2. Gruppen af primiske restklasser.
|
|
- Poul Dalgaard
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Primiske restklasser Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative gruppe af primiske restklasser modulo n betegnes (Z/n). Gruppen Z/n er en additiv udgave af den cykliske gruppe af orden n. Gruppen (Z/n) har orden ϕ(n), hvor ϕ(n) er Euler s ϕ-funktion, dvs ϕ(n) er antallet af tal a med 0 a < n og (a, n) = 1. For en endelig gruppe G findes eksponenter l 1 således, at g l = 1 for alle g G. Mere præcist betyder ligningen g l = 1, at l er et multiplum af ordenen af g. Ligningen g l = 1 er altså opfyldt for alle g, hvis og kun hvis l er et multiplum af alle elementordener. Heraf ses, mere præcist, at den mindste mulige eksponent l er det mindste fælles multiplum af elementordenerne. Denne mindste eksponent kaldes også gruppens eksponent. Det følger af Lagrange s Indexsætning, at g G = 1 for alle g G. Ordenen G er altså et multiplum af eksponenten. Det er velkendt (men ikke helt trivielt), at for en endelig kommutativ gruppe er enhver elementorden divisor i den maksimale elementorden. Med andre ord: eksponenten for en kommutativ gruppe er netop den maksimale elementorden. Med λ(n) betegnes eksponenten for gruppen (Z/n), dvs det mindste positive tal l således, at a l 1 (mod n) for alle tal a primiske med n. Det følger af det foregående, at λ(n) er divisor i ϕ(n). Fra en primopløsning af n: n = p ν 1 1 pν r r, fås, ved brug af Den kinesiske Restklassesætning, isomorfier, Z/n Z/p ν 1 1 Z/pν r r, (Z/n) (Z/p ν 1 1 ) (Z/p ν r r ). Af den sidste isomorfi følger, at ϕ(n) = ϕ(p ν 1 1 ) ϕ(pν r r ). For et primtal p har vi ϕ(p) = p 1, idet alle tal a = 1,...,p 1 er primiske med p. Mere generelt, for en primtalspotens p ν har vi ϕ(p ν ) = (p 1)p ν 1. Et tal a er nemlig primisk med p ν, netop når p ikke går op i a. Af de p ν tal a med 0 a < p ν er det altså de p ν 1 tal af formen a = bp for 0 b < p ν 1, der ikke er primiske med p. Antallet af resterende, dvs p ν p ν 1, er altså antallet ϕ(p ν ). (2.2) Sætning. Den multiplikative gruppe (Z/p ν ), af primiske restklasser modulo en ulige primtalspotens, er cyklisk. Bevis. For ν = 1 er påstanden velkendt: Restklasseringen Z/p er et legeme, sædvanligvis betegnet F p, med p elementer, og gruppen (Z/p) er den multiplikative gruppe F p bestående /local/notes/elmtal/at2.tex :56:49
2 Primiske restklasser 2.2 af elementerne forskellige fra 0 i dette legeme. Lad l := λ(p) være eksponenten for gruppen Fp. Specielt er så l divisor i gruppens orden p 1. Polynomiet Xl 1 i F p [X] har hvert af de p 1 elementer i Fp som rod, så for graden har vi l p 1. Derfor er l = p 1. Tallet p 1 er altså den maksimale elementorden, så der findes i Fp et element af orden p 1. Altså er Fp cyklisk. Antag nu, at ν 2. Betragt ringhomomorfien, Z/p ν Z/p, der afbilder restklassen af a modulo p ν på restklasen af a modulo p. Ringhomomorfien inducerer er gruppehomomorfi mellem grupperne af invertible elementer. Vi får altså en induceret homomorfi, (Z/p ν ) (Z/p). Denne homomorfi er surjektiv, thi når a er primisk med p (og dermed med p ν ) vil restklassen af a modulo p på højresiden komme fra restklassen af a modulo p ν på venstresiden. Lad U være kernen for homomorfien. Gruppen (Z/p ν ) har orden (p 1)p ν 1, og billedgruppen har orden p 1. Af Lagrange s Indexsætning følger derfor, at U har orden p ν 1. Det påstås først, at der findes en restklasse z i (Z/p ν ) af orden p 1. Vælg hertil et tal a, hvis restklasse modulo p frembringer gruppen (Z/p), dvs hvis restklasse modulo p har orden p 1. Restklassen w := [a], af a modulo p ν, har da i gruppen (Z/p ν ) en orden, der er et multiplum af p 1 og divisor i gruppens orden, dvs i (p 1)p ν 1. Ordenen af w er derfor (p 1)p µ, med 0 µ ν 1. Det følger, at restklassen z := w pµ har orden p 1. Herefter er det nok at vise, at U er cyklisk, altså at der findes et element u U af orden p ν 1. Med et sådant element har nemlig z og u primiske ordener, og produktet zu har derfor orden (p 1)p ν 1. Produktet zu er altså en frembringer for (Z/p ν ). Eksistensen af u er klar, hvis ν = 2, idet U så har orden p, og derfor er cyklisk. I det almindelige tilfælde ν 2 viser vi, mere præcist, at restklassen u := [1 + p] i U er brugbar. Først bemærkes, at for µ 1 og alle k gælder kongruensen, (1 + kp) pµ kp µ (mod p µ+1 ). (*) Kongruensen er nemlig en lighed for µ = 1. Antag, induktivt, at (*) er opfyldt for et µ 1. Venstresiden har altså formen 1 + a, hvor a kp µ (mod p µ+1 ). Af binomialformlen får vi en ligning, (1 + kp) pµ = (1 + a) p = 1 + pa + ( p 2) a a p. På højresiden er pa kp µ+1 (mod p µ+2 ). De efterfølgende led på højresiden er enten delelige med pa 2 eller med a 3 (her udnyttes, at p 3); da p µ a, er leddet i begge tilfælde altså deleligt med p µ+2. Følgelig gælder (*) for µ + 1. Betragt nu restklassen u := [1 + p] modulo p ν. Den tilhører gruppen U, som har orden p ν 1. Ordenen af u er altså divisor i p ν 1. Af (*), med k := 1 og µ := ν 1, fremgår, at ordenen af u ikke kan være en ægte divisor i p ν 1. Derfor er ordenen lig med p ν 1. Altså er u brugbar.
3 Primiske restklasser 2.3 (2.3) Bemærkning. Gruppen (Z/2 ν ) har orden 2 ν 1. For ν = 1 har vi (Z/2) = {1}, altså den trivielle gruppe. For ν = 2 har vi (Z/4) = {±1}, som er den cykliske gruppe af orden 2. For ν = 3 har vi gruppen (Z/8), med de fire restklasser ±1 og ±3. For hver af de fire restklasser a har vi øjensynlig a 2 = 1. Gruppen (Z/8) er altså Klein s Vierer-gruppe C 2 C 2, og specielt er den ikke cyklisk. For ν 3 har vi, som i beviset for (2.2), en surjektiv homomorfi, (Z/2 ν ) (Z/8). Da højresiden ikke er cyklisk, kan venstresiden heller ikke være cyklisk. Tilsvarende kan vi betragte den surjektive homomorfi, (Z/2 ν ) (Z/4). Lad U være kernen. Billedgruppen har orden 2, så U har orden 2 ν 2. Som i beviset for (2.2) vises, for alle µ 1, kongruensen, (1 + 4) 2µ µ+1 (mod 2 µ+2 ). (*) Øjensynlig ligger restklassen [5] iu,og restklassens orden er derfor divisor i 2 ν 2. Af kongruensen, for µ := ν 2, følger, at restklassens orden ikke er divisor i 2 ν 3. Restklassens orden er derfor 2 ν 2. Gruppen U er derfor cyklisk, frembragt af [5]. Restklassen 1 frembringer den cykliske undergruppe {±1} af orden 2. Øjensynlig er 1 ikke i U, så fællesmængden U {±1} består kun af 1. Da ordenen af (Z/2 ν ) er produktet af ordenerne af U og {±1} fås: Gruppen (Z/2 ν ), for ν 3, er produktet af undergruppen {±1} og undergruppen U frembragt af [5]: {±1} U = (Z/2 ν ), altså et produkt af cykliske grupper af orden 2 og 2 ν 2. Korollar. Gruppen (Z/n) er cyklisk, hvis og kun hvis n = q ν eller n = 2q ν med et ulige primtal q, eller n = 4. Bevis. Ifølge Den kinesiske Restklassesætning er gruppen isomorf med produktet af grupperne (Z/p ν ) svarende primtalspotenserne i primopløsningen af n. I tilfældene bortset fra de nævnte er der enten mindst to faktorer af denne form (og så kan gruppen ikke være cyklisk, da faktorerne (Z/p ν ) har lige orden, når p ν > 2) eller der er kun én faktor (Z/2 ν ) med ν 3 (og så er gruppen ikke cyklisk ifølge det lige viste). (2.4) Definition. Af Fermat s lille Sætning følger, når n er et primtal, at (a, n) = 1 a n 1 1 (mod n). (2.4.1) Ækvivalent, udtrykt ved eksponenten af (Z/n), betyder betingelsen (2.4.1), at λ(n) n 1. Et tal n > 1, der er sammensat og opfylder betingelsen (2.4.1) kaldes et Carmichael-tal.
4 Primiske restklasser 2.4 (2.5) Sætning. Et tal n er et Carmichael-tal, hvis og kun hvis n = p 1 p r er et produkt af (mindst tre) ulige, forskellige primtal p i, som opfylder, at p i 1 n 1. Bevis. Lad n = 2 ν p ν 1 1 pν r r være primopløsningen af n, hvor primtallene p i er ulige. Antag først, at n er et Carmichael-tal. Hvis n er lige, er n 1 ulige. Betingelsen (2.4.1) medfører derfor, at alle elementer i (Z/n) har ulige orden. Gruppens orden, dvs ϕ(n), må derfor være ulige. Af udregningerne af ϕ(n) i (2.1) fremgår, at dette kun kan være tilfældet for n = 2. Da et Carmichael-tal er sammensat, følger det, at n er ulige. For µ ν i kan vi betragte den kanoniske homomorfi, (Z/n) (Z/p µ i ). Den er surjektiv. Ifølge Den kinesiske Restklassesætning kan vi nemlig, for et givet a primisk med p i, finde et helt tal x således, at x a (mod p ν i i ) og x 1 (mod p ν j j ). Restklassen af x modulo n er da en primisk restklasse, og den afbildes på restklassen af a modulo p µ i ved homomorfien. Da n er et Carmichael-tal, har alle elementer på homomorfiens venstreside en orden, der er divisor i n 1. Følgelig har alle elementer på højresiden en orden, der er divisor i n 1. Tag µ := 1. Højresiden er da cyklisk, dvs indeholder et element af orden p i 1. Altså er p i 1 divisor i n 1. Hvis ν i 2, kunne vi tage µ := 2; højresiden indeholder så et element af orden p i, men så er p i n 1 i modstrid med at p i n. Hermed er vist, for primopløsningen af n, at ν = 0 og at ν 1 = = ν r = 1, og at p i 1 n 1. Antallet r af primfaktorer er mindst 2, da et Carmichael-tal er sammensat. Hvis r = 2, altså n = p 1 p 2, har vi, n 1 = (p 1 1)p 2 + (p 2 1); da p i 1 n 1 følger det, at p 1 1 p 2 1 og (tilsvarende) p 2 1 p 1 1. Derfor er p 1 = p 2, en modstrid. Altså er r 3. Antag omvendt, at betingelserne er opfyldt. Da er (Z/n) = (Z/p 1 ) (Z/p r ). Da p i 1 n 1, vil den (n 1) te potens af et r-sæt på højresiden være det neutrale element i produktgruppen. Følgelig er a n 1 = 1 for alle a på venstresiden. Altså er n et Carmichael-tal. (2.6) Eksempel. Carmichael tal blev betragtet af Carmichael i Som vi senere skal se, spiller tallene en rolle i forbindelse med primtalstestning. Det er først i 1992 blevet bevist, at der er uendelig mange Carmichael-tal [Alford Granville Pomerance]. For et tal med 3 primfaktorer, n = p 1 p 2 p 3, har vi n 1 = (p 1 1)p 2 p 3 + (p 2 p 3 1).
5 Primiske restklasser 2.5 Vi har altså p 1 1 n 1, hvis og kun hvis p 1 1 p 2 p 3 1, og tilsvarende betingelser med p 2 og p 3. Betragt et Carmichael-tal af formen 3p 1 p 2, hvor 3 < p 1 < p 2. Betingelsen for primtallet 3 er altid opfyldt, da p 1 p 2 1 er lige. De øvrige betingelser er (i) p 1 1 3p 2 1, (ii) p 2 1 3p 1 1. Da p 2 > p 1, følger af (ii), at 3p 1 1 = p 2 1 eller 3p 1 1 = 2(p 2 1). Det første tilfælde er udelukket, da p 2 3p 1. Altså er 3p 1 1 = 2(p 2 1), og dermed er (iii) 3(p 1 1) = 2p 2 4; U1 specielt er p 1 1 6p At (i) følger, at p 1 1 6p 2 2. Tilsammen fås, at p 1 1 er divisor i (6p 2 2) (6p 2 12) = 10. Yderligere er p 1 > 3 et primtal, så derfor er p 1 = 11. Af (iii) følger nu, at p 2 = 17. Omvendt er det klart, med p 1 = 11 og p 2 = 17, at betingelserne (i) og (ii) er opfyldt. Tallet n = = 561 er altså et Carmichael tal. (2.7) Opgaver. 1. Vis, at 561 er det mindste Carmichael-tal. 2. Vis, at et sammensat tal n > 1 er et Carmichael tal, hvis og kun hvis der for alle hele tal a gælder a n a (mod n). 3. Vis, at et tal n > 1 er et primtal, hvis og kun hvis der for alle a med 1 a < n gælder a n 1 1 (mod n). 4. Bestem alle Carmichael-tal af formen 5p 1 p 2, hvor p 1 og p 2 er primtal. 5. Vis, at (Z/n) er en 2-gruppe, hvis og kun hvis n = 2 ν p 1 p r, hvor p 1,...,p r er indbyrdes forskellige Fermat-primtal. 6. Gruppen (Z/11 4 ) er cyklisk af orden Vis, at restklassen af 2 er en frembringer. [Vink: Anvend (2.2)(*) med 1 + kp = 2 10.] 7. Lad p være et ulige primtal, og lad z være et helt tal således, at [z] p, dvs z s restklasse modulo p, frembringer gruppen (Z/p). Betragt de p tal, z i := z + ip for 0 i < p; de har alle den samme restklasse modulo p, men restklasserne [z i ] p 2 er forskellige. (i) Vis, at af de p restklasser [z i ] p 2 er der p 1, som frembringer den cykliske gruppe (Z/p 2 ). (ii) Vis, at hvis restklassen [z] p 2 frembringer gruppen (Z/p 2 ), så vil restklassen [z] p ν frembringe gruppen (Z/p ν ) for alle ν. [Vink: Ifølge Fermat findes en fremstilling z p 1 = 1 + kp. Vis, at [z] p 2 frembringer (Z/p 2 ), hvis og kun hvis p k. Bestem den tilsvarende fremstilling for z i. For at vise (ii) kan man udnytte kongruensen (1 + kp) pµ kp µ (mod p µ+1 ), jfr (2.2)(*).] 8. Beskriv for en divisor d i n den naturlige homomorfi (Z/n) (Z/d). Vis, at homomorfien er surjektiv, og bestem ordenen af kernen U(d). Betragt n = 24 og d = 8 og restklassen b := [3] 8 i (Z/8). Bestem en primisk restklasse i (Z/24) som ved homomorfien afbildes på b. Angiv restklasserne i U(8) og i U(6) (stadig med n = 24).
6 Primiske restklasser 2.6 U1 H1 9. Vis, for m > 1, at hvis kongruensen x 2k 1 (mod m) kan løses, så er 2 k+1 divisor i ϕ(m). Vis, at der er uendelig mange primtal p med p 1 modulo 4. [Vink: Antag, at p 1,..., p n er givne, og vælg en primdivisor p i (2p 1 p n ) som p n+1.] Hvad sker modulo 8? og modulo 16? 10. Vis, at der er uendelig mange primtalp medp 3 (mod 4). [Vink: Antag, atp 1,..., p n er givne. Vis, at tallet 4p 1 p k 1 må have en primdivisor p med p 3 (mod 4), og vælg sådan en som p n+1.] 11. Vis, at der er uendelig mange primtal p med p 2 (mod 3). Vis for hvert n > 2, at der er uendelig mange primtal p med p 1 (mod n). (Resultatet er i øvrigt en konsekvens af Dirichlet s sætning: I enhver primisk restklasse findes uendelig mange primtal, dvs at for hvert givet a med (a, n) = 1 er der uendelig mange primtal p med p a (mod n).) U4 12. Vis, for n > 1, at (a,n)=1 a = 1 2nϕ(n), hvor summen er over tal a, med 1 a n og primiske med n. U1 13. For hvilke n er ϕ(n) = 6? Og for hvilke k er ϕ(ϕ(k)) = Vis, at for p 2 gælder: p er et primtal, hvis og kun hvis p går op i (p 1)! + 1 (Wilson s sætning). 15. Vis, at for p 2 gælder: p er et primtal, hvis og kun hvis p (p 2)! 1. For hvilke p gælder p 2(p 3)! + 1? 16. Vis, at for a 3 gælder: a 1 og a + 1 er primtalstvillinger, hvis og kun hvis a 2 1 går op i 4(a 2)! + a Angiv den fuldstændige løsning til kongruensen x 2 1 (mod p ν ), hvor p er et primtal. [Vink: Antallet af løsninger er 2 når p er ulige, og 4 når p = 2 og ν 3.] 18. (Gauss s generalisering af Wilson s sætning). Lad w være produktet af alle naturlige tal mindre end n og primiske med n. Antag n > 2. Vis, at w ( 1) N/2 (mod n), hvor N er antallet af løsninger modulo n til kongruensen x 2 1 (mod n). [Vink: [w] er produktet af samtlige elementer i gruppen (Z/n). Faktorerne a og a 1 forekommer i produktet, og de spiser hinanden, når de er forskellige, dvs når a 2 1. Tilbage bliver produktet over alle a med a 2 = 1. I det sidste produkt forekommer med a også faktoren a, og den er forskellig fra a.] *Vis, at w 1 (mod n), når n = 4 eller n = p ν eller n = 2p ν (et ulige primtal p), og at w 1 i alle andre tilfælde. 19. Bestem en frembringer for gruppen (Z/17). Og for gruppen (Z/289). 20. Bestem for hvert af primtallene p = 17, 19, 23, 29, 31 det mindste naturlige tal z således, at [z] p frembringer gruppen (Z/p). 21. Bestem for hvert af tallene n = 16, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30 et element af den maksimale elementorden i (Z/n). 22. Lad p < q < r være ulige primtal. Vis, at tallet n := pqr er et Carmichael-tal, hvis og kun hvis (1) p 1 qr 1, (2) q 1 pr 1, og (3) r 1 pq 1.
7 Primiske restklasser 2.7 Antag, at (3) er opfyldt. Vis, at så er pq 1 = d(r 1) med 2 d p 1. Vis, at (4) q 1 d(r 1) p+1, U6 og vis, at hvis også (2) er opfyldt, så er q 1 divisor i (d + p)(p 1). Slut heraf, at der for et givet primtal p kun er endelig mange Carmichael-tal af formen pqr. 23. Antag om tallet h, at de tre tal p := 6h + 1, q := 12h + 1, og r := 18h + 1, alle er primtal. Vis, at tallet pqr er et Carmichael-tal.
Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001
Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mere6. RSA, og andre public key systemer.
RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereFacitliste til nyere eksamensopgaver
Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen,
Læs mereEulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereFacitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].
Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereMinilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16
Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende
Læs mere1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle
1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereTalteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik
Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereA. Appendix: Løse ender.
Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereElmTal Primtallene 1.1
Primtallene.. Primtallene. (.) Setup. Et tal p kaldes som bekendt et primtal, hvis p 2 og p kun har trivielle divisorer, dvs hvis de eneste (positive) divisorer i p er og p. De første primtal er tallene
Læs mereAlgebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereKRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)
KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs merePrimtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003
Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs merePrimtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003
Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus
Læs mereKommutativ algebra II, 2005
Kommutativ algebra II, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra II, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereRinge og Primfaktorisering
Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereRSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard
RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning
Læs merePolynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen
Artikel 17 Polynomier med sælsomme egenskaber modulo p Bo Vagner Hansen Reduceres koefficienterne i et normeret heltalspolynomium modulo et primtal, opstår et nyt polynomium over restklasseringen. Både
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs meresætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.
sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereNoter til Matematik 3AG Algebra og geometri
Pakke Mat 3AG 1994 Noter til Matematik 3AG Algebra og geometri Anders Thorup 1 Noter til Matematik 3AG, 1994 Om ringe og moduler. 1. Nogle grundbegreber, s. 1 8 2. Kerne og kokerne. Exakte følger, s. 1
Læs mereKommutativ algebra, 2005
Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereMartin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne
Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mere6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G version
6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G6-2004-version Vi starter med et par generelle bemærkninger. Som sædvanligt betegner G =[G, G] kommutatorundergruppen i gruppen G. (6A) Lemma: Lad H
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereF.1. Mat 2AL. n Z n a Z n = gcd = ±gcd = lcm = ±lcm d l sinα)+(cosβ sinα)(cosβ N N {id}
F. Fejl i bogen. F.1 Herunder flger en liste over nogen af de mere meningsforstyrrende fejl i [J]. 18 2 partition equivalence class 18 3 class relation 18 4 partition equivalence class 28 8 r t [Erstat
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereMatematik 3AG Forår Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER. Hans Bjørn Foxby
Matematik 3AG Forår 2003 Algebraisk Geometri KURVER OG MODULER Hans Bjørn Foxby 0 (A/hA) mp (A/ghA) mp (A/gA) mp 0 2 Mat 3AG I&S 1 Indhold & Stikord Indhold I&S PAK 0. PAK 1. PAK 2. PAK 3. PAK 4. PAK 5.
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF
Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereKonkrete algebraiske strukturer 4-6. Madsen, Anders J. Hede. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF
Konkrete algebraiske strukturer 4-6 Madsen, Anders J. Hede Publication date: 2006 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Citation for published version (APA): Madsen, A. J. H. (2006). Konkrete algebraiske
Læs mereReed-Solomon og N T P-koder
Reed-Solomon og N T P-koder - deres egenskaber og dekodning af Maria Sondrup Iversen Jane Gravgård Knudsen Juni 2004 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Aalborg Universitet Fredrik Bajers vej 7G 9220 Aalborg
Læs mereMatematik 2AL. Algebra
Matematik 2AL Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Matematik 2AL, Algebra, 2. udgave. Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100
Læs mereMATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX
MATEMATIK 3 AL Klassisk Algebra Christian U. Jensen 2004 Typeset by AMS-TEX Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c 2004 Matematisk Afdeling FORORD TIL 1998-UDGAVEN At lære og at tilegne
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereFredag 12. januar David Pisinger
Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Fredag 2. januar David Pisinger Kryptering Spartanere (500 f.kr.) strimmelrulle viklet omkring cylinder Julius Cæsar: substituering af bogstaver [frekvensanalyse]
Læs mereIntroduktion til Kryptologi. Mikkel Kamstrup Erlandsen
Introduktion til Kryptologi Mikkel Kamstrup Erlandsen Indhold 1 Introduktion 2 1.1 Om Kryptologi.......................... 2 1.2 Grundlæggende koncepter.................... 2 1.3 Bogstaver som tal........................
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs merePrimtal. Frank Nasser. 20. april 2011
Primtal Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereEn gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en
Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereEuler-karakteristik for fusionskategorier
Euler-karakteristik for fusionskategorier Martin Wedel Jacobsen 17. april 2010 Indledning Der findes mange forskellige metoder til delvis klassifikation af endelige grupper. En af de mest velkendte er
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereEn algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008
En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereDEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER. n 2 v 1. n 1. v 2. n 1 3(n 0 2) n 2 2(n 0 2)
DEN ØVRE GRÆNSE SÆTNING FOR SIMPLICIALE SFÆRER ISABELLE LAUDE = {, n 0 {}}{ {v 0 },..., n 1 {}}{ {v 1, v 1},..., n 2 {}}{ {v 2, v 2, v 2 },..., } v 1 v 2 v 2 v 0 v 1 v 2 = S 1 = = n 1 n 0 = S 2 = =. n
Læs mereHyperelliptisk kurve kryptografi
Christian Robenhagen Ravnshøj NKS November 2007 Elliptiske kurver Gruppelov på elliptisk kurve R P Q P Q R = 0. Elliptiske kurver Elliptisk kurve kryptografi Gruppelov giver krypto baseret på elliptisk
Læs mere