Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Geometrisk Optik. Teori og forsøg"

Transkript

1 Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium Ole Witt-Hae

2 Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl elekio i et kokavt ulpejl elekio i et kovekt ulpejl Brdig i e kuglelade Samlelie. Liemagere ormel Spredelier Avedele a briller... Kap. Optike itrumeter...3. De atroomike kikkert (Telekopet)...3. Mikrokopet Lieejl Kameraet...5 Kap 3. Forøg i Geometrik Optik...7. Strålegage i e glaklod...7. Prime i ovedtillig Abildig i amlelier Atroomik kikkert Små orøg med pejle, ulpejle og primer Totalrelekio i prime Dobbeltrelekio i to pejle Forøg med lup Forøg med ulpejle Udmålig a radiere i kuglelade på e lie...

3 Kap Geometrik Optik Kap. Geometrik Optik. Strålegage i toer De geometrike optik adler om ltråler relekio og brdig (reraktio) ved overgag ra et to til et adet. Hele de geometrike optik er baeret på 3 lovmæigeder.. I amme to bevæger let ig lag rette liier.. elekiolove: Ved relekio ra e overlade er de idaldee tråle, de relekterede tråle og idaldloddet i amme pla, og idaldvikle er lig med relekiovikle. E ormal til de relekterede lade kalde or idaldloddet. Vikle mellem de idaldede tråle og idaldloddet kalde idaldvikle. Tilvarede or relekiovikle. 3. Brdiglove: Ved brdig a e tråle ved overgag ra et to til et adet er de idaldee, de brudte tråle og idaldloddet i amme pla, og ammeæge mellem idaldvikel i, brdigvikel b er givet ved brdiglove: ii ib kalde or det relative brdigorold mellem de to toer. Alt dette er kedt ra bølgelære.. relekio i et plat pejl På igurere oveor e, vorlede puktet Q på e getad relektere a et pejl. Da øjet altid vil opatte e trålegag, om e ret liie, opatte billedet om beliggede ved Q. Q beider ig der, vor orlægele a de to tråler, der udgår ra Q møde. Billedet er virtuelt ( idbildt), ortået på de måde, at der ikke ide oget billede a Q bag ved pejlet. Det ølger trivielt a geometrie, at billedet er lige å tort om getade. På de ade igur, er ma at billedet er pejlvedt, idet e vetreåd bliver abildet i e øjreåd. Læer ma e tekt i et pejl (og det er ret vært), kal de læe ra øjre mod vetre. På igure edeor er orøgt vit de kedgerig, at or at e e getad i et pejl, kal pejlet midt ave de alve tørrele a getade. Øjepuktet er placeret i B, om lugter med pejlet øverte kat. E tråle, om udgår ra A og e i B, vil relektere ra et pukt på pejlet, om kærer midtormale a AB. For at kue e B ra A kal pejlet ølgelig midt ave øjde ½ AB.

4 Kap Geometrik Optik På de ade igur daer de to pejle e vikel u med iade. Spejlee ka dreje om liie ved D. De idkommede og de relekterede tråle er orlæget, å de daer trekate ABC. De vikel om tråle bliver abøjet betege v. Vi aveder u ætige om, at upplemetvikle ( vikle) til e vikel i e trekat er umme a de to øvrige vikler. A trekatere ABC og ADB e deror at v 80 - x (x) og u 90 - x (x) Hera ølger direkte at v u. Ved relekio mellem to pejle, bliver tråle drejet de dobbelte vikel mellem de to pejle. Dette avede.ek. i e ektat. Hvi pecielt pejlee er abragt vikelret på iade å u 90 0, å er v Det betder, at tråle bliver relekteret i modat retig a de idkommede tråle. Det amme pricip avede, år ma kal lave e relektor (relekbrik). E relektor, kal kue e uaægig a de retig, om de idaldee ltråle ar. De kal relektere let 80 0 ligegldigt, vilke vikel let rammer brikke. E relektor udorme deror om et tre retviklet jøre a pejle. epræetere de idkommede tråle med e vektor (,, 3 ). Ved relekio med x- plae vil z-koordiate 3 kite orteg, å tråle retig u er (,, - 3 ). Noget elt tilvarede gælder or relekio med x-z plae og -z plae. De relekterede tråle retig vil ereter være givet ved r (-, -, - 3 ) elekio i et kokavt ulpejl For de ulpejle og lier, vi kal e på, gælder at overlade altid er e del a e kuglelade, og at radiu i de tilvarede kugle er meget tørre e diametere i pejlet eller lie. De vikler vi betragter er deror må vikler. Ved udledig a ormlere ertatter ma deror (æte) koekvet i v og ta v med v (vikle målt i radia). For vikler midre e 0 0 er dee approximatio elt tiltrækkelig. Når ma laver tegigere er viklere imidlertid ikke må a e til ortåele. I Damark ar ma at e traditio or at betege atade til getad og billede med bogtavere a og b. I ere iteratioal (amerikak) litteratur, beteger ma derimod alt vad der ører til billede med et mærke. For ekempel atade til getad og billede med og. Jeg vil ølge de iteratioale kovetio i det ølgede, elv om de både ar ordele og ulemper.

5 Kap Geometrik Optik 3 Oveor er vit et kokavt ulpejl. Dette betder at pejlet er på ideride a de kuglelade, om pejlet er e del a. Cetrum or kuglelade med radiu er i C. Getade beider ig i puktet P. Atade til pejlet cetrum er. E tråle udedt ra P uder vikle α med pejlet mmetriake, bliver relekteret, å de rammer ake i P. Atade ra P til pejlet cetrum er. Stråle relektere ra pejlet i B, tkket ra ake. Idaldloddet i B går geem cetrum or kugle. Betdige a δ, θ, β og φ remgår a tegige. Hvi viklere er må, er δ orvidede i orold til og. A PBC og CBP e a ætige om upplemetvikle til e vikel i e trekat, at (3.) β φ ϑ og φ θ α β ϕ α Edvidere ølger det a de retviklede trekater taα δ taϕ δ ta β δ Hvi viklere er må, og δ er orvidede i orold til, og, ka vi e bort ra δ, og amtidig ertatte tage til viklere med viklere målt i ret tal. Herved år ma α ϕ og β. Aveder ma u (3.) β ϕ α β α ϕ år ma relatioe eller om de otet krive (3.) vor kalde or brædvidde (3.) kalde or abildigligige. Det er e relatio mellem atad til getad, atad til billede og brædvidde. Det vier ig at dee ligig går ige i ele de geometrike optik. Ma bemærker iær ølgede:

6 Kap Geometrik Optik 4 Ligige er uaægig a α. Dette betder at alle tråler, der udgår ra P (og om relektere ra ulpejlet) møde i billedpuktet P. Dette er øgt illutreret på de ade a igurere oveor Hvi vil. Et idkommede akeparallelt trålebudt, vil amle i et pukt F i atad ½ ra pejlet. F kalde or brædpuktet, kalde om ævt or brædvidde. Billedet er ægte, år P er udeor brædvidde. Det vil ige, at det ka opage på e kærm eller e otograik plade. Sammeæge mellem tørrele a billede og getad remgår a igure edeor. Når ma kal betemme billedet a et pukt a getade, kal ma uke på, at i ølge ovetåede vil alle tråler, der udgår ra et pukt eter relekioe abilde i det amme pukt. Det er deror ku ødvedigt at betemme kærige mellem to a 4 mulige tråler. E akeparallel tråle vil eter relekioe gå geem brædpuktet. E tråle der går geem brædpuktet, vil eter relekioe være akeparallel. E tråle, der går geem cetrum a kuglekalle, vil relektere geem cetrum. E tråle, der rammer pejlet i det cetrum, relektere mmetrik med e til ake. På igure oveor e at QVP ~ QPV (trekatere er eviklede), å der gælder om oroldet mellem billede og getad. A abildigligige ølger: ( ) Hera å et udtrk or oroldet mellem øjde a billede og getad (ortørrige) (3.3) Billedet er ægte, me omvedt, vilket ogå remgår a igure, Dette apejle matematik ved, at, er egativ i orold til Når beider ig ude or, dv. >, å er billedet midre ed getade. Når < < er det relativt emt at vie, at der gælder det amme udtrk (3.3). Billedet bliver tørre ed getade. Abrige getade tæt ved brædpuktet bliver billedet uedeligt tort. Dette

7 Kap Geometrik Optik 5 er velkedt, vi ma.ek. aveder et ulpejl til at tudere uregelmæigeder i aigtet eller vi ma beøger e pejlal i et tivoli. Når getade beider ig ideor brædvidde, gælder (3.4) tadig, me abildigligige er lidt aderlede ud. Nedeor er de to idte ituatioer illutreret. I approximatioe med må vikler, ka vi betragte pejlet om plat, å vi ar ogå teget billede i igure til vetre og getad i igure til øjre ee ved pejlet. På tegige til vetre ølger a de eviklede trekater: QPF ~ TOF og QPF ~ TOF ) )( ( Ved diviio a de idte ligig med, ider ma ige abildigligige (3.4). Fortørrige ka alæe a de ade a de to ørte ligiger. På tegige til øjre er getade abragt ide or brædvidde. A igure remgår, at billedet vil beide ig bag ved pejlet. A de eviklede trekater: CQP ~ CQP og FQP ~ FTO ider ma: ) )( ( ) ( Ved diviio a de idte ligig med, ider ma ige e variat a abildigligige, me vor orteget or leddet er egativt. Dette betder at billedet er virtuelt

8 Kap Geometrik Optik 6 (3.5). Fortørrige er imidlertid de amme om idtil. De e a de ade a de to ørte ligiger. Når getade er ideor brædvidde, dae der ikke et ægte billede, om er midre ed getade, me et virtuelt billede, om er tørre ed getade. 4. elekio i et kovekt ulpejl Oveor er vit et ulpejl, vor de pejlede lade er placeret på deride. Ogå or et kovekt ulpejl gælder e variat a abildigligige. Ud ra igure e, at der med tilærmele or må vikler gælder. α taα β ta β ϕ taϕ og β ϕ θ θ α β A de to idte ligiger ølger: (4.) β α ϕ og ar "amme orteg", me modat orteg a ordi de beider ig på amme ide a pejlet. Når og ar modat orteg, er billedet virtuelt. A igure til øjre e, at ortørrige er givet ved:. Iolerer ma a abildigligige ider ma: da: (4.). Ved idættele og reduktio år ma Det er det amme udtrk, om vi adt or kokavpejlet, bortet ra orteget or. Ved abildig i et kokav pejl, er billedet altid virtuelt og midre e getade. Dette er velkedt og vit edeor, ved pejlig i e kugle.

9 Kap Geometrik Optik 7 5. Brdig i e kuglelade På igure er vit trålegage or e tråle, der udgår ra P, brde i e kuglelade og abilde i P. er om ædvalig atade til P (getade) OP og atade til P (billedet) OP. C er etrum or kuglelade med radiu. Brdigideket or brdige ra lut til to betege. Der gælder brdiglove: ii ib or må vikler krive dee i b Vi aveder ige ætige om upplemetvikle (80 - vikle) til e vikel i e trekat er lig med umme a de to adre vikler. Med igure betegeler remgår a geometrie: ϕ b β i α ϕ i α b β amt α ta α β ta β ϕ taϕ i α b β i b ( ) b α β ( )( ϕ β ) α β ( ) ϕ α β Idætte de tilærmede udtrk or α, β og ϕ oveor ider ma: (5.), eller om relatioe ormalt krive

10 Kap Geometrik Optik 8 Bemærk, at ligige er uaægig a α og de øvrige vikler. Dette idebærer at alle tråler, der udede ra P abilde i P. For et akeparallelt trålebudt, om varer til at ma lader ma ider ma atade til billedpuktet. Hera år ma brædvidde Dee ormel avede dog tort et aldrig (a idlede grude). E lie betår i almideliged a to kuglelader e kovek og e kokav og, me det ka ogå være to koveke eller to kokave. Vi vil deror ogå e på trålegage de modatte vej. Med igure betegeler, ider ma elt på amme måde om ør, bortet ra at brdigoroldet u er /. Brdiglove bliver ereter i b b i amt ϕ α i b ϕ β b α i β α ta α β ta β ϕ taϕ b ϕ β b i i ϕ α ( ) ϕ α β Idætte de tilærmede udtrk or α, β og ϕ oveor ider ma: (5.) 6. Samlelie. Liemagere ormel På igure er vit e amlelie, vor getade abilde i getade. For e amlelie, ar vi åbebart at gøre med e kombiatio a de to ovetåede tilælde (kovek og kokav kuglelade). Hvi vi beteger de idgåede tråle med idek () og de udgåede med idek (), opkriver vi ige ligigere or de to trålegage:

11 Kap Geometrik Optik 9 og og Da det er de amme tråle, vil der imidlertid gælde -. Miuteget, ordi og ligger på modatte ider a lie. Ved additio a de to idte ligiger oveor ider ma deror: 0 ) )( ( Hvi vi dropper idek () og () på ere, (da det jo er de amme tråle), ider ma ormle: (6.) ) )( ( For et akeparallelt trålebudt, om varer til at ma lader ma ider ma atade til billedpuktet, om er lig med lie brædvidde : (6.) ) )( ( (6.) kalde ote or liemagere ormel, ordi ma ud ra radiu i kuglere og brdigoroldet, ka berege brædvidde or lie. A (6.) og (6.) ølger umiddelbart abildigligige or lier. er atade til getade, er atade til billedet og b er brædvidde. Billedet er ægte og omvedt. Aveder ma (6.) i (6.) ider ma ige abildigligige. (6.3) A igure med amlelie oveor, remgår det umiddelbart at ortørrige, altå oroldet mellem billede og getad er A abildigligige ølger ) ( Så ortørrige er

12 Kap Geometrik Optik 0 (6.4) A (6.4) e at, vi getade er lægere væk e to brædvidder, >, er billedet midre ed getade. Hvi < < er billedet tørre ed getade. Hvi getade er ideor brædvidde, altå 0 < <, bliver brøke egativ. Dette betder, at billedet er virtuelt og tørre ed getade. Avedt på dee måde er amlelie e lup. Forude luppe, kalde e amlelie or et brædegla. etter ma emlig glaet mod ole og abriger oget i brædpuktet, vil alt ollet, der paerer glaet amle i brædpuktet og urtigt atæde et brædbart materiale. 7. Spredelier På igure oveor er vit ekempler på trålegage i e amlelie (koveklie) og e predelie (kokavlie). Ma ka udlede liemagere ormel or e predelie på amme måde om or e amlelie, me det er lettere, blot at kotatere, at brdigoroldet lut, gla / gla, lut, å ved at vede trålegage i de to kuglelader i e amlelie og ertatte med /, år ma liemagere ormel or predelier. Det bliver - ikke overrakede - de amme ormel, (vi ma er bort ra orteget or brædvidde), vor blot er ertattet med /. (7.) ( gla, lut )( ) Ma ka let ide abildigormle or predelier, ved at avede de to eviklede trekater på igure. Sætter vi om ædvalig QP og QP.Hvi beteger atade til getade, atade til billede, og er brædvidde, ider ma: (7.) Ved diviio med ider ma abildigligige (7.3) Miuteget på brædvidde, klde, at brædpuktet, ligger på amme ide om getade. Det gør billedet ogå, å det er et virtuelt billede.

13 Kap Geometrik Optik Fortørrige, ka ide ved at løe de idte a ligigere (7.) med e til og idætte i de ørte a ligigere. For e predelie er billedet altid midre e getade. 3. Avedele a briller Er ma laget, er e briller amlelier, me ærede går med predelier. På igurere edeor, ka ma e et ormalt øje, vor atade ra etide (retia) til lie er lig med brædvidde. Et laget øje, vor atade ra etide til lie er (lidt) tørre ed brædvidde, og et æret øje, vor atade ra etide til lie er (lidt) midre ed brædvidde. I begge tilælde, vil getade ikke abilde karpt på retia. På igurere edeor er å vit, vorlede ma ka ajælpe problemet, ved at abrige eoldvi e amlelie og e predelie (briller) ora øjet. Ved år aldere, kal tort et alle meeker med ormalt ave læebriller (amlelier). Det er ikke ordi ma bliver laget med åree. (Sævereted er oget elt adet, der id imellem ogå dukker op i de alder). Årage er at lie ikke er lavet a at to, me er vækeldt. Øjet ar e eve til at akkomodere, dv. automatik orøge eller ormidke brædvidde ved at trkke lie amme, alt eter om getade er tæt på (midre brædvidde) eller lagt ra (tørre brædvidde). Det er dee eve, der orrige med åree, å ma ikke ka trkke lie amme or at okuere. eultatet er, at ma or ekempel ikke ka læe, vad der er krevet med må bogtaver. (Noget om ote avede med ordel a ælger i juridik bidede kotrakter) Nærede peroer udgår ku delvi, at å "gammel", ordi de to orkellige årager ikke ka kompeere or iade i alle tilælde.

14 Kap Geometrik Optik

15 Kap Optike Itrumeter 3 Kap. Optike itrumeter. De atroomike kikkert (Telekopet) De atroomike kikkert betår a to amlelier, der er abragt, å atade er lig med umme a dere brædvidder. Se igure edeor. De lie, der veder mod objektet (getade) kalde or objektivet og de lie ærmet øjet kalde or okularet (eg. eepiece). Et jert objekt vil abilde i objektivet brædpla, vor det betragte i okularet. I almideliged ar objektivet e betdelig tørre brædvidde e okularet. Billedet er omvedt, a vilke grud de atroomike kikkert ikke er veleget om økikkert, jagt- eller militærkikkert. Fortørrige deiere, om oroldet mellem de vikler, voruder getad og billede e. A igure e imidlertid (.) taθ θ og taθ θ θ θ Fortørrige er impelte oroldet mellem brædviddere på objektivet og okularet.. Mikrokopet Mikrokopet betår ligeom telekopet a to amlelier, objektivet og okularet. Me dere roller er bttet om, ålede at der er objektivet, der ar de midte brædvidde. De to lier er abragt i e atad, om er tørre ed umme a de to brædvidder og. Se igure edeor. I mikrokopet abrige getade tæt på me udeor objektivet brædpla. Fortørrige ra objektivet er iølge kap (6.4) O I. Det omvedte billede abilde ideor, me tæt på brædvidde a okularet. Billedet iagttage geem okularet, der er ugerer om e lup. Formle or ortørrige er de amme om ør og ma ider. A de to orold ider ma å: (.) I O I I Brøke er egativ, ordi billedet er virtuelt. Ved at vælge >> og (eller) opår ma e tor ortørrig. Der er dog lere praktike (tekike) tig at tage e til, år ma kotruerer et mikrokop.

16 Kap Optike Itrumeter 4 3. Lieejl At remtille lier, ar geem 00 år været e avaceret og oriet tekologi. Deværre er det ikke tiltrækkeligt, blot at remtille liere geometrik øjagtigt. Dette klde et æome om kalde kromatik aberratio. Årage til aberratioe er, at brdigideket aæger a bølgelægde a let, å brædviddere or rødt, gult og blåt l vil være lidt orkellige. Det er emt at iagttage arverige omkrig billedet i billige kikkerter. E lie, vor ma (æte) ar elimieret aberratioejle kalde or e akromat. (De er kotbare). Det vier ig emlig, at orkellige glaorter.ek. krogla og lit gla ar orkellig abøjig og orkellig diperio (arvepredig). E a mådere at remtille e akromat på er, at remtille amlelie a to lier, e amlelie med tor abøjig, me lille diperio, amt e predelie med lille abøjig, me tor diperio.

17 Kap Optike Itrumeter 5 4. Kameraet Ude at gå i detaljer er edeor vit, vorlede et kamera pricipielt er idrettet.

18

19 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 7 Kap 3. Forøg i Geometrik Optik. Strålegage i e glaklod Materiel: E rektagulær glaklod, et blødt uderlag, papir og kappeåle. Forøget ormål er at illutrere trålegage geem e glaklod, og betemme brdigoroldet lut/gla. Forøgbekrivele: Glaklode abrige på papiret på det bløde uderlag, og klode placerig markere med e blat. To kappeåle placere på de ee ide, å dere igteliie daer e vikel på midre ed 60 0 med klode kat. Die to åle iagttage u på de ade ide a klode, ålede, at ma er dem på e liie. På amme ide placere u de to adre kappeåle, å alle ire åle e på amme liie. Dee (brudte) liie er trålegage geem klode. Strålegage trække op med blat. d er bredde a klode. i er idaldvikle, b er brdigvikle, og a er atade mellem de parallelle tråler geem klode. i For overgag ra to () til to () Der gælder brdiglove: i, vor ib er brdigideket. Der gælder å trålegage geem klode er mmetrik. d A igure oveor remgår: a (co(90 i b) cob Ved at orlæge trålegage geem klode alæe idaldvikel og brdigvikel på e vikelmåler og brdigidek berege ud ra brdiglove. Edvidere udmåle orkdige a på e lieal, og overetemmele med ormle oveor eterprøve. Forøget getage midt e gag.. Prime i ovedtillig Materiel: Et eller to glaprimer (krogla/litgla), et blødt uderlag, papir og kappeåle. Forøget ormål er at illutrere trålegage geem et prime, og betemme brdigoroldet lut/gla. Teori: På igure er teget trålegage i et prime. Jeg ar valgt, at betege viklere med idaldloddet ude or primet med bogtavet i og viklere med idaldloddet ide i primet med bogtavet b, (elvom b er idaldvikel ved overgage gla/lut). α er primet brdede vikel.

20 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 8 Vi betragter irkate ABCD. Vi aveder at upplemetvikle (80 0 vikle) til vikle i e trekat er lig med umme a de to adre vikler i trekate. Dette avedt på trekat ABD og da AB90 0 remgår a igure (og geometrie): D 80 α og 80 D b b α b b Abøjige ϕ a tråle e at være ϕ i b i b i i ( b b i i α ) Ma ka ekperimetelt påvie og teoretik udlede (me det er ikke å let - e edeor) at abøjige er midt, år trålegage er mmetrik, altå år i i i og b b b. Dette kalde or primet ovedtillig. I dette tilælde er ϕ ϕ i α, å dette i brdiglove ider ma: ii ib ϕ mi α i( ) α i( ) mi ϕ mi α i og α b. Aveder ma Forøget udørele: Primet brdede vikel betemme ved at måle øjde og grudlade i et tværit a primet. Primet abrige på et tkke papir på et blødt uderlag. Der abrige to kappeåle på de ee ide a primet, å igteliie er ogelude de, om er vit på tegige. Die to kappeåle iagttage u ra de ade ide a primet, og primet dreje origtigt, idtil ma opår de midte abøjig a tråle. Primet placerig og trålegage idtege med blat på papiret. På papiret orlæge trålere og abøjige udmåle med vikelmåler. Ud ra målereultatere, berege brdigoroldet ud ra ormle oveor. Forøget getage evetuelt med det adet prime, et prime med væke eller amme prime.. Teoretik argumet or ovedtillige. Iølge udledige oveor gælder ϕ i i ( b b ) og α ( b b ), amt iølge brdiglove

21 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 9 i i i b i i og i i i b og i i i b i( α b ) i b Ud ra de idte ligig ka vi opatte i om e uktio a b og ud ra de ørte ligig ka vi opatte b om uktio a i. Dette kriver vi: i i (b ) og b b (i ) > i i (b (i )) De uktioelle aægiged remgår implicit oveor. Hereter ka vi implicit udtrkke φ om uktio a i og dieretiere de or et ide miimum. ϕ i i ( b b ) og α ( b b ) ϕ i i α i i ( b ( i )) α Ved (implicit) dieretiatio a de ammeatte uktio med e til i or at betemme et evetuelt miimum, ider ma ereter: dφ di db di db di Ved implicit dieretiatio a ligigere i i i b og i i i b i( α b ) år ma: og idætte i udtrk- di ) db coi co( α b og cob coi Ved at løe die ligiger or db di ket or φ, ider ma di db og db di dφ di db co i co( α b ) co i co b di db di co i co b co i co b dφ Det e u, at 0 di ar løige i i b b, idet begge de to brøker å bliver lig med. Dette er etop betigele or ovedtillige, vilket var det vi ville vie. At det er et miimum og ikke et maximum er idlede a ike grude. 3. Abildig i amlelier Materiel: Samlelier, optik bæk med tilbeør, julel, måletok. Øvele ormål er at eterprøve abildigligige or amlelier.

22 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik 0 Øvele udørele: ma abriger e amlelie, et tearil og e kærm på rttere. Let kal abrige ude or lie brædvidde. Skærme ltte idtil billedet vie karpt på kærme. Med e lieal måle atad til billede og getad. Lie brædvidde alæe på lie. Hvi beteger brædvidde, er atade til getad og er atade til billedet gælder abildigligige: der udøre midt 5 orøg med orøg med lier med orkellig brædvidde, og med varierede atad til getade. Vurder (tørre ed/midre ed) or vert orøg oroldet mellem tørrele a billede og getad. Sammelig med relatioe, vor og beteger tørrele a eoldvi billede og getad. 4. Atroomik kikkert Øvele ormål er at kotruere e atroomik kikkert. Materiel: Samlelier med orkellig brædvidde, optik bæk. Øvele udørele: To amlelier med orkellig (tor og lille) brædvidde abrige på de optike bæk med e atad, om er lig umme a dere brædvidder. Objektivet med de tore brædvidde lægt væk ra øjepuktet og okularet ærmet øjepuktet. Se teorie på ide 3. Geem okularet obervere e jer getad. Okularet orkde idtil at getade e karpt. Ma vurderer ortørrige i kikkerte, og ammeliger med relatioe mellem de vikler α og α om billede og getad e uder: α Iølge teorie gælder. α 5. Små orøg med pejle, ulpejle og primer 5. Totalrelekio i prime Materiel: Prime med brdigvikel på 90 0, Laer.

23 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik Sæt primet op på de optike bæk og ed laertråle id vikelret på budlade. Oberver, at der er totalrelekio på de brdede lader (Hvoror?) og at tråle relektere 80 grader. 5. Dobbeltrelekio i to pejle Materiel: Dobbeltpejl og laer. Sed l ra e laer id mod pejlee, vikelret på de to pejle plaer. kotater, at der gælder de relatioer, om er udledt på ide. Iær, vi vikle mellem pejlee er Forøg med lup Vælg e amlelie med kedt brædvidde. Betragt e getad på orkellige atade ra amlelie. Kotater, at obervatioere er i overetemmele med ormlere på ide Forøg med ulpejle Materiel: Hulpejl, evt. optik bæk. julel. Abrig e lkilde lidt orkudt ra ulpejlet mmetriake, og uderøg om ma ka opage billedet a lkilde på e kærm. Uderøg om relatioere på ide 3-4 er opldt. 5.5 Udmålig a radiere i kuglelade på e lie Med e mikrometerkrue, ka ma med ret tor præciio udmåle radiere i de kuglelader, om e lie er opbgget a. Beee på mikrometerkrue er placeret med 0 0 adkillele på e cirkel med radiu r. Dee radiu er opgivet på mikrometerkrue. Skrue, der er abragt med ake i cetrum a cirkle er oret med e cirkulær kala, der ka alæe med /000 m øjagtiged ( µm).

24 Kap 3 Forøg i Geometrik Optik Skrue abrige ørt på et abolut vadret uderlag, vor ultillige kotrollere. Deræt krue krue op, voreter de abrige på lie, å pide a krue er lag lie ake. Skrue dreje u origtig ed idtil der er kotakt. Stkket krue er løtet i orold til beee på mikrometerkrue betege. adiu i liekuglelade betege. A igure oveor e at ( ) r r r Da og r er kedte ka radiu betemme. Gøre dette or begge ider a lie og ider ma radiere og, ka brædvidde betemme a liemagere ormel, vi brdigoroldet or glaet, om lie er remtillet a er kedt ( )( ) Brdigoroldet or gult l i krogla er ca.,5 og or litgla ca.,6

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast Det krå kat Data Forøg 1: = 38 V 0 = 4, 94 K vidde = 2, 058 H = 0, 406 t = 0, 53 Forøg 2 (60 ): = 60 V 0 = 4, 48 K vidde = 1, 724 H = 0, 788 t = 0, 77 Fyik del Udførel af forøg Kat på 38 : Forøgoptilling:

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse Hjemmeopgave Makroøkonomi,. årprøve, foråret 2005 Vejledende bevarele Opgave. Korrekt. Arbejdtyrken er en beholdning- (tock) variabel, idet man på et givet tidpunkt (fx. jan) kan tælle, hvor mange der

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen.

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen. P og En varmluftballon Denne artikel er en lettere revideret udgave af en artikel, om Dan Frederiken og Erik Vetergaard fra Haderlev Katedralkole havde i LMFK-bladet nr. 2, februar 1997. Enhver, om er

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen:

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen: Oplag 8: FORMLHÅNDTRING Sammenhængen mellem trækning og tid Farten angiver den tilbagelagte trækning i et tidrum. Farten kan betemme ved brug af formlen: fart = trækning tid Anvender vi i tedet ymboler,

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Elementær Matematik. Differentialregning

Elementær Matematik. Differentialregning Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Rumgeometri Side 1 af 20

Rumgeometri Side 1 af 20 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

n n ' 8 DK. 2012 Ansøgning om byggetilladelse/ Anmeldelse af byggearbejde D D D D 3 3 3 3 3 3 E 3

n n ' 8 DK. 2012 Ansøgning om byggetilladelse/ Anmeldelse af byggearbejde D D D D 3 3 3 3 3 3 E 3 WS101651W omska 18 12 2012 10 17 SEPBARCOE 0U121 Syddjurs Kommue Hovedgade 77 8410 Røde Telefo 87 5 50 00 Kommues av og adresse Syddjurs Kommue Borgerservice Hovedgade 77 8410 Røde ' 8 K. 2012 Udfyldes

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Brugerundersøgelse 2013 Plejebolig

Brugerundersøgelse 2013 Plejebolig Brugerunderøgele 2013 Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion AS og Afdeling for Data og Analye, Sundhed- og Omorgforvaltningen, København Kommune. Layout: KK deign Foridefoto: Henrik Friberg

Læs mere

Note til Stikprøveteori Teoretisk Statistik, 2. årsprøve Erik Bennike og Frederik Silbye. Formeloversigt til stikprøveteori

Note til Stikprøveteori Teoretisk Statistik, 2. årsprøve Erik Bennike og Frederik Silbye. Formeloversigt til stikprøveteori ote til Stiprøveteori Teoreti Statiti,. årprøve Eri Beie og Frederi Silbye Foreloverigt til tiprøveteori Alterativ variatio Kotiert variatio Sipel tilældig dvælgele ote Pt Pt Geerel tratiiceret dvælgele

Læs mere

Faldmaskine. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 23. november 2008

Faldmaskine. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 23. november 2008 Faldmakine Eben Bork Hanen Amanda Laren Martin Sven Qvitgaard Chritenen 23. november 2008 Indhold Formål 3 2 Optilling 3 2. Materialer............................... 3 2.2 Optilling...............................

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

HALLO no en hjemme? Tema. + s. 28 Forstå dit barns hjerne

HALLO no en hjemme? Tema. + s. 28 Forstå dit barns hjerne HALLO o e hjemme? Eksperte forklarer, hvorfor det er så svært for små ører at høre efter. Se, hvorda det går, år Elie Holm tester de gode råd på si datter Liva, og få idblik i, hvad der sker i de lille

Læs mere

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 7

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 7 Løning, Bygningkonuktion og rkitektur, opgave 7 Dækelementerne er 0, m tykke og pænder over m. Der anvende ølgende regningmæige materialeparamee: Beton: 8, MPa α 8 rmering: 8 MPa. E d, 0 MPa E k 0 MPa

Læs mere

1. Undersøg om den nye astma-medicin har en signifikant virkning.

1. Undersøg om den nye astma-medicin har en signifikant virkning. Opgave 4.7 For a vurdere virkige af e y amamedici, er 10 paieer lugekapacie bleve mål før og behadlige med de ye medici og ige 3 uger ide i behadligperiode. Die reulaer e i edeåede abel: Lugekapacie Lugekapacie

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Løsning, Beton opgave 5.1

Løsning, Beton opgave 5.1 Løning, Beton opgave 5. Dækelementerne er 0, m tykke og pænder over 5 m. Der anvende ølgende materialeparamee: Beton: 8, MPa α 8 rmering: 85 MPa. E d,5 0 5 MPa E k 0 5 MPa tanden ra armeringen tyngdepunkt

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematik modellering og numerike metoder Morten Grud Ramuen 4. oktober 26 Laplace-tranformationer. Definitionen af Laplace-tranformationen Definition. (Laplace-tranformation). Lad f være en funktion defineret

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG LANGGADEHUS

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG LANGGADEHUS BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG LANGGADEHUS Sundhed- og Omorgforvaltningen Brugerunderøgele : Plejebolig 1 Brugerunderøgele Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion P/S og Afdeling for Data

Læs mere

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar - 1 Vankelige vilkår for generationkifte med nye regler - Afkaffele af formuekattekuren amt vækkele af ikkerheden trod bindende var Af advokat (L) Bodil Chritianen og advokat (H), cand. merc. (R) Tommy

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram

Januar 2011 GARANTIBEVIS. Garantibevis. DS Trapezprofiler DS Sinusprofiler DS Pandeplader DS Tagstensprofiler DS Lysplader DS Tagrendeprogram Jauar 2011 Garatibevis DS Trapezprofiler DS Siusprofiler DS Padeplader DS Tagstesprofiler DS Lysplader DS Tagredeprogram GARANTIBEVIS 2 Betigelser for opfyldelse af garativilkår at produktet ikke avedes

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Bjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra

Bjørn Grøn. Fra græsk geometri til moderne algebra Bjør Grø Fra græsk geometri til modere algebra Fra græsk geometri til modere algebra Side af 45 Idholdsfortegelse. Opridelse... 3 a. Påvirkiger fra flodkulturere...3 b. Pythagoræere...4. De græske matematiks

Læs mere

Termodynamik - Statistisk fysik - Termodynamiske relationer - Fri energi - Entropi

Termodynamik - Statistisk fysik - Termodynamiske relationer - Fri energi - Entropi Fag: Termodynamik - Statitik fyik - Termodynamike relationer - Fri energi - Entropi 1 Indholdfortegnele... 2 Forord... 3 Formelle definitioner... 3 Et ytem... 3 Et lukket ytem... 3 Et ioleret ytem... 3

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Kvalitet hele vejen rundt

Kvalitet hele vejen rundt Outdoor Kvalitet hele veje rudt Professioelle redskabsbærere Stærk, fuktioel og brugervelig Kärcher outdoor redskabsbærere er driftssikre og desiget til de vejrmæssige udfordriger, det daske klima byder

Læs mere

Lokalplan nr. 391. Ringkøbing-Skjern Kommune

Lokalplan nr. 391. Ringkøbing-Skjern Kommune Lokalpla r. 391 For et område til erhvervsformål ved Tøstrupvej syd for Ådum o Tillæ r. 59 til Kommuepla 2013-2025 Rikøbi-Skjer Kommue Ortofoto@Rikøbi-Skjer Kommue Rikøbi-Skjer Kommue 12. april 2016 Lokalplae

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Dr. Ingrids Hjem. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Dr. Ingrids Hjem. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1 BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG Sundhed- og Omorgforvaltningen - Brugerunderøgele 2014: Plejebolig 1 Brugerunderøgele 2014 Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion P/S og Afdeling for Data

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Undervisningsmiljøvurdering Style og Wellness College

Undervisningsmiljøvurdering Style og Wellness College Underviningmiljøvurdering 2014 Underøgelen er gennemført via pørgekemaunderøgele Wellne Efterår 2014 10 9 8 7 6 79,2 73,4 88,6 Overordnede reultater 73,2 73,8 74,1 67,7 64,4 57,7 85,5 80,4 96,8 5 4 3 2

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fyik 4 (Elektromagnetime) 26. juni 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må bevare med

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

Kogebog: 5. Beregn F d

Kogebog: 5. Beregn F d tattk 8. gag KONFIDENINERVALLER Kofdetervaller: kaptel Valg og tet af fordelgfukto tattk 8. gag. KONFIDEN INERVALLER Et kofde terval udtrykker tervallet hvor de rgtge værd af parametere K, med γ % adylghed

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Intelligent planlægning, styring og gennemførelse af din produktion. Reducér virksomhedens omkostninger skab øget konkurrencekraft!

Intelligent planlægning, styring og gennemførelse af din produktion. Reducér virksomhedens omkostninger skab øget konkurrencekraft! Itelliget plalægig, styrig og geemførelse af di produktio Reducér virksomhedes omkostiger skab øget kokurrecekraft! Add-o moduler til alle produktiosvirksomheder med MS Dyamics NAV Maufacturig Målet er

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere