Ligedannede trekanter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ligedannede trekanter"

Transkript

1

2 Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt

3 Arven fra Grækenland Arven fra Grækenland Der er i dag - ca år efter den græske kulturs blomstringstid - en stor lighed mellem grækernes opfattelse af matematik dengang og en moderne opfattelse. Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og nogle grundantagelser ("aksiomer") udledes ("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle påstande") om en eller anden sammenhæng. Arbejdet hermed er en vigtig del af "matematik". Tidligere kulturer som den babyloniske og den ægyptiske har også anvendt matematik, og man har kendt mange af de regler, der genfindes i den græske kultur. Men den afgørende forskel er dels beviset, dels den systematiske opstilling af sætningerne i en rækkefølge, hvoraf det klart fremgår, hvad der er bevist, og hvad der kan bygges videre på. Vigtigt har det også været at erkende, at man ikke kan bevise sætninger uden at have andre til rådighed: Der må eksistere nogle "første sætninger". Om de så vælges, fordi "de er indlysende sande" eller af andre grunde får stå hen. Denne teoriopbygning formuleres overbevisende af grækeren Euklid ca. 300 år før vor tidsregning i hans bøger: "Elementerne", så overbevisende, at indholdet har fået lov at stå næsten uantastet i over 2000 år. Også dette kapitel bygger i det væsentlige på Euklids arbejde såvel som dele i de følgende kapitler. 3

4 Øvelser 1. Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler. Parret vælger 3 sidelængder i fællesskab, som begge skriver ned. Elev A tegner en trekant med de valgte sider, elev B ganger eller deler sidelængderne med et vilkårligt tal, men med det samme tal alle tre gange. B tegner derefter en trekant med de beregnede nye sidelængder. Begge måler derefter alle 6 vinkler. Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater. 2. Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med hjemmesiden ) 3. Læreren vælger sidelængder; hver elev vælger tallet, der ganges eller deles med. Alles resultater sammenlignes. 4. Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan. 5. Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning 5): Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "If two " samt notere, at "having their sides proportional" er ensbetydende med at have fælles forstørrelsesfaktor. Kan du vise det sidste? 6. Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler. Parret vælger 3 vinkler i fællesskab, som begge skriver ned. Begge elever tegner en trekant med de valgte vinkler, men vælger selv sidernes størrelse. Begge måler derefter alle 6 sider. I fællesskab beregnes 3 brøker, hvor én af elev A's sidelængder er tælleren og den tilsvarende sidelængde hos elev B er nævneren. Tilsvarende betyder, at siderne ligger overfor lige store vinkler. 4

5 Øvelser Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater. 7. Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med hjemmesiden ) 8. Læreren vælger vinkler; hver elev vælger én sidelængde. Eleverne beregner brøkerne med egne og lærerens tal. 9. Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan. 10. Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning ): Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "In equiangular..." Ligedannede Trekanter Ensvinklede trekanter To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den ene trekant findes en tilsvarende lige så stor vinkel i den anden. Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor To trekanter har fælles forstørrelsesfaktor, hvis der for hver side i den ene trekant findes en tilsvarende side i den anden, hvor de tre sider er forstørret (eller formindsket) med den samme skalafaktor. To trekanter er ligedannede, hvis de både er ensvinklede og er trekanter med fælles forstørrelsesfaktor Tilsvarende kan ligedannede polygoner (dvs. mangekanter) defineres. Det har Euklid gjort i Bog 5

6 VI, 1. definition. For trekanterne og kun for trekanterne gælder den næste sætning: To trekanter er ligedannede, hvis de enten er ensvinklede eller er trekanter med fælles forstørrelsesfaktor Denne sætning svarer til sætningerne 4 og 5 i Bog VI. Beviset for sætningen kan ses der, men gentages ikke her. 1 Denne sætning er grundlæggende for alle trekantsberegninger. Derfor er det vigtigt, at du kan huske de 3 definitioner (med gul baggrundsfarve) og den sidste sætning. Anvendelsen af dem demonstreres lidt senere i kapitlet. Definition og sætning og bevis Definitioner Som i eksemplet herover er der noget (her: fx ), der defineres. Definitionen er forklaringen med gul baggrundsfarve. Sætninger En sætning er en påstand. Sætningen kan have et navn som Pythagoras sætning eller Fermats store sætning eller Trekantens areal. Navnet fungerer blot som en etikette: Nå, det er den sætning, du tænker på. Selve sætningen er her markeret med en lavendelblå baggrundsfarve. Sætningen (eller rettere: dobbeltsætningen) her er en typisk generel påstand af typen: Hvis påstand P1 gælder, så vil påstanden P2 også altid gælde. Beviser Når matematikere fremsætter påstande, vil de gerne sikre sig, at påstanden altid er rigtig. Og selv om man har undersøgt fx vinkelsummen i tusinder af trekanter, er der jo stadig uendelig mange tilbage: vil de også have den samme vinkelsum? Det er altså ikke nok at undersøge enkelte eksempler for at kontrollere, at en sætning er rigtig. Vi må komme med argumenter, der vil være rigtige i enhver situation. De mange opmålinger kan bringe os på sporet af et mønster, men det er de tvingende argumenter, der udgør beviset, således at alle indser sætningens rigtighed. 1 6 Bemærk, at Euklid ikke benytter forstørrelsesfaktor, men taler om proportionale sider. Det er dog nemt at vise, at har de proportionale sider er den ene en forstørrelse af den anden og omvendt.

7 Ligedannede Trekanter Eksempel Trekanterne ABC og DEF er ensvinklede; det fremgår også indirekte af udsmykningen af vinklerne. Fx er vinklerne A og D ens: de har den samme udsmykning: Bue med en tværstreg. Tilsvarende gælder for B og E samt for C og F. Sætningen om ligedannede trekanter medfører nu, at trekanterne er trekanter med fælles forstørrelsesfaktor. For at finde den fælles forstørrelsesfaktor, skal der findes én side fra hver trekant, der svarer til hinanden. Lad os vælge c og f. At de svarer til hinanden kan ses, fordi vinklerne overfor (dvs. C og F) er markeret som lige store. Beregning af forstørrelsesfaktor Kald forstørrelsesfaktoren k. Så gælder, at c k= f f k= c Bemærk, at den længste sidelængde er f, som benyttes som tæller. Derfor gælder det, at k>1 Ved indsættelse af tallene fås nemt den aktuelle værdi: 6 k = =2 3 Beregning af en side i den store trekant Lad os prøve at beregne d (og lade som om vi ikke kendte den.) Da a og d svarer til hinanden, findes d som en forstørrelse af a ved at gange a med k: a k =d 7

8 og ved indsættelse af de kendte tal fås: d =4,2 2=8,4 Det ser ud, som om det kun passer omtrent, jævnfør tegningens oplysninger.men tegningens tal er rigtige og værdien af k er rigtig. Imidlertid er a vist som et afrundet tal. Havde man medtaget en decimal mere fås a = 4,24 og det medfører, at d = 8,48 eller ved afrunding d = 8,5. Beregning af en side i den lille trekant Lad os endelig prøve at beregne b. Da b og e svarer til hinanden, findes b som en formindskelse af e ved at dividere e med k: e =b k og ved indsættelse af de kendte tal fås: b= 11,6 =5,8 2 Opgave med besvarelse Opgavetekst August 2009, opgave 1 (HF Matematik C) Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Bestem længden af hver af siderne A1 B1 og AC. Kommentar: Det skrives ikke direkte hvilke vinkler der er lige store, men både ved navngivning og farvelægning af buer vises det indirekte. 8

9 Ligedannede Trekanter Besvarelsen Da trekanterne er ensvinklede, er de også ligedannede. Der findes derfor en fælles forstørrelsesfaktor k, som gælder for alle par af sider, der svarer til hinanden. 1. Beregning af k Siderne BC og B1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Længderne betegnes BC = a og B1 C1 = a1. Derfor gælder for forstørrelsesfaktoren: k= a1 a og ved indsættelse af de oplyste tal: k= 17 10,2 9

10 2. Beregning af A1 B1 Siderne AB og A1 B1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet de tilsvarende længder betegnes hhv. c og c1 fås: c 1=c k og ved indsættelse af de kendte tal: 17 c 1=5,7 10,2 c 1=9,50 A1 B1 = 9,5 3. Beregning af AC Siderne AC og A1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet de tilsvarende længder betegnes hhv. b og b1 fås (idet der nu skal findes en side i den lille trekant): b= b1 k og ved indsættelse af de kendte tal: 17 10,2 10,2 b=16,5 17 b=9,90 b=16,5: AC = 9,9 Kommentarer til besvarelsen Bemærk den obligatoriske tegning, som hører med i enhver geometriopgave. Bemærk også den klare struktur, der opnås med minioverskrifter afsluttende med den fremhævede konklusion. Undersøg, om besvarelsen iøvrigt lever op til de almindelig krav til besvarelser af eksamensopgaver (jævfør side 2 i eksamensopgaverne og siderne 6-8 i 10

11 Centrale begreber og sætninger Centrale begreber og sætninger Hvad betyder det? Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I definition 7 forklares: "En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, men i dagligdagen har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, vægge, tavler osv. som plane flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; det sidste er tit forudsat. En trekant er en figur, der er indesluttet af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes trekantens hjørner eller vinkelspidser. Hjørnerne navngives med store bogstaver, den modstående side (der forbinder de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. Til hjørnet A svarer altså siden a. Da a har endepunkterne B og C kaldes linjestykket også BC. Til højre ses ABC. Sæt de manglede betegnelser på tegningen (både for hjørner og sider.) Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi vil angive længden på, kan vi for eksempel skrive a = 3, hvis a har længden 3. Oftest vil vi ikke angive, om det er cm eller km, men angiver længden som et ubenævnt tal. Du bemærker altså, a har to betydninger: det er både navnet på siden og er samtidig et tal, nemlig tallet der angiver længden. Vi kan også benytte skrivemåden BC for længden, hhv. BC som navn for a. ABC Mål ABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv målene i tabellen herunder med 1 decimals nøjagtighed: Side Længde i cm a b c En vinkel er en figur bestående af et punkt (vinkelspidsen) og to halvlinjer (eller linjestykker) gående ud fra punktet. Halvlinjerne kaldes vinklens ben; forestil dig, at du sidder i vinklens spids og placerer dine ben over vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit venstreben og tilsvarende for højre vinkelben. Vinkler har også et navn og en størrelse, og som for siderne bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens størrelse. I ABC kan der benyttes 11

12 flere navne for den samme vinkel: A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A, BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bogstav) og at B og C er punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske beregninger som sin(a) undlades vinkeltegnet. Endelig kan vi vælge særskilte symboler for punkt og vinkelstørrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske alfabets første bogstav). Der var intet i vejen for at benytte andre danske bogstaver, som for eksempel v, men benyttes det græske bogstav, kan man se, at vinkelstørrelsen α hører sammen med A. Der findes adskillige måder at måle vinkler på: I begyndelsen vil vi her arbejde med grader, men på et senere tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel svarer til 360. Vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 180 ), stumpe (mellem 90 og 180 ), rette (præcis 90 ) og spidse vinkler (mellem 0 og 90 ). Skriv vinklernes type ved hvert af de 4 eksempler 12

13 Centrale begreber og sætninger Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med særlige navne: højder, som er linjestykker fra en vinkelspids til den modstående side, der står vinkelret på denne. Højden fra B til b betegnes h eller hb, for at præcisere hvilken af de tre højder, der er tale om. Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen. Næste eksempel er vinkelhalveringslinjer, som er halvlinjer fra en vinkelspids, der deler vinklen i 2 lige store vinkler. Betegnelsen er v eller va (hvis vinkelspidsen er A). Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det! Hvis A = 61,.hvor stor er så β? Skriv det. Trekanter har også medianer, der er linjestykker fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side. De betegnes m eller mc (hvis medianen går fra C til et punkt på c). Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist? Endelig er der midtnormaler til siderne, som er linjer, der står vinkelret på et linjestykke (her en side) i linjestykkets midtpunkt. Afhængig af øvrige anvendte betegnelser, kan du benytte betegnelser som m eller n for linjen. 2 2 Der er ikke mange 100 % faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som det er fornuftigt at følge, fordi det ikke forvirrer læseren, hvis navnene følger det vante skema. 13

14 Hvad kan du sige om længden af linjestykkerne: PV, VQ, QS, SR, RU, UP? Skriv det herunder: Der findes særlige trekantstyper: Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store, ligebenede, hvis 2 af de 3 sider er lige store, spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids, retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump. Tegn på en transparent alle 5 trekantstyper En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på cirkelperiferien har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes radius og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes en radius. Prøv at lave en lang liste over alle de ord, der benyttes ved omtale af cirkler: diameter, korde, tangent, centervinkel, periferivinkel... og beskriv for hver af dem præcist, hvad de betyder. Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv sætningerne herunder: 14

15 Centrale begreber og sætninger Hvad er π? Tegn en række cirkler: både store og små. Karton og pap er velegnet til de små og lidt større cirkler. Klip eller skær dem ud. Find også andre cirkler: cykelhjul, fade, møllesten... For alle måles og noteres radius og omkreds. Noter resultaterne i en tabel med 2 rækker: øverst radius (x-værdi), lige under den tilsvarende omkreds (y-værdi). Omkredsen findes i nogle tilfælde lettest ved at markere et punkt på periferien; cirklen "trilles" langs en ret linje indtil mærket er i samme position og den kørte afstand måles. Sommetider er centrum givet, men ikke altid. Forklar, hvordan du så vil finde det! Indret et koordinatsystem på mmpapir, så papiret udnytttes: indtegn et punkt for hver cirkel med de målte værdier som koordinater. Forsøg at tegne en ret linje gennem (0 ; 0) tæt ved alle punkterne: Kan det lade sig gøre? Hvorfor skal linjen gå gennem (0 ; 0)? Kan du ved hjælp af tegningen finde omkredsen for en cirkel med radius 10 cm - selv om du ikke har målt en sådan cirkel? Besvar samme spørgsmål hvor radius er 1 cm. Ligner det sidste svar et tal du kender? 15

16 Firkanter er figurer begrænset af fire rette linjestykker. Rombe Parallellogram Trapez Kvadrat Rektangel Hvilke firkanter kan have flere navne? Rektangel er Kvadrat er Trapez er Parallellogram Rombe er Hvis figuren har 4 rette vinkler kaldes den et rektangel; er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat. Hvis firkantens har et par modstående sider parallelle, er den et trapez; er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram; er alle siderne lige store i parallelogrammet, kaldes det en rombe. Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden. Sæt x i skemaet - hvor udsagnet er rigtigt På et blankt A4-ark tegnes en cirkel med centrum midt på arket og med radius 10 cm. På periferien afsættes fire punkter. En firkant tegnes med disse punkter som hjørner Sider og vinkler målestokken Dine resultater sammenlignes med dine naboers... Kan du se noget mønster i jeres resultater? Evt. hvilket? Hvis ja: kan du forklare, hvorfor det må være rigtigt? 16

17 Centrale begreber og sætninger Formler Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Vinkler med samme markering / farve / signatur er lige store. Forstørrelsesfaktoren (eller formindskelsesfaktoren) k kan beregnes som k= a 1 b1 c1 og der gælder for beregning af siderne: = = a b c a1 k b b 1=b k eller b= 1 k c1 c1=c k eller c= k a 1=a k eller a= Alle trekanter Arealet af en trekant T =½ h g hvor T er trekantens areal, h er højden og g den tilsvarende grundlinje. 17

18 Vinkelsummen i en trekant A + B + C = 180 Retvinklede trekanter Pythagoras sætning 2 2 hyp =k 1 k

19 Geometriske Modeller Geometriske Modeller Eksempel: Flagstang Opgaven er at finde højden f på en flagstang. For at kunne beregne højden på den, forenkles den til et linjestykke i modellen (den blå linje f). Jordoverfladen forenkles til en ret linje. Yderligere antages vinklen mellem f og jordoverfladen at være ret. Ligeledes antages solstrålen, der lige strejfer toppen af flagstangen, at være en ret linje. Denne solstråle markerer, hvor flagstangens skygge på jorden ophører. Vi har nu defineret en trekant som model for flagstang, skygge og (noget af) solstrålen. På tegningen er der også vist en anden model af en kvinde med højde q, hendes skygge og solstrålen, der strejfer hendes isse. q og de to skyggelængder kan måles (ihvertfald nogenlunde præcist) og antages at være kendte. I de to trekanter er de rette vinkler lige store, men også vinklerne mellem jordoverfladen og solstrålerne er lige store. Solstrålerne er jo parallelle linjer (da de "aldrig" mødes) og de omtalte vinkler er dermed ensliggende vinkler ved parallelle linjer: sådanne vinkler er lige store. I følge sætningen om vinkelsummen i en trekant er de to trekanters sidste vinkel også af samme størrelse. Trekanterne er altså ensvinklede, derfor ligedannede, og vi kan finde en fælles forstørrelsesfaktor med længderne af de to skygger, da de ligger overfor lige store vinkler: k= skygge 1 skygge 2 og da f og q er sider, der ligger overfor lige store vinkler, kan f beregnes som f =q k = q skygge1 skygge 2 19

20 Kommentar Det fremgår klart af tegningen, at det vi beregner ikke er flagstangens nøjagtige højde, men en tilnærmet højde. Dette er typisk for enhver model: modellens størrelser er kun omtrent svarende til virkeligheden. Om det så er godt nok, afhænger både af modellens nøjagtighed, og hvad modellen skal bruges til. Hvis formålet her var at købe et passende stort Dannebrog, vil et par procents fejl sikkert kunne tilgives. Opgave: Åens bredde Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på brinken på den anden side af åen og har ved hjælp af pejlestokke og målebånd lavet nedenstående skitse - som ikke er målfast. Deres mål er: AB = 40 m, CD = 50 m, AC = 15 m, BD = 45 m. Beregn bredden. Bredden er m Hvad er stiltiende forudsat? 20

21 Geometriske Modeller Målebordsblade som modeller af landskabet Samtidigt med trianguleringen (se næste kapitel) blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade. Det var meget detaljerede kort i målestokken 1: De fik en ganske lang levetid under forskellige myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970 som fx M 2108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk Institut. Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af denne er: Man benytter et bord, hvor det kommende kort fastgøres. 2 punkter (hvorfra der er en vis udsigt) A og B i naturen udvælges, afstanden mellem dem måles, og punkterne overføres til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem de tegnede punkter: lad os kalde dem A1 og B1. Bordet stilles så op: først ved fx A med kortets A1 præcist over A og linjen A1B1 lige over en del af AB. Andre punkter i landskabet lægges ind ved at tegne sigtelinjer fra A1 (A) på papiret sigtende fx mod et kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter er indlagt, flyttes bordet til B med B1 lige ovenover B og linjen A1B1 lige over en del af AB. Når der så herfra blev tegnes en sigtelinje mod K (eller andre punkter), dannes der to ligedannede trekanter: ABK i naturen og A1B1K1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter kan den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd. Herunder er vist det rektangulære målebord efter flytningen til B (i naturen). 21

22 Da A1 lå over A (og B1 lå over punktet i naturen markeret B2), blev den røde sigtelinje tegnet fra A1 til K1. Nu er B og B1 sammenfaldende Der tegnes så en ny sigtelinje, og K1 s position findes i skæringspunktet. Tilsvarende indtegnes alle andre punkter. Opgave Antag, der også var en mølle M i landskabet og at den er tegnet ind på kortet som M1. Gør rede for, at forhold mellem alle afstandene på kort og de tilsvarende i naturen er de samme. Vis altså: K 1 M 1 A1 B1 = KM AB Aristarchos jord-sol-måne model Aristarchos ( fvt.) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum. Aristarchos vil tegne et Himmelkort, hvor jord (J), sol (S) og måne (M) er punkter. Kortet er naturligvis en formindsket udgave af den virkelige himmeltrekant. Han kender ikke nogen af siderne i himmeltrekanten: dvs. de virkelige afstande mellem himmellegemerne. Men derfor kan han alligevel godt tegne et kort; han mangler blot at kunne angive et målestoksforhold (eller en formindskelsesfaktor.) For at kunne tegne kortet, skal han lave en trekant, der er ensvinklet med himmeltrekanten, og dertil behøver han blot at kende to af dennes tre vinkler. Den første er nem at få: fra jorden kan man nemt få sigtelinjer til både sol og måne, og derefter måle vinklen mellem linjerne. Aristarchos havde ingen ven på månen, han kunne ringe til for at få målt den tilsvarende vinkel der. Men han fik en genial idé: når vi på jorden har halvmåne, må det være fordi: 22

23 Geometriske Modeller solstrålen, der netop strejfer Kort over Månen (hvor sol og jord ligger i same plan) månen i B, er en tangent til månen solstrålen står derfor vinkelret på diameteren AB og Aristarchos må befinde sig i forlængelse af diameteren fordi bevæger han sig mod solen, vil månen blive mere fuld og bevæger han sig væk fra solen, bliver den mindre fuld. Derfor behøvede Aristarchos kun at måle én vinkel, men den skulle måles præcis i det øjeblik, der er halvmåne. Det forsøgte Aristarchos, og han kom til resultatet 87. Derfor kunne han tegne tegningen øverst på siden og beregne forholdet mellem tegningens afstande til sol og måne. På tegningen kan aflæses, at sættes JM = 1, er JS = 19,11. For at få virkelighedens mål, skal disse størrelser ganges med et ukendt k, således at de rigtige afstande er hhv. k og 19,11 k Forholdet mellem afstandene til sol og måne fås så som: Afstandsforholdet = 19,11 k =19,11 k Dermed kunne Aristarchos fastslå, at solen både er langt længere væk end månen og følgelig også langt større! selv om de ser lige store ud. Aristarchos måling var unøjagtig, så selv om metoden er rigtig et langt stykke ad vejen, fik han et resultat for k, som ligger langt fra det resultat, vi har i dag: k = 389. Solen er altså langt, langt længere væk end månen. Grunden til den voldsomme fejl er en lille fejl i vinkelmålingen, som nok især skyldes, at halvmåne har man ikke en hel dag, men kun et øjeblik. Månen bevæger sig jo hele tiden rundt om jorden (samtidig med at jorden bevæger sig rundt om solen) og derfor ændrer vinklen, der skal måles, sig hele tiden. Ved at følge dette link til kan du se en model, der demonstrerer, hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet. 23

24 Jordens omkreds (Eratosthenes) Eratosthenes (240 FVT.) opnåde berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans argumenter var: På en bestemt dag stod solen lodret over Syene; samtidig kunne Erastostenes i Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel. Alexandria ligger stik nord for Syene, altså på samme meridian. Afstanden mellem Alexandria og Syene blev opmålt til 5000 stadier Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den samme som den målte β, da lysstrålerne forudsættes at være parallelle) Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = stadier eller godt km Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist lodret over Syene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syene, men den største fejlkilde har været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere mangler vi præcis viden om forholdet km/stadier. Desuden er solen jo ikke et punkt, og den har en endelig afstand til jorden.

25 Geometriske Modeller Hvordan ville du praksis måle β? Kugle eller pandekage? Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning til den flade model - kan forklare: hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top? hvorfor er jordens skyggebillede ved måneformørkelse altid cirkulært - en skiveformet jord ville oftere lave et elliptisk skyggebillede?

26 Oversigt Du har lært 26 Hvad ensvinklede trekanter er. Hvad ligedannede trekanter er. Hvad en forstørrelsesfaktor er. Hvorledes forstørrelsesfaktoren beregnes og hvad "tilsvarende sider" betyder Hvorledes forstørrelsesfaktoren benyttes ved beregninger af sidelængder Hvorledes ensvinklede trekanter kan benyttes i modelberegninger

27 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Arven fra Grækenland...3 Øvelser...4 Ligedannede Trekanter...5 Ensvinklede trekanter...5 Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor Definition og sætning og bevis...6 Definitioner...6 Sætninger...6 Beviser...6 Eksempel...7 Opgave med besvarelse...8 Kommentarer til besvarelsen...10 Centrale begreber og sætninger...11 Hvad betyder det?...11 Formler Alle trekanter...17 Retvinklede trekanter...18 Geometriske Modeller...19 Eksempel: Flagstang...19 Opgave: Åens bredde...20 Målebordsblade som modeller af landskabet...21 Opgave...22 Aristarchos jord-sol-måne model...22 Jordens omkreds (Eratosthenes)...24 Kugle eller pandekage?...25 Oversigt...26 Du har lært...26 Indholdsfortegnelse

Modellering Ib Michelsen 2013

Modellering Ib Michelsen 2013 Modellering Ib Michelsen 2013 Ib Michelsen Modellering Side 2 Matematisk modellering indeholder en række elementer, der er i spil alt afhængig af den konkrete sag: For det første må der ske en afgrænsning

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Geometri. Ib Michelsen

Geometri. Ib Michelsen Geometri Ib Michelsen Ikast 2008 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: 1.01 16-8 Version: 1.02 18-8

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Ib Michelsen. Matematik C. mimimi.dk

Ib Michelsen. Matematik C. mimimi.dk Ib Michelsen Matematik C mimimi.dk Matematik C Copyright Ib Michelsen, Ikast ISBN... mimimi.dk 23-08-10 Indhold Indhold...3 Forord...7 Geometri Arven fra Grækenland...11 Begreber og sprog...12 Hvad betyder

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Geometri. Ib Michelsen

Geometri. Ib Michelsen Geometri Ib Michelsen Ikast 007 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: 1.01 (19-08-07 19:39:18) Indholdsfortegnelse

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Trekanter: kende navne for sider og vinkelspidser i trekanter, kunne konstruere bestemte trekanter ud fra givne betingelser

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas... 2 1.2. Åben en geometriapplikation... 2 1.2. Klik-Flyt-Klik... 2 Eksempel: Tegn en cirkel...

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

matematik grundbog basis preben bernitt

matematik grundbog basis preben bernitt 33 matematik grundbog basis preben bernitt 1 matematik grundbog basis ISBN: 978-87-92488-27-5 2. udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER

MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER Matematik i Hasle Bakker Hasle Bakker er et oplagt mål for ekskursioner, der lægger op til, at eleverne åbner øjnene for de muligheder, naturen giver. Leg, bevægelse,

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, basis+g ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Tegn med GPS 1 - Vejledning

Tegn med GPS 1 - Vejledning Tegn med GPS 1 - Vejledning Lærerforberedelse: Det er altid en god ide at afprøve opgaven selv, inden eleverne sættes i gang. Inden forløbet skal læreren have materialerne til posten klar og klargøre GPS

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

2.1 Euklidisk konstruktion af nogle regulære polygoner

2.1 Euklidisk konstruktion af nogle regulære polygoner Geometri og bilhjul Miroslava Sovičová, Štefan Havrlent, Ľubomír Rybanský Constantine the Philosopher University Nitra, Slovakia 1 Introduktion En matematiklærer der vil præsentere eleverne for noget nyt

Læs mere

Jeg siger det der står på næste side. (Sideskift er angivet ved større linjeafstand og opgaveskift er angivet ved at de første ord er understreget)

Jeg siger det der står på næste side. (Sideskift er angivet ved større linjeafstand og opgaveskift er angivet ved at de første ord er understreget) Kære underviser Når børnene har gået i skole i mellem en og to uger, laver jeg denne test, for at se hvor gode hvert barn er er til at omsætte det de får at vide til en tegning. Den er inspireret af den

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri G ISBN: 978-87-92488-15 2 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere