Magnetisme og harddisk-teknologi

Transkript

1 Magnetisme og harddisk-teknologi Fysik og Nanoteknologi Februar 010 af Claus Schelde Jacobsen (DTU Fysik) Mikkel Fougt Hansen (DTU Nanotech) 010

2 Version: 11/-010

3 INDHOLDSFORTEGNELSE Magnetisme og harddisk teknologi 1 Introduktion Strukturen af denne note Undervisningsstruktur Rapportskrivning... 4 Felter og sensorer Ladning og strøm Kræfter og felter Det elektriske felt Det magnetiske felt Kræfter på strømbærende ledninger, strømkredse og kompasnåle Hall-sensoren Resumé og supplerende læsning Magnetfelter om spoler og magnetiske materialer B-feltet fra luftspoler Nogle nyttige formler Magnetfelter og materialer Magnetisering og B-felt Det magnetiske H-felt Materialeegenskaber Ring med luftgab Demagnetiseringsfeltet Resumé og supplerende læsning... 4 Magnetisk hysterese Hysterese-kurven Energien af et materiale i et magnetfelt Den magnetiske anisotropienergi Magnetiske domæner Hysteresekurver af enkelt-domæne materialer Forklaring af hysteresekurven Typiske bløde og hårde magnetiske materialer Måling af hysterese-kurver Resumé og supplerende læsning...35

4 INDHOLDSFORTEGNELSE 5 Den moderne harddisk Introduktion til magnetisk lagring Skrivning af magnetiske data Det magnetiske lagringsmedie Begrænsninger i udvikling af datatætheden Læsning af magnetiske data Harddiskens udvikling Resumé og supplerende læsning...53 Appendix A: Regninger på domænevægge...54 Litteraturliste...57

5 KAPITEL 1: INTRODUKTION 1 Introduktion En computers anvendelighed afhænger meget af evnen til at gemme og hente data hurtigt. Magnetisk lagring af data på faste pladelagre (=harddiske) blev første gang realiseret af IBM i 1956 med den såkaldte RAMAC station (figur 1.1). Denne var på størrelse med to køleskabe, vejede et ton og bestod af 50 magnetiske diske med en diameter på 4 tommer, som roterede med en hastighed på 100 omdrejninger i minuttet; den kunne rumme 4.4 MBytes svarende til en arealtæthed af dataene på 0.00 MBits/kvadrattomme og kunne læse data med en hastighed på 1.5 KBits/s (1 byte=8 bits). Denne enhed kunne lejes fra IBM for en sum af $ per år. Omkostningen for at lagre data var dermed ca. $10.000/MByte per år! Figur 1.1 IBM RAMAC (= Random-Access Method for Accounting and Control ) pladelager model 350 verdens første harddisk (1956). Siden 1957 har harddisken været i en rivende udvikling. Figur 1. viser udviklingen af arealtætheden af bits frem til 003 (dvs. hvor mange bits per areal man kan gemme og læse). Læg mærke til at y-aksens skala er logaritmisk og at de bedste produkter kan gemme 35 millioner gange flere data per areal i forhold til RAMAC harddisken. 1

6 KAPITEL 1: INTRODUKTION Figur 1. Udviklingen af arealtætheden af bits i harddiske som funktion af produktionsåret (fra [Hitachi]). Figur 1.3 viser et billede af en state-of-the-art harddisk fra 009. Den indeholder diske med en diameter på 3.5 tommer, som roterer med en hastighed på 7.00 omdrejninger per minut; hver af diskene kan rumme op til 500 GBytes svarende til en maksimal arealtæthed af dataene på op til 39 GBits/kvadrattomme; den kan læse data med en hastighed på op til 300 MBits/s og har et effektforbrug på ned til 5 W. Prisen per MByte er ca. $0,000. En sådan disk kan levere data til op mod 1 samtidige High Definition (HD) TV kanaler! Hard disk læse/skrivehoved aktuator Figur 1.3 Seagates Barracuda HD disk fra 009. Den moderne harddisk er et resultat af en årrækkes minituarisering og opfindelser af nye teknikker og materialer og er et af de få eksempler på nanoteknologi anvendt i kommercielle masseproducerede produkter. Harddisken kan skrive og læse magnetisk information og i den indgår således tre vigtige komponenter: 1) en disk hvorpå den magnetiske information lagres (= harddisken ) ) et læsehoved 3) et skrivehoved

7 KAPITEL 1: INTRODUKTION Derudover er det også vigtigt at kunne flytte læse/skrivehovedet hurtigt fra et sted af disken til et andet. Dette gøres med en aktuator. Disse komponenter er indikeret i figur 1.3. I løbet af dette 1-måneds undervisningsforløb vil du få en forståelse for de fysiske principper, der indgår i datalagringen på en harddisk og det vil blive belyst, hvorledes nanoteknologi indgår i harddiske. Da en forståelse af magnetisme og magnetiske materialer er central for at forstå hvad der sker i en harddisk vil en stor del af undervisningen beskæftige sig med dette emne. Det vil samtidig introducere og perspektivere en række af de begreber, du møder i elektromagnetismekurset næste år. 1.1 Strukturen af denne note Denne note er delt op i fire blokke med hver sit hovedtema: 1) Felter og sensorer (kapitel ) Her vil du få en introduktion til elektromagnetisme og elektriske og magnetiske felter og du vil karakterisere en type af magnetfeltssensorer (Hall-sensoren) ) Magnetfelter om spoler og magnetiske materialer (kapitel 3) Her vil du lære om og måle magnetfeltet omkring strømkredse, spoler og magnetiske materialer og du vil lære om ferromagnetiske materialers forstærkning af magnetfelter. 3) Magnetisk hysterese (kapitel 4) Her vil du lære om og måle magnetisk hysterese, som gør at det er nemt at ændre magnetiseringen af nogle materialer, mens det er svært for andre. 4) Den moderne harddisk (kapitel 5) I denne sidste blok du vil bruge din viden om magnetiske materialer, magnetfeltet fra magnetiserede materialer, magnetfeltssensorer og spoler med kerner til at forstå elementerne i en harddisk og du vil lære om de utrolige teknologiske udfordringer der ligger bag udviklingen af den harddisk der sidder i din PC. Derudover er der til hver blok en eksperimentel øvelsesvejledning, som udleveres i starten af kursusforløbet. Vi har valgt at fremhæve vigtige formler med en stjerne (*) efter numrene. Efter hvert kapitel har vi også skrevet et kort resumé med henvisning til supplerende læsning i f.eks. University Physics. Dette skal ikke betragtes som obligatorisk læsning, men blot som en hjælp til hvor du kan finde en anden gennemgang af emnet eller yderligere information om et emne. Detaljerede udledninger af enkelte resultater er flyttet om i et appendiks og kan betragtes som supplerende læsning udenfor pensum. Enkelte emner, f.eks. dele af elektromagnetismen og læsning af magnetiske data, er ikke behandlet tilbundsgående, da en sådan gennemgang vil blive for omfattende for nærværende forløb. I disse tilfælde præsenterer vi og forklarer de vigtigste resultater med det formål at give en kvalitativ forståelse af dem således at de præsenterede formler kan bruges som et værktøj. Denne forståelse og fornemmelse vil gøre det nemmere at forstå en mere rigoristisk gennemgang senere i studieforløbet, f.eks. i elektromagnetisme, samtidig med at du har oplevet hvad resultaterne kan bruges til. Det anbefales at du bladrer noten igennem, så du kan orientere dig i den. 3

8 KAPITEL 1: INTRODUKTION 1. Undervisningsstruktur Vi vil have fælles forelæsninger om mandagen fra Derudover vil I hver uge gennemføre en eksperimentel øvelse i nanoteket, som varer ca. timer. Til disse øvelser vil I blive delt ind i hold af ca. 15 personer, og I vil gennemføre øvelserne i grupper af ca. tre personer. Inden kursusstart vil I vælge øvelseshold. Øvelserne finder sted onsdage eller torsdage. 1.3 Rapportskrivning Forventninger til afsluttende rapport Ved afslutningen af 4-ugers forløbet skal der afleveres en rapport, som eksklusive forside, indholdsfortegnelse, litteraturliste og bilag maksimalt må fylde 10 sider. Denne rapport skal indeholde en præsentation og diskussion af Jeres fire laboratorieøvelser en kort perspektiverende diskussion Den fjerde øvelse er valgt, så den relativt kort kan behandles i rapporten. Rapporten udarbejdes i grupper og bedømmes med en karakter, der indgår i den samlede kursuskarakter. Forventninger til rapportering om laboratorieøvelser Vi forventer at rapporteringen om hver øvelse omfatter Formål og teori En meget kort beskrivelse af, hvad forsøgene går ud på og hvilke fysiske begreber, der indgår i øvelserne. Vi forventer ingen udledninger af formler og teori og referencer til formelnumre og kapitler i noterne er fuldt tilstrækkelige. Fremgangsmåde En meget kort præsentation af hvordan målinger er foretaget og hvordan opstillingen har set ud. Det er ikke meningen, at øvelsesvejledningen skal gentages her, men det skal være klart hvad I har målt og hvordan. Det er ofte tilstrækkeligt og helt i orden at henvise til øvelsesvejledningen (f.eks. Opstillingen og proceduren var som angivet i øvelsesvejledningen. Først målte vi... ). Måledata En præsentation af måledata. Det er vigtigt at alle grafer og størrelser har SI enheder og at det er forklaret, hvad graferne viser. Supplerende data, f.eks. tabeller over målte værdier eller ekstra grafer, kan indgå som bilag. Det er dog vigtigt at hovedrapporten kan læses uden også at læse bilagene. Hvis der er aflæst størrelser fra graferne, skal I indikere hvor de er aflæst. Hvis en funktion er fittet til data, skal det indikeres hvilken funktion det er (evt. med reference til formelnummer) og hvad parametrene er. Husk at angive de usikkerheder som programmet beregner og vælge et fornuftigt antal betydende cifre. Diskussion Dette er det vigtigste element i rapporten! Det skal indeholde en diskussion og eventuel videre analyse af måledata og en diskussion af de målte data i forhold til teorien. Usikkerheder medtages, hvor det giver mening. Hvilke usikkerheder og fejlkilder er der ved målingerne og hvordan stemmer teorien overens med de målte data? Det er vigtigt at I forholder Jer kritisk og ærligt til målingerne er resultaterne af Jeres målinger fornuftige? 4

9 KAPITEL 1: INTRODUKTION Sammenfatning og konklusion Hvilke konklusioner kan der drages ud fra øvelsen? Hvordan hænger målingerne sammen med formålet med øvelsen? I behøver ikke at bruge nøjagtigt denne afsnitsinddeling, men alle ovenstående elementer indgår i en god rapport. Forventningerne til den korte perspektiverende diskussion Den korte perspektiverende diskussion skal besvare følgende spørgsmål: hvordan skrives, bevares og læses information i en harddisk? hvilke krav stilles til de magnetiske egenskaber af materialerne i en harddisk? hvorfor er en moderne harddisk nanoteknologi? Rapporten skal afleveres senest søndag aften kl. 0:00 i den fjerde uge af forløbet. 5

10 KAPITEL : FELTER OG SENSORER Felter og sensorer En forståelse af de centrale elementer i harddiskens funktion kræver en vis viden om elektriske og magnetiske fænomener og deres samspil. Indeværende forløb indeholder derfor en første introduktion til en række relevante emner, mens den mere systematiske gennemgang af elektromagnetismen kommer på andet studieår..1 Ladning og strøm Alle elektromagnetiske fænomener skyldes den særlige egenskab ved elementarpartiklerne, som kaldes ladning. I sædvanlige materialer er ladningen som bekendt knyttet til atomkernernes protoner, som hver har en positiv elementarladning, e = 1, C og til elektronerne, som hver besidder en negativ elementarladning i modsætning til de neutrale partikler som kernens neutroner, der ingen ladning har. Enheden 1 C = 1 coulomb = 1 As = 1 ampere sekund. Det nytter ikke at spekulere over, hvad ladning egentlig er. Det er blot en karakteristisk egenskab for en partikel i lighed med f.eks. partiklens masse. Ladning kan ikke opstå eller forsvinde, den er bevaret. Ganske vist kan en elektron og en positron (elektronens antipartikel) blive til neutrale gammakvanter ved en annihilationsproces, men nettoladningen er den samme før og efter. Den ladning, som er relevant for os, er knyttet til atomernes elektroner. I elektrisk ledende materialer, f.eks. metaller, er en eller flere elektroner per atom frit bevægelige på baggrund af de fastsiddende positive ioner. I en elektrisk ledning er det let at få disse elektroner til at bevæge sig. Ladningstransporten karakteriseres ved den elektriske strømstyrke, som er den ladning der passerer et punkt af ledningen per sekund i en given retning. Strømstyrke skrives I og måles i C/s = A. Vi kender også ladning fra isolerende materialer, f.eks. fra den statiske elektricitet, der tit optræder ved gnidning. Her springer der et antal elektroner fra en overflade til en anden, så der må dannes lige meget positiv og negativ ladning. Disse overskudsladninger koster betydelig energi og er derfor små sammenlignet med de meget store ladninger, der ofte transporteres i de ladningsneutrale ledninger. Opgave.1 Et plastfolie gnides med et kaninskind. Typisk overføres 10 1 elektroner til foliet. Hvor stor er ladningen på foliet? Hvor stor en ladning passerer i sammenligning hermed per sekund en 60 W glødelampe på lysnettet (spænding V = 30 volt (V))? [Husk at effekten P = 60 W = IV og glem at der her er tale om vekselstrøm].. Kræfter og felter Analogt med at tyngdekraften på et legeme er proportional med dets masse, er de elektriske og magnetiske kræfter på en partikel proportionale med dens ladning. Og ligesom man definerer et tyngdefelt som formidlende tyngdekræfter, definerer man de elektriske og magnetiske felter som formidlende de elektromagnetiske kræfter. Felterne skabes af ladninger og de virker på ladninger. Den generelle beskrivelse af de kræfter, der derved vil virke mellem to ladninger, er i almindelighed særdeles kompliceret, mens vi kan definere de felter, der i et givet øjeblik er på en lille prøveladnings plads relativt simpelt ud fra kraftpåvirkningerne. Hvis prøveladningen er q 0, er den elektromagnetiske kraft på den F q ( E v ). (.1)* 0 B Dette er Lorentzkraften. Vektoren E kaldes det elektriske felt (enhed: 1 V/m) og vektoren B det magnetiske felt eller den magnetiske fluxtæthed (enhed: 1 Vs/m = 1 tesla = 1 T). Vektoren v er 6

11 KAPITEL : FELTER OG SENSORER prøveladningens hastighed. Med en lille prøveladning kan man åbenbart ved hjælp af kraftmålinger bestemme E og B overalt, hvor man måtte ønske det. De herved bestemte felter skyldes alle andre ladninger end netop prøveladningen. Bemærk, at det elektriske felt kan kortlægges ved hjælp af en prøveladning i hvile, mens bestemmelsen af B er mere kompliceret. Hertil skal man huske, at størrelsen af krydsproduktet v B er lig arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder, mens retningen er vinkelret på både v og B og i øvrigt følger højrehåndsreglen, jvf. figur.1. Figur.1 Illustration af højrehåndsreglen: Retning efter strakt tommelfinger på højre hånd, når de fire øvrige fingre lukkes i retning fra v til B. Opgave. En prøveladning på 50 nc findes ikke at være påvirket af en kraft, når den ligger stille. Når den bevæges 30 m/s langs den positive x-akse påvirkes den af en kraft på 3 µn i den positive z-akses retning. Bevæges den langs y-aksen er der ingen kraftpåvirkning. Angiv E og B..3 Det elektriske felt Elektriske felter skabes dels af ladning, dels af tidsvarierende magnetfelter. Lad os for nu se bort fra tidsvariation. En god håndregel er da, at det elektriske felt udgår fra positiv ladning og opsuges af negativ. Det er nyttigt at tænke på det tredimensionale vektorfelt som repræsenteret ved feltlinier. Feltlinierne har overalt feltvektorerne som tangenter. De tegnes med en passende tæthed (dvs. linieantal per areal vinkelret på feltretningen), der er proportional med størrelsen af feltet. I figur. er skitseret feltliniebilleder for adskilte positive og negative ladninger, dels punktformede ladninger, dels ladninger der er fordelt på tætliggende parallelle metalplader. Sidstnævnte arrangement kaldes for en kapacitor eller kondensator. I den skitserede pladekondensator er feltet stort set det samme overalt, både med hensyn til størrelse og retning. Man kalder feltet for homogent (der er afvigelser ved pladeafgrænsningerne, som vi her negligerer). (a) (b) Figur. Skitser af feltlinier for (a) to lige store punktladninger af modsat fortegn og (b) snit gennem idealiseret pladekondensator med jævnt fordelte ladninger 7

12 KAPITEL : FELTER OG SENSORER Efter ligning (.1) vil en lille prøveladning, q 0, der befinder sig mellem pladerne være påvirket af kraften q 0 E. Det viser sig, at der er tale om en konservativ kraft (sammenlign med tyngdekraften på en partikel med masse m). Fører vi ladningen fra højre til venstre plade skal vi udføre et arbejde q 0 Ed, hvor d er afstanden mellem pladerne. Ladningen q 0 vil således have en potentiel energi, der er beløbet q 0 Ed højere, når den befinder sig ved venstre plade end når den er ved højre plade. I elektromagnetismen definerer man en potentiel energi per ladning, V, der så måles i J/C = V. Det er det, der i daglig tale kaldes den elektriske spænding eller lidt finere: Det elektrostatiske potential. Der er en elektrisk spændingsforskel mellem pladerne på ΔV = Ed. Denne spænding kan aflæses på et ideelt voltmeter (dvs. eet som ikke trækker nogen strøm) forbundet til pladerne, der derved indirekte kan benyttes til at bestemme feltstyrken. For god ordens skyld bemærker vi her, at elektriske feltkræfter ikke er konservative i tilstedeværelse af et tidsvarierende magnetfelt. Opgave.3 En elektron frigøres mellem et sæt kondensatorplader med d = 1,0 cm og V = 1000 volt, således at den til tiden t = 0 har hastigheden 0 lige uden for højre plade. Hvor lang tid går der, før den rammer venstre plade? [Det antages, at der er perfekt vakuum. Elektronmassen m = 9, kg. Benyt Newtons anden lov]..4 Det magnetiske felt Ligesom magnetfelter kun mærkes af ladninger i bevægelse, skabes de af ladninger i bevægelse. Her tænker vi i første omgang på elektriske strømme i ledninger. Grundreglen for feltets geometri er her, dels at magnetfelter går rundt om (cirkulerer om) de elektriske strømme, dels at magnetiske feltlinier ikke kan begynde eller ende nogen steder. Har vi f.eks. en lang retliniet strømbærende ledning, vil B-feltlinierne danne cirkler, der alle har centrum på ledningen og ligger i planer vinkelret på den; se figur.3(a). For orienteringen gælder en højrehåndsregel: Hvis højre hånd anbringes så den strakte tommelfinger går i strømretningen, er feltet orienteret i de øvrige fingres retning. Nu er det ikke svært at forestille sig B-feltet om en cirkulær strømkreds, se figur.3(b). Heldigvis gælder der et grundlæggende superpositionsprincip, hvis vi ønsker at finde felterne om flere strømkredse under ét: Så skal man blot addere de enkelte bidrag (det kan dog være svært nok, da der er tale om at addere vektorer i hvert punkt af rummet). (a) (b) Figur.3 Magnetfeltlinier om (a) strømbærende retliniet ledning, (b) strømbærende cirkulær kreds. Vi kan forestille os at der i stedet for en enkelt cirkulær strømkreds (1 vinding) er flere nært sammenfaldende vindinger. Så vil feltet blot blive forøget i takt med vindingstallet: Vi har en spole. 8

13 KAPITEL : FELTER OG SENSORER Bemærk, at feltet er størst inden for vindingerne (inde i spolen). Ved fysiske målinger vil man ofte være interesseret i at have et ret homogent felt over et rimeligt stort område. Til det formål kan man benytte to éns spoler, hver med nært sammenfaldende vindinger. Vi forestiller os, at de er placeret med fælles akse og at vi varierer afstanden mellem dem. Hvis de er sammenfaldende (afstand lig 0) fås atter et felt som vist i figur.3(b). Hvis de er langt fra hinanden vil feltstyrken langs aksen udvise to maksima. Hvis vi nærmer spolerne hinanden vil de to maksima nødvendigvis smelte sammen til ét i en given afstand. I denne afstand, som viser sig at være lig spoleradius, får man netop et nær homogent felt i det størst mulige område. Et sådant arrangement kaldes for en Helmholtz-spole. Magnetfelter er ikke udelukkende til stede i kraft af menneskeskabte elektriske strømme. Der cirkulerer f.eks. strømme i Jordens indre, som giver anledning til jordfeltet med feltlinier der minder om dem på figur.3(b), hvor så Nordpolen ligger mod højre. Jordfeltet er ikke stærkt (typisk 50 µt ved jordoverfladen), men er vigtigt i forbindelse med de fra verdensrummet indkommende ladede partikler (og tidligere selvfølgelig til kompasnavigation). Opgave.4 Giv en kvalitativ beskrivelse af banekurven for en ladet partikel, som bevæger sig i et homogent magnetfelt [benyt ligning (.1) og Newtons anden lov og opdel bevægelsen i en del parallel med feltet og en anden vinkelret på feltet. Vil det magnetiske felt kunne udføre noget arbejde på partiklen?] En anden vigtig årsag til magnetisme skal søges i visse stoffers elektroniske struktur. De atomare partikler bevæger sig som oftest, så et givet materiale kun har meget svag reaktion på magnetfelter, men visse stoffer (som jern, nikkel og kobolt) har en overordentlig kraftig reaktion. Dette skyldes at elektronerne vekselvirker på en speciel måde, så de tilhørende atomare strømme reelt svarer til små kredsstrømme, der skaber magnetfelter. Hvis alle kredsstrømmene arbejder sammen, kan det give anledning til kraftige magnetfelter (af størrelsesordenen 1 tesla). Den situation kan endda etableres uden at et udefrakommende felt er nødvendigt. Så har vi en magnet. Dette vender vi tilbage til i de følgende kapitler..5 Kræfter på strømbærende ledninger, strømkredse og kompasnåle Kraft på strømbærende ledningsstykke Da en strømbærende ledning indeholder ladede partikler i bevægelse, vil den i almindelighed være udsat for en kraftpåvirkning i et ydre magnetfelt. Selvom kraften virker på partiklerne, vil disse på grund af deres binding til metallet overføre kraften til dette. Vi opdeler ledningen i n små stykker. Det j te stykke har længden δl j. Den bevægelige ladning kan beskrives som en linieladning, λ (dvs. bevægelig ladning per længde af ledningen). Bevæger ladningen sig med middelhastigheden v vil strømstyrken være I = λv. Når vi bruger ligning (.1) skal vi regne vektorielt. Men vi kan jo efter behag gøre v, I og δl j til vektorer (alle med samme retning, hvis vi for at gøre argumentet simpelt tænker på positive ladningsbærere). Så får vi for den magnetiske kraft på j te ledningsstykke: F j l v B l I B I l B. (.)* j j j 9

14 KAPITEL : FELTER OG SENSORER Opgave.5 Strømgyngen Ligning (.) kan illustreres ved den såkaldte strømgynge, hvor et lederstykke med masse m og længde δl er hængt op i sine tilledninger, se figur.4. Lederstykket hænger mellem polerne på en U-formet magnet, som antages at give et næsten homogent felt over lederstykket. Taleksempel: m = 5 g og δl = 5 cm. Hvis lederstykket ved en strøm på 5 A hænger 8 grader fra lodret, hvad er da B? Figur.4 Strømgynge. Benyt ligevægtsbetingelsen til at bestemme sammenhængen mellem udslagsvinkel og feltstyrke. Kraft og kraftmoment på lukket strømkreds Vi vil nu interessere os for kraftpåvirkninger på en lukket strømkreds, der befinder sig i et homogent ydre felt. Lad os først bestemme kraften ved at addere bidrag. Da I og B er konstante størrelser får vi så: F n j 1 F j n n l B l I j I j B 0, j 1 (.3) j 1 da der jo netop er tale om en lukket strømkreds, så summen af de vektorielle ledningsstykker automatisk er 0. Til gengæld vil der i almindelighed virke et kraftmoment på en sådan kreds. Se på den rektangulære kreds skitseret i figur.5. De to kræfter på de korte sider (af længde b) ophæver hinanden og virker langs samme linie. De giver altså ikke noget bidrag til momentet. De to kræfter på de lange sider ophæver også hinanden i overensstemmelse med ligning (.3), men de virker ikke langs samme linie og giver derfor et moment på N = F b sin = I a B b sin = I ab sin B. Figur.5 Til udledning af kraftmoment på strømkreds (fra [Young]). 10

15 KAPITEL : FELTER OG SENSORER Det ses af figuren, at kraftmomentet har en sådan retning, at kredsen i ligevægt vil stille sig vinkelret på feltet, så normalvektoren defineret ud fra strømretning og højrehåndsregel bliver parallel med B. Da vinkelafhængigheden er sin, kan resultatet udtrykkes mere elegant, hvis vi definerer strømkredsens magnetiske moment m IAnˆ IA, hvor A = ab er kredsens areal og nˆ er enhedsnormalvektoren. A kaldes det vektorielle areal. Kraftmomentet kan så udtrykkes: N m B. (.4)* Som vi skal se i næste kapitel, kan en kompasnål opfattes som bærende en vedvarende strøm i en lille kreds vinkelret på nålens retning. Nålen søger derfor altid at stille sig i feltretningen og kan bruges til en kvalitativ kortlægning af det rumlige felt..6 Hall-sensoren Ønsker man en kvantitativ bestemmelse af magnetfeltet, kan man f.eks. benytte en Hall-sensor. Hall-sensoren omsætter feltstyrken til en målbar elektrisk spænding og vi skal kort se på dens princip med udgangspunkt i figur.6. En strømkilde driver strømmen I igennem et aflangt lederstykke. For nemheds skyld tænker vi at strømmen bæres af positive ladningsbærere hver med ladning q. Hvis der er en koncentration n af ladningsbærere og middelhastigheden er v, må der gælde, at I = λv = qanv, hvor A er tværsnitsarealet af lederstykket. Der påtrykkes et magnetfelt vinkelret ind i figurens plan. Figur.6 Illustration af Hall-effekten. Den magnetiske kraft vil så forsøge at afbøje ladningsbærerne opad, men her bliver de standset af overfladen. Der vil dog ske en lille ophobning af positiv ladning foroven og en tilsvarende udtynding (svarende til negativ ladning) forneden. Jvf. pladekondensatoren, figur.(b), skabes et nedadrettet elektrisk felt, E H, som i den stationære situation vil give en elektrisk kraft, der præcis ophæver den magnetiske kraft. Størrelsesmæssigt må for Hall-felt og spænding gælde: E H I IB vb B eller VH EHd. (.5)* qna qnt Vi har antaget det viste voltmeter ideelt, således at der ikke løber strøm i voltmeterledningerne. Lederstykkets tykkelse er kaldt t. Resultatet kan udnyttes på forskellig vis. Hvis lederstykket er lavet af et ukendt materiale, kan man ud fra strøm, magnetfelt, Hall-spænding og dimension bestemme ladningsbærerkoncentrationen (og fortegnet: demonstrér, at negative ladningsbærere ville give modsat fortegn på V H ). Omvendt kan effekten udnyttes til at måle størrelse og retning af et magnetfelt. Stor følsomhed (stort V H ) opnås for materialer med lille ladningsbærerkoncentration, så man bruger typisk halvledere eller keramiske materialer, som netop kan have lave n-værdier. Hall-sensorer er bekvemme, fordi man kan måle både små og store felter og Hall-spændingen er proportional med B. Hvis B ikke er vinkelret på den viste plan er det kun projektionen, der giver en effekt. Drejer vi sensoren en vinkel θ, forventes spændingen reduceret med en faktor cosθ. Så ved at dreje sensoren i rummet kan man også bestemme feltets retning i et givet punkt. 11

16 KAPITEL : FELTER OG SENSORER Opgave.6 En Hall-sensor er fremstillet i en GaAs kvantebrønd med nt = m -. Målestrømmen er 100 µa. Find følsomheden (i V/T). En Hall-sensor kan i princippet bruges til at læse information fra en harddisk, men omfordelingen af ladning, som følger med ændringer i magnetfeltet, er for langsom, så man benytter andre detektionsmetoder (kapitel 5)..7 Resumé og supplerende læsning Sidetallene henviser til Young & Freedman: University Physics, 1. ed. (UP). Vi har set på ladning som årsag til elektriske og magnetiske felter (UP p ). Bevæget ladning i en ledning beskrives som elektrisk strøm (UP p , ). De elektriske felter (UP p ) og magnetiske felter (UP p ) defineres principielt ud fra kraftpåvirkningen på en prøveladning. En ladning påvirkes altid af et elektrisk felt, mens den skal være i bevægelse for at kunne påvirkes af et magnetfelt. Felterne er vektorielle og kan visualiseres ved hjælp af feltlinier (UP p ). Elektriske felter kan skyldes ladninger. Feltlinierne går fra positiv til negativ ladning. Denne type felter giver ligesom tyngdefeltet anledning til konservative kræfter. Dette benyttes til at definere en ladningsspecifik potentiel energi: det elektriske potential, som er et skalarfelt (UP p , , ). I modsætning hertil cirkulerer de magnetiske feltlinier om foreliggende strømme. Da strømme repræsenterer ladning i bevægelse påvirkes et strøm-bærende ledningselement af et magnetfelt. En lukket strømkreds påvirkes ikke af en nettokraft i et homogent magnetfelt, men dens magnetiske moment (= strøm gange areal med en orientering efter strøm og højrehåndsregel) vil søge at rette sig ind efter feltretningen (UP p ). Som eksempel på en magnetfeltsensor betragtedes Hall-elementet, hvor den magnetiske afbøjningskraft på elektronerne giver anledning til en potentialforskel vinkelret på strøm og felt (UP p ). 1

17 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER 3 Magnetfelter om spoler og magnetiske materialer En ring af et magnetiserbart materiale, hvorpå der er viklet en spole, vil have en høj tilbøjelighed til at holde B-feltet inden i sig. Åbner man et lille gab i ringen, se figur 3.1, vil feltlinier sprede sig ud i luften omkring gabet, så magnetfeltet kan vekselvirke med f.eks. en nærliggende overflade. En sådan struktur (et skrivehoved) benyttes til at ændre magnetiseringen af de enkelte bits på harddiskoverfladen. Det er derfor essentielt med en lidt dybere diskussion af, hvordan man bestemmer feltet, når man kombinerer spoler med magnetiserbare materialer. Figur 3.1 Åben ring med spole. 3.1 B-feltet fra luftspoler Der findes en systematisk metode til at beregne B-feltet omkring en vilkårlig luftspole. Det blev eksperimentelt fastslået af Biot og Savart, at det går godt at addere bidrag fra små ledningsstykker, δl j, hvor hvert bidrag har formen: I l o Bj 4 r j 3 j r j. (3.1) Her er r j en vektor, der udgår fra det betragtede ledningsstykke og ender ved det punkt, hvor man ønsker at bestemme feltet. I er strømmen i ledningsstykkets retning. Størrelsen µ o = 4π Vs/Am kaldes vakuum-permeabiliteten. Kigger man på et enkelt ledningsstykke, kan man se, at det netop giver bidrag koncentreret vinkelret ud fra strømmen med feltlinier, der cirkulerer omkring den og en feltintensitet, der aftager med. potens af afstanden. Biot og Savarts lov kan ret let kodes ind på en computer og er derfor et populært redskab til feltbestemmelse. Herudover spiller loven en betydelig teoretisk rolle, da man matematisk ud fra den kan udlede to egenskaber ved B-feltet. Den ene har vi allerede nævnt: B-feltlinier har hverken begyndelse eller ende. Den anden udtaler sig om B langs en lukket kurve, som ikke behøver at følge en ledning og gælder når strømmene ikke ændrer sig alt for hurtigt. Deler vi kurven op i n små stykker δr j, hvor hver oplever det konstante felt B j, kan man vise at der altid gælder, at n j1 B j rj B dr oi omsluttet, (3.) lukket kurve hvor I omsluttet er den samlede strøm, som går igennem fladen afgrænset af kurven med fortegn efter højrehåndsreglen og δr j. Dette kaldes Ampères lov for B. Integralet i ligning (3.) opnås ved at man lader n og δr j 0 og kaldes et linieintegral (se eksempel nedenfor). 13

18 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER Eksempel 3.1 Linieintegralet Det er vigtigt at være opmærksom på skalarproduktet ved udregning af linieintegraler. Hvis ikke B og dr er ensrettede, er B. dr = Bcos dr, hvor er vinklen mellem B og dr. Vi kender f.eks. linieintegraler fra beregninger af mekanisk arbejde. Lad en partikel af masse m falde fra højden z = h til z = 0 i en homogent tyngdefelt med acceleration g = g e z. Banekurven tænkes at ligge i x-z planen, så et lille skridt kan skrives: dr = e x dx + e z dz. Tyngdefeltets arbejde er: W ( ( x,0) x1, h ) ( ( x,0) 0 mge ( e dx e dz ) mg mg dr dz mgh, x1, h ) z x Læg mærke til, at resultatet ikke afhænger af bevægelsen i x-retningen, der jo er vinkelret på g. Forskellige veje med samme højdeforskel giver samme resultat. Det betyder, at man kan definere en simpel potentiel energi som E pot = mgz, hvor kraftfeltet F g = mg = E pot. Ligning (3.) fortæller, at linieintegralet af B mellem to punkter i rummet afhænger af, hvordan vejen imellem dem passerer elektriske strømme. Man kan derfor ikke i almindelighed beskrive B ved hjælp af et skalarpotential. z h Ampère s lov kan benyttes til direkte at bestemme feltet i problemer med høj symmetri. Opgave 3.1 Se på figur.3(a) og bestem B i afstanden s fra den lange retliniede ledning. Find talværdien for I = 10 A og s = 0,10 m. [Vink: Brug Ampères lov og læg den lukkede kurve langs en feltlinie i afstanden s fra ledningen. Bemærk, at Biot og Savarts lov i kombination med problemets symmetri fortæller os, at feltlinierne er cirkler med centrum på ledningen]. Som et andet eksempel på anvendelse af Ampères lov ser vi på en spole viklet hele vejen rundt på en umagnetisk ringkerne, figur 3.3(c). Det kaldes en toroidalspole. På grund af symmetrien må feltlinierne være cirkler med centrum på ringkernens akse. Betragter vi de tre viste cirkler (stiplede), løber der øjensynligt kun en nettostrøm igennem den cirkelskive, der ligger inden i ringkernen. Er omkredsen l og er der N vindinger kan vi skrive Ampères lov som: B kerne oni l oni eller : Bkerne. (3.3) l Uden for kernen må feltet være næsten nul (faktisk løber strømmen I jo en enkelt gang rundt langs kernen, så til det fundne felt må adderes et svagt felt som på figur.3(b), hvor ringen erstatter kredsen; men når N >> 1, spiller denne korrektion kun ringe rolle). 14

19 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER 3. Nogle nyttige formler Nedenfor giver vi et par nyttige formler (bl.a. ligning (3.3) gentaget), udledt ved hjælp af Biot og Savarts eller Ampères love. Solenoiden består at en tæt vikling (mange vindinger) på en cylinder med cirkulært tværsnit. Figur 3. viser hvordan aksefeltet i solenoiden intensiveres ved at mange vindinger samarbejder, mens feltet varierer kraftigt tæt på selve den strømbærende ledning. Figur 3. Åbent viklet og tæt viklet solenoide. Vindingerne samarbejder om at skabe et stærkt felt i midten af solenoiden, mens man tæt på ledningen ser feltlinier, der løber rundt om den. (a) (b) (c) Figur 3.3 Figurer til angivelse af feltet (a) på aksen af cirkulær kreds, (b) på aksen af solenoide og (c) inden i toroidalspole. N er vindingstallet. Nedenstående formler angiver felternes størrelse i de tre situationer vist på figur 3.3. For (a) ligger observationspunktet afstanden z fra kredsens plan. For (b) er observationspunktet, hvor sigtelinierne til solenoidens åbninger udgår. For (c) er feltet angivet inden i ringkernen (som nævnt er det tæt på 0 uden for). Feltets retning er langs aksen i (a) og (b) og følger ringen i (c). Om det er den ene eller den anden vej afgøres ved hjælp af højrehåndsreglen. Cirkulær leders aksefelt: B( z ) I o 3 (3.4)* ( z R R o Solenoidens aksefelt (tynd vikling): (, ) cos cos ) NI B (3.5)* L NI Felt i ringkerne (umagnetisk og tynd): B o kerne (3.6)* D 15

20 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER Eksempel 3. Helmholtz-spolen R I 0 I x D Lad os anbringe to cirkulære spoler, hver med radius R og N vindinger, i en afstand D som vist i figuren og betragte aksefeltet i spolesættet. Dette felt er givet ved en sum af to led af formen ligning (3.4). En udregning giver 0NI R R B x ( x ) 3 3. (3.7)* (( x D ) R ) (( x D ) R ) Det viser sig, at feltet nær midten af spolerne x=0 er særlig ensartet, hvis man vælger D = R. Ved netop denne afstand er den anden afledede af aksefeltet i x=0 nemlig nul. Et arrangement af to spoler anbragt i en afstand, som er lig med deres radius kaldes en Helmholtzspole. Aksefeltet i midten af en Helmholtzspole (x=0) antager værdien 80NI 0NI B x (0) (3.8) 5 5 R R Helmholtzspoler er velegnede til at lave små, homogene kontrollerbare magnetfelter. 3.3 Magnetfelter og materialer De fleste materialer reagerer yderst svagt på magnetfelter. Relative ændringer i B-feltet om et materiale, der anbringes i et feltområde er typisk ± Der findes dog en lille gruppe naturligt forekommende materialer og efterhånden et stort antal menneskeskabte materialer, som udviser endog meget kraftig magnetisk virkning. De kendteste eksempler er overgangsmetallerne jern (Fe), kobolt (Co) og nikkel (Ni). Magnetjernsten (magnetit, Fe 3 O 4 ) er et naturligt forekommende mineral, der fra de ældste tider har været kendt for sin magnetiske virkning. Som omtalt i kapitel, skal den fysiske forklaring på stoffers magnetisme søges i den elektroniske struktur, hvor elektronerne under visse omstændigheder vil gå sammen om at skabe permanente kredsstrømme. Et vigtigt bidrag kommer ofte fra elektronspinnet, en vigtig egenskab ved elektronen. I et klassisk billede kan vi tænke på elektronen som en snurretop med ladning, som derfor også har et magnetisk moment. Man bruger ofte dette kvantiserede moment, Bohr-magnetonen, som mål for atomar magnetisme. Bohr-magnetonen, µ B = 9, Am. Når de atomare momenter énsretter spontant taler man om ferromagnetisme. Den ansvarlige fysiske mekanisme kaldes for exchangevekselvirkningen og kan kun forklares inden for kvantemekanikken. Matematisk kan den med god tilnærmelse beskrives ved et ekstra energibidrag for to nabo-spin: E ex, JS cos, (3.9) 16

21 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER hvor J er en positiv konstant med dimension af energi, S et dimensionsløst mål for spinnets størrelse og er vinklen mellem de to nabospin, se figur 3.4. I et simpelt billede kan man tænke på vekselvirkningen som at de to atomare momenter er forbundet med en fjeder. S S Figur 3.4 Skematisk illustration af den ferromagnetiske exchange-vekselvirkning. Ferromagnetisme er en ordnet tilstand, som kun indtræder under en bestemt kritisk temperatur, Curie-punktet, for jern t C = 770C. Køler man et stykke jern ned under t C vil de atomare momenter énsrettes spontant. Graden af énsretning afhænger af temperaturen, da varmen betyder, at spinretningen fluktuerer. Figur 3.5 viser, hvordan den lokale spontane magnetisering, M, (énsretning af momenterne) varierer med temperaturen. H M ferromagnetisk orden paramagnetisk opførsel (ingen orden) T Curietemperatur (T c ) Figur 3.5 Illustration af temperaturens indflydelse på den ferromagnetiske orden. Curie-temperaturen indikerer en faseovergang mellem den uordnede paramagnetiske tilstand og den ordnede ferromagnetiske tilstand. Et stykke jern hentet ud af højovnen og kølet ned til stuetemperatur vil i fravær af et ydre felt alligevel ikke producere noget felt ud ad til. Det skyldes energiforholdene. Det viser sig favorabelt for jernet at inddele sig selv i små områder, domæner, med énsrettede momenter. Retningen varierer fra domæne til domæne. Tænder vi nu for et ydre felt énsrettes domænerne efterhånden - materialet magnetiseres og bliver vi ved at øge feltet nås mætning: Alle atomare momenter ligger i feltretningen. Dette beskrives nærmere i kapitel 4. Hvordan magnetiseringen forløber er meget materialeafhængigt. I dette kapitel vil vi blot inddele ferromagneter i såkaldt bløde materialer, hvor magnetiseringen er proportional med det påtrykte felt (indtil mætning opnås) og i såkaldt hårde materialer, hvor en opnået magnetiseringstilstand stort set bevares selv om det påtrykte felt fjernes. Sådanne benyttes til permanente magneter. Opgave 3. I blødt jern kan B under magnetiseringen være 1000 gange det ydre felt. Jern mætter ved T. Hvor stor strøm skal tilføres en lang solenoide med blødtjernskerne og 0 vindinger per cm for at jernet mættes? 17

22 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER 3.4 Magnetisering og B-felt Til en mere præcis beskrivelse af felter i og omkring materialer, indfører man et vektorfelt, magnetiseringen M, som er middelværdien af de atomare magnetiske momenter per volumen. Midlingen skal foregå, så alle variationer på den atomare skala bliver glattet ud, dvs. over mange atomer eller molekyler. Vektoren M beskriver således den makroskopiske magnetisering af et materiale, herunder også en eventuel domæneopdeling. Da M=m/V og enheden af m er Am, må enheden for M være A/m. Vi ønsker nu på simplificeret vis at finde det B-felt, som M er ansvarlig for. Vi kigger på det enkleste eksempel: En cirkulær cylinder med homogen magnetisering langs aksen. Figur 3.6(a) viser et snit igennem cylinderen med små kredsstrømme svarende til volumenelementer δv, hvert med et magnetisk moment MδV. (a) (b) Figur 3.6 (a) Tværsnit af magnetiseret cylinder med lokale kredsstrømme. (b) Nettofladestrøm på cylinderoverflade Bemærk, at med en homogen magnetisering vil næsten alle dele af kredsstrømmene ophæve hinanden. Tilbage bliver kun en kredsstrøm, der fordelt langs cylinderen løber rundt om aksen på overfladen, figur 3.6(b). Vi kan finde størrelsen af denne strøm ved at kræve, at den skal give samme magnetiske moment som summen af alle de små magnetiske momenter: m IA MV MLA eller : I ML. (3.10)* Talværdien af M angiver altså direkte den ækvivalente overfladestrøm per længde på cylinderen. Men så kan vi bestemme B på aksen hidrørende herfra ved blot at benytte ligning (3.5), hvor strømmen per længde, NI/L, erstattes med M. Tilsvarende argumenter kan benyttes for andre geometrier. Generelt kan man vise, at B for et homogent magnetiseret materiale kan beregnes som hidrørende fra en fladestrøm (strøm per længde), som overalt på overfladen er K M nˆ, hvor nˆ er den udadrettede enhedsnormalvektor. Fladestrømmen K kaldes magnetiseringsstrømmen eller den bundne strøm. Opgave 3.3 En cirkulært cylindrisk permanent magnet med radius 1 mm og længde 0 mm er homogent magnetiseret langs aksen med µ o M = 0,8 T. (a) Beskriv og find den samlede bundne strøm. (b) Find ved hjælp af solenoideformlen (ligning (3.5)) størrelsen og retningen af B i centrum af én af endefladerne. 18

23 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER 3.5 Det magnetiske H-felt Betragt igen en toroidalspole som vist på figur 3.3(c), men nu med et magnetiserbart materiale som ringkerne. Med mindre vi kender M i materialet, kan vi ikke uden videre benytte ligning (3.6) til at finde B. Men lad os prøve at inkludere magnetiseringsstrømmen i Ampères lov for B, ligning (3.): n j1 B r j j B D I o omsluttet ( NI M D) o eller : 1 B M D NI. (3.11) o Denne ligning antyder, at feltet i parentesen, B/µ o M, har en direkte sammenhæng med strømmen i spolen, som er den parameter, vi kan kontrollere. Det har derfor vist sig nyttigt at definere endnu en feltstørrelse, H-feltet, ved relationen B 0 H M. (3.1)* Den magnetiske fluxtæthed bliver dermed delt op i et materialebidrag indeni materialer (M) og et bidrag fra andre kilder (H). For det magnetiske H-felt gælder en Ampères lov: n j1 Hj rj Hdr I omsluttet, ledning. (3.13)* kerne Det kan virke lidt underligt, at vi nu også indfører dette tredje vektorfelt, men grunden er at det i almindelighed er lettere at arbejde med H og B end med M og B, ikke mindst i lyset af ligning (3.13): Det er H vi kontrollerer, når vi skruer op eller ned for spolestrømmen. Enheden for H er som for M: A/m. 3.6 Materialeegenskaber For et givet materiale vil M og dermed B afhænge ikke blot af det øjeblikkelige H, men pga. domænedannelsen også af forhistorien. Dette fænomen kaldes hysterese og beskrives nærmere i næste kapitel. For svagt magnetiske materialer og vigtigere: med tilnærmelse for bløde magnetiske materialer kan man bruge en lineær beskrivelse, hvor B er proportional med H: B o rh (3.14) Materialeparameteren µ r kaldes den relative permeabilitet. Den er for et svagt magnetisk materiale meget tæt på at være 1, mens den for bløde magnetiske materialer er meget større end 1. Den kan være op til I så fald skal man ikke have et særlig stort H-felt, før mætning nås og så gælder proportionaliteten selvfølgelig ikke længere. 19

24 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER 3.7 Ring med luftgab (a) (b) Figur 3.7 Åben ring med spole. (a) Gentagelse af figur 3.1. Illustration af feltlinierne. (b) Indikation af integrations-vejen brugt i Ampères lov. Lad os nu vende tilbage til en ring med et luftgab, som vi diskuterede i starten af dette kapitel, se figur 3.7. Her argumenterede vi for, at det er nødvendigt med et luftgab i ringen for at kunne mærke ringens felt. Dette eksempel illustrerer samtidig samspillet mellem B og H. Vi vil antage, at ringen er lavet af et blødt magnetisk materiale med µ r >> 1 og vi holder os til felter, hvor ligning (3.14) gælder. Spolen bærer strømmen I og har N vindinger. Den magnetiske flux, beskrevet ved de i figur 3.7(a) viste B-feltlinier, vil på grund af det høje µ r med meget god tilnærmelse følge ringen. Vi taler om en magnetisk kreds. Der er en vis spredning af feltlinier om luftgabet, men i midten har B stort set samme værdi som i kernen (gælder bedre, jo mindre luftgabet er). Læg mærke til, at vi her har brugt den helt almene regel, at B-linier ikke kan begynde eller ende: Antallet af B-linier er det samme i kerne og luftgab. Nu benytter vi Ampères lov for H, ligning (3.13), langs en feltlinie helt inde i kerne og luftgab. Vejen i jernet kaldes l og vejen i luften kaldes d. Der er så to bidrag til summen (eller linieintegralet): Bl Bd oni H dr H kerne l Hluft d NI hvoraf : B. (3.15)* or l o d Typisk vil d >> l/µ r. Så kan andet led i nævneren i det sidste udtryk negligeres og B er alene bestemt af NI og af luftgabet, d, ikke af hvilket høj-µ materiale, der er anvendt. Dette er blot en følge af, at H i kernen er yderst lille sammenlignet med H i luftgabet. Den nævnte tilnærmelse svarer til at sætte H til 0 i kernen. Dette eksempel viser os også, at H-linierne godt kan ende og begynde. I dette tilfælde er H-feltet koncentreret i luftgabet og i et smalt luftgab vil det se ud som det elektriske felt i en pladekondensator, figur.(b). Da det elektriske felt går fra positiv til negativ ladning, benytter mange en tilsvarende sprogbrug om H-feltet. Her taler man så blot om nordpoler og sydpoler, som H-linierne henholdsvis udgår fra og ender på. Det betyder dog på ingen måde, at der eksisterer magnetisk ladning, ligesom H-linier også ofte danner lukkede kurver. Så begrebet magnetiske poler skal omgås med stor omhu. r Opgave 3.4 Tegn skitser af såvel M-, B- og H-linier i og omkring en permanent magnet. Den er cirkulært cylindrisk med en længde lig diameteren og er homogent magnetiseret langs aksen. Der er ikke andre feltkilder til stede. 0

25 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER 3.8 Demagnetiseringsfeltet I forrige afsnit og opgave 3.4 så vi, at H-feltlinierne udgår fra nordpoler og ender på sydpoler. Dette giver anledning til et magnetfelt udenfor det magnetiske materiale men også til et magnetfelt indeni materialet som illustreret i figur 3.8. N N N N M S S S S Figur 3.8 Illustration af H-feltet for en magnetiseret stang. H-feltet vil gå fra nordpoler til sydpoler både udenfor og indeni materialet og det giver anledning til et H-felt inden i materialet demagnetiseringsfeltet, som er modsat rettet magnetiseringen M. Feltet indeni materialet er modsat rettet magnetiseringen af materialet og vil dermed modvirke, at materialet er magnetiseret. Dette har givet anledning til, at det har fået navnet demagnetiseringsfeltet og det betegnes H d. Man kan betragte demagnetiseringsfeltet som den pris vi må betale for at have frie magnetiske poler ved overfladen af materialet. Demagnetiseringsfeltet afhænger af geometrien af materialet og der gælder generelt at demagnetiseringsfeltet er stort når nord og sydpoler er tæt på hinanden og lille hvis nord og syd-polerne er langt fra hinanden i en given retning. Dette er fuldstændig analogt til E-feltets størrelse indeni et elektrisk polariseret materiale. Ellipsoider og geometrier, som er uendelige i én eller to retninger (en stang eller en plan) vil være homogent magnetiserede (dvs. magnetiseringen er den samme overalt) og langs en symmetriretning kan man skrive demagnetiseringsfeltet som H d N M, (3.16) d hvor N d kaldes for demagnetiseringsfaktoren og opfylder 0 N d 1. Derudover kan det vises at demagnetiseringsfaktorerne langs x, y og z akserne opfylder N x +N y +N z =1. For simple homogent magnetiserede geometrier kan man bruge denne relation og symmetriargumenter til at finde demagnetiseringsfaktorerne i x, y og z retningerne (eksempel 3.3). For andre geometrier, f.eks. stænger, gælder ligning (3.16) og N x +N y +N z =1 kun approksimativt. Eksempel 3.3 Demagnetiseringsfaktorer for simple geometrier Ved at benytte N x +N y +N z =1 samt at demagnetiseringsfaktoren er lig med nul når polerne er uendelig langt fra hinanden fås demagnetiseringsfaktorerne for (a) en kugle, (b) en uendelig plan og (c) en uendelig lang stang: z (a) (b) (c) x y N x =N y =N z =1/3 N x =N y =0 N z =1 N x =N y =1/ N z =0 1

26 KAPITEL 3: MAGNETFELTER OM SPOLER OG MAGNETISKE MATERIALER 3.9 Resumé og supplerende læsning I dette kapitel har vi diskuteret metoder til bestemmelse af magnetfelter i forskellige situationer. Stammer feltet fra en strømbærende spole kan man benytte Biot og Savarts lov, der bestemmer feltet som en superposition af bidrag fra små strømelementer (UP p , ). Af denne lov kan man udlede Ampères lov, som kan lette feltberegningen i situationer med høj symmetri (UP p ). Vi angav et par særlig ofte brugte resultater for spolefelter. Vi beskrev herefter opførslen af den lille gruppe af vigtige magnetiserbare materialer, der kan have en yderst drastisk virkning på magnetfelterne. Magnetiseringen, M, skyldes énsretning af de atomare magnetiske momenter (UP p ). Den magnetiske flux i materialet skyldes dels magnetiseringen, dels påvirkes den af ydre kilder og geometriske effekter. Det magnetiske B-felt kan således skrives B = μ 0 (H+M), hvor H er et nyt felt, som er nyttigt, når magnetiske materialer er til stede. For H gælder igen en Ampère s lov. Nogle materialer opfører sig stort set lineært, så man kan skrive B = μ o μ r H. Så kan man f.eks. regne på en vigtig struktur som en jernring med en spole og et luftgab, hvor luftgabet giver adgang til feltet. Introduktionen af H-feltet giver en naturlig forbindelse til begrebet magnetiske poler og forklarer det såkaldte demagnetiseringsfelt, der afhængigt af geometrien søger at svække magnetiseringen.

27 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE 4 Magnetisk hysterese For en forståelse af en harddisks funktion og af hvorledes man kan skrive, læse og bevare magnetisk information er det vigtigt at vide noget om de forskellige typer af magnetiske materialer, som indgår i harddisken. I dette kapitel vil vi gennemgå fænomenet magnetisk hysterese, hvad magnetisk hysterese betyder for anvendelser og til hvilke anvendelser såkaldt magnetisk bløde og hårde materialer bruges. Vi vil nøjes med at diskutere ferromagnetiske materialer, dvs. materialer hvor de atomare magnetiske momenter lokalt peger i samme retning. 4.1 Hysterese-kurven Vi har tidligere etableret, at det felt man kan kontrollere ved at sende en strøm igennem en spole er H-feltet. Vi kan nu spørge om hvor magnetisk en prøve er i middel langs et givet påtrykt H-felt. Ved den målte magnetisering M af en prøve vil vi forstå det samlede magnetiske moment per volumen af prøven målt langs den positive retning af det påtrykte H-felt. Det bemærkes, at man i stedet for at måle M vs. H ligeså godt kan måle B vs. H. Om man måler M eller B afhænger af den eksperimentelle metode, der bruges til målingen og det er nemt at gå fra den ene måling til den anden ved at bruge ligning (3.1): B = 0 (H+M). +B r (+M r ) +B s (+M s ) -H c +H c Jomfrukurve -B s (-M s ) -B r (-M r ) Figur 4.1 Skematisk illustration af typisk jomfru- og hysteresekurve med indikation af de vigtigste parametre. Tager man en prøve af et ferromagnetisk materiale, der ikke har været påvirket af magnetfelter en såkaldt jomfruprøve, og måler B som funktion af H: (a) fra H=0 op til en værdi +H max (b) fra +H max til H max og tilbage til +H max ser en typisk kurve ud som i figur 4.1. (a) kaldes for jomfrukurven eller begyndelsesmagnetiseringskurven og (b) kaldes for hysteresekurven. Ordet hysterese kommer fra græsk og betyder forsinkelse. Fænomenet hysterese, dvs. at magnetiseringen afhænger af hvilke felter prøven har været udsat for, indikerer, at der er fundet irreversible processer sted. Hysteresekurven er karakteriseret ved en række parametre: den magnetiske permeabilitet, permeabiliteten er defineret som = B/H og er et mål for hvor kraftigt et materiale magnetiseres af et påtrykt felt. I vakuum er = 0. Det bemærkes at afhænger af feltet og af de felter prøven tidligere har været udsat for. En vigtig parameter er begyndelsespermeabiliteten, i, som er permeabiliteten ved lave felter på jomfrukurven. 3

28 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE den relative permeabilitet, r en praktisk størrelse defineret som r = / 0. I vakuum er r = 1. Visse ferromagnetiske materialer kan have værdier af r op til mætnings-magnetiseringen, M s (mætningsfluxtætheden, B s ) den maksimale værdi af magnetiseringen (fluxtætheden). den remanente magnetisering, M r (den remanente fluxtæthed, B r ) den magnetisering (fluxtæthed), der er tilbage, når H er reduceret fra H max til H = 0. koercitiv-feltet, H c det felt, der skal påtrykkes for at magnetiseringen (fluxtætheden) bliver lig med 0. Det understreges, at disse parametre og hysteresekurven kun er entydige, hvis prøven til at begynde med har været magnetisk mættet og dermed har en veldefineret udgangstilstand. I modsat fald vil den målte hysteresekurve afhænge af hvilke magnetfelter prøven har været udsat for tidligere og man kalder en sådan kurve for en minor hysteresekurve. Ved målinger af sådanne kurver er det vigtigt at specificere prøvens historik. Et blødt magnetisk materiale er defineret ved at det er nemt at magnetisere. Det betyder, at det skal have en høj permeabilitet, typisk en høj M s (eller B s ), et lille H c, en lav M r (eller B r ) og et lille areal af hysteresekurven. Dermed vil et blødt magnetisk materiale også let tabe hukommelsen af en tilstand, det har været magnetiseret i. Typiske anvendelser af bløde magnetiske materialer er til at lede og forstærke den magnetiske flux, f.eks. som kerner i spoler og transformatorer. Et hårdt magnetisk materiale er defineret ved, at det er svært at ændre magnetiseringen af det. Det betyder, at det typisk har en lille permeabilitet, en lidt lavere M s (eller B s ) end de bløde magnetiske materialer, et stort H c og en høj M r (eller B r ) og dermed et stort areal af hysteresekurven. Det hårde magnetiske materiale vil have en god hukommelse af en tilstand, det har været magnetiseret i. En typisk anvendelse af hårde magnetiske materialer er permanente magneter. Opgave 4.1 Parametre af hysteresekurven Estimer B s, B r og H c for den viste hysteresekurve. Hvor stor er H c sammenlignet med jordfeltet? Er materialet magnetisk blødt eller hårdt? Vi vil bruge det meste af resten af dette kapitel på af forstå mekanismerne bag hysterese og hvordan vi kan vælge materialer, så vi kan få bestemte hysterese-egenskaber. For at forstå drivkræfterne skal vi som altid i fysik finde og minimere energien. Nedenfor vil vi derfor gennemgå vigtige energibidrag. 4

29 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE 4. Energien af et materiale i et magnetfelt Udført arbejde ved magnetisering af et materiale Vi betragter et materiale med en magnetisering M(H), som påvirkes af et eksternt magnetfelt H. Vi kan forestille os at materialet er anbragt inden i en spole, som vi kontrollerer strømmen igennem. Vi ønsker at finde det arbejde, vi (strømforsyningen) udfører på systemet, når vi skruer magnetfeltet fra nul op til en værdi H 0. Det er tidligere blevet nævnt, at magnetiske kræfter ikke kan udføre et arbejde på en ladning. I dette tilfælde skyldes det udførte arbejde dog, at en variation af et magnetfelt giver anledning til et elektrisk felt (via induktionsloven), som kan udføre et arbejde. I en generel termodynamisk udledning, som falder udenfor rammerne af dette kursus, kan man vise at det arbejde, W mag, som udføres på systemet, når H-feltet skrues op fra nul til feltet H 0, er H0 mag 0V M H 0 dh. W (4.1)* Som mekanisk arbejde (eksempel 4.1) kan det udførte arbejde på systemet gå til udvikling af varme (Q) og til en ændring af systemets potentielle magnetiske energi (E mag ): W mag = Q + E mag. Hvis der udvikles varme, vil systemet ikke vende tilbage til udgangstilstanden, når feltet skrues tilbage til nul. Ændringen af systemets tilstand er dermed irreversibel og det vil have en hukommelse af at det har været udsat for et magnetfelt. Omvendt, hvis der ikke er energitab i form af varme, vil systemet reversibelt vende tilbage til udgangstilstanden, når feltet skrues tilbage til nul, uafhængigt af hvordan dette gøres. Sådanne systemer kaldes for konservative. Eksempel 4.1 Mekanisk arbejde og konservative systemer Det mekaniske arbejde, vi udfører for at bringe et legeme, der undervejs påvirkes af kraften F(r), fra stedet 0 til r 0 er r0 W mek F r dr. 0 Hvis F(r) for eksempel er gnidningskraften er den hele tiden modsat rettet dr og W mag bliver dermed positiv. Det udførte arbejde kan både gå til varme (Q) og til at ændre systemets potentielle energi (E pot ), dvs. Wmek Q E pot. Et system kaldes konservativt, hvis der ikke er energitab til varme og i dette tilfælde er W mek uafhængig af hvordan vi bevæger os fra 0 til r 0. Et eksempel på et konservativt system er tyngdefeltet (jvf. eksempel 3.1), hvor vi kan definere den potentielle energi E pot =mgh, hvor m er legemets masse, g er tyngdeaccelerationen og h er højden over et defineret nulpunkt. Omvendt, hvis legemets start- og slutposition er den samme, vil alt udført arbejde gå til varmeudvikling. Den potentielle magnetiske energi i konservative systemer I konservative systemer definerer vi systemets potentielle magnetiske energi, E mag, som det arbejde, vi har udført på systemet ved at øge det eksterne felt fra nul til H 0 : H0 mag 0V M H 0 dh. E (4.)* En ændring af systemets magnetiseringsretning, som giver anledning til et fald af E mag, betyder, at systemet vinder energi ved ændringen og dermed er en lavest mulige værdi af E mag mest fordelagtig. 5

30 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE Vi kan bruge ligning (4.) til at udlede et vigtigt resultat for et materiale med en konstant størrelse af magnetiseringen, M(H)= M=M s (f.eks. en permanent magnet). I dette tilfælde integreres der over en konstant i ligning (4.), som dermed giver at E mag VM H VM H cos, (4.3)* 0 0 s hvor er vinklen mellem M og H. Dermed kan systemet vinde energi ved at rette M ind langs H, hvilket netop er den effekt, der ses for en kompasnål. Ligning (4.3) kaldes for Zeeman-energien af systemet. Varmeudvikling ved gennemløb af hysteresekurve Som allerede antydet er hysterese direkte relateret til irreversibiliteter og at der udvikles varme som følge af det udførte arbejde på systemet. Ved brug af ligning (4.1) kan vi udregne hvor meget arbejde, det drejer sig om, hvis vi integrerer over hele hysteresekurven fra +H max til H max og tilbage til +H max et sådant integral indikeres med en cirkel på integraltegnet: W mag,loop V 0 Hmax 0V M Hmax Feltet går fra til - M H dh Hmax dh H max Feltet går fra - til H dh MH Hvis H max er valgt, så systemet bliver magnetisk mættet, er start- og sluttilstandene identiske. Dermed er der ikke nogen ændring af systemets potentielle magnetiske energi og alt det udførte arbejde på systemet går til varme. Måles B vs. H kurven, haves at B(H)= 0 (H+M(H)). Indsættes B(H) i stedet for M(H) i formlen ovenfor, ses at det lineære bidrag 0 H ikke bidrager til integralet, således at der også gælder (4.4) Wmag, loop V B H dh. (4.5) Vi har dermed vist, at der ved gennemløb af en hysteresekurve afsættes varme i materialet svarende til arealet omsluttet af hysteresekurven ganget med 0 V for M vs. H eller V for B vs. H. Ofte kan man få et rimeligt bud på dette areal ved approksimationen W 4VB H VM H, (4.6) mag, loop r c 4 hvor kurven antages at være et rektangel med sider H c og B r. 0 r c Opgave 4. Estimer varmeudviklingen pr. volumen for et gennemløb af hysteresekurven af materialet fra opgave 4.1. Hvor stor en effekt afsættes i 1 cm 3 af materialet, hvis materialet bruges som kerne i en spole, der driver materialet i mætning og opererer med en frekvens på f = 10 khz? 4.3 Den magnetiske anisotropienergi Vi vil nu se på et andet vigtigt bidrag til energien i et magnetisk materiale: Det viser sig, at magnetiske materialer er nemmere at magnetisere i nogle retninger end andre. Disse retninger kaldes for nemme magnetiseringsretninger. Omvendt vil magnetiske materialer dermed også være svære at magnetisere i andre retninger, som dermed kaldes for hårde magnetiseringsretninger. Dette skyldes, at den magnetiske energi afhænger af orienteringen mellem magnetiseringsretningen og materialets 6

31 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE struktur eller form. Den magnetiske energi er dermed anisotrop og har fået navnet den magnetiske anisotropi-energi. Magnetiseringen vil søge at pege langs én af de nemme retninger og hvis den tvinges til at have en anden retning, koster det noget energi. Det simpleste tilfælde er, hvis der er to nemme antiparallelle retninger dette kaldes også en nem akse. I dette tilfælde kan man sædvanligvis skrive energibidraget som E KV sin, (4.7)* an hvor er vinklen til den nemme akse, K er materialets anisotropikonstant og V er det volumen der betragtes. Dette udtryk er vist grafisk i figur 4.. M E() KV Nem akse Figur 4. Illustration af ligning (4.7). Den magnetiske anisotropi-energi af et magnetisk domæne med en nem akse. Det ses at energien er mindst for = 0 og =. Lad os kvalitativt betragte grafen i figur 4. i to tilfælde: (1) Lad os først forestille os, at vi påtrykker et ydre magnetfelt, så magnetiseringen roteres fra = 0 til en vinkel / < < / og at vi derpå fjerner det ydre felt. Efterfølgende vil magnetiseringen finde tilbage til den nærmeste nemme retning, dvs. til udgangspunktet = 0. Da systemet således ikke har nogen hukommelse af processen er rotationen af magnetiseringen dermed reversibel og der er ikke noget energitab i form af varme. () Nu påtrykker vi et ydre magnetfelt, så magnetiseringen roteres fra = 0 til en vinkel > / og derpå fjerner vi det ydre felt. Magnetiseringen vil igen finde tilbage til den nærmeste nemme retning, som nu er ved =. Da sluttilstanden denne gang er forskellig fra starttilstanden er rotationen af magnetiseringen irreversibel og der er sket et energitab i form af varme. Vi vil vende tilbage til ligning (4.7) flere gange senere i denne note og se at begge ovenstående eksempler er vigtige for at forstå hvordan magnetiske materialer opfører sig og anvendes i en harddisk. 4.4 Magnetiske domæner Vi er nu klar til at gå lidt mere i dybden med hysterese. Hvis man tager en stang af jern, som er et typisk ferromagnetisk materiale, vil man finde, at selvom jern er ferromagnetisk virker stangen umiddelbart umagnetisk. Forklaring på dette er, at jernet i stangen inddeles i nogle områder kaldet magnetiske domæner. Inden i hvert domæne peger alle de atomare magnetiske momenter i samme retning, men domænerne vil have forskellige retninger af magnetiseringen, således at der er en tendens til at stangens ydre magnetisering er tæt ved nul. Dette er illustreret i figur

32 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE (a) (b) Figur 4.3 (a) skematisk illustration af en stang, som er inddelt i magnetiske domæner. Inden i hvert domæne er de atomare magnetiske momenter parallelle (fra [Callister]). Magnetiseringsretningerne af domænerne vil søge at minimere feltet udenfor prøven. Dette er illustreret i (b). Grænserne mellem de magnetiske domæner kaldes domænevægge. Disse grænser er ikke skarpe som antydet i figur 4.3. Hvis man zoomer ind på en domænevæg, vil man se at magnetiseringsretningen ændres gradvist fra det ene domæne til nabodomænet, som illustreret i figur 4.4. Denne gradvise ændring sker over en vis afstand, som kaldes domænevæggens tykkelse. Figur 4.4 Illustration af drejningen af de atomare magnetiske momenter i en 180 domænevæg (fra [Callister]). Energibidrag fra demagnetiseringsfeltet drivkraften bag domænedannelse Lad os betragte et magnetiseret legeme, som ikke påvirkes af et ydre magnetfelt. Dette legeme vil dog stadig mærke demagnetiseringsfeltet (afsnit 3.8), som giver anledning til et energibidrag. Vi forestiller os, at der langsomt skrues op for demagnetiseringsfeltet fra nul til værdien H d samtidig med at den øjeblikkelige værdi af demagnetiseringsfeltet og magnetiseringen er forbundet ved H = N d M (ligning (3.16)). Så får vi af ligning (4.), at E mag V 0 Hd Hd MdH 0V H N d dh 1 0VN dm. (4.8) 0 0 Det ses, at E mag i dette tilfælde er positiv og dermed at det koster i energi at magnetisere materialet i et enkelt domæne. Det noteres, at bidraget til energien er proportionalt med volumenet af materialet. Naturen er indrettet således, at materialet vil søge at minimere energien. De energier, der er årsag til at materialet er ferromagnetisk, er langt større end W mag, så den ferromagnetiske orden (og dermed værdien af M i et domæne) ændres ikke pga. demagnetiseringsfeltet. Det samlede volumen V af materialet ændres heller ikke, så det eneste sted energiomkostningen kan mindskes, er ved at N d reduceres. Da N d er relateret til antallet af frie nord og sydpoler ved overfladen af materialet og deres afstand fra hinanden kan materialet reducere N d ved at mindske dette antal og 8

33 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE ved at have stor afstand mellem de frie magnetiske nord og sydpoler, der måtte være. Dette opnås netop ved inddelingen i domæner, hvis magnetiseringer har en tendens til at lave lukkede kredsløb (med nord- og sydpoler i halen af hinanden). Da domæneinddelingen således har til formål at mindske antallet af frie nord og sydpoler ved overfladen af materialet, betyder den også at feltet omkring materialet og magnetiseringen af materialet som helhed vil blive reduceret, jvf. figur 4.3(b). Energibidrag fra domænevægge begrænsning af domænedannelse Det næste vi vil se på er en mekanisme, der gør at domæneinddelingen standser ved en bestemt domænestørrelse. Det viser sig nemlig, at det ikke er uden omkostninger at lave domænevægge. Der findes flere måder en domænevæg kan dannes på. Vi vil nøjes med at se på den mest almindelige og relevante, som kaldes en Bloch væg. Figur 4.4 viser en Bloch væg, hvor magnetiseringsretningen foretager en trinvis 180 graders drejning i væggens plan i et materiale med en nem akse i den lodrette retning. Af hensyn til overskueligheden og for at bevare fokus på emner, der er specifikt relevante for harddisken, har vi valgt ikke at gennemgå de detaljerede udledninger af resultaterne nedenfor. Den interesserede læser kan dog læse alle detaljer i appendix A. Drejningen af de atomare magnetiske momenter i domænevæggen har to konsekvenser: a) Forøgelse af exchange-energi De magnetiske momenter af to naboatomer i væggen er ikke parallelle. Dette koster i exchange-energi (jvf. ligning (3.9) i afsnit 3.3). En detaljeret udregning giver, at denne energiomkostning per areal af væggen er omvendt proportional med tykkelsen af domænevæggen, dvs. at dette bidrag søger at gøre væggen så tyk som muligt. b) Forøgelse af anisotropi-energi Retningerne af de magnetiske momenter i domænevæggen afviger fra den nemme akse og dermed koster det i anisotropi-energi (jvf. afsnit 4.3). En detaljeret udregning giver, at dette bidrag er proportionalt med anisotropikonstanten (K) og væggens tykkelse, dvs. at dette bidrag søger at gøre væggen så tynd som muligt. Den endelige tykkelse,, af domænevæggen er resultatet af et kompromis mellem disse to energibidrag og er givet ved A K, (4.9) hvor parameteren A J/m. Energien pr. areal af domænevæggen er Bloch AK. (4.10) For kobolt, eksempelvis, hvor K = Jm -3, fås = 15 nm og Bloch = 6,66 mj/m. Domænedannelse og enkeltdomænepartikler Vi har nu to energibidrag eet hidrørende fra demagnetiseringsfeltet, som er en volumeneffekt og eet fra energiomkostningen ved dannelsen af domænevæggene, som er en arealeffekt. Materialet vil søge at danne domænevægge, således at den samlede energi, som er summen af demagnetiseringsenergien, energien i domænevægge og energien i et eventuelt eksternt magnetfelt (Zeemanenergien, ligning (4.3)) er mindst mulig. Der findes således en optimal domænestørrelse og domæneinddeling for et magnetiseret legeme af en given form og beskaffenhed. Hvis en partikel med radius r gøres stadigt mindre vil energiomkostningen til en domænevæg skalere med r mens energiomkostningen til demagnetiseringsfeltet skalerer med r 3. Dermed vil der findes en mindste størrelse af r crit, hvor energiomkostningen til domænevæggen bliver større 9

34 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE end den opnåelige reduktion i demagnetiseringsenergien. Under denne kritiske størrelse vil det dermed ikke kunne betale sig at danne domæner og partiklen vil bestå af et enkelt domæne. Vi kalder den for en enkelt-domænepartikel. I appendix A er vist at den kritiske radius er r crit 9 AK. (4.11) M 0 s For kobolt, eksempelvis, hvor M s = A/m, fås r crit = 3 nm. Som vi vil se, har enkeltdomænepartikler og enkelt-domæne tynde film vigtige anvendelser i harddisken. 4.5 Hysteresekurver af enkelt-domæne materialer Vi vil betragte et enkelt-domæne materiale med en nem akse i to situationer: (1) det påtrykte magnetfelt er vinkelret på den nemme akse; () det påtrykte felt er langs med den nemme akse. I begge tilfælde er den magnetiske energi summen af anisotropienergien og Zeeman-energien: E KV sin 0VM H. (4.1) Det understreges, at den målte magnetisering, M, er defineret som projektionen af magnetiseringsvektoren, M, ind på den positive felt-retning og at M s = M. (1) Magnetfelt påtrykt vinkelret på den nemme akse H M/M s 90- M 1 nem akse - H K H K H -1 Figur 4.5 Enkeltdomænemateriale i et H-felt vinkelret på den nemme akse og den resulterende hysteresekurve. Med vinklerne defineret i figur 4.5, fås at den magnetiske energi er E KV sin 0MsVH cos90. (4.13) KV sin M VH sin 0 s Vi differentierer nu energien og sætter den afledede lig med nul for at finde den vinkel, hvor energien er minimal og får de KV sin cos 0MsVH cos 0 d 0MsH H sin og/eller cos 0 K H Her har vi defineret den vigtige parameter H K 0 s K (4.14)* K, (4.15)* M som kaldes for anisotropifeltet. Den målte magnetisering er så M = M s sin = M s H/H K for H H K og M = M s for H > H K. Dermed ser hysteresekurven ud som illustreret til højre i figur

35 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE Den fysiske betydning er, at magnetiseringen gradvist roterer ind mod det ydre felt og ved H= H K er helt rettet ind. For H < H K er den relative permeabilitet konstant og lig med M s /H K +1 (= 0 M s /(K)+1). () Magnetfelt påtrykt langs den nemme akse H M/M s M 1 nem akse - H K H K H Figur 4.6 Enkeltdomænemateriale i et H-felt langs den nemme akse og den resulterende hysteresekurve. -1 Med vinklerne defineret i figur 4.6 fås, at den magnetiske energi er E KV sin 0MsVH cos. (4.16) I dette tilfælde er der for lave ydre felter kun energiminima langs de to nemme retninger og vi kan derfor ikke bruge den 1. afledede af energien. Lad os i stedet bruge en grafisk metode. Figur 4.7 viser ligning (4.16) for udvalgte værdier af H. 1 E/KV H=0 H=H K / H=H K H=1.1H K (grader) Figur 4.7 Grafer over E/KV fra ligning (4.16) for forskellige positive værdier af H/H K. For H<H K er energiminimet ved 180 stabilt. Når H H K forsvinder energiminimet ved 180 og magnetiseringen skifter til energiminimet langs 0. Det omvendte gælder for negative værdier af H/H K Som illustreret i figur 4.7 er energiminimet ved = 180 stabilt indtil H = H K, hvor magnetiseringen pludselig vil skifte orientering til det tilbageværende energiminimum ved = 0. Det betyder, at M = M s indtil H = +H c = H K, hvor den øjeblikkeligt skifter fortegn til M = +M s. Dette forklarer den nederste gren af hysteresekurven i figur 4.8. Den øverste gren forklares analogt for negative værdier af H. Bløde og hårde magnetiske egenskaber fra enkeltdomæne-materialer Det ses, at ønskes hårde magnetiske egenskaber af et materiale i en bestemt retning, kan det opnås ved at sammensætte materialet af enkeltdomænepartikler med en høj anisotropikonstant og med den lette magnetiseringsakse langs den givne retning. Denne teknik udnyttes i stor udstrækning i de avancerede hårde magnetiske materialer. Omvendt, ønskes bløde magnetiske egenskaber i en bestemt retning, kan disse opnås ved at sammensætte materialet af enkeltdomænepartikler med en lille anisotropikonstant og med den lette magnetiseringsakse vinkelret på den givne retning. I dette 31

36 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE tilfælde er permeabiliteten en konstant, som kan ændres ved at ændre anisotropikonstanten og der er ingen hysterese og intet tab af energi til varme. 4.6 Forklaring af hysteresekurven Vi kan nu endelig forklare hysteresekurvens forløb for en typisk prøve. Figur 4.8 Venstre: Illustration af typisk jomfru magnetiseringskurve med illustration af domænestørrelser og magnetiseringsretninger af domæner. Højre: Illustration af hysteresekurve og minor hysteresekurver. (begge fra [Callister]). Materialet kan bestå af store multidomæne-områder, som er meget større end den kritiske størrelse og af små isolerede enkeltdomæneområder, som er mindre end den kritiske størrelse. Vi vil skelne mellem disse to typer nedenfor. De magnetiske domæner vil ved start være orienteret i tilfældige retninger, således at den samlede magnetisering er lig med nul (figur 4.8, venstre). Opførsel af multi-domæneområder Når H-feltet øges, vil de domæner, der er magnetiseret langs det påtrykte felt, vokse på bekostning af domæner, der er magnetiseret modsat det påtrykte felt. Dette sker ved at domænevæggene vandrer gennem materialet. Hvis det ikke koster meget energi at flytte domænevæggene, kan M (og B) vokse voldsomt selv i et meget lille ydre magnetfelt. Når H-feltet øges yderligere, vil domænevæggene bevæge sig gennem hele materialet og magnetiseringen vil søge at være nær den af de nemme retninger som er parallel med det påtrykte felt. Endelig, hvis H-feltet forøges yderligere, vil magnetiseringen langsomt blive roteret lidt væk fra den nemme retning således at den til sidst peger langs H-feltet (figur 4.8, venstre). Når H-feltet efterfølgende reduceres, er det ikke sikkert at domænevæggene vil bevæge sig på samme måde, som da feltet blev forøget og den magnetiske opførsel kan blive irreversibel (eksempler i figur 4.8, højre). Irreversibiliteten kan skyldes mekanismer, der yder modstand mod domænevæggens bevægelse f.eks. urenheder og defekter i materialet. Man kan tænke på denne modstand mod ændringen af magnetiseringen som en form for magnetisk friktion. Opførsel af enkelt-domæneområder Opførslen af enkelt-domæneområder vil afhænge stærkt af, hvordan den nemme akse er orienteret i forhold til magnetfeltet. Områder, hvor den nemme akse er langs feltet, vil bidrage med en kvadratisk hysteresekurve, mens områder, hvor den nemme akse er vinkelret på feltet, vil bidrage med en reversibel hysteresekurve. Ved tilfældigt orienterede nemme akser fås en hysteresekurve, der minder om den illustreret til højre i figur 4.8. Ved at optimere fremstillingen, så materialet består af magnetisk isolerede enkelt-domæneområder med parallelle nemme akser og vælge 3

37 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE materialer med passende anisotropikonstanter, kan meget bløde eller hårde magnetiske egenskaber opnås. 4.7 Typiske bløde og hårde magnetiske materialer Typiske bløde magnetiske materialer Tabellen opsummerer typiske egenskaber af nogle af de mest almindelige bløde magnetiske materialer. Koercitivfelterne for de bedste af de bløde magnetiske materialer er af størrelsesorden 10 A/m eller mindre. Til sammenligning er jordens magnetfelt ca. 40 A/m. Det understreges, at mætningsfluxtætheden er en materialekonstant, som kun afhænger af materialets sammensætning, mens permeabiliteten og hysteresetabet afhænger af hvordan materialet er fremstillet. Materiale Sammensætning Begyndelsespermeabilitet ( i ) [ 0 ] Mætningsfluxtæthed (B s ) [T] Hysteresetab (W mag,loop ) [J/m 3 ] Jern 99.95Fe Silicium-Jern 97Fe, 3Si permalloy 55Fe, 45Ni Supermalloy 79Ni, 15Fe, 5Mo, 0.5Mn Tabel 4.1 Oversigt over udvalgte parametre af de mest almindelige bløde magnetiske materialer. Typiske hårde magnetiske materialer Tabellen nedenfor opsummerer typiske egenskaber ved stuetemperatur af nogle af de mest almindelige hårde magnetiske materialer. Materiale Sammensætning Remanens (B r ) [T] Koercivitet (H c ) [A/m] Barium-ferrit BaO-6Fe O Alnico 8 34Fe, 7Al, 15Ni, Co, 4Cu, 5Ti Samarium-kobolt SmCo NdFeB Nd Fe 14 B Tabel 4. Oversigt over udvalgte parametre af de mest almindelige hårde magnetiske materialer. Barium-ferrit bruges typisk til ukritiske anvendelser, hvor det er vigtigt at omkostningerne holdes lave, f.eks. køleskabsmagneter. Alnico magneter koster lidt mere at fremstille mens magneterne, der er baseret på de sjældne jordarter samarium og neodymium er dyre at fremstille. NdFeB magneter er de kraftigste permanente magneter, der kan købes. Opgave 4.3 Hvilke magnetiske egenskaber er ønskværdige i (a) kernen i en elektromagnet, der løfter biler på en losseplads? (b) kernen i en transformator? (c) en køleskabsmagnet? 33

38 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE Opgave 4.4 Figuren illustrerer skrivning-/læsning af magnetisk information i en harddisk. Hovedet generer et magnetfelt, der orienterer de magnetiske partikler i lagringsmediet, som dermed husker skrivefeltet. Hvilke magnetiske egenskaber er ønskværdige og hvordan ser den ideelle hysteresekurve ud for (a) kernen i skrivehovedet i en harddisk? (b) de magnetiske bits på en harddisk? 4.8 Måling af hysterese-kurver I dette afsnit vil vi beskrive én måde, hvorpå man kan måle B vs. H hysterese-kurver af ferromagnetiske materialer. Lad os betragte en geometri, som vist i figur 4.9, hvor en torus af et magnetisk materiale med middeldiameter d og tværsnitsareal A er omviklet med en excitationsspole med n e vindinger og en detektionsspole med n d vindinger. d I(t) n e n d U ind (t) Excitationsspole Detektionsspole Figur 4.9 Geometri ved måling af B vs. H kurve af en torus af et magnetisk materiale. 34

39 KAPITEL 4: MAGNETISK HYSTERESE Lad strømmen gennem excitationsspolen være givet ved I t I sint. (4.17) 0 Så fås ved brug af ligning (3.13) (Ampères lov) at H-feltet i excitationsspolen bliver nei 0 H t sint. (4.18) d Det påtrykte H-felt fra excitationsspolen giver anledning til en magnetisk flux (t)=b(t)a gennem torus en og dermed en samlet flux tot (t)=n d B(t)A gennem detektionsspolen. Induktionsloven siger, at en ændring af den magnetiske flux gennem et elektrisk kredsløb inducerer en elektromotorisk kraft givet ved U ind d ( t ) tot. (4.19) dt Hvis vi indsætter vores udtryk for tot (t) i denne formel, får vi hermed at den elektromotoriske kraft induceret i detektionsspolen er givet ved t db U ind nd A. (4.0) dt Dermed har vi til tiden t=t 0, at t 0 1 B( t 0 ) U ind( t )dt n A. (4.1) d 0 Plottes datasæt af (H(t 0 ),B(t 0 )) som funktion af t 0 fås hysteresekurven. 4.9 Resumé og supplerende læsning I dette kapitel har vi diskuteret magnetisk hysterese (UP p ), hysteresekurven og dens parametre: magnetisk permeabilitet (), mætningsmagnetisering (M s ), remanent magnetisering (M r ) og koercitivfeltet (H c ). Vi har betragtet det arbejde, der udføres på et magnetisk system når der skrues op for et eksternt magnetfelt og udledt Zeeman-energien, E mag = 0 VMH, for et emne med konstant magnetisering og vist at arealet af hysteresekurven er proportionalt med varmeudviklingen i materialet. Den magnetiske anisotropienergi og anisotropikonstanten, K, er defineret og betragtet. Det er vist, at magnetiske domæner opstår som følge af en energibalance mellem energiomkostningerne til demagnetiseringsfeltet (volumeneffekt) og domænevægge (arealeffekt). Hvis det magnetiserede legeme var mindre end en kritisk størrelse, består det af et enkelt magnetisk domæne. Vi har udledt hysteresekurverne for enkeltdomænematerialer, når det ydre felt er påtrykt henholdsvis vinkelret på og langs med den nemme magnetiseringsakse og fundet at de kan beskrives ved brug af anisotropifeltet, H K = K/ 0 M s. Hysteresekurvens udseende er forklaret ved brug af vores viden om enkelt- og multidomænematerialer. Bløde og hårde magnetiske materialer er defineret og vi har diskuteret disse for forskellige teknologiske anvendelser. Endelig er det gennemgået, hvordan hysteresekurver kan måles på en torus af et magnetisk materiale ved en induktiv metode. 35

40 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK 5 Den moderne harddisk I nedenstående sektion vil vi kort introducere princippet i magnetisk lagring i en harddisk. I de følgende sektioner vil vi derpå gå mere i detalje med de forskellige komponenter i harddisken, hvorpå vi vil diskutere nanoteknologi-aspekterne af en moderne harddisk. 5.1 Introduktion til magnetisk lagring Harddisk enheden består af et magnetisk medie, et skrivehoved og et læsehoved. Princippet i skrivning af magnetiske data er illustreret i figur 5.1. Figur 5.1 Illustration af skrivning af magnetisk information (fra [ReadRite]). Skrivehovedet består af en spole, som er indkapslet i en ring af et magnetisk blødt materiale. Ringen har en lille åbning tæt ved mediet. Når der sendes en strøm igennem spolen, vil der dannes et kraftigt magnetfelt i og tæt ved åbningen. Dette er illustreret med sydpol ( S ) og nordpol ( N ) i figuren. Magnetfeltet er kraftigt nok til at orientere/ensrette magnetiseringen i lagringsmediet lige nedenunder skrivehovedet. De magnetiske bits 0 eller 1 skrives på følgende måde: Mediet bevæges under hovedet med konstant hastighed. En timer giver pulser ( clock ticks ) med konstant frekvens. Hvis man ønsker at skrive 1 på mediet ved en given puls, ændres retningen af strømmen i spolen og dermed magnetiseringsorienteringen i mediet. Ønsker man at skrive 0 ved en given puls, laves ingen ændring af strømmen gennem spolen. 36

41 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Figur 5. Illustration af læsning af magnetisk information (fra [ReadRite]). Princippet i læsning af data er illustreret i figur 5. og foregår ved den omvendte proces af skrivningen. Hovedet består af en magnetfeltssensor, som detekterer magnetfeltet fra mediet. Denne sensor er baseret på magnetoresistans (MR), som er en effekt, der giver en afhængighed mellem den elektriske modstand og det magnetfelt, som sensoren påvirkes af. Mediet (disken) bevæger sig under læsehovedet med konstant omdrejningshastighed. Når læsehovedet passerer et sted hvor magnetiseringen i mediet ændrer retning, vil der ske en brat ændring af det magnetfelt, læsehovedet er påvirket af. Dette resulterer i en brat modstandsændring af sensoren, som kan detekteres som en puls. Ved en given timer puls ( clock tick ) checkes om der samtidig kommer en puls fra læsehovedet. Hvis der er en puls, er der læst 1 og hvis der ikke er en puls, er der læst 0. Det er vigtigt, at sensoren kun ser magnetfeltet fra mediet umiddelbart under sensoren og at pulsen ved overgange bliver så kort og skarp som muligt, da det ellers kan være svært at skelne enkelte pulser og dermed bits fra hinanden. Derfor er sensoren afskærmet mod magnetfeltet fra nærliggende bits ved at anbringe den i en sandwich mellem to lag magnetisk blødt materiale. Denne afskærmning reducerer feltet fra nærliggende bits men bidrager også til at gøre pulsen skarpere for overgange. I alle moderne harddiske er læse- og skrive-hovedet bygget sammen til en enkelt integreret enhed, som er illustreret i tværsnit i figur 5.3. Kun den nederste del af skrivehovedet er vist. Figur 5.3 Illustration af et integreret læse-/skrivehoved (fra [ReadRite]). Udover den lavere samlede produktionsomkostning har det integrerede hoved den fordel at læsning og skrivning foregår under identiske geometriske betingelser, hvilket er vigtigt for pålideligheden af harddisk enheden. Som det fremgår af illustrationen, benyttes det midterste magnetisk bløde lag både til afskærmning under læsning og til magnetisk pol under skrivning. 37

42 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK 5. Skrivning af magnetiske data Vi ser nu på skrivedelen af hovedet i mere detalje. Figur 5.4 er en illustration af skrivehovedet set forfra og fra siden. Hovedets formål er at generere et stort magnetfelt lige under gabet ( gap på figuren), hvor mediet vil befinde sig. Top pole og Bottom pole i illustrationen er lavet af et magnetisk blødt materiale. (a) (b) Figur 5.4 (a) Illustration af elektromagneten i skrivehovedet (fra [ReadRite]) og (b) gentagelse af figur 3.1 en ring af et blødt magnetisk materiale med et luftgab af størrelse d. Approksimativ værdi af magnetfeltet inde i gabet Strukturen af elektromagneten i figur 5.4(a) er ækvivalent med en ringkerne af et blødt magnetisk materialer med en lille revne, som vi tidligere har betragtet i kapitel 3.7. Der fandt vi, at den magnetiske fluxtæthed dybt inde i luftgabet er 0NI Bgap 0H gap. (5.1) d Det vil sige at feltet i gabet vokser omvendt proportionalt med gabets størrelse. Nær kanterne af gabet, vil feltet være reduceret i forhold til denne værdi. Approksimativt udtryk for magnetfeltet udenfor gabet Karlqvist approksimationen For at kunne skrive på det magnetiske medie skal der være et tilstrækkeligt stort magnetfelt i mediets plan lige under gabet. Vi vil derfor undersøge, hvorledes feltet ser ud og aftager med afstanden udenfor gabet. Der findes desværre ikke nogen eksakte analytiske udtryk for dette felt, som derfor findes ved hjælp af computersimuleringer. Vi vil derfor betragte et simpelt approksimativt analytisk udtryk. Vi benytter koordinater som defineret i figur 5.5(a). For anvendelserne er det vigtigt at kende både magnetfeltets størrelse og retning udenfor gabet. (a) (b) Hoved y x Hoved d H gap Figur 5.5 (a) Definition af koordinatsystem ved betragtningerne af skrivehovedet. (b) Illustration af H- feltlinierne i og omkring hovedet. 38

43 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Karlqvist har udledt en analytisk approksimation, som efterfølgende er blevet navngivet Karlqvist approksimationen [Karlqvist]. Denne antager, at feltet ved overfladen af gabet (dvs. x = 0 og y = 0 i figur 5.5(a)) er identisk med feltet H gab dybt inde i gabet og over overfladen af gabet har formen H H x y H gap yd x, y arctan x y d x, y H ln x d y x d y gap. (5.) 4. (5.3) Karlqvist approksimationen giver en lille overestimering af feltet udenfor gabet. For y d kan man benytte, at feltet lige over gabet (x = 0) kan approksimeres med H d NI x 0 y H y gap. (5.4) y x, Figur 5.6 viser plots af H x (x,y)/h gap for forskellige værdier af x og y. a) 0.35 b) y=d H x (x,y)/h gap y=d H x (x=0,y)/h gap y=4d x/d Figur 5.6 Plots af x-komposanten af Karlqvist feltet, ligning (5.), (a) som funktion af x (positionen i forhold til gabet) for y/d=1, og 4 og (b) for x=0 (lige over gabet) som funktion af y/d. Den stiplede linie i (b) er den simple approksimation, ligning (5.4). y/d Fra disse ligninger og figur 5.6 ses følgende vigtige ting: Det maksimale felt, der er til rådighed til at skrive med, aftager ca. reciprokt med afstanden mellem skrivehovedet og mediet. Når afstanden mellem skrivehovedet og mediet er lig med gabets bredde er der ca. 30% af feltet inde i gabet til rådighed til at skrive med. Bredden af felt-profilen i figur 5.6(a) vokser markant når afstanden mellem skrivehovedet og mediet øges. Opgave 5.1 En typisk værdi af koercitivfeltet (H c ) for mediet i en moderne harddisk er H c A/m. Hvis afstanden mellem mediet og skrivehovedet er lig med gabets størrelse i skrivehovedet (y = d), hvad er da den mindste størrelse H-feltet dybt inde i hovedets gab kan antage, hvis vi skal kunne skrive på mediet? Hvad er dermed den mindste størrelse af mætningsfluxtætheden (B s ) af det magnetiske materiale? [her kan benyttes at B-feltet dybt inde i gabet er det samme som i materialet]. 39

44 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Det ses, at det er kritisk at afstanden mellem hovedet og mediet er lille. Hvis afstanden forøges, kan man risikere at feltet ved mediet ikke er stort nok til, at man kan skrive information på det. En sådan forøgelse af afstanden er f.eks. årsagen til drop-outs (fald i signalet), som indimellem forekommer på båndoptagelser. Hvis afstanden er for lille, kan man risikere at størrelsen af det område hvor man skriver bliver for stort, således at den skrevne bit overskriver nabobits. For at undgå disse effekter er det essentielt, at afstanden mellem skrivehovedet og mediet er lille og konstant i tiden. Ved praktiske anvendelser er afstanden ofte væsentligt mindre end størrelsen af gabet i hovedet. Det område, hvorpå man skriver information, vil typisk være sammenligneligt med størrelsen af gabet i hovedet. Hvis hver enkelt skrevet bit skal være lille (dvs. at der kan lagres meget information), må hovedet derfor nødvendigvis selv være smalt og med et lille gab og afstanden mellem hovedet og mediet skal være lille. Det magnetiske materiale i skrivehovedet skal opfylde nogle krav. Det skal have en høj mætningsmagnetisering (M s ) for at opnå et tilstrækkeligt stort skrivefelt. et forsvindende areal af hysteresekurven (H c 0, M r 0) for at undgå hysteresetab. en høj og gerne konstant magnetisk permeabilitet () for at opnå en lineær sammenhæng mellem spolestrømmen og skrivefeltet. Denne ideelle opførsel svarer til hysteresekurven illustreret i figur 5.7. M +M s H -M s Figur 5.7 Ideel M-H kurve for det magnetiske materiale i et skrivehoved. Disse egenskaber kan opnås ved at benytte et blødt magnetisk materiale, hvori der er induceret en nem akse f.eks. ved at deponere materialet i et påtrykt ydre magnetfelt. Et sådant materiale vil essentielt bestå af et enkelt magnetisk domæne. Sørger man for, at det felt, hovedet skal generere, er vinkelret på den nemme akse, vil materialet udvise den ønskede hysteresekurve (jvf. afsnit 4.5). Det mest anvendte materiale til skrivehoveder er PermAlloy, som er en Ni-Fe legering med ca. 80at% Ni i forhold til 0at% Fe. Med dette forhold er 0 M s 1.1 T. Ønskes en højere værdi af 0 M s kan man øge andelen af jern. 5.3 Det magnetiske lagringsmedie Vi betragter nu en disk, hvorpå der er skrevet magnetisk information. Informationen skrives på disken således, at magnetiseringen enten peger langs med eller modsat læseretningen (figur 5.1). Det magnetiske materiale hvorpå informationen skrives skal opfylde en række krav. Det skal have to veldefinerede og stabile modsat rettede remanente magnetiseringstilstande en remanent magnetisering (M r ), der giver anledning til et tilstrækkeligt stort felt udenfor mediet (som er det vi skal detektere) et koercitivfelt (H c ), som er tilstrækkeligt stort til at informationen er stabil overfor demagnetiseringsfelter (som kommer fra M r ), felter fra nærliggende bits og eksterne felter 40

45 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK og det skal være tilstrækkeligt lille til, at vi kan ændre magnetiseringstilstanden med de felter, der er til rådighed fra skrivehovedet. Dermed bør et magnetisk medie lokalt opføre sig som illustreret i figur 5.8 M +M r - H c +H c H -M r Figur 5.8 Ideel M-H kurve for det magnetiske medie. Den skrevne information giver anledning til et magnetfelt udenfor mediet, som vi ønsker at detektere. Da vi har flere magnetiserede områder i spil, vil feltet uden for mediet primært komme fra overgange mellem forskellige magnetiseringsretninger. Størrelsen af feltet afhænger kraftigt af hvor skarpt overgangen er defineret. Figur 5.9 illustrerer en overgang mellem to forskellige magnetiseringsretninger. Jo bredere og mere uskarp overgangen er i forhold til tykkelsen m af det magnetiske lag, des svagere bliver signalet fra overgangen. Dette er illustreret for x-komposanten af H-feltet i figur 5.9. a y x y= m / a= m /5 a= m / a= m M x m H x (x,y)/m r x x/ m Figur 5.9 Den venstre side viser et tværsnit af en overgang af bredde a mellem to modsatrettede magnetiserede område af et medie af tykkelse m. Vi definerer et koordinatsystem, hvor x-aksen har nulpunkt midt i overgangen og y-aksen har nulpunkt ved overfladen af mediet. Nederst til venstre er skitseret magnetiseringen i x-aksens retning. Den højre side viser magnetfeltet udenfor mediet i x-aksens retning i en afstand på y = m / fra mediet. Magnetfeltet langs x-aksen er illustreret for overgange med skarpheder a = m /5, m / og m. Som illustreret vil en uskarp overgang reducere signalet betragteligt og er dermed uønsket. Et kontinuert magnetisk materiale vil derfor ikke være velegnet til det magnetiske lagringsmedie, da domænevægge netop vil give relativt bløde overgange og endvidere kan bevæge sig gennem materialet. Da enkeltdomæne-partikler ikke kan danne domænevægge (og ydermere kan designes så de har en kvadratisk hysteresekurve, forudsat at de dannes med en nem akse langs med skriveretningen), bruges disse derfor i magnetiske medier. For at opnå en sådan hysteresekurve er det vigtigt at de enkelte partikler er afkoblede fra hinanden, da det ellers vil være muligt at danne en domænevæg, der breder sig over flere partikler. Ved en effektiv kontrol af sammensætning og deponeringsbetingelser er det muligt at fremstille granulære tynde film af afkoblede partikler med 41

46 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK næsten identiske størrelser og magnetiske egenskaber. Umiddelbart kunne man synes at det ville være oplagt at fremstille partikler eller øer så store at de hver ville svare til en enkelt bit, men da mønsteret i så fald skal defineres meget nøjagtigt, har det hidtil vist sig ikke at være en farbar vej. Dermed må man opnå skarpe overgange mellem forskellige magnetiseringsretninger ved at hver bit består af mange partikler. En kvalitativ illustration af dette er emnet for opgave 5.. Man kan vise at signal-støj-forholdet er proportionalt med N 1/, hvor N er antallet af partikler i hver bit. Det har vist sig at N ~ er tilstrækkeligt. Opgave 5. Vi skriver magnetisk information på granulære medier med partikler af forskellige størrelser som illustreret set ovenfra og ned på mediet i figur I alle tilfælde er størrelsen af en bit (dvs. et magnetiseret område) den samme og den er indikeret øverst i figuren. Vi antager at partiklerne kun kan magnetiseres i vandret retning i figuren og partiklernes magnetiseringsretninger er indtegnet efter hvilken orientering den største del af partiklen befinder sig i. Indtegn en grænse mellem partikler med forskellige magnetiseringsorienteringer på figuren, skitser middelmagnetiseringen af et snit på tværs af skriveretningen som funktion af x under de tre figurer og diskuter resultatet. M x(x) x M x(x) x M x(x) x Figur 5.10 Skitse af partikelmagnetiseringen set ovenfra i medier med forskellige kornstørrelser. En anden vigtig parameter er afstanden mellem læsehovedet og det magnetiske medie. Man kan vise, at feltet udenfor mediet fra en sinus-variation af mediets magnetisering er proportional med exp( y/), hvor er bølgelængden af de skrevne bits. Det betyder, at læsehovedet skal være så 4

47 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK tæt som muligt på mediet og at selv en lille forøgelse af afstanden mellem hovedet og mediet kan medføre et voldsomt fald i signalet. 5.4 Begrænsninger i udvikling af datatætheden Superparamagnetisme Lad os betragte grafen for den magnetiske anisotropienergi i figur De to energiminima er adskilt af en energibarriere af højde KV. Ved en endelig absolut temperatur T vil magnetiseringen ikke stå stille men være udsat for termiske fluktuationer. Hvis V er lille, kan KV blive sammenlignelig med den termiske energi k B T, hvor k B er Boltzmanns konstant og T er den absolutte temperatur. Det betyder at de termiske fluktuationer af magnetiseringsretningen kan blive så store at magnetiseringsretningen spontant skifter fra den ene nemme retning til den anden. M E() KV Nem akse Figur 5.11 Anisotropienergien af en enkeltdomænepartikel med en nem akse med indikation af den superparamagnetiske relaxationstid. Fænomenet kaldes for superparamagnetisme. Den tid,, der i middel går mellem at der skiftes mellem de to nemme retninger kaldes for den superparamagnetiske relaxationstid og er givet ved exp KV 0 kbt, (5.5)* hvor 0 ~ s for ferromagnetiske materialer. Hvis partiklerne bruges til lagring af magnetisk information, er denne effekt særdeles uønsket, da den vil slette hukommelsen af den skrevne information. Opgave 5.3 Betragt en enkeltdomænepartikel af kobolt ved stuetemperatur (T = 300K). (a) Find den partikelradius, r, hvor = 3600 s (=1 time). (b) Udregn for den halve og dobbelte værdi af denne radius. Diskuter resultatet. I udregningerne kan bruges værdierne K = Jm -3 og 0 = 10-9 s. Skrivefeltet og den superparamagnetiske grænse Det ydre magnetfelt, der skal til for at skrive på mediet skal være større end koercitivfeltet af partiklerne. Antager vi, at alle partikler har en nem akse langs skriveretningen, har vi fra afsnit 4.5, at koercitivfeltet er H c K HK. (5.6) M 0 s For en fordeling af nemme retninger vil koercitivfeltet reduceres og hysteresekurven vil ikke længere være perfekt kvadratisk. Ligning (5.6) siger, at mediets koercitivfelt ved første øjekast ikke 43

48 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK afhænger af partikelstørrelsen. Hvis man vil lave bits ene mindre og bevarer antallet af partikler i en bit, er man nødt til at lave partiklerne mindre. Når partikelstørrelsen reduceres, vil energibarrieren, KV, der adskiller de to energiminima for partiklerne også blive tilsvarende mindre og partiklerne vil begynde at blive superparamagnetiske. Mediet vil dermed tabe hukommelsen af den skrevne information i løbet af den superparamagnetiske relaxationstid. Dette gør, at det er vigtigt at partikelstørrelsesfordelingen i mediet er meget snæver, da de mindste partikler lynhurtigt vil tabe hukommelsen. I takt med at partikel-/korn-størrelserne er blevet stadigt mindre, når informationstætheden er blevet forøget, har man derfor valgt materialer med stadigt større værdier af K for at holde KV konstant. Af ligning (5.6) kan vi dog se at H c dermed også forøges. Denne forøgelse har været acceptabel så længe, det stadig har været muligt for skrivehovedet at generere felter, der var større end H c. Bliver H c større end det tilgængelige skrivefelt, er det ikke længere muligt at skrive på mediet, som dermed bliver ubrugeligt. Denne grænse er blevet kaldt den superparamagnetiske grænse og har i en årrække virket som en uoverstigelig forhindring og en fundamental fysisk grænse for den fortsatte udvikling af informationstætheden på harddiske. Omgåelse af den superparamagnetiske grænse Det har vist sig, at det er muligt at omgå denne begrænsning ved brug af nogle snedige tricks, som vi kort vil gennemgå nedenfor: Termisk assisteret skrivning Her laves en lokal opvarmning med en laser af det område, hvorpå man ønsker at skrive information. Dette leder til en reduktion af K og også til en kortere superparamagnetisk relaxationstid (jvf. temperaturafhængigheden af den superparamagnetiske relaxationstid), som gør det muligt at skrive informationen. Antiferromagnetisk koblede medier ( AFC media ) I denne metode lægges der et andet ferromagnetisk lag af en mindre tykkelse nedenunder det oprindelige lag. De to lag er svagt koblede til hinanden og foretrækker at have antiparallel (=antiferromagnetisk) orientering af deres magnetiseringsretninger (figur 5.1). Figur 5.1 Illustration af et tværsnit af et AFC medium (fra [IBM]). Koblingen mellem de to lag vil effektivt stabilisere magnetiseringsretningen, således at anisotropienergien (KV) næsten vil svare til den samlede anisotropienergi for de to lag. Når man skriver information, vil man derimod på grund af den svage kobling mellem de to lag stort set kun skulle overkomme anisotropienergien for det øverste lag. Når magnetiseringsretningen af det øverste lag er ændret, vil det nederste lag efterfølgende følge efter på grund af den svage kobling. Når man læser, vil man stort set udelukkende se det øverste lag, da det er tættest på overfladen af mediet. Interesserede kan finde en beskrivelse, tegninger og en film, der illustrerer princippet på [IBM]. 44

49 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Lodrette medier ( perpendicular recording media ) I denne metode gemmes den magnetiske information lodret i stedet for vandret. Dermed kan hver enkelt bit laves med et større volumen samtidig med at arealtætheden af bits ene vokser. Dette kræver dog et helt nyt design af læseskrivehovedet og algoritmerne brugt ved læsningen. En illustration af princippet er vist i figur Figur 5.13 Illustration af vinkelret skrivning i en hard disk (kilde: Mønstrede medier ( patterned recording media ) I denne metode defineres et mønster af øer på disken, hvor hver enkelt ø svarer til en bit. Som diskuteret i opgave 5. er det essentielt for timingen mellem de læste signaler og clock-pulserne at disse øer er meget præcist defineret. Dette er ved at være indenfor rækkevidde på grund af den rivende udvikling indenfor nanoimprint litografi (NIL), hvor mønstre i en master ned til nanometer-dimensioner hurtigt og billigt kan reproduceres i en tynd polymerfilm på disken, således at der dannes et mønster af øer. På disse øer deponeres derpå det magnetiske materiale, der danner mediet. Ideen i mønstrede medier er illustreret i figur Figur 5.14 Illustration af mønstrede medier (venstre) og af deres fremstilling (højre) (kilde: 45

50 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Termisk assisteret skrivning er blevet testet i laboratorier, men blev ikke implementeret i produkter. Dette skyldes formodentlig den ekstra kompleksitet, det giver, at skulle opvarme mediet. Ideen med antiferromagnetisk koblede medier derimod har været så succesfuld at teknikken bruges i alle de nyere harddiske med vandret skrivning af data siden ca. 00. Siden 005 har man kunnet købe harddiske, hvor data lagres lodret i stedet for vandret. De nutidige diske med høj lagringskapacitet er alle af denne type. I starten af 009 er den højeste datatæthed 39 Gbit per kvadrattomme opnået af Seagate i deres Barracuda drev, som er 4. generation af drev med lodret lagring. Mønstrede medier har potentiale for datatætheder, som er større end 1 Tbit per kvadrattomme. Man kan endnu ikke købe diske med mønstrede medier, men der investeres store ressourcer i udviklingen af dem og fabrikationsmetoderne er ved at være modne til at massefremstille diske til en lav omkostning. Derfor forventes de at komme på markedet indenfor 5 år. De moderne harddiske med vandret skrivning bruger typisk partikler af legeringer af Co-Pt- Cr, Co-Ni-Pt eller Co-Cr-Ta. Typiske værdier af H c er A/m og typiske værdier af 0 M s er T. State-of-the-art medier har kornstørrelser og medietykkelser m ned til omkring 10 nm. Figur 5.15 viser et MFM (Magnetic Force Microscopy) billede af magnetisk information skrevet med høj datatæthed på et medie. Figur 5.15 MFM billede af information skrevet med høj datatæthed på et medie med en korndiameter på 10 nm (fra [Comerford]). 5.5 Læsning af magnetiske data Nu har vi betragtet, hvorledes information bliver skrevet og bevaret i en harddisk og mangler dermed at undersøge, hvorledes informationen læses igen. Vi erindrer, at vi ønsker at detektere overgange mellem forskellige magnetiseringsorienteringer. Læsehovedets udvikling Vi starter med lidt historie, som også er skematisk illustreret i figur

51 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Figur 5.16 Oversigt over udviklingen i skrive/læsehoveder i harddiske (fra [Hitachi]). I de første harddiske benyttede man induktiv læsning af de skrevne data, dvs. at magnetfeltsvariationen fra den skrevne information blev opsamlet i en pick-up spole, hvori den gav anledning til en induceret elektromotorisk kraft (spænding). Man kunne dermed bruge den samme spole til at læse og skrive med. Dette princip blev brugt frem til ca I starten var spolerne håndviklede, hvilket krævede en rolig og lille hånd og gjorde produktionen af hovederne omkostningsfuld. Senere fra omkring 1980 blev hovederne batchfremstillet ved tyndfilmsteknik. Det induktive princip var dog ikke optimalt, da signalet er svagt og afhænger af hvor hurtigt hovedet bevæger sig ind over mediet. Ydermere, vil signalet også falde, når størrelsen af den skrevne information og hovedet mindskes. Derfor ledte man efter andre principper til at detektere magnetfeltet, hvor signalet var større og uafhængigt af, hvor hurtigt hovedet blev bevæget ind over mediet. En umiddelbar kandidat var Hall-sensoren, men det viser sig, at ladningsomfordelingen i Hall-sensorer ikke foregår hurtigt nok til at en tilstrækkelig læsehastighed kan opnås. Man udviklede derpå sensorer baseret på anisotrop magnetoresistans (AMR), som er en effekt, der resulterer i at den elektriske modstand i en tynd film af et magnetisk materiale afhænger af vinklen mellem detektionsstrømmen og magnetiseringsretningen. Signalet fra disse sensorer er relativt lille (typisk få procent variation af den elektriske modstand) og signalet afhænger kvadratisk af det ydre felt. GMR effekten Det store gennembrud kom først med opdagelsen af den såkaldte Giant Magneto-Resistance (GMR) effekt, som vi kort vil beskrive. Opdagelsen af denne effekt blev i 007 belønnet med Nobel-prisen i fysik [Nobel]. Hvor den anisotrope magnetoresistans (AMR) afhænger af den relative retning mellem strømmen gennem sensoren og magnetiseringsretningen, har man nu to magnetiske film på banen og det viser sig at den elektriske modstand mellem de to film afhænger af den relative orientering af de to magnetiseringsretninger. Effekten skyldes at spinnene af ledningselektronerne bliver polariserede i en orientering, som afhænger af magnetiseringsretningen og at spredningen af de polariserede ledningselektroner ved grænsefladen mellem de to materialer afhænger af den relative orientering mellem magnetiseringerne af de to materialer. Den elektriske modstand er lavest, når de to materialer er magnetiseret i samme retning og højest, når de er magnetiseret i modsatte retninger. For at få en skarp ændring af magnetiseringen mellem de to film, anbringes et lag typisk af kobber mellem de to ferromagnetiske film, som er så tyndt (få nm), at spinpolariseringen ikke ødelægges ved transporten gennem det. 47

52 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Film set fra siden Film set ovenfra M 1 M 1 M M Figur 5.17 Illustration af GMR ( Giant Magneto Resistance ) effekten. Effekten leder til at den elektriske modstand mellem de to lag afhænger af vinklen mellem magnetiseringerne af de to lag. Med definitionerne i figur 5.17 kan den relative ændring af den elektriske modstand mellem de to film skrives som R 1 cos GMR, (5.7) R hvor (GMR) angiver den maksimale relative modstandsændring og kan antage værdier op til ca. 50% ved stuetemperatur. Denne markante forøgelse af signalet i forhold til AMR sensorer gav anledning til Giant -tilnavnet. Bemærk at signalet for denne type sensorer modsat induktive sensorer er uafhængigt af sensorens dimensioner. Effekten er blevet benyttet i harddiske siden slutningen af 1990 erne. Spin-ventilen I en moderne harddisk benyttes GMR effekten som regel i et arrangement, som kaldes en spin-ventil (engelsk: spin-valve ), der er illustreret i figur Film set fra siden Film set ovenfra H (ydre felt) M 1 M H (ydre felt) M (reference) M 1 (fri) nem akse (øverste film) Figur 5.18 Illustration af et spin-ventil struktur. Den øverste film har magnetiseringen M 1, der kan rotere frit. I denne film er der defineret en nem akse vinkelret på det ydre felt, vi ønsker at detektere. Den nederste film har magnetiseringen M, som holdes fast indenfor de felter, vi ønsker at detektere. Denne film fungerer som reference. Der benyttes to magnetiske lag med magnetiseringer M 1 og M adskilt af et tyndt metallisk lag, som typisk er kobber. Strukturen er lavet, så magnetiseringen af det ene lag, M 1 kan rotere frit i filmens plan, mens den anden magnetisering M holdes fast. Dette kan gøres ved at koble M til en antiferromagnetisk film. I M 1 -filmen er der defineret en nem akse vinkelret på det felt, H, vi ønsker at detektere og magnetiseringen M er fikseret langs med H. Vi har dermed fra afsnit 4.5 om hysterese af enkelt-domænematerialer, at sin = H/H K for H < H K (ligning (4.14)). Benyttes, at cos = cos(90) = sin = H/H K, fås ved indsættelse i ligning (5.7) for H < H K at R R 1 GMR 1 H K H. (5.8) 48

53 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Heraf ses, at spin-ventil arrangementet har den ønskværdige egenskab, at signalet afhænger lineært af det ydre felt, vi vil detektere. Det konstante offset i ligning (5.8) er uden praktisk betydning, da man blot kan omdefinere R/R til at det er trukket fra. Figur 5.19 viser en ideel kurve og en målt kurve for en spin-ventil sensor. Afvigelserne mellem den ideelle kurve og målte kurve skyldes, at strømmen gennem sensoren også giver anledning til, at den magnetiseres en smule, at det magnetiske materiale i den frie film ikke opfører sig helt ideelt og endelig, at magnetiseringen af referencefilmen også påvirkes af det ydre felt, når dette er tilstrækkeligt stort. Det ses dog at der tydeligt er et område ved lave felter, hvor sensoren arbejder lineært. (a) -R -H K +H K H Figur 5.19 (a) Ideel responskurve for en spin-ventil og (b) en målt responskurve for en spin-ventil (fra [O Handley]). Enheden Oe ( Ørsted ) i figuren er fra et andet enhedssystem og svarer til ca. 80 A/m. I begge tilfælde er signalet multipliceret med 1 i forhold til ligning (5.8). I spin-ventiler bruges typisk Ni-Fe (permalloy) til både den frie film og referencefilmen. En typisk filmtykkelse af et enkelt lag er 5 nm. De strukturer, vi har betragtet her er lidt simplificerede. Konkrete filmstrukturer er ofte ret komplekse og består af mindst 6 lag af deponerede film. Funktionen af de ekstra lag er at sikre at der udvikles de rette krystalstrukturer, at det nederste lag holdes fast og at spinpolariseringen af elektronerne nær grænsefladen er maksimal. Figur 5.0 Gentagelse af figur 5.. Illustration af læsning af magnetisk information (fra [ReadRite]). Vi kan nu prøve at forstå, hvorfor de indikerede signaler ser ud, som de gør i figur 5.0. Spin-ventil sensoren er anbragt mellem de to afbildede lag af et blødt magnetisk materiale, hvoraf det ene lag også bruges som den ene pol i skrivehovedet. Disse lag sikrer, at sensoren kun påvirkes af feltet fra mediet umiddelbart under sensoren. Spin-ventilen er lavet, så M er vinkelret på strømretningen og den nemme akse peger langs strømretningen (dvs. den længste dimension af sensorelementet på figuren). Sensoren er dermed følsom for magnetfeltet i den lodrette retning. Når sensoren passerer et sted, hvor to nordpoler mødes, vil den påvirkes af et magnetfelt i opadgående retning og der 49

54 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK måles et positivt signal. Tilsvarende, når sensoren passerer et sted, hvor to sydpoler mødes, vil den påvirkes af et magnetfelt i nedadgående retning og der måles et negativt signal. Mellem overgange vil sensoren ikke være påvirket af noget magnetfelt i sensorens plan. 5.6 Harddiskens udvikling Vi har nu gennemgået de vigtigste elementer i en harddisk. Vi opsummerer nogle af de vigtigste resultater, der relaterer de forskellige elementer: Gabet i skrivehovedet skal være sammenligneligt med længden af en bit Afstanden fra skrive/læse-hovedet til mediet skal være sammenlignelig med (og gerne meget mindre end) længden af en bit Hver bit skal bestå af partikler Datatætheden på harddiske har gennemgået en rivende udvikling med en fordobling hvert år siden 1997 (figur 5.1). For bare ti år siden ville man have sagt at en sådan udvikling var fysisk umulig. Vi har nu mulighed for at forstå de udfordringer forbundet med denne udvikling i større detalje. Figur 5.1 Udvikling af arealtætheden af bits i harddiske frem til 003 (gentagelse af figur 1.) (fra [Hitachi]). Arealtætheden kan i 009 være over 300 GBits/kvadrattomme. Udviklingen af arealtætheden har været betinget af, at dimensionerne af en bit samtidig er blevet reduceret (figur 5.). Figur 5. Udviklingen af tætheden af spor (dvs. hvor mange spor pr. tomme), den lineære datatæthed (dvs. hvor mange bits pr. tomme) og arealtætheden af data frem til år 003. (fra [Hitachi]). 50

55 KAPITEL 5: DEN MODERNE HARDDISK Af figur 5. ses f.eks. at den lineære datatæthed i en harddisk i år 003 er ca. 650 kbits/tomme, dvs. at en bit har en længde på ca. 40 nm! Den tilsvarende bredde af en bit er ca. 00 nm. Det betyder, at den moderne state-of-the-art harddisk kan skrive, læse og ikke mindst genfinde information som fylder ca. 6,510-3 m! Kunne man skrive med denne tæthed på tværsnittet af et menneskehår, som har en diameter på ca. 50 m, ville dette kunne rumme 3 Mbits eller 375 kbyte! Vi har allerede diskuteret konsekvenserne af en så lille bitstørrelse for kravene til selve mediet. Den lille bitstørrelse giver også anledning til en række krav til læse/skrivehovedet. De kritiske dimensioner i selve hovedet er gabets bredde i skrivehovedet og dimensionerne af sensoren i læsehovedet. For at kunne skrive og læse med den nævnte datatæthed er man nu nede på at definere disse kritiske features i hovedet med dimensioner ned til 70 nm! Udviklingen af dimensionerne af MR/GMR sensorens dimensioner er vist i figur 5.3. Figur 5.3 Udviklingen af dimensionerne af MR/GRM sensoren i en række IBM/Hitachi produkter (fra [Hitachi]). Et andet vigtigt krav er at afstanden mellem mediet og læse/skrivehovedet skal være sammenlignelig med bitlængden, dvs. den skal være omkring og helst mindre end 40 nm (i år 003). Figur 5.4 viser udviklingen af den fysiske afstand mellem læse-/skrivehovedet og mediets overflade frem til år 003. Figur 5.4 Udviklingen af den fysiske afstand mellem MR/GRM sensoren og mediet i en række IBM/Hitachi produkter (fra [Hitachi]). 51