Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni Indhold 1. 1 Indledning 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3"

Transkript

1 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt Divegens og Cul af E-felte Elektisk potential Randbetingelse Abejde og Enegi i elektostatik Ledee Kapacito Specielle teknikke Laplaces Ligning Billede-metoden Sepaation af de vaiable Multipol ekspansion Elektiske felte i stof Polaisation Det elektiske felt af et polaiseet objekt Den elektiske foskydning Lineæ Dielekticitet Magnetostatik Loentz Kaften Biot-Savats lov Divegens og Cul af B Magnetisk vektopotentiale Randbetingelse Multipol ekspansion af Vektopotentiale

2 INDHOLD 6 Magnetiske Felte i Stof Magnetiseing Det magnetiske felt i et magnetiseet objekt Hjælpefeltet H Lineæe magnetiske mateiale Elektodynamik Den elektomotoiske kaft Elektomagnetisk Induktion Maxwells ligninge Bevaelseslove Ladning og enegi Elektomagnetiske bølge bølge Bølge i en dimension Polaisation Elektomagnetiske bølge i vakuum Elektomagnetiske bølge i stof Refleksion og tansmission af lys Elektomagnetiske bølge i ledee Guidede bølge Potentiale og felte Gauge Tansfomatione Kontinuete fodelinge og etadeede potentiale Punktladninge Ståling Dipolståling

3 1. Indledning 3 1 Indledning Lang og kedelig indledning du alligevel ikke læse. Elektostatik.1 Det elektiske felt I elektostatik e det fundamentale postulat Coulomb s lov, de give kæften på ladningen Q fa ladningen q med afstanden mellem sig på Heudfa kan man finde det elektiske felt da F = 1 qq ˆ (.1) 4πɛ 0 F = QE (.) så hvis man ha en mænge af n punktladninge blive det samlede elektiske felt E() = 1 4πɛ 0 n q i i=1 i ˆi (.3) Ha man i stedet kontinuete ladninge blive E-feltet udtyk ved et integal i stedet. Fo en ladningsfodeling λ langs en linje E() = 1 λ( ) 4πɛ ˆdl (.4) 0 og fo en ovefladeladning P E() = 1 σ( ) 4πɛ 0 S ˆda (.5) og VIGTIGST fo en volumenladning ρ ha vi E() = 1 ρ( ) 4πɛ ˆdτ (.6) 0. Divegens og Cul af E-felte He ha vi gauss lov de sige at den elektiske flux Φ E = S E da afhænge af den indesluttede ladning, dvs den ladning de ligge inde i S E da = Q encl (.7) ɛ 0 S Dette kan ofte buges til at finde E-feltet, specielt hvis de e smate symmetie de kan buges. Dette medføe også Gauss lov i diffeentialfom V E = 1 ɛ 0 ρ (.8)

4 .3. Elektisk potential 4 Kigge man på et lukket linje-integal i E-feltet se man at E dl = 0 (.9) hvilket medføe at E = 0 (.10).3 Elektisk potential Nå det elektiske felt e otationsfit kan man skive det som gadienten af en potentialefunktion og man kan udegne det elektiske potentiale E = V (.11) V () = O E dl (.1) hvo O e et valgt nulpunkt fo potentialet. Vælges typisk til at væe uendeligt. Sammensætte man nu cul og divegensligningen fo E-feltet få man Poissons ligning og nå ρ = 0 ha man Laplaces ligning V = ρ ɛ 0 (.13) V = 0 (.14) hvilket give gode måde at egne potentialet på. Mee om dette senee. Kigge man nu blot på en enkelt ladning se man at V () = 1 q 4πɛ 0 (.15) og hvis man ha en volumenladning V () = 1 ρ( ) dτ (.16) 4πɛ 0 V.4 Randbetingelse Ha man en ovefladeladning med ladningen σ vil E-feltet påvikes af denne. Foskellen på feltet ove og unde e givet ved E above E below = 1 ɛ 0 σ (.17) E above E below = 0 (.18)

5 .5. Abejde og Enegi i elektostatik 5 Potentialet ændes dog ikke ved en ovefladeladning dvs men da E = V få vi V above = V below (.19) hvo V n = V ˆn V above n V below n = 1 ɛ 0 σ (.0).5 Abejde og Enegi i elektostatik Fo en samling punktpatikle e ind i en konfiguation skal de buges følgende enegi (hvis V = 0 i uendelig) W = 1 n q i V ( i ) (.1) i=1 Ha man en kontinuet distibution i stedet ha man at enegien af hele systemet e W = 1 ρv dτ (.) V og fo en linje- og ovefladeladning ha man 1 λv dl og 1 σv da. Man kan også omskive dette til W = ɛ 0 E dτ (.3) all space hvo E = E E. Bemæk desuden at man ved den sidste fomel egne HELE enegien i et system, men man i ligning (.1), kun egne enegien de buges på at samle systemet. Ha man nu to systeme med enegi W 1 og W og med elektisk felt E 1 og E ha man at den samlede enegi e W tot = W 1 + W + ɛ 0 E 1 E dτ (.4).6 Ledee all space Inde i en elektisk lede e E = 0 og ρ = 0. Det betyde at enhve ladning se på ovefladen. Desuden e en lede et equipotential. Dvs at V e konstant ind i ledeen. Kigge man lige uden fo en lede e E-feltet vinkelet på ovefladen. Ha man en ovefladeladning på en tynd lede kan man snakke om elektisk kaft hepå fa et E-felt de blive lagt ove. Dvs at det elektisk tyk på ovefladen e elle udtyk ved feltet lige uden fo ovefladen f = 1 ɛ 0 σ ˆn (.5) P = ɛ 0 E (.6)

6 .7. Kapacito 6.7 Kapacito Snakke man ledee må kan også snakke om kapacitoe. Ha man to lede med ladningene +Q og Q med potetialefoskellen V vil kapaciteten af systemet væe givet ved C = Q V (.7) Man kan så oplade en kapacito med ladningen Q = CV og enegien dette kæve e W = 1 CV (.8) 3 Specielle teknikke 3.1 Laplaces Ligning Det gælde he om at løse Laplaces ligning fo at finde potentialet V, da ρ = 0 næsten ovealt. Så vi ha I én dimension give dette os V = 0 (3.1) V (x) = mx + b (3.) hvo konstantene m og b bestemmes ud fa andbetingelsene. Ha vi to dimensione ikke lige til men vi ha at i et punkt (x, y) e potentialet middelvædien af det omkingliggende potentiale og i te dimensione gælde det samme 3. Billede-metoden V (x, y) = 1 V dl (3.3) πr cicle V (x, y, z) = 1 4πR V da (3.4) sphee Da V e entydigt, betyde det at hvis man kan finde et V de opfylde gænsebetingelsene og som opfylde laplace-lov, så e det et gyldigt potentiale. Det kan buges hvis man ha ladning ovefo en ledende oveflade, hvo de så vil induceet ovefladeladning. Ved at spejle ladningen i ovefladen og kan poblemet løses nemmee.

7 3.3. Sepaation af de vaiable Sepaation af de vaiable I catetiske koodinate kan man kigge efte løsning på fomen hvilket ved løsning af Laplace-ligning medføe at så man få V (x, y) = X(x)Y (y) (3.5) X(x) = Ae kx + Be kx Y (y) = C sin ky + D cos ky (3.6) V (x, y) = (Ae kx + Be kx )(C sin ky + D cos ky) (3.7) Konstantene A, B, C og D bestemmes nu ud fa gænsebetingelsene. Det skal sige at man he ofte få noget med k = nπ a, pga cos og sin. Den geneelle vil væe en linea kombination af disse, hvis man ikke vha. gænsebetingelsene kan udelukke nogle af disse. Man kan lave det samme tick fo sfæiske koodinate, hvis de e φ-symmeti, hvo man finde den geneelle løsning V (, θ) = l=0 ( A l l + B l l+1 ) P l (cos θ) (3.8) Hvo P l e Legende polynomiene og konstantene A l og B l bestemmes ud fa gænsebetingelsene. Man kan se at ofte fosvinde A l elle B l, da potentiallet elles ville blive uendeligt i nogle af gænsene, hvilket ofte ikke ønskes. Husk i begge tilfælde at både sin, cos og legende polynomie e fuldstændige otonomalsæt, hvilket betyde at man kan buge Fouies Tick til at finde koefficiente. 3.4 Multipol ekspansion Kigge man på en ladningsfodeling V kan man opskives potentialet som V () = 1 4πɛ 0 n=0 1 n+1 ( ) n P n (cos θ )ρ( ) dτ (3.9) V Dette kaldes multipolekspansionen fo V, hvo n = 0-leddet e monopolleddet, n = e dipol, n = 3 e quadopol osv. Nå man e langt væk kan man negligee led af højee oden. Ofte e det laveste ikke-nul led en meget god appoksimation. Man se at monopoledet blive V mon () = 1 Q 4πɛ 0 (3.10)

8 4. Elektiske felte i stof 8 hvilket blot e det samme som en punktladning. Det ske dog at den samlede ladning e 0. He vil det væe dipol-leddet de dominee V dip () = 1 1 4πɛ 0 cos θ ρ( ) dτ (3.11) V Dipolmomentet fo en ladningsfodeling e givet ved så man kan skive potentialet som p = V ρ( ) dτ (3.1) V dip () = 1 4πɛ 0 p ˆ (3.13) Dipolmomentet fo en fodeling af ladninge kan skives som p = i=1 q i i den fysisk dipol ha man og fo p = qd (3.14) hvo d e afstandsvektoen mellem de to ladninge gående fa den negative til den positive. Man kan også egne E-feltet af en dipol E dip (, θ) = p 4πɛ 0 3 ( cos θ ˆ + sin θ ˆθ) (3.15) 4 Elektiske felte i stof 4.1 Polaisation Lægge man et elektisk felt ove et atom vil den have et dipolmoment p = αe (4.1) Det kan opfattes som en masse små dipole. Ha man en elektisk dipol p = qd vil denne i et elektisk felt blive og kæften på dipolene vil blive Man definee nu polaisationen af et mateiale som N = p E (4.) F = (p )E (4.3) P = elektisk dipolmoment pe volumen enhed (4.4)

9 4.. Det elektiske felt af et polaiseet objekt 9 4. Det elektiske felt af et polaiseet objekt Man kan finde potentialet fo et objekt med polaisationen P V = 1 σ b da + 1 ρ b dτ (4.5) 4πɛ 0 4πɛ 0 med den bundne ovefladeladningstæthed S V σ b = P ˆn (4.6) og den bundne ladningstæthed ρ b = P (4.7) 4.3 Den elektiske foskydning Inde i et dielektikum e den totale ladningtæthed ρ = ρ b + ρ f (4.8) Vi kan nu definee den elektiske foskydning D = ɛ 0 E + P (4.9) og få gauss lov fo stof elle på integalfom D = ρ f (4.10) D da = Q f,encl Vi kan nu finde andbetingelsene i tilfælde af en ovefladeladning. Så e D above D below = σ f (4.11) D above D below = P above P below (4.1) mens andbetingelsene fo E-feltet e pæcist det samme som tidligee nævnt. 4.4 Lineæ Dielekticitet Et mateiale kan væe lineæ dielektisk, hvis man ligge et E-felt ove få man polaisationen P = ɛ 0 χ e E (4.13) Hvilket betyde at D = ɛe (4.14) med ɛ = ɛ 0 (1 + χ e ). Man buge også nogle gange den elative pemabilitet ɛ = ɛ ɛ 0. Vi kan også finde enegien i et dielektisk system W = 1 D E dτ (4.15) all space

10 5. Magnetostatik 10 5 Magnetostatik 5.1 Loentz Kaften Hvis vi ha en ladning Q de bevæge sig med hastigheden v i et magnetisk felt B vil det påvikes af Loentz Kaften Hvis man også ha et E-felt e kaften F mag = Q(v B) (5.1) F = Q(E + v B) (5.) En vigtig ting at bemæke e at den magnetiske kaft udføe intet abejde. Ha man nu en støm, dvs. bevægende ladninge, langs en linje P, I = λv blive den magnetiske kaft F mag = P I(dI B) (5.3) Man snakke også ofte om stømtæthede J = di da, og så blive F mag = P J B dτ (5.4) En ting man se e at ligge man en flade S vil stømmen igennem denne væe og man se at I = S J da (5.5) J = ρ (5.6) 5. Biot-Savats lov Nå man ha en konstant støm e J = 0 og så fælde Biot-Savats lov B() = µ 0 I ˆ 4π P dl = µ 0 4π I dl ˆ P (5.7) og hvis man ha en volumen- elle ovefladestøm ha man B() = µ 0 J() ˆ 4π V dτ B() = µ 0 K() ˆ 4π S da (5.8)

11 5.3. Divegens og Cul af B Divegens og Cul af B Hvis man ha en lang lige lede med støm I kan man finde at B-feltet fo denne e B = µ 0I sπ ˆφ (5.9) Man kan så betagte en stømtæthed J, gennem en flade S med kanten P, som en bunke lige ledee og finde P B dl = µ 0 I encl hvilket gælde helt geneelt og vha. stokes sætning hvilket kendes som Ampees lov. Man kan også finde at B = µ 0 J (5.10) B = 0 (5.11) Hvilket i paksis medføe at de ikke findes nogle magnetiske monopole. 5.4 Magnetisk vektopotentiale Nå divegensen af B feltet e nul, kan man skive B feltet som B = A (5.1) hvo A kaldes fo vektopotentialet. Vi kan nu vælge divegensen af A som vi ha lyst og det e en fodel at vælge og så få man A = 0 (5.13) A = µ 0 J hvilket give A() = µ 0 4π V J( ) dτ (5.14) Dette kan også findes fo en line og ovefladestøm A = µ 0 4π P I dl = µ 0 4π I dl P A = µ 0 4π S K da (5.15)

12 5.5. Randbetingelse Randbetingelse Hvis man ha et tyndt stykke film, hvo de løbe en ovefladestøm K kan man kigge på B ove og unde filmem. Det vinkelette B-felt ænde sig ikke men det paallelle felt ænde sig hvilket kan samles til Vektopotentialet påvike ikke af ovefladestømmen B above = B below (5.16) B above B below = µ 0K (5.17) B above B below = µ 0 (K ˆn) (5.18) A above = A below (5.19) 5.6 Multipol ekspansion af Vektopotentiale man kan opskive vektopotentialet fo et stømloop som A() = µ 0 4π I 1 n+1 ( ) n P n (cos θ ) dl (5.0) n=0 Man se dog at føste led gå væk da dl = 0, så de e ikke magnetiske monopole. Så det domineende led blive dipol-leddet A dip () = µ 0I 4π cos θ dl = µ 0I 4π (ˆ )dl (5.1) elle skevet med det magnetiske dipolmoment m = I da = Ia (5.) få man A dip () = µ 0 m ˆ 4π (5.3) Betagte man nu en en magnetisk dipol de pege i z-etningen få man at A dip () = µ 0 m sin θ ˆφ (5.4) 4π og man få så det magnetiske felt til at blive B dip = µ 0m 4π 3 ( cos θ ˆ + sin θ ˆθ (5.5) 6 Magnetiske Felte i Stof 6.1 Magnetiseing Et stof kan magnetisees paamagnetisk, diamagnetisk og feomagnetisk. Paa ette sig ind i samme etning som et B-felt og dia ette sig modsat. Feo beholde

13 6.. Det magnetiske felt i et magnetiseet objekt 13 magnetiseing hele tiden. Fo en keds med dipolmoment m vil den påvikes af et kaftmoment N = m B (6.1) og ha man et infinitesimal-loop vil kaften den blive påvike med F = (m B) (6.) Hvilket f.eks. kunne væe et atom, som ha dipolmomentet Som nå de blive lagt et magnetfelt ove vil ænde sig m = 1 evrẑ (6.3) m = e R 4m e B (6.4) Man kan nu betagete et stof af en hel masse små dipole. Man definee defo magnetiseingen som M = magnetisk dipolmoment pe volumen enhed (6.5) 6. Det magnetiske felt i et magnetiseet objekt I et objekt med magnetiseingen M vil vektopotentialet væe B() = µ 0 M( ) ˆ 4π dτ (6.6) elle skevet op som A() = µ 0 4π V med den bundne volumenstøm V J b ( ) dτ + µ 0 4π S K( ) da (6.7) J b = M (6.8) og den bundne ovefladestøm K b = M ˆn (6.9) 6.3 Hjælpefeltet H Man kan definee hjælpefeltet H som H = 1 µ 0 B M (6.10) og så blive ampees lov H = J f (6.11)

14 6.4. Lineæe magnetiske mateiale 14 hvo J f e den fie stømtæthed. Denne kan også skives på integalfom H dl = I f,encl (6.1) P husk også at H = M (6.13) Randbetingelsene fo H sige H above H below = K f ˆn (6.14) 6.4 Lineæe magnetiske mateiale Ha man et lineæt magnetiske mateiale gælde M = χ m H (6.15) og B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ m )H = µh (6.16) hvilket medføe at inde i et homogent lineæt mateiale e J b = M = (χ m H) = χ m J f (6.17) 7 Elektodynamik 7.1 Den elektomotoiske kaft Vi ha Ohm s lov hvilket medføe at J = σe (7.1) V = IR (7.) hvo R σ. Fo konstante stømme og unifom konduktivitet gælde E = 1 σ J = 0 (7.3) De gælde også Joules vame lov, som e den effekt de gå tabt nå stømmen I løbe gennem modstanden R P = V I = I R (7.4) Ha vi nu et battei sluttet til en stømkeds P, vil den elektiske motoiske kaft, væe integalet af kaften, f s, som batteiet yde hele vejen undt E = f s dl (7.5) P

15 7.. Elektomagnetisk Induktion 15 Ha man nu f.eks. et pefekt battei (spændingsfoskel V ) vil den elektomotoiske kaft fa batteiet ene ende til den anden, dvs fa a til b, e V = E = b a f s dl = b a E dl (7.6) Man kan så finde at den elektimotoiske kaft fo en stømkeds i et B-felt blive E = dφ B dt (7.7) 7. Elektomagnetisk Induktion Faadays lov sige at E = B (7.8) Induktansen mellem to stømloop (1 og ) betegnes M 1 og e givet ved Neumann s fomel M = µ 0 4π 1 dl 1 dl ænde man så stømmen i loop 1 vil den elektimotoiske kaft i væe E = M di 1 dt (7.9) (7.10) Ænde man stømmen i et loop vil de også blive induceet en emf i loopet selv bestemt af selvinduktansen L, således at E = L di dt Man kan nu finde den enegi de tage at opbygge en støm I i en stømkeds (7.11) W = 1 LI (7.1) Løbe stømmen I i volumen V med stømtætheden J vil de væe et B-felt med vektopotentialet A og man kan finde enegi fa fø ud fa dette W = 1 (A J)dτ = 1 B dτ (7.13) µ Maxwells ligninge V all space E = 1 ɛ 0 ρ (7.14) B = 0 (7.15) E = B (7.16) E B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 (7.17)

16 8. Bevaelseslove 16 Dette e maxwell ligninge, hvo de i ampees lov (7.17) e tilføjet maxwells egen ettelse så de passe. Denne tilføjelse kaldes flytningsstømmen På integalfom blive ampees lov så J d = ɛ E B dl = µ 0 I encl + µ 0 ɛ 0 ( E Ha man stof gælde Maxwells ligning i stof (7.18) ) da (7.19) og på integalfom S S P P D = ρ f (7.0) B = 0 (7.1) E = B (7.) H = J f + D (7.3) D da = Q f,encl (7.4) B da = 0 (7.5) E dl = d dt Φ B (7.6) H dl = I f,encl + d dt Φ D (7.7) 8 Bevaelseslove 8.1 Ladning og enegi Da ladning skal bevaes gælde fo et lukket omåde med oveflade S at dq dt = J da (8.1) og helt geneelt gælde det at dρ = J (8.) dt Vi ved at enegien i et elektomagnetisk system e U em = 1 ( ɛ 0 E + 1 B ) dτ (8.3) µ 0 All Space Poyntings sætning sige nu: abejdet fa de elektomagnetiske kæfte e lig med faldet af enegi i systemet minus enegiflowet fa ovefalden. Dvs dw = du em S da (8.4) dt dt S S

17 9. Elektomagnetiske bølge bølge 17 hvo S e Poyntingvektoen givet ved S = 1 µ 0 (E B) (8.5) Lad nu u em = 1 ( ɛ 0 E + 1 µ 0 B ) (8.6) betegne den elektomagnetiske enegitæthed og u mech den mekaniske enegitætheden så gælde elationen (u mech + u em ) = S (8.7) sammenligninge man denne med (8.) se man at fomen e pæcist det samme og ligesom (8.) udtykke ladningsbevaelse så udtykke denne enegibevaelse. 9 Elektomagnetiske bølge bølge 9.1 Bølge i en dimension Bølge i en dimension kan beskives ved bølgeligningen og den beskive alle funktione på fomen f z = 1 v f (9.1) f(z, t) = g(z vt) + h(z + vt) (9.) hvo g e en bølge de bevæge sig i +z-etningen og h bevæge sig i z-etningen. Det kunne f.eks. væe en sinus kuve på fomen f(z, t) = A cos(kz ± ωt + δ) (9.3) Dette kan med fodel omskives til en kompleks funktion hvo à = Aeiδ. Den igtige bølgefunktion blive så f(z, t) = Ãei(kz ωt) (9.4) f(z, t) = Re( f(z, t)) (9.5) 9. Polaisation Kan man skive en bølge på fomen f(z, t) = Ãe i(kz ωt)ˆn (9.6) med ˆn ẑ = 0 siges bølgen at væe lineæt polaiseet i ˆn-etningen.

18 9.3. Elektomagnetiske bølge i vakuum Elektomagnetiske bølge i vakuum Ud fa Maxwells ligninge kan man udlede E = µ 0 ɛ 0 E hvilket svae til en bølgeligning med hastighed B = µ 0 ɛ 0 B (9.7) v = 1 ɛ0 µ 0 (9.8) som e lig med c, så man se at elektomagnetiske bølge e lys. Bevæge de elektomagnetiske bølge sig i én etning med fast vinkelfekvens og ingen xy-afhængighed e de monokomatiske planbølge og kan skives Ẽ(z, t) = Ẽ0e i(kz ωt) B(z, t) = B0 e i(kz ωt) (9.9) Det gælde også, ud fa Maxwells ligninge, at B 0 = 1 c (ẑ Ẽ0) (9.10) med ande od så e B vinkelet på E og begge ligge i xy-planen. I en elektomagnetiske bølge gælde de at enegitætheden e u = ɛ 0 E = ɛ 0 E 0 cos (kz ωt + δ) (9.11) og enegi flux densiteten e givet ved poyntingventoen S = 1 µ 0 cu ẑ (9.1) impulsen af bølgen blive P = 1 c S = 1 c u ẑ (9.13) og midle man så ove tid blive middelvædiene u = 1 ɛ 0E 0 S = 1 cɛ 0E 0 ẑ P = 1 c ɛ 0E 0 ẑ (9.14) Intensiteten af lys definees nu til middelvædien af poyntingvektoens vædi, dvs gennemsnitlig enegi pe aeal 9.4 Elektomagnetiske bølge i stof I = S = 1 cɛ 0E 0 (9.15) Lave man udledning fa Maxwellslininge i stof få man at også he vil elektiske og magnetiske felte udbede sig som bølge men nu med hastighed v = 1 ɛµ = c n (9.16)

19 9.5. Refleksion og tansmission af lys 19 med n = ɛµ ɛ 0 µ 0 (9.17) hvilket kaldes bydningsindex. I de fleste mateiale e µ µ 0 og så blive n ɛ. Intensiteten fo bølgen blive og ved ovegang fa et stof til et andet gælde selvfølgelig I = 1 ɛve 0 (9.18) ɛ 1 E1 = ɛ E E 1 = E (9.19) B1 = B 1 B 1 µ = 1 B 1 µ (9.0) 9.5 Refleksion og tansmission af lys De gælde 3 love fo efleksion og tansmission. Føste lov: Den indgående, den eflekteede og den tansmitteede bølgevekto dannet et plan, kaldet indfaldsplanen, hvoi nomalvektoen til ovefladen også ligge Anden lov: (også kaldet efleksionsloven) Den indgående vinkel e lig med efleksionsvinklen θ I = θ R (9.1) Tedje lov: (også kaldet Snells lov) sin θ T sin θ I = n 1 n (9.) hvo n 1 e bydningsindexet fo det mateiale lyset komme fa og n e det tansmittees ind i. Dette e alt man skal buge til at finde etningen af det eflekteede lys og det tansmitteede lys. Støelsene finde man ud fa Fesnels ligninge. Ha man lys polaiseet i indfaldsplanen gælde Ẽ 0R = ( α β α + β )Ẽ0I Ẽ 0T = ( )Ẽ0I (9.3) α + β Tansmissionkoefficientene e givet ved R = I ( R α β ) = (9.4) I I α + β T = I ( T ) = αβ (9.5) I I α + β Vi kan også have lyset polaiseet vinkelet på indfaldsplanen. Så gælde ( 1 αβ ( Ẽ 0R = )Ẽ0I Ẽ 0T = )Ẽ0I (9.6) R = I R I I = 1 + αβ ( 1 αβ 1 + αβ ) T = I T I I 1 + αβ ( = αβ 1 + αβ ) (9.7)

20 9.6. Elektomagnetiske bølge i ledee 0 Vi kan også kigge på specialtilfældet hvo θ I = θ R = θ T = 0 og µ 1 = µ = µ 0. Så gælde at ( n1 n Ẽ 0R = )Ẽ0I Ẽ 0T = n 1 + n R = I ( R n1 n ) = I I n 1 + n 9.6 Elektomagnetiske bølge i ledee ( n1 n + n 1 )Ẽ0I (9.8) T = I T I I = 4n 1n (n 1 + n ) (9.9) I en elektisk lede gælde Ohms lov J f = σe hvilket vil medføe at nå man lyse på ledeen vil ladningene flytte sig så ρ f (t) 0. Man kan så antage at ρ f = 0 og så bølgeligningene E = µɛ E de ha løsningene E + µσ B = µɛ B B + µσ (9.30) Ẽ(z, t) = Ẽ0e κz e i(kz ωt) B(z, t) = B0 e κz e i(kz ωt) (9.31) med [ ɛµ k = ω 1 + ( σ ) ] 1/ + 1 κ = ω ɛω ɛµ [ 1 + ( σ ) ] 1/ 1 (9.3) ɛω Disse to samles undetiden til k = k + iκ. Man kan nu definee skin dybden af et mateiale til at væe d = 1 (9.33) κ og man kan finde bydningsindex ved hjælp af k n = ck ω (9.34) Maxwells ligninge medføe også at det elektiske felt og det magnetiske felt blive fasefoskudt så ( δ B δ E = φ = tan 1 κ ) (9.35) k mens amplitudene mellem det elektiske og det magnetiske e givet ved B ( 0 σ ) = ɛµ 1 + (9.36) E 0 ɛω Sende man lys ind på en ledende oveflade vil de igen væe noget de blev eflekteet og nå de blev tansmitteet. Det vil opfylde hvo ( 1 β ( Ẽ 0R = )Ẽ0I 1 + β Ẽ 0T = )Ẽ0I 1 + β (9.37) β = µ 1v 1 µ ω k (9.38)

21 9.7. Guidede bølge 1 hvilket vil medføe at i en pefekt lede blive k = og så Ẽ0 R = Ẽ0 I og E 0T = 0, dvs at lyset blive 100% eflekteet med en fasefoskydning på 180. Tilslut skal vi lige have koncepte på plads. En bølges hastighed e givet ved v = ω k (9.39) Men hvis man sende en bølgepakke ind, så vil den ikke nødvendigvis bevæge sig med samme hastighed. He ha vi guppe hastigheden givet ved 9.7 Guidede bølge v h = dω dk (9.40) Hvis man ha en hul pefekt lede kan denne betagtes som en bølgeguide. Vi e inteesseet i bølge de bevæge sig inde i ledeen i ledeens etning (z-etningen), dvs bølge på fomen Ẽ(x, y, z, t) = Ẽ0(x, y)e i(kz ωt) B(x, y, z, t) = B0 (x, y)e i(kz ωt) (9.41) med Ẽ0 = E x (x, y)ˆx + E y (x, y)ŷ + E z (x, y)ẑ og lige ledes fo B. Det nye e he at vi ikke nødvendigvis ha tansvesale bølge (dvs z-komponentene e lig med 0). Geneelt skal bølge i en bølgeguide opfylde i ( E x = (ω/c) k k E z x + ω B ) z (9.4a) y i ( E y = (ω/c) k k E z y ω B ) z (9.4b) x i ( B x = (ω/c) k k B z x ω E ) z c (9.4c) y i ( B y = (ω/c) k k B z y + ω E ) z c (9.4d) x ( x + y + (ω/c) k ) E z = 0 (9.4e) ( x + y + (ω/c) k ) B z = 0 (9.4f) Ligningene blive væsentlig pænee hvis vi ha tansvesale bølge. Hvis B z = 0 ha vi TM (tansvesale magnetiske) bølge, e E z = 0 ha vi TE (tansvesale elektiske) bølge og nå både E z = 0 og B z = 0 ha vi TEM (tansvesale elektomagnetiske) bølge. Det vise sig dog at TEM bølge ikke kan eksistee i en hul bølgeguide. 10 Potentiale og felte 10.1 Gauge Tansfomatione I elektodynamik e den geneele løsning til Maxwellsligninge B = A E = V A (10.1)

22 10.. Kontinuete fodelinge og etadeede potentiale hvilket minde en smule om dem i elektostatik. Vekto potentialet og potentialet kan findes ud fa den dynamiske Poisson ligning og en ligning uden navn V + ( A) = 1 ɛ 0 ρ (10.) ( A ) ( V ) A µ 0 ɛ 0 A + µ 0 ɛ 0 = µ 0 J (10.3) hvilket egentlig e en lidt gim ligning med løse man de to ligninge kan kan finde alle felte til enhve situation. Man vi kan vælge A som vi ha lyst så længe V vælges tilsvaende. I Coulomb Gauge vælges hvilket betyde at man få V = 1 ɛ 0 ρ V (, t) = 1 4πɛ 0 A = 0 (10.4) V ρ(, t) dτ (10.5) Så he kan man nemt finde V. Ligningen fo A blive dog tilsvaende svæe at løse A µ 0 ɛ 0 A ( V ) = µ 0J + µ 0 ɛ 0 Coulomb Gauge buges ofte i fobindelse med patikelfysik Man kan også vælge Loentz Gauge. He vælge man (10.6) hvilket medføe A = µ 0 ɛ 0 V (10.7) A µ 0 ɛ 0 A = µ 0J V µ 0 ɛ 0 V = 1 ɛ 0 ρ (10.8) elle blot A = µ 0 J V = 1 ɛ 0 ρ (10.9) med d Alembetian = µ 0 ɛ 0. Loentz gauge buges ofte i elativistiske sammenhænge. 10. Kontinuete fodelinge og etadeede potentiale Man kan nu indføe den etadeede tid t = t c (10.10)

23 10.3. Punktladninge 3 og så få man vha. Loentz gauge at man kan skive potentialene som V (, t) = 1 4πɛ 0 V ρ(, t ) dτ A(, t) = µ 0 4π V og heudfa kan man udlede Jefimenkos ligninge og E(, t) = 1 [ ρ(, t ) 4πɛ 0 V 10.3 Punktladninge ˆ + ρ(, t ) c J(, t ) dτ (10.11) ˆ J( ], t ) c dτ (10.1) B(, t) = µ [ 0 J(, t ) 4π V + J( ], t ) ˆ dτ (10.13) c Hvis en punktladning bevæge sig med konstant hastighed blive feltene E(, t) = q 1 v /c ˆR 4πɛ ( 0 1 v sin θ/c ) 3/ R (10.14) B = 1 c E) = 1 (v E) (10.15) (ˆ c med R = vt. Disse educees nemt til det elektostatiske tilfælde hvis v c. 11 Ståling 11.1 Dipolståling Ståling e den enegi de blive sendt ud fa et elektomagnetisk system. Enegien de løbe ud gennem en kugle med adius e e givet ved P () = S da (11.1) og definees stålingsenegien til at væe P ad = lim R() (11.) Hvis man ha en oscilleende elektisk dipol med to ladningen q(t) = ±q 0 cos(ωt) vil de have et dipolmoment p = p 0 cos(ωt) ẑ med p 0 = q 0 d. Lave man nu appoksimationen d c ω blive potentialene V (, θ, φ) = p 0ω 4πɛ 0 c A(, θ, φ) = µ 0p 0 ω 4π ( cos θ ) sin(ω(t /c)) (11.3) sin(ω(t /c)) ẑ (11.4)

24 11.1. Dipolståling 4 og feltene blive E = µ 0p 0 ω 4π B = µ 0p 0 ω 4πc ( sin θ ( sin θ Denne gennemsnitlige intensitet og ståling blive så ) cos(ω(t /c))ˆθ (11.5) ) cos(ω(t /c))ˆφ (11.6) S = ( µ0 p 0 ω4 ) sin θ 3π c ˆ P = µ 0p 0 ω4 1πc (11.7) Ha man nu en AC støm I(t) = I 0 cos(ωt) i et lille loop med adius b vil det have magnetisk dipolmoment m(t) = m 0 cos(ωt) ẑ. Lave man igen antagelsene b c ω få man at skala potentialet fosvinde og hvilket give feltene A(, θ, φ) = µ 0m 0 ω ( sin θ sin(ω(t (c))ˆφ (11.8) 4πc E = µ 0m 0 ω 4πc B = µ 0m 0 ω 4π ( sin θ ( sin θ Man få så middelenegien og stålingen til at væe S = ) cos(ω(t /c))ˆφ (11.9) ) cos(ω(t /c))ˆθ (11.10) ( µ0 m 0 ω4 3π c 3 ) sin θ ˆ P = µ 0m 0 ω4 1πc 3 (11.11)

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Formelsamling. Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme

Formelsamling. Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme Formelsamling Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird...

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Noter til elektromagnetisme

Noter til elektromagnetisme Noter til elektromagnetisme Martin Sparre www.logx.dk 20-06-2007 1 Elektrostatik Coloumbs lov F Q = 1 qq r r 4πε 0 r r 2 r r Det elektriske felt: F Q (r) = QE(r), E(r) = 1 q i r r i 4πε 0 r r i i 2 r r

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Dielektrisk forskydning

Dielektrisk forskydning Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

Fysik 12 Projekt Interferens med mikrobølger

Fysik 12 Projekt Interferens med mikrobølger Fysik 1 Projekt Interferens med mikrobølger Astrid Rømer Michael Bjerngaard Morten S. Larsen Sebastian B. Simonsen 3.maj kl.1.00 Indhold 1 Problemformulering Indledning 3 Teori 3.1 Bølgeligningen og kompleks

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse?

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Det faktum, at lyset har en endelig hastighed er en forudsætning for at en antenne udstråler, og at den har en ohmsk udstrålingsmodstand. Den

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares

Læs mere

Brydningsindeks af vand

Brydningsindeks af vand Brydningsindeks af vand Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 15. marts 2012 Indhold 1 Indledning 2 2 Formål

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers

Læs mere

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm Elektromagnetisme 7 Side 1 af 1 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Transienter og RC-kredsløb

Transienter og RC-kredsløb Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen

Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen 31. januar 2005 Indhold 1 Kapitel 2 - Electrostatics 3 2 Kapitel 3 - Special Techniques 5 2.1 Separation af variable.......................

Læs mere

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V.

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V. For at svare på nogle af spørgsmålene i dette opgavesæt kan det sagtens være, at du bliver nødt til at hente informationer på internettet. Til den ende kan oplyses, at der er anbragt relevante link på

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

Teknologi & kommunikation

Teknologi & kommunikation Grundlæggende Side af NV Elektrotekniske grundbegreber Version.0 Spænding, strøm og modstand Elektricitet: dannet af det græske ord elektron, hvilket betyder rav, idet man tidligere iagttog gnidningselektricitet

Læs mere

3. Hold ALT nede, og tryk på F1 (så snart du har gjort det, behøver du ikke længere holde ALT nede).

3. Hold ALT nede, og tryk på F1 (så snart du har gjort det, behøver du ikke længere holde ALT nede). Der er 3 måder at indsætte græske symboler eller andre symboler ind i Notes. Metode 1) For at indtaste græske symboler i Lotus Notes har du følgende muligheder : Hold ALT nede, og tryk på F1 to gange lige

Læs mere

Elektromagnetisme 9 Side 1 af 5 Magnetfelter 2. Biot og Savart

Elektromagnetisme 9 Side 1 af 5 Magnetfelter 2. Biot og Savart Eektomagnetisme 9 ide af 5 Magnetfete Biot og avat En aften i 8 havde fysikpofesso fa Københavns Univesitet Hans Chistian Østed inviteet venne og studeende hjem i pivaten fo at demonstee, at en stømføende

Læs mere

AGV Kursus August 1999

AGV Kursus August 1999 AGV Kursus August 1999 Dato: 26.08.99 Morten Nielsen Daniel Grolin Michael Krag Indledning: Princippet bag en AGV (Autonomous Guided Vehicle) er at få et køretøj til at bevæge sig rundt i nogle omgivelser,

Læs mere

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

WWW g SOCIALE MEDIER. IQg NQ. I Ng takt med at vi bruger mere og mere tid på nettet

WWW g SOCIALE MEDIER. IQg NQ. I Ng takt med at vi bruger mere og mere tid på nettet VIRKELIG g VIRTUEL WWW g SOCIALE MEDIER I takt med at vi bge mee og mee tid på nettet smelte det sammen med nævæ og fysisk kontakt. Vi få hologamme d kan øe. De sociale medie blive alt afgøende fo fastholde

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

At den magnetiske og elektriske kraft er knyttet uløseligt sammen ses af flg. omskrivning af udtryk (8.2):

At den magnetiske og elektriske kraft er knyttet uløseligt sammen ses af flg. omskrivning af udtryk (8.2): Elektroagnetise 8 Side 1 af 8 Magnetisk induktion To punktladninger og q påvirker (i vakuu) so bekendt hinanden ed en q1 elektrisk kraft (oulobkraft) F 1 qq 1 1 = 4πε 1 0 r1 r ˆ. (8.1) Hvis de to ladninger

Læs mere

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1 Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE CHR RICHARDTSVEJ N KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-16.2 Boligomåde vest fo Solbakkevej, Vodingbog By Vodingbog septembe 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion

Læs mere

Rumgeometri Side 1 af 20

Rumgeometri Side 1 af 20 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Ordliste Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Afladning Atom B-felt Dielektrika Dipol Dosimeter E-felt Eksponering Elektricitetsmængde Elektrisk elementarladning Elektrisk felt Elektrisk

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Overgangsbetingelser for D- og E-felt

Overgangsbetingelser for D- og E-felt lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Ovegngsetingse fo D- og -ft I det flg. undesøges, hvd de ske med D- og -ftvektoene ved ovegngen mlem to diektik: D-ft: Den Gussiske flde S e en cylinde med lille

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015

Relativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,

Læs mere

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant

Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Diodespektra og bestemmelse af Plancks konstant Fysik 5 - kvantemekanik 1 Joachim Mortensen, Rune Helligsø Gjermundbo, Jeanette Frieda Jensen, Edin Ikanović 12. oktober 28 1 Indledning Formålet med denne

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En massiv metalkugle

Læs mere

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra

Læs mere

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken.

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken. I alle opgaver er der afrundet til det antal betydende cifre, som oplysningen med mindst mulige cifre i opgaven har. Opgave 1 Færdig Spændingsfaldet over varmelegemet er 3.2 V, og varmelegemet omsætter

Læs mere

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger.

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger. Magnetisk resonansspektroskopi Protoners magnetfelt I 1820 lavede HC Ørsted et eksperiment, der senere skulle gå over i historiebøgerne. Han placerede en magnet i nærheden af en ledning og så, at når der

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens MSLT: Udesøgelse af laes Du skal have foeage e Mulipel Søv Laes Tes - MSLT. Søvlaes e de id, de gå, fa du ha lag hovede på pude fo a, il du. SÅDAN FOREGÅR UNDERSØGELSEN Udesøgelse age e hel dag. Med 2

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eè Agd Pedese Mtemtis Fomelsmlig fo de eis- Ntuvideselige Bsisuddelse . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eé Agd Pedese FOOD Dee mtemtise

Læs mere

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor

Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere