Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra

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1 Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af GeoGebra. Vi får opgivet forskriften for en funktion f f ( x ) = x x 2 30 x + 30 og vil gerne bestemme nulpunkter for f grafisk i GeoGebra. Først definerer vi f ved at skrive forskriften i input-feltet. Umiddelbart kan vi ikke se, hvordan forløbet af grafen er, så vi skal have indstillet Tegneblokken. Højreklik på en af akserne og vælg x-akse y-akse og dernæst et passende forhold mellem enhederne på x-aksen og y-aksen. For at være sikker på at vi ikke har overset noget, skal vi vælge Vis alle objekter, men i dette tilfælde giver 1:20 et bedre indtryk af grafens væsentlige egenskaber. Det kan betale sig at eksperimentere på dette sted i opgaveløsningen, fordi vi skal bruge vores graf i resten af besvarelsen. Vi aflæser f's nulpunkter som skæringspunkterne mellem grafen for f og x- aksen og får Opgaver med hjælp Funktioner 2 med Geogebra MJ/NAG/ s 1 af 7

2 A(-4.24,0), B(0.9,0) og C(7.84,0) og bemærker at et tredjegradspolynomium højst kan have tre nulpunkter For at finde monotoniforhold og ektrema har vi brug for at finde nulpunkterne i f ', så vi skriver f '(x) i inputfeltet og får beregnet en forskrift for f ʹ (x ) = 3 x 2 9 x 30 som ses i Algebravinduet. For at kunne se forskel på f og f ' vælger vi at farve f' rød ved at højreklikke på f '(x) i Algebravinduet, vælge Egenskaber nederst i den fremkomne menu, dernæst fanebladet Farve og skifte til rød. Nu kan vi bestemme skæringspunkterne D og E mellem f og x-aksen og bemærker, at et andengradspolynomium højst kan have to nulpunkter. Hvis punktet D lander lige oven i A s koordinater, kan vi flytte dem lidt til højre ved hjælp af musen. (Husk at vælge flytteværktøjet). Nu har vi alle de oplysninger, vi skal bruge. Opgaver med hjælp Funktioner 2 med Geogebra MJ/NAG/ s 2 af 7

3 Af tegningen kan vi se, at f er positiv, når x<-2 eller når x>5. Det betyder, at f er voksende, når x -2 eller x 5, og f er aftagende, når -2 x 5, fordi f er negativ mellem nulpunkterne -2 og 5. Nu har vi fundet og angivet monotoniintervallerne, hvilket er det samme som at bestemme monotoniforholdene, og vi har begrundet vores svar. (Bemærk, at lighedstegnene skal med overalt i svaret, så længe f er defineret.) Vi vil også gerne bestemme ekstrema, dvs. lokale eller globale maksima og lokale eller globale minima. Vi ved, at evt. ekstrema findes de steder f (x)=0, og vi kan på grafen for f se, der er et lokalt maksimum for x=-2, så vi går til input-feltet og indtaster punktet (-2, f(-2)). Opgaver med hjælp Funktioner 2 med Geogebra MJ/NAG/ s 3 af 7

4 På grafen bliver det lokale maksimumspunkt F afsat, og vi kan aflæse F s koordinater til (-2, 64). Tilsvarende finder vi det lokale minimum G s koordinater til (5, ) Nu kan vi slutte, at der er et lokalt maksimumssted i x=-2 med maksimumsværdi 64, og der er et lokalt minimumssted i 5 med minimumsværdi , og da f er et andengradspolynomium, kan der ikke være flere lokale ekstrema, da vi har fundet begge de mulige nulpunkter. Besvarelse Jeg har fået opgivet forskriften for funktionen f f ( x ) = x x 2 30 x + 30 og vil gerne bestemme dens nulpunkter grafisk i GeoGebra. Jeg tegner derfor grafen for f og finder skæringspunkterne mellem f og x-aksen. Jeg har fundet tre, og der kan ikke være flere, fordi f er et tredjegradspolynomium, så nulpunkterne bliver, som det ses på figuren neden for (-4.24,0), (0.9,0) og (7.84,0) (2dec.) Opgaver med hjælp Funktioner 2 med Geogebra MJ/NAG/ s 4 af 7

5 For at bestemme monotoniforholdene for f tegner jeg grafen for f, farver den rød og finder dens nulpunkter som skæringspunkterne mellem x-aksen og grafen for f Da f er et andengradspolynomium dets forskrift fremgår af algebravinduet har jeg fundet alle de mulige løsninger. Jeg kan af grafen for f se, at f er positiv, når x<-2, eller når x>5. Det betyder, at f er voksende, når x -2 eller x 5 og f er aftagende, når -2 x 5, fordi f er negativ mellem nulpunkterne -2 og 5. Opgaver med hjælp Funktioner 2 med Geogebra MJ/NAG/ s 5 af 7

6 Til slut vil jeg bestemme de lokale ekstrema. Jeg ved, at evt. ekstrema findes de steder f (x)=0, og jeg kan på grafen for f se, der er et lokalt maksimum i - 2 og lokalt minimum i 5. Jeg afsætter derfor punkterne F(-2,f(-2)) og G(5,f(5)) og aflæser det lokale maksimum til (-2,64) og det lokale minimum til (5,-107.5). Da f er et andengradspolynomium, kan der ikke være flere lokale ekstrema, fordi vi har fundet begge de mulige nulpunkter. Jeg ved derfor, at der er et lokalt maksimumssted i x=-2 med maksimumsværdi 64, og der er et lokalt minimumssted i 5 med minimumsværdi NB! Det er lidt forskelligt, hvad man bliver spurgt om i opgaverne. Man kan blive bedt om ekstremum (det er et punkt), ekstremumssted (det er en x-værdi) og eksktremumsværdi (det er en y-værdi). Her har du besvaret alle tre mulige spørgsmål. Opgaver med hjælp Funktioner 2 med Geogebra MJ/NAG/ s 6 af 7

7 Opgave 1 Bestem nulpunkter og monotoniforhold for en funktion f med forskriften f ( x ) = 2 x 3 3 x 2 36 x Opgave 2 Bestem ekstremumsstederne for funktionen f med forskriften f ( x ) = x 3 3 x Opgave 3 Bestem monotoniforhold og ekstrema for funktionen f med forskriften f ( x ) = x 3 + x 2 x 2 Opgaver med hjælp Funktioner 2 med Geogebra MJ/NAG/ s 7 af 7

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vi v 目 錄 前 言 四 字 經 全 第 一 品 源 1 第 二 品 法 39 第 三 品 勢 79 第 四 品 意 103 第 五 品 氣 123 第 六 品 美 147 附 錄 一 饒 宗 頤 推 薦 的 經 典 臨 摹 範 本 184 二 饒 宗 頤 中 國 夢 當 有 化 作 為 188 三 參 考 書 目 191 vi 四 字 經 全 四 字 經 全 vii 第 一 品 源 書 法 漢 字

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1 1 1 名 誉 主 任 院 徐 瑞 新 主 任 院 宋 贵 伦 北 京 社 工 故 事 编 委 会 副 主 任 院 赵 蓬 奇 刘 京 刘 占 山 委 员 院 赵 冠 军 董 鸿 乐 张 强 王 海 涛 刘 霖 梁 家 倩 参 与 编 写 院 杨 沛 龙 张 江 张 婷 尚 君 杨 洪 跃 周 海 山 王 勇 王 会 贤 徐 辉 刘 奇 序 看 到 这 么 多 基 层 社 会 工 作 者 的 故

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L1 Spirits Spec 2012 (S.Ch

L1 Spirits Spec 2012 (S.Ch 在 第 一 线 的 工 作 人 员 的 必 备 宝 典 说 明 书 WSET 第 一 级 烈 酒 认 证 第 四 版 * 2012 年 8 月 www.wsetglobal.com WSET 第 一 级 烈 酒 认 证 此 说 明 书 包 括 了 学 员 和 教 员 所 需 要 的 关 于 WSET 第 一 级 烈 酒 认 证 的 必 要 信 息 此 文 件 主 要 描 述 了 学 习 的 成 果

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CONTENTS 目 錄 自 序 我 的 義 大 利 達 令 010 天 才 老 爸 014 我 的 達 令 是 老 外 018 我 要 當 媽 媽 了 022 不 再 是 兩 人 世 界 的 婚 姻 026 女 兒 是 爸 爸 前 世 的 情 人 030 全 家 放 假 去 香 港 養 孩 子 0 時 尚 媽 咪 寶 貝 經 FASHION MOMMY THE BABY BIBLE 作 者 張 元 宜 CONTENTS 目 錄 自 序 我 的 義 大 利 達 令 010 天 才 老 爸 014 我 的 達 令 是 老 外 018 我 要 當 媽 媽 了 022 不 再 是 兩 人 世 界 的 婚 姻 026 女 兒 是 爸 爸 前 世 的 情 人 030 全 家 放 假 去 香 港 養 孩 子

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2014年工作思路

2014年工作思路 2016 年 中 共 上 海 市 公 共 卫 生 临 床 中 心 党 委 工 作 计 划 2016 年 是 公 卫 中 心 十 三 五 发 展 规 划 的 开 局 之 年, 公 卫 中 心 党 委 坚 持 以 邓 小 平 理 论 三 个 代 表 重 要 思 想 和 科 学 发 展 观 为 指 导, 全 面 贯 彻 落 实 党 的 十 八 大 和 十 八 届 二 中 三 中 和 四 中 五 中 全 会

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A. B. C. D. 解 析 : 几 何 体 的 主 视 图 为 选 项 D 俯 视 图 为 选 项 B 左 视 图 为 选 项 C. 答 案 :A. 5. 剪 纸 是 扬 州 的 非 物 质 文 化 遗 产 之 一 下 列 剪 纸 作 品 中 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A. B 06 年 江 苏 省 扬 州 市 中 考 真 题 数 学 一 选 择 题 ( 本 大 题 共 有 8 小 题 每 题 分 共 4 分 ). 与 - 的 乘 积 为 的 数 是 ( ) A. B.- C. D. 解 析 : (-)= 答 案 :D... 函 数 y x 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ( ) A.x> B.x C.x< D.x 解 析 : 由 题 意 得 x- 0 解 得

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