Lineære Afbildninger. enote Om afbildninger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger"

Transkript

1 enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er underrum i henholdsvis definitionsrummet og dispositionsrummet Når definitionsrummet og dispositionsrummet har endelig dimension, og der er valgt en basis for hver af dem, kan spørgsmål vedrørende lineære afbildninger standardiseres I så fald kan en lineær afbildning udtrykkes som et produkt mellem en såkaldt afbildningsmatrix og koordinaterne for de vektorer, der ønskes afbildet Da afbildningsmatricer afhænger af de to valgte baser, beskrives det, hvordan afbildningsmatricerne ændres, når en af baserne eller de begge udskiftes med andre Forudsætninger for enoten er viden om lineære ligningssystemer, se enote 2, matrixalgebra, se enote 3, og vektorrum, se enote 7 Version Om afbildninger En afbildning er en forskrift f, der til et element i en mængde A knytter et element i en mængde B, og forskriften skrives f : A B A kaldes definitionsmængden og B dispositionsmængden CPR-nummerering kan betragtes som en afbildning af mængden af statsborgere i Danmark ind i R 0 Hvert af de ti cifre i CPR-nummeret tilhører nemlig det reelle talrum Man siger, at der er en 0-dobbelt uendelighed af elementer i dispositionsmængden R 0 Men selvom hvert ciffer tilhører det reelle talrum, kan de hver især ikke antage alle reelle tal (fx bruges der ikke negative tal) Derfor bliver der kun benyttet en langt mindre delmængde af dette meget store 0-dimensionelle talrum, nemlig ca fem millioner! De elementer i R 0, som på et givet tidspunkt er i brug, kaldes billedmængden eller værdimængden for CPR-afbildningen

2 enote 8 8 OM AFBILDNINGER 2 5 En enkel type af afbildninger er elementære funktioner af typen f : R R Pilen 4 udtrykker her, at f til ethvert reelt tal x knytter et andet reelt tal y = f (x) Betragt for eksempel den kontinuerte funktion 3 2 x f (x) = 2 x2 2 (8-) Her har forskriften form af en regneprocedure: 0 Sæt tallet i anden, gang det med en halv, og træk 2 fra Reelle funktioner har en stor fordel 9 i, at deres graf { (x, y) y = f (x) } kan tegnes og give et godt overblik over afbildningen, se figur 8 8 Y X 2 Figur 8: Graf for funktion 3 x 2 x2 2 4 Typiske spørgsmål i forbindelse med elementære funktioner kommer igen i forbindelse med mere avancerede afbildninger Lad os5derfor indledningsvis kigge på nogle af de vigtigste opgavetyper: 6 7 Bestem nulpunkterne for f Det betyder, at vi skal finde alle x, for hvilke f (x) = 0 I eksemplet herover er svaret x = 2 8 og x = Løs for et givet b ligningen f (x) = b For b = 6 er der i eksemplet herover de to løsninger x = 4 og x = 4 3 Bestem billedmængden (eller værdimængden) for f Vi skal finde alle de b, for hvilke ligningen f (x) = b har en løsning I eksemplet er billedmængden [ 2; [ Alle tre ovenstående resultater aflæses tydeligt af grafen på figur 8 I denne enote ser vi på definitionsmængder, dispositionsmængder og billedmængder, som er vektorrum Derfor specificeres begreberne til at kunne kaldes definitionsrum, dispositionsrum og billedrum En afbildning f : V W knytter til enhver vektor x i

3 enote 8 82 EKSEMPLER PÅ LINEÆRE AFBILDNINGER I PLANEN 3 definitionsrummet V en vektor y = f (x) i dispositionsrummet W Alle de vektorer i W, som er billede af en vektor i V, udgør billedrummet Vi benytter udtrykket billede for resultatet af en afbildning; altså når en vektor afbildes, fås vektorens billede En opsummering: Definitionsrum: De objekter, der er muligt (lovligt) at afbilde Dispositionsrum: Det rum, som resultaterne (billederne) befinder sig i Billedrum: De resultater (billeder), der er mulige Eksempel 8 Afbildning fra vektorrum til vektorrum En afbildning g : R 2 3 R 2 2 er givet ved Der gælder for eksempel, at ( [ ] 0 2 ) [ 0 2 g = g(x) = X X (8-2) ] = 2 0 [ ] Definitionsrummet er R 2 3, dispositionsrummet er R 2 2, og billedrummet er selvfølgelig også hele R 2 2, da vi kan indsætte matricer fra definitionsrummet, der kan gives os alle de mulige matricer i dispositionsrummet Billedrummet er derfor lig dispositionsrummet i dette eksempel Eksempel 8 herover viser en afbildning, hvor dispositionsrummet og billedrummet er ens, mens det forrige indledende eksempel med funktionen (8-) viser en afbildning, hvor billedrummet (som er [ 2 ; [) er mindre end dispositionsrummet (som er hele R) 82 Eksempler på lineære afbildninger i planen Vi undersøger i det følgende en afbildning f, der har mængden af geometriske vektorer i planen som både definitionsrum og dispositionsrum Denne afbildning f er givet ved f(x) = 2 ˆx, (8-3)

4 enote 8 82 EKSEMPLER PÅ LINEÆRE AFBILDNINGER I PLANEN 4 hvor vi ved ˆx forstår tværvektoren til en given geometrisk vektor x Til enhver vektor i planen er der altså knyttet dens tværvektor multipliceret (forlænget) med 2 På figur 82 er der tegnet to vektorer u og v og deres billeder f (u) og f (v) f(u) f(v) v O u Figur 82: To vektorer (blå) og deres billeder (røde) Figur 82 giver anledning til et par interessante spørgsmål: Hvordan afbildes sumvektoren u + v? Mere præcist: Hvordan forholder billedvektoren f (u + v) sig til de to billedvektorer f (u) og f (v)? Og hvad er relationen mellem billedvektorerne f (ku) og f (u), når k er et givet reelt tal? f(u+v) f(v) f(ku) f(u) f(u) v u+v O u ku O Figur 83: Konstruktion af f (u + v) og f (ku) u Som antydet på figur 83 opfylder f to meget enkle regler: f (u + v) = f (u) + f (v) og f (ku) = k f (u) (8-4) Ved hjælp af de velkendte regneregler for tværvektorer û + v = û + ˆv og 2 ku = kû

5 enote 8 82 EKSEMPLER PÅ LINEÆRE AFBILDNINGER I PLANEN 5 kan vi nu bekræfte påstanden (8-4) : f (u + v) = 2û + v = 2(û + ˆv) = 2û + 2ˆv = f (u) + f (v) f (ku) = 2 ku = 2kû = k(2û) = k f (u) Opgave 82 En afbildning f af plane vektorer er givet ved f (v) = 3v, se figur 84 f(v)=3v O v Figur 84: Skalering af vektor Tegn en figur, der illustrerer, at f opfylder reglerne (8-4) Opgave 83 I planen er der givet en linje l gennem origo En afbildning f 2 spejler vektorer afsat ud fra origo i l, se figur 85 v O l f(v) Figur 85: Spejling af vektor Tegn en figur, der illustrerer, at f 2 opfylder reglerne (8-4) Opgave 84 En afbildning f 3 drejer vektorer afsat ud fra origo vinklen t omkring origo mod uret, se figur 86

6 enote 8 83 LINEÆRE AFBILDNINGER 6 f(v) t v O Figur 86: Drejning af vektor Tegn en figur, der demonstrerer, at f 3 opfylder reglerne (8-4) Alle afbildninger, der har været berørt i dette afsnit, er lineære, fordi de opfylder (8-4) Vi tager nu spørgsmålet om lineære afbildninger mellem vektorrum op til generel behandling 83 Lineære afbildninger Definition 85 Lineær afbildning Lad V og W være to vektorrum over L, og lad L betegne enten R eller C En afbildning f : V W kaldes lineær, hvis den for alle u, v V og alle skalarer k L opfylder de følgende to linearitetsbetingelser: L : f (u + v) = f (u) + f (v) L 2 : f (ku) = k f (u) V kaldes definitionsrummet og W dispositionsrummet for f Ved at sætte k = 0 i linearitetsbetingelsen L 2 i definition 85 ses det, at f (0) = 0 (8-5) Der gælder med andre ord for enhver lineær afbildning f : V W, at nulvektoren i V afbildes i nul-vektoren i W

7 enote 8 83 LINEÆRE AFBILDNINGER 7 Billedet af en linearkombination bliver på en meget enkel måde en linearkombination af billederne af de vektorer, der indgår: f (k v + k 2 v k p v p ) = k f (v ) + k 2 f (v 2 ) + + k p f (v p ) (8-6) Dette resultat fås ved gentagen anvendelse af L og L 2 Bemærk ligheden mellem linearitetsbetingelserne L og L 2 i definition 85 og stabilitetskravene I og II i sætning 7 Men husk også forskellen: linearitetsbetingelserne er til at teste, om en afbildning er lineær, mens stabilitetskravene er til at teste, om et rum er et vektorrum Eksempel 86 Lineær afbildning En afbildning f : R 2 R 4 er givet ved forskriften f (x, x 2 ) = (0, x, x 2, x + x 2 ) (8-7) R 2 og R 4 er reelle vektorrum, og vi undersøger, om f er lineær Vi tester først venstresiden VS og højresiden HS af L med vektorerne (, 2) og (3, 4): VS : f ( (, 2) + (3, 4) ) = f (4, 6) = (0, 4, 6, 0) HS : f (, 2) + f (3, 4) = (0,, 2, 3) + (0, 3, 4, 7) = (0, 4, 6, 0) VS = HS, så L er opfyldt i dette tilfælde Dernæst testes L 2 med vektoren (2,3) og skalaren 5: VS : f ( 5 (2, 3) ) = f (0, 5) = (0, 0, 5, 25) HS : 5 f (2, 3) = 5 (0, 2, 3, 5) = (0, 0, 5, 25) Igen er VS = HS Undersøgelsen tyder umiddelbart på, at f er lineær, men kun for disse eksempler Dette vises nu generelt Først testes L : Dernæst testes L 2 : VS : f ( (x, x 2 ) + (y, y 2 ) ) = f (x + y, x 2 + y 2 ) = (0, x + y, x 2 + y 2, x + x 2 + y + y 2 ) HS : f (x, x 2 ) + f (y, y 2 ) = (0, x, x 2, x + x 2 ) + (0, y, y 2, y + y 2 ) = (0, x + y, x 2 + y 2, x + x 2 + y + y 2 ) VS : f ( k (x, x 2 ) ) = f (k x, k x 2 ) = (0, k x, k x 2, k x + k x 2 ) HS : k f (x, x 2 ) = k (0, x, x 2, x + x 2 ) = (0, k x, k x 2, k x + k x 2 ) Højre- og venstreside er ens i begge tilfælde, så f opfylder begge linearitetsbetingelser og er derfor lineær

8 enote 8 83 LINEÆRE AFBILDNINGER 8 Eksempel 87 Afbildning, som ikke er lineær I eksempel 8 betragtede vi afbildningen g : R 2 3 R 2 2 givet ved Y = g(x) = X X (8-8) At denne afbildning ikke er lineær, kan man dokumentere ved at finde blot ét eksempel, hvor enten L eller L 2 ikke gælder Nedenfor gives et sådan eksempel på en matrix X, der med en skalar 2 ikke opfylder g(2x) = 2 g(x) : men VS : HS : ( [ 0 0 g ] ) = g ( [ ] ) = [ ] = 0 0 ( [ ] 0 0 ) [ ] 0 [ g = = Derfor opfylder g ikke linearitetsbetingelse L 2, og g er ikke lineær ] = [ ] 4 0, 0 0 [ ] Eksempel 88 Lineær afbildning Der er givet en afbildning f : P 2 (R) R ved forskriften f ( P(x) ) = P () (8-9) Til ethvert andengradspolynomium er altså knyttet dets tangenthældning i x = Er f en lineær afbildning? Et vilkårligt andengradspolynomium P(x) kan opskrives ved P(x) = ax 2 + bx + c, hvor a, b og c er reelle konstanter Da P (x) = 2ax + b, må højresiden af afbildningen være P () = 2a + b = 2a + b : f ( P(x) ) = 2a + b Hvis vi sætter P (x) = a x 2 + b x + c og P 2 (x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2, får vi f ( P (x) + P 2 (x) ) = f ( (a + a 2 )x 2 + (b + b 2 )x + (c + c 2 ) ) = ( 2(a + a 2 ) + (b + b 2 ) ) = (2a + b ) + (2a 2 + b 2 ) = f ( P (x) ) + f ( P 2 (x) ) Endvidere gælder for ethvert reelt tal k og ethvert andengradspolynomium P(x): f ( k P(x) ) = f ( k ax 2 + k bx + k c ) = (2k a + k b) = k (2a + b) = k f ( P(x) )

9 enote 8 84 KERNE OG BILLEDRUM 9 Det er hermed vist, at f opfylder linearitetsbetingelserne L og L 2, og at f dermed er en lineær afbildning Opgave 89 Ved C (R) forstås vektorrummet, som består af alle funktioner f : R R, der kan differentieres et vilkårligt antal gange Et eksempel (blandt uendeligt mange) er sinus-funktionen Betragt afbildningen D : C (R) C (R), som til en funktion f C (R) knytter dens afledte: D ( f (x) ) = f (x) Vis, at D er en lineær afbildning 84 Kerne og billedrum Nulpunkterne eller rødderne for en elementær funktion f : R R er alle de reelle tal x, som opfylder f (x) = 0 Det tilsvarende begreb for lineære afbildninger kaldes kernen og betegnes ker( f ) Billedmængden (eller værdimængden) for en elementær funktion f : R R er alle de reelle tal b, hvortil der findes et reelt tal x således, at f (x) = b Som nævnt tidligere kaldes det tilsvarende begreb for lineære afbildninger billedrummet Lad os straks retfærdiggøre, at ordet rum optræder her Det er nemlig således, at kernen er et underrum i definitionsrummet, mens billedrummet er et underrum i dispositionsrummet Dette viser vi nu Definition 80 Kerne og billedrum Ved kernen for en lineær afbildning f : V W forstås mængden ker( f ) = { x V f (x) = 0 W } (8-0) Ved billedrummet for f forstås mængden f (V) = { b W Der findes mindst ét x V, hvor f (x) = b } (8-)

10 enote 8 84 KERNE OG BILLEDRUM 0 Sætning 8 Kernen og billedrummet er underrum Lad f : V W være en lineær afbildning Der gælder: Kernen for f er et underrum i V 2 Billedrummet f (V) er et underrum i W Bevis Første punkt Vi skal ifølge sætning 748 vise, at kernen for f opfylder stabilitetskravene Antag, at x, x 2 V og f (x ) = f (x 2 ) = 0, og at k er en vilkårlig skalar Da der (ved brug af L, da vi forudsætter, at f er lineær) gælder: f (x + x 2 ) = f (x ) + f (x 2 ) = = 0, er kernen for f stabil med hensyn til addition Da der endvidere (med brug af L 2 ) gælder: f (kx ) = k f (x ) = k 0 = 0, er kernen for f også stabil med hensyn til multiplikation med skalar Samlet er det dermed vist, at kernen for f er et underrum i V Andet punkt Vi skal vise, at billedrummet f (V) opfylder stabilitetskravene Antag, at vektorerne b og b 2 tilhører billedrummet, b f (V) og b 2 f (V), og at k er en vilkårlig skalar Der findes ifølge definition 80 vektorer x V og x 2 V, som opfylder f (x ) = b og f (x 2 ) = b 2 Vi skal vise, at der findes et x V, så f (x) = b + b 2 Det gør der, da vi blot kan tage x = x + x 2, for så gælder: f (x) = f (x + x 2 ) = f (x ) + f (x 2 ) = b + b 2 Hermed er det vist, at f (V) er stabil med hensyn til addition Vi skal nu på lignende måde vise, at der findes et x V, så f (x) = kb Vi vælger x = kx, så der gælder f (x) = f (kx ) = k f (x ) = kb, hvoraf det fremgår, at f (V) er stabil med hensyn til multiplikation med skalar Samlet er det vist, at begge stabilitetskrav er opfyldt, så f (V) er et underrum i W Men hvorfor er det så interessant, at kernen og billedrummet for en lineær afbildning er underrum? Svaret er, at det bliver enklere at beskrive dem, når vi ved, at de har

11 enote 8 84 KERNE OG BILLEDRUM vektorrumsegenskaber, og dermed på forhånd kender deres struktur Særligt elegant er det, når vi kan bestemme kernen og billedrummet ved at angive en basis for dem Dette forsøger vi i de næste to eksempler Eksempel 82 Bestemmelse af kerne og billedrum En lineær afbildning f : R 3 R 2 er givet ved forskriften f (x, x 2, x 3 ) = (x + 2x 2 + x 3, x 2x 2 x 3 ) (8-2) Bestem kernen ker( f ) og billedrummet f (R 3 ) for f Det er givet, at f er lineær, så det behøver vi ikke at undersøge Bestemmelse af kernen Vi skal løse ligningen [ f (x) = 0 x + 2x 2 + x 3 x 2x 2 x 3 ] = [ ] 0 (8-3) 0 Dette er et lineært ligningssystem bestående af to ligninger med tre ubekendte Det har totalmatricen [ ] [ ] T = trap(t) = Vi ser, at ligningssystemet har løsningsmængden x 2 x 2 = t + t 2 0, t, t 2 R x 3 0 Løsningsmængden er udspændt af to lineært uafhængige vektorer Vi kan derfor konkludere, at kernen for f er et 2-dimensionalt underrum i definitionsrummet R 3, som kan beskrives ved en basis En basis for kernen er : ( ( 2,, 0), (, 0, ) ) Der er altså en hel plan af vektorer i rummet, som ved indsættelse i forskriften giver billedet 0 Denne basis angiver dem alle Bestemmelse af billedrummet Vi skal finde alle de resulterende vektorer (billeder) b = (b, b 2 ), for hvilke følgende ligning har en løsning: [ f (x) = b x + 2x 2 + x 3 x 2x 2 x 3 ] [ ] b = (8-4) b 2

12 enote 8 84 KERNE OG BILLEDRUM 2 Bemærk, at det ikke er x, x 2 og x 3, vi leder efter, som vi ellers plejer i sådan et ligningssystem Derimod er det højresidens b og b 2, som vi vil bestemme netop i de tilfælde, hvor der ér løsninger! For når systemet har løsninger for en bestemt højreside, så må denne højreside være med i billedmængden, som vi netop leder efter Det lineære ligningssystem har totalmatricen og trappeformen [ ] [ ] 2 b 2 b T = trap(t) = 2 b b + b 2 Hvis b + b 2 = 0, altså hvis b = b 2, har ligningssystemet uendeligt mange løsninger Hvis derimod b + b 2 = 0, er der ingen løsninger Alle de b = (b, b 2 ) R 2, som er billeder af mindst ét x R 3, skal altså opfylde b = b 2 Vi kan betragte b 2 som en fri parameter, og løsningsmængden kan opskrives som [ b b 2 ] [ ] = t Vi konkluderer, at f (V) er et -dimensionalt underrum i R 2, som kan beskrives ved en basis En basis for billedrummet er : ( (, ) ) Eksempel 83 Bestemmelse af kerne og billedrum I eksempel 88 blev det vist, at afbildningen f : P 2 (R) R givet ved forskriften f ( P(x) ) = P () (8-5) er lineær Kernen for f består af alle andengradspolynomier, der har billedet 0, altså alle dem, der opfylder P () = 0 Grafen for to, der opfylder dette, er vist på figuren Bestem kernen og billedrummet for f Y O X

13 enote 8 85 AFBILDNINGSMATRIX 3 Bestemmelse af kernen Idet P (x) = 2ax + b, får vi, at P ker( f ) hvis og kun hvis det vil sige hvis og kun hvis P () = 2a + b = 0, b = 2a Et andengradspolynomium tilhører derfor kernen for f, hvis og kun hvis det har forskriften P(x) = ax 2 2ax + c = a (x 2 2x) + c Vi ser, at kernen er udspændt af de to lineært uafhængige polynomier x 2 2x og, og konkluderer, at ( x 2 2x, ) er en basis for kernen Mht monomiebasen svarer det til, at kernen har basen ((0, 2, ), (, 0, 0)) Hermed er ker( f ) bestemt Bestemmelse af billedrummet For ethvert k R findes der andengradspolynomier P, som opfylder P () = k Det gør for eksempel P(x) = 0x 2 + kx + 0 = kx Vi konkluderer, at billedrummet er f ( P 2 (R) ) = R 85 Afbildningsmatrix Alle lineære afbildninger fra et endeligt-dimensionalt definitionsrum V til et endeligt dispositionsrum W lader sig beskrive ved hjælp af en afbildningsmatrix Forudsætningen er blot, at der vælges en basis for både V og W, og at vi overgår fra vektorregning til regning med vektorernes koordinater med hensyn til de valgte baser Den store fordel ved dette setup er, at vi kan opstille generelle regnemetoder for alle lineære afbildninger mellem endeligt-dimensionale vektorrum Det ser vi på senere i afsnit 86 Men nu drejer det sig om, hvordan man opstiller afbildningsmatricer Lad A være en reel eller kompleks (m n)-matrix Vi betragter en afbildning f : L n L m, som er beskrevet ved et matrix-vektorprodukt: f(x) = A x (8-6) Ved at benytte regneregler for matrixprodukt, se sætning 33, opnår vi for ethvert valg af x, x 2 R n og enhver skalar k: f (x + x 2 ) = A (x + x 2 ) = Ax + Ax 2 = f (x ) + f (x 2 ) f (kx ) = A (kx ) = k(a x ) = k f (x ) Vi ser, at afbildningen opfylder linearitetsbetingelserne L og L 2 Enhver afbildning af formen (8-6) er derfor lineær

14 enote 8 85 AFBILDNINGSMATRIX 4 Eksempel 84 Udtrykket Matrix-vektor produkt som lineær afbildning y y 2 y 3 2 = [ x x 2 ] = x + 2x 2 3x + 4x 2 5x + 6x 2 angiver en lineær afbildning fra vektorrummet R 2 til vektorrummet R 3 Men også det modsatte gælder: Enhver lineær afbildning mellem endeligt-dimensionale vektorrum kan skrives som et matrix-vektorprodukt på formen (8-6), hvis vi erstatter x og y med deres koordinater med hensyn til en valgt basis i definitionsrummet henholdsvis dispositionsrummet Dette viser vi i det følgende Vi betragter en lineær afbildning f : V W, hvor V er et n-dimensionalt og W et m-dimensionalt vektorrum, se figur 88 V med dim = n W med dim = m f x y = f(x) a-basis: (a, a 2,, a n ) c-basis: (c, c 2,, c m ) Figur 88: Lineær afbildning For V er der valgt en basis a og for W en basis c Det betyder, at en given vektor x V kan skrives som en unik linearkombination af a-basisvektorerne, og at billedet y = f (x) kan skrives som en unik linearkombination af c-basisvektorerne: x = x a + x 2 a x n a n og y = y c + y 2 c y m c m Det betyder, at (x, x 2,, x n ) er koordinatsæt for x med hensyn til a-basis, og at (y, y 2,, y m ) er koordinatsæt for y med hensyn til c-basis Vi stiller nu spørgsmålet: Hvordan kan vi beskrive relationen mellem a-koordinatvektoren for vektor x V og c-koordinatvektoren for billedvektoren y? Vi er med andre ord på

15 enote 8 85 AFBILDNINGSMATRIX 5 jagt efter relationen mellem cy = y x y 2 og x 2 ax =, y m x n hvor a x skal omformes til c y ved en lineær afbildning f Denne relation udvikler vi igennem de følgende omskrivninger, hvor vi først ved hjælp af L og L 2 får opskrevet y som en linearkombination af billederne af a-vektorerne: y = f ( a x) = f (x a + x 2 a x n a n ) = x f (a ) + x 2 f (a 2 ) + + x n f (a n ) Herefter fortsætter vi ved at undersøge koordinatvektoren for y med hensyn til c-basis, idet vi først bruger koordinatsætningen, se sætning 735, og derefter definitionen på matrixvektor-produkt, se definition 37 cy = c ( x f (a ) + x 2 f (a 2 ) + + x n f (a n ) ) = x c f (a ) + x 2 c f (a 2 ) + + x n c f (a n ) = [ c f (a ) c f (a 2 ) c f (a n ) ] ax Matricen [ c f (a ) c f (a 2 ) c f (a n ) ] i den sidste ligning kaldes afbildningsmatricen for f med hensyn til a-basis i V og c-basis i W Vi har hermed opnået dette vigtige resultat: Koordinatvektoren c y kan findes ved, at man ganger afbildningsmatricen med koordinatvektoren a x En afbildning kan dermed gennemføres blot ved et matrix-vektorprodukt! Resultaterne opsummerer vi nu i det følgende Definition 85 Afbildningsmatrix Lad f : V W være en lineær afbildning fra et n-dimensionalt vektorrum V til et m-dimensionalt vektorrum W Ved afbildningsmatricen for f med hensyn til basis a i V og basis c i W forstås (m n)-matricen cf a = [ c f (a ) c f (a 2 ) c f (a n ) ] (8-7) Afbildningsmatricen for f består dermed af koordinatvektorerne med hensyn til basis c for billederne af de n basisvektorer i basis a

16 enote 8 85 AFBILDNINGSMATRIX 6 Bemærk, at der benyttes samme notation for en afbildningsmatrix, cf a, som for en basisskiftematrix, c M a Mens en basisskiftematricen består af a- basisvektorerne i c-koordinater, består afbildningsmatricen af a-basisvektorernes billeder i c-koordinater Hovedopgaven for en afbildningsmatrix er naturligvis at kunne bestemme billeder i W af vektorer i V, og den legitimeres af den følgende sætning, som er en opsummering af undersøgelserne ovenfor Sætning 86 Hovedsætning om afbildningsmatrix Lad V være et n-dimensionalt vektorrum med valgt basis a og W et m-dimensionalt vektorrum med valgt basis c For en lineær afbildning f : V W gælder, at hvis y = f (x) er billedet af en vilkårlig vektor x V, så gælder der: cy = c F a a x, (8-8) hvor c F a er afbildningsmatricen for f med hensyn til basis a i V og basis c i W 2 Antag omvendt, at billederne y = g(x) for en afbildning g : V W kan fås på koordinatform ved cy = c G a a x, (8-9) hvor c G a L m n Så er g lineær, og c G a er afbildningsmatricen for g med hensyn til basis a i V og basis c i W Herefter følger tre eksempler på opstilling og elementær brug af afbildningsmatricer

17 enote 8 85 AFBILDNINGSMATRIX 7 Eksempel 87 Opstilling og brug af afbildningsmatrix Drejning af plane vektorer afsat ud fra origo er et enkelt eksempel på en lineær afbildning, se opgave 84 Lad v være en vilkårlig vinkel, og lad f være den lineære afbildning, der drejer en vilkårlig vektor vinkel v omkring origo mod uret, se figur 89 f(x) j O v i x Figur 89: Lineær drejning omkring origo Vi ønsker at bestemme afbildningsmatricen for f med hensyn til standardbasen for vektorer i planen Vi har derfor brug for billederne af basisvektorerne i og j, se figur 80 f(j) j v O f(i) v i Figur 80: Bestemmelse af afbildningsmatrix Det ses, at f (i) = (cos(v), sin(v)) og f (j) = ( sin(v), cos(v)) Den ønskede afbildningsmatrix er derfor [ ] cos(v) sin(v) ef e = [ e f (i) e f (j)] = sin(v) cos(v) Koordinaterne for billedet y = f (x) af en given vektor x fås dermed ud fra formlen [ ] [ ][ ] y cos(v) sin(v) x ey = e F e e x = sin(v) cos(v) y 2 x 2

18 enote 8 85 AFBILDNINGSMATRIX 8 Eksempel 88 Opstilling og brug af afbildningsmatrix I et 3-dimensionalt vektorrum V er der valgt en basis a = (a, a 2, a 3 ), og i et 2-dimensionalt vektorrum W er der valgt en basis c = (c, c 2 ) En lineær afbildning f : V W opfylder, at f (a ) = 3c + c 2, f (a 2 ) = 6c 2c 2 og f (a 3 ) = 3c + c 2 (8-20) Vi ønsker at finde billedet ved f af vektoren v = a + 2a 2 + a 3 V Vi har altså fået vektoren i a-koordinater, a v = (, 2, ) Vi finder billedet ved hjælp af afbildningsmatricen c F a, der netop afbilder fra et rum med basis a til et rum med basis c Afbildningsmatricen, som derfor skal indeholde i V s a-basisvektorers billeder i c-koordinater, opstilles nemt, da vi allerede fra (8-20) kender billederne af basisvektorerne: cf a = [ c f (a ) c f (a 2 ) c f (a 3 ) ] = [ 3 6 ] 3 2 Da v har koordinatsættet (, 2, ) med hensyn til basis a, finder vi koordinatvektoren for billedet f (v) således: c f (v) = c F a a v = [ Vi har hermed fundet billedet som f (v) = 2c 2c 2 ] 2 = [ ] 2 2 Eksempel 89 Opstilling og brug af afbildningsmatrix En lineær afbildning f : R 4 R 3 er givet ved x + 2x 2 + x 4 f (x, x 2, x 3, x 4 ) = 2x x 2 + 2x 3 x 4 x 3x 2 + 2x 3 2x 4 (8-2) Bestem afbildningsmatricen for f med hensyn til standardbasis e i R 4 og standardbasis e i R 3 Find desuden billedet af vektoren x = (,,, ) Først finder vi billederne af de fire basisvektorer i R 4 ved hjælp af forskriften (8-2): f (, 0, 0, 0) = 2, f (0,, 0, 0) = 0 f (0, 0,, 0) = 2, f (0, 0, 0, ) =

19 enote 8 86 OM BRUG AF AFBILDNINGSMATRICER 9 Vi kan nu opstille afbildningsmatricen for f : 2 0 ef e = 2 2 (8-22) Vi vil nu finde billedet y = f (x) af den givne vektor x = (,,, ) Til rådighed har vi naturligvis forskriften (8-2), men vi vælger at finde billedet ved hjælp af afbildningsmatricen: 2 0 ey = e F e e x = 2 2 = Vi har hermed fundet y = f (,,, ) = (4, 2, 2) Opgave I planen er der givet et sædvanligt (O, i, j)-koordinatsystem Spejling af stedvektorer i linjen y = 2 x er en lineær afbildning; lad os kalde den s Bestem s(i) og s(j), opstil afbildningsmatricen e S e for s, og bestem et udtryk for spejlingen af en vilkårlig stedvektor v med koordinaterne (v, v 2 ) med hensyn til standardbasen Figur 8 indholder nogle hints til bestemmelse af s(i) Gå frem på tilsvarende vis med s(j) Y 2 2 y = ½ x j O s(i) t t i P E X s(j) Figur 8: Spejling af standardbasisvektorer 86 Om brug af afbildningsmatricer Afbildningsmatricer er et meget nyttigt redskab Det tillader os at oversætte spørgsmål om lineære afbildninger mellem vektorrum til spørgsmål om matricer og koordinatvektorer, som vi umiddelbart kan regne på Metoderne forudsætter blot, at der er valgt en

20 enote 8 86 OM BRUG AF AFBILDNINGSMATRICER 20 basis i hvert af vektorrummene, og at den afbildningsmatrix, som hører til de to baser, er opstillet Sådan kan vi reducere spørgsmål af så forskellig karakter som at finde polynomier med visse egenskaber, at finde resultatet af en geometrisk konstruktion og at løse differentialligninger, til spørgsmål der kan undersøges ved hjælp af matrixalgebra Som gennemgående eksempel i dette afsnit ser vi på en lineær afbildning f : V W, hvor V er et 4-dimensionalt vektorrum med valgt basis a = (a, a 2, a 3, a 4 ), og hvor W er et 3-dimensionalt vektorrum med valgt basis c = (c, c 2, c 3 ) Afbildningsmatricen for f er 3 8 cf a = (8-23) At finde kernen for f Når man skal finde kernen for f, skal man finde alle x V, som afbildes i 0 W Det vil sige, at man skal løse vektorligningen f (x) = 0 Denne ligning er ifølge sætning 86 ensbetydende med matrixligningen cf a a x = c x x 2 x 3 x 4 = 0 0, 0 som svarer til det homogene lineære ligningssystem med totalmatricen: T = trap(t) = Det ses, at løsningsmængden er udspændt af to lineært uafhængige vektorer i V mht basis a, som vi kalder v og v 2 : av = ( 2,,, 0) og a v 2 = (, 3, 0, ) (v, v 2 ) er dermed en basis for kernen for f, og kernen for f har dimensionen 2 Pointen er, at antallet af ubekendte n = 4 i det løste ligningssystem pr definition er lig med antallet af søjler i c F a, som igen er lig med dim(v), se definition 85 Endvidere

21 enote 8 86 OM BRUG AF AFBILDNINGSMATRICER 2 bemærkes det, at ligningssystemets koefficientmatrix er identisk med c F a Hvis rangen af koefficientmatricen er k, ved vi, at løsningsmængden og dermed kernen er udspændt af (n k) lineært uafhængige retningsvektorer, hvor k er rangen af koefficientmatricen Derfor har vi: dim(kernen) = n ρ ( c F a ) = 4 2 = 2 Metode 82 Bestemmelse af kernen I et vektorrum V er der valgt en basis a, og i et vektorrum W er der valgt en basis c Kernen for en lineær afbildning f : V W kan i koordinatform findes som løsningsmængden for det homogene lineære ligningssystem, som har totalmatricen T = [ cf a c 0 ] Kernen er et underrum i V, og dens dimension er bestemt ved: dim( ker( f ) ) = dim(v) ρ ( c F a ) (8-24) 862 At løse vektorligningen f (x) = b Hvordan kan man afgøre, om en vektor b W, som ligger i dispositionsrummet, også tilhører billedrummet for en given lineær afbildning? Spørgsmålet er, om der findes (mindst) et x V, som afbildes i b Og spørgsmålet kan udvides til, hvordan man kan bestemme alle de x V med denne egenskab, som afbildes i b Vi betragter igen den lineære afbildning f : V W, der er repræsenteret af afbildningsmatricen (8-23), og vælger som eksempel den vektor b W, som har c-koordinaterne (, 2, 3) Vi skal løse vektorligningen f (x) = b Regner vi i koordinater, svarer vektorligningen til følgende matrixligning: cf a a x = c b, hvilket vil sige matrixligningen x x 2 x 3 x 4 = 2, 3

22 enote 8 86 OM BRUG AF AFBILDNINGSMATRICER 22 som svarer til et inhomogent lineært ligningssystem med totalmatricen 3 8 T = , der ved GaussJordan-elimination reduceres til trap(t) = Da rangen af totalmatricen her er større end rangen af koefficientmatricen, har det inhomogene ligningssystem ingen løsninger Vi har altså fundet en vektor i W, som ingen originalvektor har i V Bemærk, at hvis der havde været løsninger, så kunne den skrives op på strukturformen L inhom = x 0 + L hom Det vil i denne sammenhæng sige en partikulær løsning plus kernen for f Metode 822 Løsning af vektorligningen f (x) = b I et vektorrum V er der valgt en basis a og i et vektorrum W er der valgt en basis c For en lineær afbildning f : V W, og en egentlig vektor b W kan ligningen f (x) = b løses ved hjælp af det inhomogene lineære ligningssystem, som har totalmatricen T = [ cf a c b ] Hvis der findes løsninger, og x 0 er én af disse løsninger, kan hele løsningsmængden opskrives som x 0 + ker( f ) 863 At bestemme billedrummet Vi har tidligere fundet, at billedrummet for en lineær afbildning er et underrum i dispositionsrummet, se sætning 8 Hvordan kan dette underrum afgrænses og beskrives? Vi betragter igen den lineære afbildning f : V W, der er repræsenteret af afbildningsmatricen (8-23) Da der er valgt basen (a, a 2, a 3, a 4 ) for V, kan vi opskrive samtlige

23 enote 8 86 OM BRUG AF AFBILDNINGSMATRICER 23 vektorer i V på én gang: x = x a + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4, idet vi tænker os at x, x 2, x 3 og x 4 gennemløber alle tænkelige kombinationer af reelle værdier Men så kan samtlige billeder i W af vektorer i V opskrives ved f (x) = f (x a + x 2 a 2 + x 3 a 3 + x 4 a 4 ) = x f (a ) + x 2 f (a 2 ) + x 3 f (a 3 ) + x 4 f (a 4 ), hvor vi har brugt L og L 2, og hvor vi fortsat tænker os, at x, x 2, x 3 og x 4 gennemløber alle tænkelige kombinationer af reelle værdier Men så er f (V) = span { f (a ), f (a 2 ), f (a 3 ), f (a 4 ) } Billedrummet udspændes altså af a-basisvektorernes billeder! Men så kan vi ifølge metode 754 bestemme en basis for billedrummet ved at finde de ledende -taller i trappeformen af [ cf(a ) cf(a 2 ) cf(a 3 ) cf(a 4 ) ] Dette er jo afbildningsmatricen for f med hensyn til de valgte baser 3 8 cf a = , 3 4 som ved GaussJordan-elimination reduceres til 0 2 trap( c F a ) = Til de to ledende -taller i trap( c F a ) svarer de to første søjler i c F a Vi konkluderer derfor: Lad w og w 2 være de to vektorer i W, som er bestemt ved c-koordinater, således: cw = c f (a ) = (, 2, ) og c w 2 = c f (a 2 ) = (3, 0, ) Så er (w, w 2 ) en basis for billedrummet f (V)

24 enote 8 87 DIMENSIONSSÆTNINGEN 24 Metode 823 Bestemmelse af billedrummet I et vektorrum V er der valgt en basis a, og i et vektorrum W er der valgt en basis c Billedrummet f (V) for en lineær afbildning f : V W kan findes ud fra trap( c F a ) (8-25) på følgende måde: Hvis der ( i den i te søjle i (8-25) ikke er et ledende -tal, så fjernes f (a i ) fra vektorsættet f (a ), f (a 2 ),, f (a n ) ) Efter denne udtynding udgør vektorsættet en basis for f (V) Da antallet af ledende -taller i (8-25) er lig med antallet af basisvektorer i den valgte basis for f (V), følger det, at dim( f (V)) = ρ ( c F a ) (8-26) 87 Dimensionssætningen I det foregående afsnits metode 82 fandt vi følgende udtryk for dimensionen af kernen for en lineær afbildning f : V W : dim( ker( f ) ) = dim(v) ρ ( c F a ) (8-27) og i metode 823 et tilsvarende udtryk for dimensionen af billedrummet f (V) : dim( f (V)) = ρ ( c F a ) (8-28) Ved at sammensætte (8-27) og (8-28) opnås en bemærkelsesværdig enkel sammenhæng mellem definitionsrummet, kernen og billedrummet for en lineær afbildning i den følgende sætning Sætning 824 Dimensionssætningen Lad V og W være to endeligt-dimensionale vektorrum For en lineær afbildning f : V W gælder: dim(v) = dim( ker( f ) ) + dim ( f (V) )

25 enote 8 87 DIMENSIONSSÆTNINGEN 25 Bevis Beviset medtages i næste opdatering af enoten Her er nogle umiddelbare konsekvenser af sætning 824: Billedrummet for en lineær afbildning kan aldrig have højere dimension end definitionsrummet Hvis kernen kun indeholder 0-vektoren, bevarer billedrummet definitionsrummets dimension Hvis kernen har dimensionen p > 0, så forsvinder der gennem afbildningen p dimensioner Opgave 825 En lineær afbildning f : R 3 R 3 har med hensyn til standardbasen i R 3 afbildningsmatricen 2 ef e = Det oplyses, at kernen for f har dimensionen Find straks ved hovedregning en basis for f (V) og dimensionen af f (V) Opgave 826 I rummet er der givet et sædvanligt (O, i, j, k)-koordinatsystem Afbildningen p projicerer stedvektorer ned i (x, y)-planen i rummet, se figur 82 Z k O i j v Y p(v) X Figur 82: Projektion ned i (x, y)-planen

26 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS 26 Vis, at p er lineær, og opstil afbildningsmatricen e P e for p Bestem en basis for projektionens kerne og billedrum Tjek, at dimensionssætningen er opfyldt 88 Ændring af afbildningsmatricen når der skiftes basis I enote 7 er det vist, hvordan en vektors koordinater skifter, når der skiftes basis i vektorrummet, se metode 746 Vi indleder dette afsnit med at repetere de vigtigste pointer og vise to eksempler Antag, at der i V er givet en a-basis (a, a 2,, a n ), og at der vælges en ny b-basis (b, b 2,, b n ) i V Hvis en vektor x har b-koordinatvektoren b x, så kan dens a-koordinatvektor udregnes ved matrixvektor-produktet hvor basisskiftematricen a M b er givet ved av = a M b b v, (8-29) am b = [ ab a b 2 ab n ] (8-30) Vi viser nu to eksempler på brug af (8-30) I det første er det de nye koordinater, der er givne, hvorefter de gamle beregnes I det andet er det omvendt: de gamle kendes, og de nye bestemmes Eksempel 827 Fra nye koordinater til gamle I et 3-dimensionalt vektorrum V er der givet en basis a = (a, a 2, a 3 ), hvorefter der vælges en ny basis b bestående af vektorerne b = a a 3, b 2 = 2a 2a 2 + a 3 og b 3 = 3a + 3a 2 a 3 Bestem koordinatvektoren a x for x = b + 2b 2 + 3b 3 Først ser vi, at Herefter får vi 2 3 bx = 2 og a M b = (8-3) ax = a M b b x = = 5 (8-32) 3 2

27 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS 27 Eksempel 828 Fra gamle koordinater til nye Først ser vi, at I et 2-dimensionalt vektorrum W er der givet en basis c = (c, c 2 ), hvorefter der vælges en ny basis d bestående af vektorerne d = 2c + c 2 og d 2 = c + c 2 Bestem koordinatvektoren d y for y = 0c + 6c 2 cy = [ ] 0 6 og c M d = [ ] [ ] 2 d M c = ( c M d ) = (8-33) 2 Herefter får vi dy = d M c c y = [ 2 ][ ] 0 = 6 [ ] 4 (8-34) 2 Vi går nu videre med at se, hvordan en afbildningsmatrix ændres, når der skiftes basis i definitionsrummet og/eller dispositionsrummet For to vektorrum V og W med endelig dimension kan afbildningsmatricen for en lineær afbildning f : V W kun opstilles, når der er valgt en basis i V og en basis i W Med afbildningsmatricens symbol c F a viser vi netop, at dens grundlag er en given basis a i V og en given basis c i W Ofte ønsker man at skifte basen i V eller basen i W I det første tilfælde ændres koordinaterne for de vektorer x V, der skal afbildes, mens koordinaterne for deres billeder y = f (x) er uforandrede I det andet tilfælde er det omvendt Her er koordinaterne for x de samme, mens billedets koordinater skifter Hvis der skiftes basis i både V og W, så ændres koordinaterne både for x og for y = f (x) I de følgende underafsnit opstilles metoder til at finde den nye afbildningsmatrix for f, når der skiftes basis i definitionsrummet, dispositionsrummet eller begge Først viser vi, hvordan en vektors koordinater skifter, når der skiftes basis i vektorrummet (som nærmere beskrevet i metode 746)

28 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS Basisskifte i definitionsrummet V med dim = n W med dim = m f x y = f(x) b-basis: (b, b 2,, b n ) a-basis: (a, a 2,, a n ) c-basis: (c, c 2,, c m ) Figur 82: Lineær afbildning På figur 82 er der givet en lineær afbildning f : V W, som med hensyn til basis a i V og basis c i W har afbildningsmatricen c F a Vi skifter nu basis i V fra basis a til basis b Afbildningsmatricen for f skal nu ændres til c F b, før den kan tage imod vektorer i basis b Lad os finde den Ligningen oversættes til koordinater og omformes: y = f (x) cy = c F a a x = c F a ( a M b b x) = ( c F a a M b ) b x Heraf kan vi udlede, at afbildningsmatricen for f med hensyn til basis b i V og basis c i W kan dannes ved matrixproduktet cf b = c F a a M b (8-35) Eksempel 829 Ændring af afbildningsmatrix Vi betragter det 3-dimensionale vektorrum V, som er behandlet i eksempel 827, og det 2-dimensionale vektorrum W som er behandlet i eksempel 828 En lineær afbildning f : V W er givet ved afbildningsmatricen cf a = Bestem y = f (x), hvor x = b + 2b 2 + 3b 3 Vi afprøver to forskellige veje [ ]

29 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS 29 Metode Vi bruger a-koordinaterne for x som fundet i (8-32): cy = c F a a x = [ ] 4 5 = 2 [ ] 0 6 Metode 2 Vi ændrer afbildningsmatricen for f vha basisskiftematricen fra (8-3): [ ] 2 3 [ ] cf b = c F a a M b = = Så kan vi direkte bruge de givne b-koordinater for x : cy = c F b b x = I begge tilfælde får vi y = 0c + 6c 2 [ 2 2 ] 2 = 3 [ ] Basisskifte i dispositionsrummet V med dim = n W med dim = m f x y = f(x) d-basis: (d, d 2,, d m ) a-basis: (a, a 2,, a n ) c-basis: (c, c 2,, c m ) Figur 83: Lineær afbildning På figur 83 er der givet en lineær afbildning f : V W, som med hensyn til basis a i V og basis c i W har en afbildningsmatrix c F a Vi skifter nu basis i W fra basis c til basis d Afbildningsmatricen for f skal nu i stedet være d F a Lad os finde den Ligningen y = f (x)

30 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS 30 oversættes til matrixligningen som er ensbetydende med hvoraf fås cy = c F a a x, dm c c y = d M c ( c F a a x), dy = ( d M c c F a ) a x Heraf udleder vi, at afbildningsmatricen for f med hensyn til a-basis i V og d-basis i W dannes ved et matrixprodukt: df a = d M c c F a (8-36) Eksempel 830 Ændring af afbildningsmatrix Vi betrager det 3-dimensionale vektorrum V, som er behandlet i eksempel 827, og det 2-dimensionale vektorrum W som er behandlet i eksempel 828 En lineær afbildning f : V W er givet ved afbildningsmatricen cf a = [ ] Givet vektoren x = 4a + 5a 2 2a 3 Bestem billedet y = f (x) som en linearkombination af d og d 2 Vi afprøver to forskellige veje Metode Vi bruger den givne afbildningsmatrix, cy = c F a a x = [ ] 4 5 = 2 [ ] 0, 6 og oversætter resultatet til d-koordinater ved hjælp af basisskiftematricen fra (8-33): [ ][ ] [ ] 0 4 dy = d M c c y = = Metode 2 Vi ændrer først afbildningsmatricen for f ved hjælp af basisskiftematricen fra (8-33): [ ][ ] [ ] df a = d M cc F a = = Så kan vi direkte udregne d-koordinaterne: dy = d F a a x = [ ] 4 5 = 2 [ ] 4 2

31 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS 3 I begge tilfælde får vi y = 4d + 2d Basisskifte i både definitions- og dispositionsrummet V med dim = n W med dim = m f x y = f(x) b-basis: (b, b 2,, b n ) d-basis: (d, d 2,, d m ) a-basis: (a, a 2,, a n ) c-basis: (c, c 2,, c m ) Figur 84: Lineær afbildning På figur 84 er der er givet en lineær afbildning f : V W som med hensyn til basis a i V og basis c i W har afbildningsmatricen c F a Vi skifter basis i V fra basis a til basis b og i W fra basis c til basis d Afbildningsmatricen for f være d F b Lad os finde den Ligningen y = f (x) svarer i koordinater til som er ensbetydende med hvoraf fås cy = c F a a x, dm c c y = d M c ( cf a ( a M b b x) ), dy = ( d M c c F a a M b ) b x Heraf udleder vi, at afbildningsmatricen for f med hensyn til b-basis i V og d-basis i W dannes ved et matrixprodukt: df b = d M c c F a a M b (8-37)

32 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS 32 Eksempel 83 Ændring af afbildningsmatrix Vi betrager det 3-dimensionale vektorrum V, som er behandlet i eksempel 827, og det 2-dimensionale vektorrum W, som er behandlet i eksempel 828 En lineær afbildning f : V W er givet ved afbildningsmatricen cf a = [ ] Givet vektoren x = b + 2b 2 + 3b 3 Bestem y = f (x) som en linearkombination af d og d 2 Vi ændrer afbildningsmatricen ved hjælp af (8-33) og (8-3): df b = d M c c F a a M b = [ 2 ][ ] = [ ] Så kan vi direkte bruge de givne b-koordinater for x og udregne d-koordinaterne: dy = d F b b x = Konklusionen er, at y = 4d + 2d 2 [ ] 2 = 3 [ ] 4 2 Basisskiftet viser sig i dette eksempel at være ganske praktisk Den nye afbildningsmatrix er langt simplere end de tilsvarende for andre baser fra de forrige eksempler 884 Opsummering vedrørende basisskifte Vi samler resultaterne vedrørende basisskifte i de foregående underafsnit i den følgende metode

33 enote 8 88 ÆNDRING AF AFBILDNINGSMATRICEN NÅR DER SKIFTES BASIS 33 Metode 832 Ændring af afbildningsmatrix ved basisskifte I vektorrummet V er der givet en basis a = (a, a 2,, a n ) og en ny basis b = (b, b 2,, b n ) I vektorrummet W er der givet en basis c = (c, c 2,, c m ) og en ny basis d = (d, d 2,, d m ) Hvis f er en lineær afbildning f : V W, som med hensyn til basis a i V og basis c i W har afbildningsmatricen c F a, så gælder: Afbildningsmatricen for f med hensyn til basis b i V og basis c i W er cf b = c F a a M b (8-38) 2 Afbildningsmatricen for f med hensyn til basis a i V og basis d i W er df a = ( c M d ) cf a = d M c c F a (8-39) 3 Afbildningsmatricen for f med hensyn til basis b i V og basis d i W er df b = ( c M d ) cf a a M b = d M c c F a a M b (8-40) I de tre formler har vi brugt basisskiftematricerne: am b = [ ab a b 2 ab n ] og c M d = [ cd c d 2 cd m ]

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor enote 6 1 enote 6 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang

Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lineær Algebra, 2015 1. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg September 2015 Velkommen til Lineær algebra Kursusholder - Lisbeth Fajstrup. Kontor: Fredrik

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Elektriske netværk Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Indledning. Formålet med projektet er at anvende lineær algebra til at etablere det matematiske grundlag for elektriske netværk betstående af

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 2013 2. runde esvarelser som falder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemaerne, bedømmes ved analogi så skridt med tilsvarende

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere