul

7 9. Bestem ligning r tangent. Funktinen er givet ved. Bestem en ligning r tangenten til graen r i punktet,. y-krdinaten til grapunktet med -krdinat y 4 er TangenthÅldningen i grapunktet med -krdinat a er Tangenten i grapunktet med -krdinat y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y. har ligningen Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y. 0. Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat. En unktin er givet ved. Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5. Bevarelse 5 er punktets y-krdinat: Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50. Dierentialregning r B-niveau i h Side 5 0 Karsten Juul

8 . Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat. En unktin er givet ved. Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4. Bevarelse er punktets y-krdinat: 4 4 Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g.. Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning. Bevarelse En unktin er givet ved. Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9. 6 er tangenthåldningen i punktet: Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller er punktets y-krdinat: 4 g 0 De punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0. Dierentialregning r B-niveau i h Side 6 0 Karsten Juul

9 . Bestem tangenthåldning. En unktin g er givet ved. g Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat Bevarelse g g er tangenthåldningen i punktet: g 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved. g Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten? g er tangenthåldningen i punktet: g Hvis tangenthåldningen er : g Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten. Dierentialregning r B-niveau i h Side 7 0 Karsten Juul

10 5. Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens. Dette er vist pç de tre igurer. ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn. er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent. Linjen er ikke tangent. Linjen er tangent. Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat. Linjen l er tangent til graen r. Dierentialregning r B-niveau i h Side 8 0 Karsten Juul

11 6. Bestem räringspunkt r tangent. Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen. Bestem krdinatsåttet til räringspunktet I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser denne ligning mht. g Çr eller Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig y 9 7 sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt. KrdinatsÅttet til räringspunktet er,. Dierentialregning r B-niveau i h Side 9 0 Karsten Juul

12 7. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden. Om et tegnet dyr pç skårmen gålder at 0, hvr er dyrets häjde, g er dyrets långde. Bestem 0, g gär rede r hvad dette tal rtåller m dyret. ca. h l 0, 4 Heri såtter vi lig 0: 0 0, udregnet med Nspire h Dette rtåller at nçr dyrets långde er 0 g vi lågger et lille tal til långden, sç lågges ca. gange dette tal til häjden. 8. Frtlkning a ' nçr er tiden. Frtlkning a ' nçr er tiden. Om et tegnet dyr pç skårmen gålder at 0, hvr er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter. Bestem 0, g gär rede r hvad dette tal rtåller m dyret. 0, 4 Heri såtter vi lig 0: 0 0, 0 4 udregnet med Nspire 0 Dette rtåller at pç tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr. minut. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 0 Karsten Juul

13 9. VÅksthastighed. Figuren viser graen r en unktin hvr = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca. 0,5 mm häjere pr. dag. Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. mm dage 0. Bestem stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage. 0 56,0 40 4,46 Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet Bestem våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage.,0895, 0 0,0895,0 udregnet pä Nspire 0,0087 PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden,0 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

14 . Bestem tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram , Nspire läser denne ligning mht. g Çr 77, 56. Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage.. Bestem tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr. dag.,0895, 0 Vi Çr 4 udregnet pä Nspire,0895,0 4 Nspire läser denne ligning mht. g Çr 64, 784. PÇ tidspunktet 65 dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

15 4. Vksende g atagende. Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm. NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien. PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre. hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ñt tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre. At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

16 5. Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 6. Regel r at inde mntnirhld. Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre. Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ñt punkt hvri tangenthåldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder. SÅtning 6. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet. Dierentialregning r B-niveau i h Side 4 0 Karsten Juul

17 7. Bestem mntnirhld. Bestem mntnirhldene r unktinen Fr at Ç Nspire til at dierentiere 4 4 taster vi ved hjålp a skabelnen d d g Çr 7 mht. Älgende: Fr at Ç Nspire til at läse ligningen 0 taster vi slve 0, g Çr läsningerne eller 0 mht. Hera Älger at kun kan skite rtegn i -vårdierne g 0. Disse t tal deler tallinjen p i tre delintervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner i tallet: Da 9 er negativ r Da er psitiv r 0 Da er psitiv r 0 A dette Älger: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r B-niveau i h Side 5 0 Karsten Juul

18 8. Maksimum g minimum. g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p. Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum. NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har maksimum i 4 g maksimum er. har minimum i g minimum er. StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema. Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum. Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h Side 6 0 Karsten Juul

19 9. Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst. HÄjden a en igur er givet ved 6 86, 9. 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig. 6 Vi bestemmer de vårdier a hvr 0 udregnet pä Nspire 6 0 Vi Çr Nspire til at läse denne ligning mht. r 9 ved at taste 6 slve 0, 9 5 g Çr. Vi bestemmer mntnirhldene r : kan skite rtegn: Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : sç er psitiv r sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet 5 er atagende i intervallet 9. A mntnirhldene Älger: er stärst nçr, dvs. HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er. Dierentialregning r B-niveau i h Side 7 0 Karsten Juul

20 0. Bestem med ' den stärste vårdi a y. HÄjden a en igur er givet ved 6 86, 9. 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem den stärst mulige häjde.. 6 Vi bestemmer de vårdier a hvr 0 udregnet pä Nspire 6 0 Vi Çr Nspire til at läse denne ligning mht. r 9 ved at taste 6 slve 0, 9 5 g Çr. Vi bestemmer mntnirhldene r : kan skite rtegn: Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : sç er psitiv r sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet 5 er atagende i intervallet 9. A mntnirhldene Älger: er stärst nçr, sç den stärst mulige vårdi a dvs. Den stärst mulige häjde er 74. er Dierentialregning r B-niveau i h Side 8 0 Karsten Juul

21 . Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst. Dette gäres sm vist i ramme 9 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst.. Bestem med ' den mindste vårdi a y. Dette gäres sm vist i ramme 0 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst.. Bestem ekstrema. NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum. Se ramme 0 g. 4. GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum. GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum. Metde Vi bestemmer mntnirhld r Da er med metden ra ramme 7. Hereter skriver vi: atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. Dierentialregning r B-niveau i h Side 9 0 Karsten Juul

22 5. Lkalt maksimum g minimum. P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har minimum i 70 g minimum er 5. har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 0 Karsten Juul

23 6. Bestem lkale ekstrema. Bestem de lkale ekstrema r unktinen I hvilke -vårdier er der lkale ekstrema? Det kan vi se nçr vi har undet mntnirhldene r. Nspire dierentierer 8 90 g Çr 8. mht. Nspire läser ligningen 0 g Çr läsningerne 6 g. mht. Hera Älger at kun kan skite rtegn i -vårdierne 6 g. Disse t tal deler tallinjen p i tre delintervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner i tallet: Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r Vi kan slutte Älgende: : 6 : 0 0 : Da Çr vi har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 4 Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

24 7. Dierentiabel. Graen r har et knåk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Älger graen når punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gålder altsç at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient. g Der gålder altsç at g ikke eksisterer. Deinitin 7. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

25 8. GrÅnsevÅrdi. 6 Udtrykket u kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0. Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç : Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6. Vi siger: grånsevårdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 Metde 8.,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende teknik: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken. SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 Fr er 6 sç lim lim g lim 6 SÅtning 8. lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en knstant SÅtning 8. lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk Metde 8.4 HÄjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stçr i. PÇ iguren ser det ud til at stlpens häjde nårmer sig nçr vi tråkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer. Vi Çr Nspire til at udregne grånsevårdien a häjden r gçende md 0 : e lim 0 PÄ Nspire kan vi vålge grånsevårdi-skabelnen pä skabelnpaletten. Skabelnen ser sädan ud: Vi behçver ikke skrive nget i det tredje elt. Dierentialregning r B-niveau i h Side 0 Karsten Juul

26 9. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi. Figuren viser graen r unktinen Linjen t er tangenten i grapunktet med -krdinat. t Linjen s skårer graen i punkterne med -krdinaterne g. s HÅldningskeicienten r s er PÇ iguren er, 8 4,48,5 NÇr, 8 er,,8 dvs. linjen s har håldningskeicienten, Frestil dig at du tager at i skåringspunktet med -krdinat g Ärer det langs graen ned md det andet skåringspunkt. SÇ vil s dreje g nårme sig mere g mere til t. Vi ser at hvis, 0 vil s g t have nåsten samme håldning.,5995,5 NÇr, 0 er, 995 0,0 AltsÇ er,995 en gd tilnårmelse til. Vi ser at vi r at Ç helt näjagtigt skal udregne lim Fr er sç lim lim dvs. Den sidste mskrivning kan vi.eks. Ç Nspire til at lave. Vi kan gsç bruge reglen m at aktrisere et andengradsplynmium g dereter rkrte. Vi kan kntrllere lighedstegnet ved at gange begge sider med g. SÅtning 9. Fr en unktin er lim Dierentialregning r B-niveau i h Side 4 0 Karsten Juul

27 Dierentialregning r B-niveau i h Side 5 0 Karsten Juul 40. Udledning a rmlen r at dierentiere. NÇr er lim iälge såtning 9. lim lim iälge en a kvadratsåtningerne lim vi har rkrtet med iälge metde 8. Vi har nu undet rem til Älgende: SÅtning 40.: 4. Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk. NÇr h g er lim iälge såtning 9. lim h g h g lim h h g g lim h h g g lim lim h h g g iälge såtning 8. h g iälge såtning 9. Vi har nu undet rem til Älgende: SÅtning 4.: h g h g

28 Stikrdsregister atagende..., 4 dierentiabel... dierentialkvtient..., 4 dierentialkvtient pç gra... dierentialkvtients rskrit...4 dierentialkvtients rtlkning...0 dierentiatinsregler...4 ekstrema...6, 9 ekstremum...6 rtlkning a dierentialkvtient...0 unktinsvårdi..., grånsevårdi..., 4 håldningskeicient...7, lkale ekstrema...0, lkalt maksimum...0, lkalt minimum...0, läs ligning ud ra gra... maksimum...6, 9 mindstevårdi...6, 9 minimum...6, 9 mntnirhld...4, 5 Nspire...4, 5, 7, 8,, 4 räringspunkt..., 9 stärstevårdi...6, 7, 8 tangent..., 8,, tangenthåldning...6, 7 tangents ligning...5 vksende..., 4 våksthastighed...,

Differentialregning. for A-niveau i stx Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st t s 0 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient AlÅs tallet r pç igur 4 AlÅs tallet ' r pç igur 5 AlÅs läsninger til =t pç

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden...

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i st udgave t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g røringspunkt..... Funktinsværdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra.... 4. Frtlkning a ' når er tiden....

Læs mere

Differentialregning. for stx og hf Karsten Juul

Differentialregning. for stx og hf Karsten Juul Dierentialregning r st g h t s 09 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g røringspunkt Funktinsværdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' når er tiden 5 Frtlkning a ' når ikke er

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

Ävelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til håftet. Udgave 2

Ävelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til håftet. Udgave 2 Ävelser til håtet Dierentialrenin r ymnasiet h Udave t s 0 Karsten Juul Ävelserne i dette håte Çr eleverne til at pdae hvad det er der reçr i dierentialreninen Dette pnçr man ikke ved en undervisnin hvr

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre

Læs mere

Vejledning til Plakater

Vejledning til Plakater Vejledning til Plakater Når du er lgget ind, finder du plakatskabelnerne ved at klikke skabelner g derefter Plakat. Under teksten plakater finder du tre ikner. Det er skabelner til tre frskellige plakater:

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Facitliste opgaver 9. f er aftagende i intervallerne ]- ; -0,7] og [0 ; 0,7] (0,0) Kernestof 2 ISBN Opg a. b. c.

Facitliste opgaver 9. f er aftagende i intervallerne ]- ; -0,7] og [0 ; 0,7] (0,0) Kernestof 2 ISBN Opg a. b. c. Website: Facitlister til opgaver i Facitliste opgaver 9 Opg. 901 c. = 3 ( x) 4x x x = 0,7 og x = 0,7 er atagende i intervallerne ]- ; -0,7] og [0 ; 0,7] er voksende i intervallerne [-0,7 ; 0] og [0,7 ;

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Funktioner. 2. del Karsten Juul

Funktioner. 2. del Karsten Juul Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Windws perativsystemer Brugervejledning Prduktregistrering Hvis du registrerer dit SMART-prdukt, giver vi dig besked, når der er nye funktiner g sftwarepgraderinger. Registrer

Læs mere

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Brugermanual til Folkeskoledatabasen

Brugermanual til Folkeskoledatabasen Brugermanual til Flkeskledatabasen SKRIV CLIENT NAME INDHOLD. 1. FOLKESKOLEDATABASEN 2 2. HJEM 2 3. RAPPORTER 3 3.1 EKSEMPEL - SÅDAN FINDER DU EN RAPPORT 3 4. BYG EGEN TABEL 5 4.1 Eksempel sådan laver

Læs mere

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...

Læs mere

Deskriptiv statistik for hf-matc

Deskriptiv statistik for hf-matc Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...

Læs mere

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7 REMOTE BACKUP Skyfillers Kundemanual INDHOLD Opsætning... 2 Installatin... 2 Lg ind... 3 Backup-sets... 4 Datasikring... 7 Online datasikring... 7 Lkal datasikring... 7 Gendannelse af data... 9 Gendannelse

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Å 211 Krsten Juu Disse sider kn downodes fr www.mt1.dk. Siderne mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG KÆRBO Sundheds- g Omsrgsfrvaltningen Brugerundersøgelse : Plejeblig 1 Brugerundersøgelse Plejeblig Brugerundersøgelsen er udarbejdet af Epinin P/S g Afdeling fr Data g Analyse,

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Funktioner. 1. del Karsten Juul

Funktioner. 1. del Karsten Juul Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2

Læs mere

Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing

Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing Øv dig i at lære at arbejde med spirituel healing skrevet 2005 af Rikkecri Marcussen, revideret udgave 2012 Før du påbegynder ngen frm fr spirituelt arbejde, vil jeg råde dig til, at have lært at meditere

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag Evaluering af udviklingsprjekter m en længere g mere varieret skledag Kmmune: Vesthimmerland Invlverede skler i prjektet: Løgstør skle Evalueringsrapprten er udarbejdet af: Malene Wennerlin Kntaktplysninger:

Læs mere

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009

MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 3 timer (180 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014 Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011 Fibnacciprjekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skle i Skagen Matematikken i blde? December 2011 Klassen deltg fr første gang i Fibnacci Prjektet, g der var afsat ca. 10 timer i en enkelt

Læs mere

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil År 2010 Cmputerspil Nils Per Olsen g Martin Vighlt Cmputerspil 10-03-2010 Planlægning Først diskuterer vi hvilken målgruppe spillet skal henvende sig til. Derefter kikker vi på frskellige spil, fr at finde

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte Glæden ved at være til meditatinsgruppe Level II udvidet prgram Et åbent hjerte I de kmmende måneder vil vi udfrske meditatin på kærlig-venlighed g medfølelse. Vi vil lære hvrdan vi kan åbne vre hjerter

Læs mere

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 11 Kvalitetsstandard fr støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 1 Frmålet med kvalitetsstandarden En kvalitetsstandard er et andet rd fr serviceniveau. Den beskriver indhldet g mfanget

Læs mere

Samarbejde. mellem lærere og pædagoger i undervisningen. Skolefagenheden

Samarbejde. mellem lærere og pædagoger i undervisningen. Skolefagenheden Samarbejde mellem lærere g pædagger i undervisningen Sklefagenheden Indhld Frrd... Side 3 Samarbejde... Side 4 Frmål... Side 5 Perspektiv...... Side 5 Opmærksmhedspunkter... Side 6 Udviklingsperspektiver...

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Tips & Tricks nr. 116 LUDUS Suite Håndtering af indfødsretsprøven og medborgerskabsprøven

Tips & Tricks nr. 116 LUDUS Suite Håndtering af indfødsretsprøven og medborgerskabsprøven LUDUS Helpdesk T +45 3614 7070 sc-ludus@dxc.cm CSC Scandihealth A/S - en del af DXC Technlgy P.O. Pedersens Vej 2 8200 Aarhus N T +45 3614 4000 www.dxc.technlgy www.dxc.technlgy/ludus Tips & Tricks nr.

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Floorballstævner. Folderen er for dig, der gerne vil arrangere et stævne eller vide mere om floorballstævner i DGI og Floorball Danmark.

Floorballstævner. Folderen er for dig, der gerne vil arrangere et stævne eller vide mere om floorballstævner i DGI og Floorball Danmark. L L A B R O O L F R E N V STÆ rball på l F s n i l g Mt anmark l a b r l vner i F I g Flrball D æ t s d l h Af ed DG m e n a b hjemme Flrballstævner Flderen er fr dig, der gerne vil arrangere et stævne

Læs mere

Nyhedsbrev. Folkeafstemning samt lokalvalg. Hospitalsenheden Vest Staben. Læs mere på næste side

Nyhedsbrev. Folkeafstemning samt lokalvalg. Hospitalsenheden Vest Staben. Læs mere på næste side Nyhedsbrev Nr. 26 den 20. nvember 2015: Nyhedsbrev fra Stabens ledelse Flkeafstemning samt lkalvalg Læs mere på næste side Valg Cpydan Tekst & Nde Indgang i Herning Fernisering frtsat Pstkrt Side 2 Side

Læs mere

Guide til netværk LÆR AT TACKLE

Guide til netværk LÆR AT TACKLE Guide til netværk LÆR AT TACKLE Guide til netværk Kmiteen fr Sundhedsplysning 2. udgave, 1. plag 2015 Med støtte fra Indhld Guide til netværk... 2 Hvrdan kan netværket rganiseres?... 3 Hvrdan frdeles pgaverne?...

Læs mere

Forslag til diskussion

Forslag til diskussion Frslag til diskussin Her bliver der vist ngle frslag til temaer, sm eleverne kan diskutere efter de har set præsentatinen. Disse temaer kan diskuteres i grupper eller i plenum. 1. Præsentatinen kmmer med

Læs mere

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne?

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne? Interview med Kristine J: 00:00: Hvr gammel er du? K: 25 J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer J: Hvr er du pvkset henne? K: I slagelse J: Hvilket pstnummer br du i? K: 2000 J: Er du rgandner?

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

BETJENINGSVEJLEDNING HG EASY SKIN. FlÄmaskine

BETJENINGSVEJLEDNING HG EASY SKIN. FlÄmaskine BETJENINGSVEJLEDNING HG EASY SKIN FlÄmaskine 14. september 2012 Tillykke med kåbet af din nye HG FlÄmaskine. Hos Hedensted Gruppen A/S bestråber vi os altid pç at producere kvalitetsprodukter, du kan regne

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Hegnsloven Infografik

Hegnsloven Infografik Hegnslven Infgrafik Undgå knflikter med din nab. Sådan fungerer hegnslven: Intr De fleste fretrækker et gdt nabskab - en hyggelig snak ver hækken søndag eftermiddag g fælles løsninger på hverdagens prblemer.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen

Læs mere

Varighed: 6 lektioner, enten brudt op eller som temadag.

Varighed: 6 lektioner, enten brudt op eller som temadag. Lærerside - Frberedelse, gennemførelse g efterbearbejdning Hvad Frberedelse, gennemførelse g efterbearbejdning af besøg hs lkal virksmhed. UU tilbyder i maj-juni at arrangere dette. Det er læreren, sm

Læs mere