J E T T E V E S T E R G A A R D

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "J E T T E V E S T E R G A A R D"

Transkript

1 BINOMIALT EST J E T T E V E S T E R G A A R D F I P B I O L O G I M A R S E L I S B O R G G Y M N A S I U M D M A R T S K A L U N D B O R G G Y M N A S I U M D M A R T S

2 HVEM ER JEG? 1998: Cand.scient. fra Aarhus Universitet Hovedfag i teoretisk statistik og sidefag i matematik : Instruktor på Biostatistik og Geostatistik ved Matematisk Institut, Aarhus Universitet 1998: Statistiker på Kommunehospitalet i København 1999: Pædagogikum på Hasseris Gymnasium 2000-nu: Matematiklærer på Dronninglund Gymnasium 2018-nu: Kvalitetssikrer i biologi A ved UVM, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet

3 HVORFOR BINOMIALTEST I BIOLOGI? Statistik i matematik-læreplanen under de sidste tre reformer: : Valggymnasiet Binomialfordeling Normalfordeling : Studieretningsgymnasiet Chi-i-anden-test Valgfri fordeling (supplerende stof) 2017-nu: Studieretningsgymnasiet ( nu uden AT ) Binomialfordeling Binomialtest

4 BINOMIALFORSØG Et binomialforsøg består af en række uafhængige gentagelser af et bestemt eksperiment, basiseksperimentet. To udfald: succes eller fiasko. Sandsynligheden for succes kaldes p og betegnes sandsynlighedsparameteren. Antallet af gentagelser kaldes n og betegnes antalsparameteren. Lad X være lig med antallet af succes er. Man siger, at X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Den korte skrivemåde for dét er: X~b(n, p).

5 TO EKSEMPLER PÅ BINOMIALFORSØG Forsøg: 10 kast med ærlig mønt Basiseksperiment: Ét kast med en mønt. Succes: Plat. Sandsynlighedsparameter: p = 1/2. Antalsparameter: n = 10. X = Antal succes er (plat). X~b( 10, 1/2 ). Forsøg: 10 kast med ærlig terning Basiseksperiment: Ét kast med en terning. Succes: Sekser. Sandsynlighedsparameter: p = 1/6. Antalsparameter: n = 10. X = Antal succes er (sekser). X~b( 10, 1/6 ).

6 BINOMIALFORSØG I FORBINDELSE MED STIKPRØVER Stikprøve med tilbagelægning Optræder ofte i matematik. F.eks. Trække kugler op af en krukke (urne). Ægte binomialforsøg. Stikprøve uden tilbagelægning Ofte tilfældet i biologi. F.eks. Udvælge en stikprøve af orangutanger på Borneo. Stikprøver uden tilbagelægning kan behandles som stikprøver med tilbagelægning, hvis stikprøven maksimalt udgør 10 % af populationen. Tilnærmet binomialforsøg.

7 BINOMIALFORDELING Forsøg: 10 kast med ærlig mønt Basiseksperiment: Ét kast med en mønt. Succes: Plat. Sandsynlighedsparameter: p = 1/2. Antalsparameter: n = 10. X = Antal succes er (plat). X~b( 10, 1/2 ). Mønten kastes 10 gange. Der er derfor mulighed for mellem 0 og 10 succes er. Vi ønsker at finde sandsynligheden for de forskellige antal succes er. Intuitivt regner vi med, at 0 eller 10 succes er er det mest usandsynlige, og at 5 succes er er det mest sandsynlige. Resten overlader vi til Excel.

8 10 KAST MED MØNT - FORTSAT Disse sandsynligheder kaldes for en binomialfordeling.

9 Sandsynlighed Sandsynlighed HVIS MØNTEN HAVDE VÆRET UÆRLIG! Hvis sandsynligheden for plat havde været f.eks. p = 0,2, havde diagrammet set således ud: Hvis sandsynligheden for plat havde været f.eks. p = 0,8, havde diagrammet set således ud: 10 kast med uærlig mønt, P(plat)=0,2 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0, kast med uærlig mønt, P(plat)=0,8 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0, , Antal succes er (plat) Antal succes er (plat)

10 BINOMIALTEST Der er to typer af binomialtest: Tosidet binomialtest Etsidet binomialtest Begge test tager udgangspunkt i et binomialforsøg, enten et ægte eller et tilnærmet. Det vil ofte være en undersøgelse af et eller andet, hvor der er taget en stikprøve uden tilbagelægning, dvs et tilnærmet binomialforsøg.

11 TOSIDET BINOMIALTEST Eksempel: Tidligere undersøgelser har vist, at 10 % af befolkningen i Danmark har blodtype B. I en stikprøve på 90 personer blev 15 testet til at have blodtype B. Giver stikprøven grund til mistanke om en ændring i blodtype-b-fordelingen? Umiddelbart, så udgør de 15 personer %, som plejer at have blodtype B. 90 = 0,167 = 16,7 % af stikprøve, hvilket er mere end de Spørgsmålet er nu, om denne afvigelser er så stor, at vi kan konkludere, at der er sket en ændring i blodtypefordelingen i hele befolkningen.

12 EKSEMPEL MED BLODTYPE B - FORTSAT Nulhypotese: H 0 : Blodtype-B-fordelingen er uændret, dvs der er stadig 10 %, der har blodtype B. Alternativ hypotese (den der gælder, hvis nulhypotesen forkastes): H A : Blodtype-B-fordelingen har ændret sig. Bemærk! ( og nu bliver det lidt tricky! ) Man kunne her godt fristes til at opstille den alternative hypotese, at andelen af blodtype B er steget, fordi vi jo kan se, at det er den i stikprøven. Det må vi imidlertid ikke! Den alternative hypotese skal altid opstilles inden stikprøven tages. Hvis man så alligevel opstiller den efter, at stikprøven er taget, skal man forestille sig, at man ikke har den viden, som stikprøven giver én, når man opstiller den alternative hypotesen.

13 EKSEMPEL MED BLODTYPE B - FORTSAT 1) Binomialforsøg? Der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning, men da stikprøven (90 personer) er meget lille i forhold til hele befolkningen (ca. 5,8 mio), kan vi tillade os at betragte forsøget som værende med tilbagelægning. Dermed kan vi tillade os at betragte forsøget som et binomialforsøg, som vi kort kan beskrive på følgende måde: Basiseksperiment: Udvælge én person. Succes: Blodtype B. Sandsynlighedsparameter: p = 0,10. Antalsparameter: n = 90. X = Antal succes er. X~b( 90 ; 0,10 ). Den observerede værdi af X (teststørrelsen) er x 0 = 15.

14 sandsynlighed EKSEMPEL MED BLODTYPE B - FORTSAT 2) Punktsandsynligheder: 0,160 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 Forsøg med blodtype B antal personer med blodtype B Det ses, at 9 personer er det mest sandsynlige. Det er også hvad vi forventede (10 % af 90 personer). Spørgsmålet er bare, om 15 personer er så lidt sandsynligt, at vi kan konkludere, at der er sket en ændring i blodtypefordelingen i hele befolkningen. Vi vælger som regel at sige, at hvis vi har observeret noget, der er under 5 % sandsynligt, så må vores startantagelse (altså vores nulhypotese) være forkert. De 5 % kaldes testets signifikansniveau.

15 sandsynlighed EKSEMPEL MED BLODTYPE B - FORTSAT 3) Kritisk mængde: Vi skal altså have fundet de 5 % mindst sandsynlige observationer i vore blodtypeforsøg. Observationer langt fra de forventede 9 personer er de mest kritiske for nulhypotesen. Vi skal derfor have fundet de yderste observationer i begge sider (i halerne af binomialfordelingen - deraf navnet tosidet test), som i hver side har en samlet sandsynlighed på maksimalt 2,5 %. Hvis vi lægger sammen fra toppen overstiger vi 2,5 % ved x=4. Altså er x=4 ikke en kritisk værdi. Hvis vi lægger sammen fra bunden overstiger vi 2,5 % ved x=15. Altså er x=15 ikke en kritisk værdi. Den kritiske mængde bliver derfor: 0,150 0,100 0,050 K = { 0,, 3, 16,, 90 }. 0, antal personer med blodtype B

16 EKSEMPEL MED BLODTYPE B - FORTSAT 4) Konklusion: Da den observerede værdi x 0 = 15 ikke ligger i den kritiske mængde ved et signifikansniveau på 5 %, kan vi ikke forkaste nulhypotesen. På baggrund af denne undersøgelse kan vi altså ikke konkludere, at blodtype-b-fordelingen i befolkningen er ændret. Strukturen i løsning af en opgave om binomialtest: Opgave, nulhypotese, alternativ hypotes. 1) Binomialforsøg? 2) Punktsandsynligheder. 3) Kritisk mængde. 4) Konklusion.

17 OPGAVE OM ORANGUTANGER Forskere har den hypotese, at orangutanger med genotype W2W2 har øget modstandsdygtighed over for malaria. De forventer derfor ikke, at populationen af orangutanger er i Hardy-Weinberg ligevægt. For at teste dette opstiller de nulhypotesen H 0 : Der er Hardy-Weinberg ligevægt i populationen, dvs frekvensen af W2W2 er 0,096. For at teste hypotesen observerer de blandt 54 orangutanger, at 11 af dem har genotypen W2W2. Den alternative hypotese er her: H A : Der er ikke Hardy-Weinberg ligevægt i populationen.

18 OPGAVE OM ORANGUTANGER - FORTSAT 1) Binomialforsøg? Der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning. Da hypotesen ønskes testet ved et binomialtest, antager vi, at stikprøven er lille i forhold til populationen, altså at den højest udgør 10 % af populationen. Dvs at vi antager, at der mindst er 540 orangutanger på Borneo. Dermed kan vi tillade os at betragte forsøget som et binomialforsøg, som vi kort kan beskrive på følgende måde: Basiseksperiment: Udvælge én orangutang. Succes: Genotype W2W2. Sandsynlighedsparameter: p = 0,096. Antalsparameter: n = 54. X = Antal succes er. X~b( 54 ; 0,096 ). Den observerede værdi af X (teststørrelsen) er x 0 = 11.

19 sandsynlighed OPGAVE OM ORANGUTANGER - FORTSAT 2) Punktsandsynligheder. 0,200 0,180 0,160 sandsynlighedsfordeling for W2W2 blandt 54 orangutanger Det ses, at det mest sandsynlige antal orangutanger med genotype W2W2 er 5 ved en stikprøve på 54 orangutanger. 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0, antal orangutanger af genotype W2W2

20 sandsynlighed OPGAVE OM ORANGUTANGER - FORTSAT 3) Kritisk mængde: Da vi skal teste nulhypotesen ved et signifikansniveau på 5 %, skal vi have fundet de 2,5 % mindst sandsynlige observationer i hver side (hale) af binomialfordelingen. Hvis vi lægger sammen fra toppen overstiger vi 2,5 % ved x=1. Altså er x=1 ikke en kritisk værdi. Hvis vi lægger sammen fra bunden overstiger vi 2,5 % ved x=10. Altså er x=10 ikke en kritisk værdi. Den kritiske mængde bliver derfor: K = { 0, 11,, 54 }. 0,200 0,150 0,100 0,050 0, antal orangutanger af genotype W2W2

21 OPGAVE OM ORANGUTANGER - FORTSAT 4) Konklusion: Da x 0 = 11 ligger i den kritiske mængde, kan vi nu forkaste nulhypotesen ved et signifikansniveau på 5 %. Vi må derfor ved et signifikansniveau på 5 % konkludere, at der ikke er Hardy-Weinberg ligevægt i populationen. Dette kan måske skyldes, at genotypen W2W2 er mere modstandsdygtig overfor malaria end de to andre genotyper er. Men det har vi ikke bevist her. Her har vi blot vist, at det er overvejende sandsynligt, at der ikke er Hardy-Weinberg ligevægt i populationen.

22 ETSIDET BINOMIALTEST I det tosidede binomialtest var observerede værdier (teststørrelser) langt fra det mest sandsynlige antal kritiske for nulhypotesen. Og det gjaldt både for observerede værdier langt til venstre og langt til højre for det mest sandsynlige antal. I et etsidet binomialtest er kun værdier enten langt til venstre eller langt til højre for det mest sandsynlige antal kritiske for nulhypotesen. De to test kaldes henholdsvis venstresidet og højresidet binomialtest.

23 EKSEMPEL MED TULIPANLØG I et gartneri fremstilles tulipanløg, og det antages, at 75 % af løgene er spiringsdygtige. Løgene sælges i poser med 40 løg, tilfældigt udvalgt af gartneriets produktion. En kunde tror ikke på, at der er 75 % spiringsdygtige løg i produktionen. Han køber derfor en pose løg, lægger dem i jorden og konstaterer, at kun 25 ud af de 40 løg spirer. Undersøg om nulhypotesen H 0 : Mindst 75 % af løgene er spiringsdygtige. kan forkastes ved et signifikansniveau på 5 %. Den alternative hypotese er her: H A : Under 75 % af løgene er spiringsdygtige.

24 EKSEMPEL MED TULIPANLØG - FORTSAT H 0 : Mindst 75 % af løgene er spiringsdygtige. Her vil kun små observerede værdier være kritiske for nulhypotesen (da en observeret værdi på f.eks. 38 spirede løg ikke er kritisk for hypotesen om, at mindst 75 % af løgene spirer). Vi skal derfor finde de 5 % mindst sandsynlige observerede værdier til venstre i diagrammet over punktsandsynligheder. Testet kaldes derfor for et venstresidet binomialtest. (Hvis kun store værdier er kritiske for nulhypotesen, kaldes testet for et højresidet binomialtest.)

25 EKSEMPEL MED TULIPANLØG - FORTSAT 1) Binomialforsøg? Der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning. Da vi ønsker at teste hypotesen ved et binomialtest, antager vi, at stikprøven er lille i forhold til populationen, altså at den højest udgør 10 % af populationen. Dvs at gartneriet producerer mere end 10 poser med tulipanløg. Dermed kan vi tillade os at betragte forsøget som et binomialforsøg, som vi kort kan beskrive på følgende måde: Basiseksperiment: Udvælge ét tulipanløg. Succes: At tulipanløget spirer. Sandsynlighedsparameter: p = 0,75. Antalsparameter: n = 40. X = Antal succes er. X~b( 40 ; 0,75 ). Den observerede værdi af X (teststørrelsen) er x 0 = 25.

26 sandsynlighed EKSEMPEL MED TULIPANLØG - FORTSAT 2) Punktsandsynligheder. Det ses, at det mest sandsynlige antal spirede løg er 30 ved en stikprøve på 40 sandsynlighedsfordeling for antal spirede tulipanløg i 1 pose med 40 løg tulipanløg. 0,160 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0, antal spirede løg

27 sandsynlighed EKSEMPEL MED TULIPANLØG - FORTSAT 3) Kritisk mængde: Da vi skal teste nulhypotesen ved et signifikansniveau på 5 %, skal vi have fundet de 5 % mindst sandsynlige observationer til venstre i binomialfordelingen. Hvis vi lægger sammen fra toppen overstiger vi 5 % ved x=25. Altså er x=25 ikke en kritisk værdi. Den kritiske mængde bliver derfor: K = { 0,, 24 }. Sandsynlighedsfordeling for antal spirede tulipanløg i 1 pose med 40 løg 0,160 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0, antal spirede løg

28 EKSEMPEL MED TULIPANLØG - FORTSAT 4) Konklusion: Da x 0 = 25 ikke ligger i den kritiske mængde, kan vi ikke forkaste nulhypotesen ved et signifikansniveau på 5 %. Altså må vi ved et signifikansniveau på 5 % konkludere, at der ud fra denne stikprøve ikke er belæg for at konkludere, at producenten ikke taler sandt vedrørende spiringsprocenten for tulipanløg.

29 STIKPRØVESTØRRELSENS BETYDNING Forsøg: 6 kast med terning. 3 kast giver en sekser. H 0 : Terningen er ærlig. H A : Terningen er uærlig. Basiseksperiment: Ét kast med terningen. Succes: Sekser. Sandsynlighedsparameter: p = 1/6. Antalsparameter: n = 6. X = Antal succes er. X~b( 6 ; 1/6 ). Den observerede værdi af X er x 0 = 3. Kritisk mængde: K={ 4, 5, 6 }. Dvs nulhypotesen forkastes ikke. Forsøg: 60 kast med terning. 30 kast giver en sekser. H 0 : Terningen er ærlig. H A : Terningen er uærlig. Basiseksperiment: Ét kast med terningen. Succes: Sekser. Sandsynlighedsparameter: p = 1/6. Antalsparameter: n = 60. X = Antal succes er. X~b( 60 ; 1/6 ). Den observerede værdi af X er x 0 = 30. Kritisk mængde: K={ 0,1,2, 20,,60 }. Dvs nulhypotesen forkastes.

30 THE END

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Indledende om Signifikanstest Boldøvelser

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Indledende om Signifikanstest Boldøvelser Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Indledende om Signifikanstest Boldøvelser 1 Påstand: Et nyt præparat M virker mod migræne. Inden præparatet kan markedsføres, skal denne påstand

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele

Anvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om

Læs mere

1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...

1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau... Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................

Læs mere

Hvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau

Hvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.

2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900. 2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal succeser i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes. Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende

Læs mere

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM

CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM FORMÅL - BEKENDTGØRELSEN STX MATEMATIK A Kompetencer anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere

Hypotesetests, fejltyper og p-værdier

Hypotesetests, fejltyper og p-værdier Hypotesetests, fejltyper og p-værdier Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 25, 2018 Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Hypotesetests, Universitet

Læs mere

Dagens program. Praktisk information:

Dagens program. Praktisk information: Dagens program Praktisk information: Husk hjemmeopgaven i statistik Hypoteseprøvning kap. 11.2,11.3 og 11.8 Eksempel på test Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse kap. 11.3 Likelihood ratio

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der

Læs mere

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)

Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Et statistisk test er en konfrontation af virkelighenden (data) med en teori (model).

Et statistisk test er en konfrontation af virkelighenden (data) med en teori (model). Hypotesetests, fejltyper og p-værdier og er den nu også det? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet (updated: 2019-03-17) 1 / 40 Statistisk test Et statistisk test er en konfrontation

Læs mere

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven

Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Trin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse

Trin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Estimation og konfidensintervaller

Estimation og konfidensintervaller Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,

Læs mere

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag    susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse

Afsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres

Læs mere

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode

Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Test nr. 5 af centrale elementer 02402

Test nr. 5 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Om hypoteseprøvning (1)

Om hypoteseprøvning (1) E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5

Læs mere

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.

C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2. C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttes juni 2019 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik B Jebbe Lukas

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens

Læs mere

Kursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher

Kursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Hypotesetest s og spørgeskemaer Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Kumuleret sandsynlighed 1 0.9 0.8

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013 Matematik A Højere handelseksamen hhx133-mat/a-161013 Mandag den 16. december 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1

ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 ! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 Eksempel 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af tyggegummi påstår at en pakke tyggegummi i gennemsnit vejer

Læs mere

Projekt 9.4 Darwins, Mendels og Hardy Weinbergs arvelighedslove

Projekt 9.4 Darwins, Mendels og Hardy Weinbergs arvelighedslove Projekt 9.4 Darwins, endels og Hardy Weinbergs arvelighedslove (Projektet kan indgå som en del af et studieretningssamarbejde. Vores definition af sandsynligheder er enten empirisk begrundet eller eksperimentelt

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.

t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

+ = en temperaturmåling ligger over klimanormalen. - = en temperatur måling ligger under ligger under klimanormalen.

+ = en temperaturmåling ligger over klimanormalen. - = en temperatur måling ligger under ligger under klimanormalen. Anders Brandt rekorden og datafiskeri Der er mange måder at blive snydt på en af dem er ved datafiskeri. Indledning Antallet af måneder, hvor en temperaturmåling ligger over eller under en klimanormal,

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.

Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Facitliste opgaver 10

Facitliste opgaver 10 Website: Facitlister til opgaver i Facitliste opgaver 10 Opg. 1005 a. Nej Opg. 1006 a. Ja Opg. 1007 a. Det er rimeligt da både n p n(1 p) 1 1 1 b. = 100 = 10 = 100 1 3 10 = 10 10 [4 ; 16] Opg. 1008 a.

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 2. del Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 2. del Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 2. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er hypotesetestning? I sundhedsvidenskab:! Hypotesetestning = Test af nulhypotesen Hypotese-testning anvendes til at vurdere,

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007

Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007 Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative

Læs mere