Den geometriske optik. 1. Linser. 2 Erik Vestergaard

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den geometriske optik. 1. Linser. 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk"

Transkript

1

2 2 Erik Vestergaard Den geometriske optik Den såkaldte geometriske optik beskæftiger sig med hvordan lys, betragtet som stråler, kan forårsage billeddannelse. I denne teori er begreber som refleksion og afbøjning centrale. Et vigtigt objekt er linsen. En lang række apparater i et moderne samfund indeholder linsen som en essentiel bestanddel. Her kan nævnes briller, luppe, projektorer, kikkerter, mikroskoper, kameraer og teleskoper. Linsen findes endda i en helt naturlig udgave i menneskets øje. I alle tilfælde bruges linsen til at afbøje lys på en hensigtsmæssig måde for at få dannet et billede af et givet objekt. Vi skal studere linsers virkemåde i nogle øvelser og opgaver. 1. Linser Der er to typer linser: Samlelinser og spredelinser. De førstnævnte samler lyset, hvorimod de sidstnævnte spreder lyset. En linse er normalt begrænset af kugleflader eller plane flader. Samlelinser er tykkest på midten, modsat for spredelinser. Figur 1 Den optiske akse for en linse af ovenstående type er symmetriaksen afbildet på figur 2. Man kan vise, at hvis man sender et bundt af lysstråler, som er parallelle med den optiske akse, ind mod en samlelinse, så vil strålerne efter passage af linsen samles i et punkt, betegnet brændpunktet F. Hvis man gør det samme med en spredelinse, vil strålerne spredes. Hvis man derimod tegner strålerne tilbage, ser det ud som om de udgår fra samme punkt. Dette punkt, som ligger på den anden side af linsen, kaldes for spredelinsens brændpunkt. For samlelinsen kaldes afstanden fra linsen til brændpunktet for brændvidden. For spredelinsen derimod defineres brændvidden som minus afstanden fra linsen til brændpunktet. Vi skal senere se, hvorfor det er smart med disse fortegn! Figur 2

3 Erik Vestergaard 3 Brændvidden for en linse afhænger i øvrigt af linsematerialets brydningsindeks og af linsens krumning. Idéen med en samlelinse er i princippet, at et objektpunkt P skal afbildes i et skarpt billedpunkt P et sted på den anden side af linsen. Objektpunktet tænkes at udsende lysstråler i alle retninger. Det vil være optimalt, hvis alle lysstråler, der rammer linsen, afbøjes, så de passerer igennem samme punkt. I så fald vil man nemlig bare kunne sætte en skærm op, så skærmen går igennem dette punkt, og opleve et skarpt billedpunkt på skærmen (se figur 3). Hvis skærmen flyttes lidt væk, vil man få et uskarpt billede på skærmen, fordi de forskellige stråler fra objektet ikke vil ramme skærmen i det samme punkt. De ovenfor omtalte linser, begrænsede af kugleformede flader, kaldes også for sfæriske linser. Sfæriske linser kan faktisk ikke fokusere lysstrålerne i et punkt! Det ligger i selve deres geometri. Det er årsagen til, at man taler om linsefejlen sfærisk aberration i forbindelse med kameraobjektiver. Hvis strålerne imidlertid ikke har en for stor vinkel i forhold til den optiske akse, og hvis linsen er det man kalder tynd, så vil linsen næsten kunne afbøje lysstrålerne igennem samme punkt. Kræves en linse med bedre optiske egenskaber, må man slibe linsen i andre former, men det er som regel en tidskrævende proces, og dermed en bekostelig affære. Sfæriske linser er derimod nemme at producere, hvilket gør dem billige! Figur 3 Figur 4 Betragt situationen på figur 4, hvor vi har at gøre med en samlelinse. Når man skal tegne sig frem til billedpunktet U for et givet objektpunkt Q, er det tilstrækkeligt at tegne blot to lysstråler. Den ene lysstråle er den, som forløber parallelt med den optiske akse og efter brydning i linsen fortsætter igennem brændpunktet F. Den anden lysstråle

4 4 Erik Vestergaard er den, som passerer igennem linsens midtpunkt. På figur 4 er lysstrålen afbildet som en ret linje QOU. Hvis det skulle afbildes helt korrekt, skulle lysstrålen parallelforskydes en smule ved brydning i linsen, eftersom lyset ifølge brydningsformlen brydes både på linsens for- og bagkant. Er linsen imidlertid tynd, vil denne parallelforskydning være meget lille, og vi ser bort fra den. Førstnævnte lysstråle QRU brydes egentligt også på både linsens for- og bagkant, men igen tilnærmer vi strålegangen ved at tegne den, så det ser ud som om den brydes én gang i punktet R. Efter passage af linsen vil de to lysstråler mødes i billedpunktet U. Ved at tegne de to lysstråler nævnt ovenfor, kan man ret nemt overbevise sig om, at ethvert punkt på pilen PQ vil have et billedpunkt på pilen TU, og pilen PQ afbildes faktisk i pilen TU. Det interessante er blot, at man vil opleve et billede, som vender på hovedet! Længderne af pilene PQ og TU betegnes henholdsvis G og B. Bemærk, at billedets størrelse B regnes negativt, da det er et omvendt billede. Afstanden fra genstanden PQ til linsen kaldes for genstandsvidden og betegnes med g. Afstanden fra billedet TU til linsen kaldes for billedvidden og betegnes med b. Med disse betegnelser kan vi nu formulere linseformlen: Linseformlen For en tynd sfærisk linse gælder følgende sammenhæng mellem genstandsvidden g, billedvidden b og brændvidden f : (1) = g b f Formlen gælder for såvel samlelinser som spredelinser. For spredelinser regnes brændvidden som sagt negativ, det samme gøres med billedvidden b, idet der er tale om et indbildt billede. Situationen kan ses på figur 5. Selve udledningen af linseformlen i tilfældet med en samlelinse er udskudt til opgave 1.5. Figur 5

5 Erik Vestergaard 5 Forstørrelsesfaktoren Forstørrelsesfaktoren m defineres som forholdet mellem billedets størrelse B og genstandens størrelse G, hvor man igen vedtager den fortegnskonvention, at billedets størrelse regnes positivt, hvis det er retvendt og negativt, hvis det er et billede, som vender på hovedet. For begge slags linser haves: (2) m B b = = G g For en samlelinse fås således en negativ forstørrelsesfaktor, fordi billedet er omvendt, mens man får et positivt tal for en spredelinse, fordi det indbildte billede er retvendt! Eksempel 1 En genstand befinder sig 40 cm fra en samlelinse med brændvidde 25 cm. Bestem hvor langt bag linsen, der skabes et skarpt billede, samt forstørrelsesfaktoren. Løsning: Ifølge linseformlen haves: = = = 0,015 cm b= 66,7 cm b f g 25 cm 40 cm og forstørrelsesfaktoren: m b 66,7 cm = = = 1,67 g 40 cm Optikere beskriver ikke en linse ved dens brændvidde, men ved dens styrke D, defineret som den reciprokke værdi af brændvidden: (3) Linsestyrken regnes i enheden dioptri = m 1. D = 1 f Man kan vise, at hvis man anbringer to tynde sfæriske linser med brændvidderne f 1 og f 2 tæt ved siden af hinanden, så virker de som én linse med brændvidden f, som tilfredsstiller formlen: (4) = + f f f 1 2 Beskrevet i linsestyrke, vil linsesystemet få en styrke D, givet ved D= D1 + D2, hvor D 1 og D 2 er linsestyrkerne for de to oprindelige linser.

6 6 Erik Vestergaard 2. Kameraets fysik Et af de mest udbredte apparater, hvori man benytter linser, er kameraet. Figur 7 nedenfor viser, hvordan et objekt afbildes i et skarpt billede på en skærm. Skærmen er en film, hvis der er tale om et gammeldags analogt kamera eller en billedsensor, hvis der er tale om et digitalt kamera. Figuren er noget simplificerende, da et objektiv i praksis ikke bare består af en enkelt linse, men derimod kan bestå af helt op til linseelementer. Grunden til, at et objektiv er en så kompliceret konstruktion er, at man ønsker at kompensere for diverse linsefejl. Hvis der er tale om et zoomobjektiv, så er der særligt mange linseelementer. Figur 6 Man skelner mellem objektiver med fast brændvidde og zoom-objektiver, der har variabel brændvidde. For et zoom-objektiv kan brændvidden ændres ved at nogle linseelementer bevæges i forhold til hinanden. Når en brændvidde er valgt, skal der stilles skarpt på objektet, dvs. fokuseres. Dette sker ved at linsesystemet bevæger sig tættere på eller længere væk fra sensoren. Hvis man tænker på simplificeringen med blot en samlelinse, kan man sige, at det svarer til at billedvidden b indstilles i forhold til genstandsvidden, så linseformlen opfyldes. Det vil give et skarpt billede. Figur 7 Blændens betydning for dybdeskarpheden Da billedvidden afhænger af genstandsvidden, indser man umiddelbart et problem: Hvis genstanden har en dybde, dvs. forskellige dele af genstanden ligger i forskellige afstande fra linsen, så kan man ikke samtidigt stille skarpt på alle dele af genstanden! Imidler-

7 Erik Vestergaard 7 tid kan øjet ikke adskille to punkter, som ligger tilstrækkeligt tæt, da deres billede vil ramme den samme nervespids på øjets bagvæg. Punkter, som har en afstand af højst 1 30 mm vil ses som ét punkt. Det betyder, at øjet vil se et billede som skarpt, selvom det i princippet ikke helt er det! Indenfor fotolæren taler man om skarphedsdybde, som beskriver i hvilken udstrækning billedet er skarpt fra forgrund til baggrund. Ofte ønskes stor dybdeskarphed, men der er også en del situationer, hvor en lav dybdeskarphed kan være med til at forstærke en virkning i billedet. Det kan for eksempel være tilfældet, hvis man tager et udendørs portrætfoto: Ansigtet fremstår skarpt, mens det omkringliggende landskab er uskarpt! Nedenfor har jeg vist det samme med en bil på en parkeringplads. Der fokuseres på bilen, som dermed er skarp i begge tilfælde. Baggrunden, derimod, er ret skarpt på det første billede, mens det er uskarpt og udtværet på det andet. Figur 8 og 9 Skarphedsdybden afhænger af flere faktorer: Dels objektivets brændvidde og dels hvor langt væk genstand og baggrund befinder sig. Der er dog en anden snedig måde, hvorpå man kan regulere skarphedsdybden, og det er ved at anvende en blænde. En blænde er egentligt blot en skærm med et hul i, hvor hullets diameter kan regulæres (se figur 10). Blænden i et kamera sidder et sted midt i objektivet, og kan i et moderne digitalt kamera reguleres fra en menu eller nogle drejeknapper på kamerahuset. Billederne på figur 8 og 9 er begge taget fra den samme position og med samme brændvidde. Afstanden til bilen er ca. 2 meter og baggrunden ligger langt borte. Den effektive brændvidde er på 80 mm. Det eneste, som er varieret, er altså blænden. Det første billede er taget med et blændetal på 29, mens der i det andet billede er anvendt et blændetal på 4,5. Et lille blændetal betyder en stor blændeåbning, også kaldet en stor blænde, mens et stort blændetal betyder

8 8 Erik Vestergaard en lille blændeåbning, også kaldet en lille blænde. Mere om blændetal nedenfor. Lad os i det følgende se en forklaring på, hvorfor anvendelsen af en blænde kan gøre dele af et billede skarpere: Betragt figur 11. Genstanden G 1 har et billede B 1 et sted i den plan, der på figuren er betegnet skarphedsplanen for B 1 og som vi fra nu af blot vil kalde billedplanen. Man tænker sig nu, at der er en anden genstand G 2 i scenen. Da den har en anden afstand fra linsen end G 1 har, så vil G 2 ikke give et skarpt billede i billedplanen. Et skarpt billede vil derimod dannes lidt foran billedplanen, som figuren viser. Betragt det øverste punkt på G 2. Hvis der ingen blænde er, vil dette punkt afbildes i en stor udtværet plet i billedplanen, som det ses ved at følge de stiplede linjer og deres skæring med billedplanen. Hvis derimod der anbringes en blænde foran linsen, vil punktet afbildes i en noget mindre plet i billedplanen. Det endelige billede vil altså fremstå noget mere uskarpt uden blænde end med blænde. Hvis den lille plet ikke har en større udstrækning end 1 30 mm, vil øjet endda opfatte den lille plet som ét punkt! Figur 10 og 11 Blændetallet eller f-tallet er defineret som (5) Brændvidde Blændens diameter = f D 2 1 Arealet af blænden er altså π D, nemlig arealet af en cirkel med diameter D. Hvis 4 man øger blændens diameter med en faktor 2, så vil arealet af blændeåbningen altså fordobles, hvorved kameraet tager dobbelt så meget lys ind på den samme tid. Eksponering og lukketid Sensoren/filmen skal have en bestemt mængde lys, for at det endelige billedresultat bliver optimalt. En lysmåler i kameraet sørger for, at eksponeringen bliver korrekt, hvis man da ikke har valgt en manuel indstilling! Et nyt begreb i den forbindelse er lukketiden. Den angiver, hvor lang tid, sensoren modtager lysinformation. Et kamera kan typisk have lukketider fra 1/4000 sekund til flere sekunder, ja nogle kameraer kan endda indstilles til uendelig. Det er indlysende, at anvendelse af et stort blændetal (lille blænde) vil betyde, at sensoren/filmen ikke modtager så meget lys, som den ville have modtaget med et lille blændetal. Derfor skal kameraet stå åbent i længere tid, for at eksponeringen bliver korrekt. Lukketiden skal altså være større, hvis blændetallet er stort. Og

9 Erik Vestergaard 9 omvendt, hvis man anvender et lille blændetal (stor blænde), kan man nøjes med en kortere lukketid. De to størrelser er altså koblede i en vis forstand! Med små lukketider kan man typisk sagtens håndholde kameraet, uden at billederne bliver rystede dette afhænger dog også af den anvendte brændvidde. Er lukketiderne ret store, er man nødsaget til at bruge et stativ eller anden støtte for at undgå rystelser. Dyre objektiver har ofte mulighed for ekstra store blænder (små blændetal), dvs. de kan tage mere lys ind. Fordelen ved dette er, at man kan anvende mindre lukketid og dermed bedre kunne tage billeder i situationer med kun lidt lys. Brændvidden igen Hvilken betydning har den anvendte brændvidde for det færdige billede? Svaret er, at hvis man anvender en lille brændvidde, så kan kameraet dække en større vinkel af scenen. Dette er årsagen vil, at det bliver betegnet som vidvinkel, hvis man anvender brændvidder på 28 mm og derunder. Brændvidder på ca. 70 mm og opefter bliver betragtet som tele. I sidstnævnte tilfælde gengives kun en ganske lille rumvinkel. Til gengæld bliver det, der gengives, angivet større i det endelige foto. Når man taler om et zoom-objektiv, så mener man blot, at det er et objektiv, som giver mulighed for et helt interval af brændvidder, i modsætning til et fast objektiv, som kun tillader én bestemt brændvidde. Et mm zoom-objektiv kan således både optage i vidvinkel og i tele. Lad os kigge på tre billedeksempler, som illustrerer et par pointer. Figurerne 13 og 14 viser billeder taget med henholdsvis et vidvinkelobjektiv med brændvidde ca. 28 mm og med et teleobjektiv med brændvidde ca. 110 mm. Begge billeder er taget fra samme position, dvs. fra det samme (fjerne) punkt A. Kameraerne er desuden rettet ens. Pointen er her, at billedet taget med teleobjektiv gengiver en mindre del af billedet samtidigt med, at dets dimensioner er forstørret op, så det får samme størrelse som billedet på figur 13. Den del af sceneriet, som er med på telefotoet svarer til den del, som er indenfor den hvide ramme på vidvinkelfotoet. Bemærk, at figur 14 i al væsentlighed blot er en forstørret udgave af det, som er indenfor den hvide ramme på figur 13. Figur 15 er taget med et vidvinkelobjektiv med brændvidde ca. 28 mm fra et nært liggende punkt B. Hvis man sammenligner billederne på figur 14 og 15 kan man tydeligt se den lidt flade virkning telefotoet har, mens vidvinkelfotoet med dens kraftige forkortninger giver fornemmelse af en stor dybde i billedet. Figur 12 viser hvordan billederne er taget. Figur 12

10 10 Erik Vestergaard Figur 13 (Foto taget med vidvinkelobjektiv fra fjernt punkt A) Figur 14 (Foto taget med teleobjektiv fra fjernt punkt A)

11 Erik Vestergaard 11 Figur 15 (Foto taget med vidvinkelobjektiv fra nært punkt B) Blandt fotografer er det velkendt, at billeder taget med vidvinkelobjektiv ofte fremstår med stor dybdevirkning på grund af de kraftige forkortninger. Denne effekt gør disse objektiver særligt populære blandt verdens bedste reportage-fotografer, idet det kan give fotoet en dramatisk effekt. Teleobjektiver derimod har den stik modsatte virkning, idet de forekommer at gøre billedet fladere. Vi kender det fra optagelser fra opløbet i et cykelløb: Selvom cyklisterne sprinter som gale, synes de ikke at komme ud af stedet. Genstandene synes at blive trængt sammen i dybden. Linsefejl Som omtalt tidligere er der forskellige linsefejl, som man forsøger at minimere under konstruktionen af objektiver. For sfæriske linseelementer er der den sfærisk aberration, som skyldes, at kugleflader ikke er helt optimale: På figur 2 illustrerede vi, at et bundt af stråler, som er parallelle med den optiske akse, ved passage gennem en sfærisk linse, afbøjes igennem det samme punkt, brændpunktet. Dette er lidt af en tilsnigelse. Hvis man skal være helt nøjeregnende, vil de stråler, som rammer linsen længere fra dens optiske akse, afbøjes, så de rammer aksen en smule foran de øvrige stråler. I dag fremstiller man undertiden asfæriske linser, hvor denne fejl er kraftigt minimeret. En anden linsefejl er dispersion, som hidrører fra, at forskellige bølgelængder, dvs. forskellige farver af lys, afbøjes en smule forskelligt. Det kan medføre skarphedsproblemer eller farvning langs randen. Denne linsefejl kan modvirkes ved at sammensætte linseelementer i objektivet på en smart måde. Der er også andre linsefejl, men dem vil vi ikke omtale her.

12 12 Erik Vestergaard 3. Det menneskelige øje Egenskaberne for det menneskelige øje kan på mange måder sammenlignes med principperne i et kamera: I begge tilfælde er der et linsesystem, som skal sørge for, at der dannes et skarpt billede på en slags skærm. Lys passerer igennem hornhinden, og afbøjes både i det forreste kammer og derefter selve linsen, hvorefter der dannes et skarpt billede på nethinden på øjets bagside. Der er tale om et omvendt billede, men heldigvis bearbejder hjernen lysdata, så vi ser et retvendt billede. Da der er en fast afstand fra linsen til nethinden, kan man sige, at billedvidden er fast. For at fokusere er det derfor nødvendigt, at linsen kan ændre sin brændvidde. Dette kan gøres ved at Ciliarmuskler i øjet kan gøre linsen mere eller mindre krum. Her var situationen en smule anderledes for kameraet. Hvis man anvender et zoom-objektiv, starter man typisk med at indstille brændvidden. Herefter skal der fokuseres, og det sker ved at linsesystemet bevæges en smule i forhold til sensoren, dvs. billedvidden ændres lidt. Ligesom et kameraobjektiv, har øjet også en slags blænde, idet pupillen, svarende til blændeåbningen, kan gøres større eller mindre. Det er Iris (regnbuehinden), som afgrænser pupillen. Øjet er omtrent kugleformet: ca. 24 mm langt og 22 mm på tværs. Billeddannelsen på nethinden sker ca mm bag linsen. Det forreste kammer har et brydningsindeks på ca. 1,337. Brydningsindekset for linsen varierer mellem ca. 1,406 og 1,386 fra linsens indre til dens ydre. Da forskellen i brydningsindeks er større mellem luft ( n= 1) og det forreste kammer, end den er mellem det forreste kammer og linsen, foregår den kraftigste brydning af lysets stråler faktisk i det forreste kammer! Figur 16 For et normalt øje vil øjets ciliarmuskler være afslappede, når man ser på noget i det u- endeligt fjerne. Hvis man kigger på en genstand tættere på, må ciliarmusklerne spændes lidt, så der igen dannes et skarpt billede på nethinden. Man siger, at øjet akkommoderer. En del personer er nærsynede, og det betyder, at øjet i afslappet tilstand ikke vil danne et skarpt billede på nethinden af en uendeligt fjern genstand. Skarphedsplanen vil ligge foran nethinden. Dette er illustreret på figur 17, hvor man kan antage, at der kommer et bundt af parallelle stråler fra den uendeligt fjerne genstand. For folk, som er langsynede, ligger skarphedsplanen derimod bag øjet. For at korrigere synet hos en nærsynet og en

13 Erik Vestergaard 13 langsynet person må man anvende en brille/kontaktlinse i form af henholdsvis en spredelinse og en samlelinse. Lad os regne på et par eksempler. Figur 17 Eksempel 2 (En nærsynet person) Personer, som er nærsynede, kan se genstande skarpt meget tæt på øjet, mens ting langt borte ses uskarpe. Man taler i den forbindelse om fjernpunktet, som er det fjerneste punkt, hvor øjet kan stille skarpt. For et normalt øje vil det være. For en nærsynet person vil den være endelig. Lad os som et eksempel antage, at den er 3 meter. Idéen er nu at bringe et uendeligt fjernt punkt ind i afstanden 3 meter, hvor det nærsynede øje kan se det skarpt. Det kan gøres med en spredelinse: Når man kigger på den uendeligt fjerne genstand igennem en spredelinse af den rigtige styrke, vil det for øjet se ud som en genstand anbragt i afstanden 3 meter fra øjet. Der er tale om et virtuelt billede, hvorfor billedvidden regnes negativ. Vi kan bruge linseformlen til at beregne den nødvendige brændvidde for spredelinsen: = + = + = 0,333 m f = 3,0 m f g b 3,0 m hvilket svarer til en linsestyrke på D= 1 f = 0,333 dioptrier. Nærpunktet, som er det nærmeste punkt, man kan se skarpt, vil samtidigt rykke lidt længere væk, men problemet med at se fjerne genstande skarpt er løst! I ovenstående overvejelser har vi set bort fra en mulig afstand mellem øjet og den korrigerende linse, så ovenstående er mest relevant for kontaktlinser. Briller anbringes som oftest i en afstand fra øjet svarende til øjets brændvidde på ca. 17 mm. Det vil nemlig betyde, at der ikke sker nogen forstørrelse, hvilket ville være forfærdeligt, hvis kun det ene øje skulle korrigeres!

14 14 Erik Vestergaard Eksempel 3 (En langsynet person) Nærpunktet er som nævnt det nærmeste punkt, som kan ses skarpt. Et normalt øje vil have et nærpunkt i afstanden ca. 25 cm. For Personer, der er langsynede, er dette punkt meget længere væk. Lad os som et eksempel antage, at nærpunktet er i afstanden 1,25 meter. Idéen er nu an flytte en genstand i afstanden 25 cm ud i afstanden 1,25 m, hvor det langsynede øje kan se genstanden skarpt. Dette kan gøres med en samlelinse. Når man kigger på genstanden anbragt i afstanden 25 cm igennem en samlelinse af den rigtige styrke, vil det for øjet se ud som en genstand anbragt i afstanden 1,25 meter fra øjet. Der er tale om et virtuelt billede, hvorfor billedvidden regnes negativ! Vi kan bruge linseformlen til at beregne den nødvendige brændvidde for samlelinsen: = + = 3, 20 m f = 0,313 m f 1,25 m 0, 25 m hvilket svarer til en linsestyrke på D= 1 f = 3, 2 dioptrier. Med alderen flytter nærpunktet længere og længere væk, da øjets evne til at akkommodere reduceres.

15 Erik Vestergaard 15 Forsøg med linser Forsøg 1.1 (Brændviddebestemmelse for samlelinse) Du skal i det følgende eftervise linseformlen for en konkret linse og finde dens brændvidde. Dertil kan passende benyttes følgende udstyr fra Frederiksen, med produktnummeret angivet i parentes: En optisk bænk med længde 1 m ( ) 3 stk. ryttere ( ) Samlelinse med brændvidde 5 cm ( ) Samlelinse med brændvidde 10 cm ( ) Hvid skærm ( ) Elevreuterlampe med pinolpære ( ) Derudover skal anvendes en strømforsyning, som kan levere en jævnspænding på 12 V, samt to ledninger. Opstillingen der skal benyttes i første forsøg er følgende: Vælg samlelinsen med brændvidde 10 cm. Mål nu sammenhørende værdier af genstandsvidden g og billedvidden b. Værdierne indføres i nedenstående skema, og man udregner de resterende søjler. Husk, at pinolpæren kun kan tåle 12 Volt! b (cm) g (cm) 1/f = 1/b + 1/g (cm 1 ) f (cm)

16 16 Erik Vestergaard I fjerde søjle skal du tage de reciprokke værdier af værdierne i den tredje søjle, og hvis linseformlen er korrekt, skal det give et fast tal, som er lig med linsens brændvidde f. Hvis du får omtrent de samme tal i fjerde søjle, kan du bekræfte linseformlen for denne linse. Bemærk, at den påtrykte brændvidde på 10 cm kun er en grovværdi. Hvilken mere nøjagtig værdi for linsens brændvidde får du? Gode råd ved udførelsen af forsøget: Følgende valg af genstandsvidder i cm er fornuftige: 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 16,0 17,0 18,0 20,0 25,0 30,0. På den optiske bænk er anbragt en meterstok, som det er hensigtsmæssigt at gøre brug af. For at undgå at skulle foretage for indviklede hovedregninger, er det hensigtsmæssigt at placere samlelinsen udfor for eksempel 30 cm, og lade den være her i alle målingerne. Du skal da bare justere lampen og skærmen i de enkelte målinger... Skærmen justeres, så glødetråden afbildes nogenlunde skarp på denne. Bemærk, at især for store billedvidder kan billedet synes rimelig skarpt over et interval på flere cm. Dette er helt naturligt og hvilken værdi, der så vælges, giver ikke anledning til store afvigelser i den endelige værdi for brændvidden i fjerde søjle! Forsøg 1.2 (Forstørrelsesfaktorer) På figuren nedenfor ses en samlelinse med angivelse af de to brændpunkter. En genstandsvidde på det dobbelte af brændvidden er også angivet. I det aktuelle tilfælde er genstanden anbragt, så f < g< 2 f. Vi ser, at der er tale om en reel forstørrelse. I det følgende skal udstyret fra forsøg 1.1 anvendes. Anvend den samlelinse med brændvidde på ca. 10 cm, som du undersøgte i nævnte forsøg. Det oplyses, at den snoede glødetråd i pinolpæren er ca. 6 mm lang. Mål eventuelt selv efter! a) Undersøg tilfældet f < g< 2 f, dvs. genstanden (pæren) placeres i en afstand af mellem én og to brændvidder fra linsen. Er det virkeligt rigtigt, som forudsagt af figuren, at der er tale om en forstørrelse? b) Undersøg tilfældet g > 2 f, dvs. genstanden (pæren) placeres i en afstand af mere end to brændvidder fra linsen. Giver det en forstørrelse eller en formindskelse? Tegn også en figur af situationen. c) Undersøg tilfældet g = f, dvs. genstanden placeres i brændpunktet for linsen. Hvor stort er billedet nu i forhold til genstanden? Lav igen en figur. d) Hvor skal genstanden placeres i forhold til linsen, hvis man ønsker et meget stort billede? Tegn igen en figur.

17 Erik Vestergaard 17 Forsøg 1.3 (Omvendt billede) For at se, at billedet, frembragt af en samlelinse, virkeligt vender på hovedet, kan du lade et stearinlys være genstand. Sæt stearinlyset i lysholder fra Frederiksen. Forsøg 1.4 (Samlelinse og spredelinse sat tæt sammen) Igen skal du benytte opstillingen med den optiske bænk fra forsøg 1.1. I forsøget skal du bruge en samlelinse med påtrykt brændvidde 5 cm samt en spredelinse med påtrykt brændvidde 20 cm, dvs. produktnumre og fra Frederiksen. Du skal eksperimentelt bestemme brændvidden for systemet bestående af både samlelinse og spredelinse. Da linserne skal sidde meget tæt sammen, kan du ikke lade dem begge sidde i hver deres rytter. Lad kun samlelinsen sidde i en rytter, og hold så spredelinsen i hånden helt tæt ind til samlelinsen med samme optiske akse! Lav et skema som i forsøg 1.1 og foretag en række målinger. En række gode værdier for genstandsvidder regnet i cm er: 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 12,0 15,0 20,0. Udfyld resten af skemaet og observer, at du omtrent får samme værdier ude i højre kolonne. Det bekræfter, at vi kan betragte linsesystemet som værende ækvivalent med én samlelinse. Giv en god værdi for dens brændvidde. Bestem også en mere nøjagtig værdi for samlelinsens brændvidde. Husk, at den kan afvige lidt fra de påtrykte 5 cm. Slut af med at bruge formel (4) for et linsesystem til indirekte at bestemme en værdi for spredelinsens brændvidde. Hvad får du? Husk igen, at sandheden ikke behøver at være eksakt 20 cm! Forsøg 1.5 (Alternativ metode til bestemmelse af brændvidde) Kontroller samlelinsernes påtrykte brændvidde f på følgende måde: Anvend sollys eller en arkitektlampe, som anbringes flere meter fra linsen. Hold linsen op mod lyset og anbring en skærm bag linsen, så der dannes et skarpt billede på denne. Afstanden mellem linse og skærm er lig med brændvidden. Overvej hvorfor? Hjælp: Hvorfor kan man antage, at det lys, der rammer linsen, er et parallel strålebundt?

18 18 Erik Vestergaard Forsøg 1.6 (Princippet i en lup) En lup er i virkeligheden blot en samlelinse med en relativ lille brændvidde. Den fungerer på den måde, at personen anbringer samlelinsen i en afstand fra genstanden, som er mindre end brændvidden og så der ses et klart billede. Da genstandsvidden således er mindre end brændvidden er der tale om et indbildt billede, som kan forklares ved følgende strålegang: Det er ikke relevant at definere forstørrelsen i en lup som forholdet mellem størrelsen af det indbildte billede og den aktuelle genstand. Det er mere fornuftigt at definere forstørrelsen udfra, hvordan personen med øjet oplever det. Under brug af et optisk instrument er den såkaldte vinkelforstørrelse m mere hensigtsmæssig. Den defineres som: forholdet mellem størrelsen af det billede, som dannes på øjets nethinde under brug af instrumentet, og størrelsen af det billede, der dannes på øjets nethinde, når det uhjulpne øje betragter genstanden i normal afstand. Som normal afstand vælges som regel nærpunktets afstand d, som ofte sættes til 25 cm. Det viser sig, at ovenstående definition blandt andet afhænger af, hvordan luppen placeres i forhold til genstanden. Her vælger man ofte at koncentrere sig om det tilfæl-

19 Erik Vestergaard 19 de, hvor luppen anbringes i næsten en brændviddes afstand fra genstanden. Det betyder, at det indbildte billede vil dannes i det næsten uendeligt fjerne. En anden fordel er da, at strålerne til øjet så omtrent er parallelle, og øjet derfor ikke behøver at akkommodere! Man kan vise, at vinkelforstørrelsen i det betragtede tilfælde omtrent er givet ved m d f, hvor d er nærpunktets afstand og f er luppens brændvidde. Med standardværdien d = 25 cm giver det: m 25 cm f. I praksis benyttes ofte en samlelinse med brændvidde 10 cm. Det vil altså give en forventet vinkelforstørrelse på ca. m 25 cm f = 25 cm 10 cm= 2,5. Man kunne tro, at man kunne få en meget stor forstørrelse ved at vælge en meget lille brændvidde, men her opstår nogle aberrationsproblemer. Man skal også huske på, at luppen gerne skal have et ikke for småt synsfelt, hvilket kræver en stor diameter, hvilket af praktiske årsager sædvanligvis sætter en grænse for linsens krumning. Hvis man skal væsentligt over en vinkelforstørrelse på 3 i praksis, må man fremstille en lup, som består af mindst to linser. Prøv luppens virkning af i praksis med en samlelinse med brændvidde fx 10 cm. Prøv at vurdere forstørrelsen. Forsøg 2.1 (Eksperimenter med et digitalt kamera) Lån et digitalt kamera fra skolen. a) Prøv at eksperimentere med dybdeskarphed som på figur 8 og 9. Den normale indstilling for et digitalt kamera er programmeret mode, som dækker over, at kameraet helt af sig selv vælger nogle værdier for blænden og lukketiden. Du skal i stedet bruge blændeprioritet, som på mange digital kameraer kan indstilles via en drejeknap ofte, hvor et stort A indgår (A for Aperture, åbning). Det er så meningen, at du selv skal vælge nogle værdier for blændetallet, hvorefter kameraet selv vil sørge for en fornuftig lukketid, så billedet bliver rigtigt eksponeret. Det sker ofte via nogle piletaster. Du skal nu tage to billeder på næsten samme måde, eneste forskel skal være, at du skal vælge henholdsvis det mindst mulige blændetal i første billede og det størst mulige blændetal i det andet. Følgende opstilling er fornuftig: Stil dig i en afstand af ca. 2 meter fra en person foran en baggrund, som er mindst 40 meter borte. Baggrunden må meget gerne indeholde noget med nogle klare linjer, fx tekst træer er ikke optimalt. Brug i begge tilfælde den samme brændvidde på ca. 80 mm. På mange digitalkameraer kan man ikke umiddelbart aflæse den aktuelle brændvidde, så du må gætte dig lidt frem her. På mange kameraer vil det svare til, at du skal zoome ind til lidt over midten i zoom-området! Når du er færdig med at tage billederne skal du tilbage til computeren og studere resultatet i et billedbehandlingsprogram! b) Eksperimenter her med brændviddens betydning for et billede, ligesom på figurerne 13, 14 og 15. Afprøv de yderste områder af zoom-området og vælg forskellige afstande til genstanden. Hvilke virkninger har vidvinkelbillederne i forhold til billederne taget med tele?

20 20 Erik Vestergaard Forsøg 2.2 (Model for brydning af lys i øjet) Til denne øvelse skal følgende udstyr fra Fredriksen anvendes: Reuterlampe ( ), en rundkolbe med flad bund, fx , samt en løs samlelinse. Kolbens runde del fyldes med vand og vandet farves med et gulgrønt farvestof. Reuterlampen indstilles, så et parallelstrålebundt rammer den runde del af kolben ca. midt på. Et stykke pap med et cirkulært hold med en diameter på ca. 2 cm skal fungere som blænde for øjet, dvs. den runde del af kolben. Ved lysets passage fra luften til det krumme øje sker der en vis brydning. Man ser dog, at den ikke er tilstrækkelig til at give et skarpt billede på øjets bagvæg. Hvis man derimod anbringer en samlelinse med passende brændvidde foran kolben men bag blænden, så kan parallelstrålebundtet fokuseres på nethinden, dvs. kolbens bagside. Linsen gør det ud for øjets linse!

Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 1 af 12 Optisk billeddannelse

Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 1 af 12 Optisk billeddannelse Anvendt Fysik (Optik og Akustik) 3/4 Side 1 af 12 Sidste gang: I dag: Interferens og lysbølger, herunder refleksion og brydning. vha. spejle og linser, herunder kameraets og øjets virkemåde (afs. 36.1-2,

Læs mere

Optiske eksperimenter med lysboks

Optiske eksperimenter med lysboks Optiske eksperimenter med lysboks Optik er den del af fysikken, der handler om lys- eller synsfænomener Lysboksen er forsynet med en speciel pære, som sender lyset ud gennem lysboksens front. Ved hjælp

Læs mere

Hvor skal man lægge fokuspunktet i sine foto?

Hvor skal man lægge fokuspunktet i sine foto? Hvor skal man lægge fokuspunktet i sine foto? Her der fokus på blomsten, og billedet havde været mindre interessant, hvis de grønne blade i baggrunden også havde været skarpe. Dybdeskarphed (eller DOF:

Læs mere

Blænde, lukker og ISO

Blænde, lukker og ISO Blænde, lukker og ISO Lidt om blænde, lukkertid og ISO indstillinger og hvordan de påvirker hinanden. Det er nemlig ikke helt lige meget, hvilke indstillinger, der vælges. Relaterede lektioner kunne være

Læs mere

Hvad er det for nogle tal?

Hvad er det for nogle tal? Hvad er det for nogle tal? Ak ja tal er mærkelige og svære at arbejde med. I det følgende er en god portion matematik gemt, men jeg forsøger at formulere det sprogligt uden dog at love, at det bliver lysende

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Bølgeegenskaber vha. simuleringsprogram... 2 Forsøg med lys gennem glas... 3 Lysets brydning i et tresidet prisme... 4 Forsøg med lysets farvespredning... 5 Forsøg med lys gennem linser... 6 Langsynet

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET GUIDE 3 Programmerne i kameraet GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Auto S A M... 4 Auto grøn firkant... 5 S Lukkertidsprioriteret... 6 A - Blændeprioriteret...

Læs mere

Kend dit digitalkamera

Kend dit digitalkamera Kend dit digitalkamera Megapixels har naturligvis noget at sige, men er kun et mål for, hvor store billeder man umiddelbar kan lave. Laver du aldrig billederne større end 10 x 15 cm, er 3 megapixels tilstrækkelig.

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET GUIDE 1 Blænde ISO Lukkertid Eksponeringsværdi. og lidt om, hvordan de hænger sammen GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Blænde... 4 Blænde og dybdeskarphed...

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,

Læs mere

Blænderækken, flash og ledetal

Blænderækken, flash og ledetal Blænderækken, flash og ledetal Blænderækken - de tal der findes på blænderingen på nogle objektiver - er et af de mest fascinerende værktøjer i fotografiets historie. Og da tallene samtidig er direkte

Læs mere

Mine fototips. 6 gode råd til bedre fotos. Version 1.1. Søren Udby www.kanonfotografen.dk. Søren Udby Fototips, side 1

Mine fototips. 6 gode råd til bedre fotos. Version 1.1. Søren Udby www.kanonfotografen.dk. Søren Udby Fototips, side 1 Mine fototips 6 gode råd til bedre fotos Version 1.1 Søren Udby www.kanonfotografen.dk Søren Udby Fototips, side 1 Fototips Min filosofi omkring succesfuld fotografering er, at man som fotograf skal have

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Elevforsøg i 10. klasse Lys Farver Optik

Elevforsøg i 10. klasse Lys Farver Optik Fysik-kemi Viborg Private Realskole 2016-17 Elevforsøg i 10. klasse Lys Farver Optik Lysets bølgeegenskaber. Lyskasse 1. Lys kan gå gennem hinanden. Materialer: Lyskasse Lav en opstilling og tegn. Brug

Læs mere

blænden - den fotografiske iris » Teknisk baggrund

blænden - den fotografiske iris » Teknisk baggrund blænden - den fotografiske iris Hvis du af og til har undret dig over hvad det er for nogle mystiske tal, der står på objektivet, er her hjælp at hente. I denne artikel kigger vi lidt på hvad blænden er

Læs mere

synets forandringer med alderen

synets forandringer med alderen scanpix synets forandringer Carsten edmund overlæge, dr.med. lektor rigshospitalet, Øjenklinikken illustrationer: mediafarm med alderen I alderen mellem 40 og 50 år erfarer stor set alle, at armene er

Læs mere

Automatisk - Kameraet finder selv den bedste hvidbalance. Fungerer fint i langt de fleste tilfælde.

Automatisk - Kameraet finder selv den bedste hvidbalance. Fungerer fint i langt de fleste tilfælde. Kameraindstillinger Det digitale kamera har mange indstillinger, som beskrives i den medfølgende manual på mere eller mindre forståelig vis. Da mulighederne for individuel indstilling varierer fra kamera

Læs mere

Syn og optik. Dansk Blindesamfund Landsforening af blinde og svagsynede i Danmark

Syn og optik. Dansk Blindesamfund Landsforening af blinde og svagsynede i Danmark Syn og optik Dansk Blindesamfund Landsforening af blinde og svagsynede i Danmark Syn og optik Udgivet af: Dansk Blindesamfund Thoravej 35 2400 København NV Tlf.: 38 14 88 44 Fax: 38 14 88 00 E-mail: info@dkblind.dk

Læs mere

Kamera. Et billede bestemmes: Blænden Lukketid Iso værdi

Kamera. Et billede bestemmes: Blænden Lukketid Iso værdi Canon fototeknik Kamera Et billede bestemmes: Blænden Lukketid Iso værdi Blænde og lukketid Blænderække 1.0 1.4 2.0 2.8 4.0 5.6 8.0 11.0 16.0 22.0 32.0 44.0 Lukketid 1/2000 s 1/1000 s 1/500 s 1/250 s

Læs mere

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets.

Der påvises en acceptabel kalibrering af kameraet, da det værdier kun er lidt lavere end luminansmeterets. Test af LMK mobile advanced Kai Sørensen, 2. juni 2015 Indledning og sammenfatning Denne test er et led i et NMF projekt om udvikling af blændingsmåling ved brug af et LMK mobile advanced. Formålet er

Læs mere

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten

Kikkertoptik. Kikkertoptik. Kikkertteknologi. Optiske specifikationer. Kikkertegenskaber. At købe en kikkert. Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Kikkertoptik Kikkertteknologi Optiske specifikationer Kikkertegenskaber At købe en kikkert Rengøring af kikkerten Kikkertoptik Generel beskrivelse: En kikkert er et optisk præcisionsinstrument,

Læs mere

Mere om kameraet. Fokus, Lysmåling, Eksponeringskompensation, Hvidbalance, Lysfølsomhed (ISO), Blitz, Selvudløser, Filtre, Modlysblænde

Mere om kameraet. Fokus, Lysmåling, Eksponeringskompensation, Hvidbalance, Lysfølsomhed (ISO), Blitz, Selvudløser, Filtre, Modlysblænde Mere om kameraet Fokus, Lysmåling, Eksponeringskompensation, Hvidbalance, Lysfølsomhed (ISO), Blitz, Selvudløser, Filtre, Modlysblænde Fokus Fokus betyder det, som er skarpt i billedet Fokus har stor betydning

Læs mere

Linseoperation for nærsynethed og langsynethed

Linseoperation for nærsynethed og langsynethed Linseoperation for nærsynethed og langsynethed Øjenafdeling J Nørrebrogade 44 8000 Århus C Hvorfor bruger vi briller? For at se skarpt skal vi have et skarpt billede på nethinden. Hvis vi skal se godt

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Objektiv med zoom eller fast brændvidde (prime-objektiv)?

Objektiv med zoom eller fast brændvidde (prime-objektiv)? Objektiv med zoom eller fast brændvidde (prime-objektiv)? Fordelen ved at bruge et objektiv med zoom er den fleksibilitet, det giver fotografen. Denne alsidighed er meget nyttig under en lang række optageforhold.

Læs mere

Når du vil tage et billede/trykker på udløserknappen, sker der følgende (OBS: Blænden sidder i objektivet):

Når du vil tage et billede/trykker på udløserknappen, sker der følgende (OBS: Blænden sidder i objektivet): Er dine billeder ikke altid skarpe nok? Så har du muligvis glemt ligesom jeg funktionen Mirror Lock Up (MLU/Mup) Når du vil tage et billede/trykker på udløserknappen, sker der følgende (OBS: Blænden sidder

Læs mere

Forsøg til Lys. Fysik 10.a. Glamsdalens Idrætsefterskole

Forsøg til Lys. Fysik 10.a. Glamsdalens Idrætsefterskole Fysik 10.a Glamsdalens Idrætsefterskole Henrik Gabs 22-11-2013 1 1. Sammensætning af farver... 3 2. Beregning af Rødt laserlys's bølgelængde... 4 3. Beregning af Grønt laserlys's bølgelængde... 5 4. Måling

Læs mere

De 5 klassiske fotofejl. Fejl 1 Du er for langt væk. Fejl 2 Du er for doven. Fejl 3 Du tager altid dit foto horisontalt

De 5 klassiske fotofejl. Fejl 1 Du er for langt væk. Fejl 2 Du er for doven. Fejl 3 Du tager altid dit foto horisontalt Indholdsfortegnelse De 5 klassiske fotofejl Fejl 1 Du er for langt væk Fejl 2 Du er for doven Fejl 3 Du tager altid dit foto horisontalt Fejl 4 Du tjekker ikke hele motivet Fejl 5 Du bruger din flash forkert

Læs mere

Linseteleskopet. Et billigt alternativ - Unge forskere 2015. Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen

Linseteleskopet. Et billigt alternativ - Unge forskere 2015. Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen Linseteleskopet Et billigt alternativ - Unge forskere 2015 Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen Abstract Formål: Formålet med projektet er at bygge billige linseteleskoper, der ville

Læs mere

ISO-følsomhed udtrykker hastigheden af fotografisk negativmaterialer (tidligere udtrykt som ASA i de analoge dage).

ISO-følsomhed udtrykker hastigheden af fotografisk negativmaterialer (tidligere udtrykt som ASA i de analoge dage). Hvad betyder ISO? ISO-følsomhed udtrykker hastigheden af fotografisk negativmaterialer (tidligere udtrykt som ASA i de analoge dage). Da digitale kameraer ikke bruger film, men har en billedsensor i stedet,

Læs mere

Guide til valg af kikkert

Guide til valg af kikkert Guide til valg af kikkert At vælge kikkert behøver ikke at være svært, vi beskriver her lidt om teknikken i en kikkert og giver en oversigt over de forskellige typer og deres anvendelsesområder. Vi håber

Læs mere

linsetyper til grå stær, bygningsfejl og alderssyn Men oplyses patienten herom? Operation for grå stær lyder ukompliceret, ed operation for

linsetyper til grå stær, bygningsfejl og alderssyn Men oplyses patienten herom? Operation for grå stær lyder ukompliceret, ed operation for Nye linsetyper til grå stær, bygningsfejl og alderssyn Men oplyses patienten herom? Thomas Olsen Professor, dr.med. Øjenafdelingen Aarhus Universitetshospital Ilustrationer: Mediafarm Fotos: Torben Klint

Læs mere

Operation. eller briller/kontaktlinser

Operation. eller briller/kontaktlinser Operation eller briller/kontaktlinser Indhold 4 7 8 9 9 10 Billeddannelsen på nethinden Øjets brydning Operation for brydningsfejl Risiko Hvem kan opereres? Hvem betaler? Øjenforeningens mission: Hjælpe

Læs mere

Fotoringens guide til undervandsfoto

Fotoringens guide til undervandsfoto Fotoringens guide til undervandsfoto Digitalkameraet stormer frem og er ved også at gøre undervandskamera til hvermandseje. Med et digital undervandskamera i hånden har du pludselig en hel verden af muligheder

Læs mere

Når der stilles fokus, drejer objektivets ende ikke med. Dvs. hvis der bruges pol-filter, så fastholdes indstillingen, når der fokuseres.

Når der stilles fokus, drejer objektivets ende ikke med. Dvs. hvis der bruges pol-filter, så fastholdes indstillingen, når der fokuseres. Generelt indtryk Sigma 28mm mini-wide II f/2,8 er et mindre objektiv; vejer ikke alverden, bruger 52mm filtre og rager blot mellem 5,1 og 5,7 cm ud foran dit kamera (med OM->4/3 adapter). Objektivet er

Læs mere

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters

Læs mere

10 tips til panorering og motiver i bevægelse

10 tips til panorering og motiver i bevægelse 10 tips til panorering og motiver i bevægelse Panorering er en effektiv måde at vise bevægelse i et foto. Det tilfører fotoet en masse dynamik, og gør dine fotos mere levende. Teknikken er ikke svær hvis

Læs mere

Arkitekturfotokursus Byens Netværk ved Byggeriets Billedbank

Arkitekturfotokursus Byens Netværk ved Byggeriets Billedbank Arkitekturfotokursus Byens Netværk ved Byggeriets Billedbank Firmaets ydelse er, kort fortalt, æstetisk og dynamisk fotografering af byggeri. Nogle byggerier følger vi fra første spadestik til slutfotografering

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Styr på termerne. Effekt: Strølys kaldes det også. Som regel det der bruges skråt bagfra for at give liv i håret, og til at belyse baggrunden med.

Styr på termerne. Effekt: Strølys kaldes det også. Som regel det der bruges skråt bagfra for at give liv i håret, og til at belyse baggrunden med. Styr på termerne Hovedlys: Når en fotograf siger hovedlys, så er det ikke bare fordi det rammer folk i hovedet. Hovedlys er det lys man kan sige er det primære lys i billedet. På portrætter vil det derfor

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

At opsætte et foto. Det Gyldende Snit De fleste kender det nok tilbage fra formningstimerne i folkeskolen, det gyldne snit.

At opsætte et foto. Det Gyldende Snit De fleste kender det nok tilbage fra formningstimerne i folkeskolen, det gyldne snit. Billedopbygning 1 Teknikken er ikke alt, men et godt redskab. Nu hvor du kender egenskaberne af dit udstyr (læs begynder og udstyr delen), kan jeg lære dig, hvordan du kan bruge dette til at give dit billede

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET GUIDE 4 Fokus på fokus GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Fokus fordi det er skarpt... 4 Fokus, DOF og bokeh... 5 Auto fokus (AF)... 6 AF, bestem

Læs mere

Tredje kapitel i serien om, hvad man kan få ud af sin håndflash, hvis bare man bruger fantasien

Tredje kapitel i serien om, hvad man kan få ud af sin håndflash, hvis bare man bruger fantasien Tredje kapitel i serien om, hvad man kan få ud af sin håndflash, hvis bare man bruger fantasien For nogen tid siden efterlyste jeg i et forum et nyt ord for håndflash, da det nok ikke er det mest logiske

Læs mere

Fotografering. Med digitalt kamera Lars Olesen. This book is for sale at http://leanpub.com/fotografering. This version was published on 2014-07-16

Fotografering. Med digitalt kamera Lars Olesen. This book is for sale at http://leanpub.com/fotografering. This version was published on 2014-07-16 Fotografering Med digitalt kamera Lars Olesen This book is for sale at http://leanpub.com/fotografering This version was published on 2014-07-16 This is your verso page blurb or copyright page blurb. It

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

ISO indstillinger på vores kamera (herunder Auto-ISO)

ISO indstillinger på vores kamera (herunder Auto-ISO) ISO indstillinger på vores kamera (herunder Auto-ISO) Vi har alle en grænse for ved hvor lav en lukkertid, vi kan holde kameraet stille og herved undgå rystede billeder. Det afhænger dels af, hvor godt

Læs mere

Opgaver i solens indstråling

Opgaver i solens indstråling Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Det er i øvrigt værd at bemærke, at objektivet er fremstillet som et normal-objekt, da mellemformat jo giver negativ crop i forhold til Full Frame.

Det er i øvrigt værd at bemærke, at objektivet er fremstillet som et normal-objekt, da mellemformat jo giver negativ crop i forhold til Full Frame. Generelt indtryk Carl Zeiss Biometar 80mm f/2,8 er et objektiv med pentacon 6 fatning (eller Kiev 60 fatning). Dvs det er bygget til det såkaldte mellemformat, der bygger på en større sensor end Full Frame

Læs mere

Spejlreflekskamera. for begyndere. v/ Frode Vinter ( www.frodevinter.dk )

Spejlreflekskamera. for begyndere. v/ Frode Vinter ( www.frodevinter.dk ) Spejlreflekskamera for begyndere v/ Frode Vinter ( www.frodevinter.dk ) Hvordan skal jeg indstille kameraet Bevæger motivet sig Nej Brug A / Av Hvordan skal baggrunden være Skarp Uskarp Mindre bevægelse

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

HD Vision Demonstrator

HD Vision Demonstrator HD Vision Demonstrator NY METODE TIL VISUALISERING AF SFÆRISK ABERRATION DOKUMENTATION FRA ET SEMINAR PÅ NOORS SLOT DEN 13. JUNI 2008. Hvordan forklarer du sfærisk aberration for dine kunder? Hvad gør

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

En let måde at sammenligne objektivers brændvidde

En let måde at sammenligne objektivers brændvidde En let måde at sammenligne objektivers brændvidde Når du køber et ny kompaktkamera, spejlreflekskamera eller bare et nyt objektiv, er brændvidden af objektivet på dit aktuelle kamera en af de vigtigste

Læs mere

Opdrift i vand og luft

Opdrift i vand og luft Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Opdrift i vand og luft Formål I denne øvelse skal vi studere begrebet opdrift, som har en version i både en væske og i en gas. Vi skal lave et lille forsøg,

Læs mere

Hvornår skal du bruge Matrix (Mønster, Evaluerende) lysmåling

Hvornår skal du bruge Matrix (Mønster, Evaluerende) lysmåling Lysmålingsmetoder Forståelsen af hvordan din lysmåler i dit kamera virker, er måske ikke så vigtigt for de fleste. Det at kende din lysmåler, gør at du nemmere kan omstille dig til forskellige situationer

Læs mere

Arbejdsopgaver i emnet bølger

Arbejdsopgaver i emnet bølger Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller

Læs mere

Operation. eller briller/kontaktlinser

Operation. eller briller/kontaktlinser Operation eller briller/kontaktlinser Indhold 4 4 7 8 8 9 9 10 12 13 14 16 18 20 Billeddannelsen på nethinden Brydningsfejl Øjets brydning Operation for brydningsfejl Resultater Risiko Hvem kan opereres?

Læs mere

Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstantens dele Figur 1. Boxsekstanten med låget skruet på som håndtag. Figur 2 Boxsekstanten anbragt i sin trækasse i lukket tilstand. Boxsekstanten

Læs mere

Tjekspørgsmål til Laseren den moderne lyskilde

Tjekspørgsmål til Laseren den moderne lyskilde Tjekspørgsmål til Laseren den moderne lyskilde Kapitel 2. Sådan opstår laserlyset 1. Bølgemodellen for lys er passende, når lys bevæger sig fra et sted til et andet vekselvirker med atomer 2. Partikel/kvantemodellen

Læs mere

introduktion øjet Redaktion & Tekst : Sheena Laursen & Joakim Bækgaard Fotografi : Flemming Leitorp Grafisk design & Illustration : Lone Larsen

introduktion øjet Redaktion & Tekst : Sheena Laursen & Joakim Bækgaard Fotografi : Flemming Leitorp Grafisk design & Illustration : Lone Larsen ØJEt 1 øjet Indhold side introduktion Denne vejledning guider igennem en øjedissektion og er målrettet 7.klassetrin. I vejledningen er der en beskrivelse af øjets forskellige dele og funktioner samt forslag

Læs mere

Teorien om High Dynamic Range Fotografering

Teorien om High Dynamic Range Fotografering Teorien om High Dynamic Range Fotografering Indhold High Dynamic Range - HDR 2 HDR sidder i øjet 3 Du ser kun en lille del ad gangen 4 HDR for det hele med, Princip 1 5 Ev-trin på histogrammet 6 Farver

Læs mere

Lys Partikel- eller bølgemodel figur 1. En representation af en linear polariseret elektromagnetisk bølge som bevæger sig i x

Lys Partikel- eller bølgemodel figur 1. En representation af en linear polariseret elektromagnetisk bølge som bevæger sig i x Vi skal snakke om lys generelt. Først som elektromagnetiske bølger for at få sammenhængen med bølgelæren vi havde i sidste lektion og elektromagnetismen fra sidste år(34.1-2+6 SJ6.ed, 34.2-3+7 SJ7.ed).

Læs mere

Generelt indtryk. Objektivet har otte lameller.

Generelt indtryk. Objektivet har otte lameller. Generelt indtryk Helios 44-2 er et lækkert gammelt objektiv med M42 fatning. Det kræver derfor en adapterring for at kunne bruges på DSLR ere. Det er fuldt manuelt, men takket være særlige adapterringe,

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

EF14mm f/2.8l II USM DEN. Brugsvejledning

EF14mm f/2.8l II USM DEN. Brugsvejledning EF14mm f/2.8l II USM DEN Brugsvejledning Tak fordi du har købt et Canon produkt. Canon EF14mm f/2,8l II USM er et highperformance super-vidvinkel objektiv udviklet til EOS kameraer. USM står for ultrasonisk

Læs mere

Canon TS-E 17/4L & 24/3,5L II

Canon TS-E 17/4L & 24/3,5L II Field test Canon TS-E 17/4L & 24/3,5L II Tekst og foto Per Buchmann Ny generation high-end Tilt & Shift objektiver Introduktionen af de to nye TS-E objektiver, markerer et kvalitetsløft blandt Canon s

Læs mere

Sådan helt lavpraktisk måtte jeg i gang med fotoredigering for at fjernet disse pletter samt få lavet et nyt print.

Sådan helt lavpraktisk måtte jeg i gang med fotoredigering for at fjernet disse pletter samt få lavet et nyt print. Sensor Spots I forbindelse med vores fotoudstilling sidste sommer fandt jeg ud af på den hårde måde at jeg havde Sensor Spots på i hvert fald eet af mine billeder. Det havde jeg ikke bemærket ved den almindelige

Læs mere

Generelt indtryk. Tamron Adaptall SP 28-80, f/3,5-4,2

Generelt indtryk. Tamron Adaptall SP 28-80, f/3,5-4,2 Generelt indtryk Tamron Adaptall SP 28-80mm f/3,5-4,2 CF Macro er et lækkert objektiv som blev produceret i perioden 1983-1987, så det har altså nogle år på bagen. Objektiver er bygget i metal og glas

Læs mere

For det første skal man bruge udstyr. Tripod + kamera + fjernudløser, monteret med velcro på stativben

For det første skal man bruge udstyr. Tripod + kamera + fjernudløser, monteret med velcro på stativben Langtidseksponering Rasve 25. juli 2015 På det seneste har jeg fundet langtidseksponering ret interessant. Præcis hvad det er, er jeg ikke helt klar over. En del af det er nok, at jeg tvinger mig til at

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Vinkelmåling med sekstant

Vinkelmåling med sekstant Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Dr. Grimgraves UHYGGELIGE ØJEÆBLER

Dr. Grimgraves UHYGGELIGE ØJEÆBLER TM Jeg formoder, at jeg er nødt til at introducere mig. Jeg er dr. Grimgrave, en specialist i medicinske eksperimenter. Jeg er blevet bedt om at forelæse om dine øjne og hvordan de virker, men jeg kan

Læs mere

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008

Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008 Louise Regitze Skotte Andersen, Klasse 2.4 Lærer: Ashuak Jacob France 2 Indhold Indledning... 3 Materialeliste...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Eksponeringskompensation

Eksponeringskompensation Eksponeringskompensation EC = Exposure Compensation Eksponeringskompensation; måles altid i EV-steps. Bruges når man ønsker at ændre kameraets automatiske eksponering, således at man gerne vil have det

Læs mere

Macro. Makro betyder i fotosammenhæng alt, hvad der er under mindste-afstanden i "normal" fokuseringsområdet.

Macro. Makro betyder i fotosammenhæng alt, hvad der er under mindste-afstanden i normal fokuseringsområdet. Makro betyder i fotosammenhæng alt, hvad der er under mindste-afstanden i "normal" fokuseringsområdet. -men det bliver du nok ikke klogere af. Det er historisk begrundet fra filmkameraernes tid, hvor man

Læs mere

Olympus E-520 m/ 14-42mm

Olympus E-520 m/ 14-42mm Olympus E-520 m/ 14-42mm Det perfekte øjeblik venter ikke. Det er grunden til at seriøse fotografer kræver seriøst udstyr så de altid er klar, uanset opgave. Det nye D-SLR Olympus E-520, med de professionelle

Læs mere

FOTOKLUBBEN KRONBORG MODUL 002 KAMERAFUNKTIONER KEND DIT KAMERA INDHOLDSFORTEGNELSE

FOTOKLUBBEN KRONBORG MODUL 002 KAMERAFUNKTIONER KEND DIT KAMERA INDHOLDSFORTEGNELSE FOTOKLUBBEN KRONBORG KURSUSAKTIVITETER 2014 25. OKTOBER 2014 10:00-16:00 MODUL 002 KAMERAFUNKTIONER KEND DIT KAMERA Medbring kamera, stativ, kortlæser, kabel, bærbar pc, notesblok og skrivetøj. Der vil

Læs mere

TS-E24mm f/3.5l TS-E45mm f/2.8 TS-E90mm f/2.8 Brugsvejledning

TS-E24mm f/3.5l TS-E45mm f/2.8 TS-E90mm f/2.8 Brugsvejledning TS-E24mm f/3.5l TS-E45mm f/2.8 TS-E90mm f/2.8 DEN Brugsvejledning Tak fordi du har købt et Canon produkt. Canons TS-E-objektiver er tilt/shift-objektiver designet for EOS-kameraer. Vippe/flyttemekanismen

Læs mere

REFLEKTION eller GLANS standarder

REFLEKTION eller GLANS standarder Flensbjerg 8 Fax: + 3943 7768 DK-49 Holeby, Lolland Phone : + 3943 7767 export@dansksolenergi.dk VAT id.: DK288323 REFLEKTION eller GLANS standarder Der findes ikke en let måde, at matematisk beregne eller

Læs mere

(Critiquing på enkelsk bør ikke oversættes til kritik men til evaluering. Kritik er på engelsk criticism)

(Critiquing på enkelsk bør ikke oversættes til kritik men til evaluering. Kritik er på engelsk criticism) Billede kritik Eller nærmer billede evaluering, da kritik er negativt ladet på dansk. Man kan også kalde det billede bedømmelse der er mere dansk (Critiquing på enkelsk bør ikke oversættes til kritik men

Læs mere

Generelt indtryk. Sigma 8-16mm f/4,5-5,6 DC HSM

Generelt indtryk. Sigma 8-16mm f/4,5-5,6 DC HSM Generelt indtryk Sigma 8-16 mm f/4,5-5,6 DC HSM er et ultra vidvinkel. Men som bekendt betyder en kort brændvidde sjældent, at objektivet er lille. 8-16 er både stort og tungt med dets 555 gr. og en længde

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Lidt makrobetragtninger.

Lidt makrobetragtninger. Lidt makrobetragtninger. I forlængelse af vores snak om makro på det sidste fotofremvisningsmøde kommer her lige lidt yderligere betragtninger. Mellemringe (Extension Tubes): Hvis man ønsker ens objektiv

Læs mere

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt af Brian Kristensen http://akrylkunst.dk side 1 af 6 Denne quick guide viser i korte steps hvordan man tegner de rigtige proportioner i et ansigt. For at have et fundament når du tegner et ansigt er det

Læs mere

Men det er da et nydeligt objektiv, ik?

Men det er da et nydeligt objektiv, ik? Generelt indtryk Macro Takumar 50mm f/4 blev produceret fra 1964, og blev i 1966 afløst af en redesignet udgave. Afløseren (Super Macro Takumar 50mm f/4) blev i 1971 jo afløst af Super-Multi-Coated Macro

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere