Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Geometrisk Optik. Teori og forsøg"

Transkript

1 Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium Ole Witt-Hae

2 Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl elekio i et kokavt ulpejl elekio i et kovekt ulpejl Brdig i e kuglelade Samlelie. Liemagere ormel Spredelier Avedele a briller... Kap. Optike itrumeter...3. De atroomike kikkert (Telekopet)...3. Mikrokopet Lieejl Kameraet...5 Kap 3. Forøg i Geometrik Optik...7. Strålegage i e glaklod...7. Prime i ovedtillig Abildig i amlelier Atroomik kikkert Små orøg med pejle, ulpejle og primer Totalrelekio i prime Dobbeltrelekio i to pejle Forøg med lup Forøg med ulpejle Udmålig a radiere i kuglelade på e lie...

3 Kap Geometrik Optik Kap. Geometrik Optik. Strålegage i toer De geometrike optik adler om ltråler relekio og brdig (reraktio) ved overgag ra et to til et adet. Hele de geometrike optik er baeret på 3 lovmæigeder.. I amme to bevæger let ig lag rette liier.. elekiolove: Ved relekio ra e overlade er de idaldee tråle, de relekterede tråle og idaldloddet i amme pla, og idaldvikle er lig med relekiovikle. E ormal til de relekterede lade kalde or idaldloddet. Vikle mellem de idaldede tråle og idaldloddet kalde idaldvikle. Tilvarede or relekiovikle. 3. Brdiglove: Ved brdig a e tråle ved overgag ra et to til et adet er de idaldee, de brudte tråle og idaldloddet i amme pla, og ammeæge mellem idaldvikel i, brdigvikel b er givet ved brdiglove: ii ib kalde or det relative brdigorold mellem de to toer. Alt dette er kedt ra bølgelære.. relekio i et plat pejl På igurere oveor e, vorlede puktet Q på e getad relektere a et pejl. Da øjet altid vil opatte e trålegag, om e ret liie, opatte billedet om beliggede ved Q. Q beider ig der, vor orlægele a de to tråler, der udgår ra Q møde. Billedet er virtuelt ( idbildt), ortået på de måde, at der ikke ide oget billede a Q bag ved pejlet. Det ølger trivielt a geometrie, at billedet er lige å tort om getade. På de ade igur, er ma at billedet er pejlvedt, idet e vetreåd bliver abildet i e øjreåd. Læer ma e tekt i et pejl (og det er ret vært), kal de læe ra øjre mod vetre. På igure edeor er orøgt vit de kedgerig, at or at e e getad i et pejl, kal pejlet midt ave de alve tørrele a getade. Øjepuktet er placeret i B, om lugter med pejlet øverte kat. E tråle, om udgår ra A og e i B, vil relektere ra et pukt på pejlet, om kærer midtormale a AB. For at kue e B ra A kal pejlet ølgelig midt ave øjde ½ AB.

4 Kap Geometrik Optik På de ade igur daer de to pejle e vikel u med iade. Spejlee ka dreje om liie ved D. De idkommede og de relekterede tråle er orlæget, å de daer trekate ABC. De vikel om tråle bliver abøjet betege v. Vi aveder u ætige om, at upplemetvikle ( vikle) til e vikel i e trekat er umme a de to øvrige vikler. A trekatere ABC og ADB e deror at v 80 - x (x) og u 90 - x (x) Hera ølger direkte at v u. Ved relekio mellem to pejle, bliver tråle drejet de dobbelte vikel mellem de to pejle. Dette avede.ek. i e ektat. Hvi pecielt pejlee er abragt vikelret på iade å u 90 0, å er v Det betder, at tråle bliver relekteret i modat retig a de idkommede tråle. Det amme pricip avede, år ma kal lave e relektor (relekbrik). E relektor, kal kue e uaægig a de retig, om de idaldee ltråle ar. De kal relektere let 80 0 ligegldigt, vilke vikel let rammer brikke. E relektor udorme deror om et tre retviklet jøre a pejle. epræetere de idkommede tråle med e vektor (,, 3 ). Ved relekio med x- plae vil z-koordiate 3 kite orteg, å tråle retig u er (,, - 3 ). Noget elt tilvarede gælder or relekio med x-z plae og -z plae. De relekterede tråle retig vil ereter være givet ved r (-, -, - 3 ) elekio i et kokavt ulpejl For de ulpejle og lier, vi kal e på, gælder at overlade altid er e del a e kuglelade, og at radiu i de tilvarede kugle er meget tørre e diametere i pejlet eller lie. De vikler vi betragter er deror må vikler. Ved udledig a ormlere ertatter ma deror (æte) koekvet i v og ta v med v (vikle målt i radia). For vikler midre e 0 0 er dee approximatio elt tiltrækkelig. Når ma laver tegigere er viklere imidlertid ikke må a e til ortåele. I Damark ar ma at e traditio or at betege atade til getad og billede med bogtavere a og b. I ere iteratioal (amerikak) litteratur, beteger ma derimod alt vad der ører til billede med et mærke. For ekempel atade til getad og billede med og. Jeg vil ølge de iteratioale kovetio i det ølgede, elv om de både ar ordele og ulemper.

5 Kap Geometrik Optik 3 Oveor er vit et kokavt ulpejl. Dette betder at pejlet er på ideride a de kuglelade, om pejlet er e del a. Cetrum or kuglelade med radiu er i C. Getade beider ig i puktet P. Atade til pejlet cetrum er. E tråle udedt ra P uder vikle α med pejlet mmetriake, bliver relekteret, å de rammer ake i P. Atade ra P til pejlet cetrum er. Stråle relektere ra pejlet i B, tkket ra ake. Idaldloddet i B går geem cetrum or kugle. Betdige a δ, θ, β og φ remgår a tegige. Hvi viklere er må, er δ orvidede i orold til og. A PBC og CBP e a ætige om upplemetvikle til e vikel i e trekat, at (3.) β φ ϑ og φ θ α β ϕ α Edvidere ølger det a de retviklede trekater taα δ taϕ δ ta β δ Hvi viklere er må, og δ er orvidede i orold til, og, ka vi e bort ra δ, og amtidig ertatte tage til viklere med viklere målt i ret tal. Herved år ma α ϕ og β. Aveder ma u (3.) β ϕ α β α ϕ år ma relatioe eller om de otet krive (3.) vor kalde or brædvidde (3.) kalde or abildigligige. Det er e relatio mellem atad til getad, atad til billede og brædvidde. Det vier ig at dee ligig går ige i ele de geometrike optik. Ma bemærker iær ølgede:

6 Kap Geometrik Optik 4 Ligige er uaægig a α. Dette betder at alle tråler, der udgår ra P (og om relektere ra ulpejlet) møde i billedpuktet P. Dette er øgt illutreret på de ade a igurere oveor Hvi vil. Et idkommede akeparallelt trålebudt, vil amle i et pukt F i atad ½ ra pejlet. F kalde or brædpuktet, kalde om ævt or brædvidde. Billedet er ægte, år P er udeor brædvidde. Det vil ige, at det ka opage på e kærm eller e otograik plade. Sammeæge mellem tørrele a billede og getad remgår a igure edeor. Når ma kal betemme billedet a et pukt a getade, kal ma uke på, at i ølge ovetåede vil alle tråler, der udgår ra et pukt eter relekioe abilde i det amme pukt. Det er deror ku ødvedigt at betemme kærige mellem to a 4 mulige tråler. E akeparallel tråle vil eter relekioe gå geem brædpuktet. E tråle der går geem brædpuktet, vil eter relekioe være akeparallel. E tråle, der går geem cetrum a kuglekalle, vil relektere geem cetrum. E tråle, der rammer pejlet i det cetrum, relektere mmetrik med e til ake. På igure oveor e at QVP ~ QPV (trekatere er eviklede), å der gælder om oroldet mellem billede og getad. A abildigligige ølger: ( ) Hera å et udtrk or oroldet mellem øjde a billede og getad (ortørrige) (3.3) Billedet er ægte, me omvedt, vilket ogå remgår a igure, Dette apejle matematik ved, at, er egativ i orold til Når beider ig ude or, dv. >, å er billedet midre ed getade. Når < < er det relativt emt at vie, at der gælder det amme udtrk (3.3). Billedet bliver tørre ed getade. Abrige getade tæt ved brædpuktet bliver billedet uedeligt tort. Dette

7 Kap Geometrik Optik 5 er velkedt, vi ma.ek. aveder et ulpejl til at tudere uregelmæigeder i aigtet eller vi ma beøger e pejlal i et tivoli. Når getade beider ig ideor brædvidde, gælder (3.4) tadig, me abildigligige er lidt aderlede ud. Nedeor er de to idte ituatioer illutreret. I approximatioe med må vikler, ka vi betragte pejlet om plat, å vi ar ogå teget billede i igure til vetre og getad i igure til øjre ee ved pejlet. På tegige til vetre ølger a de eviklede trekater: QPF ~ TOF og QPF ~ TOF ) )( ( Ved diviio a de idte ligig med, ider ma ige abildigligige (3.4). Fortørrige ka alæe a de ade a de to ørte ligiger. På tegige til øjre er getade abragt ide or brædvidde. A igure remgår, at billedet vil beide ig bag ved pejlet. A de eviklede trekater: CQP ~ CQP og FQP ~ FTO ider ma: ) )( ( ) ( Ved diviio a de idte ligig med, ider ma ige e variat a abildigligige, me vor orteget or leddet er egativt. Dette betder at billedet er virtuelt

8 Kap Geometrik Optik 6 (3.5). Fortørrige er imidlertid de amme om idtil. De e a de ade a de to ørte ligiger. Når getade er ideor brædvidde, dae der ikke et ægte billede, om er midre ed getade, me et virtuelt billede, om er tørre ed getade. 4. elekio i et kovekt ulpejl Oveor er vit et ulpejl, vor de pejlede lade er placeret på deride. Ogå or et kovekt ulpejl gælder e variat a abildigligige. Ud ra igure e, at der med tilærmele or må vikler gælder. α taα β ta β ϕ taϕ og β ϕ θ θ α β A de to idte ligiger ølger: (4.) β α ϕ og ar "amme orteg", me modat orteg a ordi de beider ig på amme ide a pejlet. Når og ar modat orteg, er billedet virtuelt. A igure til øjre e, at ortørrige er givet ved:. Iolerer ma a abildigligige ider ma: da: (4.). Ved idættele og reduktio år ma Det er det amme udtrk, om vi adt or kokavpejlet, bortet ra orteget or. Ved abildig i et kokav pejl, er billedet altid virtuelt og midre e getade. Dette er velkedt og vit edeor, ved pejlig i e kugle.

9 Kap Geometrik Optik 7 5. Brdig i e kuglelade På igure er vit trålegage or e tråle, der udgår ra P, brde i e kuglelade og abilde i P. er om ædvalig atade til P (getade) OP og atade til P (billedet) OP. C er etrum or kuglelade med radiu. Brdigideket or brdige ra lut til to betege. Der gælder brdiglove: ii ib or må vikler krive dee i b Vi aveder ige ætige om upplemetvikle (80 - vikle) til e vikel i e trekat er lig med umme a de to adre vikler. Med igure betegeler remgår a geometrie: ϕ b β i α ϕ i α b β amt α ta α β ta β ϕ taϕ i α b β i b ( ) b α β ( )( ϕ β ) α β ( ) ϕ α β Idætte de tilærmede udtrk or α, β og ϕ oveor ider ma: (5.), eller om relatioe ormalt krive

10 Kap Geometrik Optik 8 Bemærk, at ligige er uaægig a α og de øvrige vikler. Dette idebærer at alle tråler, der udede ra P abilde i P. For et akeparallelt trålebudt, om varer til at ma lader ma ider ma atade til billedpuktet. Hera år ma brædvidde Dee ormel avede dog tort et aldrig (a idlede grude). E lie betår i almideliged a to kuglelader e kovek og e kokav og, me det ka ogå være to koveke eller to kokave. Vi vil deror ogå e på trålegage de modatte vej. Med igure betegeler, ider ma elt på amme måde om ør, bortet ra at brdigoroldet u er /. Brdiglove bliver ereter i b b i amt ϕ α i b ϕ β b α i β α ta α β ta β ϕ taϕ b ϕ β b i i ϕ α ( ) ϕ α β Idætte de tilærmede udtrk or α, β og ϕ oveor ider ma: (5.) 6. Samlelie. Liemagere ormel På igure er vit e amlelie, vor getade abilde i getade. For e amlelie, ar vi åbebart at gøre med e kombiatio a de to ovetåede tilælde (kovek og kokav kuglelade). Hvi vi beteger de idgåede tråle med idek () og de udgåede med idek (), opkriver vi ige ligigere or de to trålegage:

11 Kap Geometrik Optik 9 og og Da det er de amme tråle, vil der imidlertid gælde -. Miuteget, ordi og ligger på modatte ider a lie. Ved additio a de to idte ligiger oveor ider ma deror: 0 ) )( ( Hvi vi dropper idek () og () på ere, (da det jo er de amme tråle), ider ma ormle: (6.) ) )( ( For et akeparallelt trålebudt, om varer til at ma lader ma ider ma atade til billedpuktet, om er lig med lie brædvidde : (6.) ) )( ( (6.) kalde ote or liemagere ormel, ordi ma ud ra radiu i kuglere og brdigoroldet, ka berege brædvidde or lie. A (6.) og (6.) ølger umiddelbart abildigligige or lier. er atade til getade, er atade til billedet og b er brædvidde. Billedet er ægte og omvedt. Aveder ma (6.) i (6.) ider ma ige abildigligige. (6.3) A igure med amlelie oveor, remgår det umiddelbart at ortørrige, altå oroldet mellem billede og getad er A abildigligige ølger ) ( Så ortørrige er

12 Kap Geometrik Optik 0 (6.4) A (6.4) e at, vi getade er lægere væk e to brædvidder, >, er billedet midre ed getade. Hvi < < er billedet tørre ed getade. Hvi getade er ideor brædvidde, altå 0 < <, bliver brøke egativ. Dette betder, at billedet er virtuelt og tørre ed getade. Avedt på dee måde er amlelie e lup. Forude luppe, kalde e amlelie or et brædegla. etter ma emlig glaet mod ole og abriger oget i brædpuktet, vil alt ollet, der paerer glaet amle i brædpuktet og urtigt atæde et brædbart materiale. 7. Spredelier På igure oveor er vit ekempler på trålegage i e amlelie (koveklie) og e predelie (kokavlie). Ma ka udlede liemagere ormel or e predelie på amme måde om or e amlelie, me det er lettere, blot at kotatere, at brdigoroldet lut, gla / gla, lut, å ved at vede trålegage i de to kuglelader i e amlelie og ertatte med /, år ma liemagere ormel or predelier. Det bliver - ikke overrakede - de amme ormel, (vi ma er bort ra orteget or brædvidde), vor blot er ertattet med /. (7.) ( gla, lut )( ) Ma ka let ide abildigormle or predelier, ved at avede de to eviklede trekater på igure. Sætter vi om ædvalig QP og QP.Hvi beteger atade til getade, atade til billede, og er brædvidde, ider ma: (7.) Ved diviio med ider ma abildigligige (7.3) Miuteget på brædvidde, klde, at brædpuktet, ligger på amme ide om getade. Det gør billedet ogå, å det er et virtuelt billede.

13 Kap Geometrik Optik Fortørrige, ka ide ved at løe de idte a ligigere (7.) med e til og idætte i de ørte a ligigere. For e predelie er billedet altid midre e getade. 3. Avedele a briller Er ma laget, er e briller amlelier, me ærede går med predelier. På igurere edeor, ka ma e et ormalt øje, vor atade ra etide (retia) til lie er lig med brædvidde. Et laget øje, vor atade ra etide til lie er (lidt) tørre ed brædvidde, og et æret øje, vor atade ra etide til lie er (lidt) midre ed brædvidde. I begge tilælde, vil getade ikke abilde karpt på retia. På igurere edeor er å vit, vorlede ma ka ajælpe problemet, ved at abrige eoldvi e amlelie og e predelie (briller) ora øjet. Ved år aldere, kal tort et alle meeker med ormalt ave læebriller (amlelier). Det er ikke ordi ma bliver laget med åree. (Sævereted er oget elt adet, der id imellem ogå dukker op i de alder). Årage er at lie ikke er lavet a at to, me er vækeldt. Øjet ar e eve til at akkomodere, dv. automatik orøge eller ormidke brædvidde ved at trkke lie amme, alt eter om getade er tæt på (midre brædvidde) eller lagt ra (tørre brædvidde). Det er dee eve, der orrige med åree, å ma ikke ka trkke lie amme or at okuere. eultatet er, at ma or ekempel ikke ka læe, vad der er krevet med må bogtaver. (Noget om ote avede med ordel a ælger i juridik bidede kotrakter) Nærede peroer udgår ku delvi, at å "gammel", ordi de to orkellige årager ikke ka kompeere or iade i alle tilælde.

14 Kap Geometrik Optik

15 Kap Optike Itrumeter 3 Kap. Optike itrumeter. De atroomike kikkert (Telekopet) De atroomike kikkert betår a to amlelier, der er abragt, å atade er lig med umme a dere brædvidder. Se igure edeor. De lie, der veder mod objektet (getade) kalde or objektivet og de lie ærmet øjet kalde or okularet (eg. eepiece). Et jert objekt vil abilde i objektivet brædpla, vor det betragte i okularet. I almideliged ar objektivet e betdelig tørre brædvidde e okularet. Billedet er omvedt, a vilke grud de atroomike kikkert ikke er veleget om økikkert, jagt- eller militærkikkert. Fortørrige deiere, om oroldet mellem de vikler, voruder getad og billede e. A igure e imidlertid (.) taθ θ og taθ θ θ θ Fortørrige er impelte oroldet mellem brædviddere på objektivet og okularet.. Mikrokopet Mikrokopet betår ligeom telekopet a to amlelier, objektivet og okularet. Me dere roller er bttet om, ålede at der er objektivet, der ar de midte brædvidde. De to lier er abragt i e atad, om er tørre ed umme a de to brædvidder og. Se igure edeor. I mikrokopet abrige getade tæt på me udeor objektivet brædpla. Fortørrige ra objektivet er iølge kap (6.4) O I. Det omvedte billede abilde ideor, me tæt på brædvidde a okularet. Billedet iagttage geem okularet, der er ugerer om e lup. Formle or ortørrige er de amme om ør og ma ider. A de to orold ider ma å: (.) I O I I Brøke er egativ, ordi billedet er virtuelt. Ved at vælge >> og (eller) opår ma e tor ortørrig. Der er dog lere praktike (tekike) tig at tage e til, år ma kotruerer et mikrokop.

16 Kap Optike Itrumeter 4 3. Lieejl At remtille lier, ar geem 00 år været e avaceret og oriet tekologi. Deværre er det ikke tiltrækkeligt, blot at remtille liere geometrik øjagtigt. Dette klde et æome om kalde kromatik aberratio. Årage til aberratioe er, at brdigideket aæger a bølgelægde a let, å brædviddere or rødt, gult og blåt l vil være lidt orkellige. Det er emt at iagttage arverige omkrig billedet i billige kikkerter. E lie, vor ma (æte) ar elimieret aberratioejle kalde or e akromat. (De er kotbare). Det vier ig emlig, at orkellige glaorter.ek. krogla og lit gla ar orkellig abøjig og orkellig diperio (arvepredig). E a mådere at remtille e akromat på er, at remtille amlelie a to lier, e amlelie med tor abøjig, me lille diperio, amt e predelie med lille abøjig, me tor diperio.

17 Kap Optike Itrumeter 5 4. Kameraet Ude at gå i detaljer er edeor vit, vorlede et kamera pricipielt er idrettet.

18

19 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 7 Kap 3. Forøg i Geometrik Optik. Strålegage i e glaklod Materiel: E rektagulær glaklod, et blødt uderlag, papir og kappeåle. Forøget ormål er at illutrere trålegage geem e glaklod, og betemme brdigoroldet lut/gla. Forøgbekrivele: Glaklode abrige på papiret på det bløde uderlag, og klode placerig markere med e blat. To kappeåle placere på de ee ide, å dere igteliie daer e vikel på midre ed 60 0 med klode kat. Die to åle iagttage u på de ade ide a klode, ålede, at ma er dem på e liie. På amme ide placere u de to adre kappeåle, å alle ire åle e på amme liie. Dee (brudte) liie er trålegage geem klode. Strålegage trække op med blat. d er bredde a klode. i er idaldvikle, b er brdigvikle, og a er atade mellem de parallelle tråler geem klode. i For overgag ra to () til to () Der gælder brdiglove: i, vor ib er brdigideket. Der gælder å trålegage geem klode er mmetrik. d A igure oveor remgår: a (co(90 i b) cob Ved at orlæge trålegage geem klode alæe idaldvikel og brdigvikel på e vikelmåler og brdigidek berege ud ra brdiglove. Edvidere udmåle orkdige a på e lieal, og overetemmele med ormle oveor eterprøve. Forøget getage midt e gag.. Prime i ovedtillig Materiel: Et eller to glaprimer (krogla/litgla), et blødt uderlag, papir og kappeåle. Forøget ormål er at illutrere trålegage geem et prime, og betemme brdigoroldet lut/gla. Teori: På igure er teget trålegage i et prime. Jeg ar valgt, at betege viklere med idaldloddet ude or primet med bogtavet i og viklere med idaldloddet ide i primet med bogtavet b, (elvom b er idaldvikel ved overgage gla/lut). α er primet brdede vikel.

20 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 8 Vi betragter irkate ABCD. Vi aveder at upplemetvikle (80 0 vikle) til vikle i e trekat er lig med umme a de to adre vikler i trekate. Dette avedt på trekat ABD og da AB90 0 remgår a igure (og geometrie): D 80 α og 80 D b b α b b Abøjige ϕ a tråle e at være ϕ i b i b i i ( b b i i α ) Ma ka ekperimetelt påvie og teoretik udlede (me det er ikke å let - e edeor) at abøjige er midt, år trålegage er mmetrik, altå år i i i og b b b. Dette kalde or primet ovedtillig. I dette tilælde er ϕ ϕ i α, å dette i brdiglove ider ma: ii ib ϕ mi α i( ) α i( ) mi ϕ mi α i og α b. Aveder ma Forøget udørele: Primet brdede vikel betemme ved at måle øjde og grudlade i et tværit a primet. Primet abrige på et tkke papir på et blødt uderlag. Der abrige to kappeåle på de ee ide a primet, å igteliie er ogelude de, om er vit på tegige. Die to kappeåle iagttage u ra de ade ide a primet, og primet dreje origtigt, idtil ma opår de midte abøjig a tråle. Primet placerig og trålegage idtege med blat på papiret. På papiret orlæge trålere og abøjige udmåle med vikelmåler. Ud ra målereultatere, berege brdigoroldet ud ra ormle oveor. Forøget getage evetuelt med det adet prime, et prime med væke eller amme prime.. Teoretik argumet or ovedtillige. Iølge udledige oveor gælder ϕ i i ( b b ) og α ( b b ), amt iølge brdiglove

21 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 9 i i i b i i og i i i b og i i i b i( α b ) i b Ud ra de idte ligig ka vi opatte i om e uktio a b og ud ra de ørte ligig ka vi opatte b om uktio a i. Dette kriver vi: i i (b ) og b b (i ) > i i (b (i )) De uktioelle aægiged remgår implicit oveor. Hereter ka vi implicit udtrkke φ om uktio a i og dieretiere de or et ide miimum. ϕ i i ( b b ) og α ( b b ) ϕ i i α i i ( b ( i )) α Ved (implicit) dieretiatio a de ammeatte uktio med e til i or at betemme et evetuelt miimum, ider ma ereter: dφ di db di db di Ved implicit dieretiatio a ligigere i i i b og i i i b i( α b ) år ma: og idætte i udtrk- di ) db coi co( α b og cob coi Ved at løe die ligiger or db di ket or φ, ider ma di db og db di dφ di db co i co( α b ) co i co b di db di co i co b co i co b dφ Det e u, at 0 di ar løige i i b b, idet begge de to brøker å bliver lig med. Dette er etop betigele or ovedtillige, vilket var det vi ville vie. At det er et miimum og ikke et maximum er idlede a ike grude. 3. Abildig i amlelier Materiel: Samlelier, optik bæk med tilbeør, julel, måletok. Øvele ormål er at eterprøve abildigligige or amlelier.

22 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 0 Øvele udørele: ma abriger e amlelie, et tearil og e kærm på rttere. Let kal abrige ude or lie brædvidde. Skærme ltte idtil billedet vie karpt på kærme. Med e lieal måle atad til billede og getad. Lie brædvidde alæe på lie. Hvi beteger brædvidde, er atade til getad og er atade til billedet gælder abildigligige: der udøre midt 5 orøg med orøg med lier med orkellig brædvidde, og med varierede atad til getade. Vurder (tørre ed/midre ed) or vert orøg oroldet mellem tørrele a billede og getad. Sammelig med relatioe, vor og beteger tørrele a eoldvi billede og getad. 4. Atroomik kikkert Øvele ormål er at kotruere e atroomik kikkert. Materiel: Samlelier med orkellig brædvidde, optik bæk. Øvele udørele: To amlelier med orkellig (tor og lille) brædvidde abrige på de optike bæk med e atad, om er lig umme a dere brædvidder. Objektivet med de tore brædvidde lægt væk ra øjepuktet og okularet ærmet øjepuktet. Se teorie på ide 3. Geem okularet obervere e jer getad. Okularet orkde idtil at getade e karpt. Ma vurderer ortørrige i kikkerte, og ammeliger med relatioe mellem de vikler α og α om billede og getad e uder: α Iølge teorie gælder. α 5. Små orøg med pejle, ulpejle og primer 5. Totalrelekio i prime Materiel: Prime med brdigvikel på 90 0, Laer.

23 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik Sæt primet op på de optike bæk og ed laertråle id vikelret på budlade. Oberver, at der er totalrelekio på de brdede lader (Hvoror?) og at tråle relektere 80 grader. 5. Dobbeltrelekio i to pejle Materiel: Dobbeltpejl og laer. Sed l ra e laer id mod pejlee, vikelret på de to pejle plaer. kotater, at der gælder de relatioer, om er udledt på ide. Iær, vi vikle mellem pejlee er Forøg med lup Vælg e amlelie med kedt brædvidde. Betragt e getad på orkellige atade ra amlelie. Kotater, at obervatioere er i overetemmele med ormlere på ide Forøg med ulpejle Materiel: Hulpejl, evt. optik bæk. julel. Abrig e lkilde lidt orkudt ra ulpejlet mmetriake, og uderøg om ma ka opage billedet a lkilde på e kærm. Uderøg om relatioere på ide 3-4 er opldt. 5.5 Udmålig a radiere i kuglelade på e lie Med e mikrometerkrue, ka ma med ret tor præciio udmåle radiere i de kuglelader, om e lie er opbgget a. Beee på mikrometerkrue er placeret med 0 0 adkillele på e cirkel med radiu r. Dee radiu er opgivet på mikrometerkrue. Skrue, der er abragt med ake i cetrum a cirkle er oret med e cirkulær kala, der ka alæe med /000 m øjagtiged ( µm).

24 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik Skrue abrige ørt på et abolut vadret uderlag, vor ultillige kotrollere. Deræt krue krue op, voreter de abrige på lie, å pide a krue er lag lie ake. Skrue dreje u origtig ed idtil der er kotakt. Stkket krue er løtet i orold til beee på mikrometerkrue betege. adiu i liekuglelade betege. A igure oveor e at ( ) r r r Da og r er kedte ka radiu betemme. Gøre dette or begge ider a lie og ider ma radiere og, ka brædvidde betemme a liemagere ormel, vi brdigoroldet or glaet, om lie er remtillet a er kedt ( )( ) Brdigoroldet or gult l i krogla er ca.,5 og or litgla ca.,6

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen.

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen. P og En varmluftballon Denne artikel er en lettere revideret udgave af en artikel, om Dan Frederiken og Erik Vetergaard fra Haderlev Katedralkole havde i LMFK-bladet nr. 2, februar 1997. Enhver, om er

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen:

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen: Oplag 8: FORMLHÅNDTRING Sammenhængen mellem trækning og tid Farten angiver den tilbagelagte trækning i et tidrum. Farten kan betemme ved brug af formlen: fart = trækning tid Anvender vi i tedet ymboler,

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Elementær Matematik. Differentialregning

Elementær Matematik. Differentialregning Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar - 1 Vankelige vilkår for generationkifte med nye regler - Afkaffele af formuekattekuren amt vækkele af ikkerheden trod bindende var Af advokat (L) Bodil Chritianen og advokat (H), cand. merc. (R) Tommy

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Mere og mere sprøjtegift i vores vand

Mere og mere sprøjtegift i vores vand fødevarer Amerikak topchef fra SPX kalder Damark fødevaretekologie Silico Valley. SIDE byggeri Dyamike facader halverer bygiger eergiforbrug. Dakere tår bag det ye kocept. tema ide - produktprie Nyudviklet

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Vejledning til brug ved ansøgning om patent

Vejledning til brug ved ansøgning om patent Vejledig til brug ved asøgig om patet Idhold: Hvad ka pateteres hvorår og hvorda? 1 Såda søger De patet i Damark 3 Et praktisk eksempel 5 Hvorda behadles asøgige? 12 Patetbeskyttelse i flere lade 14 Biblioteks-liste

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

ENTREPRENØR KARAKTERBOG Side 1/3

ENTREPRENØR KARAKTERBOG Side 1/3 ENTREPRENØR KARAKTERBOG Side 1/3 Virksomheden har i forbindelse med download af dette dokument erklæret, at alle dens evaluerede sager indgår i karakterbogen. Byggeriets Evaluerings Center har registreret

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

Find de billeder som vises i begge kasser. Papiret kan eventuelt foldes på midten først - kig først på den øverste kasse. Vend papiret og se om du

Find de billeder som vises i begge kasser. Papiret kan eventuelt foldes på midten først - kig først på den øverste kasse. Vend papiret og se om du Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.1.1.da Navn: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Lærer: Dato: Klasse: Materiale ID: PIC.8.2.1.da Navn: Klasse: 254 Materiale

Læs mere

SCANTRUCK A/S. SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. s. 3 Nyt samarbejde s. 4-5 Salg- og marketingafdelingen s. 6-7 Bejstrup Maskinstation

SCANTRUCK A/S. SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. s. 3 Nyt samarbejde s. 4-5 Salg- og marketingafdelingen s. 6-7 Bejstrup Maskinstation SCANTRUCK A/S SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. 3 Nyt amarbejde. 4-5 Salg- og marketingafdelingen. 6-7 Bejtrup Makintation Forhandler af CASE, MANITOU, ATLAS og McCLOSKEY SCANTRUCK A/S Peter Daugbjerg

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Trekantsområdets kystlejrpladser

Trekantsområdets kystlejrpladser Gl.Å bo v Selum Stederup Søderskov De østyske forde,, og forde, byder på uikke atur ser lags kyste. Alle e. Favetræspladse Jorde er god, og skove er derfor frodig og varieret. De markerede rute, der går

Læs mere

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus guide Januar 2015 få billigere el kift elelkab og par en formue Se flere guider på bt.dk/plu og b.dk/plu 2 SKIFT ELSELSKAB SPAR EN FORMUE INDHOLD SIDE 4 Mange kan core hurtige og nemme penge ved at kifte

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence Affaldshådbog 2008 Batteriidsamlig Gebrugsstatioer Storskrald Kokurrece Idhold Hilse fra direktøre 3 Nyheder i 2008 4 Geerelt 5 Hjælp di skraldemad 5 ORDNINGER Restaffald 6 Papiridsamlig 8 Batterier på

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2008-2012. Maj 2008

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2008-2012. Maj 2008 Løningerne er hentet på www.zyankipil.dk Quizpillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD Løninger til ekaenopgaver på fyik A-niveau 008-01 Maj 008 Opgave 1: Geoterik anlæg a) Ved at uere de to effekter til en alet

Læs mere

YSoft SafeQ. Accounting software og terminaler. Applikationer YSoft SafeQ

YSoft SafeQ. Accounting software og terminaler. Applikationer YSoft SafeQ YSoft SafeQ Accoutig software og termialer Applikatioer YSoft SafeQ YSoft SafeQ, itroduktio YSoft SafeQ Komplet Accoutig og sikkerhed YSoft SafeQ er e serverløsig, som kotrollerer og fordeler udskrivige

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Behovsstyret ventilation

Behovsstyret ventilation OVERSIGT Behovtyret ventilation Topprodukterne til behovtyret ventilation! www.wegon.com Behovtyret ventilation Behovtyret ventilation giver høj komfort og lave driftomkotninger Når rummet benytte, tyre

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

vi.iq!suodsai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai

vi.iq!suodsai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai 4 vi.iq!uodai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai r 4. Procebekrivele 8 2. Stamolyninger 5 3.3 Strategi 7 Q 3. Præentation af virkomheden 6 3.2 Kernekometencer 7 3.1 Ledele og organiering 6 -b 1. Forord med ledelen

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Underøgele af forældre brugerhed med dagilbud i kommun Apr. 2012 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommun, om de pørgmål, der

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

VERDEN. handler ETISK OG FAIR? Skolekontakten

VERDEN. handler ETISK OG FAIR? Skolekontakten P e t e r B e j d e r & K a a r e Ø s t e r VERDEN hadler ETISK OG FAIR? Skolekotakte Verde hadler etisk og fair? Peter Bejder & Kaare Øster VERDEN hadler Verde hadler etisk og fair? Peter Bejder & Kaare

Læs mere

Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736

Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736 Den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele Storgruppe 9736 Titel: Digital ignalbehandling Synopi: Projektperiode: P //98-9/5/98 Projektgruppe: 347 Deltagere: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten

Læs mere

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ. abcdefghijklmnopqrstuvxyzæøå ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVXYZÆØÅ Graisk Desin OPGAVEN Je skulle lave en plakat som projektplan over Randerup branddam. Dammen skulle nemli laves om til et hyelit adekær. Der var tenet en skitse over runden, med noter til hvad der skulle

Læs mere

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE

H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER MATEMATISK ANALYSE H. TORNEHA VE FOREL$SNINGSNOTER I MATEMATISK ANALYSE Kursus ma1;.ematik 1 f'or f rste ars studerede uder..k behavs Ui versi teta..jll8. tema ti skatucvideskabelige f'akultet~ samt ~or aktuarog stat~t~studerede.

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System

Intelligent Drivesystems, Worldwide Services. Aluminiumsgear og -motorer. Fås med Sealed Surface Conversion System Itelliget Drivesystems, Worldwide Services DK Alumiiumsgear og -motorer Fås med Sealed Surface Coversio System NORD Itelliget Drivesystems, Worldwide Services Fordele ved alumiiumsgear Korrosiosbestadigt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

18 referencer. Energibesparende løsninger til renovering af varme- og kølingssystemer. varme.danfoss.dk. med tilbagebetalingstid

18 referencer. Energibesparende løsninger til renovering af varme- og kølingssystemer. varme.danfoss.dk. med tilbagebetalingstid MAKING MODERN LIVING POSSIBLE Energibeparende løninger til renovering af varme- og kølingytemer 18 referencer med tilbagebetalingtid Beregninger vier, hvor hurtigt din invetering vil blive tilbagebetalt

Læs mere

Midtby Delbilklub. Reservation af delebiler

Midtby Delbilklub. Reservation af delebiler Midtby Delbilklub Reservation a delebiler Udarbejdet a: Michael Hejselbak Bejer-Andersen - 290486 [mibej07@student.sdu.dk] Emil Holmegaard - 090387 [emhol07@student.sdu.dk] Flemming Max Jørgensen - 040576

Læs mere

af det hele Randi Laubek Frederikshavn

af det hele Randi Laubek Frederikshavn Frederikshav af det hele Radi Laubek Natures skøhed har haft stor betydig for mi musik, fortæller sagere, sagskrivere og musikere Radi Laubek, der er vokset op i det ordjyske. Side 14 15 Morgefruer med

Læs mere