GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2007

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007"

Transkript

1 GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan Matematik 1 - FORÅR Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden, kan anvendes til positionering og navigation. I praksis fungerer systemet ved, at satellitterne udsender information om deres positioner til et givet tidspunkt, en GPS-modtager kan modtage satellit-signalerne, og ved hjælp af den såkaldte C/A-kode, der er påmoduleret satellitsignalerne, kan GPS-modtageren bestemme transmissionstiden, det vil sige den tid, det har taget en given bit af C/A-koden at komme fra satellitten til modtageren. Transmissionstiden omregnes til en afstand, hvorefter GPS-modtageren kan bestemme sin position udfra afstande til satellitterne, og satellitterne fungerer så som punkter med kendte koordinater. GPS-satellit - den nyeste generation. For at opnå en god positionsbestemmelse er det vigtigt at uret i GPS-modtageren går så præcist som muligt, da selv en lille fejl i uret i GPS-modtageren kan give en stor fejl i positionsbestemmelsen. En fejl på 1 millisekund giver en fejl i afstandsbestemmelsen til satellitterne på ca. 300 Matematik 1 06/07 side 1

2 km og dermed en tilsvarende fejl i positionen. Derfor skal modtager-urfejlen også altid behandles som en ubekendt, når der skal bestemmes positioner med GPS. Alle de beregninger der foregår i en GPS-modtager udføres i det koordinatsystem, der hedder WGS84 (World Geodetic System fra 1984). Det er et tredimensionalt kartesisk koordinatsystem med origo i jordens tyngdepunkt. X-aksen ligger i Ækvator planet og skærer Ækvator i det punkt, hvor også Greenwich meridianen skærer Ækvator. Z-aksen er sammenfaldende med jordens omdrejningsaksen, og går ud gennem Nordpolen, og Y-aksen er placeret i Ækvatorplanet således, at der dannes et højrehånds koordinatsystem. Når beregningerne er afsluttet, omregnes positionen for GPS-modtageren eventuelt til et andet koordinatsystem, f.eks. til bredde- og længdegrader. 2 Data Følgende informationer er til rådighed: Tabel 1: Satellit positioner og pseudoafstande Satellit X s Y s Z s Pseudoafstand nummer meter meter meter meter Tabel 2: Foreløbig position for GPS-modtageren X 0 Y 0 Z 0 meter meter meter Tabel 3: Kendt position for GPS-modtageren X Y Z meter meter meter Observationsligninger Med hjælp fra Pythagoras kan ligningen (1) opstilles: P s = ρ s + c dt = (X X s ) 2 + (Y Y s ) 2 + (Z Z s ) 2 + c dt (1) Matematik 1 06/07 side 2

3 Her er P s den målte afstand mellem modtager og en given satellit (P s kaldes en pseudoafstand, da det ikke er den rigtige geometriske afstand), ρ s er den geometriske afstand mellem modtager og satellit, (X,Y,Z) er modtagerens position, (X s,y s,z s ) er satellittens position, dt er modtagerens urfejl, og c er lysets hastighed, der bruges til at omregne tidsfejlen til en metrisk størrelse (c er m/s). De ubekendte i denne ligning er modtagerens koordinater X,Y,Z og urfejlen w = c dt. Da der er fire ubekendte, benytter vi observationer (pseudoafstande) til fire satellitter og opstiller fire ligninger med de fire ubekendte. Dette giver et ligningssystem 1 : (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 + (Z Z 1 ) 2 + w = P 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 + (Z Z 2 ) 2 + w = P 2 (2) (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 + (Z Z 3 ) 2 + w = P 3 (X X 4 ) 2 + (Y Y 4 ) 2 + (Z Z 4 ) 2 + w = P 4 Ligningssystemet er ikke lineært, men kan med fordel løses ved hjælp af Taylor-udvikling og løsning af lineære ligninger. Det primære formål i det følgende er at konstruere et lille program (fx i Maple), der kan løse ligningerne og bestemme positionen for en GPS-modtager ud fra en foreløbig position, nogle observationer (pseudoafstande) og tilsvarende kendte positioner for et antal satellitter. 4 Linearisering og løsning af ligningerne Vi skal her introducere en såkaldt iterativ løsningsmetode til at finde positionerne, der bestemmes af (2). 4.1 Trin 1 I første omgang vil vi finde en approksimativ løsning til ligningssystemet ved at foretage en Taylor-udvikling af ligningerne i (2). Som foreløbig position (X 0,Y 0,Z 0 ) anvendes i praksis den position som GPS-modtageren bestemte sidste gang den var tændt. Opgave 1. Opskriv det approksimerendetaylor-polynomium af (højst) første orden i udviklingspunktet (X 0,Y 0,Z 0,0) for ligningerne i (2). Vis, at dette resulterer i et linært ligningssystem på formen: hvor A x = b (3) x = 1 Her og i det følgende benytter vi den variable w = c dt for urfejlen. X Ȳ Z w (4) Matematik 1 06/07 side 3

4 er positioner og urfejl (i meter). Løsningen x til (3) er en passende approksimation til den søgte løsning. Lidt geometri. Opgave 2. Løs ligningen (3) for de givne data for satelitterne 4,14,16,18 (se tabellerne). Hvor god er løsningen? Opgave 3. Vis, at de tre første tal af hver række i matricen A i (3) udgør koordinaterne for en retningsvektor for en af de vektorer, der naturligt indgår i problemet. Undersøg eventuelt under hvilke geometriske betingelser ligning (3) har entydige løsninger. Matricen A kaldes en design matrix, og den beskriver således geometrien i problemet. Opgave 4. Vis, at den fjerde søjle i matricen A i (3) består af lutter 1-taller. Hvad skyldes det? Overvej, om det har nogen betydning for systemet om værdien af urfejlen i udviklingspunktet vælges anderledes. Opgave 5. Gør rede for hvilke afstande og anden information, der indgår i højresiderne b i (3). 4.2 Iterationer Opgave 6. Benyt løsningen fundet i opgave 2 som ny startposition (erstatter udviklingspunktet (X 0,Y 0,Z 0,0)) og find hermed en ny løsning. Er der sket en forbedring? Gentag denne procedure indtil en passende god løsning er fundet. Undersøg hvor mange sådanne iterationer, der skal benyttes. Fastlæg et stopkriterie for iterationerne. Undersøg desuden betydningen af antallet af cifre, der benyttes ved beregningen (benyt Maples Digits). Sammelign proceduren med brug af Maples solve. Hvorfor er Maple ikke en del af et GPS system? Er urfejlen bekymrende i størrelse? Fremgangsmåden, der benyttes ovenfor til løsning af de ikke lineære ligninger i (2), kaldes Gauss-Newtons metode. Matematik 1 06/07 side 4

5 Opgave 7. Undersøg opførslen af den iterative procedure, hvis der ændres i valget af udviklingspunktet (X 0,Y 0,Z 0,0)) (til jordens tyngdepunkt, eller noget vildere). 5 Løsning med mindste kvadraters metode Man kan benytte afstandsmålinger til flere end 4 satelitter til at reducere fejlen i positionsberegningen. Udjævningen af fejl kan foretages på flere forskellige måder, men en af de mest udbredte metoder er at anvende mindste kvadraters princip. Når der er flere observationer end ubekendte i ligningssystemet (2), kan systemet typisk ikke løses, med mindre der er tale om eksakte data således, at alle afstandsligninger kan opfyldes samtidigt. I mindste kvadraters princip udjævnes fejlene forstået på den måde, at de fejl der altid vil være på målinger foretaget i praksis, fordeles ud over alle observationer, så indflydelsen af fejlene minimeres. Samtidig opnås det, at man kan løse problemet for et vilkårligt antal observationer. Vi tager her udgangspunkt i det lineariserde system A x = b, (5) hvor nu antallet n af rækker i A er større end antallet af variable 2. Vi antager nu, at matricen A har rang 4. I mindste kvadraters metode finder man det sæt af variable (X,Y, Z, w), der opfylder alle ligningerne i (5) bedst muligt, i en passende forstand. Dette betyder her, at man minimerer summen af kvadratet på fejlene (kaldet residualerne) defineret som: R = b A x. (6) Vi ønsker en løsning, hvor summen af de kvadrerede residualer bliver så lille som mulig: min x n i=1 hvor funktionen, som vi skal minimere, kan skrives: φ(x) = n i=1 R 2 i, (7) R 2 i = R T R = ( b A x ) T ( b A x ). (8) Opgave 8. Vis, at gradienten af φ i (8) er givet som: [ ] φ(x 0 ) = 2 x T 0 A T A b T A (9) Gør rede for, at matricen A T A er en symmetrisk (4 4)-matrix med positive egenværdier. Vis, at en løsning til ligningssytemet: A T A x = A T b (10) minimerer φ, og gør rede for at, at ligningssystemet altid har en løsning. 2 Antallet af observationer er altså n (antallet af variable er 4). Matematik 1 06/07 side 5

6 Når man har bestemt en løsning x til (10), har vi et bud på positionen, samtidig med, at værdierne af residualerne for denne løsning giver et bud på, hvor store observationsfejlene er. Opgave 9. Modificer de tidligere udførte beregninger, så der kan arbejdes med seks observationer i stedet for de fire, der er benyttet ovenfor. Undersøg om Maples solve kan klare denne situation. Bestem residualerne og vurder hvor godt positionsresultatet passer med den kendte position. Afvej stopkriteriet i forhold til hvor stor præcision man kan forvente på basis af variationenen af måledata. 6 GPS positionering i praksis Denne måde at bestemme GPS-positioner er relativt simpel og er en tilnærmelse af, hvordan det foregår i en GPS-modtager. I praksis ligger der en del ekstra beregninger omkring løsningen af observationsligningerne, bl.a. skal satellitternes koordinater beregnes udfra de Kepler elementer som udsendes fra satellitterne, de såkaldte broadcast ephemerides, urfejl i satellitterne modelleres ved hjælp af en række polynomier, påvirkningen af satellitsignalerne i atmosfæren modelleres også, og der laves løbende filtrering af de modtagne observationer for at minimere indflydelsen fra reflekterede signaler, støj og interferens. Hvis man ønsker GPS-bestemte po- En permanent GPS-station. Matematik 1 06/07 side 6

7 sitioner med meget høj nøjagtighed skal der anvendes en type GPS-modtagere der observerer fasen på den modtagne bærebølge, og kan modtage data på begge GPS-frekvenser (satellitterne transmitterer både på 1575 MHz og 1227 MHz). Desuden skal positioneringen foregå differentielt, så der skal dels være data fra den modtager, hvor positionen bestemmes, og dels fra en anden GPS-modtager, der er placeret i et punkt hvor positionen på forhånd er kendt. Til differentiel fasepositionering anvendes stadig pseudoafstande, her blot til bestemmelse af en foreløbig position for modtageren. For at opnå en mere præcis position anvendes mere avancerede modeller for korrektion af den atmosfæriske påvirkning af signalerne, og der anvendes forskellige lineære kombinationer af observationerne fra de to modtagere og de to frekvenser. Desuden skal det hele antal bølgelængder fra modtagerne til satelliterne bestemmes (de såkaldte periodekonstanter) hvilket ikke er en triviel opgave, da restfejlene efter modellering af de forskellige fejlkilder ofte er større end bølgelængden på ca. 20 cm. Til løsning af periodekonstanterne anvendes bl.a. statistiske metoder til test af forskellige løsninger, der anvendes afbildninger (transformationer) af observationsligningerne, og der kan anvendes elementer af heltalsprogrammering for at finde frem til de heltallige periodekonstanter. Med disse mere avancerede data, observationsog beregningsmetoder kan der opnås positionsnøjagtigheder på cm-niveau. Hvis data desuden er fra permanent monterede GPS-modtagere, kan der bestemmes positioner med nøjagtigheder på mm-niveau, hvilket blandt andet kan anvendes til geodynamsike formål som for eksempel bestemmelse af tektoniske pladebeægelser eller landhævninger og -sænkninger. oo0oo 7 Flere undersøgelser - en cocktail NB NB NB: Bemærk, at man ikke skal give sig i kast med alle de opgaver, der er formuleret nedenfor. Find ud af, hvad der har Jeres interesse og udform en god løsning om dette emne. Det er også bedre at aflevere en perfekt projektrapport om opgaverne 1-9 end at forsøge at nå en masse krøller. Valget er Jeres 3. A - en variation i afstandsbestemmelsen Opgave 10. Implementér en løsning, hvor der kun arbejdes med fire satellitter ad gangen, og hvor alle kombinationer benyttes til at bestemme en position, og overvej, hvordan man kan benytte de forskellige svar dette giver. Vurdér, hvor god denne løsning er i forhold til de løsninger, der er bestemt tidligere. Man bør også vurdere metodens effektivitet, dvs. om det kan betale sig, hvis man ser på beregningstider. Vink: Til at generere kombinationerne af ligningerne kan man benytte combinat[choose] i Maple, og til at udregne gennemsnit og spredning kan man bruge Maples stat pakke. 3 Og tal med vejlederen! Matematik 1 06/07 side 7

8 B - lidt statistik baseret på mindste kvadraters metode Denne opgave skal læses i direkte forlængelse af afsnit 5. Spredningerne på koordinaterne til den ønskede position kan bestemmes ud fra en varianskovariansmatrice 4, der kan opstilles på følgende måde: Q = σ 2 [ x 0 (A T A ] 1, (11) hvor σ 2 0 = (R T R)/(n m). (12) Her er n er antallet af observationer og m er antallet af ubekendte, der i denne situation er fire (koordinaterne og urfejlen). Diagonalelementerne i Q x matricen indeholder variansen for de enkelte ubekendte, og leddene udenfor diagonalen er kovarianserne. Spredningen for de ubekendte bestemmes ved at tage kvadratroden af diagonalelementerne i Q x. Opgave 11. Bestem spedningen for elementerne, når der benyttes data fra 6 satellitter og vurder om forskellen mellem koordinaterne ligger indenfor spredningen (spredningen angiver at den rigtige position ligger indenfor spredningen med 68% signifikans). C - om vigtigheden af tidsmålingen Opgave 12. Læs artiklen: G.Nord, D.Jabon, and J.Nord, The global positioning system and the implicit function theorem, SIAM Rev., Vol. 40, No.3, pp ,1998, og brug data givet her til en lignende undersøgelse. D - ikke-lineær mindste kvadarters metode Opgave 13. Undersøg, hvordan man kan benytte mindste kvadraters metoden direkte på de ikkelineære ligninger (jævnfør ligningerne i (2)). E - om Gauss-Newton metoden Opgave 14. Undersøg 5 egenskaberne ved Gauss-Newton metoden. Finder man altid en løsning? Hvor hurtigt konvergerer metoden? Er der andre metoder? 4 Jf undervisningen i statistik. Find eventuelt supplerende litteratur. 5 Find eventuelt supplerende litteratur. Matematik 1 06/07 side 8

9 F - ren geometri Vi skal her se på en nogle beregninger, der forklarer, hvad der geometrisk foregår ved positionsbestemmelse ud fra afstandsmåling. Opgave 15. Vi betragter et ligningssystemet svarende til (2), men nu i planen og uden urfejl; dette svarer til en situation, hvor man undersøger en mulig skæring af 3 cirkler: (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 = P 2 1 cirkel 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 = P 2 2 cirkel 2 (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 = P 2 3 cirkel 3 (13) For at simplificere udregningerne, som nu foretages som ren bogstavregning, lægger vi koordinatsystemet således, at (X 1,Y 1 ) = (0,0), (X 2,Y 2 ) = (a,0) og (X 3,Y 3 ) = (b 1,b 2 ) (overvej, at dette ikke er en restriktion i forhold til den generelle situation). Vi antager, at de tre centre ikke ligger på en ret linie. 1. Betragt ligningerne i (13) parvis; ved at trække ligningerne fra hinanden fås i alle tilfælde nogle lineære ligninger, som fremstiller en ret linie. Herved fås 3 linier, L 1,2, L 1,3 og L 2,3, svarende til cirklerne i, j. Vis, at L i, j forbinder skæringspunkterne mellem cirklerne i og j, hvis disse skærer hinanden i to punkter. Undersøg også, hvad linien fremstiller, hvis cirklerne ikke skærer hinanden. 2. Vis, at de tre linier L 1,2, L 1,3 og L 2,3 skærer hinanden i præcis ét punkt P C. Overvej om P C er et godt valg/gæt som postion for det tilfælde, hvor der ikke findes en løsning til det samlede ligningssystem (13). Sammenlign eventuelt med en mindste kvadraters løsning. 3. Vis, at P C kan findes ved at indføre den variable s = X 2 +Y 2 i ligningsystemet (13) og løse det resulterende lineære ligningssytem i (X,Y,s); P C er givet ved denne løsnings (X,Y )-koordinater. 4. Vis, at i det noget specielle tilfælde (!), hvor P i = 0, i = 1,2,3, da er P C skæringspunktet af højderne i den trekant, der har de tre centre som hjørner. Indfør nu en ekstra variabel, der svarer til urfejlen. Ligningssystemet (13) modficeres således til systemet: (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 + w = P 1 cirkel 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 + w = P 2 cirkel 2 (14) (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 + w = P 3 cirkel 3 Undersøg med Maples solve og egne valg af data, om der altid er løsninger til dette system. Hvis man geometrisk fortolker w som en modifikation af cirkelradierne, kan man Matematik 1 06/07 side 9

10 skrive (14) som (X X 1 ) 2 + (Y Y 1 ) 2 = P 1 w cirkel 1 (X X 2 ) 2 + (Y Y 2 ) 2 = P 2 w cirkel 2 (X X 3 ) 2 + (Y Y 3 ) 2 = P 3 w cirkel 3 (15) Overvej hvad det betyder geometrisk, at (X,Y ) løser (15) for et valg af w, der betyder at en løsning faktisk eksisterer. 8 Efterskrift Hvis du er interesseret i at læse mere om GPS anbefales bogen GPS skrevet af Keld Dueholm, Mikkel Laurentzius og Anna Jensen, og udgivet af Nyt Teknisk Forlag i Bogen introducerer de grundlæggende begreber omkring GPS, f.eks. selve systemet, fejlkilderne og en række anvendelsesområder. Du kan også lære mere om GPS ved at følge kurset Satellitpositionering. Mindste kvadraters princip kan du lære mere om i Scientific Computing og den nødvendige statistik kan læres ved at følge det indledende kursus i statistik og det videregående kursus i Multivariat Statistik. Se også Allan Aasbjerg Nielsens undervisningsnoter om udjævning på Matematik 1 06/07 side 10

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

En studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:

En studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende: Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger. Faglige Områder Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender brøker Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1): Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer

Læs mere

Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester

Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester LCG-2 Introduktion til GPS 1. Observationsteknikker og GPS-koncepter 2. Absolut positionering baseret på

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Andre måder at lære matematik på!

Andre måder at lære matematik på! 24-10-2011 side 1 Andre måder at lære matematik på! Mette Hjelmborg CFU Hjørring 15-11-2011 24-10-2011 side 2 Andre måder at lære matematik på! Kurset henvender sig til lærere, der gerne vil have inspiration

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Mål Kompetencer Matematiske arbejdsmåder. Problembehandling. Ræsonnement

Mål Kompetencer Matematiske arbejdsmåder. Problembehandling. Ræsonnement Forslag til årsplan for 9. klasse, matematik Udarbejdet af Susanne Nielson og Pernille Peiter revideret august 2011 af pædagogisk konsulent Rikke Teglskov 33-38 Rumgeometri Kende og anvende forskellige

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Projektopgaven 2007

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Projektopgaven 2007 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing Projektopgaven 2007 Om selve opgaven Formålet med denne opgave er at give kursusdeltagerne

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO

Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO GPS - GLONASS - GALILEO Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet Disposition 1 Retningsbestemt navigation 2 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN 3 Militær og kommerciel baggrund GALILEO

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

DTU M.SC. SKRIFTLIG EKSAMEN Reviderede Spørgsmål

DTU M.SC. SKRIFTLIG EKSAMEN Reviderede Spørgsmål Skriftlig prøve, 9. januar 1997. Kursus navn : 04250 - Indledende billedbehandling. Tilladte hjælpemidler : Alle sædvanling. "Vægtning" : Alle opgaver vægtes ligeligt. Navn :.................................................

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Eksempel 1 Br + Cl 2 Cl + Br 2 Problem, målsætning En afstemning går ud på at bestemme (naturlige) tal a, b, c, d så: a Br + b Cl 2 c Cl + d Br 2 Metode Tallene

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10

Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10 Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-36 Geometri 1 Indlæring af geometriske navne Figurer har bestemte egenskaber Lære at måle vinkler med vinkelmåler

Læs mere

Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013

Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013 Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013 Undervisere: Marianne Kvist (MKV) & Asger Poulsen (APO) Omfang: mandag kl. 10 00 11 20, onsdag kl. 10 00 11 20 4 lektioner pr. uge Matematikken i 6.c

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Mikkel Gundersen Esben Milling

Mikkel Gundersen Esben Milling Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

1 Start og afslutning. Help.

1 Start og afslutning. Help. Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK 2 Institut for Matematiske Fag Jørgen Granfeldt Aarhus Universitet 24. september 2003 Hermed en udvidet udgave af Jens Ledet Jensens introduktion til R. 1 Start

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen

Matematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen avu-bekendtgørelsen, august 2009 Matematik Basis, G-FED Matematik, basis 1. Identitet og formål 1.1 Identitet I matematik basis er arbejdet med forståelsen af de faglige begreber i centrum. Den opnåede

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009

Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Årsplan 2013/2014 6. ÅRGANG: MATEMATIK FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Modellering med Lego education kran (9686)

Modellering med Lego education kran (9686) Modellering med Lego education kran (9686) - Et undervisningsforløb i Lego education med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Kranen - et modelleringsprojekt

Læs mere

ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 - hvad er det nu lige det er?

ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 - hvad er det nu lige det er? ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 - hvad er det nu lige det er? Anna B.O. Jensen Informatik og Matematisk Modellering Danmarks Tekniske Universitet Til praktisk brug er ITRF, ETRS, EUREF89 og WGS84 næsten det

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter

Netopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter 1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.

Læs mere

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof

Matematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Matematiklærerdag 11. marts 2005

Matematiklærerdag 11. marts 2005 Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Øvelser og Opgaver. til. Satellitgeodæsi

Øvelser og Opgaver. til. Satellitgeodæsi File:H:\EXCERC\sat\sat_oevelser05.wpd, version Okt. 2005.. Øvelser og Opgaver til Satellitgeodæsi C.C.Tscherning Niels Bohr Instituttet, MOG-Gruppen, Juliane Maries Vej 30, 2100 København Ø e-mail: cct@gfy.ku.dk

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler

Maple på C-niveau. Indsættelse i formler Maple på C-niveau Umiddelbart kan Maple på C-niveauet virke som en stor mundfuld, men nøjes man med at benytte Maple som et skriveværktøj kombineret med nogle ganske få menukommandoer, vil eleverne kunne

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Integration af GPS og Traditionelle Landmålingsteknikker

Integration af GPS og Traditionelle Landmålingsteknikker Integration af GPS og Traditionelle Landmålingsteknikker Line Bro Treppahl Kongens Lyngby 2005 IMM projekt nr. 90 Forord i Forord Denne rapport er udarbejdet som eksamensprojekt for civilingeniørstudiet

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Kapitel 3 Centraltendens og spredning

Kapitel 3 Centraltendens og spredning Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere