Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Save this PDF as:
Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:"

Transkript

1 Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk: Geometri, Differentialregning og sandsynlighedsregning. Funktionsundersøgelse - optimering En funktionsundersøgelse består typisk i at bestemme: - definitionsmængde - nulpunkter og fortegn for f(x) - nulpunkter og fortegn for f'(x) - monotoniforhold - lokale ekstrema - værdimængde - asymptoter - tabel over funktionsværdier - graf Det er slet ikke altid, at alle disse undersøgelser er påkrævet. Det afhænger af det konkrete problem, hvilke undersøgelser der er relevante. Rækkefølgen behøver heller ikke at følge ovenstående opstilling. For eksempel vil en bestemmelse af nulpunkter og fortegn for f ofte være nemmere efter en monotoniundersøgelse. Denne, sammen med en skitse af grafen, viser antallet af nulpunkter og hvilke startværdier man bør vælge i forbindelse med en numerisk bestemmelse af nulpunkterne. Angående krav til metode og dokumentation i forbindelse med nulpunktsbestemmelse, bestemmelse af monotoniforhold, bestemmelse af asymptoter og tegning af graf samt anvendelse af grafregneren henvises til Vejledende eksamensopgaver i matematik. Definitionsmængde Hvis intet er anført om definitionsmængden, er det forudsat at definitionsmængden er den mest omfattende delmængde af de reelle tal, for hvilken forskriften har mening. Nulpunkter og fortegn for f(x) Ved bestemmelse af en funktions fortegn kræves der en undersøgelse af funktionens nulpunkter efterfulgt af en begrundelse for fortegnene. Hvis nulpunkterne bestemmes numerisk ved hjælp af grafregneren skal der argumenteres for at alle nulpunkter er fundet og en skitse af grafen skal foreligge som dokumentation. Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Sætning om monotoni - forhold Hvis f er en differentiabel funktion i et interval I gælder: f'(x) > 0 for alle x I f er voksende i I f'(x) < 0 for alle x I f er aftagende i I f'(x) = 0 for alle x I f er konstant i I

2 Bemærk at hvis f er voksende i I kan vi slutte at f'(x) 0 for alle x og hvis f er aftagende i I kan der sluttes at f'(x) 0 for alle x Side 22 Sætning om lokalt ekstremum Hvis f er differentiabel i x og har lokalt ekstremum i x gælder der at f'(x) = 0 Bemærk at det omvendte ikke gælder. Der kan f.eks. være vendetangent i punktet. METODE til bestemmelse af monotoniforhold : Antag at f er differentiabel med kontinuert afledet i et interval. Da bestemmes monotoniforholdet for f således: 1) Beregn f'(x) 2) Løs f'(x) = 0 3) Tegn en tallinie med nulpunkterne for f'(x) afsat på linien. De deler således tallinien op i nogle delintervaller ( monotoni intervallerne ). 4) Da f'(x) er forudsat kontinuert har f'(x) konstant fortegn i disse intervaller. Find fortegnet for f'(x) i intervallerne ved at indsætte et tal fra intervallet i f'(x). 5) Brug sætningen om monotoniforholdet til at opskrive monotoniintervallerne. Lokale ekstrema: Ifølge sætningen om lokalt ekstremum er f'(x) = 0 i disse punkter. Der er følgende mulige fortegnsvariationer: x x 0 f'(x) + 0 Lokalt maksimum x x 0 f'(x) 0 + Lokalt minimum x x 0 f'(x) 0 Vendetangent x x 0 f'(x) Vendetangent

3 Side 23 Værdimængde: Antag f er differentiabel i et interval. Fra tidligere sætninger ved vi at værdimængden er et interval, og at maksimum og minimum skal søges blandt punkter, hvor f'(x) er nul og eventuelle endepunkter i intervallet. Hvis definitionsintervallet ikke er lukket og begrænset, skal der foretages en grænseværdi undersøgelse for f(x). Asymptoter: Ved bestemmelse af asymptoter vil det være tilstrækkeligt at begrunde eksistensen af en asymptote ved henvisning til sætninger om asymptotiske forhold. Der findes 3 typer asymptoter: vandrette, lodrette og skrå asymptoter. Skrå asymptoter skal ikke behandles i undervisningen og vil ikke komme til at optræde i opgaver. Graf: Der skal forelægge en tabel over funktionsværdier som dokumentation for et grafisk billede. Du må selvfølgelig gerne bruge lommeregneren til at udfærdige en tabel. Når vendingen skitsér grafen anvendes, er det tilstrækkeligt at henvise til, at grafen er tegnet ud fra lommeregnerens display. Optimering: Nulpunktsbestemmelse. Skriftligt arbejde : Planlægning - et klassisk eksempel på optimering. Metode til løsning af optimeringsproblemer. Indfør en parameter ( variabel ), således at den størrelse der skal optimeres kan udtrykkes som en differentiabel funktion af parameteren. Løsning af problemet bliver så at finde største - eller mindsteværdi for en differentiabel funktion. Ligningen f(x) = 0 kan løses på forskellig måde 1) Eksakt løsning I mange tilfælde kan de eksakte løsninger bestemmes. Det gælder f.eks. når f(x) er lineær eller et andengradspolynomium. Det er OK med en aflæsning på graf efterfulgt af en kontrol. Det vil være en hurtig og nem metode, hvis nulpunkterne for f er "pæne" værdier og man således aflæser i gitterpunkter i koordinatsystemet. 2) Numerisk løsning Der er i det væsentlige 3 metoder med grafregneren a) Tegning af graf og anvendelse af faciliteten CALC b) Tegning af graf og anvendelse af faciliteten TRACE c) Benyt grafregnerens Solver funktion. Metoderne er beskrevet i eksempel 25 side 148 i bogen.

4 Afledet funktion. Side 24 Hvis f er differentiabel i sin definitionsmængde kaldes f (x) den afledede funktion. Hvis f er differentiabel kaldes dens afledede funktion for den anden afledede og betegnes med f (x) ( f dobbeltmærke). Følgende sætning kan være nyttig: Hvis f (x) > 0 i et interval er grafen opad hul i intervallet. Hvis f (x) <0 i et interval er grafen for f nedad hul i intervallet. og hermed fås: Hvis f (x 0 ) = 0 og f (x 0 ) < 0 er x 0 et lokalt maksimumspunkt Hvis f (x 0 ) = 0 og f (x 0 ) > 0 er x 0 et lokalt minimumspunkt. Stamfunktioner Definition af stamfunktioner Lad f være defineret i et interval I. En funktion F siges at være stamfunktion til f, hvis F er differentiabel i I, og der gælder: F (x) = f(x) for alle x I Der er arbejdet med bestemmelse af stamfunktioner for en række elementære funktioner. På side 155 i bogen findes en oversigt over stamfunktioner og de afledede funktioner til de mest almindelige funktioner. Bemærk at stamfunktionen til 1/x ikke er med i tabellen. Der gælder at en stamfunktion til x n er 1 n+1 xn+1 for alle n forskellig fra 1. Man kan vise at alle kontinuerte funktioner har en stamfunktion og dermed også funktionen f(x) = 1. Men hvad er det for en funktion?? x Hvis en funktion f har en stamfunktion, har den uendelig mange stamfunktioner. Der gælder følgende sætning: Sætning om stamfunktioner Mængden af stamfunktioner til en funktion f er givet ved: G(x) = F(x) + k hvor k R og F er en stamfunktion til f Hvis f har en stamfunktion F i et interval I, x 0 I og y 0 R, så findes præcis én stamfunktion til f, hvis graf indeholder punktet ( x 0,y 0 ). Der er arbejdet med eksempler på bestemmelse af konstanten k, når man kender et punkt på grafen for F.

5 Man kan vise at en hver kontinuert funktion har en stamfunktion. Side 25 At det er rigtigt, kan man få en ide om ved at se på arealet under en kontinuert positiv funktion: Ovenstående graf er grafen for f(x) = 1 x, x>0 ln(x) defineres som : arealet af punktmængden mellem grafen og 1.aksen i intervallet [1;x] for x > 1 minus arealet af punktmængden mellem grafen og 1.aksen i intervallet [x;1] for 0<x <1 og ln(1) = 0 Det kan vises, at ln(x) er differentiabel og ln (x) = 1 x Altså er ln(x) den stamfunktion til 1, hvis værdi i 1 er 0. x Eksponentialfunktioner Definition af eksponential - funktion En eksponentialfunktion er en funktion med forskriften: f(x) = a x, x R hvor a > 0 og a 1 I 1.g blev en eksponentiel vækst defineret som en funktion med forskriften f(x) = b a x. Med andre ord er en eksponentialfunktion en eksponentiel vækst med konstanten b = 1.

6 Side 26 Egenskaber og regnegler for eksponentialfunktioner Alle eksponentialfunktioner opfylder at: 1) f(0) = 1 dvs a 0 = 1 2) D m (f) = R og V m (f) = R 3) f er monoton, aftagende for 0 < a < 1 og voksende for a > 1 4) a > 1 : a x for x og a x 0 for x 0 < a < 1: a x 0 for x og a x for x 5) a x a y = a x + y x,y R a x /a y = a x y, specielt er a 0 = 1 og a y = 1/a y x,y R (a x ) y = a x y x,y R a p/q = q a p p Z, q N Bemærk: Ovenstående regneregler bevirker at man med eksponentialfunktionen med grundtal a får en udvidelse af potensbegrebet. ( lær dem udenad!!! ) Sætning om differentialkvotient f(x) = a x er differentiabel og f '(x) = f '(0) a x Sætning om differentialkvotient Definition af den naturlige eksponentialfunktion f(x) = a x er differentiabel og f '(x) = f '(0) a x Den naturlige eksponentialfunktion, er den eksponentialfunktion med f '(0) = 1 Grundtallet betegnes med e og vi får specielt fra ovenstående sætning (e x ) ' = 1 Bemærk at vi fra reglen om sammensat differentiation får at (e kx ) ' = k e kx

7 Side 27 Logaritmefunktioner Da alle eksponentialfunktioner er monotone og dermed injektive, har de en omvendt funktion. Disse funktioner kaldes logaritmefunktioner Definition af logaritmefunktioner Den omvendte funktion til a x kaldes logaritmefunktionen med grundtal a Den omvendte funktion til e x kaldes den naturlige logaritmefunktion og betegnes med ln(x),og den omvendte funktion til 10 x kaldes 10-tals logaritmen og betegnes med log(x). I litteraturen kan man se følgende betegnelser for funktionerne: e x = exp(x) og 10 x = antilog(x) Bemærk at vi har følgende nyttige formler direkte fra definitionen: ln(e x ) = x log(10 x ) = x og e ln(x) = x 10 log(x) = x Da logaritmefunktionerne er omvendte funktioner til eksponentialfunktionerne fås følgende egenskaber ( her formuleret for den naturlige logaritmefunktion ) Egenskaber og regneregler for logaritmefunktioner Lad ln være en logaritmefunktion. Der gælder da: 1) D m (ln) = R + og V m (ln) = R 2) ln er differentiabel 3) ln er monoton 4) ln(1) = 0 5) x,y R + : ln(x y) = ln(x) + ln(y) 6) x,y R + : ln(x/y) = ln(x) ln(y) specielt ln(1/y) = ln(y) 7) n N, x R + : ln( n x) = 1 n ln(x) 8) r R, x R + : ln(x r ) = r ln(x)

8 Side 28 Beviserne for ovenstående regneregler følger direkte af egenskaberne for eksponentialfunktionerne. Regnereglerne 5) - 8) blev vist i 1.g for 10-talslogaritmen, og beviset er en gentagelse fra den gang. Beviset for regnereglerne følger samme metode: 1) skriv udsagnet der skal vises 2) anvend funktionen e x på begge sider af lighedstegnet 3) reducer eller omskriv udsagnet ved at bruge regneregler for eksponentialfunktioner. 4) Konkluder at når det sidste udsagn er sandt, er det oprindelige det også ( ) Eksempel: ln(x y) = ln(x) + ln(y) e ln(x y) = e ln(x) + ln(y) da e x er injektiv e ln(x y) = e ln(x) 10 ln(y) da e x e y = e x + y for alle x,y R x y = x y da e ln(x) = x for alle x Q.E.D. Ligninger hvor der indgår eksponentialfunktioner eller logaritmefunktioner Logaritmefunktionen bruges blandt andet til at løse ligninger af form: b a x = k hvor k er et positivt tal Differentialkvotienter: Differential-kvotient af a x (a x ) ' = ln(a) a x Differential-kvotient af ln(x) og log(x) ln'(x) = 1 x log'(x) = 1 ln(10) 1 x Den eksponentielle vækstmodel Vi har tidligere set at eksponentielle funktioner kan bruges som model for populationsvækst.. Ligningen f '(x) = k f (x) er et eksempel på en differentialligning - teorien om differentialligninger skal vi senere beskæftige os med. Ligningen udtrykker at væksthastigheden er ligefrem proportional populationens størrelse. Løsningerne til ovenstående differentialligning er netop funktionerne b e kx.

9 Væksthastigheden for eksponentiel vækst angives ofte ved fordoblings - eller halveringskonstanten. Side 29 formler for fordoblings - og halveringskonstanter f(x) = b a x = b e kx T 2 = ln(2) ln(a) = ln(2) k T ½ = ln(2) ln(a) = ln(2) k En nyttig lille formel for sammenhæng mellem vækstrate og fordoblingskonstant fås af det approksimerende førstegradspolynomium for ln(x) ud fra x 0 = 1: y = f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 ) giver y = ln(1) + ln'(1)(x 1) y = x 1 Vi får da T 2 = ln(2) ln(a) ln(2) (a 1) 0,7 r for a tæt på 1 Altså T 2 70 vækstraten i procent Sandsynlighedsregning Lov og tilfældighed Forskellige eksempler på stokastiske eksperimenter. Eksperimenterne adskiller sig fra de deterministiske, hvor udfaldet helt er bestemt ud fra nogle forudsætninger (begyndelsesbetingelser). I et stokastisk eksperiment er udfaldet uforudsigeligt, men det indtræffer med en vis sandsynlighed. Denne lovmæssighed er illustreret ved nogle stokastiske eksperimenter: Simulering af kast med en terning på en computer. - Erfaringen viser, at vi skal op på over en million kast inden frekvensen for en sekser er 16,67 % (1/6) med to decimaler. Chevalier de Meré s berømte terningspil ( simulering på computer) "Andejagt " ( simulering på computer ) TV - konkurrencen " 2 geder og en Volvo " ( simulering på computer og eksperiment ) Kast med en tegnestift. På grundlag af et eksperiment med mange kast blev sandsynligheden, for at tegnestiften lander med spidsen opad, fastlagt til 57 %. Formålet med statistik og sandsynlighed er at beskrive og vurdere stokastiske eksperimenter og afdække lovmæssigheder i et talmateriale (adskille det "regelmæssige" fra det "tilfældige"). Stokastisk Variabel Definition Et eksperiment hvis udfald i en eller anden forstand er tilfældigt kaldes et stokastisk eksperiment. En stokastisk variabel er en variabel, der til ethvert udfald i et stokastisk eksperiment knytter en værdi. f(x)f

10 Side 30 I modsætning til et stokastisk eksperiment, kaldes et eksperiment, hvis udfald er forudsigeligt og kan beregnes forud, deterministisk. Til et stokastisk eksperiment knytter vi en MODEL, der beskriver hvilke udfald eksperimentet kan resultere i, og hvor hyppigt vi forventer at udfaldene forekommer. I modellen kaldes de forventede frekvenser for sandsynligheder. Eksempler på benyttelse af statistiske beregninger til bestemmelse af sandsynligheder - frekventielle sandsynligheder. eksempler: Kast med tegnestift Computersimulering Eksempler på sandsynligheder, der er logisk begrundede - Priori-sandsynligheder. eksempler: Møntkast Sammenfaldende fødselsdage Terningkast Lotto, Tipning og spil i det hele taget. Definition af et sandsynlighedsfelt Et sandsynlighedsfelt består af : En mængde U (mængden af samtlige udfald i et eksperiment - U kaldes udfaldsrummet ) En sandsynlighedsfunktion P fra U til intervallet [0;1] Det betyder at der til ethvert udfald u U er knyttet et tal P(u) ( en sandsynlighed ) imellem nul og én. Det skal være opfyldt at summen sandsynlighederne for samtlige udfald i udfaldsrummet er 1. En stokastisk variabel defineret på et sandsynlighedsfelt er en variabel, der til ethvert udfald u, knytter et tal X(u) R Ved en hændelse A forstås en delmængde af U. Sandsynligheden for en hændelse er summen af sandsynlighederne for de udfald der udgør hændelsen og betegnes med P(A). Mængden { u U X(u) = t } er således en hændelse og sandsynligheden for hændelsen betegnes kort med P( X = t). Sandsynlighederne for de værdier, som X kan antage, kaldes sandsynlighedsfordelingen for X.

11 Side 31 Symmetrisk sandsynlighedsmodel Hvis alle sandsynlighederne er lige store kaldes modellen en symmetrisk sandsynlighedsmodel. Sandsynligheden for en hændelse i en symmetrisk sandsynlighedsmodel udregnes ved - at tælle hvor mange udfald der er i alt ( de "mulige" udfald i udfaldsrummet ) - at tælle hvor mange udfald der giver det ønskede (de "gunstige" udfald der udgør hændelsen) Sandsynligheden bliver så p = antal gunstige udfald antal mulige udfald Bemærk at denne formel kun kan bruges, hvis udfaldsrummet er symmetrisk! Eksempler på sandsynlighedsmodeller: En sandsynlighedsmodel kan angives ved hjælp af en tabel ( sandsynlighedsfordeling) : u u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 P(u) 0,15 0,05 0,20 0,5 0,10 0,30 0,15 Udfaldsrummet er U = { u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7 } Hændelsen A = { u 2, u 3, u 6 } har sandsynligheden P(A) = P(u 2 ) + P(u 3 ) + P(u 6 ) = 0,05 + 0,20 + 0,30 = 0,55 Eksempel på symmetrisk sandsynlighedsmodel Kast med to terninger Ved kast med to terninger er der 36 mulige udfald. Hændelsen "summen af øjnene er 8" findes lettes ved at skrive summen af øjnene ind i et skema: Ved at tælle de gunstige for hændelsen, ses det at sandsynligheden er p = 5 36

12 Side 32 Regneregler for regning med hændelser: 1) Den umulige hændelse Ø P(Ø) = 0 2) Den sikre hændelse U P(U) = 1 3) " enten A eller B " A B: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 4) " både A og B " A B: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5) " A, men ikke B" A\B: P(A) PA B) 6) "ikke A " (komplementære) A : P( A ) = 1 P(A) Bemærk at regel 6 ofte kan benyttes med fordel - jf. eksemplet med sammenfaldende fødselsdage og Chevalier de Merés terningspil. Middelværdi for en stokastisk variabel : Middelværdien af en stokastisk variabel, X, betegnes E(X) eller µ, og udregnes som: E(X) = u U P(u) E(X) = t 1 P(X = t 1 ) + t 2 P(X = t 2 ) +.+ t k P(X = t k ) k E(X) = tp(x= t) i= 1 i i hvor t 1,t 2,.t k er de værdier, som X kan antage. Varians og spredning for en stokastisk variabel. Variansen af en stokastisk variabel, X, betegnes VAR(X) eller σ 2, og udregnes som: VAR(X) = E( (X µ ) 2 ) VAR(X) = (t 1 µ) 2 P(X = t 1 ) + (t 2 µ) 2 P(X = t 2 ) +.+ (t k µ) 2 P(X = t k ) k VAR(X) = (t - µ) 2 P(X = t ) i= 1 Spredningen betegnes som σ(x) og defineres som: σ(x) = VAR(X) i i

13 Anvendelse af TI-83 til beregning af middeltal og spredning: Side 33 Observationsværdierne og hyppighederne ( eller frekvenserne ) indtastes i hhv. liste L 1 og L 2. I undermenuen CALC i menuen STAT vælges 1-Var Stats L 1, L 2. Eksemplet er opgave 177 side 337: Middelværdien beregnes til x = 0,975 og spredningen til σx = 1,8606 Kombinatorik Ved optælling af antal muligheder i valgproces er der to principper: Multiplikationsprincippet ( både - og princippet ) Additionsprincippet ( enten - eller princippet ) Ved multiplikationsprincippet skal antallet af valgmuligheder ved en delproces være uafhængigt af de foregående valg. Hvis dette ikke er tilfældet, deles der op i forskellige tilfælde, og additionsprincippet anvendes. Multiplikationsprincippet kan gøres anskuelig v.h.a. et tælletræ. Fakultet n! = n (n 1) (n 2) ! = 1 pr. definition n! er antallet af måder, hvorpå en mængde på n elementer kan ordnes (sættes i rækkefølge). Permutationer P(n,r) ( eller P n,r ) kan beregnes som : n! P(n,r) = (n r)! P(n,r) er det antal ordnede r - delmængder af en n - mængde. ( antal måder der kan udtages r elementer fra en mængde på n elementer og sætte dem i rækkefølge.

14 Kombinationer - Binomialkoefficienter Side 34 K(n,r) ( eller K n,r ) kan beregnes som : n! K(n,r) = (n r)! r! K(n,p) er antallet af måder, hvorpå man kan udtage en delmængde på p elementer af en mængde på n elementer ( uden hensyn til rækkefølgen) Tallene K(n,p) kaldes binomialkoefficienter og betegnes i litteraturen ofte som n p Regneregler for binomialkoefficienter: 1) K(n,0) = 1 K(n,1) = n K (n,2) = 2) K(n,r) = K(n, n r) n (n 1) 2 (benyttes til hovedregning) 3) K(n,0) + K(n,1) + K(n,2) + + K(n,n) = 2 n 4) K(n,r) = K(n 1,r 1) + K(n 1,r) Regnereglerne kan vises direkte fra formlen for K(n,r) eller ved hjælp af valgprocedurer. Disse regler viser sig indirekte i Pascal s trekant: sum : (=2 6 ) Beregning på TI-83 n! P n,r npr K n,r ncr Findes alle under MATH PRB

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Oktober-december 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: k12gymabu1n2 Oversigt over gennemførte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår forår 2019, eksamen maj-juni 2019 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse STX Fag og niveau Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2-årig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder center for uddannelse Højvangens

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2016 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau B Peter Harremoës GSK hold: t16gymabu1o1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb.

Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Handelsgymnasiet Ribe HHX Matematik

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder center for uddannelse Højvangens

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv 2 8660 Skanderborg Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Videndjurs - Handelsgymnasium Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår19, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår efterår 17, eksamen dec. 17 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold e-hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik B Henrik Laursen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2017 Institution Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv 2 8660 Skanderborg Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2016-2017 Institution Svendborg Erhvervsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B 1. år: H1D: Ole Grünbaum 2. år: Folmer Laursen HH216MATB3 Valgholdet

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Anne Birte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår18, eksamen S18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Termin maj-juni 17/18 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC HF Matematik B,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens Torv 2 8660 Skanderborg Uddannelse

Læs mere

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE

UNDERVISNINGSBESKRIVELSE UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2015-2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Øvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i

Øvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i 1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018-19 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Frederiksberg Hf-kursus 2hf Matematik C, hf

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018, skoleåret 17/18 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår efterår 16, eksamen december 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stam til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 19 Institution Business College Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Winnie Bjørn Mosegaard

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Funktioner.

Mike Vandal Auerbach. Funktioner. Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,

Læs mere

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 08/09 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Sanne Schyum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Vestegnen HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Leif Djurhuus,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Videndjurs - Handelsgymnasium Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2015 Institution VID Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse (SCU)

Læs mere