Anvendt Lineær Algebra
|
|
- Frans Johansen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38
2 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet som måleresultater med målefejl. Vi skal derfor finde en mindste kvadraters løsning ˆx som opfylder Aˆx = ˆb, hvor ˆb er den vektor i Col A hvis afstand til b er mindst. ˆb er altså ortogonal projektionen af b på Col A. Vi beregner ikke ˆb. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 2 / 38
3 En vektor x er mindste kvadraters løsning til Ax = b hvis og kun hvis den er løsning til normalligningen (A T A)x = A T b. Når en mindste kvadraters løsning ˆx er fundet ved at løse normalligningen kan eventuelt bestemme ˆb = Aˆx. Fremgangsmåden virker kun for lineære ligninger. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 3 / 38
4 Ikke-lineære problemer y x AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 4 / 38
5 Vi kender de præcise koordinater for et antal punkter (blå på figuren på forrige side). Desuden er der et ukendt punkt (rødt). Afstanden mellem det kendte punkt (1, 3) og det ukendte punkt (x, y) måles til værdien b. Vi har altså følgende ligning (hvis vi ser bort fra målefejl): (x 1)2 + (y 3) 2 = b. Tilsvarende ligninger fås ved måling af aftanden til andre kendte punkter. Men disse ligninger er ikke-lineære. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 5 / 38
6 Lineær Approximation x AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 6 / 38
7 Lineær approximation af funktion af én variabel Ligningen for tangenten til grafen for f (x) i punktet (a, f (a)) er y = f (a) + f (a)(x a). Lineær approximation for x tæt på a: f (x) f (a) + f (a)(x a). F.eks. hvis f (x) = x 2 2, a = 2 så er f (x) = 2x og tangentens ligning er: y = 2 + 4(x 2) eller y = 4x 6. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 7 / 38
8 Løsning af ligning ved hjælp af lineær approximation (Newtons metode): Eksempel. Løs ligning f (x) = 0 hvor f (x) = x 2 2. Vi vil bestemme en følge af tal x 0, x 1, x 2, x 3,..., der konvergerer mod den præcise løsning. x 0 er vores første gæt på en løsning: x 0 = 2. I nærheden af x 0 er f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 4x 6. Da løsningen formodes at ligge tæt på x 0 kan vi løse ligningen 4x 6 = 0 i stedet for den ikke-lineære ligning. Denne ligning har løsning x 1 = 1.5. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 8 / 38
9 x AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 9 / 38
10 x AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 10 / 38
11 I nærheden af x 1 er f (x) f (x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) = 3x I stedet for den ikke-lineære ligning løser vi ligningen 3x 4.25 = 0 som har løsning x 2 = Dernæst fås og x 3 = x 4 = AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 11 / 38
12 Funktion af to variable f (x, y): en funktion af to variable med partielle afledede f x (x, y) = f x og f y (x, y) = f y. Tilvæksten af f (x, y) ud fra punktet (a, b): f = f (a + x, b + y) f (a, b) approximeres af differentialet df = f x (a, b) x + f y (a, b) y. Differentialet kan fremkomme som prikprodukt af gradient vektoren f (a, b) = f x (a, b), f y (a, b) og vektoren x, y : df = f (a, b) x, y. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 12 / 38
13 Lineær approximation for funktion af to variable f (a + x, b + y) f (a, b) + f x (a, b) x + f y (a, b) y, Eller, når (x, y) er tilstrækkeligt tæt på (a, b): f (x, y) f (a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b). AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 13 / 38
14 Lad f (x, y) være afstanden mellem (x, y) og et fast punkt (x 1, y 1 ). Så er f x (x, y) = f (x, y) = (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2. x x 1 (x x1 ) 2 + (y y 1 ), f y y 1 2 y (x, y) = (x x1 ) 2 + (y y 1 ). 2 For (x, y) i nærheden af punktet (x 0, y 0 ) er f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 14 / 38
15 Vi kender de præcise koordinater for et antal punkter: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...,(x n, y n ). Desuden er der et punkt med ukendte koordinater (x P, y P ). Vi har målt afstanden fra dette punkt til de n kendte punkter og får værdierne henholdsvis b 1, b 2,..., b n. Altså: (xp x 1 ) 2 + (y P y 1 ) 2 = b 1 (xp x 2 ) 2 + (y P y 2 ) 2 = b 2. (xp x n ) 2 + (y P y n ) 2 = b n P.g.a. målefejl er der ikke noget punkt (x P, y P ) der passer med alle ligninger. Vi ønsker at finder et punkt, der passer bedst muligt. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 15 / 38
16 Idé: Gæt et punkt (x 0 P, y 0 P ). Da (x P, y P ) formodes at være tæt på (xp 0, y P 0 ) kan venstre side i ovenstående ligninger erstattes med den lineære approximation i punktet (xp 0, y P 0). Derved fås (inkonsistent) lineært ligningssystem med n ligninger. Lad (x 1 P, y 1 P ) være en mindste kvadraters løsning til dette ligningssytem. (xp 1, y P 1 ) er så forhåbentligt tættere på den rigtige løsning end vores første gæt var. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 16 / 38
17 Gentag ovenstående med (x 0 P, y 0 P ) erstattet af (x 1 P, y 1 P ) og find derved (x 2 P, y 2 P ). Gentag indtil (x i P, y i P ) nærmer sig et bestemt punkt, som så er (x P, y P ). AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 17 / 38
18 Funktion af n variable F i (x 1, x 2,..., x n ): en funktion af n variable. x 0 = (x 0 1, x 2 2,..., x 0 n ): fast punkt/vektor. j i = (j i1, j i2,..., j in ) = F i (x 0 ) er gradientvektoren af F i i punktet x 0, hvor j il er F i x l udregnet i punktet x 0. For et punkt x = (x 1, x 2,..., x n ) i nærheden af x 0 er hvor b 0 i = F i (x 0 ). F i (x) F i (x 0 ) + F i (x 0 ) (x x 0 ) = b 0 i + j i (x x 0 ), AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 18 / 38
19 Vi har m observationer: F 1 (x 1,..., x n ) = b 1 F 2 (x 1,..., x n ) = b 2. F m (x 1,..., x n ) = b m. Venstresiderne erstattes af deres lineære approximationer i punktet x 0 : b j 1 (x x 0 ) = b 1 b j 2 (x x 0 ) = b 2. b 0 m + j m (x x 0 ) = b m. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 19 / 38
20 j 1 (x x 0 ) = b 1 b 0 1. j m (x x 0 ) = b m b 0 m. På matrixform: A(x x 0 ) = b, hvor j 11 j j 1n b 1 b1 0 j 21 j j 2n A =... og b = b 2 b j m1 j m2... j mn b m bm 0 Med residualvektoren ˆr fås observationsligningen A(x x 0 ) = b + ˆr. A kaldes designmatricen. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 20 / 38
21 6 5 4 y x AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 21 / 38
22 Der er tre kendte punkter: (1, 3), (1, 1) og (5, 1) samt et ukendt punkt (x P, y P ) med afstande til de tre kendte punkter målt til henholdsvis 4, 6 og 5. F 1 (x, y) := (x 1) 2 + (y 3) 2 F 2 (x, y) := (x 1) 2 + (y 1) 2 F 3 (x, y) := (x 5) 2 + (y 1) 2 F 1 (x P, y P ) = 4, F 2 (x P, y P ) = 6, F 3 (x P, y P ) = 5. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 22 / 38
23 j 1 = ( F 1 (xp 0, y P 0) = ) x 0 P 1, y 0 P 3 = (x 0 P 1) 2 +(yp 0 3)2 (x 0 P 1) 2 +(yp ( ) 0 3)2 j 2 = F 2 (xp 0, y P 0) = x 0 P 1, y 0 P 1 b2 0 ), j 3 = F 3 (x 0 P, y 0 P ) = ( x 0 hvor b 0 i = F i (x 0 P, y 0 P ). b2 0 P 5 b3 0, y 0 P 1 b 0 3 ( x 0 P 1 b 0 1 ), y 0 P 3 b1 0 AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 23 / 38
24 Vi gætter en første værdi (xp 0, y P 0 ) = (6, 5) og udregner b1 0 = F 1(6, 5) = (6 1) 2 + (5 3) 2 = 29 b2 0 = F 2(6, 5) = (6 1) 2 + (5 1) 2 = 41 b3 0 = F 1(6, 5) = (6 5) 2 + (5 1) 2 = 17 j 1 = ( , ) = (0.927, 0.372) j 2 = ( , ) = (0.781, 0.625) j 3 = ( , ) = (0.242, 0.968) b = 6 41 = AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 24 / 38
25 Observationsligning (uden residualer): (x x 0 ) = Normalligning (A T A(x x 0 ) = A T b): [ ] (x x ) = [ ] Løsning: Altså: x 1 = x x 0 = [ ] [ ] x 1 P x 0 y 1 = P P y 0 + P [ ] [ ] 1.92 = 1.46 [ ] AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 25 / 38
26 Gentag med (xp 0, y P 0) erstattet af (x P 1, y P 1). [ ] [ ] [ ] [ ] x 2 Så fås: P x 1 = P = Dernæst: y 2 P y 1 P [ ] [ ] [ ] x 3 P x 2 y 3 = P P y 2 + = P [ ] Så er F 1 (x 3 P, y 3 P ) = 4.183, F 2(x 3 P, y 3 P ) = 5.773, F 3(x 3 P, y 3 P ) = AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 26 / 38
27 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b er en mindste kvadraters løsning ˆx en løsning til normalligningen (A T A)x = A T b. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 27 / 38
28 Hvis 1 A =. og b = 1 b 1. b m så er A T A = m og A T b = b b m og derfor er ˆx = b b m, m altså (ikke-vægtet) gennemsnit af b 1,..., b m. Det vægtede gennemsnit af b 1,..., b m med vægte hhv. c 1,..., c m (hvor c 1,..., c m er positive tal) er c 1 b c m b m c c m. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 28 / 38
29 Betragt nu et ligningssystem af m ligninger med n ubekendte Ax = b. De m ligninger (observationer) tildeles vægte c 1,..., c m som skrives i en matrix c c C = c m Som vægte kan vi bruge c i = 1 σi 2 eventuelt c i = konst. 1. σi 2 hvor σ 2 i er variansen af den i te observation, eller Skrives også (i Lay) som wi 2 = c i hvor w i = 1 σ i og w w W = w m Så er W T W = WW = C. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 29 / 38
30 Hvis vægtene c 1,..., c m er hele tal (positive) så svarer det vægtede ligningssystem til at betragte (ikke-vægtet) ligningssystem Ãx = b, hvor ligning nr. i fra ligningssystemet Ax = b skrives c i gange. En mindste kvadraters løsning til det nye ligningssystem er en løsning til normalligningen à T Ãx = ÃT b. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 30 / 38
31 Eksempel: A = a b c d e f, b = r s t, C = Så kan vi betragte à = a b a b c d e f e f e f, b = r r s t t t. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 31 / 38
32 Normalligningen for ligningssystemet Ãx = b er à T Ãx = ÃT b. Da ÃT à = A T CA og ÃT b = A T Cb er denne ligning ækvivalent med A T CAx = A T Cb. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 32 / 38
33 Det vægtede ligningssytem Ax = b med generelle vægte har normalligning A T CAx = A T Cb. En vægtet mindste kvadraters løsning til Ax = b er en løsning til normalligningen. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 33 / 38
34 I observationsligningen Aˆx = b + ˆr indgår residual vektoren ˆr = 1 ˆr.. ˆr m Vi udregner c ˆr T 0 c Cˆr = [ˆr 1... ˆr m ] ˆr.... = ˆr c m m c 1ˆr 1 [ˆr 1... ˆr m ]. = c 1ˆr c mˆr m. 2 c mˆr m Dette er kvadratet på den vægtede længde af vektoren ˆr. Altså kvadratet på den vægtede afstand mellem Aˆx og b. En vægtet mindste kvadraters løsning er en vektor x som minimerer ˆr T Cˆr = (Ax b) T C(Ax b). AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 34 / 38
35 Eksempel. Hvis 1 A =., b = 1 b 1. b m og C = c c c m så er A T CA = c c m og A T Cb = c 1 b c m b m og den vægtede mindste kvadraters løsning er derfor det vægtede gennemsnit ˆx = c 1b c m b m c c m. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 35 / 38
36 Eksempel. Find linie y = αx + β der passer bedst til punkterne med vægte hhv. 1, 5, 1, 5, 1. (1, 3), (2, 5), (3, 9), (4, 12), (5, 14) Vi betragter ligningssystemet [ ] 1 3 β 5 = 1 4 α AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 36 / 38
37 Normalligningen: [ (A T β CA) = A α] T Cb. Den vægtede mindste kvadraters løsning er [ ] β = (A T CA) 1 A T Cb = α [ ] Den vægtede mindste kvadraters linie har ligning y = 3.17x Denne linie er grøn på næste side. Den ikke-vægtede mindste kvadraters linie er rød på næste side. AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 37 / 38
38 x AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 38 / 38
Lineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereLiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereUdjævning. Peter Cederholm
Udjævning Peter Cederholm Udjævning Peter Cederholm Udjævning. 2. udgave, 1. revision, 2000. Forord Disse noter er skrevet i forbindelse med afholdelse af udjævningskurser for landinspektørstuderende på
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereKonstruktion af Splines
Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereLineære normale modeller (4) udkast
E6 efterår 1999 Notat 21 Jørgen Larsen 2. december 1999 Lineære normale modeller (4) udkast 4.5 Regressionsanalyse 4.5.1 Præsentation 1 Regressionsanalyse handler om at undersøge hvordan én målt størrelse
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereLineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed
Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning
Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereDifferentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs merePoul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k
Dagens program: Likelihoodfunktion, begreber : Mandag den 4. februar Den generelle lineære model score-funktion: første afledede af log-likelihood har middelværdien nul observeret information: anden afledede
Læs mereKvantitative metoder 2
Kvantitative metoder 2 Den multiple regressionsmodel 5. marts 2007 regressionsmodel 1 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5, E.2) Variansen
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereDifferensligninger og populationsstørrelser
Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression
Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereOpgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 34 Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Antag vi har model: Vi ønsker at teste hypotesen y = β 0 + β 1 x
Læs mereAnalytisk Geometri og Vektorer
Matematikprojekt om Analytisk Geometri og Vektorer Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 19 November 2010 Indhold I Analytisk plan og rum-geometri................. 3 I
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereMatematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet
Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereØkonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27
Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereLINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereSimpel Lineær Regression: Model
Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mere