Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS"

Transkript

1 Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet af indbyggere i New York i perioden tilnærmelsesvis voksede eksponentielt. Da der i ovenstående eksempel er tale om en populationsudvikling er det oplagt at undersøge om befolkningstallet i USA fra voksede eksponentielt. Data kan vi selvfølgelig uden videre skrive ind i en tabel som vist, ligesom vi kan få tegnet en graf ved at trække variablene år (dvs. år efter 1790) ind som uafhængig variabel på førsteaksen og befolkningstallet ind som afhængig variabel på andenaksen i en Data og Statistik applikation: Vi vil altså undersøge om sammenhængen kan beskrives en eksponentiel vækstmodel. Den er på formen y x = b a, dvs. 1

2 Vi anvender de indbyggede regressionsmodeller til at bestemme den eksponentielle model der bedst kan forklare sammenhængen mellem år og befolkningstallet, altså den model hvor kvadratsummen for de logaritmisk transformerede data er nedbragt mest muligt, dvs. der er i virkeligheden udført en lineær regression på de logaritmisk transformerede befolkningstal. Det er også grunden til at der er anført to residualer residualerne RESID for de rå eksponentielle data og residualerne RESIDTRANS for de logaritmisk transformerede lineære data: Regressionsmodellen kunne umiddelbart virke lovende idet forklaringsgraden er på hele 98,37 %. Men ser vi i stedet på den faktiske forklaringsgrad for de rå data: så er den faktisk nede på 88.8%! Den udregnes som sædvanligt ved at se på forholdet mellem restvariationen og den totale variation: 2

3 Men det er vigtigt at huske at man i sin vurdering af en model inkluderer en grafisk analyse af modellen, inklusiv residualplot (forskellen mellem de observerede y-værdier og de teoretiske y-værdier): De første år efter 1790 ser den modellen ud til at kunne forklare sammenhængen godt hvilket understøttes af residualplotten. Men herefter ser det ikke så godt ud! Datapunkterne ligger fra år efter 1790 alle over den teoretiske model og fra år efter 1790 ligger datapunkterne under. Dette antyder pludselig at den eksponentielle model nok ikke er så god til at forklare sammenhængen mellem år og befolkningstal. Dette tydeliggøres af residualplottet der viser en klar systematik i resterne mellem den teoretiske model og datapunkterne fra år efter 1790 idet residualerne ikke svinger tilfældigt op og ned. Residualerne når endda op på cirka -50 millioner hvilket må anses at være rigtig meget! Vi kan dermed afvise vores forestilling om at befolkningstallet i USA fra voksede eksponentielt. 3

4 Logistisk regression Supplerende noter til vækstmodeller: 2a og 2b, december 2007 ved BO og FE Det ville være oplagt herefter (idet der er tale om en populationsudvikling) at undersøge om sammenhængen kan beskrives ved en logistisk vækstmodel 1 : y c = 1 + a e Hvor der altså indgår tre parametre a, b og c. Vi anvender igen de indbyggede regressionsmodeller til at bestemme den logistiske vækstmodel der ved mindste kvadratsum bedst kan forklare sammenhængen mellem år og befolkningstallet: Ved regression er den logistiske model bestemt til: Dermed er bæreevnen (mæthedniveauet) estimeret til millioner. Men inden vi ser nærmere på modellen vil vi kaste et lidt mere kritisk øje på den. 1 Der er tale om d = 0 modellen. Den findes også i en version, hvor man har lagt d til, dvs. på formen y = d c 1 a e b x +, men den vil vi ikke se nærmere på her. + 4

5 Vi frembringer grafen for modellen sammen med datapunkterne og inkluderer et residualplot: Grafen for modellen ser rimelig overbevisende ud hvilket understøttes af residualplottet. Som det ses svinger residualerne tilfældigt op og ned og da ydermere den største afvigelse er nede på omkring 2.4 millioner må det siges af være et tilfredsstillende residualplot, i betragtning af størrelsen af de observerede befolkningstal. Der kunne være en tendens til at usikkerheden afhænger af tiden idet residualerne svinger mere og mere i takt med tiden. Men vurderes residualerne relativt ses de større udsving ved store befolkningstal. F.eks. ses den største afvigelse på ca. 2.4 millioner i 1930 (140 år efter 1790) hvor befolkningstallet er oplyst til at være millioner! Læg mærke til at vi ikke får oplyst en forklaringsgrad for modellen. Men hvad betyder det når det nu næsten er blevet rutine selv at regne den ud. Regressionsmodellen forsøger at minimere restvariationen, R, udregnet som summen af de kvadratiske afvigelser. Den minimale restvariation sammenlignes med totalvariationen, T, som udregnes som kvadratsummen af variationen omkring middelværdien af de observerede y-værdier (nulhypotesen). Forklaringsgraden r 2 er så givet ved 1 R/T. Den måler, hvor stor en del af totalvariationen, vi kan forklare ved hjælp af vores model: Som det ses, er forklaringsgraden helt oppe på 99,96 %, dvs. det er lykkes os at forklare 99,96 % af den observerede variation ved hjælp af vores logistiske model. 5

6 Karakteristiske egenskaber ved logistisk vækst Lad os nu prøve at se lidt nærmere på nogen af de karakteristiske egenskaber ved logistisk vækst med udgangspunkt i vores udledte regressionsmodel: Som tidligere nævnt er bæreevnen (mæthedniveauet) estimeret til De øvrige to parametre er estimeret til og. millioner. Væksten vil i starten (ved små x-værdier), hvor den endnu ikke er hæmmet, være tæt på at være eksponentiel, hvilket vi også har set indikationer på i vores tidligere modelundersøgelse. Den uhæmmede eksponentielle vækst er til at begynde med givet ved ligningen: Tilsvarende ses at når populationen nærmere sig mæthedsniveauet eksponentielt på samme måde som populationen fjerner sig fra 0 i starten. Den hæmmede vækst vil i slutningen (ved store x-værdier) være givet ved ligningen: Hvis vi tegner graferne for den logistiske vækst, den tilhørende uhæmmede startvækst og endelig den hæmmede slutvækst, kan vi netop se, hvordan den logistiske vækst til at begynde med vokser eksponentielt, for til slut at nærme sig mæthedsniveauet eksponentielt med den modsatte vækstrate: 6

7 Vi kan nu tilføje vendepunktet som bestemt ved ligningen. Denne kan findes som skæringen mellem grafen for den logistiske vækst og den vandrette linje. Ved at indsætte en tangentlinje kan man desuden finde den maksimale hældning på grafen, dvs. det sted, hvor væksten foregår allerhurtigst (her bestemt til ): Symbolske udregninger er også mulige. For at finde vendepunktet skal vi løse ligningen: Vendepunktet ligger altså i x = Heraf og ved differentiation kan vi finde den største hældning, altså hældningen i vendepunktet: 7

8 Opgaver med logistisk vækst indbyggede regressionsmodeller Opgave 1 Tabellen herunder viser væksten af en solsikke (Reed and Holland, 1919): Dag Højde i cm A. Gør rede for at højden ikke vokser eksponentielt i den betragtede periode. Kom herunder ind på ligningen for den eksponentielle sammenhæng og residualplot. Beregn selv forklaringsgraden på rådata og sammenlign med maskinens forklaringsgrad. B. Gør rede for, at højden med god tilnærmelse er vokset logistisk i den betragtede periode. Bestem herunder ligningen for den logistiske sammenhæng. Lav desuden et residualplot og beregn forklaringsgraden. C. Bestem og kommentér mætningsniveauet (bæreevnen) for den logistiske vækst. D. Bestem og kommentér vendepunktet for den logistiske vækst. Bestem og kommentér desuden hældningen af tangenten i vendepunktet. E. Undersøg og kommentér karakteristika for den logistiske vækst. Kom herunder c ind på Startfasen ystart = e og slutfasen yslut = c c a e. a 8

9 Opgave 2 Tabellen herunder viser udviklingen i antallet af bananfluer (Pearl 1925): Dag Antal A. Gør rede for at antallet af bananfluer ikke vokser eksponentielt i den betragtede periode. Kom herunder ind på ligningen for den eksponentielle sammenhæng og residualplot. Beregn selv forklaringsgraden på rådata og sammenlign med maskinens forklaringsgrad. B. Gør rede for, at antallet af bananfluer med god tilnærmelse er vokset logistisk i den betragtede periode. Bestem herunder ligningen for den logistiske sammenhæng. Lav desuden et residualplot og beregn forklaringsgraden. C. Bestem og kommentér mætningsniveauet (bæreevnen) for den logistiske vækst. D. Bestem og kommentér vendepunktet for den logistiske vækst. Bestem og kommentér desuden hældningen af tangenten i vendepunktet. E. Undersøg og kommentér karakteristika for den logistiske vækst. Kom herunder c ind på Startfasen ystart = e og slutfasen yslut = c c a e. a 9

10 Teori om logistisk vækst med TI-Nspire CAS: Den logistiske vækstmodel 2 bliver i TI-Nspire skrevet på formen: y c = 1 + a e Der er altså tre parametre a, b og c, hvis betydning vi vil prøve at forstå. Men lad os først kridte banen op: Den logistiske vækstmodel er en udvidelse af den eksponentielle vækstmodel, som tager hensyn til, at enhver realistisk vækstmodel må være begrænset, fordi der i praksis altid kun kan være et begrænset antal ressourcer til rådighed for væksten. Så længe vi arbejder med små populationer mærker vi ikke disse begrænsninger og væksten foregår eksponentielt, men når den når en vis størrelse sætter begrænsningerne ind. Ofte vil væksten så flade ud og nærme sig et mæthedsniveau, bæreevnen c. Der er selvfølgelig mange muligheder for at modellere denne udfladning, men den logistiske vækstmodel er særlig køn, fordi den er symmetrisk omkring et vendepunkt, når vi er nået halvvejs op til bæreevnen, dvs. væksten nærmer sig bæreevnen eksponentielt med præcis den modsatte vækstrate af den ubegrænsede startvækst. Ser vi på grafen for det eksponentielle led led er aftagende, hvorfor der gælder: a e kan vi udnytte at det eksponentielle Når x er meget stor (positiv) er det eksponentielle bidrag meget lille. Når x er meget lille (negativ) er det eksponentielle bidrag meget stort. Det får nu følgende konsekvenser for den logistiske vækst: 2 Der er tale om d = 0 modellen. Den findes også i en version, hvor man har lagt d til, dvs. på formen y = d c 1 a e b x +, men den vil vi ikke se nærmere på her. + 10

11 Når x er meget lille (negativ) vokser det eksponentielle bidrag og dermed nævneren ubegrænset, hvorfor populationen (brøken) er meget lille, dvs. nærmer sig nul. Grafen for den logistiske vækst udgår derfor fra x-aksen. Når x er meget stor (positiv) kan vi til sidst se helt bort fra det eksponentielle bidrag, hvorfor populationen y nærmer sig c, der netop er bæreevnen. Populationen vokser altså fra 0 og nærmer sig bæreevnen c, dvs. værdimængden er det åbne interval fra 0 til c. Men vi ser også at væksten til at begynde med er meget tæt på at være eksponentiel. Det følger af omskrivningen y c c c = = e 1 + a e a e a når x er meget lille idet det eksponentielle led dominerer for meget små x-værdier. Den uhæmmede eksponentielle vækst til at begynde med er derfor givet ved ligningen y start c = e a Tilsvarende kan vi se, hvordan man nærmer sig mæthedsniveauet c, ved i stedet at se på forskellen mellem c og y. Vi finder da: c c + c a e c c a e c y = c = = 1+ a e 1+ a e 1+ a e Men denne gang er det 1, der dominerer for meget store x-værdier, hvoraf vi slutter c a e c y = c a e 1 + a e for x meget stor, og dermed y = c c a e slut Vi ser derfor at populationen nærmer sig mæthedsniveauet eksponentielt på samme måde som populationen fjernede sig fra 0 i starten. c Hvis vi tegner graferne for den logistiske vækst ylogistisk =, den tilhørende 1 + a e c uhæmmede startvækst ystart = e og endelig den hæmmede slutvækst a yslut = c c a e, kan vi netop se, hvordan den logistiske vækst til at begynde med vokser eksponentielt, for til slut at nærme sig mæthedsniveauet eksponentielt med den modsatte vækstrate: 11

12 Graferne viser altså klart de tre faser i den logistiske vækst: Startfasen, hvor den følges af en eksponentiel vækst, mellemfasen, hvor væksten flader ud og passerer vendepunktet (med y = c/2), og slutfasen, hvor væksten nærmer sig mæthedsniveauet eksponentielt. Læg også mærke til at man kan finde vendepunktet som skæringspunkt mellem grafen for den logistiske vækst og den vandrette linje y = c/2. Ved at indtegne en tangentlinje kan man ydermere nemt finde den maksimale hældning på grafen, dvs. det sted, hvor væksten foregår allerhurtigst. Symbolske udregninger er også mulige. For at finde vendepunktet skal vi blot løse en ligning Vendepunktet ligger altså i x = ln(a)/b. For at finde den største hældning, dvs. hældningen i vendepunktet, skal vi arbejde lidt mere. Vi bruger differentiation til at finde hældningen, og derefter indsætter vi den fundne x-værdi: Den maksimale væksthastighed er altså b c/4. 12

13 Logistisk regression ved parametertilpasning med TI-Nspire I sidste lektion arbejde vi med tabellen herunder som viser udviklingen af USA's befolkning fra hvor befolkningstallet er angivet i millioner: I viste at vi kunne afvise vores forestilling om at befolkningstallet i USA fra voksede eksponentielt. Sammenhængen kunne derimod tilnærmelsesvis beskrives ved en logistisk vækstmodel: c y = 1 + a e Vi anvendte de indbyggede regressionsmodeller til at bestemme den logistiske vækstmodel der ved mindste kvadratsum bedst kan forklarede sammenhængen mellem år og befolkningstallet. Her fik vi direkte parametrene a = 48.33, b = og c = forærende. Eksempel på parametertilpasning med TI-Nspire I denne øvelse vil vi selv komme frem til parametrene a, b og c som er nævnt ovenfor. Det gøres ved først at omforme problemet til bestemmelse af bedste rette linje for y-data som den uafhængige variabel og væksthastighed som den afhængige. For logistisk vækst gælder der nemlig denne sammenhæng for eksponentielle sammenhænge gælder der at væksthastigheden i forhold til y-data er konstant. Ud fra bedste rette linje mellem y-data og væksthastigheden kan vi estimere b og c. Herefter er der kun a parameteren tilbage som kan bestemmes ved hjælp af en skyder og mindste kvadratsum. Beviset for at denne procedure giver os parametrene gennemgås til sidst. Lad os først se på proceduren. Opret en tabel for årstal, år efter 1790 og befolkningstal. Bemærk at årstallene springer med et interval på 10 år det skal vi bruge senere! Herefter udregnes vækstraten som er bestemt ved ligningen: 13

14 som vi i tabellen kan se ikke er kon- Det vi her har udregnet er altså stant! Bemærk at første celle ikke er defineret! Derfor opretter vi to nye variable ydata og rdata for henholdsvis befolkningstallet og vækstraten. Markér og kopier data fra befolkningstal og vækstraten idet vi undlader første række (og dermed den vores udefinerede vækstrate): Ved at lave et dataplot for ydata som uafhængig variabel og rdata som afhængig variabel ser vi at der med god tilnærmelse kunne gælder en lineær sammenhæng mellem ydata og rdata: Estimering af parametrene b og c Ud fra hældningen (stat.m) og konstantleddet (stat.b) for denne lineære regression er det muligt at estimere parametrene b og c idet vi nu skal huske på at årstallene springer med et interval på h = 10 år. Parameteren b for vores logistiske vækst kan vi bestemme ved hjælp af følgende formel: 14

15 Vi har dermed estimeret parameteren b = som afviger lidt fra den værdi den indbyggede regressionsmodel kom frem til (her var b = ). Bærerevnen c bestemmes ved udregning af formlen: Dermed har vi estimeret parameteren c = som også afviger lidt fra den værdi den indbyggede regressionsmodel kom frem til (der var c = ). Vi er nu nået frem til følgende bud på en logistisk sammenhæng hvor vi nu kun mangler at estimere én parameter, nemlig a: Estimering af parameteren a Resten kører nu næsen som en kendt rutine: a) Lav en skyder for parameteren a i et Graf og Geometriværktøj husk at lagre den! b) Lav et dataplot som inkluderer den logistiske model i et Data og Statistik værktøj. c) Lav en udregning til bestemmelse af mindste kvadratsum i en tabel. 15

16 Dermed er vores bedste bud på en logistisk sammenhæng: 16

17 Vurdering af den logistiske model Herefter vurderer vi modellen som vanligt idet vi laver et residualplot og beregner forklaringsgraden: Grafen for modellen ser rimelig overbevisende ud hvilket understøttes af residualplottet. Som det ses svinger residualerne tilfældigt op og ned og da ydermere den største afvigelse er nede på omkring 3 millioner må det siges af være et tilfredsstillende residualplot, i betragtning af størrelsen af de observerede befolkningstal. Der kunne være en tendens til at usikkerheden afhænger af tiden idet residualerne svinger mere og mere i takt med tiden. Men vurderes residualerne relativt ses de større udsving ved store befolkningstal. F.eks. ses den største afvigelse på ca. 3 millioner i 1930 (140 år efter 1790) hvor befolkningstallet er oplyst til at være millioner! Forklaringsgraden r 2 er så givet ved 1 R/T. Den måler, hvor stor en del af totalvariationen, vi kan forklare ved hjælp af vores model: Som det ses, er forklaringsgraden helt oppe på 99,96 %, dvs. det er lykkes os at forklare 99,96 % af den observerede variation ved hjælp af vores logistiske model. 17

18 Bevis for anvendte sammenhænge Beviset gennemføres ved hjælp af TI-Nspire. 18

19 Opgaver med logistisk vækst parametertilpasning Opgave Tabellen herunder viser væksten af en solsikke (Reed and Holland, 1919): Dag Højde i cm Gør ved hjælp at parametertilpasning (ovennævnte metode) rede for, at højden med god tilnærmelse er vokset logistisk i den betragtede periode. Inkludér residualplot og forklaringsgrad i vurderingen af modellen. 19

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data

Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data En vigtig metode til at få overblik over data er at tranformere dem, således at der fremkommer en lineær sammenhæng. Ordet transformation

Læs mere

Kapitel 3: Modeller i Derive

Kapitel 3: Modeller i Derive 3. Modeller i Derive 3.1 Indledende knæbøjninger For at regne på modeller i Derive skal vi bruge FIT-funktionen som tilpasser et datasæt til et vilkårligt udtryk med lineære parametre ved hjælp af mindste

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:

Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression Statistik Lektion 7 Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler Maple på C-niveau Umiddelbart kan Maple på C-niveauet virke som en stor mundfuld, men nøjes man med at benytte Maple som et skriveværktøj kombineret med nogle ganske få menukommandoer, vil eleverne kunne

Læs mere

To samhørende variable

To samhørende variable To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Appendiks A. Entreprenørskabsundervisning i befolkningen, specielt blandt unge

Appendiks A. Entreprenørskabsundervisning i befolkningen, specielt blandt unge Appendiks A. Entreprenørskabsundervisning i befolkningen, specielt blandt unge Redegørelsen ovenfor er baseret på statistiske analyser, der detaljeres i det følgende, et appendiks for hvert afsnit. Problematikken

Læs mere

Transienter og RC-kredsløb

Transienter og RC-kredsløb Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken

Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Uafhængighed et eksempel på en rød tråd i statistikken Statistiknoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Bjørn Felsager Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Forord side 1 1. Unges alkoholforbrug som funktion af

Læs mere

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Estimering af importrelationen for tjenester ikke indeholdende søtransport

Estimering af importrelationen for tjenester ikke indeholdende søtransport 1 Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Martin Vesterbæk Mortensen 11. september 213* Estimering af importrelationen for tjenester ikke indeholdende søtransport Resumé: I dette papir fremlægges

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,

Læs mere

Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment

Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment Projekt 9.4 t-test som lineær regressionstest: Box s helikoptereksperiment Indhold 1. Modellering af fald med papirhelikopter: Et eksempel på lineær regression... 2 Empiri... 2 Helikoptereksperimentet...

Læs mere

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

temaanalyse 2000-2009

temaanalyse 2000-2009 temaanalyse DRÆBTE I Norden -29 DATO: December 211 FOTO: Vejdirektoratet ISBN NR: 97887766554 (netversion) COPYRIGHT: Vejdirektoratet, 211 2 dræbte i norden -29 Dette notat handler om ulykker med dræbte

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Bilag 16: Robusthedsanalyser af effektiviseringspotentialerne Bilaget indeholder analyser af effektiviseringspotentialernes robusthed.

Bilag 16: Robusthedsanalyser af effektiviseringspotentialerne Bilaget indeholder analyser af effektiviseringspotentialernes robusthed. Bilag 16: Robusthedsanalyser af effektiviseringspotentialerne Bilaget indeholder analyser af effektiviseringspotentialernes robusthed. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 1. COSTDRIVERSAMMENSÆTNING...

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C MIHY (Michael

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1

Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1 Morten Gjeddebæk, Moral og dobbeltmoral i klimadebatten. 1 Arbejdspapir til modul (1) matematik. 1. Grundlæggende håndtag i Gapminder.org. Åbn www.gapminder.org og vælg Gapminder World. Klik på andenaksen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Elisabeth

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller

Vi har valgt at analysere vores gruppe ud fra belbins 9 grupperoller, vi har følgende roller Forside Indledning Vi har fået tildelt et skema over nogle observationer af gærceller, ideen ligger i at gærceller på bestemt tidspunkt vokser eksponentielt. Der skal nu laves en model over som bevise

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Materiale sammenskrevet af:

Materiale sammenskrevet af: Det skrå kast med 1.b 006 Bjørn Felsager & Brian Olesen Haslev Gymnasium og HF Materiale sammenskrevet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 009 05-07-009 18:4 Indholdsfortegnelse Introduktion...

Læs mere

Supplerende dokumentation af boligligningerne

Supplerende dokumentation af boligligningerne Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Ralph Bøge Jensen 13. september 2010 Supplerende dokumentation af boligligningerne Resumé: Papiret skal ses som et supplement til den nye Dec09-ADAM dokumentation

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere